ในทฤษฎีเมทริกซ์สุ่มกลุ่ม เมทริกซ์ เกาส์เซียน (Gaussian ensembles)คือการแจกแจงความน่าจะเป็น เฉพาะ บน เมทริกซ์สมมาตร ( self-adjoint matrices ) ซึ่งค่าในแต่ละเมทริกซ์ถูกสุ่มอย่างอิสระจากการแจกแจงเกาส์เซียนกลุ่มเมทริกซ์เกาส์เซียนเป็นหนึ่งในกลุ่มเมทริกซ์ที่ได้รับการศึกษามากที่สุด และเป็นพื้นฐานสำคัญทั้งในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ ตัวอย่างหลักสามตัวอย่าง ได้แก่ กลุ่มเมทริกซ์เกาส์เซียนตั้งฉาก (GOE) กลุ่มเมทริกซ์เกาส์เซียนเอกภาพ (GUE) และกลุ่มเมทริกซ์เกาส์เซียนเชิงซิมเพล็กติก (GSE) กลุ่มเมทริกซ์เหล่านี้ถูกจำแนกโดยดัชนีไดสันβซึ่งมีค่าเป็น 1, 2 และ 4 ตามลำดับ โดยนับจำนวนส่วนประกอบจริงต่อค่าในเมทริกซ์ (1 สำหรับส่วนประกอบจริง 2 สำหรับส่วนประกอบเชิงซ้อน 4 สำหรับควอเทอร์เนียน ) ดัชนีนี้สามารถขยายให้มีค่าเป็นจำนวนจริงบวกใดๆ ก็ได้

กลุ่มเกาส์เซียนยังเรียกว่ากลุ่มวิกเนอร์^[ 1 ^{] หรือ}กลุ่มเฮอร์ไมต์^{[ 2 ]}

มีหลักเกณฑ์มากมายสำหรับการกำหนดกลุ่มตัวอย่างแบบเกาส์เซียน ในบทความนี้ เราจะระบุหลักเกณฑ์หนึ่งโดยเฉพาะ

ตามคำจำกัดความทั้งหมด กลุ่มเกาส์เซียนจะมีค่า เฉลี่ยเป็น ศูนย์

• ${\displaystyle \beta }$: จำนวนจริงบวก เรียกว่าดัชนีไดสันกรณีของเป็นกรณีพิเศษ${\displaystyle \beta =1,2,4}$
• ${\displaystyle N}$: ความยาวด้านของเมทริกซ์ เป็นจำนวนเต็มบวกเสมอ
• ${\displaystyle W_{N}}$: เมทริกซ์ที่สุ่มมาจากกลุ่มเกาส์เซียนที่มีขนาด n ตัวอักษร n ย่อมาจาก "Wigner"${\displaystyle N\times N}$${\displaystyle W}$
• ${\displaystyle M^{*}}$: ตัวผกผันของเมทริกซ์ เราถือว่า( เป็นตัวผกผันในตัวเอง ) เมื่อถูกสุ่มมาจากกลุ่มเกาส์เซียน ${\displaystyle W_{N}=W_{N}^{*}}$${\displaystyle W_{N}}$
  • ถ้าจำนวนจริง แล้วจำนวนทรานสโพสของจำนวนจริงนั้นก็คือ จำนวนจริงเช่น กัน${\displaystyle M}$${\displaystyle M^{*}}$
  • ถ้าเป็นจำนวนเชิงซ้อนหรือจำนวนควอเทอร์เนียน แล้วจะเป็นจำนวนทรานสโพสคู่ควบ ของ มัน${\displaystyle M}$${\displaystyle M^{*}}$
• ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{N}}$: ค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ ซึ่งทั้งหมดเป็นจำนวนจริง เนื่องจากเมทริกซ์นั้นถือว่าเป็นเมทริกซ์สมมาตรเสมอ
• ${\displaystyle \sigma _{d}^{2}}$: ค่าความแปรปรวนของค่าในแนวทแยงของเมทริกซ์ เราสมมติว่าสำหรับแต่ละค่า ค่าในแนวทแยงของเมทริกซ์ทั้งหมดมีค่าความแปรปรวนเท่ากัน โดยจะกำหนดให้เป็นเสมอ${\displaystyle N}$${\displaystyle \mathbb {E} [|W_{N,}|^{2}]}$
• ${\displaystyle \sigma _{od}^{2}}$: ค่าความแปรปรวนของค่าในเมทริกซ์นอกแนวทแยงมุม เราสมมติว่าสำหรับแต่ละค่า ค่าในเมทริกซ์นอกแนวทแยงมุมทั้งหมดมีค่าความแปรปรวนเท่ากัน โดยจะกำหนดเป็นโดย ที่${\displaystyle N}$${\displaystyle \mathbb {E} [|W_{N,ij}|^{2}]}$${\displaystyle i\neq j}$
  • สำหรับจำนวนเชิงซ้อน.${\displaystyle |a+bi|^{2}=a^{2}+b^{2}}$
  • สำหรับ ควอเทอ ร์เนียน .${\displaystyle |a+bi+cj+dk|^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}$
• ${\displaystyle Z}$: ฟังก์ชันการแบ่งส่วน

สรุปการประชุมในหน้านี้

ชื่อ	โกอี(เอ็น)	เกว(เอ็น)	จีเอสอี(เอ็น)	GβE(N)
ชื่อเต็ม	กลุ่มออร์โธโกนอลเกาส์เซียน	กลุ่มเอกภาพเกาส์เซียน	กลุ่มซิมเพล็กติกเกาส์เซียน	กลุ่มเบต้าแบบเกาส์เซียน
${\displaystyle \beta }$	1	2	4	เบต้า
${\displaystyle \sigma _{d}^{2}}$	2	1	1/2	2/β
${\displaystyle \sigma _{od}^{2}}$	1	1	1	1
ความหนาแน่นของเมทริกซ์	${\displaystyle {\frac {1}{Z}}e^{-{\frac {1}{4}}\mathrm {Tr} W_{N}^{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{Z}}e^{-{\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} W_{N}^{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{Z}}e^{-\mathrm {Tr} W_{N}^{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{Z}}e^{-{\frac {1}{4}}\beta \mathrm {Tr} W_{N}^{2}}}$
${\displaystyle Z}$	${\displaystyle 2^{{\frac {1}{4}}N(N+3)}\pi ^{{\frac {1}{4}}N(N+1)}}$	${\displaystyle 2^{{\frac {1}{2}}N}\pi ^{{\frac {1}{2}}N^{2}}}$	${\displaystyle 2^{-N(N-1)}\pi ^{{\frac {1}{2}}N(2N-1)}}$	${\displaystyle 2^{{\frac {1}{2}}N}\left({\frac {2\pi }{\beta }}\right)^{{\frac {1}{2}}N+{\frac {1}{4}}\beta N(N-1)}}$

