การปล่อยอิเล็กตรอนจากสนามไฟฟ้าหรือที่รู้จักกันในชื่อการปล่อยอิเล็กตรอนที่เหนี่ยวนำด้วยสนามไฟฟ้า การปล่อยอิเล็กตรอนจากสนามไฟฟ้า ( FE ) และการปล่อยอิเล็กตรอนจากสนามไฟฟ้าคือการปล่อยอิเล็กตรอนจากวัสดุที่วางอยู่ในสนามไฟฟ้าสถิตบริบทที่พบได้บ่อยที่สุดคือการปล่อยอิเล็กตรอนจาก พื้นผิว ของแข็งเข้าไปในสุญญากาศอย่างไรก็ตาม การปล่อยอิเล็กตรอนจากสนามไฟฟ้าสามารถเกิดขึ้นได้จากพื้นผิวของแข็งหรือของเหลวเข้าไปในสุญญากาศของเหลว (เช่นอากาศ ) หรือไดอิเล็กทริกที่ไม่นำไฟฟ้าหรือนำไฟฟ้า ได้น้อย การส่งเสริมอิเล็กตรอนจากแถบวาเลนซ์ไปยังแถบนำ ไฟฟ้า ของสาร กึ่งตัวนำโดยสนามไฟฟ้า ( ปรากฏการณ์ซีเนอร์ ) ก็สามารถถือได้ว่าเป็นรูปแบบหนึ่งของการปล่อยอิเล็กตรอนจากสนามไฟฟ้าเช่นกัน

การปล่อยอิเล็กตรอนจากสนามไฟฟ้าในโลหะบริสุทธิ์เกิดขึ้นในสนามไฟฟ้า สูง โดยทั่วไปแล้วความชันจะสูงกว่า 1 กิกะโวลต์ต่อเมตร และขึ้นอยู่กับฟังก์ชันงาน อย่างมาก แม้ว่าแหล่งกำเนิดอิเล็กตรอนที่ใช้การปล่อยอิเล็กตรอนจากสนามไฟฟ้าจะมีแอปพลิเคชันหลายอย่าง แต่การปล่อยอิเล็กตรอนจากสนามไฟฟ้ามักเป็นแหล่งกำเนิดหลักที่ไม่พึงประสงค์ของการเกิดการแตกตัวของสุญญากาศและปรากฏการณ์การปล่อยประจุไฟฟ้า ซึ่งวิศวกรพยายามป้องกัน ตัวอย่างแอปพลิเคชันของการปล่อยอิเล็กตรอนจากสนามไฟฟ้าบนพื้นผิว ได้แก่ การสร้างแหล่งกำเนิดอิเล็กตรอนที่สว่างสำหรับ กล้องจุลทรรศน์อิเล็กตรอนความละเอียดสูงหรือการปล่อยประจุเหนี่ยวนำจากยานอวกาศอุปกรณ์ที่กำจัดประจุเหนี่ยวนำเรียกว่าเครื่องทำให้ประจุเป็นกลาง

ในอดีต ปรากฏการณ์การปล่อยอิเล็กตรอนจากสนามไฟฟ้าเป็นที่รู้จักกันในชื่อต่างๆ มากมาย เช่น "ปรากฏการณ์เอโอน่า" "การปล่อยอิเล็กตรอนอัตโนมัติ" "การปล่อยแบบเย็น" " การปล่อยจาก แคโทดเย็น " "การปล่อยจากสนาม" "การปล่อยอิเล็กตรอนจากสนาม" และ "การปล่อยอิเล็กตรอนจากสนาม" ในบางบริบท (เช่น วิศวกรรมยานอวกาศ) ชื่อ "การปล่อยจากสนาม" ถูกนำมาใช้กับการปล่อยไอออนที่เกิดจากสนามไฟฟ้า (การปล่อยไอออนจากสนาม) มากกว่าอิเล็กตรอน และเนื่องจากในบางบริบททางทฤษฎี "การปล่อยจากสนาม" ถูกใช้เป็นชื่อทั่วไปที่ครอบคลุมทั้งการปล่อยอิเล็กตรอนจากสนามและการปล่อยไอออนจากสนาม

การปล่อยสนามไฟฟ้าได้รับการอธิบายโดยการอุโมงค์ควอนตัมของอิเล็กตรอนในช่วงปลายทศวรรษ 1920 ซึ่งเป็นหนึ่งในความสำเร็จของกลศาสตร์ควอนตัม ที่เพิ่งเริ่มต้น ทฤษฎีการปล่อยสนามไฟฟ้าจากโลหะจำนวนมากได้รับการเสนอโดยRalph H. FowlerและLothar Wolfgang Nordheim [ ^{1 ] สม} การโดยประมาณตระกูลหนึ่งที่ เรียกว่า สมการ Fowler–Nordheimได้รับการตั้งชื่อตามพวกเขา ตามหลักการแล้ว สมการ Fowler–Nordheim ใช้ได้เฉพาะกับการปล่อยสนามไฟฟ้าจากโลหะจำนวนมากและ (ด้วยการปรับเปลี่ยนที่เหมาะสม) กับของแข็งผลึก จำนวนมากอื่นๆ แต่โดยทั่วไปแล้วมักใช้เป็นการประมาณอย่างคร่าวๆ เพื่ออธิบายการปล่อยสนามไฟฟ้าจากวัสดุอื่นๆ

ปรากฏการณ์ที่เกี่ยวข้อง เช่น โฟโตเอฟเฟกต์บนพื้นผิวการปล่อยเทอร์มิออนิก (หรือปรากฏการณ์ริชาร์ดสัน-ดั ชแมน ) และ "การปล่อยอิเล็กตรอนเย็น" กล่าวคือ การปล่อยอิเล็กตรอนในสนามไฟฟ้าสถิตที่แรง (หรือกึ่งไฟฟ้าสถิต) ถูกค้นพบและศึกษาอย่างอิสระตั้งแต่ช่วงปี 1880 ถึง 1930 ในบริบทสมัยใหม่การปล่อยอิเล็กตรอนในสนามเย็น (CFE) คือชื่อที่ใช้เรียกสภาวะการปล่อยทางสถิติแบบหนึ่ง ซึ่งอิเล็กตรอนในตัวปล่อยอยู่ในสมดุลทางอุณหพลศาสตร์ ภายในในตอนเริ่มต้น และอิเล็กตรอนที่ปล่อยออกมาส่วนใหญ่จะหลุดออกไปโดยการอุโมงค์ฟาวเลอร์-นอร์ดไฮม์จากสถานะอิเล็กตรอนที่อยู่ใกล้ระดับเฟอร์มิ ของตัวปล่อย (ในทางตรงกันข้าม ใน สภาวะ การปล่อยแบบชอตต์กีอิเล็กตรอนส่วนใหญ่จะหลุดออกไปเหนือสิ่งกีดขวางที่ลดสนามลง จากสถานะที่อยู่สูงกว่าระดับเฟอร์มิมาก) วัสดุของแข็งและของเหลวหลายชนิดสามารถปล่อยอิเล็กตรอนในสภาวะ CFE ได้หากใช้สนามไฟฟ้าที่มีขนาดเหมาะสม เมื่อ ใช้ คำว่า " การปล่อยสนามไฟฟ้า " โดยไม่มีคำขยายความ มักจะหมายถึง "การปล่อยสนามไฟฟ้าในอุณหภูมิต่ำ"

สำหรับโลหะ สภาวะการปล่อยอิเล็กตรอนแบบ CFE ขยายไปถึงอุณหภูมิที่สูงกว่าอุณหภูมิห้องมาก นอกจากนี้ยังมีสภาวะการปล่อยอิเล็กตรอนแบบอื่น ๆ (เช่น " การปล่อยอิเล็กตรอนจากความร้อน " และ " การปล่อยแบบชอตต์กี ") ซึ่งต้องใช้ความร้อนจากภายนอกอย่างมากในการกระตุ้นตัวปล่อย และยังมีสภาวะการปล่อยอิเล็กตรอนที่อิเล็กตรอนภายในไม่อยู่ในสมดุลทางอุณหพลศาสตร์ และกระแสการปล่อยอิเล็กตรอนนั้นถูกกำหนดบางส่วนหรือทั้งหมดโดยปริมาณอิเล็กตรอนที่ส่งไปยังบริเวณที่ปล่อย กระบวนการปล่อยอิเล็กตรอนที่ไม่สมดุลแบบนี้อาจเรียกว่าการปล่อยอิเล็กตรอนจากสนามไฟฟ้า หากอิเล็กตรอนส่วนใหญ่หลุดออกไปโดยการทะลุผ่าน แต่โดยหลักแล้วไม่ใช่ CFE และไม่สามารถอธิบายได้อย่างถูกต้องด้วยสมการแบบฟาวเลอร์-นอร์ดไฮม์

สมการในบทความนี้เขียนขึ้นโดยใช้ระบบปริมาณสากล สมัยใหม่ (ISQ) เอกสารเกี่ยวกับการปล่อยสนามไฟฟ้าในอดีต (และเอกสารที่คัดลอกสมการจากเอกสารเก่าโดยตรง) มักใช้หน่วยแบบเกาส์เซียนซึ่งทำให้ละเว้นค่าคงที่ทางฟิสิกส์ε₀ในบทความนี้ สมการเหล่านั้นทั้งหมดได้รับการแปลงเป็นรูปแบบสากลสมัยใหม่ _แล้ว

เนื่องจากโดยปกติแล้วฟังก์ชันงานจะระบุหน่วยเป็นอิเล็กตรอนโวลต์ (eV) และสำหรับสนามแม่เหล็กนั้นมักจะสะดวกที่จะใช้หน่วยโวลต์ต่อนาโนเมตร (V/nm) ซึ่งนับวันยิ่งกลายเป็นแนวปฏิบัติปกติในการวิจัยการปล่อยอิเล็กตรอนด้วยสนามแม่เหล็ก ค่าตัวเลขของค่าคงที่สากลที่ระบุไว้ในที่นี้เขียนในหน่วยที่ได้มาจาก eV, V และ nm และคำนวณโดยใช้ค่าคงที่พื้นฐานปี 2006 โดยปัดเศษ ให้เหลือเจ็ด หลักสำคัญ

เมื่อมองย้อนกลับไป ดูเหมือนว่าการปล่อยประจุไฟฟ้าที่JH Winkler ^{[ 2 ]} รายงาน ในปี 1744 น่าจะเริ่มต้นโดย CFE จากอิเล็กโทรดลวดของเขา อย่างไรก็ตาม การตรวจสอบที่มีความหมายต้องรอจนกระทั่งหลังจากการระบุอิเล็กตรอนของJJ Thomson ^{[ 3 ]} ในปี 1897 และจนกระทั่งหลังจากที่เข้าใจ – จากงาน การปล่อยความร้อน^{[ 4 ]}และการปล่อยโฟตอน^{[ 5 ]} – ว่าอิเล็กตรอนสามารถถูกปล่อยออกมาจากภายในโลหะ (แทนที่จะจากโมเลกุลก๊าซที่ดูดซับบนพื้นผิว ) และว่า – ในกรณีที่ไม่มีสนามที่ใช้ – อิเล็กตรอนที่หลุดออกจากโลหะจะต้องเอาชนะอุปสรรคของ ฟังก์ชันงาน

เป็นที่สงสัยกันมาตั้งแต่ปี 1913 แล้วว่าการปล่อยอิเล็กตรอนที่เหนี่ยวนำด้วยสนามไฟฟ้าเป็นผลทางกายภาพที่แยกต่างหาก^{[ 6 ]}อย่างไรก็ตาม มีเพียงหลังจากที่เทคนิคการดูดฝุ่นและการทำความสะอาดตัวอย่างได้รับการปรับปรุงอย่างมีนัยสำคัญเท่านั้น จึงทำให้เรื่องนี้เป็นที่ยอมรับกันอย่างกว้างขวางLilienfeld (ซึ่งสนใจแหล่งกำเนิดอิเล็กตรอนสำหรับ การใช้งาน เอ็กซ์เรย์ ทางการแพทย์เป็นหลัก ) ได้ตีพิมพ์ในปี 1922 ^{[ 7 ]}บัญชีที่ชัดเจนฉบับแรกในภาษาอังกฤษเกี่ยวกับปรากฏการณ์เชิงทดลองของผลที่เขาเรียกว่า "การปล่อยอิเล็กตรอนอัตโนมัติ" เขาได้ทำงานในหัวข้อนี้ที่เมืองไลป์ซิกตั้งแต่ประมาณปี 1910 ^{[ 8 ] [ 9 ]}

หลังปี 1922 ความสนใจในการทดลองเพิ่มมากขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกลุ่มที่นำโดยMillikanที่สถาบันเทคโนโลยีแคลิฟอร์เนีย (Caltech) ในเมืองพาซาดีนา รัฐแคลิฟอร์เนีย [ ^{10 ]}และโดย Gossling ที่บริษัท General Electricในลอนดอน^{[ 11 ]}ความพยายามที่จะเข้าใจการปล่อยอิเล็กตรอนอัตโนมัติรวมถึงการพล็อตข้อมูลกระแส-แรงดัน ( i – V ) จากการทดลองในรูปแบบต่างๆ เพื่อค้นหาความสัมพันธ์แบบเส้นตรง กระแสเพิ่มขึ้นเกินเชิงเส้นกับแรงดัน แต่กราฟประเภท log( ⁱ )เทียบกับVไม่เป็นเส้นตรง^{[ 10 ]} Walter H. Schottky ^{[ 12 ]}เสนอแนะในปี 1923 ว่าผลกระทบอาจเกิดจากการปล่อยอิเล็กตรอนที่เหนี่ยวนำด้วยความร้อนเหนือสิ่งกีดขวางที่ลดสนามลง ถ้าเป็นเช่นนั้น กราฟของ log( i) เทียบกับ √Vควรจะเป็นเส้นตรง แต่ก็ไม่ใช่^{[ 10 ]}คำอธิบายของ Schottky ยังไม่สอดคล้องกับการสังเกตเชิงทดลองของการพึ่งพาอุณหภูมิที่อ่อนมากใน CFE ^{[ 7 ]}ซึ่งเป็นจุดที่ถูกมองข้ามไปในตอนแรก^{[ 6 ]}

ความก้าวหน้าเกิดขึ้นเมื่อCC Lauritsen ^{[ 13 ]} (และJ. Robert Oppenheimerค้นพบโดยอิสระ^{[ 14 ]} ) พบว่ากราฟของ log( i ) เทียบกับ 1/ Vให้เส้นตรงที่ดี ผลลัพธ์นี้ได้รับการตีพิมพ์โดย Millikan และ Lauritsen ในช่วงต้นปี 1928 ^{[ 13 ]} คำอธิบายทางทฤษฎีและสมการประเภท Fowler–Nordheim ดั้งเดิมเกิดขึ้นหลังจากนั้นไม่นาน

Oppenheimer ได้ทำนายไว้^{[ 14 ]}ว่าการอุโมงค์ของอิเล็กตรอนจากอะตอมที่เหนี่ยวนำด้วยสนาม (ผลที่ปัจจุบันเรียกว่าการแตกตัวเป็นไอออนด้วยสนาม) จะมี การพึ่งพา i ( V ) นี้ และได้พบการพึ่งพานี้ในผลการทดลองการปล่อยสนามที่ตีพิมพ์ของ Millikan และ Eyring ^{[ 10 ]}และเสนอว่า CFE เกิดจากการอุโมงค์ของอิเล็กตรอนจากวงโคจรคล้ายอะตอมในอะตอมโลหะบนพื้นผิว ที่เหนี่ยวนำด้วย สนาม ทฤษฎี ทางเลือกของ Fowler – Nordheim ^{[ 1 ]}เสนอการอุโมงค์ที่เหนี่ยวนำด้วยสนามจากสถานะประเภทอิเล็กตรอนอิสระในสิ่งที่เราเรียกว่าแถบนำ ไฟฟ้าของโลหะในปัจจุบัน โดยที่สถานะอิเล็กตรอนถูกครอบครองตามสถิติ Fermi–Diracทฤษฎี Fowler-Nordheim อธิบายทั้งการค้นพบของ Millikan–Lauritsen และการพึ่งพาของกระแสต่ออุณหภูมิที่อ่อนมาก

Oppenheimer มีรายละเอียดทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีของเขาที่ไม่ถูกต้องอย่างร้ายแรง^{[ 15 ]}นอกจากนี้ยังมีข้อผิดพลาดทางตัวเลขเล็กน้อยในสมการสุดท้ายที่กำหนดโดยทฤษฎี Fowler–Nordheim สำหรับความหนาแน่นกระแส CFE ซึ่งได้รับการแก้ไขในเอกสารปี 1929 ^{[ 16 ]} หากสนามกั้นในทฤษฎี Fowler–Nordheim ปี 1928 เป็นสัดส่วนโดยตรงกับแรงดันไฟฟ้าที่ใช้ และหากพื้นที่การปล่อยเป็นอิสระจากแรงดันไฟฟ้า ทฤษฎี Fowler–Nordheim ปี 1928 จะทำนายว่ากราฟของ log( i / V ² ) เทียบกับ 1/ Vควรเป็นเส้นตรงที่แน่นอน อย่างไรก็ตาม เทคนิคการทดลองร่วมสมัยไม่สามารถแยกแยะความแตกต่างระหว่างผลลัพธ์ทางทฤษฎีของ Fowler–Nordheim และผลลัพธ์การทดลองของ Millikan–Lauritsen ได้

ในเอกสารทางฟิสิกส์มักนำเสนอผลงานของฟาวเลอร์และนอร์ดไฮม์ว่าเป็นหลักฐานยืนยันการทะลุผ่านของอิเล็กตรอนตามที่ทฤษฎีกลศาสตร์คลื่นทำนายไว้ แม้ว่าจะเป็นเช่นนั้น แต่ทฤษฎีกลศาสตร์คลื่นก็ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางแล้วตั้งแต่ปี 1928 ดังนั้น บทความของฟาวเลอร์และนอร์ดไฮม์จึงมีความสำคัญมากกว่าในแง่ของการสร้างทฤษฎีแถบอิเล็กตรอน สมัยใหม่ ก่อนปี 1928 มีการตั้งสมมติฐานว่าอิเล็กตรอนสองประเภท คือ "เทอร์มิออน" และ "อิเล็กตรอนนำไฟฟ้า" มีอยู่ในโลหะ และกระแสอิเล็กตรอนที่ปล่อยออกมาจากความร้อนเกิดจากการปล่อยเทอร์มิออน แต่กระแสที่ปล่อยออกมาจากสนามไฟฟ้าเกิดจากการปล่อยอิเล็กตรอนนำไฟฟ้า จนกระทั่งปี 1927 ซอมเมอร์เฟลด์ จึงได้ โต้แย้งว่าสถิติเฟอร์มิ-ดิแรกสามารถนำมาใช้กับพฤติกรรมของอิเล็กตรอนในโลหะได้^{[ 17 ]} งานของ Fowler–Nordheim ในปี 1928 ชี้ให้เห็นว่าเทอร์มิออนไม่จำเป็นต้องมีอยู่เป็นอิเล็กตรอนภายในประเภทแยกต่างหาก อิเล็กตรอนสามารถมาจากแถบ เดียว ที่ถูกครอบครองตามสถิติของ Fermi–Dirac แต่จะถูกปล่อยออกมาในรูปแบบทางสถิติที่แตกต่างกันภายใต้เงื่อนไขอุณหภูมิและสนามที่ใช้ที่แตกต่างกัน ความสำเร็จของทฤษฎี Fowler–Nordheim ช่วยสนับสนุนความถูกต้องของแนวคิดของ Sommerfeld เป็นอย่างมาก^{[ 18 ]}

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมการประเภท Fowler–Nordheim ดั้งเดิมเป็นหนึ่งในสมการแรกๆ ที่รวม ผล ทางกลศาสตร์เชิงสถิติของการมีอยู่ของสปินอิเล็กตรอนเข้าไว้ในทฤษฎีของปรากฏการณ์สสารควบแน่นเชิงทดลอง บทความ Fowler–Nordheim ยังได้สร้างพื้นฐานทางกายภาพสำหรับการจัดการแบบรวมของการปล่อยอิเล็กตรอนที่เหนี่ยวนำโดยสนามและที่เหนี่ยวนำโดยความร้อน^{[ 18 ]}

