ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันของกรีน ( หรือฟังก์ชันกรีน^{[ 1 ]} ) คือการตอบสนองแบบอิมพัลส์ของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่ไม่เป็นเอกพันธ์ซึ่งกำหนดไว้ในโดเมนที่มีเงื่อนไขเริ่มต้นหรือเงื่อนไขขอบเขตที่ระบุ

หมายความว่า ถ้า${\displaystyle L}$ถ้าเป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นแล้ว

• หน้าที่ของพรรคกรีน${\displaystyle G}$คือคำตอบของสมการ${\displaystyle LG=\delta ,}$ที่ไหน${\displaystyle \delta }$คือฟังก์ชันเดลต้าของดิแรก ;
• วิธีแก้ปัญหาของปัญหาที่ไม่เป็นเอกพันธ์${\displaystyle Ly=f}$คือการสังเคราะห์ (convolution )${\displaystyle y=(G\ast f).}$

ตามหลักการซ้อนทับเมื่อกำหนดสมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้น (ODE) แล้ว${\displaystyle Ly=f}$ขั้นแรก เราสามารถแก้ปัญหาได้${\displaystyle LG=\delta _{s}}$สำหรับแต่ละsถ้าแหล่งกำเนิดเป็นผลรวมของฟังก์ชันเดลต้าแล้วคำตอบก็จะเป็นผลรวมของฟังก์ชันกรีนเช่นกันเนื่องจากความเป็นเชิงเส้นของLซึ่งหมายความว่าปริพันธ์ เมื่อมองว่าเป็นผลรวมต่อเนื่อง สามารถสร้างแหล่งกำเนิดได้หลากหลายประเภท${\displaystyle f}$โดยผ่าน อินทิกรัล การสังเคราะห์เมื่อใดก็ตามที่อินทิกรัลของ${\displaystyle f}$กับ${\displaystyle G}$เมื่อลู่เข้าแล้ว คำตอบของสมการที่ไม่เป็นเอกพันธุ์ก็จะลู่เข้าเช่นกัน${\displaystyle Ly=f}$กำหนดให้โดย${\displaystyle y=G\ast f}$[ ^{2 ]​}

ฟังก์ชันของกรีนตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ ชาวอังกฤษ จอร์จ กรีนซึ่งเป็นผู้พัฒนาแนวคิดนี้เป็นครั้งแรกในช่วงทศวรรษ 1820 ในการศึกษาสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย เชิงเส้นสมัยใหม่ ฟังก์ชันของกรีนส่วนใหญ่ศึกษาจากมุมมองของผลเฉลยพื้นฐานแทน ซึ่งคำนึงถึงภาษาสมัยใหม่ของทฤษฎีการกระจายหรือฟังก์ชันทั่วไป^{[ 2 ]}

โดยอาศัยหลักการซ้อนทับในทฤษฎีหลายอนุภาคคำนี้ยังใช้ในฟิสิกส์และวิศวกรรม โดยเฉพาะในทฤษฎีสนามควอนตัมอากาศพลศาสตร์ อากาศอะคูสติกไฟฟ้าพลศาสตร์แผ่นดินไหววิทยาและทฤษฎีสนามสถิติเพื่ออ้างถึงฟังก์ชันสหสัมพันธ์ ประเภทต่างๆ แม้แต่ฟังก์ชันที่ไม่ตรงกับคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ ในทฤษฎีสนามควอนตัม ฟังก์ชันของกรีนทำหน้าที่เป็นตัวแพร่กระจายหรือเรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันสองจุด (สหสัมพันธ์) ^{[ 3 ]}

ฟังก์ชันกรีนG ( x , s )ของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ เชิงเส้น L = L ( x )ที่กระทำกับการกระจายตัวเหนือเซตย่อยของปริภูมิยุคลิด${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ณจุดsนั้น เป็นคำตอบใดๆ ของสมการต่อไปนี้

$${\displaystyle L\,G(x,s)=\delta (sx)\,,}$$

1

โดยที่δคือฟังก์ชันเดลต้าของ Diracคุณสมบัติของฟังก์ชัน Green นี้สามารถนำมาใช้ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ในรูปแบบ

$${\displaystyle L\,u(x)=f(x)\,.}$$

2

ถ้าเคอร์เนลของLไม่ใช่เคอร์เนลที่ไม่สำคัญ ฟังก์ชันกรีนก็จะไม่เป็นเอกลักษณ์ อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ การรวมกันของสมมาตรเงื่อนไขขอบเขตและ/หรือเกณฑ์อื่นๆ ที่กำหนดจากภายนอก จะทำให้ได้ฟังก์ชันกรีนที่ไม่ซ้ำกัน ฟังก์ชันกรีนอาจถูกจัดประเภทตามหมายเลขฟังก์ชันกรีนตามประเภทของเงื่อนไขขอบเขตที่ตรงตามนั้น ฟังก์ชันกรีนไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันของตัวแปรจริง แต่โดยทั่วไปแล้วจะเข้าใจในแง่ของการแจกแจง