เมื่ออ้างอิงถึงเอกสารอ้างอิงหลัก จำเป็นต้องแปลสูตรจากเอกสารเหล่านั้น เนื่องจากแต่ละแบบแผนจะนำไปสู่ค่าคงที่ตัวคูณปรับขนาดที่แตกต่างกันสำหรับสูตรต่างๆ

หลักเกณฑ์ที่ใช้ในงานอ้างอิง

ชื่อ	${\displaystyle \sigma _{d}^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{od}^{2}}$
วิกิพีเดีย (หน้านี้)	2/β	1
( Deift 2000 ) (β = 2 เท่านั้น)	1/2	1/2
( เมห์ตา 2004 )	1/β	1/2
( แอนเดอร์สัน, Guionnet และ Zeitouni 2010 )	2/β	1
( Forrester 2010 ) สำหรับ β = 1, 2, 4	1/β	1/2
( Forrester 2010 ) สำหรับ β ≠ 1, 2, 4	1	β/2
( Tao 2012 ) (β = 2 เท่านั้น)	1	1
( Mingo & Speicher 2017 ) (β = 2 เท่านั้น)	1/N	1/N
( Livan, Novaes & Vivo 2018 )	1	β/2
( Potters & Bouchaud 2020 )	${\displaystyle {\frac {2\sigma ^{2}}{\beta N}}}$	${\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{N}}}$

มีคำจำกัดความที่เทียบเท่ากันสำหรับกลุ่ม GβE(N) ดังต่อไปนี้

ในทุกกรณี กลุ่ม GβE(N) จะถูกกำหนดโดยวิธีการสุ่มตัวอย่าง: ${\displaystyle \beta =1,2,4}$

• สุ่มเมทริกซ์เกาส์เซียนโดยที่สมาชิกทุกตัวในเมทริกซ์นั้นเป็น ตัวแปรสุ่มอิสระและมีการกระจาย เหมือนกัน (IID)ซึ่งได้มาจากการกระจายแบบปกติมาตรฐานที่สอดคล้องกัน ${\displaystyle X_{N}}$
  • ถ้าเช่นนั้น${\displaystyle \beta =1}$${\displaystyle X_{N,ij}\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$
  • ถ้าเช่นนั้น${\displaystyle \beta =2}$${\displaystyle X_{N,ij}\sim {\mathcal {N}}(0,1/2)+i{\mathcal {N}}(0,1/2)}$
  • ถ้าเช่นนั้น${\displaystyle \beta =4}$${\displaystyle X_{N,ij}\sim {\mathcal {N}}(0,1/4)+i{\mathcal {N}}(0,1/4)+j{\mathcal {N}}(0,1/4)+k{\mathcal {N}}(0,1/4)}$
• อนุญาต.${\displaystyle W_{N}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(X+X^{*})}$

ในทุกกรณี กลุ่ม GβE(N) ถูกกำหนดด้วยฟังก์ชันความหนาแน่นโดยที่ฟังก์ชันการแบ่งส่วนคือ ${\displaystyle \beta =1,2,4}$$${\displaystyle \rho (W_{N})={\frac {1}{Z}}e^{-{\frac {\beta }{4}}\sum _{i=1}^{N}W_{N,ii}^{2}-{\frac {\beta }{2}}\sum _{1\leq i<j\leq N}|W_{N,ij}|^{2}}={\frac {1}{Z}}e^{-{\frac {\beta }{4}}\mathrm {Tr} W_{N}^{2}}}$$${\displaystyle Z=2^{{\frac {1}{2}}N}\left({\frac {2\pi }{\beta }}\right)^{{\frac {1}{2}}N+{\frac {1}{4}}\beta N(N-1)}}$

กลุ่มออร์โธโกนอลเกาส์เซียน GOE(N) ถูกกำหนดให้เป็นการกระจายความน่าจะเป็นเหนือเมทริกซ์สมมาตรที่มีฟังก์ชันความหนาแน่นโดยที่ฟังก์ชันพาร์ติชันคือ ${\displaystyle N\times N}$$${\displaystyle \rho (W_{N})={\frac {1}{Z}}e^{-{\frac {1}{4}}\sum _{i=1}^{N}W_{N,ii}^{2}-{\frac {1}{2}}\sum _{1\leq i<j\leq N}W_{N,ij}^{2}}={\frac {1}{Z}}e^{-{\frac {1}{4}}\mathrm {Tr} W_{N}^{2}}}$$${\displaystyle Z=2^{{\frac {1}{4}}N(N+3)}\pi ^{{\frac {1}{4}}N(N+1)}}$

กล่าวโดยชัดเจน เนื่องจากมีเพียงระดับความเป็นอิสระเท่านั้น การกำหนดพารามิเตอร์จึงเป็นดังนี้โดยที่เราเลือกค่าในแนวทแยงมุมด้านบนเป็นระดับความเป็นอิสระ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}N(N+1)}$$${\displaystyle \rho (W_{N})\prod _{1\leq i\leq j\leq N}dW_{N,ij}}$$${\displaystyle \{W_{ij}\}_{1\leq i\leq j\leq N}}$