แนวคิดของOppenheimer , Fowler และ Nordheim ยังเป็นแรงกระตุ้นที่สำคัญต่อการพัฒนาทฤษฎีการสลายตัวของนิวเคลียสกัมมันตรังสี (โดยการทะลุผ่านของอนุภาคอัลฟา) โดย^{George Gamow [} 19 ]และRonald W. Gurneyและ^{Edward Condon} [ 20 ] [ 21 ^{]ในเวลาต่อมาใน ปี พ.ศ. 2461 [ 22 ]}

ดังที่ได้ระบุไว้แล้ว งานทดลองในช่วงแรกเกี่ยวกับการปล่อยอิเล็กตรอนสนาม (พ.ศ. 2453–2463) ^{[ 7 ]}เกิดจาก ความปรารถนา ของลิเลียนเฟลด์ที่จะพัฒนา หลอด เอ็กซ์เรย์ ขนาดเล็ก สำหรับการใช้งานทางการแพทย์ อย่างไรก็ตาม เทคโนโลยีนี้ยังเร็วเกินไปที่จะประสบความสำเร็จ

หลังจากงานทางทฤษฎีของ Fowler–Nordheim ในปี 1928 ความก้าวหน้าครั้งสำคัญเกิดขึ้นจากการพัฒนากล้องจุลทรรศน์อิเล็กตรอนแบบสนามทรงกลม(FEM) ^{[ 23 ]} (เรียกอีกอย่างว่า "กล้องจุลทรรศน์อิเล็กตรอนแบบปล่อยสนาม") โดย Erwin W. Muellerในปี 1937 ในเครื่องมือนี้ ตัวปล่อยอิเล็กตรอนเป็นลวดปลายแหลมที่มีรัศมีปลายแหลมrซึ่งวางไว้ในกล่องสุญญากาศตรงข้ามกับตัวตรวจจับภาพ (เดิมเป็นหน้าจอฟอสฟอร์) ที่ระยะRจากตัวตรวจจับ หน้าจอกล้องจุลทรรศน์แสดงภาพฉายของการกระจายความหนาแน่นกระแสJทั่วปลายแหลมของตัวปล่อยอิเล็กตรอน โดยมีกำลังขยายประมาณ ( R / r ) โดยทั่วไปอยู่ที่ 10 ⁵ถึง 10 ⁶ในการศึกษา FEM รัศมีปลายแหลมโดยทั่วไปอยู่ที่ 100 นาโนเมตรถึง 1 ไมโครเมตร เมื่อกล่าวถึงปลายลวดแหลมในฐานะวัตถุทางกายภาพ ปลายลวดจะถูกเรียกว่า "ตัวปล่อยสนาม" "ปลายลวด" หรือ (ในปัจจุบัน) "ตัวปล่อยมุลเลอร์"

เมื่อพื้นผิวตัวปล่อยประจุสะอาด ภาพ FEM นี้จะมีลักษณะเฉพาะดังนี้:

1. วัสดุที่ใช้ในการผลิตตัวปล่อยสัญญาณ
2. การวางแนวของวัสดุเมื่อเทียบกับแกนของเข็ม/ลวด และ
3. ในระดับหนึ่ง รูปทรงของส่วนปลายตัวปล่อยประจุก็มีความสำคัญเช่นกัน

ในภาพ FEM บริเวณสีเข้มสอดคล้องกับบริเวณที่ฟังก์ชันงานเฉพาะที่φค่อนข้างสูงและ/หรือสนามกั้นเฉพาะที่Fค่อนข้างต่ำ ดังนั้นJจึงค่อนข้างต่ำ บริเวณสีอ่อนสอดคล้องกับบริเวณที่φค่อนข้างต่ำและ/หรือFค่อนข้างสูง ดังนั้นJจึงค่อนข้างสูง ซึ่งเป็นไปตามที่คาดการณ์ไว้โดยเลขชี้กำลังของสมการประเภท Fowler–Nordheim [ดูสมการ (30) ด้านล่าง]

การดูดซับชั้นของอะตอมก๊าซ (เช่น ออกซิเจน) บนพื้นผิวตัวปล่อย หรือบางส่วนของพื้นผิว สามารถสร้างไดโพลไฟฟ้า บนพื้นผิว ที่เปลี่ยนแปลงฟังก์ชันงานเฉพาะที่ของส่วนนี้ของพื้นผิว ซึ่งส่งผลต่อภาพ FEM นอกจากนี้ การเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันงานยังสามารถวัดได้โดยใช้กราฟ Fowler–Nordheim (ดูด้านล่าง) ดังนั้น FEM จึงกลายเป็นเครื่องมือสังเกตการณ์ยุคแรกๆ ของวิทยาศาสตร์พื้นผิว [ ^{24 ] [ 25 ] ตัวอย่าง}เช่น ในช่วงทศวรรษ 1960 ผลลัพธ์ของ FEM มีส่วนสำคัญต่อการอภิปรายเกี่ยวกับการเร่งปฏิกิริยาแบบไม่เป็นเนื้อเดียวกัน^{[ 26 ]} FEM ยังถูกใช้สำหรับการศึกษาการแพร่กระจายของอะตอมบนพื้นผิวอย่างไรก็ตาม ปัจจุบัน FEM ถูกแทนที่ด้วยเทคนิควิทยาศาสตร์พื้นผิวที่ใหม่กว่าเกือบทั้งหมดแล้ว

ผลที่ตามมาจากการพัฒนา FEM และการทดลองที่ตามมาคือ ทำให้สามารถระบุได้ (จากการตรวจสอบภาพ FEM) ว่าตัวปล่อยประจุ "สะอาด" เมื่อใด และด้วยเหตุนี้จึงแสดงฟังก์ชันงานพื้นผิวสะอาดตามที่กำหนดโดยเทคนิคอื่น ๆ ซึ่งมีความสำคัญในการทดลองที่ออกแบบมาเพื่อทดสอบความถูกต้องของสมการประเภท Fowler–Nordheim มาตรฐาน^{[ 27 ] [ 28 ]}การทดลองเหล่านี้ได้อนุมานค่าตัวประกอบการแปลงแรงดันไฟฟ้าเป็นสนามกั้นβจากกราฟ Fowler–Nordheim (ดูด้านล่าง) โดยสมมติ ค่า φ พื้นผิวสะอาด สำหรับทังสเตน และเปรียบเทียบกับค่าที่ได้จาก การสังเกตรูปร่างของตัวปล่อยประจุและการสร้างแบบจำลองไฟฟ้าสถิต ด้วยกล้องจุลทรรศน์อิเล็กตรอนพบว่ามีความสอดคล้องกันภายในประมาณ 10% เมื่อไม่นานมานี้^{[ 29 ]}จึงเป็นไปได้ที่จะทำการเปรียบเทียบในทางกลับกัน โดยการนำโพรบที่เตรียมไว้อย่างดีมาใกล้กับพื้นผิวที่เตรียมไว้อย่างดีจนสามารถสันนิษฐานได้ว่ามีรูปทรงเรขาคณิตแบบแผ่นขนานโดยประมาณ และสามารถใช้ปัจจัยการแปลงเป็น 1/ Wโดยที่Wคือระยะห่างระหว่างโพรบกับตัวปล่อยที่วัดได้ การวิเคราะห์พล็อต Fowler–Nordheim ที่ได้จะให้ค่าฟังก์ชันงานที่ใกล้เคียงกับฟังก์ชันงานของตัวปล่อยที่ทราบโดยอิสระ

การวัดการกระจายพลังงานของอิเล็กตรอนที่ปล่อยออกมาจากสนามไฟฟ้าได้รับการรายงานครั้งแรกในปี พ.ศ. 2482 ^{[ 30 ]}ในปี พ.ศ. 2492 Young ได้ตระหนักในเชิงทฤษฎี^{[ 31 ]}และ Young และ Mueller ^{[ 32 ]} ได้ยืนยันในเชิง ทดลองว่าปริมาณที่วัดได้ในเรขาคณิตทรงกลมคือการกระจายพลังงานทั้งหมดของอิเล็กตรอนที่ปล่อยออกมา ("การกระจายพลังงานทั้งหมด") ทั้งนี้เนื่องจากในเรขาคณิตทรงกลม อิเล็กตรอนเคลื่อนที่ในลักษณะที่โมเมนตัมเชิงมุมรอบจุดในตัวปล่อยนั้นแทบจะคงที่ ดังนั้นพลังงานจลน์ ใดๆ ที่ ณ ขณะปล่อยออกมาอยู่ในทิศทางขนานกับพื้นผิวของตัวปล่อยจะถูกแปลงเป็นพลังงานที่เกี่ยวข้องกับทิศทางรัศมีของการเคลื่อนที่ ดังนั้นสิ่งที่วัดได้ในเครื่องวิเคราะห์พลังงานคือพลังงานทั้งหมดณ ขณะปล่อยออกมา

ด้วยการพัฒนาเครื่องวิเคราะห์พลังงานอิเล็กตรอนที่มีความไวสูงในช่วงทศวรรษ 1960 ทำให้สามารถวัดรายละเอียดปลีกย่อยของการกระจายพลังงานทั้งหมดได้ ซึ่งสะท้อนถึงรายละเอียดปลีกย่อยของฟิสิกส์พื้นผิวและเทคนิค Field Electron Spectroscopyก็เฟื่องฟูอยู่ช่วงหนึ่ง ก่อนที่จะถูกแทนที่ด้วยเทคนิควิทยาศาสตร์พื้นผิวที่ใหม่กว่า^{[ 33 ] [ 34 ]}

เพื่อให้ได้ความละเอียดสูงในกล้องจุลทรรศน์อิเล็กตรอนและเครื่องมือลำแสงอิเล็กตรอนอื่นๆ (เช่น เครื่องมือที่ใช้สำหรับลิโทกราฟีลำแสงอิเล็กตรอน) จะเป็นประโยชน์หากเริ่มต้นด้วยแหล่งกำเนิดอิเล็กตรอนที่มีขนาดเล็ก สว่างทางแสง และเสถียร แหล่งกำเนิดที่ใช้รูปทรงเรขาคณิตของตัวปล่อย Mueller มีคุณสมบัติตรงตามเกณฑ์สองข้อแรกเป็นอย่างดี การสังเกตอะตอมเดี่ยวด้วยกล้องจุลทรรศน์อิเล็กตรอน (EM) ครั้งแรกเกิดขึ้นโดยAlbert Crewe , J. Wall และ J. Langmore ในปี 1970 ^{[ 35 ]}โดยใช้กล้องจุลทรรศน์อิเล็กตรอนแบบสแกนส่งผ่านที่ติดตั้งปืนปล่อยสนาม รุ่น แรก

ตั้งแต่ช่วงปี 1950 เป็นต้นมา ได้มีการทุ่มเทความพยายามอย่างมากในการพัฒนาแหล่งกำเนิดการปล่อยสนามเพื่อใช้ในปืนอิเล็กตรอน [ ^{36 ] [ 37 ] [ 38 ] [} เช่น DD53] ได้มีการพัฒนาวิธีการสร้างลำแสงบนแกน โดยการสร้างตัวปล่อยที่เหนี่ยวนำด้วยสนาม หรือโดยการตกตะกอนแบบเลือกของ สารดูดซับที่มีฟังก์ชันงานต่ำ(โดยปกติคือเซอร์โคเนียมออกไซด์ – ZrO) ลงในปลายแบนของตัวปล่อยทังสเตนที่วางแนว (100) ^{[ 39 ]}

แหล่งกำเนิดที่ทำงานที่อุณหภูมิห้องมีข้อเสียคืออาจถูกปกคลุมด้วยโมเลกุลของสาร ดูดซับ ที่มาจากผนังของ ระบบ สุญญากาศและต้องทำความสะอาดตัวปล่อยเป็นระยะโดยการ "ให้ความร้อนสูง" ปัจจุบัน นิยมใช้แหล่งกำเนิดแบบ Mueller-emitter ที่ทำงานที่อุณหภูมิสูง ไม่ว่าจะเป็นใน ระบอบ การปล่อยแบบ Schottkyหรือในระบอบอุณหภูมิ-สนามระดับกลาง กล้องจุลทัศน์อิเล็กตรอนความละเอียดสูงและเครื่องมือลำแสงอิเล็กตรอนสมัยใหม่ส่วนใหญ่ใช้แหล่งกำเนิดอิเล็กตรอนแบบปล่อยสนามในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง ปัจจุบัน มีความพยายามที่จะพัฒนาท่อนาโนคาร์บอน (CNTs) เป็นแหล่งกำเนิดอิเล็กตรอนแบบปล่อยสนาม^{[ 40 ] [ 41 ]}

การใช้แหล่งกำเนิดการปล่อยสนามในเครื่องมืออิเล็กตรอนออปติกเกี่ยวข้องกับการพัฒนาทฤษฎีออปติกอนุภาคประจุ ที่เหมาะสม ^{[ 37 ] [ 42 ]}และการพัฒนาแบบจำลองที่เกี่ยวข้อง มีการทดลองใช้แบบจำลองรูปร่างต่างๆ สำหรับตัวปล่อย Mueller แบบจำลองที่ดีที่สุดดูเหมือนจะเป็นแบบจำลอง "ทรงกลมบนกรวยตั้งฉาก" (SOC) ที่แนะนำโดย Dyke, Trolan, Dolan และ Barnes ในปี 1953 ^{[ 43 ]}การจำลองที่สำคัญซึ่งเกี่ยวข้องกับการติดตามวิถีโดยใช้แบบจำลองตัวปล่อย SOC ได้รับการดำเนินการโดย Wiesener และ Everhart ^{[ 44 ] [ 45 ] [ 46 ]}ในปัจจุบัน สิ่งอำนวยความสะดวกในการจำลองการปล่อยสนามจากตัวปล่อย Mueller มักจะถูกรวมเข้าไว้ในโปรแกรมอิเล็กตรอนออปติกเชิงพาณิชย์ที่ใช้ในการออกแบบเครื่องมือลำแสงอิเล็กตรอน การออกแบบปืนอิเล็กตรอนแบบปล่อยสนามที่ทันสมัยและมีประสิทธิภาพต้องใช้ความเชี่ยวชาญเฉพาะทางสูง

ปัจจุบันสามารถเตรียมตัวปล่อยอิเล็กตรอนที่คมชัดมากได้ รวมถึงตัวปล่อยอิเล็กตรอนที่ปลายสุดเป็นอะตอมเดี่ยว ในกรณีนี้ การปล่อยอิเล็กตรอนจะมาจากบริเวณที่มีขนาดประมาณสองเท่าของขนาดผลึกของอะตอมเดี่ยว สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์โดยการเปรียบเทียบภาพ FEM และ ภาพ กล้องจุลทรรศน์ไอออนสนาม (FIM) ของตัวปล่อยอิเล็กตรอน^{[ 47 ]}ตัวปล่อยอิเล็กตรอน Mueller ปลายอะตอมเดี่ยวยังมีความเกี่ยวข้องกับกล้องจุลทรรศน์โพรบสแกนและกล้องจุลทรรศน์ไอออนสแกนฮีเลียม (He SIM) ^{[ 48 ]}เทคนิคในการเตรียมตัวปล่อยอิเล็กตรอนเหล่านี้ได้รับการศึกษามาหลายปีแล้ว^{[ 47 ] [ 49 ]}ความก้าวหน้าที่สำคัญล่าสุดที่เกี่ยวข้องคือการพัฒนา (เพื่อใช้ใน He SIM) เทคนิคอัตโนมัติสำหรับการคืนปลายสามอะตอม ("ไตรเมอร์") ให้กลับสู่สถานะเดิม หากไตรเมอร์แตกออก^{[ 48 ]}

แหล่งกำเนิดการปล่อยสนามไฟฟ้าพื้นที่ขนาดใหญ่ได้รับความสนใจมาตั้งแต่ทศวรรษ 1970 ในอุปกรณ์เหล่านี้ จะมีการสร้างจุดปล่อยสนามไฟฟ้าแต่ละจุดที่มีความหนาแน่นสูงบนพื้นผิวรองรับ (เดิมคือซิลิคอน) สาขาการวิจัยนี้เป็นที่รู้จักกันในชื่อแรกว่า "ไมโครอิเล็กทรอนิกส์สุญญากาศ" และปัจจุบันเรียกว่า "นาโนอิเล็กทรอนิกส์สุญญากาศ"

หนึ่งในอุปกรณ์สองประเภทดั้งเดิม " อาร์เรย์ Spindt " ^{[ 50 ]}ใช้ เทคนิคการผลิต วงจรรวมซิลิคอน (IC)เพื่อสร้างอาร์เรย์ปกติซึ่ง มีการวางกรวย โมลิบเดนัมไว้ในช่องว่างทรงกระบอกขนาดเล็กในฟิล์มออกไซด์ โดยช่องว่างนั้นถูกปกคลุมด้วยขั้วไฟฟ้าตรงข้ามที่มีช่องเปิดวงกลมตรงกลาง รูปทรงโดยรวมนี้ยังถูกนำมาใช้กับท่อนาโนคาร์บอนที่ปลูกในช่องว่างด้วย

อุปกรณ์ประเภทดั้งเดิมอีกประเภทหนึ่งคือ "Latham emitter" ^{[ 51 ] [ 52 ]}อุปกรณ์เหล่านี้เป็น MIMIV (โลหะ-ฉนวน-โลหะ-ฉนวน-สุญญากาศ) หรือโดยทั่วไปคือ CDCDV (ตัวนำ-ไดอิเล็กทริก-ตัวนำ-ไดอิเล็กทริก-สุญญากาศ) ซึ่งมีอนุภาคตัวนำอยู่ในฟิล์มไดอิเล็กทริก อุปกรณ์นี้ปล่อยสนามไฟฟ้าเนื่องจากโครงสร้างจุลภาค/นาโนของมันมีคุณสมบัติในการเพิ่มสนามไฟฟ้า วัสดุนี้มีข้อได้เปรียบในการผลิตที่อาจเกิดขึ้นได้ คือสามารถนำไปวางเป็น "หมึก" ได้ ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องใช้เทคนิคการผลิต IC อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ การผลิตอุปกรณ์ที่เชื่อถือได้อย่างสม่ำเสมอนั้นทำได้ยาก

งานวิจัยก้าวหน้าไปเพื่อค้นหาวัสดุอื่นๆ ที่สามารถนำมาตกตะกอน/ปลูกเป็นฟิล์มบางที่มีคุณสมบัติในการเพิ่มความเข้มของสนามไฟฟ้าที่เหมาะสม ในการจัดเรียงแผ่นขนาน สนามไฟฟ้า "ระดับมหภาค" F _Mระหว่างแผ่นจะกำหนดโดยF _M = V / Wโดยที่Wคือระยะห่างระหว่างแผ่น และVคือแรงดันไฟฟ้าที่ใช้ หากสร้างวัตถุแหลมคมบนแผ่นใดแผ่นหนึ่ง สนามไฟฟ้าเฉพาะที่Fที่ปลายแหลมของวัตถุจะมีค่ามากกว่าF _Mและสามารถสัมพันธ์กับF _Mได้โดย

${\displaystyle F=\แกมมา F_{\คณิตศาสตร์ {M} }.}$

พารามิเตอร์γเรียกว่า "ปัจจัยเสริมความเข้มสนาม" และโดยพื้นฐานแล้วจะถูกกำหนดโดยรูปร่างของวัตถุ เนื่องจากลักษณะการปล่อยสนามถูกกำหนดโดยสนามเฉพาะที่Fดังนั้นยิ่ง ค่า γของวัตถุสูงเท่าใด ค่าF _Mที่ทำให้เกิดการปล่อยสนามอย่างมีนัยสำคัญก็จะยิ่งต่ำลงเท่านั้น ดังนั้น สำหรับค่าW ที่กำหนด แรงดันไฟฟ้าที่ใช้ Vที่ทำให้เกิดการปล่อยสนามอย่างมีนัยสำคัญ ก็จะยิ่งต่ำลง