ฟังก์ชันของกรีนยังเป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์ในการแก้สมการคลื่นและสมการการแพร่กระจาย อีก ด้วย^{[ 4 ​​] [ 5 ]}ในกลศาสตร์ควอนตัมฟังก์ชันของกรีนของแฮมิลโทเนียนเป็นแนวคิดหลักที่มีความเชื่อมโยงที่สำคัญกับแนวคิดของความหนาแน่นของสถานะ

ฟังก์ชันกรีนที่ใช้ในวิชาฟิสิกส์มักจะถูกกำหนดด้วยเครื่องหมายตรงข้ามแทน กล่าวคือ $${\displaystyle LG(x,s)=\delta (xs)\,.}$$ นิยามนี้ไม่ได้เปลี่ยนแปลงคุณสมบัติใดๆ ของฟังก์ชันกรีนอย่างมีนัยสำคัญ เนื่องจากฟังก์ชันเดลต้าของดิแรกมีความสม่ำเสมอ

ถ้าตัวดำเนินการนั้นไม่เปลี่ยนแปลงตามการเลื่อนนั่นคือ เมื่อ${\displaystyle L}$ถ้าฟังก์ชันกรีน มีสัมประสิทธิ์คงที่เมื่อเทียบกับxแล้ว ฟังก์ชันกรีนนั้นสามารถถือได้ว่าเป็นเคอร์เนลการสังเคราะห์ (convolution kernel ) นั่นคือ $${\displaystyle G(x,s)=G(xs)\,.}$$ ในกรณีนี้ ฟังก์ชันของกรีนจะเหมือนกับการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นของทฤษฎีระบบเชิงเส้นที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา

กล่าวโดยคร่าวๆ หาก สามารถหาฟังก์ชันG ดังกล่าวสำหรับตัวดำเนินการ Lได้แล้ว หากเราคูณสมการ 1สำหรับฟังก์ชันกรีนด้วยf ( s )จากนั้นทำการอินทิเกรตเทียบกับsเราจะได้ $${\displaystyle \int LG(x,s)\,f(s)\,ds=\int \delta (xs)\,f(s)\,ds=f(x)\,.}$$ เนื่องจากผู้ปฏิบัติงาน${\displaystyle L=L(x)}$เนื่องจากเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นและกระทำเฉพาะกับตัวแปรx (และไม่กระทำกับตัวแปรการอินทิเกรตs ) จึงอาจใช้ตัวดำเนินการดังกล่าวได้${\displaystyle L}$นอกเหนือจากการบูรณาการแล้ว ส่งผลให้ $${\displaystyle L\left(\int G(x,s)\,f(s)\,ds\right)=f(x)\,.}$$ หมายความว่า

$${\displaystyle u(x)=\int G(x,s)\,f(s)\,ds}$$

3

เป็นคำตอบของสมการ${\displaystyle Lu(x)=f(x)\,.}$

ดังนั้น เราอาจได้ฟังก์ชันu ( x ) โดยอาศัยความรู้เกี่ยวกับ ฟังก์ชันกรีนในสมการ 1และพจน์แหล่งกำเนิดทางด้านขวามือในสมการ 2กระบวนการนี้อาศัยความเป็นเชิงเส้นของตัวดำเนินการL

กล่าวอีกนัยหนึ่ง คำตอบของสมการ 2 , u ( x ) , สามารถหาได้จากการอินทิเกรตที่กำหนดในสมการ3แม้ว่าf ( x )จะเป็นที่ทราบ แต่การอินทิเกรตนี้จะไม่สามารถทำได้เว้นแต่ จะทราบ Gด้วย ปัญหาในขณะนี้คือการหาฟังก์ชันกรีนGที่สอดคล้องกับสมการ1ด้วยเหตุนี้ ฟังก์ชันกรีนจึงบางครั้งเรียกว่าคำตอบพื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับตัวดำเนินการL  