กลุ่มเอกภาพเกาส์เซียน GUE(N) ถูกกำหนดให้เป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นเหนือเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนที่มีฟังก์ชันความหนาแน่นโดยที่ฟังก์ชันการแบ่งส่วนคือ ${\displaystyle N\times N}$$${\displaystyle \rho (W_{N})={\frac {1}{Z}}e^{-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}W_{N,ii}^{2}-\sum _{1\leq i<j\leq N}|W_{N,ij}|^{2}}={\frac {1}{Z}}e^{-{\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} \,W_{N}^{2}}.}$$${\displaystyle Z=2^{{\frac {1}{2}}N}\pi ^{{\frac {1}{2}}N^{2}}}$

กล่าวโดยชัดเจน เนื่องจากมีเพียงระดับความเป็นอิสระเท่านั้น การกำหนดพารามิเตอร์จึงเป็นดังนี้ โดยที่เราเลือกค่าในแนวทแยงมุมด้านบนเป็นระดับความเป็นอิสระ ${\displaystyle N^{2}}$$${\displaystyle \rho (W_{N})\,\prod _{i=1}^{N}dW_{N,ii}\;\prod _{1\leq i<j\leq N}d(\mathrm {Re} \,W_{N,ij})\,d(\mathrm {Im} \,W_{N,ij})}$$${\displaystyle \{W_{N,ii}\}_{1\leq i\leq N}\cup \{\mathrm {Re} \,W_{N,ij},\,\mathrm {Im} \,W_{N,ij}\}_{1\leq i<j\leq N}}$

กลุ่มซิมเพล็กติกแบบเกาส์เซียน GSE(N) ถูกกำหนดให้เป็นการกระจายความน่าจะเป็นเหนือเมทริกซ์ควอเทอร์เนียนสมมาตรที่มีฟังก์ชันความหนาแน่นโดยที่ฟังก์ชันพาร์ติชันคือ ${\displaystyle N\times N}$$${\displaystyle \rho (W_{N})={\frac {1}{Z}}e^{-\sum _{i=1}^{N}W_{N,ii}^{2}-2\sum _{1\leq i<j\leq N}|W_{N,ij}|^{2}}={\frac {1}{Z}}e^{-\mathrm {Tr} \,W_{N}^{2}}.}$$${\displaystyle Z=2^{-N(N-1)}\pi ^{{\frac {1}{2}}N(2N-1)}}$

กล่าวโดยชัดเจน เนื่องจากมีเพียงระดับความเป็นอิสระเท่านั้น การกำหนดพารามิเตอร์จึงเป็นดังนี้: โดยที่เราเขียนและเลือกค่าในแนวทแยงมุมบนเป็นระดับความเป็นอิสระ ${\displaystyle N(2N-1)}$$${\displaystyle \rho (W_{N})\,\prod _{i=1}^{N}dW_{N,ii}\;\prod _{1\leq i<j\leq N}\prod _{a=0}^{3}dW_{N,ij}^{(a)}}$$${\displaystyle W_{N,ij}=W_{N,ij}^{(0)}+i\,W_{N,ij}^{(1)}+j\,W_{N,ij}^{(2)}+k\,W_{N,ij}^{(3)}}$${\displaystyle \{W_{N,ii}\}_{1\leq i\leq N}\cup \{W_{N,ij}^{(a)}\}_{1\leq i<j\leq N,\;0\leq a\leq 3}}$

ในทุกกรณี กลุ่ม GβE(N) มีลักษณะเฉพาะที่ไม่ซ้ำกัน (จนถึงการแปลงเชิงเส้น ) โดยสมมาตรหรือความไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การแปลงที่เหมาะสม^{[ 3 ]}${\displaystyle \beta =1,2,4}$

สำหรับ GOE ให้พิจารณาการแจกแจงความน่าจะเป็นบนเมทริกซ์สมมาตรที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ${\displaystyle N\times N}$

• ความไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงเชิงตั้งฉาก : สำหรับเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก คงที่ใดๆ (ไม่ใช่เมทริกซ์สุ่ม) ให้เป็นตัวอย่างสุ่มจาก1การแจกแจง แล้วจะมี1การแจกแจงเหมือนกับ${\displaystyle N\times N}$${\displaystyle O}$${\displaystyle M}$${\displaystyle OMO^{T}}$${\displaystyle M}$
• ความเป็นอิสระ : ผลงานที่ส่งเข้ามาทั้งหมดถูกเผยแพร่อย่างอิสระ${\displaystyle \{M_{ij}\}_{1\leq i\leq j\leq N}}$

สำหรับ GUE ให้พิจารณาการแจกแจงความน่าจะเป็นเหนือเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ${\displaystyle N\times N}$

• ความไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงแบบเอกภาพ : สำหรับเมทริกซ์เอกภาพ คงที่ใดๆ (ไม่ใช่เมทริกซ์สุ่ม) ให้เป็นตัวอย่างสุ่มจาก1 การแจกแจง แล้วจะมี1 การแจกแจงเช่นเดียวกับ${\displaystyle N\times N}$${\displaystyle U}$${\displaystyle M}$${\displaystyle UMU^{*}}$${\displaystyle M}$
• ความเป็นอิสระ: ผลงานที่ส่งเข้ามาทั้งหมดถูกเผยแพร่อย่างอิสระ${\displaystyle \{M_{ij}\}_{1\leq i\leq j\leq N}}$

สำหรับ GSE ให้พิจารณาการแจกแจงความน่าจะเป็นเหนือเมทริกซ์ควอเทอร์เนียนแบบสมมาตรซึ่งมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ${\displaystyle N\times N}$

• ความไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงเชิงซิมเพล็กติก : สำหรับเมทริกซ์เชิงซิมเพล็กติก คงที่ใดๆ (ไม่ใช่เมทริกซ์สุ่ม) ให้เป็นตัวอย่างสุ่มจาก1การแจกแจง แล้วจะมี1การแจกแจงเหมือนกับ${\displaystyle N\times N}$${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$${\displaystyle SMS^{*}}$${\displaystyle M}$
• ความเป็นอิสระ: ผลงานที่ส่งเข้ามาทั้งหมดถูกเผยแพร่อย่างอิสระ${\displaystyle \{M_{ij}\}_{1\leq i\leq j\leq N}}$

