วิธีการหาสมการของทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตโดยการหาลิมิตของความยาวคลื่นเป็นศูนย์นั้น ได้รับการอธิบายครั้งแรกโดยArnold Sommerfeldและ J. Runge ในปี พ.ศ. 2454 ^{[ 6 ]}การพิสูจน์ของพวกเขานั้นอิงตามข้อสังเกตด้วยวาจาของPeter Debye [ ^{7 ] [ 8 ] พิจารณา}ฟิลด์สเกลาร์โมโนโครมาติก${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=\phi (\mathbf {r} )e^{i\omega t}}$, ที่ไหน${\displaystyle \psi }$อาจเป็นส่วนประกอบใดๆ ของ สนาม ไฟฟ้าหรือสนามแม่เหล็กและด้วยเหตุนี้จึงมีฟังก์ชันดังกล่าว${\displaystyle \phi }$สอดคล้องกับสมการคลื่น$${\displaystyle \nabla ^{2}\phi +k_{o}^{2}n(\mathbf {r} )^{2}\phi =0}$$ ที่ไหน${\displaystyle k_{o}=\omega /c=2\pi /\lambda _{o}}$กับ${\displaystyle c}$โดยที่ คือความเร็วแสงในสุญญากาศ ที่นี่${\displaystyle n(\mathbf {r} )}$คือดัชนีหักเหของตัวกลาง โดยไม่เสียความเป็นทั่วไป เราขอแนะนำ${\displaystyle \phi =A(k_{o},\mathbf {r} )e^{ik_{o}S(\mathbf {r} )}}$เพื่อแปลงสมการเป็น $${\displaystyle -k_{o}^{2}A[(\nabla S)^{2}-n^{2}]+2ik_{o}(\nabla S\cdot \nabla A)+ik_{o}A\nabla ^{2}S+\nabla ^{2}A=0.}$$

เนื่องจากหลักการพื้นฐานของทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตอยู่ที่ขีดจำกัด${\displaystyle \lambda _{o}\sim k_{o}^{-1}\rightarrow 0}$โดยถือว่าอนุกรมเชิงอะซิมโทติกต่อไปนี้เป็นจริง $${\displaystyle A(k_{o},\mathbf {r} )=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {A_{m}(\mathbf {r} )}{(ik_{o})^{m}}}}$$

สำหรับค่าขนาดใหญ่แต่มีค่าจำกัดของ${\displaystyle k_{o}}$อนุกรมจะลู่เข้าสู่ค่าอนันต์ และต้องระมัดระวังในการเลือกเก็บเฉพาะพจน์แรกๆ ที่เหมาะสมเท่านั้น สำหรับแต่ละค่าของ${\displaystyle k_{o}}$สามารถหาจำนวนพจน์ที่เหมาะสมที่สุดที่จะเก็บไว้ได้ และการเพิ่มพจน์มากกว่าจำนวนที่เหมาะสมที่สุดอาจส่งผลให้การประมาณค่าแย่ลง^{[ 9 ]}เมื่อแทนอนุกรมลงในสมการและรวบรวมพจน์ที่มีลำดับต่างกัน จะพบว่า $${\displaystyle {\begin{aligned}O(k_{o}^{2}):&\quad (\nabla S)^{2}=n^{2},\\[1ex]O(k_{o}):&\quad 2\nabla S\cdot \nabla A_{0}+A_{0}\nabla ^{2}S=0,\\[1ex]O(1):&\quad 2\nabla S\cdot \nabla A_{1}+A_{1}\nabla ^{2}S=-\nabla ^{2}A_{0},\end{aligned}}}$$ โดยทั่วไป $${\displaystyle O(k_{o}^{1-m}):\quad 2\nabla S\cdot \nabla A_{m}+A_{m}\nabla ^{2}S=-\nabla ^{2}A_{m-1}.}$$

สมการแรกเรียกว่าสมการไอโคนาลซึ่งใช้กำหนดค่าไอโคนาล${\displaystyle S(\mathbf {r} )}$สมการแฮมิลตัน-จาโคบีเมื่อเขียนในพิกัดคาร์ทีเซียนจะได้ดังนี้ $${\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial z}}\right)^{2}=n^{2}.}$$

สมการที่เหลือจะกำหนดฟังก์ชันต่างๆ${\displaystyle A_{m}(\mathbf {r} )}$.

วิธีการหาสมการของทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตโดยการวิเคราะห์พื้นผิวของความไม่ต่อเนื่องของคำตอบของสมการของแม็กซ์เวลล์ได้รับการอธิบายครั้งแรกโดยรูดอล์ฟ คาร์ล ลูเนเบิร์กในปี พ.ศ. 2487 ^{[ 10 ]}วิธีนี้ไม่ได้จำกัดสนามแม่เหล็กไฟฟ้าให้มีรูปแบบพิเศษตามที่กำหนดโดยวิธีของซอมเมอร์เฟลด์-รันเก ซึ่งถือว่าแอมพลิจูด${\displaystyle A(k_{o},\mathbf {r} )}$และเฟส${\displaystyle S(\mathbf {r} )}$สอดคล้องกับสมการ${\textstyle \lim _{k_{0}\to \infty }{\frac {1}{k_{0}}}\left({\frac {1}{A}}\,\nabla S\cdot \nabla A+{\frac {1}{2}}\nabla ^{2}S\right)=0}$เงื่อนไขนี้เป็นไปตามคลื่นระนาบ แต่ไม่ใช่เงื่อนไขแบบบวก

ข้อสรุปหลักจากแนวทางของลูเนเบิร์กมีดังนี้:

ทฤษฎีบทสมมติว่าฟิลด์ต่างๆ${\displaystyle \mathbf {E} (x,y,z,t)}$และ${\displaystyle \mathbf {H} (x,y,z,t)}$(ในตัวกลางไอโซโทรปิกเชิงเส้นที่อธิบายด้วยค่าคงที่ไดอิเล็กตริก)${\displaystyle \varepsilon (x,y,z)}$และ${\displaystyle \mu (x,y,z)}$) มีจุดไม่ต่อเนื่องที่จำกัดตามแนวพื้นผิว (ที่เคลื่อนที่) ใน${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$อธิบายโดยสมการ${\displaystyle \psi (x,y,z)-ct=0}$ดังนั้นสมการของแม็กซ์เวลล์ในรูปแบบปริพันธ์จึงบ่งชี้ว่า${\displaystyle \psi }$สอดคล้องกับสมการไอโคนาล : $${\displaystyle \psi _{x}^{2}+\psi _{y}^{2}+\psi _{z}^{2}=\varepsilon \mu =n^{2},}$$ ที่ไหน${\displaystyle n(x,y,z)}$คือดัชนีหักเหของตัวกลาง (หน่วยเกาส์เซียน)

ตัวอย่างหนึ่งของพื้นผิวที่ไม่ต่อเนื่องดังกล่าวคือหน้าคลื่นเริ่มต้นที่แผ่ออกมาจากแหล่งกำเนิดที่เริ่มแผ่รังสี ณ ช่วงเวลาหนึ่ง

พื้นผิวของความไม่ต่อเนื่องของสนามจึงกลายเป็นหน้าคลื่นเชิงเรขาคณิตของแสง โดยมีสนามเชิงเรขาคณิตของแสงที่สอดคล้องกันกำหนดไว้ดังนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} ^{*}(x,y,z)&=\mathbf {E} (x,y,z,\psi (x,y,z)/c)\\[1ex]\mathbf {H} ^{*}(x,y,z)&=\mathbf {H} (x,y,z,\psi (x,y,z)/c)\end{aligned}}}$$

สนามเหล่านั้นเป็นไปตามสมการการขนส่งที่สอดคล้องกับสมการการขนส่งของแนวทาง Sommerfeld-Runge รังสีแสงในทฤษฎีของ Luneburg ถูกกำหนดให้เป็นวิถีโคจรที่ตั้งฉากกับพื้นผิวที่ไม่ต่อเนื่อง และสามารถแสดงให้เห็นได้ว่าเป็นไปตามหลักการของ Fermatเรื่องเวลาที่น้อยที่สุด ซึ่งเป็นการพิสูจน์ว่ารังสีเหล่านั้นเหมือนกับรังสีแสงในทัศนศาสตร์มาตรฐาน

การพัฒนาข้างต้นสามารถนำไปใช้กับสื่อแอนไอโซโทรปิกได้^{[ 11 ]}

การพิสูจน์ทฤษฎีบทของลูเนเบิร์กนั้นอาศัยการศึกษาว่าสมการของแม็กซ์เวลล์ควบคุมการแพร่กระจายของความไม่ต่อเนื่องของคำตอบอย่างไร บทพิสูจน์ทางเทคนิคพื้นฐานมีดังนี้:

บทพิสูจน์ทางเทคนิคให้${\displaystyle \varphi (x,y,z,t)=0}$เป็นไฮเปอร์เซอร์เฟซ (แมนิโฟลด์สามมิติ) ในปริภูมิเวลา${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$ซึ่งเกี่ยวข้องกับข้อใดข้อหนึ่งหรือมากกว่านั้น:${\displaystyle \mathbf {E} (x,y,z,t)}$,${\displaystyle \mathbf {H} (x,y,z,t)}$,${\displaystyle \varepsilon (x,y,z)}$,${\displaystyle \mu (x,y,z)}$มีจุดไม่ต่อเนื่องที่จำกัด ดังนั้น ณ แต่ละจุดบนพื้นผิวไฮเปอร์เซอร์เฟซ สูตรต่อไปนี้จะเป็นจริง: $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \varphi \cdot [\varepsilon \mathbf {E} ]&=0\\[1ex]\nabla \varphi \cdot [\mu \mathbf {H} ]&=0\\[1ex]\nabla \varphi \times [\mathbf {E} ]+{\frac {1}{c}}\,\varphi _{t}\,[\mu \mathbf {H} ]&=0\\[1ex]\nabla \varphi \times [\mathbf {H} ]-{\frac {1}{c}}\,\varphi _{t}\,[\varepsilon \mathbf {E} ]&=0\end{aligned}}}$$ ที่ซึ่ง${\displaystyle \nabla }$ผู้ดำเนินการทำหน้าที่ใน${\displaystyle xyz}$-ช่องว่าง (สำหรับค่าคงที่ทุกค่า)${\displaystyle t}$) และวงเล็บเหลี่ยมแสดงถึงความแตกต่างของค่าทั้งสองด้านของพื้นผิวที่ไม่ต่อเนื่อง (ซึ่งกำหนดขึ้นตามแบบแผนที่แน่นอนแต่ไม่ตายตัว เช่น ความชัน)${\displaystyle \nabla \varphi }$ชี้ไปในทิศทางของปริมาณที่ถูกหักออก )

โครงร่างการพิสูจน์เริ่มต้นด้วยสมการของแม็กซ์เวลล์ที่อยู่ห่างจากแหล่งกำเนิด (หน่วยเกาส์เซียน): $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \varepsilon \mathbf {E} =0\\[1ex]\nabla \cdot \mu \mathbf {H} =0\\[1ex]\nabla \times \mathbf {E} +{\tfrac {\mu }{c}}\,\mathbf {H} _{t}=0\\[1ex]\nabla \times \mathbf {H} -{\tfrac {\varepsilon }{c}}\,\mathbf {E} _{t}=0\end{aligned}}}$$

โดยใช้ทฤษฎีบทของสโตกส์ใน${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$จากสมการแรกข้างต้น เราสามารถสรุปได้ว่า สำหรับโดเมนใดๆ${\displaystyle D}$ใน${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$โดยมีขอบเขตเรียบเป็นช่วงๆ (สามมิติ)${\displaystyle \Gamma }$ข้อความต่อไปนี้เป็นความจริง: $${\displaystyle \oint _{\Gamma }(\mathbf {M} \cdot \varepsilon \mathbf {E} )\,dS=0}$$ ที่ไหน${\displaystyle \mathbf {M} =(x_{N},y_{N},z_{N})}$คือการฉายภาพของเวกเตอร์ปกติหน่วยที่ชี้ออกไปด้านนอก${\displaystyle (x_{N},y_{N},z_{N},t_{N})}$ของ${\displaystyle \Gamma }$บนชิ้นส่วน 3 มิติ${\displaystyle t={\rm {const}}}$, และ${\displaystyle dS}$เป็นเล่มที่ 3 ในรูปแบบ${\displaystyle \Gamma }$ในทำนองเดียวกัน เราสามารถสรุปได้ดังต่อไปนี้จากสมการของแม็กซ์เวลล์ที่เหลืออยู่: $${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{\Gamma }\left(\mathbf {M} \cdot \mu \mathbf {H} \right)dS&=0\\[1.55ex]\oint _{\Gamma }\left(\mathbf {M} \times \mathbf {E} +{\frac {\mu }{c}}\,t_{N}\,\mathbf {H} \right)dS&=0\\[1.55ex]\oint _{\Gamma }\left(\mathbf {M} \times \mathbf {H} -{\frac {\varepsilon }{c}}\,t_{N}\,\mathbf {E} \right)dS&=0\end{aligned}}}$$