ไม่ใช่ผู้ให้บริการทุกคน${\displaystyle L}$ยอมรับฟังก์ชันกรีน ฟังก์ชันกรีนอาจคิดได้ว่าเป็นตัวผกผันทางขวาของLนอกเหนือจากความยากลำบากในการหาฟังก์ชันกรีนสำหรับตัวดำเนินการเฉพาะแล้ว การคำนวณอินทิกรัลในสมการที่ 3อาจค่อนข้างยาก อย่างไรก็ตาม วิธีการนี้ให้ผลลัพธ์ที่ถูกต้องตามทฤษฎี

อาจมองได้ว่าเป็นการขยายfตาม ฐาน ฟังก์ชันเดลต้าของ Dirac (โดยการฉายfลงบน${\displaystyle \delta (xs)}$และการซ้อนทับของคำตอบบนแต่ละการฉายภาพ สมการปริพันธ์ดังกล่าวเรียกว่าสมการปริพันธ์เฟรดโฮล์มซึ่งการศึกษาเกี่ยวกับสมการนี้เป็นที่มาของทฤษฎีเฟรดโฮล์ม

การใช้งานหลักของฟังก์ชันกรีนในทางคณิตศาสตร์คือการแก้ปัญหาค่าขอบเขต ที่ไม่เป็นเอกพันธุ์ ในฟิสิกส์เชิงทฤษฎี สมัยใหม่ ฟังก์ชันกรีนมักถูกใช้เป็นตัวแพร่กระจายในแผนภาพไฟน์แมนและคำว่าฟังก์ชันกรีนมักถูกใช้เพิ่มเติมสำหรับฟังก์ชันความสัมพันธ์ ใดๆ ด้วย

ฟังก์ชันของกรีนสำหรับตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่เกี่ยวข้องกับตัวดำเนินการลาปลาเซียนสามารถนำไปใช้ได้อย่างง่ายดายโดยใช้เอกลักษณ์ที่สองของกรีน

ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทของกรีน ให้เริ่มต้นด้วยทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ (หรือที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทของเกาส์ ) $${\displaystyle \int _{V}\nabla \cdot \mathbf {A} \,dV=\int _{S}\mathbf {A} \cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}\,.}$$

อนุญาต${\displaystyle \mathbf {A} =\varphi \,\nabla \psi -\psi \,\nabla \varphi }$และนำไปแทนค่าลงในกฎของเกาส์

คำนวณ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} }$และใช้กฎผลคูณสำหรับตัวดำเนินการ ∇ $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {A} &=\nabla \cdot \left(\varphi \,\nabla \psi \;-\;\psi \,\nabla \varphi \right)\\&=(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )\;+\;\varphi \,\nabla ^{2}\psi \;-\;(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )\;-\;\psi \nabla ^{2}\varphi \\&=\varphi \,\nabla ^{2}\psi \;-\;\psi \,\nabla ^{2}\varphi .\end{aligned}}}$$

เมื่อนำสิ่งนี้ไปแทนในทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ จะได้ทฤษฎีบทของกรีน $${\displaystyle \int _{V}\left(\varphi \,\nabla ^{2}\psi -\psi \,\nabla ^{2}\varphi \right)dV=\int _{S}\left(\varphi \,\nabla \psi -\psi \nabla \,\varphi \right)\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}.}$$

สมมติว่าตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นLคือตัวดำเนินการลาปลาเซียน ∇² ^และมีฟังก์ชันกรีนGสำหรับตัวดำเนินการลาปลาเซียน คุณสมบัติการนิยามของฟังก์ชันกรีนยังคงใช้ได้อยู่ $${\displaystyle LG(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ').}$$

อนุญาต${\displaystyle \psi =G}$ในอัตลักษณ์ที่สองของกรีน โปรดดูที่ อัตลักษณ์ของกรีนจากนั้น $${\displaystyle \int _{V}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,{\nabla '}^{2}\,\varphi (\mathbf {x} ')\right]d^{3}\mathbf {x} '=\int _{S}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\,{\nabla '}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,{\nabla '}\varphi (\mathbf {x} ')\right]\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'.}$$