ในทั้ง 3 กรณี เงื่อนไขเหล่านี้บังคับให้การกระจายมีรูปแบบโดยที่และดังนั้น ด้วยการระบุเพิ่มเติมของเราจะได้ GOE, GUE, GSE กลับคืนมา^{[ 4 ]}ที่น่าสังเกตคือ หากต้องการเพียงความไม่แปรเปลี่ยน การกระจายสเปกตรัมใดๆ ก็สามารถสร้างได้โดยการคูณด้วยฟังก์ชันในรูปแบบ^{[ 5 ]}${\displaystyle \rho (M)={\frac {1}{Z}}e^{-a\operatorname {Tr} (M^{2})+b\operatorname {Tr} (M)}}$${\displaystyle a>0}$${\displaystyle b,Z\in \mathbb {R} }$${\displaystyle {\frac {1}{N}}\mathbb {E} [\operatorname {Tr} (M)]=0,{\frac {1}{N^{2}}}\mathbb {E} [\operatorname {Tr} (M^{2})]=1+{\frac {2/\beta -1}{N}}}$${\displaystyle f(\operatorname {Tr} (X),\operatorname {Tr} (X^{2}),\operatorname {Tr} (X^{3}),\dots )}$

กล่าวโดยสรุป GOE, GUE และ GSE แต่ละตัวมีลักษณะเฉพาะที่ไม่ซ้ำกัน โดยมีคุณสมบัติคงที่ ความเป็นอิสระ ค่าเฉลี่ย และความแปรปรวน

ในทุกกรณี กลุ่ม GβE(N) ถูกกำหนดให้เป็นกลุ่มที่ได้จาก โดยที่ ${\displaystyle \beta =1,2,4}$${\displaystyle ADA^{*}}$

• ${\displaystyle D=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{N})}$เป็นเมทริกซ์แนวทแยงที่มีค่าสมาชิกสุ่มตามความหนาแน่นสเปกตรัม ซึ่งกำหนดไว้ด้านล่าง
• ${\displaystyle A}$คือเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก/เอกภาพ/ซิมเพล็กติกที่สุ่มตัวอย่างอย่างสม่ำเสมอ กล่าวคือ จากการวัด Haar ที่เป็นมาตรฐาน ของกลุ่มเชิงตั้งฉาก / เอกภาพ / ซิมเพล็กติก

ด้วยวิธีนี้ กลุ่ม GβE(N) อาจถูกกำหนดหลังจากที่กำหนดความหนาแน่นสเปกตรัมก่อน ดังนั้นวิธีการใดๆ ที่ใช้เป็นแรงจูงใจในความหนาแน่นสเปกตรัมก็จะใช้ได้ผลกับกลุ่ม GβE(N) เช่นกัน และในทางกลับกัน

ในทุกกรณี กลุ่ม GβE(N) มีลักษณะเฉพาะคือการกระจายความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์เหนือ เมทริกซ์ สมมาตร/ตั้งฉาก/ซิมเพล็กติกจริง/เชิงซ้อน/ควอเทอร์เนียนที่เพิ่มเอนโทรปีสูงสุดภายใต้ข้อจำกัดของ^{[ 6 ]}${\displaystyle \beta =1,2,4}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle N\times N}$${\displaystyle \mathbb {E} _{M\sim \rho }[-\ln \rho (M)]}$${\displaystyle {\frac {1}{N^{2}}}\mathbb {E} _{M\sim \rho }[\operatorname {Tr} (M^{2})]=1+{\frac {2/\beta -1}{N}}}$

สำหรับค่าไอเกนความหนาแน่นร่วมของ G β E(N) คือโดยที่คือดีเทอร์มิแนนต์ของแวนเดอร์มอนด์และฟังก์ชันพาร์ติชันจะถูกประเมินอย่างชัดเจนเป็นอินทิกรัลเซลเบิร์ก : ^{[ 7 ]}โดยที่คือฟังก์ชันแกมมาของออยเลอร์นิพจน์จะเรียบง่ายเป็นพิเศษเมื่อโดยที่เรามีซูเปอร์แฟกทอเรียล :${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{N}}$$${\displaystyle \rho _{\beta ,N}(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{N})={\frac {1}{Z_{\beta ,N}}}e^{-{\frac {\beta }{4}}\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}^{2}}\prod _{1\leq i<j\leq N}|\lambda _{i}-\lambda _{j}|^{\beta }={\frac {1}{Z_{\beta ,N}}}e^{-{\frac {\beta }{4}}\|\lambda \|_{2}^{2}}|\Delta _{N}(\lambda )|^{\beta }}$$${\displaystyle \Delta _{N}}$${\displaystyle Z_{\beta ,N}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{\beta ,N}&=\int _{\mathbb {R} ^{N}}e^{-{\frac {\beta }{4}}\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}^{2}}\prod _{1\leq i<j\leq N}|\lambda _{i}-\lambda _{j}|^{\beta }d\lambda \\&=(2\pi )^{\frac {N}{2}}\left({\frac {2}{\beta }}\right)^{{\frac {1}{2}}N+{\frac {1}{4}}\beta N(N-1)}\prod _{j=1}^{N}{\frac {\Gamma \left(1+j{\frac {\beta }{2}}\right)}{\Gamma \left(1+{\frac {\beta }{2}}\right)}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \beta =2}$$${\displaystyle Z_{2,N}=(2\pi )^{\frac {N}{2}}\prod _{j=1}^{N}j!}$$

กำหนดฟังก์ชันโดยที่คือพหุนามเฮอร์ไมต์ของนักความน่าจะเป็นเหล่านี้คือ สถานะ ฟังก์ชันคลื่นของตัวสั่นฮาร์มอนิกควอนตัม ${\displaystyle \psi _{n}(x):={\frac {e^{-{\frac {1}{4}}x^{2}}}{\sqrt {n!{\sqrt {2\pi }}}}}\operatorname {He} _{n}(x)}$${\displaystyle \operatorname {He} }$