ในช่วงเวลาประมาณ สิบปีตั้งแต่กลางทศวรรษ 1990 มีความสนใจอย่างมากในการปล่อยสนามจากฟิล์มคาร์บอนอสัณฐานและ "คล้ายเพชร" ที่ตกตะกอนด้วยพลาสมา ^{[ 53 ] [ 54 ]}อย่างไรก็ตาม ความสนใจดังกล่าวลดลงในเวลาต่อมา ส่วนหนึ่งเนื่องมาจากการมาถึงของ ตัวปล่อย CNTและส่วนหนึ่งเนื่องจากมีหลักฐานปรากฏขึ้นว่าไซต์การปล่อยอาจเกี่ยวข้องกับวัตถุคาร์บอนอนุภาคที่สร้างขึ้นในลักษณะที่ไม่ทราบสาเหตุระหว่างกระบวนการตกตะกอนซึ่งชี้ให้เห็นว่าการควบคุมคุณภาพของกระบวนการผลิตในระดับอุตสาหกรรมอาจเป็นปัญหา

การนำตัวปล่อยสนาม CNT มาใช้^{[ 41 ]}ทั้งในรูปแบบ "แผ่น" และในรูปแบบ "อาร์เรย์ที่ปลูก" ถือเป็นก้าวสำคัญ มีการวิจัยอย่างกว้างขวางเกี่ยวกับลักษณะทางกายภาพและการใช้งานทางเทคโนโลยีที่เป็นไปได้^{[ 40 ]}สำหรับการปล่อยสนาม ข้อดีของ CNT คือ เนื่องจากรูปร่างของมันที่มีอัตราส่วนความยาวต่อเส้นผ่านศูนย์กลาง สูง จึงเป็น "วัตถุที่เพิ่มประสิทธิภาพสนามตามธรรมชาติ"

ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมา ความสนใจในการพัฒนาตัวปล่อยฟิล์มบางรูปแบบอื่นๆ ก็เพิ่มขึ้นอย่างมาก ทั้งที่ใช้คาร์บอนรูปแบบอื่นๆ (เช่น "ผนังนาโนคาร์บอน" ^{[ 55 ]} ) และเซมิคอนดักเตอร์ที่มีช่องว่างแถบกว้างหลายรูปแบบ^{[ 56 ]}จุดมุ่งหมายที่สำคัญอย่างหนึ่งคือการพัฒนาโครงสร้างนาโน " γสูง" ที่มีความหนาแน่นของจุดปล่อยแต่ละจุดสูงเพียงพอ ฟิล์มบางของนาโนทิวบ์ในรูปแบบของใยนาโนทิวบ์ยังถูกนำมาใช้ในการพัฒนาอิเล็กโทรดปล่อยสนาม^{[ 57 ] [ 58 ] [ 59 ]}แสดงให้เห็นว่าด้วยการปรับพารามิเตอร์การผลิตอย่างละเอียด ใยเหล่านี้สามารถบรรลุความหนาแน่นที่เหมาะสมของจุดปล่อยแต่ละจุดได้^{[ 57 ]}แสดงให้เห็นว่าอิเล็กโทรดสองชั้นที่ทำโดยการวางซ้อนของเว็บสองชั้นเหล่านี้โดยจัดเรียงตั้งฉากกันสามารถลดสนามไฟฟ้าเริ่มต้น (สนามไฟฟ้าที่จำเป็นสำหรับการบรรลุกระแสการปล่อย 10 μA/cm² ⁾ลงเหลือ 0.3 V/μm และให้ประสิทธิภาพการปล่อยสนามที่เสถียร^{[ 58 ]}

ปัญหาทั่วไปของอุปกรณ์ปล่อยอิเล็กตรอนทุกชนิด โดยเฉพาะอย่างยิ่งอุปกรณ์ที่ทำงานใน "สภาวะสุญญากาศระดับอุตสาหกรรม" คือ ประสิทธิภาพการปล่อยอิเล็กตรอนอาจลดลงเนื่องจากการดูดซับอะตอมของก๊าซที่มาจากส่วนอื่นของระบบ และรูปร่างของตัวปล่อยอิเล็กตรอนอาจถูกเปลี่ยนแปลงไปในทางที่เสียหายได้จากกระบวนการเสริมที่ไม่พึงประสงค์ต่างๆ เช่น การชนกับไอออนที่เกิดจากการกระทบของอิเล็กตรอนที่ปล่อยออกมากับอะตอมในสถานะก๊าซและ/หรือกับพื้นผิวของขั้วไฟฟ้าตรงข้าม ดังนั้น ข้อกำหนดที่สำคัญในอุตสาหกรรมคือ "ความทนทานในสภาวะสุญญากาศที่ไม่ดี" ซึ่งจำเป็นต้องนำมาพิจารณาในการวิจัยวัสดุตัวปล่อยอิเล็กตรอนใหม่ๆ

ณ เวลาที่เขียนบทความนี้ แหล่งกำเนิดการปล่อยอิเล็กตรอนแบบสนามไฟฟ้าขนาดใหญ่ที่มีแนวโน้มดีที่สุด (โดยเฉพาะอย่างยิ่งในแง่ของความหนาแน่นกระแสการปล่อยเฉลี่ยที่ได้) ดูเหมือนจะเป็นอาร์เรย์ Spindt และแหล่งกำเนิดรูปแบบต่างๆ ที่ใช้ CNT เป็นพื้นฐาน

การพัฒนาแหล่งกำเนิดการปล่อยสนามไฟฟ้าขนาดใหญ่ในตอนแรกนั้นเกิดจากความปรารถนาที่จะสร้างรูปแบบใหม่ที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นของการแสดงข้อมูลอิเล็กทรอนิกส์สิ่งเหล่านี้เรียกว่า " จอแสดงผลแบบปล่อยสนามไฟฟ้า " หรือ "จอแสดงผลแบบนาโนปล่อยสนามไฟฟ้า" แม้ว่าจะมีการสาธิตต้นแบบหลายแบบแล้ว^{[ 40 ]}แต่การพัฒนาจอแสดงผลดังกล่าวให้เป็นผลิตภัณฑ์เชิงพาณิชย์ที่เชื่อถือได้นั้นถูกขัดขวางโดยปัญหาการผลิตทางอุตสาหกรรมต่างๆ ที่ไม่เกี่ยวข้องโดยตรงกับลักษณะของแหล่งกำเนิด [En08]

แอปพลิเคชันอื่น ๆ ที่เสนอสำหรับแหล่งกำเนิดการปล่อยสนามพื้นที่ขนาดใหญ่^{[ 40 ]}ได้แก่ การสร้าง ไมโครเวฟการทำให้ยานอวกาศเป็นกลางการสร้างรังสีเอ็กซ์และ (สำหรับแหล่งกำเนิดอาร์เรย์) การพิมพ์หินด้วยลำแสงอิเล็กตรอน หลายลำ นอกจากนี้ยังมีความพยายามล่าสุดในการพัฒนาตัวปล่อยพื้นที่ขนาดใหญ่บนพื้นผิวที่ยืดหยุ่น ซึ่งสอดคล้องกับแนวโน้มที่กว้างขึ้นไปสู่ ​​" อิเล็กทรอนิกส์พลาสติก "

การพัฒนาแอปพลิเคชันดังกล่าวเป็นภารกิจของนาโนอิเล็กทรอนิกส์สุญญากาศ อย่างไรก็ตาม ตัวปล่อยสนามไฟฟ้าทำงานได้ดีที่สุดในสภาวะสุญญากาศสูงมาก แอปพลิเคชันที่ประสบความสำเร็จมากที่สุดจนถึงปัจจุบัน (FEM, FES และปืน EM) เกิดขึ้นในสภาวะเหล่านี้ ข้อเท็จจริงที่น่าเศร้าก็คือ ตัวปล่อยสนามไฟฟ้าและสภาวะสุญญากาศในระดับอุตสาหกรรมไม่เข้ากันได้ดี และปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการรับประกัน "ความทนทานต่อสุญญากาศ" ที่ดีของแหล่งกำเนิดการปล่อยสนามไฟฟ้าที่ใช้ในสภาวะดังกล่าว ยังคงรอวิธีแก้ปัญหาที่ดีกว่า (อาจเป็นวัสดุที่ชาญฉลาดกว่า) ที่เรามีอยู่ในปัจจุบัน

ดังที่ได้ระบุไว้แล้ว ปัจจุบันเชื่อกันว่าปรากฏการณ์แรกสุดของการปล่อยอิเล็กตรอนสนามคือการปล่อยประจุไฟฟ้าที่เกิดขึ้น หลังจากงานของ Fowler–Nordheim เป็นที่เข้าใจกันว่า CFE เป็นหนึ่งในสาเหตุหลักที่เป็นไปได้ของการแตกตัวของสุญญากาศและปรากฏการณ์การปล่อยประจุไฟฟ้า (กลไกและเส้นทางโดยละเอียดที่เกี่ยวข้องอาจซับซ้อนมาก และไม่มีสาเหตุสากลเพียงสาเหตุเดียว) ^{[ 60 ]}ในกรณีที่ทราบว่าการแตกตัวของสุญญากาศเกิดจากการปล่อยอิเล็กตรอนจากแคโทด ความคิดดั้งเดิมคือกลไกคือ CFE จากส่วนที่ยื่นออกมาคล้ายเข็มนำไฟฟ้าขนาดเล็กบนพื้นผิว มีการใช้ขั้นตอน (และยังคงใช้) เพื่อทำให้พื้นผิวของอิเล็กโทรดกลมและเรียบ ซึ่งอาจก่อให้เกิดกระแสการปล่อยอิเล็กตรอนสนามที่ไม่พึงประสงค์ อย่างไรก็ตาม งานของ Latham และคนอื่นๆ^{[ 51 ]}แสดงให้เห็นว่าการปล่อยอาจเกี่ยวข้องกับการมีอยู่ของสารกึ่งตัวนำในพื้นผิวเรียบ ฟิสิกส์ของวิธีการสร้างการปล่อยยังไม่เป็นที่เข้าใจอย่างสมบูรณ์ แต่มีข้อสงสัยว่าสิ่งที่เรียกว่า "ผลกระทบของจุดเชื่อมต่อสามจุด" อาจเกี่ยวข้องด้วย ข้อมูลเพิ่มเติมสามารถพบได้ในหนังสือของ Latham ^{[ 51 ]}และในบรรณานุกรมออนไลน์^{[ 60 ]}

ในอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์บางชนิดการถ่ายโอนอิเล็กตรอนจากวัสดุหนึ่งไปยังอีกวัสดุหนึ่ง หรือ (ในกรณีของแถบพลังงานลาดเอียง) จากแถบพลังงานหนึ่งไปยังอีกแถบพลังงานหนึ่ง (" การอุโมงค์แบบซีเนอร์ ") เกิดขึ้นโดยกระบวนการอุโมงค์ที่เหนี่ยวนำด้วยสนาม ซึ่งสามารถถือได้ว่าเป็นรูปแบบหนึ่งของการอุโมงค์แบบฟาวเลอร์-นอร์ดไฮม์ ตัวอย่างเช่น หนังสือ ของโรเดอริคกล่าวถึงทฤษฎีที่เกี่ยวข้องกับหน้าสัมผัสโลหะ-สารกึ่งตัวนำ^{[ 61 ]}

การทะลุผ่านแบบฟาวเลอร์-นอร์ดไฮม์คือ การทะลุผ่าน ของอิเล็กตรอนด้วยกลไกคลื่น ผ่านสิ่งกีดขวางรูปสามเหลี่ยมที่แม่นยำหรือโค้งมน ขึ้นอยู่กับโครงสร้างของวัสดุ อิเล็กตรอนอาจถูก จำกัดอยู่ที่พื้นผิว ในตอนเริ่มต้น หรือกระจายตัวเข้าไปในเนื้อวัสดุ และสามารถแสดงได้ดีที่สุดด้วยคลื่นเดินทางการปล่อยอิเล็กตรอนจากแถบนำไฟฟ้า ของโลหะ เป็นสถานการณ์แบบที่สอง ซึ่งเป็นกรณีเดียวที่กล่าวถึงในที่นี้ นอกจากนี้ยังถือว่าสิ่งกีดขวางเป็นแบบหนึ่งมิติ (เช่น ไม่มีโครงสร้างด้านข้าง) และไม่มีโครงสร้างขนาดเล็กที่ทำให้เกิด " การกระเจิง " หรือ "การสั่นพ้อง" ข้อสมมติเหล่านี้มีจุดประสงค์หลักเพื่อทำให้ทฤษฎีง่ายขึ้น แต่ในทางปฏิบัติแล้วโครงสร้างอะตอมของสสารถูกละเลย

การรักษามีสี่ขั้นตอนหลัก:

1. การหาอนุพันธ์ของสูตรสำหรับความน่าจะเป็นในการหลุดออกโดยพิจารณาการทะลุผ่านของอิเล็กตรอนผ่านสิ่งกีดขวางรูปสามเหลี่ยมโค้งมน
2. การรวมค่าเหนือสถานะอิเล็กตรอนภายในเพื่อให้ได้การกระจายพลังงานรวม
3. การอินทิเกรตครั้งที่สอง เพื่อให้ได้ความหนาแน่นกระแสการปล่อยเป็นฟังก์ชันของสนามกั้นเฉพาะที่และฟังก์ชันงานเฉพาะที่
4. การแปลงฟังก์ชันงานเฉพาะที่ไปเป็นสูตรสำหรับกระแสไฟฟ้าที่เป็นฟังก์ชันของแรงดันไฟฟ้าที่จ่ายเข้าไป

สมการที่ปรับปรุงแล้วซึ่งจำเป็นสำหรับตัวปล่อยรังสีพื้นที่ขนาดใหญ่ และประเด็นเกี่ยวกับการวิเคราะห์ข้อมูลจากการทดลอง จะกล่าวถึงแยกต่างหาก

สำหรับอิเล็กตรอนสมการชโรดิงเกอร์ แบบหนึ่งมิติ สามารถเขียนได้ในรูปแบบดังนี้

${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\Psi (x)}{\mathrm {d} x^{2}}}=\left[U(x)-E_{\mathrm {n} }\right]\Psi (x)=M(x)\Psi (x),}$

1

โดยที่ Ψ( x ) คือ ฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนซึ่งแสดงเป็นฟังก์ชันของระยะทางxที่วัดจากพื้นผิวไฟฟ้าของตัวปล่อย^{[ 62 ]} ħคือค่าคงที่ของพลังค์ที่ลดลงmคือมวลของอิเล็กตรอนU ( x ) คือพลังงานศักย์ของอิเล็กตรอน E n _คือพลังงานอิเล็กตรอนทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ใน ทิศทาง xและM ( x ) = [ U ( x ) − E _n ]เรียกว่าพลังงานขับเคลื่อนของอิเล็กตรอน^{[ 63 ]} M ( x ) สามารถตีความได้ว่าเป็นค่าลบของพลังงานจลน์ของอิเล็กตรอนที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนจุดคลาสสิกสมมติใน ทิศทาง xและมีค่าเป็นบวกในกำแพงกั้น

รูปร่างของสิ่งกีดขวางการอุโมงค์ถูกกำหนดโดยวิธีที่M ( x ) เปลี่ยนแปลงตามตำแหน่งในบริเวณที่M ( x ) > 0แบบจำลองสองแบบมีสถานะพิเศษในทฤษฎีการปล่อยสนาม: สิ่งกีดขวางรูปสามเหลี่ยมที่แน่นอน (ET)ที่ระบุไว้ใน ( 2 ) และสิ่งกีดขวาง Schottky–Nordheim (SN)ที่ระบุไว้ใน ( 3 ) ^{[ 64 ] [ 65 ]}

${\displaystyle M^{\mathrm {ET} }(x)=h-eFx}$

2

${\displaystyle M^{\rm {SN}}(x)=h-eFx-{\frac {e^{2}}{16\pi \varepsilon _{0}x}},}$

3

ในที่นี้hคือความสูงของกำแพง กั้นที่สนามเป็นศูนย์ (หรือ ความสูงที่ไม่ลดทอน ) eคือ ประจุ บวกพื้นฐานFคือสนามของกำแพงกั้น และε₀คือ ค่าคงที่ _ทางไฟฟ้าตามธรรมเนียมแล้วFจะมีค่าเป็นบวก แม้ว่าสนามไฟฟ้าสถิตแบบคลาสสิกจะมีค่าเป็นลบก็ตาม สมการ SN ใช้พลังงานศักย์ภาพแบบคลาสสิกเพื่อแสดงถึงผลทางกายภาพ "ความสัมพันธ์และการแลกเปลี่ยน"

สำหรับอิเล็กตรอนที่เข้าใกล้สิ่งกีดขวางที่กำหนดจากภายในความน่าจะเป็นของการหลุดออก (หรือ " สัมประสิทธิ์การส่งผ่าน " หรือ "สัมประสิทธิ์การทะลุผ่าน") เป็นฟังก์ชันของhและFและแสดงด้วยD ( h , F )จุดประสงค์หลักของทฤษฎีอุโมงค์คือการคำนวณD ( h , F )สำหรับแบบจำลองสิ่งกีดขวางที่สมจริงทางกายภาพ เช่น สิ่งกีดขวาง Schottky–Nordheim สมการ Schrödinger ไม่สามารถแก้ได้อย่างแม่นยำด้วยวิธีง่ายๆ ใดๆ สามารถใช้วิธีการที่เรียกว่า "กึ่งคลาสสิก" ต่อไปนี้ได้ พารามิเตอร์G ( h , F )สามารถกำหนดได้โดย อินทิกรัล JWKB (Jeffreys-Wentzel-Kramers-Brillouin) : ^{[ 66 ]}

${\displaystyle G(h,F)=g\int M^{1/2}{\mbox{d}}x,}$

4

โดยที่ปริมาณอินทิกรัลจะคำนวณข้ามกำแพง (กล่าวคือ ข้ามบริเวณที่M  > 0) และพารามิเตอร์gเป็นค่าคงที่สากลที่กำหนดโดย

${\displaystyle g\,=2{\sqrt {2m}}/\hbar \approx 10.24624\;{\rm {eV}}^{-1/2}\;{\rm {nm}}^{-1}.}$

5

Forbes ได้จัดเรียงผลลัพธ์ที่พิสูจน์โดย Fröman และ Fröman ใหม่ เพื่อแสดงให้เห็นว่าในทางรูปแบบ – ในการดำเนินการแบบมิติเดียว – สามารถเขียน คำตอบที่แน่นอนสำหรับ D ได้ ^{[ 67 ]}

${\displaystyle \,D={\frac {P\mathrm {e} ^{-G}}{1+P\mathrm {e} ^{-G}}},}$

6

โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์การทะลุผ่านอุโมงค์Pสามารถประเมินได้ในทางทฤษฎีโดยการบูรณาการแบบวนซ้ำที่ซับซ้อนตามเส้นทางในพื้นที่เชิงซ้อนแต่มีค่าประมาณ 1 สำหรับแบบจำลองที่เรียบง่าย^{[ 67 ] [ 68 ]}ในระบอบ CFE เรามี (ตามคำนิยาม) G ≫ 1 ดังนั้นสมการ (6) จะลดลงเหลือสูตร JWKB  ที่เรียกว่าเรียบง่าย:

${\displaystyle D\approx P\mathrm {e} ^{-G}\approx \mathrm {e} ^{-G}.}$

7

สำหรับสิ่งกีดขวางรูปสามเหลี่ยมที่แน่นอน การแทนสมการ ( 2 ) ลงในสมการ ( 4 ) จะได้G ^ET = bh ^3/2 / Fโดยที่

${\displaystyle b={\frac {2g}{3e}}={\frac {4{\sqrt {2m}}}{3e\hbar }}\approx 6.830890\;{\mathrm {eV} }^{-3/2}\;\mathrm {V} \;{\mathrm {nm} }^{-1}.}$

8

พารามิเตอร์b นี้ เป็นค่าคงที่สากล ซึ่งบางครั้งเรียกว่าค่าคงที่ฟาวเลอร์-นอร์ดไฮม์ที่สองสำหรับสิ่งกีดขวางที่มีรูปร่างอื่น เราจะเขียนว่า

${\displaystyle G(h,F)=\nu (h,F)G^{\mathrm {ET} }=\nu (h,F)bh^{3/2}/F,}$

9

โดยที่ν ( h , F )คือปัจจัยการแก้ไขที่กำหนดโดยการบูรณาการเชิงตัวเลขของสมการ ( 4 )