^{โดย ใช้}การแสดงออกนี้ เราสามารถแก้สมการลาปลาส^∇²φ ( x ) = 0หรือสมการปัวซง∇²φ ( x ) = −ρ ( x )ได้โดยขึ้นอยู่กับ เงื่อนไขขอบเขต แบบนอยมันน์หรือแบบดิริชเลต์กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราสามารถหาค่าφ ( x )ได้ทุกที่ภายในปริมาตร โดยที่ (1) ค่าของφ ( x )ถูกกำหนดไว้บนพื้นผิวขอบเขตของปริมาตร (เงื่อนไขขอบเขตแบบดิริชเลต์) หรือ (2) อนุพันธ์ปกติของφ ( x )ถูกกำหนดไว้บนพื้นผิวขอบเขต (เงื่อนไขขอบเขตแบบนอยมันน์)

สมมติว่าปัญหาคือการหาค่าφ ( x )ภายในบริเวณนั้น จากนั้นอินทิกรัลจะเป็นดังนี้ $${\displaystyle \int _{V}\varphi (\mathbf {x} ')\,\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '}$$ ลดรูปเหลือเพียงφ ( x )เนื่องจากคุณสมบัตินิยามของฟังก์ชันเดลต้าของดิแรกและเรามี $${\displaystyle \varphi (\mathbf {x} )=-\int _{V}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,\rho (\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '+\int _{S}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\,\nabla 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,\nabla '\varphi (\mathbf {x} ')\right]\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'.}$$

รูปแบบนี้แสดงถึงคุณสมบัติที่รู้จักกันดีของฟังก์ชันฮาร์มอนิกนั่นคือหากทราบค่าหรืออนุพันธ์ปกติบนพื้นผิวขอบเขตแล้ว ค่าของฟังก์ชันภายในปริมาตรนั้นจะทราบได้ทุกที่

ในไฟฟ้าสถิต φ ( x )ถูกตีความว่าเป็นศักย์ไฟฟ้า ρ ( x )เป็นความหนาแน่นประจุไฟฟ้าและอนุพันธ์ปกติ${\displaystyle \nabla \varphi (\mathbf {x} ')\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'}$ในฐานะองค์ประกอบปกติของสนามไฟฟ้า

หากปัญหาคือการแก้ปัญหาค่าขอบเขตแบบ Dirichlet ฟังก์ชัน Green ควรถูกเลือกให้G ( x , x ′ )มีค่าเป็นศูนย์เมื่อxหรือx′อยู่บนพื้นผิวขอบเขต ดังนั้นจึงเหลือเพียงหนึ่งในสองพจน์ในปริพันธ์พื้นผิว เท่านั้น หากปัญหาคือการแก้ปัญหาค่าขอบเขตแบบ Neumann อาจดูเหมือนสมเหตุสมผลที่จะเลือกฟังก์ชัน Green ให้ค่าอนุพันธ์ปกติของฟังก์ชันมีค่าเป็นศูนย์บนพื้นผิวขอบเขต อย่างไรก็ตาม การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของ Gauss กับสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนดฟังก์ชัน Green จะได้ผลลัพธ์ดังนี้ $${\displaystyle \int _{S}\nabla 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'=\int _{V}\nabla '^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '=\int _{V}\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '=1\,,}$$ หมายความว่าอนุพันธ์ปกติของG ( x , x ′ ) ไม่สามารถเป็นศูนย์บนพื้นผิวได้ เนื่องจากต้องมีการอินทิเกรตเป็น 1 บนพื้นผิว^{[ 14 ]}

รูปแบบที่ง่ายที่สุดของอนุพันธ์ปกติคือรูปแบบของค่าคงที่ นั่นคือ1/ Sโดยที่Sคือพื้นที่ผิวของพื้นผิว พจน์ของพื้นผิวในคำตอบจะเป็นดังนี้ $${\displaystyle \int _{S}\varphi (\mathbf {x} ')\,\nabla 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'=\langle \varphi \rangle _{S}}$$ ที่ไหน${\displaystyle \langle \varphi \rangle _{S}}$คือค่าเฉลี่ยของศักย์ไฟฟ้าบนพื้นผิว โดยทั่วไปแล้วค่านี้มักไม่ทราบ แต่ก็มักไม่สำคัญ เนื่องจากเป้าหมายมักเป็นการหาค่าสนามไฟฟ้าที่ได้จากความชันของศักย์ไฟฟ้า มากกว่าค่าศักย์ไฟฟ้าเอง