สเปกตรัมของ GUE(N) เป็นกระบวนการจุดดีเทอร์มิแนนต์ที่มีเคอร์เนลและโดยสูตร Christoffel–Darbouxโดยใช้รูปแบบคอนฟลูเอนต์ของ Christoffel–Darboux และการเกิดซ้ำสามเทอมของพหุนาม Hermite ความหนาแน่นสเปกตรัมของ GUE(N) สำหรับค่าจำกัดของ: ^{[ 8 ]}การกระจายสเปกตรัมของสามารถเขียนได้เป็น กระบวนการจุดดีเทอร์มิแนนต์ควอเทอร์ เนียนที่เกี่ยวข้องกับพหุนามตั้งฉากเฉียง^{[ 9 ] [ 10 ]}${\displaystyle K_{N}(x,x'):=\sum _{n=0}^{N-1}\psi _{n}(x)\psi _{n}(x')}$$${\displaystyle K_{N}(x,x')={\frac {e^{-{\frac {1}{4}}\left(x^{2}+x^{\prime 2}\right)}}{(N-1)!{\sqrt {2\pi }}}}{\frac {\operatorname {He} _{N}(x)\operatorname {He} _{N-1}\left(x^{\prime }\right)-\operatorname {He} _{N-1}(x)\operatorname {He} _{N}\left(x^{\prime }\right)}{x-x^{\prime }}}}$$${\displaystyle N}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (x)&={\frac {1}{N}}K_{N}(x,x)\\&={\frac {1}{N{\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {1}{n!}}\operatorname {He} _{n}(x)^{2}\\&={\frac {e^{-x^{2}/2}}{{\sqrt {2\pi }}N!}}\left(\operatorname {He} _{N}(x)^{2}-\operatorname {He} _{N+1}(x)\operatorname {He} _{N-1}(x)\right)\end{aligned}}}$$${\displaystyle \beta =1,4}$

ในทุกกรณี เมื่อกำหนดเมทริกซ์ที่สุ่มมาจากกลุ่ม GβE(N) เราสามารถทำการแปลง Householder เป็นเมทริกซ์สามแถวเพื่อให้ได้เมทริกซ์สามแถวซึ่งมีการกระจายแบบเดียวกันกับที่แต่ละ เมทริกซ์ มีการกระจายแบบเกาส์เซียน และแต่ละ เมทริกซ์ มีการกระจายแบบไคและเมทริกซ์ทั้งหมดเป็นอิสระต่อกันกรณีนี้ได้รับการกล่าวถึงครั้งแรกในปี 1984 ^{[ 11 ]}และกรณีทั่วไปได้รับการกล่าวถึงในปี 2002 ^{[ 12 ]}เช่นเดียวกับที่ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ Laplaceสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ Laplacianได้ รูปแบบเมทริกซ์สามแถวของกลุ่มเกาส์เซียนนี้ช่วยให้สามารถตีความกลุ่มเกาส์เซียนใหม่เป็นกลุ่มที่ไม่ใช่เมทริกซ์ แต่เป็นกลุ่มของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์โดยเฉพาะอย่างยิ่ง "ตัวดำเนินการ Airy แบบสุ่ม" ซึ่งนำไปสู่การศึกษาเมทริกซ์สุ่มในฐานะตัวดำเนินการแบบสุ่มโดยทั่วไป^{[ 2 ]}${\displaystyle \beta =1,2,4}$${\displaystyle W_{N}}$${\displaystyle T_{\beta ,N}}$$${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{\beta }}}{\begin{bmatrix}a_{N}{\sqrt {2}}&b_{N-1}&0&\cdots &0\\b_{N-1}&a_{N-1}{\sqrt {2}}&b_{N-2}&\ddots &\vdots \\0&b_{N-2}&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &a_{2}{\sqrt {2}}&b_{1}\\0&\cdots &0&b_{1}&a_{1}{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{N}\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$${\displaystyle b_{i}\sim \chi _{i\beta }}$${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{N},b_{1},\dots ,b_{N-1}}$${\displaystyle \beta =1}$

ในเชิงการคำนวณ วิธีนี้ช่วยให้สามารถสุ่มตัวอย่างค่าลักษณะเฉพาะได้อย่างมีประสิทธิภาพ ตั้งแต่เมทริกซ์ทั้งหมด ไปจนถึงเมทริกซ์สามแถว หากต้องการเพียงฮิสโตแกรมของค่าลักษณะเฉพาะที่มีช่อง เวลาสามารถลดลงได้อีกโดยใช้ลำดับสเติร์ม [ ^{13 ] ใน}ทางทฤษฎี คำจำกัดความนี้ช่วยให้สามารถขยายไปยังทุกกรณี ซึ่งนำไปสู่กลุ่มเบต้าแบบเกาส์เซียน^[ 14 ] ^{[ 12 ]และกลุ่ม}เบต้าแบบเกาส์เซียน "แบบสมมาตร" ^{[ 15 ]}${\displaystyle O(N^{3})}$${\displaystyle O(N^{2})}$${\displaystyle m}$${\displaystyle O(Nm)}$${\displaystyle \beta >0}$

ในทำนองเดียวกัน ให้เป็นเมทริกซ์ที่มีรายการทั้งหมด IID ที่สุ่มมาจากการแจกแจงปกติมาตรฐานที่สอดคล้องกัน – ตัวอย่างเช่น ถ้าแล้วจากนั้นการใช้การแปลง Householder ซ้ำๆ เฉพาะด้านซ้ายของ จะได้ผลลัพธ์เป็นโดยที่แต่ละเป็นเมทริกซ์ Householderและเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนที่มีรายการอิสระ โดยที่แต่ละ^{สำหรับ}และแต่ละสำหรับ^{[ 16} ]${\displaystyle X_{N}}$${\displaystyle N\times N}$${\displaystyle \beta =2}$${\displaystyle X_{N,ij}\sim {\mathcal {N}}(0,1/2)+i{\mathcal {N}}(0,1/2)}$${\displaystyle R_{N}=H_{1}\dots H_{N}X_{N}}$${\displaystyle H_{i}}$${\displaystyle R_{N}}$${\displaystyle {\sqrt {\beta }}R_{N,ii}\sim \chi _{N+1-i}}$${\displaystyle 1\leq i\leq N}$${\displaystyle R_{N,ij}\sim {\mathcal {N}}(0,1/\beta )^{\otimes \beta }}$${\displaystyle 1\leq i<j\leq N}$

