ในทฤษฎีสนามแบบคลาสสิก การกำหนด แบบลากรางจ์ของสนามการไหลเป็นวิธีหนึ่งในการมองการเคลื่อนที่ของของไหล โดยที่ผู้สังเกตติดตามอนุภาคของไหล แต่ละตัว ขณะที่มันเคลื่อนที่ผ่านอวกาศและเวลา^{[ 1 ] [ 2 ]}การพล็อตตำแหน่งของอนุภาคแต่ละตัวผ่านเวลาจะให้เส้นทางการเคลื่อนที่ของอนุภาค ซึ่งสามารถมองเห็นได้เหมือนกับการนั่งอยู่ในเรือและลอยไปตามแม่น้ำ

ข้อกำหนดแบบออยเลอร์ของสนามการไหลเป็นวิธีหนึ่งในการมองการเคลื่อนที่ของของไหลที่เน้นตำแหน่งเฉพาะในอวกาศที่ของไหลไหลผ่านเมื่อเวลาผ่านไป^{[ 1 ] [ 2 ]}สามารถมองเห็นภาพนี้ได้โดยการนั่งบนฝั่งแม่น้ำและมองดูน้ำไหลผ่านตำแหน่งคงที่

ข้อกำหนดแบบลากรางจ์และแบบออยเลอร์ของสนามการไหลนั้น บางครั้งอาจถูกเรียกอย่างไม่เป็นทางการว่ากรอบอ้างอิงแบบลากรางจ์และแบบออยเลอร์อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้ว ข้อกำหนดแบบลากรางจ์และแบบออยเลอร์ของสนามการไหลนั้น สามารถนำไปใช้ได้ในกรอบอ้างอิง ของผู้สังเกตการณ์ใดๆ และในระบบพิกัด ใดๆ ที่ใช้ภายในกรอบอ้างอิงที่เลือกไว้ ข้อกำหนดแบบลากรางจ์และแบบออยเลอร์นั้นตั้งชื่อตามโจเซฟ-หลุยส์ ลากรางจ์และเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ตามลำดับ

ข้อกำหนดเหล่านี้สะท้อนให้เห็นในพลศาสตร์ของไหลเชิงคำนวณโดยที่การจำลองแบบ "ออยเลอร์" จะใช้ตาข่าย คงที่ ในขณะที่การจำลองแบบ "ลากรางจ์" (เช่นการจำลองแบบไร้ตาข่าย ) จะมีโหนดการจำลองที่สามารถเคลื่อนที่ตามสนามความเร็วได้

เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ได้รับการยกย่องว่าเป็นผู้นำเสนอข้อกำหนดทั้งสองแบบในสิ่งพิมพ์สองฉบับที่เขียนขึ้นในปี 1755 ^{[ 3 ]}และ 1759 ^{[ 4 ] [ 5 ]}โจเซฟ-หลุยส์ ลากรองจ์ศึกษาสมการการเคลื่อนที่ที่เกี่ยวข้องกับหลักการของการกระทำน้อยที่สุดในปี 1760 ต่อมาในตำรากลศาสตร์ของไหลในปี 1781 ^{[ 6 ]}และสุดท้ายในหนังสือMécanique analytiqueของ เขา ^{[ 5 ]}ในหนังสือเล่มนี้ ลากรองจ์เริ่มต้นด้วยข้อกำหนดแบบลากรองจ์ แต่ต่อมาแปลงเป็นข้อกำหนดแบบออยเลอร์^{[ 5 ]}

ในการกำหนดสนามแบบ ออยเลอร์ สนามจะถูกแทนด้วยฟังก์ชันของตำแหน่งxและเวลาtตัวอย่างเช่นความเร็วการไหลจะถูกแทนด้วยฟังก์ชัน$${\displaystyle \mathbf {u} \left(\mathbf {x} ,t\right).}$$

รูปแบบนี้ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในวิทยาศาสตร์บรรยากาศการสร้างแบบจำลองมหาสมุทร และพลศาสตร์ของไหลทางธรณีฟิสิกส์ซึ่งการไหลขนาดใหญ่สามารถอธิบายได้ดีที่สุดว่าเป็นสนามที่เปลี่ยนแปลงไปตามจุดคงที่ในอวกาศ