กำแพง Schottky–Nordheim ซึ่งเป็นแบบจำลองกำแพงที่ใช้ในการหาอนุพันธ์ของสมการประเภท Fowler–Nordheim มาตรฐาน^{[ 69 ]}เป็นกรณีพิเศษ ในกรณีนี้ เป็นที่ทราบกันว่าปัจจัยการแก้ไขเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียวf _hซึ่งกำหนดโดยf _h  =  F / F _hโดยที่F _hคือสนามที่จำเป็นในการลดความสูงของกำแพง Schottky–Nordheim จากhเป็น 0 สนามนี้กำหนดโดย ${\displaystyle {\it {\nu }}}$

${\displaystyle \,F_{h}=(4\pi \epsilon _{0}/e^{3})h^{2}=(0.6944617\;\mathrm {V} \;{\mathrm {nm} }^{-1})(h/{\rm {eV}})^{2}.}$

10

พารามิเตอร์f _hมีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 1 และอาจเรียกว่าสนามกั้นแบบปรับขนาดสำหรับสิ่งกีดขวาง Schottky–Nordheim ที่มีความสูงของสนามhเป็น ศูนย์

สำหรับสิ่งกีดขวาง Schottky–Nordheim นั้นν ( h , F )จะได้รับจากค่าเฉพาะν ( f _h ) ของฟังก์ชันν ( ℓ ′ ) ซึ่งฟังก์ชันหลังนี้เป็นฟังก์ชันของฟิสิกส์ทางคณิตศาสตร์ในตัวมันเองที่มีการขยายอนุกรมที่ชัดเจน^{[ 70 ]}และถูกเรียกว่าฟังก์ชันสิ่งกีดขวาง Schottky–Nordheim หลัก มีการค้นพบ การประมาณค่าแบบง่ายที่ดีสำหรับν ( f _h ) ดังต่อไปนี้: ^{[ 69 ]}

${\displaystyle v(f_{h})\approx 1-f_{h}+{\tfrac {1}{6}}f_{h}\ln f_{h}.}$

11

ความกว้างของการสลายตัว (ในหน่วยพลังงาน) d _hวัดว่าความน่าจะเป็นในการหลุดออกDลดลงเร็วแค่ไหนเมื่อความสูงของกำแพงกั้นhเพิ่มขึ้น โดยd _hถูกกำหนดโดย:

${\displaystyle {\frac {1}{d_{h}}}=-{\frac {\mathrm {d} (\ln D)}{\mathrm {d} h}}.}$

12

เมื่อhเพิ่มขึ้นด้วยd _hความน่าจะเป็นในการหลบหนีDจะลดลงด้วยปัจจัยที่ใกล้เคียงกับ e ( ≈ 2.718282) สำหรับแบบจำลองพื้นฐานที่อิงตามกำแพงสามเหลี่ยมที่แน่นอน โดยที่เรากำหนดν  = 1 และP  ≈ 1 เราจะได้

${\displaystyle d_{h}^{\mathrm {(el)} }={\frac {2F}{3b{\sqrt {h}}}}={\frac {eF}{g{\sqrt {h}}}}.}$

ความกว้างการสลายตัวd _hที่ได้มาจากนิพจน์ทั่วไป ( 12 ) แตกต่างจากนี้ด้วย "ปัจจัยการแก้ไขความกว้างการสลายตัว" λ _dดังนั้น:

${\displaystyle d_{h}=\lambda _{d}d_{h}^{\mathrm {(el)} }={\frac {\lambda _{d}eF}{g{\sqrt {h}}}}.}$

13

โดยทั่วไป ค่าตัวประกอบการแก้ไขสามารถประมาณได้ว่าเป็นหนึ่ง

ค่าความกว้างของการสลายตัวd _Fสำหรับสิ่งกีดขวางที่มีhเท่ากับฟังก์ชันงานเฉพาะที่φนั้นมีความน่าสนใจเป็นพิเศษ ในทางตัวเลข ค่านี้กำหนดโดย:

${\displaystyle d_{\mathrm {F} }={\frac {\lambda _{d}eF}{g{\sqrt {\phi }}}}\approx {\frac {eF}{g{\sqrt {\phi }}}}\approx 0.09759678\;\mathrm {eV} \,\cdot {\sqrt {\frac {1\ \mathrm {eV} }{\phi }}}\cdot {\frac {F}{1\ \mathrm {V} \ \mathrm {nm} ^{-1}}}.}$

14

สำหรับโลหะ ค่าของd _Fโดยทั่วไปจะมีค่าประมาณ 0.2 eV แต่จะแปรผันไปตามสนามกั้น F

จำเป็นต้องมีบันทึกทางประวัติศาสตร์ แนวคิดที่ว่าสิ่งกีดขวาง Schottky–Nordheim จำเป็นต้องมีปัจจัยการแก้ไข ดังเช่นในสมการ ( 9 ) นั้นได้รับการแนะนำโดย Nordheim ในปี 1928 ^{[ 65 ]}แต่การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของปัจจัยของเขานั้นไม่ถูกต้อง ฟังก์ชันใหม่ (ที่ถูกต้อง) ได้รับการแนะนำโดย Burgess, Kroemerและ Houston ^{[ 71 ]}ในปี 1953 และคณิตศาสตร์ของมันได้รับการพัฒนาเพิ่มเติมโดย Murphy และ Good ในปี 1956 ^{[ 72 ]}ฟังก์ชันที่แก้ไขแล้วนี้ บางครั้งเรียกว่า "ฟังก์ชันวงรีการปล่อยสนามพิเศษ" ถูกแสดงเป็นฟังก์ชันของตัวแปรทางคณิตศาสตร์yที่รู้จักกันในชื่อ "พารามิเตอร์ Nordheim" เพิ่งไม่นานมานี้ (ปี 2006 ถึง 2008) ที่เพิ่งตระหนักว่าในทางคณิตศาสตร์ การใช้ตัวแปรℓ ′ ( = y ² )นั้น ดีกว่ามาก และเมื่อไม่นานมานี้เองที่สามารถกำหนดนิยามของν ( ℓ ′ ) ได้อย่างสมบูรณ์ โดยการพัฒนาและพิสูจน์ความถูกต้องของการขยายอนุกรมที่แม่นยำสำหรับฟังก์ชันนี้ (โดยเริ่มจากคำตอบกรณีพิเศษที่ทราบของสมการเชิงอนุพันธ์ไฮเปอร์จีโอเมตริก ของเกาส์ ) นอกจากนี้ การประมาณค่า ( 11 ) ก็เพิ่งค้นพบเมื่อไม่นานมานี้ การประมาณค่า ( 11 ) มีประสิทธิภาพเหนือกว่า และคาดว่าจะเข้ามาแทนที่การประมาณค่าแบบเก่าทั้งหมดที่มีความซับซ้อนเทียบเท่ากันในที่สุด การพัฒนาล่าสุดเหล่านี้และผลกระทบของมัน น่าจะมีผลกระทบอย่างมากต่อการวิจัยการปล่อยสนามในอนาคตอันใกล้

บทสรุปต่อไปนี้รวบรวมผลลัพธ์เหล่านี้เข้าด้วยกัน สำหรับการขุดอุโมงค์ที่อยู่ต่ำกว่าส่วนบนสุดของสิ่งกีดขวางที่มีพฤติกรรมดีและมีความสูงที่เหมาะสม ความน่าจะเป็นในการหลบหนีD ( h , F )จะกำหนดอย่างเป็นทางการได้ดังนี้:

${\displaystyle D(h,F)\approx P\exp \left[-{\frac {\nu (h,F)bh^{3/2}}{F}}\right],}$

15

โดยที่ν ( h , F )คือปัจจัยการแก้ไขที่โดยทั่วไปจะต้องหาได้จากการอินทิเกรตเชิงตัวเลข สำหรับกรณีพิเศษของสิ่งกีดขวาง Schottky–Nordheim จะมีผลลัพธ์เชิงวิเคราะห์อยู่ และν ( h , F )จะได้รับจากν ( f _h ) ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น การประมาณค่า (11) สำหรับν ( f _h ) นั้นเพียงพอสำหรับวัตถุประสงค์ทางเทคโนโลยีทั้งหมด ตัวประกอบนำหน้าPก็เป็นฟังก์ชันของhและ (อาจจะ) F ด้วยเช่นกัน แต่สำหรับแบบจำลองทางกายภาพอย่างง่ายที่กล่าวถึงในที่นี้ โดยทั่วไปแล้วการประมาณค่าP  = 1 ก็เพียงพอแล้ว สิ่งกีดขวางรูปสามเหลี่ยมที่แน่นอนเป็นกรณีพิเศษที่สามารถแก้สมการ Schrödinger ได้อย่างแม่นยำ ดังที่ Fowler และ Nordheim ได้ทำไว้^{[ 1 ]}สำหรับกรณีที่ไม่สมจริงทางกายภาพนี้ν ( f _h ) = 1 และมีการประมาณค่าเชิงวิเคราะห์สำหรับPอยู่

วิธีการที่อธิบายไว้ในที่นี้ได้รับการพัฒนาขึ้นเพื่ออธิบายการทะลุผ่านของฟาวเลอร์-นอร์ดไฮม์จากพื้นผิวปล่อยแสงแบบระนาบเรียบและแบนราบตามหลักคลาสสิก วิธีการนี้เหมาะสมสำหรับพื้นผิวโค้งเรียบตามหลักคลาสสิกที่มีรัศมีเล็กสุดประมาณ 10 ถึง 20 นาโนเมตร สามารถปรับใช้กับพื้นผิวที่มีรัศมีแหลมกว่าได้ แต่ปริมาณต่างๆ เช่นνและDจะกลายเป็นฟังก์ชันสำคัญของพารามิเตอร์ที่ใช้ในการอธิบายความโค้งของพื้นผิว เมื่อตัวปล่อยแสงมีความแหลมคมมากจนไม่สามารถละเลยรายละเอียดระดับอะตอมได้ และ/หรือกำแพงการทะลุผ่านมีความหนามากกว่าขนาดของจุดยอดของตัวปล่อยแสง วิธีการที่ซับซ้อนกว่าจึงเป็นที่ต้องการ

ดังที่กล่าวไว้ในตอนต้น ผลกระทบของโครงสร้างอะตอมของวัสดุถูกละเลยในการบำบัดการปล่อยอิเล็กตรอนสนามที่ค่อนข้างง่ายที่กล่าวถึงในที่นี้ การพิจารณาโครงสร้างอะตอมอย่างถูกต้องเป็นปัญหาที่ยากมาก และมีความคืบหน้าเพียงเล็กน้อยเท่านั้น^{[ 33 ]}อย่างไรก็ตาม ดูเหมือนว่าอิทธิพลหลักต่อทฤษฎีการอุโมงค์ของ Fowler–Nordheim จะ (ในทางปฏิบัติ) เปลี่ยนค่าของPและνในสมการ (15) ในปริมาณที่ไม่สามารถประเมินได้ง่ายในปัจจุบัน

ข้อสังเกตทั้งหมดนี้สามารถนำไปใช้ได้กับหลักการของการทะลุผ่านแบบฟาวเลอร์-นอร์ดไฮม์จากตัวนำใดๆ ก็ตาม โดยที่ (ก่อนการทะลุผ่าน) อิเล็กตรอนสามารถถือได้ว่าอยู่ในสถานะคลื่นเดินทางวิธีการนี้อาจปรับให้เหมาะสมเพื่อนำไปใช้ (โดยประมาณ) กับสถานการณ์ที่อิเล็กตรอนอยู่ในสถานะเฉพาะที่ ณ หรือใกล้กับพื้นผิวที่ปล่อยอิเล็กตรอน แต่เรื่องนี้อยู่นอกเหนือขอบเขตของบทความนี้

การกระจายพลังงานของอิเล็กตรอนที่ปล่อยออกมามีความสำคัญทั้งสำหรับการทดลองทางวิทยาศาสตร์ที่ใช้การกระจายพลังงานของอิเล็กตรอนที่ปล่อยออกมาเพื่อตรวจสอบแง่มุมต่างๆ ของฟิสิกส์พื้นผิว ตัวปล่อย ^{[ 34 ]}และสำหรับแหล่งกำเนิดการปล่อยสนามที่ใช้ในเครื่องมือลำแสงอิเล็กตรอน เช่นกล้องจุลทรรศน์อิเล็กตรอน [ ^{42 ] ใน}กรณีหลังนี้ "ความกว้าง" (ในแง่ของพลังงาน) ของการกระจายจะมีผลต่อความละเอียดในการโฟกัสลำแสง

คำอธิบายเชิงทฤษฎีในที่นี้เป็นไปตามแนวทางของ Forbes ^{[ 73 ]}ถ้าεแทนพลังงานอิเล็กตรอนทั้งหมดเมื่อเทียบกับระดับเฟอร์มิของตัวปล่อย และK _pแทนพลังงานจลน์ของอิเล็กตรอนที่ขนานกับพื้นผิวของตัวปล่อยพลังงานปกติ ของอิเล็กตรอน ε _n (บางครั้งเรียกว่า "พลังงานไปข้างหน้า") จะถูกกำหนดโดย

${\displaystyle \;\epsilon _{\mathrm {n} }=\epsilon -K_{\mathrm {p} }.}$

16

มีการแบ่งประเภทการกระจายพลังงานเชิงทฤษฎีออกเป็นสองประเภท ได้แก่_การกระจายพลังงานปกติ (NED) ซึ่งแสดงให้เห็นว่าพลังงาน εn กระจายตัวอย่างไรทันทีหลังจากการปล่อย (กล่าวคือ ทันทีที่อยู่นอกกำแพงอุโมงค์) และการกระจายพลังงานรวมซึ่งแสดงให้เห็นว่าพลังงานรวมεกระจายตัวอย่างไร เมื่อใช้ระดับเฟอร์มิของตัวปล่อยเป็นระดับศูนย์อ้างอิง ทั้งεและεn สามารถเป็น _ได้ทั้งค่าบวกหรือค่าลบ

การทดลองวิเคราะห์พลังงานได้ดำเนินการกับตัวปล่อยสนามตั้งแต่ทศวรรษ 1930 อย่างไรก็ตาม ในช่วงปลายทศวรรษ 1950 เท่านั้นที่ตระหนักได้ (โดย Young และ Mueller ^{[ 31 ]} [,YM58]) ว่าการทดลองเหล่านี้วัดการกระจายพลังงานทั้งหมดเสมอ ซึ่งปัจจุบันมักจะแสดงด้วยj ( ε ) สิ่งนี้เป็นจริง (หรือเกือบเป็นจริง) เมื่อการปล่อยมาจากส่วนที่ยื่นออกมาเล็กน้อยที่ช่วยเพิ่มสนามบนพื้นผิวเรียบ^{[ 34 ]}

หากต้องการทราบวิธีการคำนวณการกระจายพลังงานทั้งหมดภายในกรอบของแบบจำลองอิเล็กตรอนอิสระของ Sommerfeldโปรดดูแผนภาพพื้นที่พลังงาน PT (PT="parallel-total")

_{แผนภาพ}นี้แสดง "พลังงานจลน์ขนาน" Kpบนแกนแนวนอนและพลังงานรวมεบนแกนแนวตั้ง อิเล็กตรอนภายในโลหะส่วนใหญ่มักมีค่าKpและ_εที่อยู่ภายในพื้นที่แรเงาอ่อนๆ สามารถแสดงได้ว่าแต่ละองค์ประกอบ dεdKp ของปริภูมิ_{พลังงาน}นี้มีส่วนช่วยต่อความหนาแน่นกระแสอิเล็กตรอนที่ตกกระทบภายในขอบเขตของตัวปล่อย^{[ 73 ]}ในที่นี้zSคือค่าคงที่สากล (ในที่นี้เรียกว่าความหนาแน่น_ของแหล่งจ่ายSommerfeld ): ${\displaystyle z_{\mathrm {S} }f_{\mathrm {FD} }\mathrm {d} {\it {\epsilon }}\mathrm {d} K_{\mathrm {p} }}$

${\displaystyle z_{\mathrm {S} }=4\mathrm {\pi } em/h_{\mathrm {P} }^{3}=1.618311\times 10^{14}\,{\rm {{A}\,m^{-2}\,eV^{-2},}}}$

17

และเป็นฟังก์ชันการกระจายแบบเฟอร์มิ-ดิแรก : ${\displaystyle f_{\mathrm {FD} }}$

${\displaystyle \,f_{\mathrm {FD} }(\epsilon )=1/[1+\exp(\epsilon /k_{\mathrm {B} }T)],}$

18

โดยที่Tคืออุณหภูมิทางเทอร์โมไดนามิกและk _Bคือค่าคงที่ของโบลต์ซมันน์

องค์ประกอบของความหนาแน่นกระแสไฟฟ้าตกกระทบนี้จะเห็นสิ่งกีดขวางที่มีความสูงhซึ่งกำหนดโดย:

${\displaystyle \,h=\phi -\epsilon +K_{\mathrm {p} }}$

19a

ความน่าจะเป็นในการหลบหนีที่สอดคล้องกันคือD ( h , F ) : ซึ่งสามารถขยาย (โดยประมาณ) ได้ในรูปแบบ^{[ 73 ]}

${\displaystyle D(h,F)\approx D_{\mathrm {F} }\;\exp(\epsilon /d_{\mathrm {F} })\;\exp(-K_{\mathrm {p} }/d_{\mathrm {F} }),}$

19b

โดยที่D _Fคือความน่าจะเป็นในการหลุดออกของสิ่งกีดขวางที่มีความสูงไม่ลดลงเท่ากับฟังก์ชันงานเฉพาะที่φดังนั้น องค์ประกอบ d ε d K _pจึงมีส่วนช่วยในความหนาแน่นของกระแสการปล่อย และการมีส่วนร่วมทั้งหมดที่เกิดจากอิเล็กตรอนตกกระทบที่มีพลังงานในช่วงพื้นฐาน d εจึงเป็นดังนี้ ${\displaystyle z_{\mathrm {S} }f_{\mathrm {FD} }D\mathrm {d} {\it {\epsilon }}\mathrm {d} K_{\mathrm {p} }}$

${\displaystyle j(\epsilon )\mathrm {d} \epsilon =z_{\mathrm {S} }f_{\mathrm {FD} }\left[\int D\mathrm {d} K_{\mathrm {p} }\right]\mathrm {d} \epsilon =z_{\mathrm {S} }f_{\mathrm {FD} }D_{\mathrm {F} }\exp(\epsilon /d_{\mathrm {F} })\left[\int _{0}^{\infty }\exp(-K_{\mathrm {p} }/d_{\mathrm {F} })\;\mathrm {d} K_{\mathrm {p} }\right]\mathrm {d} \epsilon ,}$

20

โดยหลักการแล้ว การอินทิเกรตจะกระทำไปตามแถบที่แสดงในแผนภาพ แต่ในทางปฏิบัติสามารถขยายไปถึงอนันต์ได้ เมื่อความกว้างของการสลายตัวd _{F มีค่าน้อยกว่า} พลังงานเฟอร์มิK _Fมาก(ซึ่งเป็นกรณีเสมอสำหรับโลหะ) ผลลัพธ์ของการอินทิเกรตสามารถเขียนได้ดังนี้:

${\displaystyle \,j(\epsilon )=z_{\mathrm {S} }d_{\mathrm {F} }D_{\mathrm {F} }f_{\mathrm {FD} }(\epsilon )\exp(\epsilon /d_{\mathrm {F} })=j_{\mathrm {F} }f_{\mathrm {FD} }(\epsilon )\exp(\epsilon /d_{\mathrm {F} }),}$

21

โดยที่และเป็นค่าที่เหมาะสมสำหรับสิ่งกีดขวางที่มีความสูงh ที่ไม่ลดลง ซึ่งเท่ากับฟังก์ชันงานเฉพาะที่φและถูกกำหนดโดยสมการนี้ ${\displaystyle d_{\mathrm {F} }}$${\displaystyle D_{\mathrm {F} }}$${\displaystyle j_{\mathrm {F} }[\,=z_{\mathrm {S} }d_{\mathrm {F} }D_{\mathrm {F} }]}$

สำหรับตัวปล่อยที่กำหนด โดยมีสนามที่กำหนดที่ใช้กับมันจะไม่ขึ้นอยู่กับFดังนั้นสมการ (21) แสดงให้เห็นว่ารูปร่างของการกระจาย (เมื่อεเพิ่มขึ้นจากค่าลบที่อยู่ต่ำกว่าระดับเฟอร์มิ) เป็นเลขชี้กำลังที่เพิ่มขึ้น คูณด้วยฟังก์ชันการกระจาย FD ซึ่งสร้างรูปร่างการกระจายที่คุ้นเคยซึ่ง Young ทำนายไว้เป็นครั้งแรก^{[ 31 ]}ที่อุณหภูมิต่ำจะเปลี่ยนจาก 1 เป็น 0 อย่างรวดเร็วในบริเวณใกล้เคียงระดับเฟอร์มิ และFWHMของการกระจายจะได้รับจาก: ${\displaystyle j_{\mathrm {F} }}$${\displaystyle f_{\mathrm {FD} }(\epsilon )}$