ทีนี้ลองพิจารณาพื้นผิวย่อยขนาดเล็กแบบสุ่มดู${\displaystyle \Gamma _{0}}$ของ${\displaystyle \Gamma }$และการจัดตั้งชุมชนขนาดเล็กโดยรอบ${\displaystyle \Gamma _{0}}$ใน${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$และเมื่อลบค่าอินทิกรัลข้างต้นตามลำดับ จะได้ว่า: $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\Gamma _{0}}(\nabla \varphi \cdot [\varepsilon \mathbf {E} ])\,{dS \over \|\nabla ^{4D}\varphi \|}&=0\\[1ex]\int _{\Gamma _{0}}(\nabla \varphi \cdot [\mu \mathbf {H} ])\,{dS \over \|\nabla ^{4D}\varphi \|}&=0\\[1ex]\int _{\Gamma _{0}}\left(\nabla \varphi \times [\mathbf {E} ]+{1 \over c}\,\varphi _{t}\,[\mu \mathbf {H} ]\right)\,{\frac {dS}{\|\nabla ^{4D}\varphi \|}}&=0\\[1ex]\int _{\Gamma _{0}}\left(\nabla \varphi \times [\mathbf {H} ]-{1 \over c}\,\varphi _{t}\,[\varepsilon \mathbf {E} ]\right)\,{\frac {dS}{\|\nabla ^{4D}\varphi \|}}&=0\end{aligned}}}$$ ที่ไหน${\displaystyle \nabla ^{4D}}$แสดงถึงความชันใน 4 มิติ${\displaystyle xyzt}$-พื้นที่ และเนื่องจาก${\displaystyle \Gamma _{0}}$เป็นค่าที่กำหนดขึ้นเอง ดังนั้นค่าอินทิกรัลต้องเท่ากับ 0 ซึ่งเป็นการพิสูจน์บทตั้ง

ตอนนี้สามารถแสดงได้อย่างง่ายดายว่า เมื่อพวกมันแพร่กระจายผ่านตัวกลางต่อเนื่อง พื้นผิวที่ไม่ต่อเนื่องจะเป็นไปตามสมการไอโคนาล โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า${\displaystyle \varepsilon }$และ${\displaystyle \mu }$หากมีความต่อเนื่อง แสดงว่าความไม่ต่อเนื่องของ${\displaystyle \mathbf {E} }$และ${\displaystyle \mathbf {H} }$ทำให้พึงพอใจ:${\displaystyle [\varepsilon \mathbf {E} ]=\varepsilon [\mathbf {E} ]}$และ${\displaystyle [\mu \mathbf {H} ]=\mu [\mathbf {H} ]}$ในกรณีนี้ สมการสองสมการสุดท้ายของบทพิสูจน์สามารถเขียนได้ดังนี้:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \varphi \times [\mathbf {E} ]+{\mu \over c}\,\varphi _{t}\,[\mathbf {H} ]&=0\\[1ex]\nabla \varphi \times [\mathbf {H} ]-{\varepsilon \over c}\,\varphi _{t}\,[\mathbf {E} ]&=0\end{aligned}}}$$

นำผลคูณเชิงเวกเตอร์ของสมการที่สองมาใช้กับ${\displaystyle \nabla \varphi }$และเมื่อแทนค่าแรกจะได้ผลลัพธ์ดังนี้: $${\displaystyle \nabla \varphi \times (\nabla \varphi \times [\mathbf {H} ])-{\varepsilon \over c}\,\varphi _{t}\,(\nabla \varphi \times [\mathbf {E} ])=(\nabla \varphi \cdot [\mathbf {H} ])\,\nabla \varphi -\|\nabla \varphi \|^{2}\,[\mathbf {H} ]+{\varepsilon \mu \over c^{2}}\varphi _{t}^{2}\,[\mathbf {H} ]=0}$$

ความต่อเนื่องของ${\displaystyle \mu }$และสมการที่สองของบทพิสูจน์ย่อยบ่งชี้ว่า:${\displaystyle \nabla \varphi \cdot [\mathbf {H} ]=0}$ดังนั้น สำหรับจุดที่อยู่บนพื้นผิว${\displaystyle \varphi =0}$เท่านั้น : $${\displaystyle \|\nabla \varphi \|^{2}={\varepsilon \mu \over c^{2}}\varphi _{t}^{2}}$$