ในทางกลับกัน ในข้อกำหนดแบบลากรางจ์ อนุภาคของไหลแต่ละอนุภาคจะถูกติดตามไปตามเวลา อนุภาคของไหลจะถูกระบุด้วยเวกเตอร์ฟิลด์x ₀ บางตัว (ที่ไม่ขึ้นกับเวลา) (บ่อยครั้งที่x ₀ถูกเลือกให้เป็นตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวลของอนุภาค ณ เวลาเริ่มต้นt ₀ บางเวลา การเลือกในลักษณะนี้โดยเฉพาะก็เพื่ออธิบายการเปลี่ยนแปลงรูปร่างที่อาจเกิดขึ้นได้เมื่อเวลาผ่านไป ดังนั้น จุดศูนย์กลางมวลจึงเป็นพารามิเตอร์ที่ดีสำหรับการกำหนดความเร็วการไหลuของอนุภาค) ^{[ 1 ]}ในคำอธิบายแบบลากรางจ์ การไหลจะถูกอธิบายด้วยฟังก์ชัน ที่ให้ตำแหน่งของอนุภาคที่ระบุด้วยx 0 _ณเวลาt$${\displaystyle \mathbf {X} \left(\mathbf {x} _{0},t\right),}$$

ข้อกำหนดทั้งสองมีความสัมพันธ์กันดังนี้: ^{[ 2 ]} เนื่องจากทั้งสองด้านอธิบายความเร็วของอนุภาคที่ติดป้ายx ₀ณเวลา t$${\displaystyle \mathbf {u} \left(\mathbf {X} (\mathbf {x} _{0},t),t\right)={\frac {\partial \mathbf {X} }{\partial t}}\left(\mathbf {x} _{0},t\right),}$$

ภายในระบบพิกัดที่เลือกไว้x ₀และxจะถูกเรียกว่าพิกัดลากรางจ์และพิกัดออยเลอร์ของการไหลตามลำดับ

ข้อกำหนดแบบลากรางจ์และออยเลอร์ของจลนศาสตร์และพลศาสตร์ของสนามการไหลมีความสัมพันธ์กันโดยอนุพันธ์ของวัสดุ (เรียกอีกอย่างว่าอนุพันธ์แบบลากรางจ์ อนุพันธ์แบบพาความร้อน อนุพันธ์เชิงสาระสำคัญ หรืออนุพันธ์ของอนุภาค) ^{[ 1 ]}

สมมติว่าเรามีสนามการไหลuและเรายังได้รับสนามทั่วไปที่มีข้อกำหนดแบบออยเลอร์F ( x ,  t ) ด้วย ตอนนี้อาจมีคนถามถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดของFที่เกิดขึ้นกับกลุ่มการไหลเฉพาะกลุ่มหนึ่ง สามารถคำนวณได้โดย ใช้สูตร โดย ที่ ∇ แทน ตัวดำเนินการ นาบลาเทียบกับxและตัวดำเนินการu ⋅∇ จะถูกนำไปใช้กับแต่ละองค์ประกอบของFนี่บอกเราว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดของฟังก์ชันFเมื่อกลุ่มของไหลเคลื่อนที่ผ่านสนามการไหลที่อธิบายโดยข้อกำหนดแบบออยเลอร์uนั้นเท่ากับผลรวมของอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉพาะที่และอัตราการเปลี่ยนแปลงแบบพาความร้อนของF นี่  เป็นผลมาจากกฎลูกโซ่เนื่องจากเรากำลังหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันF ( X ( x0 _, t ),  t ) เทียบกับt$${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \mathbf {F} }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}+\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {F} ,}$$

กฎการอนุรักษ์สำหรับมวลหนึ่งหน่วยมีรูปแบบลากรางจ์ ซึ่งเมื่อรวมกับการอนุรักษ์มวลจะทำให้เกิดการอนุรักษ์แบบออยเลอร์ ในทางตรงกันข้าม เมื่ออนุภาคของไหลสามารถแลกเปลี่ยนปริมาณ (เช่น พลังงานหรือโมเมนตัม) จะมีเพียงกฎการอนุรักษ์แบบออยเลอร์เท่านั้น^{[ 7 ]}

• การหมุนเวียนของเบียร์-ดอบสัน
• แบบฟอร์มการอนุรักษ์
• การพาความร้อนตามเส้นชั้นความสูง
• สนามการกระจัด (กลศาสตร์)
• ละติจูดเทียบเท่า
• ค่าเฉลี่ยลากรางจ์ทั่วไป
• วิถีการเคลื่อนที่ (กลศาสตร์ของไหล)
• ทฤษฎีบทของ Liouville (Hamiltonian)
• การติดตามอนุภาคแบบลากรางจ์
• กลิ้ง
• เส้นกระแส เส้นริ้ว และเส้นทาง
• วิธีขอบเขตที่จุ่ม
• แผนการกึ่งลากรางเจียน
• วิธีการลากรางจ์ออยเลอร์แบบสุ่ม

[1]ความเป็นกลางในกลศาสตร์ต่อเนื่องแบบคลาสสิก: การเคลื่อนที่ ฟังก์ชันออยเลอร์และลากรางจ์ เกรเดียนต์การเปลี่ยนรูป อนุพันธ์ของลี สูตรการบวกความเร็ว โคริโอลิส ความเป็นกลาง