กฎครึ่งวงกลมของวิกเนอร์ระบุว่าการกระจายค่าลักษณะเฉพาะเชิงประจักษ์จะลู่เข้าสู่การกระจายครึ่งวงกลมของวิกเนอร์ที่มีรัศมี 2 ^{[ 17 ] [ 18 ]}นั่นคือ การกระจายบนที่มีฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {N}}}W_{N}}$${\displaystyle [-2,+2]}$$${\displaystyle \rho _{sc}(x)={\frac {\sqrt {4-x^{2}}}{2\pi }}}$$

เงื่อนไขที่ว่ากลุ่มเมทริกซ์ต้องเป็นกลุ่มเมทริกซ์แบบเกาส์เซียนนั้นเข้มงวดเกินไปสำหรับกฎครึ่งวงกลมของวิกเนอร์ อันที่จริง ทฤษฎีบทนี้ใช้ได้ทั่วไปกับกลุ่มเมทริกซ์ที่ทั่วไปกว่ามาก

ความหนาแน่นร่วมสามารถเขียนได้ในรูปของการวัดของกิบส์โดยมีฟังก์ชันพลังงาน (หรือเรียกว่าแฮมิลโทเนียน ) ซึ่งสามารถตีความทางกายภาพได้ว่าเป็นการกระจายแบบโบลต์ซมันน์ของระบบทางกายภาพที่ประกอบด้วย ประจุไฟฟ้าหน่วยที่เหมือนกันซึ่งถูกจำกัดให้เคลื่อนที่บนเส้นจำนวนจริง โดยผลักกันผ่าน ศักย์คูลอมบ์สองมิติในขณะที่ถูกดึงดูดเข้าหาจุดกำเนิดผ่านศักย์กำลังสองนี่คือ แบบจำลอง ก๊าซคูลอมบ์สำหรับค่าไอเกน ${\displaystyle \rho _{\beta ,N}}$$${\displaystyle \rho _{\beta ,N}={\frac {1}{Z_{\beta ,N}^{\text{CG}}}}e^{-\beta E_{N}}}$$${\displaystyle E_{N}={\frac {1}{4}}\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}^{2}-\sum _{1\leq i<j\leq N}\ln |\lambda _{i}-\lambda _{j}|}$${\displaystyle N}$${\displaystyle -\ln |x-y|}$${\displaystyle {\frac {1}{4}}x^{2}}$

ในขีดจำกัดระดับมหภาค จะมีการปรับขนาดและกำหนดมาตรวัดเชิงประจักษ์ใหม่โดยจะได้โดยที่ฟังก์ชันสนามเฉลี่ยจะให้พจน์ลำดับนำใน ซึ่งเรียกว่าพลังงานอิสระของก๊าซคูลอมบ์ พลังงานอิสระของก๊าซคูลอมบ์จะถูกทำให้มีค่าต่ำสุดโดยกฎครึ่งวงกลมของวิกเนอร์ซึ่งให้ความหนาแน่นของค่าลักษณะเฉพาะที่จำกัด^{[ 19 ]}${\displaystyle \lambda _{i}=N^{1/2}x_{i}}$${\displaystyle \mu _{N}=N^{-1}\sum _{i=1}^{N}\delta _{x_{i}}}$${\displaystyle E_{N}\approx {\frac {1}{2}}N^{2}\left({\mathcal {E}}[\mu ]+{\frac {1}{2}}\ln N\right)}$$${\displaystyle {\mathcal {E}}[\mu ]={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }x^{2}\mu (dx)-\iint _{\mathbb {R} ^{2}}\ln |x-y|\mu (dx)\mu (dy)}$$${\displaystyle N^{2}}$${\displaystyle \ln Z_{\beta ,N}}$${\displaystyle d\mu _{sc}(x)=(2\pi )^{-1}{\sqrt {4-x^{2}}}1_{\{|x|\leq 2\}}dx}$

อีกทางเลือกหนึ่ง สมมติว่ามีอยู่จริงซึ่งศักย์ไฟฟ้ากำลังสองสามารถสร้างขึ้นใหม่ได้ (โดยมีค่าคงที่บวกเพิ่ม) ผ่านทางจากนั้น การกำหนดประจุไฟฟ้าลบพื้นหลังคงที่ที่มีความหนาแน่นจะหักล้างแรงผลักทางไฟฟ้าระหว่างประจุบวกที่เคลื่อนที่อย่างอิสระได้อย่างสมบูรณ์ ฟังก์ชันดังกล่าวมีอยู่จริง: ซึ่งสามารถหาได้โดยการแก้สมการอินทิกรัลสิ่งนี้บ่งชี้ว่าการกระจายแบบครึ่งวงกลมของวิกเนอร์เป็นการกระจายสมดุล^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}${\displaystyle \rho _{b}}$$${\displaystyle \int _{-2{\sqrt {N}}}^{2{\sqrt {N}}}-\ln |x-y|\rho _{b}(y)dy={\frac {1}{4}}x^{2}+C,\quad x\in [-2{\sqrt {N}},2{\sqrt {N}}].}$$${\displaystyle |\rho _{b}(y)|}$${\displaystyle \rho _{b}(y)=-{\frac {\sqrt {4N-y^{2}}}{2N\pi }}}$

ความผันผวนแบบเกาส์เซียนที่ได้จากการขยายไปสู่ลำดับที่สอง จะสร้างเคอร์เนลไซน์ในส่วนใหญ่ และเคอร์เนลแอรี่ที่ขอบอ่อน หลังจากปรับขนาดอย่างเหมาะสมแล้ว ${\displaystyle \mu _{sc}}$${\displaystyle E_{N}}$