(โปรดสังเกตว่าการมีอยู่ของจุดไม่ต่อเนื่องนั้นมีความสำคัญอย่างยิ่งในขั้นตอนนี้ มิเช่นนั้นเราจะหารด้วยศูนย์)

เนื่องจากข้อจำกัดทางกายภาพ เราจึงสามารถสันนิษฐานได้โดยไม่เสียความเป็นทั่วไปว่า${\displaystyle \varphi }$มีรูปแบบดังต่อไปนี้: ${\displaystyle \varphi (x,y,z,t)=\psi (x,y,z)-ct}$กล่าวคือ พื้นผิว 2 มิติที่เคลื่อนที่ผ่านอวกาศ ซึ่งจำลองเป็นพื้นผิวระดับของ${\displaystyle \psi }$(ทางคณิตศาสตร์)${\displaystyle \psi }$มีอยู่ถ้า${\displaystyle \varphi _{t}\neq 0}$โดยทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยาย ) สมการข้างต้นเขียนในรูปของ${\displaystyle \psi }$กลายเป็น: $${\displaystyle \|\nabla \psi \|^{2}={\varepsilon \mu \over c^{2}}\,(-c)^{2}=\varepsilon \mu =n^{2}}$$ เช่น, $${\displaystyle \psi _{x}^{2}+\psi _{y}^{2}+\psi _{z}^{2}=n^{2}}$$ ซึ่งก็คือสมการไอโกนาล และสมการนี้ใช้ได้กับทุกกรณี${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$,${\displaystyle z}$เนื่องจากตัวแปร${\displaystyle t}$ไม่มีอยู่ กฎทางทัศนศาสตร์อื่นๆ เช่นกฎของสเนลล์และสูตรของเฟรสเนลสามารถหาได้ในทำนองเดียวกันโดยพิจารณาความไม่ต่อเนื่องใน${\displaystyle \varepsilon }$และ${\displaystyle \mu }$.

ในการ เขียนสมการคลื่นโดยใช้สัญลักษณ์ เวกเตอร์สี่ตัวตามทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษสามารถเขียนได้ดังนี้ $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x_{i}\partial x^{i}}}=0}$$

และการทดแทน${\displaystyle \psi =Ae^{iS/\varepsilon }}$นำไปสู่^{​​[ 12 ]}$${\displaystyle -{\frac {A}{\varepsilon ^{2}}}{\frac {\partial S}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}+{\frac {2i}{\varepsilon }}{\frac {\partial A}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}+{\frac {iA}{\varepsilon }}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x_{i}\partial x^{i}}}+{\frac {\partial ^{2}A}{\partial x_{i}\partial x^{i}}}=0.}$$

ดังนั้น สมการไอโคนาลจึงกำหนดโดย $${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}=0.}$$

เมื่อหาค่า eikonal ได้จากการแก้สมการข้างต้นแล้ว ก็สามารถหาเวกเตอร์สี่มิติของคลื่นได้จากสมการนั้น $${\displaystyle k_{i}=-{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}.}$$

• เอช. บรุนส์, "ดาส ไอโคนาล"
• เอ็ม. มาลัส, "ออปติก"
• เจ. พลัคเกอร์, "การอภิปรายเกี่ยวกับรูปแบบทั่วไปของคลื่นแสง"
• อี. คัมเมอร์, "ทฤษฎีทั่วไปของระบบรังสีเชิงเส้นตรง"
• อี. คัมเมอร์ นำเสนอเรื่องระบบลำแสงเชิงเส้นตรงที่สามารถสร้างได้ด้วยวิธีทางแสง
• R. Meibauer, "ทฤษฎีระบบเส้นตรงของรังสีแสง"
• เอ็ม. พาสช์, "เกี่ยวกับพื้นผิวโฟกัสของระบบรังสีและพื้นผิวเอกลักษณ์ของคอมเพล็กซ์"
• เอ. เลวิสตัล, "งานวิจัยด้านทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิต"
• F. Klein, "On the Bruns eikonal"
• R. Dontot, "เกี่ยวกับค่าคงที่เชิงปริพันธ์และประเด็นบางประการของทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิต"
• ที. เดอ ดอนเดอร์, "เกี่ยวกับค่าคงที่เชิงปริพันธ์ของทัศนศาสตร์"