หากไม่มีเงื่อนไขขอบเขต ฟังก์ชันกรีนสำหรับตัวดำเนินการลาปลาเซียน ( ฟังก์ชันกรีนสำหรับสมการลาปลาเซียนสามตัวแปร ) คือ $${\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=-{\frac {1}{4\pi \left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}}.}$$

สมมติว่าขอบเขตพื้นผิวขยายออกไปถึงอนันต์ และเมื่อแทนค่านิพจน์นี้ลงในฟังก์ชันกรีน ในที่สุดจะได้นิพจน์มาตรฐานสำหรับศักย์ไฟฟ้าในรูปของความหนาแน่นประจุไฟฟ้าดังนี้

จงหาฟังก์ชันกรีนสำหรับปัญหาต่อไปนี้ ซึ่งมีหมายเลขฟังก์ชันกรีนคือ X11: $${\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=u''+k^{2}u=f(x)\\u(0)&=0,\quad u{\left({\tfrac {\pi }{2k}}\right)}=0.\end{aligned}}}$$

ขั้นตอนแรก:ฟังก์ชันกรีนสำหรับตัวดำเนินการเชิงเส้นที่กำลังพิจารณาอยู่นั้น ถูกกำหนดให้เป็นคำตอบของสมการ

$${\displaystyle G''(x,s)+k^{2}G(x,s)=\delta (x-s).}$$

สมการ*

ถ้า${\displaystyle x\neq s}$จากนั้นฟังก์ชันเดลต้าจะให้ค่าเป็นศูนย์ และคำตอบทั่วไปคือ $${\displaystyle G(x,s)=c_{1}\cos kx+c_{2}\sin kx.}$$

สำหรับ${\displaystyle x<s}$เงื่อนไขขอบเขตที่${\displaystyle x=0}$หมายความว่า $${\displaystyle G(0,s)=c_{1}\cdot 1+c_{2}\cdot 0=0,\quad c_{1}=0}$$ ถ้า${\displaystyle x<s}$และ${\displaystyle s\neq {\tfrac {\pi }{2k}}}$.

สำหรับ${\displaystyle x>s}$เงื่อนไขขอบเขตที่${\displaystyle x={\tfrac {\pi }{2k}}}$หมายความว่า $${\displaystyle G{\left({\tfrac {\pi }{2k}},s\right)}=c_{3}\cdot 0+c_{4}\cdot 1=0,\quad c_{4}=0}$$

สมการของ${\displaystyle G(0,s)=0}$ถูกข้ามไปเนื่องจากเหตุผลที่คล้ายคลึงกัน

สรุปผลการวิจัยจนถึงขณะนี้: $${\displaystyle G(x,s)={\begin{cases}c_{2}\sin kx,&{\text{for }}x<s,\\[0.4ex]c_{3}\cos kx,&{\text{for }}s<x.\end{cases}}}$$

ขั้นตอนที่สอง:งานต่อไปคือการพิจารณา${\displaystyle c_{2}}$และ${\displaystyle c_{3}}$.

เพื่อให้มั่นใจว่าการดำเนินงานของพรรคกรีนมีความต่อเนื่อง${\displaystyle x=s}$หมายความว่า $${\displaystyle c_{2}\sin ks=c_{3}\cos ks}$$

เราสามารถรับประกันความไม่ต่อเนื่องที่เหมาะสมในอนุพันธ์อันดับแรกได้โดยการอินทิเกรตสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนด (เช่นสมการ * ) จาก${\displaystyle x=s-\varepsilon }$ถึง${\displaystyle x=s+\varepsilon }$และการหาลิมิตเป็น${\displaystyle \varepsilon }$มีค่าเข้าใกล้ศูนย์ โปรดสังเกตว่าเราทำการอินทิเกรตเฉพาะอนุพันธ์อันดับสองเท่านั้น เนื่องจากพจน์ที่เหลือจะมีความต่อเนื่องตามโครงสร้าง $${\displaystyle c_{3}\cdot (-k\sin ks)-c_{2}\cdot (k\cos ks)=1}$$

สมการความต่อเนื่อง (หรือไม่ต่อเนื่อง) ทั้งสองสมการสามารถหาคำตอบได้${\displaystyle c_{2}}$และ${\displaystyle c_{3}}$เพื่อให้ได้มา $${\displaystyle c_{2}=-{\frac {\cos ks}{k}}\quad$$ ;\quad c_{3}=-{\frac {\sin ks}{k}}}