${\displaystyle \mathrm {FWHM} \,=d_{\mathrm {F} }\ln(2)\approx 0.693\,d_{\mathrm {F} }.}$

22

ข้อเท็จจริงที่ว่าการกระจายพลังงานรวมของ CFE ที่ได้จากการทดลองมีรูปร่างพื้นฐานเช่นนี้ เป็นการยืนยันเชิงทดลองที่ดีว่าอิเล็กตรอนในโลหะเป็นไปตามสถิติของเฟอร์มิ-ดิแรก

สมการประเภทฟาวเลอร์-นอร์ดไฮม์ ใน รูปแบบ J – Fเป็นสมการทางทฤษฎี (โดยประมาณ) ที่ได้มาเพื่ออธิบายความหนาแน่นกระแสไฟฟ้าเฉพาะที่Jที่ปล่อยออกมาจากสถานะอิเล็กตรอนภายในในแถบนำไฟฟ้าของโลหะก้อนความหนาแน่นกระแสไฟฟ้าที่ปล่อยออกมา (ECD) Jสำหรับบริเวณเล็กๆ ที่สม่ำเสมอของพื้นผิวที่ปล่อยออกมา มักจะแสดงเป็นฟังก์ชันJ ( φ , F )ของฟังก์ชันงานเฉพาะที่φและสนามกั้นเฉพาะที่Fที่บ่งบอกลักษณะของบริเวณเล็กๆ นั้น สำหรับพื้นผิวที่โค้งมากJอาจขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ที่ใช้ในการอธิบายความโค้งของพื้นผิวด้วย

เนื่องจากสมมติฐานทางกายภาพที่ทำในการพิสูจน์ครั้งแรก^{[ 1 ]}คำว่าสมการประเภท Fowler–Nordheimจึงถูกใช้มานานแล้วเฉพาะกับสมการที่อธิบาย ECD ที่อุณหภูมิศูนย์เท่านั้น อย่างไรก็ตาม เป็นการดีกว่าที่จะอนุญาตให้ชื่อนี้รวมถึงสมการที่ปรับเปลี่ยนเล็กน้อย (ที่กล่าวถึงด้านล่าง) ซึ่งใช้ได้กับอุณหภูมิจำกัดภายในระบอบการปล่อย CFE

^{ความหนาแน่นกระแสไฟฟ้าจะวัดได้ดีที่สุดใน หน่วย} A/m² ความหนาแน่นกระแสไฟฟ้ารวมที่ปล่อยออกมาจากบริเวณสม่ำเสมอขนาดเล็กสามารถหาได้โดยการอินทิเกรตการกระจายพลังงานรวม_j ( ε )เทียบกับพลังงานอิเล็กตรอนรวมεที่อุณหภูมิศูนย์_{ฟังก์ชันการกระจาย Fermi–Dirac fFD =} 1 สำหรับ ε < 0และ fFD = 0สำหรับε > 0ดังนั้น ECD ที่ 0 K, J0จึงได้จากสมการ (18) โดย

${\displaystyle J_{0}=z_{\mathrm {S} }d_{\mathrm {F} }D_{\mathrm {F} }\int _{-\infty }^{0}\exp(\epsilon /d_{\mathrm {F} })\;\mathrm {d} \epsilon \;=\;z_{\mathrm {S} }{d_{\mathrm {F} }}^{2}D_{\mathrm {F} }\;=\;Z_{\mathrm {F} }D_{\mathrm {F} },}$

23

โดยที่คือแหล่งจ่ายที่มีประสิทธิภาพสำหรับสถานะ Fและถูกกำหนดโดยสมการนี้ ตามหลักแล้ว ขีดจำกัดล่างของอินทิกรัลควรจะเป็น − K _Fโดยที่K _Fคือพลังงานเฟอร์มิแต่ถ้าd _{F น้อยกว่า} K _Fมาก (ซึ่งเป็นกรณีเสมอสำหรับโลหะ) พลังงานที่ต่ำกว่า K _Fจะไม่มีส่วนสำคัญต่ออินทิก รัล และสามารถขยายไปถึง –∞ ได้ในเชิงรูปธรรม ${\displaystyle Z_{\mathrm {F} }\;[=z_{\mathrm {S} }{d_{\mathrm {F} }}^{2}]}$

ผลลัพธ์ (23) สามารถตีความทางกายภาพที่ง่ายและมีประโยชน์ได้โดยอ้างอิงถึงรูปที่ 1 สถานะอิเล็กตรอนที่จุด "F" บนแผนภาพ ("สถานะ F") คือ "สถานะเคลื่อนที่ไปข้างหน้าที่ระดับเฟอร์มิ" (กล่าวคือ อธิบายอิเล็กตรอนระดับเฟอร์มิที่เคลื่อนที่ตั้งฉากและเข้าหาพื้นผิวตัวปล่อย) ที่ 0 K อิเล็กตรอนในสถานะนี้จะเห็นกำแพงที่มีความสูงφ ที่ไม่ลดลง และมีความน่าจะเป็นในการหลุดออกD _Fที่สูงกว่าสถานะอิเล็กตรอนที่ถูกครอบครองอื่นๆ ดังนั้นจึงสะดวกที่จะเขียนJ ₀เป็นZ _F D _Fโดยที่ "แหล่งจ่ายที่มีประสิทธิภาพ" Z _Fคือความหนาแน่นกระแสที่ต้องถูกส่งผ่านโดยสถานะ F ภายในโลหะหากการปล่อยทั้งหมดออกมาจากสถานะ F

ในทางปฏิบัติ ความหนาแน่นกระแสไฟฟ้าส่วนใหญ่มาจากกลุ่มสถานะที่มีพลังงานใกล้เคียงกับสถานะ F ซึ่งส่วนใหญ่จะอยู่ในบริเวณที่มีการแรเงาเข้มในแผนภาพปริภูมิพลังงาน เนื่องจากสำหรับแบบจำลองอิเล็กตรอนอิสระการมีส่วนร่วมของความหนาแน่นกระแสไฟฟ้าเป็นสัดส่วนโดยตรงกับพื้นที่ในปริภูมิพลังงาน (โดยมีความหนาแน่นของแหล่งจ่ายของ Sommerfeld z _Sเป็นค่าคงที่ของสัดส่วน) จึงเป็นประโยชน์ที่จะคิดว่า ECD มาจากสถานะอิเล็กตรอนในพื้นที่ขนาดd _F ² (วัดเป็น eV ² ) ในแผนภาพปริภูมิพลังงาน กล่าวคือ เป็นประโยชน์ที่จะคิดว่า ECD มาจากสถานะในบริเวณที่มีการแรเงาเข้มในรูปที่ 1 (การประมาณนี้จะค่อยๆ แย่ลงเมื่ออุณหภูมิเพิ่มขึ้น)

Z _Fสามารถเขียนในรูปแบบอื่นได้เช่นกัน:

${\displaystyle Z_{\mathrm {F} }=z_{\mathrm {S} }{d_{\mathrm {F} }}^{2}={\lambda _{d}}^{2}(z_{\mathrm {S} }e^{2}g^{-2})\phi ^{-1}F^{2}={\lambda _{d}}^{2}a\phi ^{-1}F^{2},}$

24

โดยที่ค่าคงที่สากลaซึ่งบางครั้งเรียกว่าค่าคงที่ฟาวเลอร์-นอร์ดไฮม์ตัวแรกมีค่าดังนี้

${\displaystyle a=z_{\mathrm {S} }e^{2}g^{-2}=e^{3}/8\pi h_{\mathrm {P} }\approx \;1.541434\times 10^{-6}\;\mathrm {A\;eV} \;{\mathrm {V} }^{-2}.}$

25

สิ่งนี้แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าปัจจัยก่อนเลขชี้กำลังaφ ⁻¹ F ²ที่ปรากฏในสมการประเภท Fowler–Nordheim เกี่ยวข้องกับการจัดหาอิเล็กตรอนที่มีประสิทธิภาพให้กับพื้นผิวตัวปล่อยในแบบจำลองอิเล็กตรอนอิสระ

เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ใช้ได้สำหรับอุณหภูมิที่ไม่เป็นศูนย์ เราสังเกตจากสมการ (23) ว่าz _S d _F D _F = J ₀ / d _Fดังนั้นเมื่ออินทิเกรตสมการ (21) ที่อุณหภูมิที่ไม่เป็นศูนย์ จากนั้น – เมื่อทำการแทนที่นี้และใส่รูปแบบที่ชัดเจนของฟังก์ชันการกระจาย Fermi–Dirac – ECD Jสามารถเขียนได้ในรูปแบบ:

${\displaystyle J=J_{0}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\exp(\epsilon /d_{\mathrm {F} })}{1+\exp[(\epsilon /d_{\mathrm {F} })(d_{\mathrm {F} }/k_{\mathrm {B} }T)]}}\mathrm {d} (\epsilon /d_{\mathrm {F} })=\lambda _{T}J_{0},}$

26

โดยที่λ _Tคือปัจจัยการแก้ไขอุณหภูมิที่กำหนดโดยอินทิกรัล อินทิกรัลสามารถแปลงได้โดยการเขียนและจากนั้นให้เป็นผลลัพธ์มาตรฐาน: ^{[ 74 ]}${\displaystyle w=d_{\mathrm {F} }/k_{\mathrm {B} }T}$${\displaystyle x=\epsilon /d_{\mathrm {F} }}$${\displaystyle u=\exp(x)}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {{\mathrm {e} }^{x}}{1+{\mathrm {e} }^{wx}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} u}{1+u^{w}}}={\frac {\pi }{w\sin(\pi /w)}}.}$

27

เงื่อนไขนี้ใช้ได้สำหรับw > 1 (นั่นคือd _F / k _B T > 1 ) ดังนั้น สำหรับอุณหภูมิที่k _B T < d _F :

${\displaystyle \lambda _{T}={\frac {\pi k_{\mathrm {B} }T/d_{\mathrm {F} }}{\sin(\pi k_{\mathrm {B} }T/d_{\mathrm {F} })}}\approx 1+{\frac {1}{6}}\left({\frac {\pi k_{\mathrm {B} }T}{d_{\mathrm {F} }}}\right)^{2},}$

28

โดยที่การขยายจะใช้ได้ก็ต่อเมื่อ ( π k _B T / d _F ) ≪ 1 เท่านั้น ค่าตัวอย่าง (สำหรับφ = 4.5 eV , F = 5 V/nm , T = 300 K ) คือλ _T = 1.024ความคิดปกติคือ ในระบอบ CFE นั้นλ _Tจะมีค่าน้อยเสมอเมื่อเทียบกับความไม่แน่นอนอื่นๆ และโดยทั่วไปแล้วไม่จำเป็นต้องรวมไว้ในสูตรสำหรับความหนาแน่นกระแสที่อุณหภูมิห้องอย่างชัดเจน

ในทางปฏิบัติ ระบอบการปล่อยโลหะจะถูกกำหนดโดยช่วงของสนามกั้นFและอุณหภูมิTซึ่งสมการการปล่อยที่กำหนดนั้นมีความเหมาะสมทางคณิตศาสตร์ เมื่อสนามกั้นFสูงพอที่ระบอบ CFE จะทำงานสำหรับการปล่อยโลหะที่ 0 K เงื่อนไขk _B T < d _Fจะให้ขอบเขตบนอย่างเป็นทางการ (ในอุณหภูมิ) สำหรับระบอบการปล่อย CFE อย่างไรก็ตาม มีการโต้แย้งว่า (เนื่องจากการประมาณที่ทำไว้ที่อื่นในการพิสูจน์) เงื่อนไขk _B T < 0.7 d _Fเป็นขีดจำกัดการทำงานที่ดีกว่า ซึ่งสอดคล้องกับ ค่า λ _Tประมาณ 1.09 และ (สำหรับกรณีตัวอย่าง) ขีดจำกัดอุณหภูมิบนของระบอบ CFE ประมาณ 1770 K ขีดจำกัดนี้เป็นฟังก์ชันของสนามกั้น^{[ 33 ] [ 72 ]}

โปรดทราบว่าผลลัพธ์ (28) ในที่นี้ใช้ได้กับสิ่งกีดขวางที่มีรูปร่างใดๆ ก็ได้ (ถึงแม้ว่าd _Fจะแตกต่างกันสำหรับสิ่งกีดขวางที่แตกต่างกันก็ตาม)

ผลลัพธ์ (23) ยังนำไปสู่ความเข้าใจบางส่วนเกี่ยวกับสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อพิจารณาผลกระทบระดับอะตอม และโครงสร้างแถบจะไม่เหมือนอิเล็กตรอนอิสระอีกต่อไป เนื่องจากการมีอยู่ของแกนไอออนอะตอม อุปสรรคพื้นผิว และฟังก์ชันคลื่น อิเล็กตรอน ที่พื้นผิวจะแตกต่างกัน สิ่งนี้จะส่งผลต่อค่าของปัจจัยการแก้ไข ปัจจัยนำหน้าPและ (ในระดับจำกัด) ปัจจัยการแก้ไขλdการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้จะส่งผลต่อค่าของพารามิเตอร์_DFและ (ในระดับจำกัด) พารามิเตอร์dF สำหรับโลหะจริง ความหนาแน่น _{ของ แหล่ง จ่าย}จะแตกต่างกันไปตามตำแหน่งในพื้นที่พลังงาน และค่าที่จุด "F" อาจแตกต่างจากความหนาแน่นของแหล่งจ่ายของ Sommerfeld เราสามารถพิจารณาผลกระทบนี้ได้โดยการแนะนำปัจจัยการแก้ไขโครงสร้างแถบอิเล็กตรอนλB _ลงในสมการ (23) Modinos ได้กล่าวถึงวิธีการคำนวณปัจจัยนี้: เขาประเมินว่าน่าจะอยู่ระหว่าง 0.1 ถึง 1 อาจอยู่นอกขอบเขตเหล่านี้ แต่ไม่น่าจะอยู่นอกช่วง0.01 < λ _B < 10 ^{[ 75 ]}${\displaystyle \nu }$

โดยการกำหนดปัจจัยการแก้ไขอุปทานโดยรวมλ _Zเท่ากับλ _T λ _B λ _d ²และการรวมสมการข้างต้น เราจะได้สมการประเภท Fowler–Nordheim ที่สมบูรณ์ทางกายภาพที่เรียกว่า^{[ 76 ]}

${\displaystyle J\;=\lambda _{Z}a\phi ^{-1}F^{2}P_{\mathrm {F} }\exp[-\nu _{\mathrm {F} }b\phi ^{3/2}/F],}$

29

โดยที่[= ( φ , F )] คือตัวประกอบการแก้ไขเลขชี้กำลังสำหรับกำแพงที่มีความสูงφ ที่ไม่ลดลง นี่คือสมการทั่วไปที่สุดของประเภท Fowler–Nordheim สมการอื่นๆ ในตระกูลนี้ได้มาจากการแทนที่นิพจน์เฉพาะสำหรับตัวประกอบการแก้ไขทั้งสามตัว, P _Fและλ _Zที่มีอยู่ สมการประเภท Fowler–Nordheim ขั้นพื้นฐานที่ปรากฏในตำราเรียนระดับปริญญาตรีเกี่ยวกับการปล่อยสนาม ได้มาจากการใส่λ _Z → 1 , P _F → 1 , → 1 ; ซึ่งไม่ให้การทำนายเชิงปริมาณที่ดีเพราะทำให้กำแพงแข็งแกร่งกว่าที่เป็นจริงทางกายภาพ สมการประเภท Fowler–Nordheim มาตรฐานที่เรียกว่านี้ ซึ่งเดิมพัฒนาโดย Murphy และ Good ^{[ 72 ]}และถูกใช้มากในเอกสารทางวิชาการในอดีต ได้มาจากการใส่λ _Z → t _F ⁻² , P _F → 1 , → v _Fโดยที่v _Fคือv ( f ) โดยที่fคือค่าของf _hที่ได้จากการใส่h = φและt _Fคือพารามิเตอร์ที่เกี่ยวข้อง (มีค่าใกล้เคียงกับหนึ่ง) ^{[ 69 ]}${\displaystyle {\nu }_{\mathrm {F} }}$${\displaystyle {\nu }_{\mathrm {F} }}$${\displaystyle {\nu }_{\mathrm {F} }}$${\displaystyle {\nu }_{\mathrm {F} }}$${\displaystyle {\nu }_{\mathrm {F} }}$

ภายในทฤษฎีที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้นที่อธิบายไว้ที่นี่ ปัจจัยt _F ⁻²เป็นส่วนประกอบของปัจจัยการแก้ไขλ _d ² [ดู^{[ 67 ]}และโปรดทราบว่าλ _d ²ถูกกำหนดโดยλ _D ที่นั่น] การระบุ t _F ⁻²แยกต่างหากต่อไปนั้นไม่มีคุณค่าอย่างมีนัยสำคัญ ในสถานะความรู้ปัจจุบัน การประมาณที่ดีที่สุดสำหรับการสร้างแบบจำลอง CFE จากโลหะโดยใช้สมการประเภท Fowler–Nordheim แบบง่ายนั้นได้มาจากการใส่λ _Z → 1 , P _F → 1 , → v ( f )ซึ่งจะสร้างสมการประเภท Fowler–Nordheim ที่ Dyke และ Dolan ใช้ในปี 1956 ขึ้นมาใหม่ และสามารถเรียกว่า "สมการประเภท Fowler–Nordheim มาตรฐานแบบง่าย" ${\displaystyle {\nu }_{\mathrm {F} }}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมการมาตรฐานแบบง่ายของฟาวเลอร์-นอร์ดไฮม์ที่แนะนำนี้และสูตรที่เกี่ยวข้อง มีดังนี้:

${\displaystyle J=\;a{\phi ^{-1}}F^{2}\exp[-v(f)\;b\phi ^{3/2}/F],}$

30ก

${\displaystyle a\approx \;1.541434\times 10^{-6}\;\mathrm {A\;eV} \;{\mathrm {V} }^{-2};\;\;\;\;\;b\approx 6.830890\;{\mathrm {eV} }^{-3/2}\;\mathrm {V} \;{\mathrm {nm} }^{-1},}$

30b

${\displaystyle v(f)\approx 1-f+(1/6)f\ln f}$

30c

${\displaystyle f=\;F/F_{\phi }=(e^{3}/4\pi \epsilon _{0})(F/{\phi }^{2})=(1.439964\;{\mathrm {eV} }^{2}\;{\mathrm {V} }^{-1}\;\mathrm {nm} )(F/{\phi }^{2}).}$

30 วัน

โดยที่F _φในที่นี้คือสนามที่จำเป็นในการลดค่าของสิ่งกีดขวาง Schottky–Nordheim ที่มีความสูงไม่ลดลงเท่ากับฟังก์ชันงานเฉพาะที่φ ให้เป็นศูนย์ และfคือสนามสิ่งกีดขวางที่ปรับขนาดสำหรับสิ่งกีดขวาง Schottky–Nordheim ที่มีความสูงไม่ลดลงφ [ปริมาณf นี้ สามารถเขียนได้อย่างแม่นยำยิ่งขึ้นเป็นf _φ ^SNแต่จะทำให้สมการประเภท Fowler–Nordheim นี้ดูไม่รกหากใช้แบบแผนที่ว่าf ง่ายๆ หมายถึงปริมาณที่แสดงด้วยf _φ ^SNใน^{[ 69 ]}สมการ (2.16)] สำหรับกรณีตัวอย่าง ( φ = 4.5 eV , F = 5 V/nm ) f ≈ 0.36และv ( f ) ≈ 0.58ช่วงที่ใช้งานได้จริงสำหรับพารามิเตอร์เหล่านี้จะกล่าวถึงเพิ่มเติมใน^{[ 77 ]}