ค่าไอเกนที่ใหญ่ที่สุดสำหรับ GβE(N) เป็นไปตามการกระจายของ Tracy–Widomหลังจากการแปลและการปรับขนาดที่เหมาะสม^{[ 23 ]}สามารถสุ่มตัวอย่างได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยใช้อัลกอริทึม Lanczos แบบเลื่อน-ผกผันที่มุมบนซ้ายของรูปแบบเมทริกซ์สามแถว^{[ 24 ]}${\displaystyle 10n^{1/3}\times 10n^{1/3}}$

จากค่าไอเกนที่เรียงลำดับแล้วกำหนดระยะห่างแบบนอร์มาไลซ์โดยมีระยะห่างเฉลี่ย ซึ่ง จะ ทำให้ระยะห่างเป็นมาตรฐานโดย: ด้วยวิธีนี้ การกระจายระยะห่างโดยประมาณจะเป็นดังนี้ ${\displaystyle \lambda _{1}<\dots <\lambda _{n}<\lambda _{n+1}<\dots <\lambda _{N}}$${\displaystyle s_{n}={\frac {\lambda _{n+1}-\lambda _{n}}{\langle s\rangle }}}$${\displaystyle \langle s\rangle }$$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }p_{\beta }(s)\,ds=1,\qquad \int _{0}^{\infty }s\,p_{\beta }(s)\,ds=1,\qquad \beta =1,2,4.}$$$${\displaystyle p_{\beta }(s)={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}s\exp \left(-{\frac {\pi }{4}}s^{2}\right)&\beta =1\\{\frac {32}{\pi ^{2}}}s^{2}\exp \left(-{\frac {4}{\pi }}s^{2}\right)&\beta =2\\{\frac {2^{18}}{3^{6}\pi ^{3}}}s^{4}\exp \left(-{\frac {64}{9\pi }}s^{2}\right)&\beta =4\\\end{cases}}}$$

สำหรับ GOE(N) ฟังก์ชันสร้างโมเมนต์ ของมัน คือโดยที่คือค่ามาตรฐานฟรอเบนิอุส ${\textstyle \mathbb {E} \left[e^{\operatorname {Tr} (VW_{N})}\right]=e^{{\frac {1}{4}}\|V+V^{\text{T}}\|_{F}^{2}}}$${\displaystyle \|\cdot \|_{F}}$

กลุ่ม GUE(N) สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นสมาชิกตัวแทนเฉพาะของกลุ่มสมมาตรการหมุนทั่วไปเหนือเมทริกซ์เฮอร์มิเชียน ทฤษฎีทั่วไปของกลุ่มสมมาตรการหมุนทำให้นักวิจัยสามารถพิสูจน์ผลลัพธ์สากล บางประการได้ ^{[ 25 ]}

แนวคิดเรื่องกลุ่มเกาส์เซียน (Gaussian ensemble) เริ่มต้นมาจากฟิสิกส์เชิงทฤษฎี ในช่วงทศวรรษ 1940 ยูจีน วิกเนอร์ศึกษาการเว้นระยะห่างที่ไม่สม่ำเสมอของ เรโซแนนซ์ นิวตรอน ช้า ในนิวเคลียสหนัก โดยใช้ระดับพลังงานเพียงไม่กี่สิบระดับที่มีอยู่ในขณะนั้น เขาสังเกตเห็นแรงผลักที่เด่นชัดระหว่างเส้นพลังงานที่อยู่ใกล้เคียงกัน

ในปี พ.ศ. 2494 เขาสร้างแบบจำลองแฮมิลโทเนียนของนิวเคลียสแบบผสมในรูปแบบขั้นต่ำ^{[ 26 ]}เขาสังเกตว่าจากการพิจารณาสมมาตร มันจะต้องเป็นตัวดำเนินการสมมาตรจริง ดังนั้นเขาจึงสร้างแบบจำลองเป็นตัวอย่างสุ่มจาก GOE(N) เขาแก้ปัญหากรณี 2×2 และพบกฎการเว้นระยะสองระดับซึ่งตรงกับข้อมูลเป็นอย่างดี เขาเผยแพร่การคาดเดาของเขา ("การคาดเดาของวิกเนอร์") ในระหว่างการประชุมเกี่ยวกับฟิสิกส์นิวตรอนโดยเวลาบินในปี พ.ศ. 2499: ^{[ 27 ] [ 28 ] [ 29 ]}${\displaystyle P(s)={\frac {\pi }{2}}se^{-\pi s^{2}/4}}$

บางทีตอนนี้ผมอาจจะกล้าหาญเกินไปแล้วที่พยายามเดาการกระจายของระยะห่างระหว่างระดับพลังงานที่ต่อเนื่องกัน (ของนิวเคลียสหนัก) ในทางทฤษฎี สถานการณ์ค่อนข้างง่ายหากเราพิจารณาปัญหาด้วยวิธีที่เรียบง่าย คำถามก็คือระยะห่างของค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์สมมาตรที่มีสัมประสิทธิ์แบบสุ่มนั้นมีค่าเท่าใด

ฟรีแมน ไดสัน ระบุโครงการนี้ว่าเป็นทฤษฎีทางสถิติของระดับพลังงานนิวเคลียร์ ซึ่งแตกต่างจากการคำนวณที่แม่นยำโดยอาศัยแบบจำลองเชิงวิเคราะห์ของนิวเคลียส เขาให้เหตุผลว่าทฤษฎีทางสถิติมีความจำเป็น เพราะระดับพลังงานที่วัดได้ในขณะนั้นอยู่ในระดับหลายล้าน และสำหรับระดับที่สูงเช่นนี้ การคำนวณที่แม่นยำเป็นไปไม่ได้ แนวคิดนี้แตกต่างจากรูปแบบของกลศาสตร์สถิติที่เข้าใจกันในขณะนั้น เพราะแทนที่จะมีระบบที่มีกฎพลศาสตร์ที่ระบุไว้อย่างแม่นยำ โดยมีอนุภาคจำนวนมากที่โต้ตอบกันภายใต้ระบบนั้น ดังนั้นอนุภาคเหล่านั้นจึงจำเป็นต้องได้รับการปฏิบัติทางสถิติ เขาจะสร้างแบบจำลองกฎพลศาสตร์เองว่าเป็นสิ่งที่ไม่ทราบ และจึงได้รับการปฏิบัติทางสถิติ^{[ 30 ]}