ดังนั้นฟังก์ชันของกรีนสำหรับปัญหานี้คือ: $${\displaystyle G(x,s)={\begin{cases}-{\frac {\cos ks}{k}}\sin kx,&x<s,\\-{\frac {\sin ks}{k}}\cos kx,&s<x.\end{cases}}}$$

• ให้n = 1และให้เซตย่อยเป็นเซตทั้งหมดของRให้Lเป็น${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$จากนั้นฟังก์ชันขั้นบันไดของ Heaviside Θ( x − x )จะเป็นฟังก์ชัน Green ของLที่x
• ให้n = 2และให้เซตย่อยเป็นระนาบหนึ่งในสี่{( x , y )  : x , y ≥ 0}และLเป็นตัวดำเนินการลาปลาเซียนนอกจากนี้ สมมติว่ามีการกำหนดเงื่อนไขขอบเขตแบบ Dirichlet ที่ x = 0และเงื่อนไขขอบเขตแบบ Neumannที่y = 0แล้วฟังก์ชัน Green ของ X10Y20 คือ$${\displaystyle {\begin{aligned}G(x,y,x_{0},y_{0})={\dfrac {1}{2\pi }}&\left[\ln {\sqrt {\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}}-\ln {\sqrt {\left(x+x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}}\right.\\[5pt]&\left.{}+\ln {\sqrt {\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}}}-\ln {\sqrt {\left(x+x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}}}\,\right].\end{aligned}}}$$
• อนุญาต${\displaystyle a<x<b}$และทั้งสามตัวเป็นองค์ประกอบของจำนวนจริง จากนั้น สำหรับฟังก์ชันใดๆ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ด้วย${\displaystyle n}$อนุพันธ์อันดับที่ -th ที่สามารถหาปริพันธ์ได้ในช่วง${\displaystyle [a,b]}$:$${\displaystyle f(x)=\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {(x-a)^{m}}{m!}}\left[{\frac {d^{m}f}{dx^{m}}}\right]_{x=a}+\int _{a}^{b}\left[{\frac {(x-s)^{n-1}}{(n-1)!}}\Theta (x-s)\right]\left[{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}\right]_{x=s}ds\,.}$$ฟังก์ชันกรีนในสมการข้างต้น${\displaystyle G(x,s)={\frac {(x-s)^{n-1}}{(n-1)!}}\Theta (x-s)}$ไม่ใช่ค่าเดียว สมการจะถูกปรับเปลี่ยนอย่างไรถ้า${\displaystyle g(x-s)}$ถูกเพิ่มเข้าไป${\displaystyle G(x,s)}$, ที่ไหน${\displaystyle g(x)}$พอใจ${\textstyle {\frac {d^{n}g}{dx^{n}}}=0}$สำหรับทุกคน${\displaystyle x\in [a,b]}$(ตัวอย่างเช่น,${\displaystyle g(x)=-x/2}$กับ${\displaystyle n=2}$นอกจาก นี้ให้เปรียบเทียบสมการข้างต้นกับรูปแบบของอนุกรมเทย์เลอร์ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่${\displaystyle x=a}$.

• "ฟังก์ชันสีเขียว" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ฟังก์ชันของกรีน" . แมธเวิลด์ .
• ฟังก์ชันของกรี นสำหรับตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ที่PlanetMath
• ฟังก์ชันของ Green ที่PlanetMath
• ฟังก์ชันสีเขียวและการแปลงแบบคอนฟอร์มอลที่PlanetMath
• บทนำสู่เทคนิคฟังก์ชันกรีนแบบไม่สมดุลของเคลดิชโดย เอพี จาอูโฮ
• คลังฟังก์ชันของกรีน
• บทช่วยสอนเกี่ยวกับฟังก์ชันของกรีน
• วิธีองค์ประกอบขอบเขต (เพื่อให้เข้าใจถึงวิธีการใช้ฟังก์ชันของกรีนร่วมกับวิธีองค์ประกอบขอบเขตในการแก้ปัญหาเชิงตัวเลข) เก็บถาวรเมื่อ 2012-02-07 ที่Wayback Machine
• ที่ Citizendium
• วิดีโอการบรรยายของ MIT เกี่ยวกับฟังก์ชันกรีน
• โบว์ลีย์, โรเจอร์. "ฟังก์ชันของจอร์จ กรีนและกรีน" . หกสิบสัญลักษณ์ . สำนักพิมพ์เบรดี้ ฮารานสำหรับมหาวิทยาลัยนอตติงแฮม .