โปรดทราบว่าตัวแปรf (สนามกั้นที่ปรับขนาดแล้ว) ไม่เหมือนกับตัวแปรy (พารามิเตอร์ Nordheim) ที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในเอกสารการปล่อยสนามในอดีต และ " v ( f )" ไม่ได้มีความหมายและค่าทางคณิตศาสตร์เหมือนกับปริมาณ " v ( y )" ที่ปรากฏในเอกสารการปล่อยสนาม ในบริบทของทฤษฎีที่แก้ไขแล้วที่อธิบายไว้ที่นี่ สูตรสำหรับv ( y ) และตารางค่าสำหรับv ( y ) ควรถูกละเลย หรือถือว่าเป็นค่าของv ( f ^1/2 ) หากต้องการ ค่าที่แม่นยำยิ่งขึ้นสำหรับ v ( f ) ^{[ 69 ]}จะให้สูตรที่ให้ค่าสำหรับv ( f ) ด้วยความแม่นยำทางคณิตศาสตร์สัมบูรณ์ที่ดีกว่า 8×10 ⁻¹⁰อย่างไรก็ตาม สูตรการประมาณค่า (30c) ข้างต้น ซึ่งให้ค่าที่ถูกต้องภายในความแม่นยำทางคณิตศาสตร์สัมบูรณ์ที่ดีกว่า 0.0025 ควรให้ค่าที่แม่นยำเพียงพอสำหรับวัตถุประสงค์ทางเทคโนโลยีทั้งหมด^{[ 69 ]}

จำเป็นต้องมีบันทึกทางประวัติศาสตร์เกี่ยวกับวิธีการหาอนุพันธ์ของสมการประเภท Fowler–Nordheim มีแนวทางที่เป็นไปได้หลายวิธีในการหาอนุพันธ์ของสมการเหล่านี้โดยใช้ทฤษฎีอิเล็กตรอนอิสระแนวทางที่ใช้ในที่นี้ได้รับการแนะนำโดย Forbes ในปี 2004 และอาจอธิบายได้ว่า "การรวมผ่านการกระจายพลังงานทั้งหมด โดยใช้พลังงานจลน์ขนานK _pเป็นตัวแปรแรกของการรวม" ^{[ 73 ]}โดยพื้นฐานแล้ว มันเป็นอิเล็กตรอนอิสระที่เทียบเท่ากับขั้นตอนของ Modinos ^{[ 33 ] [ 75 ]} (ในการบำบัดทางกลศาสตร์ควอนตัมขั้นสูงกว่า) ของ "การรวมเหนือโซน Brillouin ของพื้นผิว" ในทางตรงกันข้าม การบำบัดอิเล็กตรอนอิสระของ CFE โดย Young ในปี 1959 ^{[ 31 ]} Gadzuk และ Plummer ในปี 1973 ^{[ 34 ]}และ Modinos ในปี 1984 ^{[ 33 ]}ก็รวมเข้าด้วยกันผ่านการกระจายพลังงานทั้งหมดเช่นกัน แต่ใช้พลังงานปกติε _n (หรือปริมาณที่เกี่ยวข้อง) เป็นตัวแปรแรกของการรวม

นอกจากนี้ยังมีแนวทางเก่ากว่า ซึ่งอิงตามบทความสำคัญของ Nordheim ในปี 1928 ^{[ 78 ]}ที่กำหนดปัญหาแตกต่างออกไป จากนั้นใช้K _p ก่อน แล้วจึง ใช้ ε _n (หรือปริมาณที่เกี่ยวข้อง) เป็นตัวแปรของการอินทิเกรต ซึ่งเรียกว่า "การอินทิเกรตผ่านการกระจายพลังงานปกติ" แนวทางนี้ยังคงถูกใช้โดยผู้เขียนบางคน แม้ว่าจะมีข้อดีบางประการ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อกล่าวถึงปรากฏการณ์เรโซแนนซ์ แต่ก็จำเป็นต้องอินทิเกรตฟังก์ชันการกระจาย Fermi–Dirac ในขั้นตอนแรกของการอินทิเกรต สำหรับโครงสร้างแถบอิเล็กตรอนที่ไม่เหมือนอิเล็กตรอนอิสระ สิ่งนี้อาจนำไปสู่คณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนและมีข้อผิดพลาดได้ง่ายมาก (เช่นในงานของ Stratton เกี่ยวกับสารกึ่งตัวนำ ) ^{[ 79 ]}ยิ่งไปกว่านั้น การอินทิเกรตผ่านการกระจายพลังงานปกติไม่ได้สร้างการกระจายพลังงานอิเล็กตรอนที่วัดได้จากการทดลอง

โดยทั่วไปแล้ว วิธีการที่ใช้ในที่นี้ดูเข้าใจง่ายกว่า และนำไปสู่คณิตศาสตร์ที่เรียบง่ายกว่า

นอกจากนี้ หลักการยังใกล้เคียงกับแนวทางที่ซับซ้อนกว่าที่ใช้เมื่อจัดการกับของแข็งผลึกจริง โดยขั้นตอนแรกคือการรวมส่วนประกอบของ ECD เหนือพื้นผิวพลังงานคงที่ใน ปริภูมิ เวกเตอร์คลื่น ( k -space) ^{[ 34 ]}หรือการรวมส่วนประกอบเหนือโซนบริลลูอินพื้นผิวที่เกี่ยวข้อง_[ ^{33 ] แนวทาง}ของ Forbes เทียบเท่ากับการรวมเหนือพื้นผิวทรงกลมในk -space โดยใช้ตัวแปรKpเพื่อกำหนดองค์ประกอบการรวมแบบวงแหวนที่มีสมมาตรทรงกระบอกรอบแกนในทิศทางตั้งฉากกับพื้นผิวที่ปล่อย หรือการรวมเหนือโซนบริลลูอินพื้นผิว (ที่ขยาย) โดยใช้องค์ประกอบวงแหวนวงกลม

ส่วนก่อนหน้านี้อธิบายวิธีการหาอนุพันธ์ของสมการประเภท Fowler–Nordheim อย่างเคร่งครัด สมการเหล่านี้ใช้ได้เฉพาะกับ CFE จากโลหะจำนวนมากเท่านั้น แนวคิดในส่วนต่อไปนี้ใช้ได้กับ CFE โดยทั่วไปมากกว่า แต่จะใช้สมการ (30) เพื่อแสดงให้เห็น

สำหรับ CFE (Circular Electron Electron Element) การวิเคราะห์ทางทฤษฎีพื้นฐานจะให้ความสัมพันธ์ระหว่างความหนาแน่นกระแสการปล่อยประจุเฉพาะ ที่ Jและสนามกั้นเฉพาะที่Fณ ตำแหน่งใดตำแหน่งหนึ่งบนพื้นผิวการปล่อยประจุ การทดลองจะวัดกระแสการปล่อยประจุiจากส่วนที่กำหนดไว้ของพื้นผิวการปล่อยประจุ โดยเป็นฟังก์ชันของแรงดันไฟฟ้าVที่ใช้กับขั้วไฟฟ้าตรงข้าม เพื่อเชื่อมโยงตัวแปรเหล่านี้กับJและFจึงมีการใช้สมการเสริม

ค่าตัวประกอบการแปลงแรงดันไฟฟ้าเป็นสนามกั้นβถูกกำหนดโดย:

${\displaystyle F=\;\beta V,}$

31

ค่าของFจะแตกต่างกันไปตามตำแหน่งบนพื้นผิวของตัวปล่อย และค่าของβก็จะเปลี่ยนแปลงไปตามนั้นด้วย

สำหรับตัวปล่อยโลหะ ค่า βสำหรับตำแหน่งที่กำหนดจะคงที่ (ไม่ขึ้นกับแรงดันไฟฟ้า) ภายใต้เงื่อนไขต่อไปนี้: (1) อุปกรณ์เป็นแบบ "ไดโอด" โดยมีเพียงอิเล็กโทรดเท่านั้น คือ ตัวปล่อยและชุดของ "สภาพแวดล้อม" ซึ่งทุกส่วนมีแรงดันไฟฟ้าเท่ากัน (2) ไม่มีประจุ สุญญากาศที่ปล่อยออกมาจากสนาม (FEVSC) ที่สำคัญ (ซึ่งจะเป็นจริงยกเว้นที่ความหนาแน่นกระแสการปล่อยสูงมาก ประมาณ 10 ⁹ A/m ²หรือสูงกว่า^{[ 27 ] [ 80 ]} ) (3) ไม่มี "สนามแพทช์" ที่สำคัญ^{[ 63 ]}อันเป็นผลมาจากความไม่สม่ำเสมอในฟังก์ชันงานเฉพาะที่ (โดยปกติจะถือว่าเป็นจริง แต่อาจไม่เป็นเช่นนั้นในบางสถานการณ์) สำหรับอโลหะ ผลกระทบทางกายภาพที่เรียกว่า "การแทรกซึมของสนาม" และ " การโค้งงอของแถบ " [M084] สามารถทำให้βเป็นฟังก์ชันของแรงดันไฟฟ้าที่ใช้ แม้ว่า – น่าประหลาดใจ – จะมีการศึกษาผลกระทบนี้น้อยมาก

ความหนาแน่นกระแสการปล่อยJจะแตกต่างกันไปตามตำแหน่งต่างๆ บนพื้นผิวของตัวปล่อย กระแสการปล่อยทั้งหมดiจากส่วนที่กำหนดของตัวปล่อยจะได้จากการอินทิเกรตJตลอดส่วนนั้น เพื่อให้ได้สมการง่ายๆ สำหรับi ( V ₎จะใช้วิธีการดังต่อไปนี้ เลือกจุดอ้างอิง "r" ภายในส่วนนี้ของพื้นผิวตัวปล่อย (มักจะเป็นจุดที่มีความหนาแน่นกระแสสูงสุด) และความหนาแน่นกระแสที่จุดอ้างอิงนี้จะถูกกำหนดโดยJr จากนั้นกำหนด พารามิเตอร์Ar _ซึ่งเรียกว่าพื้นที่การปล่อยสมมติ (เทียบกับจุด "r") โดย:

${\displaystyle i=A_{\mathrm {r} }J_{\mathrm {r} }=\int J\mathrm {d} A,}$

32

โดยทำการอินทิเกรตตามส่วนของตัวปล่อยสัญญาณที่สนใจ

พารามิเตอร์A _r นี้ ถูกนำมาใช้ในทฤษฎี CFE โดย Stern, Gossling และ Fowler ในปี พ.ศ. 2462 (ซึ่งเรียกมันว่า "พื้นที่เฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก") ^{[ 16 ]}สำหรับตัวปล่อยประจุในทางปฏิบัติ ความหนาแน่นกระแสการปล่อยที่ใช้ในสมการประเภท Fowler–Nordheim จะเป็นความหนาแน่นกระแสที่จุดอ้างอิงบางจุดเสมอ (แม้ว่าโดยปกติจะไม่ได้ระบุไว้ก็ตาม) ตามธรรมเนียมที่ได้รับการยอมรับมานานแล้ว จะใช้สัญลักษณ์J แทนความหนาแน่นกระแสอ้างอิงนี้ และใช้สัญลักษณ์Fและβ แทนสนามเฉพาะที่และปัจจัยการแปลงที่สอดคล้องกัน โดย ไม่มีตัวห้อย "r" ที่ใช้ข้างต้น ในส่วนต่อไปนี้จะใช้ธรรมเนียมนี้

พื้นที่การปล่อยตามสมมติฐานA _rมักจะเป็นฟังก์ชันของสนามท้องถิ่นอ้างอิง (และด้วยเหตุนี้จึงเป็นแรงดันไฟฟ้า) ^{[ 30 ]}และในบางสถานการณ์อาจเป็นฟังก์ชันที่สำคัญของอุณหภูมิ

เนื่องจากA _rมีนิยามทางคณิตศาสตร์ จึงไม่จำเป็นต้องสอดคล้องกับพื้นที่ที่สังเกตเห็นการปล่อยรังสีจากแหล่งกำเนิดรังสีแบบจุดเดียวในกล้องจุลทรรศน์อิเล็กตรอนแบบสนาม (แบบปล่อยรังสี)สำหรับแหล่งกำเนิดรังสีที่มีพื้นที่ขนาดใหญ่ ซึ่งประกอบด้วยจุดปล่อยรังสีจำนวนมากA _{r จะมีค่าน้อยกว่าพื้นที่ทางเรขาคณิต "ระดับมหภาค" (} A _M ) ของแหล่งกำเนิดรังสีที่สังเกตเห็นได้ด้วยตาเปล่า มาก ๆ (ดูด้านล่าง)

เมื่อรวมสมการเสริมเหล่านี้เข้ากับสมการ (30a) จะได้

${\displaystyle i=\;A_{\mathrm {r} }a{\phi ^{-1}}{\beta }^{2}V^{2}\exp[-v(f)\;b\phi ^{3/2}/\beta V],}$

33

นี่คือสมการมาตรฐานแบบ Fowler–Nordheim ใน รูปแบบ i – Vสมการ "สมบูรณ์ทางกายภาพ" ที่สอดคล้องกันได้มาจากการคูณด้วย λ _Z P _F

สมการในหัวข้อก่อนหน้านี้ใช้ได้กับเครื่องปล่อยมลพิษภาคสนามทั้งหมดที่ทำงานภายใต้ระบอบ CFE อย่างไรก็ตาม การพัฒนาเพิ่มเติมจะเป็นประโยชน์สำหรับเครื่องปล่อยมลพิษพื้นที่ขนาดใหญ่ที่มีจุดปล่อยมลพิษย่อยจำนวนมาก

สำหรับตัวปล่อยรังสีดังกล่าว พื้นที่การปล่อยรังสี ตาม_{สมมติฐาน}มักจะน้อยกว่าพื้นที่ทางเรขาคณิต "ระดับมหภาค" ที่ปรากฏ (AM) ของตัวปล่อยรังสีทางกายภาพที่สังเกตได้ด้วยตาเปล่ามากพารามิเตอร์ไร้มิติαr _ซึ่งเป็นประสิทธิภาพเชิงพื้นที่ของการปล่อยรังสีสามารถกำหนดได้โดย

${\displaystyle A_{\mathrm {r} }=\;\alpha _{\mathrm {r} }A_{\mathrm {M} }.}$

34

นอกจากนี้ ยังสามารถกำหนดความหนาแน่นกระแสการปล่อย "ระดับมหภาค" (หรือ "ค่าเฉลี่ย") J _M (เฉลี่ยเหนือพื้นที่ทางเรขาคณิตA _Mของตัวปล่อย) และเชื่อมโยงกับความหนาแน่นกระแสอ้างอิงJ _rที่ใช้ข้างต้นได้ โดย

${\displaystyle J_{\mathrm {M} }=\;i/A_{\mathrm {M} }=\alpha _{\mathrm {r} }(i/A_{\mathrm {r} })=\alpha _{\mathrm {r} }J_{\mathrm {r} }.}$

35

ซึ่งนำไปสู่ ​​"เวอร์ชันพื้นที่ขนาดใหญ่" ของสมการแบบ Fowler–Nordheim มาตรฐานที่ลดรูปแล้ว ดังต่อไปนี้:

${\displaystyle J_{\mathrm {M} }=\alpha _{\mathrm {r} }a{\phi ^{-1}}F^{2}\exp[-v(f)\;b\phi ^{3/2}/F],}$

36

${\displaystyle i=\;\alpha _{\mathrm {r} }A_{\mathrm {M} }a{\phi ^{-1}}{\beta }^{2}V^{2}\exp[-v(f)\;b\phi ^{3/2}/\beta V],}$

37

สมการทั้งสองนี้ประกอบด้วยประสิทธิภาพพื้นที่ของการปล่อยรังสีαr สำหรับตัวปล่อยรังสีใดๆ _{พารามิเตอร์ นี้ จะ}มีค่าซึ่งโดยทั่วไปแล้วไม่เป็นที่ทราบแน่ชัด โดยทั่วไปแล้วαrจะแตกต่างกันอย่างมากระหว่างวัสดุตัวปล่อยรังสีที่แตกต่างกัน และระหว่างตัวอย่างที่แตกต่างกันของวัสดุชนิดเดียวกันที่เตรียมและแปรรูปด้วยวิธีที่แตกต่างกัน ค่าในช่วง 10⁻¹⁰ ^ถึง 10⁻⁶ ^{ดูเหมือน}จะเป็นไปได้ และค่าที่อยู่นอกช่วงนี้ก็อาจเป็นไปได้เช่นกัน

การมีอยู่ของα _rในสมการ (36) อธิบายถึงความแตกต่างระหว่างความหนาแน่นกระแสระดับมหภาคที่มักอ้างถึงในเอกสาร (โดยทั่วไปคือ 10 A/m ²สำหรับตัวปล่อยพื้นที่ขนาดใหญ่หลายรูปแบบนอกเหนือจากอาร์เรย์ Spindt ^{[ 50 ]} ) และความหนาแน่นกระแสเฉพาะที่ ณ ตำแหน่งการปล่อยจริง ซึ่งสามารถแตกต่างกันอย่างมาก แต่โดยทั่วไปแล้วคิดว่าจะอยู่ในลำดับ 10 ⁹  A/m ²หรืออาจจะน้อยกว่าเล็กน้อย

เอกสารทางเทคโนโลยีจำนวนมากเกี่ยวกับตัวปล่อยประจุพื้นที่ขนาดใหญ่ ไม่ได้แยกแยะความแตกต่างระหว่างความหนาแน่นกระแสไฟฟ้าในระดับท้องถิ่นและระดับมหภาค หรือระหว่างพื้นที่ปล่อยประจุสมมติA _rและพื้นที่มหภาคA _M อย่าง ชัดเจน และ/หรือละเว้นพารามิเตอร์α _rจากสมการที่อ้างถึง จึงจำเป็นต้องระมัดระวังเพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดในการตีความ

บางครั้งก็สะดวกที่จะแบ่งตัวประกอบการแปลงβr ออกเป็น "ส่วนมหภาค _"ที่เกี่ยวข้องกับรูปทรงโดยรวมของตัวปล่อยและสภาพแวดล้อมโดยรอบ และ "ส่วนเฉพาะที่" ที่เกี่ยวข้องกับความสามารถของโครงสร้างเฉพาะที่บนพื้นผิวของตัวปล่อยในการเพิ่มความเข้มของสนามไฟฟ้า โดยปกติจะทำได้โดยการกำหนด "สนามมหภาค" F _{M ซึ่งเป็นสนามที่จะปรากฏ ณ ตำแหน่งการปล่อยในกรณีที่ไม่มีโครงสร้างเฉพาะที่ที่ทำให้เกิดการเพิ่มความเข้ม สนาม} F _Mนี้มีความสัมพันธ์กับแรงดันไฟฟ้าที่ใช้โดย "ตัวประกอบการแปลงแรงดันไฟฟ้าเป็นสนามมหภาค" β _Mซึ่งกำหนดโดย:

${\displaystyle F_{\mathrm {M} }=\;\beta _{\mathrm {M} }V.}$

38

ในกรณีทั่วไปของระบบที่ประกอบด้วย แผ่น ขนานสองแผ่นซึ่งแยกจากกันด้วยระยะWโดยมีโครงสร้างนาโนที่ปล่อยแสงสร้างขึ้นบนแผ่นหนึ่งβ _M = 1/ W

จากนั้นจึงกำหนด "ปัจจัยเสริมสนาม" γและเชื่อมโยงกับค่าของβ _rและβ _Mโดย

${\displaystyle \gamma =\;F_{\mathrm {r} }/F_{\mathrm {M} }=\beta _{\mathrm {r} }/\beta _{\mathrm {M} }.}$

39

ด้วยสมการ (31) นี้จะสร้างสูตรต่อไปนี้:

${\displaystyle F=\;\gamma F_{\mathrm {M} }=\beta V;}$

40

${\displaystyle \beta =\;\beta _{\mathrm {M} }\gamma ;}$

41

โดยตามธรรมเนียมปฏิบัติทั่วไป คำต่อท้าย "r" ได้ถูกละทิ้งจากพารามิเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับจุดอ้างอิงแล้ว มีสูตรสำหรับการประมาณค่าγโดยใช้ไฟฟ้าสถิตแบบคลาสสิกสำหรับรูปทรงตัวปล่อยที่หลากหลาย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง "ซีกทรงกลมบนเสา" ^{[ 81 ]}