ในปี พ.ศ. 2505 ไดสันได้เสนอ "วิธีสามทาง" เพื่อกระตุ้นกลุ่มทั้งสามกลุ่ม โดยแสดงให้เห็นว่าใน 3 สาขา ( การแสดงกลุ่มกลศาสตร์ควอนตัม ทฤษฎีเมทริกซ์สุ่ม) มีการแยกแบบ 3 เท่า ซึ่งเขาสืบย้อนกลับไปถึงทฤษฎีบทของโฟรเบนิอุสที่ระบุว่ามีเพียงพีชคณิตการหารจริง 3 แบบเท่านั้น ได้แก่ พีชคณิตจริง พีชคณิตเชิงซ้อน และพีชคณิตควอเทอร์เนียน^{[ 31 ]}เมทริกซ์สุ่มที่แสดงถึงแฮมิลโทเนียน สามารถจำแนกได้โดยตัวดำเนินการต่อต้านเอกภาพที่อธิบาย สม มาตรการย้อนเวลาการจำแนกขึ้นอยู่กับว่ามีอยู่หรือไม่ และถ้ามี ค่าของแต่ละชั้นสมมาตรสร้างข้อจำกัดเกี่ยวกับรูปแบบที่เป็นไปได้ของและกลุ่มเกาส์เซียนที่สอดคล้องกันสามารถกระตุ้นได้เป็นการกระจายเอนโทรปีสูงสุดดังที่ได้อธิบายไว้ก่อนหน้านี้ ${\displaystyle H}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T^{2}}$${\displaystyle H}$

วิธีการสามประการของไดสัน

สมมาตร	ฐานเมทริกซ์อยู่ที่ไหน... ${\displaystyle H}$	การเป็นตัวแทนของกลุ่ม	วงดนตรี
${\displaystyle T^{2}=+1}$(เช่นสปินจำนวนเต็มไม่มีอันตรกิริยาสปิน-ออร์บิต ที่รุนแรง )	สมมาตรจริง	จริง	โก
ไม่มี(เช่น การมีอยู่ของสนามแม่เหล็กสิ่งเจือปนแม่เหล็กศักย์เกจ ไครัล ) ${\displaystyle T}$	เฮอร์มิเชียนที่ซับซ้อน	ซับซ้อน	เกว
${\displaystyle T^{2}=-1}$(เช่นสปินครึ่งจำนวนเต็มที่มีอันตรกิริยาสปิน-ออร์บิต)	ตัวดำเนินการสมมาตรควอเทอร์เนียน (ซิมเพล็กติก)	เสมือนความจริง	จีเอสอี

ถ้าเป็นเช่นนั้นแฮมิลโทเนียนจะต้องสมมาตรจริง ซึ่งโดยทั่วไปจะเกิดขึ้นในระบบที่ไม่มีสนามแม่เหล็กและมีอนุภาคไร้สปินหรือ อนุภาค สปินจำนวนเต็มที่มีปฏิสัมพันธ์สปิน-ออร์บิต ที่น้อยมาก ปรากฏการณ์นี้เกิดขึ้นในการกระจายระยะห่างของระดับในสถานะประกอบนิวเคลียร์ ซึ่งเป็นแรงบันดาลใจดั้งเดิมของวิกเนอร์ ${\displaystyle T^{2}=+1}$${\displaystyle H}$

หากไม่มีอยู่จริง ก็เพียงแค่ต้องเป็นเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนเท่านั้น สมมาตรการย้อนกลับของเวลาสามารถถูกทำลายได้ด้วยสนามแม่เหล็ก เอก รูป ฟลักซ์แม่เหล็กแบบสุ่ม หรือเลเซอร์ ที่เลือกเฉพาะ สปิน ในกรณีเหล่านี้ องค์ประกอบเมทริกซ์นอกแนวทแยงจะได้รับเฟสเชิงซ้อนที่เป็นอิสระ ${\displaystyle T}$${\displaystyle H}$

• โพรงไมโครเวฟ ที่วุ่นวายที่มีเฟอร์ไรต์: การเพิ่มสนามแม่เหล็กแกนแรงทำให้สถิติระดับเปลี่ยนจาก GOE เป็น GUE อย่างต่อเนื่อง ซึ่งเป็นการยืนยัน^{สมมติฐาน} BGS [ ^{32 ]}
• ปรากฏการณ์ควอนตัมฮอลล์ : ฟิสิกส์ของสถานะขอบควอนตัมฮอลล์และระดับแลนเดาถูกจำลองโดย GUE เนื่องจากสนามแม่เหล็กตั้งฉากที่รุนแรงทำลายสมมาตรการย้อนกลับของเวลา
• การแปลตำแหน่ง Andersonใน 3 มิติ: การใช้ฟลักซ์ Aharonov–Bohmสามารถขับเคลื่อนสถิติของระบบจาก GOE ไปยัง GUE ในการเปลี่ยนผ่านโลหะ-ฉนวนที่เกิดจากความไม่เป็นระเบียบ^{[ 33 ]}

ถ้าเช่นนั้น นี่จะเป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทของ Kramersสำหรับระบบที่มีสปินครึ่งจำนวนเต็มและปฏิสัมพันธ์สปิน-ออร์บิต ที่สำคัญ แฮมิ ลโทเนียนที่ได้นั้นสามารถอธิบายได้อย่างเป็นธรรมชาติด้วย เมทริกซ์ควอเทอร์ เนียน -เฮอร์มิเชียน มีการสังเกตพบใน Kramers doublet ^{[ 34 ]}และระบบควอนตัมโกลาหลจำนวนมาก นอกจากนี้ยังสามารถสร้างระบบดังกล่าวได้โดยไม่มีสปิน^{[ 35 ]}${\displaystyle T^{2}=-1}$