สมการ (40) บ่งชี้ว่าสามารถเขียนสมการประเภท Fowler–Nordheim เวอร์ชันต่างๆ ได้ โดยที่FหรือβVถูกแทนที่ด้วย ทุกที่ซึ่งมักจะทำในแอปพลิเคชันทางเทคโนโลยีที่ความสนใจหลักอยู่ที่คุณสมบัติการเพิ่มสนามของโครงสร้างนาโนตัวปล่อยเฉพาะที่ อย่างไรก็ตาม ในงานวิจัยที่ผ่านมาบางส่วน ความล้มเหลวในการแยกแยะความแตกต่างระหว่างสนามกั้นFและสนามมหภาคF _M อย่างชัดเจน ทำให้เกิดความสับสนหรือข้อผิดพลาด ${\displaystyle \gamma F_{\mathrm {M} }}$

โดยทั่วไปแล้ว จุดมุ่งหมายในการพัฒนาเทคโนโลยีของตัวปล่อยสนามพื้นที่ขนาดใหญ่คือการเพิ่มความสม่ำเสมอของการปล่อยโดยการเพิ่มค่าประสิทธิภาพพื้นที่ของการปล่อยα _rและลดแรงดัน "เริ่มต้น" ที่การปล่อยที่สำคัญเกิดขึ้นโดยการเพิ่มค่าβสมการ (41) แสดงให้เห็นว่าสามารถทำได้สองวิธี คือ การพยายามพัฒนาโครงสร้างนาโน "high- γ " หรือการเปลี่ยนรูปทรงเรขาคณิตโดยรวมของระบบเพื่อให้β _Mเพิ่มขึ้น มีข้อแลกเปลี่ยนและข้อจำกัดต่างๆ อยู่

ในทางปฏิบัติ แม้ว่าคำจำกัดความของสนามมาโครสโคปิกที่ใช้ข้างต้นจะเป็นคำจำกัดความที่ใช้กันทั่วไปมากที่สุด แต่ในเอกสารทางวิชาการยังมีการใช้สนามมาโครสโคปิกและปัจจัยเพิ่มประสิทธิภาพสนามประเภทอื่น (ที่กำหนดแตกต่างกัน) โดยเฉพาะอย่างยิ่งในส่วนที่เกี่ยวข้องกับการใช้โพรบเพื่อตรวจสอบ ลักษณะ i – Vของตัวปล่อยแต่ละตัว^{[ 82 ]}

ในบริบททางเทคโนโลยี ข้อมูลการปล่อยสนามไฟฟ้ามักจะถูกพล็อตโดยใช้ (คำจำกัดความเฉพาะของ) F _Mหรือ 1/ F _Mเป็น พิกัด x อย่างไรก็ตาม สำหรับการวิเคราะห์ทางวิทยาศาสตร์ โดยทั่วไปแล้วจะดีกว่าที่จะไม่ทำการปรับแต่งข้อมูลการทดลองล่วงหน้า แต่ให้พล็อตข้อมูล i – Vที่วัดได้โดยตรง ค่าของพารามิเตอร์ทางเทคโนโลยี เช่น (รูปแบบต่างๆ ของ) γสามารถหาได้จากพารามิเตอร์ที่ปรับให้เข้ากับ กราฟข้อมูล i – V (ดูด้านล่าง) โดยใช้คำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง

การคำนวณเชิงทฤษฎีส่วนใหญ่ในทฤษฎีการปล่อยสนามจะทำภายใต้สมมติฐานว่าสิ่งกีดขวางมีรูปแบบ Schottky–Nordheim ตามสมการ (3) อย่างไรก็ตาม รูปแบบสิ่งกีดขวางนี้ไม่ถูกต้องสำหรับตัวปล่อยที่มีรัศมีความโค้งRที่เทียบได้กับความยาวของสิ่งกีดขวางการอุโมงค์ ซึ่งขึ้นอยู่กับฟังก์ชันงานและสนาม แต่ในกรณีที่น่าสนใจในทางปฏิบัติ การประมาณสิ่งกีดขวาง SN สามารถถือว่าถูกต้องสำหรับตัวปล่อยที่มีรัศมีR > 20 nmดังที่อธิบายไว้ในย่อหน้าถัดไป

ข้อสมมติฐานหลักของการประมาณค่าสิ่งกีดขวาง SN คือเทอมศักย์ไฟฟ้าสถิตมีรูปแบบเชิงเส้นในบริเวณอุโมงค์ ซึ่งได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นจริงเฉพาะในกรณีที่[ ^{83 ] ดังนั้น}หากบริเวณอุโมงค์มีความยาวสำหรับทุกค่าที่กำหนดกระบวนการอุโมงค์ ดังนั้นหากสมการ (1) เป็นจริงและการประมาณค่าสิ่งกีดขวาง SN ถูกต้อง หากความน่าจะเป็นของอุโมงค์สูงพอที่จะทำให้เกิดการปล่อยสนามที่วัดได้ L จะไม่เกิน 1–2 นาโนเมตร ดังนั้นสิ่งกีดขวาง SN จึงใช้ได้กับตัวปล่อยที่มีรัศมีอยู่ในลำดับของหลายสิบนาโนเมตร ${\displaystyle \Phi =Fx}$${\displaystyle x\ll R}$${\displaystyle L}$${\displaystyle x<L}$${\displaystyle x}$${\displaystyle L\ll R}$

อย่างไรก็ตาม ตัวปล่อยแสงสมัยใหม่นั้นคมชัดกว่านี้มาก โดยมีรัศมีอยู่ในระดับไม่กี่นาโนเมตร ดังนั้น สมการ FN มาตรฐาน หรือเวอร์ชันใดๆ ที่ถือว่ามีสิ่งกีดขวาง SN จะนำไปสู่ข้อผิดพลาดที่สำคัญสำหรับตัวปล่อยแสงที่คมชัดเช่นนี้ ซึ่งได้รับการพิสูจน์แล้วทั้งในเชิงทฤษฎี^{[ 84 ] [ 85 ]}และได้รับการยืนยันในเชิงทดลอง^{[ 86 ]}

ปัญหาข้างต้นได้รับการแก้ไขโดย Kyritsakis และ Xanthakis ^{[ 83 ]}ซึ่งได้ขยายขอบเขตของสิ่งกีดขวาง SN โดยการรวมผลกระทบทางไฟฟ้าสถิตของความโค้งของตัวปล่อย รูปแบบสิ่งกีดขวางทั่วไปสำหรับตัวปล่อยที่มีรัศมีของความโค้งเฉลี่ย(ผกผันของค่าเฉลี่ยของความโค้งหลักสองค่า) สามารถขยายได้แบบเชิงเส้นกำกับดังนี้^{[ 87 ]}${\displaystyle R}$

${\displaystyle M^{KX}(x)=h-eFx\left[1-{\frac {x}{R}}+O\left({\frac {x}{R}}\right)^{2}\right]-{\frac {e^{2}}{16\pi \epsilon _{0}x}}\left[1-{\frac {x}{2R}}+O\left({\frac {x}{R}}\right)^{2}\right]}$.

43

หลังจากละเลยเงื่อนไขทั้งหมด และใช้การประมาณ JWKB (4) สำหรับสิ่งกีดขวางนี้ เลขชี้กำลัง Gamow จะมีรูปแบบที่ขยายสมการ (5) ${\displaystyle O(x/R)^{2}}$

${\displaystyle G(h,F,R)={\frac {bh^{3/2}}{F}}\left(v(f)+\omega (f){\frac {h}{eFR}}\right)}$

44

โดยที่ถูกกำหนดโดย (30d) ได้รับจาก (30c) และเป็นฟังก์ชันใหม่ที่สามารถประมาณได้ในลักษณะเดียวกับ (30c) (มีข้อผิดพลาดในการพิมพ์ในเอกสารอ้างอิง^{[ 83 ]}ซึ่งได้รับการแก้ไขที่นี่): ${\displaystyle f}$${\displaystyle v(f)}$${\displaystyle \omega (f)}$

${\displaystyle \omega (f)\approx {\frac {4}{5}}-{\frac {7}{40}}f+{\frac {1}{200}}\log(f).}$

45

เมื่อกำหนดนิพจน์สำหรับเลขชี้กำลัง Gamow เป็นฟังก์ชันของความสูงของกำแพงที่ปราศจากสนามความหนาแน่นกระแสที่ปล่อยออกมาสำหรับการปล่อยสนามเย็นสามารถหาได้จากสมการ (23) ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ดังนี้ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle J=a{\frac {F^{2}}{\phi }}\left({\frac {1}{\lambda _{d}(f)}}+{\frac {\phi }{eFR}}\psi (f)\right)^{-2}\exp \left[-{\frac {b\phi ^{3/2}}{F}}\left(v(f)+\omega (f){\frac {\phi }{eFR}}\right)\right]}$

46

โดยที่ฟังก์ชันและถูกกำหนดดังนี้ ${\displaystyle \lambda _{d}(f)}$${\displaystyle \psi (f)}$

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda _{d}(f)}}\equiv v(f)-{\frac {4}{3}}f{\frac {\partial v}{\partial f}}\approx 1+{\frac {f}{9}}-{\frac {f\log(f)}{22}}}$

47ก

และ

${\displaystyle \psi (f)\equiv {\frac {5}{3}}\omega (f)-{\frac {4}{3}}f{\frac {\partial \omega }{\partial f}}\approx {\frac {4}{3}}-{\frac {f}{15}}-{\frac {f\log(f)}{1200}}}$

47b

ในสมการ (46) เพื่อความสมบูรณ์λ _dไม่ได้ถูกประมาณด้วยค่าหนึ่งเหมือนใน (29) และ (30a) แม้ว่าในกรณีส่วนใหญ่ในทางปฏิบัติจะเป็นค่าประมาณที่ดีมากก็ตาม นอกเหนือจากนี้ สมการ (43), (44) และ (46) สอดคล้องกับสมการที่สอดคล้องกันของทฤษฎี Fowler–Nordheim มาตรฐาน (3), (9) และ (30a) ในขีดจำกัดR → ∞ซึ่งเป็นไปตามที่คาดไว้เนื่องจากสมการแรกเป็นการขยายความของสมการหลัง

สุดท้ายนี้ โปรดทราบว่าการวิเคราะห์ข้างต้นเป็นแบบเชิงเส้นกำกับในขีดจำกัดL ≪ Rคล้ายกับทฤษฎี Fowler–Nordheim มาตรฐานที่ใช้สิ่งกีดขวาง SN อย่างไรก็ตาม การเพิ่มพจน์กำลังสองทำให้มีความแม่นยำมากขึ้นอย่างมีนัยสำคัญสำหรับตัวปล่อยที่มีรัศมีโค้งอยู่ในช่วง ~ 5–20 นาโนเมตร สำหรับตัวปล่อยที่คมกว่านั้นไม่มีการประมาณทั่วไปสำหรับความหนาแน่นของกระแส เพื่อให้ได้ความหนาแน่นของกระแส จำเป็นต้องคำนวณศักย์ไฟฟ้าสถิตและประเมินปริพันธ์ JWKBในเชิงตัวเลข สำหรับจุดประสงค์นี้ ได้มีการพัฒนาซอฟต์แวร์การคำนวณทางวิทยาศาสตร์ (ดูเช่นGETELEC ^{[ 88 ]} )

ในขั้นตอนปัจจุบันของการพัฒนาทฤษฎี CFE นั้น สิ่งสำคัญคือต้องแยกแยะความแตกต่างระหว่างสมการ CFE ทางทฤษฎีและสมการ CFE เชิงประจักษ์ สมการทางทฤษฎีได้มาจากฟิสิกส์ของสสารควบแน่น (แม้ว่าจะอยู่ในบริบทที่การพัฒนาอย่างละเอียดทำได้ยาก) ในทางกลับกัน สมการ CFE เชิงประจักษ์นั้นพยายามที่จะแสดงรูปแบบการทดลองจริงของการพึ่งพาของกระแสiต่อแรงดันไฟฟ้า  Vเท่านั้น

ในช่วงทศวรรษ 1920 สมการเชิงประจักษ์ถูกนำมาใช้เพื่อหาค่ากำลังของVที่ปรากฏในเลขชี้กำลังของสมการกึ่งลอการิทึมที่สันนิษฐานว่าอธิบายผลลัพธ์การทดลอง CFE ในปี 1928 ทฤษฎีและการทดลองถูกนำมารวมกันเพื่อแสดงให้เห็นว่า (ยกเว้นอาจจะเป็นตัวปล่อยที่คมชัดมาก) ค่ากำลังนี้คือV ⁻¹เมื่อไม่นานมานี้มีการเสนอแนะว่าควรทำการทดลอง CFE เพื่อพยายามหาค่ากำลัง ( κ ) ของVในพรีเอ็กซ์โพเนนเชียลของสมการ CFE เชิงประจักษ์ต่อไปนี้: ^{[ 89 ]}

${\displaystyle i=\;CV^{\kappa }\exp[-B/V],}$

48

โดยที่B , Cและκถือเป็นค่าคงที่

จากสมการ (42) สามารถแสดงได้อย่างง่ายดายว่า

${\displaystyle -\mathrm {d} \ln i/\mathrm {d} (1/V)=\;\kappa V+B,}$

49

ในช่วงทศวรรษ 1920 เทคนิคการทดลองไม่สามารถแยกแยะความแตกต่างระหว่างผลลัพธ์κ = 0 (ที่ Millikan และ Laurtisen สมมติไว้) ^{[ 13 ]}และκ = 2 (ที่ทำนายโดยสมการประเภท Fowler–Nordheim ดั้งเดิม) ^{[ 1 ]}อย่างไรก็ตาม ปัจจุบันน่าจะสามารถทำการวัด dlni/d(1/V) ได้อย่างแม่นยำพอสมควร (หากจำเป็นโดยใช้ เทคนิคเครื่องขยาย สัญญาณแบบล็อคอิน /การตรวจจับแบบไวต่อเฟสและอุปกรณ์ควบคุมด้วยคอมพิวเตอร์) และหาค่าκจากความชันของกราฟข้อมูลที่เหมาะสมได้^{[ 50 ]}

จากการค้นพบการประมาณค่า (30b) ทำให้ตอนนี้ชัดเจนมากว่า แม้แต่สำหรับ CFE จากโลหะจำนวนมาก ค่าκ = 2ก็ไม่เป็นที่คาดหวัง สามารถแสดงได้ดังต่อไปนี้ โดยใช้สมการ (30c) ข้างต้น พารามิเตอร์ไร้มิติηอาจถูกกำหนดโดย

${\displaystyle \eta =b\phi ^{3/2}/F_{\phi }=\;(be^{3}/4\pi \epsilon _{0}){\phi }^{-1/2}\approx 9.836239\;\;(\mathrm {eV} /\phi )^{1/2}.}$

50

สำหรับφ = 4.50 eVพารามิเตอร์นี้มีค่าη = 4.64เนื่องจากf = F / F _φและv ( f ) กำหนดโดยสมการ (30b) เลขชี้กำลังในสมการประเภท Fowler–Nordheim มาตรฐานแบบง่าย (30) สามารถเขียนในรูปแบบอื่นแล้วขยายได้ดังนี้: ^{[ 69 ]}

${\displaystyle \exp[-v(f)\;b{\phi }^{3/2}/F]\;=\;\exp[-v(f)\;\eta /f]\;\approx \;{\mathrm {e} }^{\eta }f^{-\eta /6}\exp[-\eta /f]\;=\;{\mathrm {e} }^{\eta }f^{-\eta /6}\exp[-b{\phi }^{3/2}/F].}$

51

หากตัวประกอบการแปลงβไม่ขึ้นอยู่กับแรงดันไฟฟ้า พารามิเตอร์fจะมีนิยามทางเลือกเป็นf = V / V _φโดยที่V _φคือแรงดันไฟฟ้าที่จำเป็นในระบบทดลองเฉพาะ เพื่อลดความสูงของสิ่งกีดขวาง Schottky–Nordheim จากφเป็นศูนย์ ดังนั้นจึงเห็นได้ชัดว่าตัวประกอบv ( f ) ในเลขชี้กำลังของสมการเชิงทฤษฎี (30) ทำให้เกิด การพึ่งพา V เพิ่มเติม ในพรีเลขชี้กำลังของสมการเชิงประจักษ์ ดังนั้น (สำหรับผลกระทบเนื่องจากสิ่งกีดขวาง Schottky–Nordheim และสำหรับตัวปล่อยที่มีφ = 4.5 eV ) เราจึงได้การคาดการณ์ดังนี้:

${\displaystyle \kappa \approx 2-\eta /6=2-0.77=1.23.}$

52

เนื่องจากอาจมีการพึ่งพาแรงดันไฟฟ้าในปัจจัยอื่นๆ ในสมการประเภท Fowler–Nordheim โดยเฉพาะอย่างยิ่งในพื้นที่การปล่อยสมมติ^{[ 30 ]} A _rและในฟังก์ชันงานเฉพาะที่ จึงไม่จำเป็นต้องคาดหวังว่าκสำหรับ CFE จากโลหะที่มีฟังก์ชันงานเฉพาะที่ 4.5 eV ควรมีค่าκ = 1.23 แต่แน่นอนว่าไม่มีเหตุผลที่จะคาดหวังว่าจะมีค่า Fowler–Nordheim เดิมκ = 2 ^{[ 90 ]}

การทดสอบเชิงทดลองครั้งแรกของข้อเสนอนี้ได้ดำเนินการโดย Kirk ซึ่งใช้รูปแบบการวิเคราะห์ข้อมูลที่ซับซ้อนกว่าเล็กน้อยเพื่อหาค่า 1.36 สำหรับพารามิเตอร์  κ ของเขา พารามิเตอร์ κของเขามีความคล้ายคลึงกันมาก แต่ไม่เหมือนกับพารามิเตอร์κที่ใช้ในที่นี้เสียทีเดียว อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์ของเขาดูเหมือนจะยืนยันถึงประโยชน์ที่เป็นไปได้ของรูปแบบการวิเคราะห์นี้^{[ 91 ]}

การใช้สมการ CFE เชิงประจักษ์ (42) และการวัดค่าκอาจมีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับวัสดุที่ไม่ใช่โลหะ โดยหลักการแล้ว สมการประเภท Fowler–Nordheim ใช้ได้เฉพาะกับการปล่อยจากแถบนำไฟฟ้าของ ของแข็ง ผลึก ขนาดใหญ่ เท่านั้น อย่างไรก็ตาม สมการเชิงประจักษ์ในรูปแบบ (42) ควรใช้ได้กับวัสดุทุกชนิด (ถึงแม้ว่าอาจจำเป็นต้องมีการปรับเปลี่ยนสำหรับตัวปล่อยที่มีความคมชัดสูงมาก) ดูเหมือนว่าวิธีหนึ่งที่สมการ CFE สำหรับวัสดุใหม่ๆ อาจแตกต่างจากสมการประเภท Fowler–Nordheim คือ สมการ CFE เหล่านี้อาจมีกำลังของF (หรือV ) ที่แตกต่างกันในพรีเอ็กซ์โพเนนเชียล การวัดค่าκอาจให้ข้อบ่งชี้เชิงทดลองบางอย่างเกี่ยวกับเรื่องนี้

สมการเชิงทฤษฎีดั้งเดิมที่ได้มาโดย Fowler และ Nordheim ^{[ 1 ]}มีอิทธิพลต่อวิธีการพล็อตและวิเคราะห์ข้อมูล CFE เชิงทดลองในช่วง 80 ปีที่ผ่านมา ในการพล็อต Fowler–Nordheim ที่ใช้กันอย่างแพร่หลาย ซึ่งแนะนำโดย Stern et al.ในปี 1929 ^{[ 16 ]}ปริมาณ ln{ i / V ² } จะถูกพล็อตเทียบกับ 1/ _{V แนวคิดดั้งเดิมคือ (ตามที่คาดการณ์โดยสมการ Fowler–Nordheim ดั้งเดิมหรือสมการพื้นฐาน) สิ่งนี้จะสร้างเส้นตรงที่แน่นอนที่มีความชัน S FN S FN} จะเกี่ยวข้อง  กับ_{พารามิเตอร์}ที่ปรากฏในเลขชี้กำลังของสมการ Fowler–Nordheim ในรูป แบบ i – Vโดย:

${\displaystyle S_{\mathrm {FN} }=\;-b{\phi }^{3/2}/\beta .}$

47

ดังนั้น ความรู้เกี่ยวกับφจะช่วยให้ สามารถกำหนด ค่า βได้ หรือในทางกลับกัน

[โดยหลักการแล้ว ในรูปทรงเรขาคณิตของระบบที่มีโครงสร้างนาโนที่ช่วยเพิ่มความเข้มของสนามเฉพาะที่ และสามารถกำหนด ค่าตัวประกอบการแปลงระดับมหภาค β _{M ได้ ความรู้เกี่ยวกับ} βจะช่วยให้สามารถกำหนดค่าตัวประกอบการเพิ่มความเข้มของสนามที่มีประสิทธิภาพของตัวปล่อยγได้จากสูตรγ = β / β _Mในกรณีทั่วไปของตัวปล่อยฟิล์มที่สร้างขึ้นบนแผ่นหนึ่งของระบบสองแผ่นที่มีระยะห่างระหว่างแผ่นW (ดังนั้นβ _M = 1/ W ) แล้ว

${\displaystyle \gamma =\;\beta W.}$

48

ในปัจจุบัน นี่เป็นหนึ่งในแอปพลิเคชันที่มีความเป็นไปได้มากที่สุดของแผนภาพฟาวเลอร์-นอร์ดไฮม์]

ต่อมาจึงเห็นได้ชัดว่าแนวคิดเดิมข้างต้นถูกต้องอย่างเคร่งครัดเฉพาะในสถานการณ์ที่ไม่สมจริงทางกายภาพ เช่น สถานการณ์ที่ตัวปล่อยรังสีเป็นแบบแบนราบและกำแพงเป็นรูปสามเหลี่ยมที่แน่นอน สำหรับตัวปล่อยรังสีและกำแพงที่เป็นจริง จะต้องมีการนำ "ตัวประกอบการแก้ไขความชัน" σ _FNมาใช้ ทำให้ได้สูตรที่แก้ไขแล้ว

${\displaystyle S_{\mathrm {FN} }=\;-\sigma _{\mathrm {FN} }b{\phi }^{3/2}/\beta .}$

49

โดยหลักการแล้ว ค่าของσ _FNจะได้รับอิทธิพลจากพารามิเตอร์ใดๆ ในสมการประเภท Fowler–Nordheim ที่สมบูรณ์ทางกายภาพสำหรับi ( V ) ที่มีการพึ่งพาแรงดันไฟฟ้า

ในปัจจุบัน พารามิเตอร์เดียวที่ถือว่าสำคัญคือปัจจัยการแก้ไขที่เกี่ยวข้องกับรูปร่างของสิ่งกีดขวาง และสิ่งกีดขวางเดียวที่มีทฤษฎีรายละเอียดที่ได้รับการยอมรับอย่างดีคือสิ่งกีดขวาง Schottky–Nordheim ในกรณีนี้σ _FNจะได้รับจากฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าsฟังก์ชันs นี้ ได้รับการจัดทำเป็นตารางอย่างถูกต้องเป็นครั้งแรก (เป็นฟังก์ชันของพารามิเตอร์ Nordheim y ) โดย Burgess, Kroemerและ Houston ในปี 1953 ^{[ 71 ]}และการวิเคราะห์สมัยใหม่ที่ให้sเป็นฟังก์ชันของสนามสิ่งกีดขวางที่ปรับขนาดfสำหรับสิ่งกีดขวาง Schottky–Nordheim ได้รับการนำเสนอใน^{[ 69 ]}อย่างไรก็ตาม เป็นที่ชัดเจนมานานแล้วว่า สำหรับการทำงานของตัวปล่อยประจุในทางปฏิบัติ ค่าของsจะอยู่ในช่วง 0.9 ถึง 1 ${\displaystyle \nu _{\mathrm {F} }}$

ในทางปฏิบัติ เนื่องจากความซับซ้อนเพิ่มเติมที่เกี่ยวข้องกับการพิจารณาปัจจัยการแก้ไขความชันโดยละเอียด ผู้เขียนหลายคน (ในทางปฏิบัติ) จึงใส่σ _FN = 1ในสมการ (49) ซึ่งทำให้เกิดข้อผิดพลาดที่เป็นระบบในค่าประมาณของβและ/หรือγซึ่งโดยทั่วไปแล้วคาดว่าจะอยู่ที่ประมาณ 5%

อย่างไรก็ตาม สมการเชิงประจักษ์ (42) – ซึ่งโดยหลักการแล้วมีความทั่วไปมากกว่าสมการประเภท Fowler–Nordheim – นำมาซึ่งวิธีใหม่ที่เป็นไปได้ในการวิเคราะห์ ข้อมูล i – V การปล่อยสนาม โดยทั่วไป อาจสันนิษฐานได้ว่าพารามิเตอร์Bในสมการเชิงประจักษ์มีความสัมพันธ์กับความสูงH ที่ไม่ลดลง ของสิ่งกีดขวางลักษณะเฉพาะบางอย่างที่อิเล็กตรอนอุโมงค์มองเห็นโดย

${\displaystyle B=\;bH^{3/2}/\beta .}$

50

(ในกรณีส่วนใหญ่ แต่ไม่จำเป็นต้องทั้งหมดHจะเท่ากับฟังก์ชันงานเฉพาะที่ แน่นอนว่านี่เป็นความจริงสำหรับโลหะ) ประเด็นคือจะกำหนดค่าของBโดยการทดลองได้อย่างไร มีสองวิธีที่ชัดเจน (1) สมมติว่าสมการ (43) สามารถใช้เพื่อกำหนดค่าทดลองของ  κ ที่แม่นยำพอสมควร จากความชันของกราฟในรูปแบบ [−dln{ i }/d(1/ V ) เทียบกับV ] ในกรณีนี้ กราฟที่สองของ ln( i )/ V ^κเทียบกับ 1/ Vควรจะเป็นเส้นตรงที่แน่นอนที่มีความชัน − Bวิธีนี้ควรจะเป็นวิธีที่แม่นยำที่สุดในการกำหนด  ค่า B

(2) อีกทางเลือกหนึ่ง หาก ไม่ทราบค่าของκ อย่างแน่นอน และไม่สามารถวัดได้อย่างแม่นยำ แต่สามารถประมาณหรือเดาได้ ค่าของ Bสามารถหาได้จากกราฟในรูปแบบ [ln{ i } เทียบกับ 1/ V ] นี่คือรูปแบบของกราฟที่ Millikan และ Lauritsen ใช้ในปี 1928 การจัดเรียงสมการ (43) ใหม่จะได้

${\displaystyle B=\;-\mathrm {d} \ln(i)/\mathrm {d} (1/V)-\kappa (1/V).}$

51

ดังนั้น สามารถกำหนด ค่า Bได้โดยประมาณอย่างดี โดยการหาค่าความชันเฉลี่ยของกราฟ Millikan–Lauritsen ในช่วงค่า 1/ V ช่วงหนึ่ง แล้วทำการแก้ไขโดยใช้ค่า 1/ Vที่จุดกึ่งกลางของช่วง และค่า  κ ที่สมมติ ขึ้น

ข้อดีหลักของการใช้กราฟ Millikan–Lauritsen และขั้นตอนการแก้ไขรูปแบบนี้ แทนที่จะใช้กราฟ Fowler–Nordheim และปัจจัยการแก้ไขความชัน มีดังต่อไปนี้ (1) ขั้นตอนการสร้างกราฟนั้นตรงไปตรงมามากกว่าเล็กน้อย (2) การแก้ไขเกี่ยวข้องกับพารามิเตอร์ทางกายภาพ ( V ) ซึ่งเป็นปริมาณที่วัดได้ แทนที่จะเป็นพารามิเตอร์ทางกายภาพ ( f ) ที่ต้องคำนวณ [เพื่อที่จะคำนวณค่าของs ( f ) หรือโดยทั่วไปคือ_σFN ( f ) ] (3) ทั้งพารามิเตอร์κเองและขั้นตอนการแก้ไขนั้นโปร่งใสกว่า (และเข้าใจได้ง่ายกว่า) เมื่อเทียบกับกราฟ Fowler–Nordheim (4) ขั้นตอนนี้จะพิจารณาผลกระทบทางกายภาพทั้งหมดที่มีอิทธิพลต่อค่าของκในขณะที่ขั้นตอนการแก้ไขพล็อต Fowler–Nordheim (ในรูปแบบที่ดำเนินการมาตลอด 50 ปีที่ผ่านมา) จะพิจารณาเฉพาะผลกระทบที่เกี่ยวข้องกับรูปร่างของสิ่งกีดขวางเท่านั้น โดยสมมติว่ารูปร่างนี้เป็นรูปร่างของสิ่งกีดขวาง Schottky–Nordheim (5) มีการแยกประเด็นทางทฤษฎีและเทคโนโลยีที่ชัดเจนยิ่งขึ้น นักทฤษฎีจะสนใจที่จะกำหนดว่าค่า κ ที่วัดได้ให้ ข้อมูลอะไร เกี่ยวกับทฤษฎี CFE แต่ผู้ทดลองสามารถใช้ค่าκ ที่วัดได้ เพื่อประมาณค่าปัจจัยการเพิ่มประสิทธิภาพสนามได้อย่างแม่นยำยิ่งขึ้น (หากจำเป็น)

ขั้นตอนการแก้ไขสำหรับกราฟ Millikan–Lauritsen นี้จะใช้งานได้ง่ายขึ้นเมื่อมีการวัดค่า κจำนวนมากเพียงพอและมีความเข้าใจที่ดีขึ้นเกี่ยวกับค่าทั่วไปที่แท้จริง ในปัจจุบัน ดูเหมือนว่าสำหรับวัสดุส่วนใหญ่ ค่าκจะอยู่ในช่วง−1 < κ < 3

การพัฒนาทฤษฎีโดยประมาณของ CFE จากโลหะข้างต้นนั้นค่อนข้างง่าย ด้วยเหตุผลดังต่อไปนี้ (1) ทฤษฎีอิเล็กตรอนอิสระของ Sommerfeld พร้อมด้วยสมมติฐานเฉพาะเกี่ยวกับการกระจายของสถานะอิเล็กตรอนภายในตามพลังงาน สามารถนำมาใช้กับโลหะหลายชนิดได้อย่างเหมาะสมในฐานะการประมาณค่าเบื้องต้น (2) ส่วนใหญ่แล้ว โลหะไม่มีสถานะพื้นผิวและ (ในหลายกรณี) ฟังก์ชันคลื่น ของโลหะ ไม่มี " การสั่นพ้องพื้นผิว " ที่สำคัญ (3) โลหะมีความหนาแน่นของสถานะ สูง ที่ระดับเฟอร์มิ ดังนั้นประจุที่สร้าง/ป้องกันสนามไฟฟ้าภายนอกจึงอยู่ด้านนอกของชั้นอะตอมบนสุดเป็นส่วนใหญ่ และไม่มี "การแทรกซึมของสนาม" ที่มีความหมายเกิดขึ้น (4) โลหะมีค่าการนำไฟฟ้า สูง : ไม่มีการลดลงของแรงดันไฟฟ้าอย่างมีนัยสำคัญเกิดขึ้นภายในตัวปล่อยโลหะ: ซึ่งหมายความว่าไม่มีปัจจัยใดขัดขวางการส่งอิเล็กตรอนไปยังพื้นผิวที่ปล่อย และอิเล็กตรอนในบริเวณนี้สามารถอยู่ในสมดุลทางอุณหพลศาสตร์ เฉพาะที่ที่มีประสิทธิภาพ และอยู่ในสมดุลทางอุณหพลศาสตร์ที่มีประสิทธิภาพกับอิเล็กตรอนในโครงสร้างรองรับโลหะที่ติดตั้งตัวปล่อย (5) ไม่คำนึงถึงผลกระทบในระดับอะตอม

การพัฒนาทฤษฎี "ง่ายๆ" ของการปล่อยอิเล็กตรอนสนาม และโดยเฉพาะอย่างยิ่งการพัฒนาสมการประเภท Fowler–Nordheim อาศัยปัจจัยทั้งห้าข้างต้นที่เป็นจริง สำหรับวัสดุอื่นที่ไม่ใช่โลหะ (และสำหรับตัวปล่อยโลหะที่คมชัดระดับอะตอม) ปัจจัยข้างต้นอย่างน้อยหนึ่งข้อจะไม่เป็นจริง ตัวอย่างเช่นสารกึ่งตัวนำผลึกไม่มีโครงสร้างแถบแบบอิเล็กตรอนอิสระ มีสถานะพื้นผิว อยู่ภายใต้การแทรกซึมของสนามและ การโค้งงอของแถบและอาจแสดงทั้งแรงดันตกภายในและการแยกตัวทางสถิติของการกระจายอิเล็กตรอนสถานะพื้นผิวจากการกระจายอิเล็กตรอนในบริเวณพื้นผิวของโครงสร้างแถบส่วน ใหญ่ (การแยกตัวนี้เรียกว่า "ปรากฏการณ์ Modinos") ^{[ 33 ] [ 92 ]}

ในทางปฏิบัติ ทฤษฎีของกระบวนการอุโมงค์ฟาวเลอร์-นอร์ดไฮม์นั้นแทบจะเหมือนกันสำหรับวัสดุทุกชนิด (แม้ว่ารายละเอียดของรูปร่างของกำแพงกั้นอาจแตกต่างกัน และต้องมีการพัฒนาทฤษฎีที่ปรับปรุงแล้วสำหรับสถานะเริ่มต้นที่จำกัดมากกว่าที่จะเป็นแบบคลื่นเคลื่อนที่ ) อย่างไรก็ตาม แม้จะมีความแตกต่างดังกล่าว เราก็คาดหวังได้ (สำหรับสถานการณ์สมดุลทางเทอร์โมไดนามิก) ว่าสมการ CFE ทั้งหมดจะมีเลขชี้กำลังที่ทำงานในลักษณะที่คล้ายคลึงกันโดยทั่วไป นี่คือเหตุผลที่การใช้สมการประเภทฟาวเลอร์-นอร์ดไฮม์กับวัสดุที่อยู่นอกขอบเขตของการคำนวณที่ให้ไว้ในที่นี้มักจะได้ผล หากสนใจเฉพาะพารามิเตอร์ (เช่น ปัจจัยการเพิ่มประสิทธิภาพของสนาม) ที่เกี่ยวข้องกับความชันของกราฟฟาวเลอร์-นอร์ดไฮม์หรือมิลลิกัน-ลอริทเซน และเลขชี้กำลังของสมการ CFE แล้ว ทฤษฎีประเภทฟาวเลอร์-นอร์ดไฮม์มักจะให้ค่าประมาณที่สมเหตุสมผล อย่างไรก็ตาม ความพยายามที่จะหาค่าความหนาแน่นกระแสไฟฟ้าที่มีความหมายมักจะล้มเหลวหรือล้มเหลวเสมอ

โปรดทราบว่าเส้นตรงในกราฟ Fowler–Nordheim หรือ Millikan–Lauritsen ไม่ได้บ่งชี้ว่าการปล่อยรังสีจากวัสดุที่เกี่ยวข้องเป็นไปตามสมการประเภท Fowler–Nordheim แต่บ่งชี้เพียงว่ากลไกการปล่อยรังสีสำหรับอิเล็กตรอนแต่ละตัวน่าจะเป็นการทะลุผ่านแบบ Fowler–Nordheim เท่านั้น

วัสดุต่างชนิดกันอาจมีการกระจายพลังงานของสถานะอิเล็กตรอนภายในที่แตกต่างกันอย่างมาก ดังนั้นกระบวนการรวมส่วนประกอบความหนาแน่นกระแสไฟฟ้าเหนือสถานะอิเล็กตรอนภายในอาจทำให้ได้นิพจน์ที่แตกต่างกันอย่างมากสำหรับค่าก่อนเลขชี้กำลังของความหนาแน่นกระแสไฟฟ้าสำหรับวัสดุประเภทต่างๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กำลังของสนามกั้นที่ปรากฏในค่าก่อนเลขชี้กำลังอาจแตกต่างจากค่า Fowler–Nordheim เดิม "2" การตรวจสอบผลกระทบประเภทนี้เป็นหัวข้อวิจัยที่กำลังได้รับความสนใจอย่างมาก ผลกระทบ "การสั่นพ้อง" และ " การกระเจิง " ในระดับอะตอม หากเกิดขึ้น ก็จะปรับเปลี่ยนทฤษฎีด้วยเช่นกัน

ในกรณีที่วัสดุได้รับผลกระทบจากการทะลุผ่านของสนามและการโค้งงอของแถบพลังงาน จำเป็นต้องมีทฤษฎีที่ดีเกี่ยวกับผลกระทบดังกล่าว (สำหรับวัสดุแต่ละประเภท) ก่อนที่จะพัฒนาทฤษฎีโดยละเอียดของ CFE ได้ ในกรณีที่เกิดผลกระทบจากแรงดันตกคร่อม ทฤษฎีของกระแสการปล่อยอิเล็กตรอนอาจกลายเป็นทฤษฎีที่เกี่ยวข้องกับผลกระทบจากการขนส่งภายใน และอาจมีความซับซ้อนมากยิ่งขึ้น

• กล้องจุลทรรศน์แบบปล่อยสนาม
• โพรบการปล่อยสนาม
• อาร์เรย์ตัวปล่อยสนาม
• จอแสดงผลการปล่อยสนาม
• ปรากฏการณ์ฟรานซ์-เคลดิช

ข้อมูลทั่วไป

• W. Zhu, บรรณาธิการ (2001). ไมโครอิเล็กทรอนิกส์สุญญากาศ . ไวลีย์, นิวยอร์ก.
• GN Fursey (2005). การปล่อยอิเล็กตรอนจากสนามไฟฟ้าในไมโครอิเล็กทรอนิกส์สุญญากาศ . Kluwer Academic, นิวยอร์ก. ISBN 0-306-47450-6.

การทะลุผ่านของสนามและการโค้งงอของแถบพลังงาน (สารกึ่งตัวนำ)

• Seiwatz, Ruth; Green, Mino (1958). "การคำนวณประจุอวกาศสำหรับสารกึ่งตัวนำ". วารสารฟิสิกส์ประยุกต์ . 29 (7): 1034. Bibcode : 1958JAP....29.1034S . doi : 10.1063/1.1723358 .
• A. Many, Y. Goldstein และ NB Grover, พื้นผิวเซมิคอนดักเตอร์ (North Holland, Amsterdam, 1965)
• W. Mönsch, พื้นผิวเซมิคอนดักเตอร์และอินเทอร์เฟซ (Springer, Berlin, 1995)
• Peng, Jie; Li, Zhibing; He, Chunshan; Chen, Guihua; Wang, Weiliang; Deng, Shaozhi; Xu, Ningsheng; Zheng, Xiao; Chen, GuanHua; Edgcombe, Chris J.; Forbes, Richard G. (2008). "บทบาทของไดโพลปลายและสนามแทรกซึมในฟิสิกส์ของท่อนาโนคาร์บอนผนังเดี่ยวที่มีประจุและปล่อยสนาม" วารสารฟิสิกส์ประยุกต์104 (1). AIP Publishing: 014310–014310–12. arXiv : cond-mat/0612600 . Bibcode : 2008JAP...104a4310P . doi : 10.1063/1.2946449 . ISSN  0021-8979 . S2CID  53453404 .

ประจุสุญญากาศที่ปล่อยออกมาจากสนาม

• Barbour, JP; Dolan, WW; Trolan, JK; Martin, EE; Dyke, WP (1953). "ผลกระทบของประจุอวกาศในการปล่อยสนาม" . Physical Review . 92 (1): 45– 51. Bibcode : 1953PhRv...92...45B . doi : 10.1103/PhysRev.92.45 .

การปล่อยสนามไฟฟ้าที่อุณหภูมิสูง และการปล่อยสนามไฟฟ้าจากแสง

• Jensen, Kevin (2007). ฟิสิกส์การปล่อยอิเล็กตรอน . ความก้าวหน้าในการถ่ายภาพและฟิสิกส์อิเล็กตรอน. เล่มที่ 149. ซานดิเอโก: Academic Press. ISBN 978-0-12-374207-0. OCLC  647688316 .

การปล่อยอิเล็กตรอนระเบิดที่เหนี่ยวนำด้วยสนามแม่เหล็ก

• GA Mesyats, การปล่อยอิเล็กตรอนระเบิด (สำนักพิมพ์ URO, Ekaterinburg, 1998)