ในฟิสิกส์และคณิตศาสตร์สมมาตรการเลื่อนแบบต่อเนื่องหมายถึงความไม่เปลี่ยนแปลงของระบบสมการภายใต้การเลื่อน ใดๆ (โดยไม่มีการหมุน ) ส่วน สมมาตรการ เลื่อนแบบไม่ต่อเนื่อง หมายถึง ความไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อนแบบ ไม่ต่อเนื่อง

ในทำนองเดียวกันตัวดำเนินการAบนฟังก์ชันจะเรียกว่าไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อนตำแหน่งหากผลลัพธ์หลังจากใช้Aไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อฟังก์ชันอาร์กิวเมนต์ถูกเลื่อนตำแหน่ง กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือ ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้ ${\displaystyle T_{\delta }}$$${\displaystyle \forall \delta \ Af=A(T_{\delta }f).}$$

กฎทางฟิสิกส์จะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการเลื่อนตำแหน่งในอวกาศ หากกฎเหล่านั้นไม่แยกแยะจุดต่างๆ ในอวกาศ ตามทฤษฎีบทของโนเธอร์ สมมาตรการ เลื่อนตำแหน่งในอวกาศของระบบทางฟิสิกส์นั้นเทียบเท่ากับกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม

สมมาตรการเลื่อนของวัตถุหมายความว่า การเลื่อนแบบใดแบบหนึ่งจะไม่ทำให้วัตถุเปลี่ยนแปลงไป สำหรับวัตถุที่กำหนด การเลื่อนที่ตรงตามเงื่อนไขนี้จะรวมกันเป็นกลุ่ม ซึ่งเรียกว่ากลุ่มสมมาตรของวัตถุ หรือหากวัตถุมีสมมาตรมากกว่าหนึ่งชนิด ก็จะเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มสมมาตรนั้น

ความไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การเลื่อนหมายความว่า อย่างน้อยในทิศทางหนึ่ง วัตถุนั้นเป็นอนันต์: สำหรับจุดp ใดๆ เซตของจุดที่มีคุณสมบัติเดียวกันเนื่องจากสมมาตรการเลื่อนจะก่อให้เกิดเซตแบบไม่ต่อเนื่องอนันต์{ p + n a | n ∈ Z } = p + Z aโดเมนพื้นฐานคือ เช่นH + [0, 1] aสำหรับระนาบไฮเปอร์H ใดๆ ที่aมีทิศทางอิสระ นี่คือส่วนของเส้นตรง ใน 1 มิติ แถบอนันต์ใน 2 มิติ และแผ่นใน 3 มิติ โดยที่เวกเตอร์ที่เริ่มต้นจากด้านหนึ่งจะสิ้นสุดที่อีกด้านหนึ่ง โปรดทราบว่าแถบและแผ่นไม่จำเป็นต้องตั้งฉากกับเวกเตอร์ ดังนั้นจึงอาจแคบกว่าหรือบางกว่าความยาวของเวกเตอร์ได้

ในปริภูมิที่มีมิติมากกว่า 1 อาจมีสมมาตรการเลื่อนหลายแบบ สำหรับแต่ละชุดของ เวกเตอร์การเลื่อนอิสระ kตัว กลุ่มสมมาตรจะสมสัณฐานกับZ ^kโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความซ้ำซ้อนอาจเท่ากับมิติ ซึ่งหมายความว่าวัตถุนั้นเป็นอนันต์ในทุกทิศทาง ในกรณีนี้ ชุดของเวกเตอร์การเลื่อนทั้งหมดจะก่อตัวเป็นแลตทิซฐานที่แตกต่างกันของเวกเตอร์การเลื่อนจะสร้างแลตทิซเดียวกันก็ต่อเมื่อ ฐาน หนึ่งถูกแปลงเป็นอีกฐานหนึ่งโดยเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มซึ่งค่าสัมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ 1 ค่าสัมบูรณ์ของดีเทอร์ มิแนนต์ ของเมทริกซ์ที่เกิดจากชุดของเวกเตอร์การเลื่อนคือปริมาตรไฮเปอร์ของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานnมิติที่ชุดนั้นรองรับ (เรียกอีกอย่างว่าปริมาตรร่วมของแลตทิซ) ทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้เป็นบริเวณพื้นฐานของสมมาตร: รูปแบบใด ๆ บนหรือในนั้นเป็นไปได้ และสิ่งนี้กำหนดวัตถุทั้งหมด ดูเพิ่มเติมที่ แลตทิซ (กลุ่ม )

เช่น ใน 2 มิติ แทนที่จะใช้aและbเราอาจใช้aและa − bเป็นต้น โดยทั่วไปใน 2 มิติ เราสามารถใช้p a + q bและr a + s bสำหรับจำนวนเต็มp , q , rและsโดยที่ps − qrเท่ากับ 1 หรือ −1 ซึ่งจะทำให้มั่นใจได้ว่าaและbเป็นผลรวมเชิงเส้นจำนวนเต็มของเวกเตอร์อีกสองตัว หากไม่เป็นเช่นนั้น การเลื่อนทั้งหมดจะไม่สามารถทำได้ด้วยคู่เวกเตอร์อีกคู่หนึ่ง แต่ละคู่a , bกำหนดรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งมีพื้นที่เท่ากันทั้งหมด คือขนาดของผลคูณเวกเตอร์ รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานหนึ่งรูปกำหนดวัตถุทั้งหมดได้อย่างสมบูรณ์ หากไม่มีสมมาตรเพิ่มเติม รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้จะเป็นโดเมนพื้นฐาน เวกเตอร์aและbสามารถแทนด้วยจำนวนเชิงซ้อนได้ สำหรับจุดแลตติสสองจุดที่กำหนด ความเท่าเทียมกันของตัวเลือกจุดที่สามเพื่อสร้างรูปร่างแลตติสจะแสดงด้วยกลุ่มมอดู ลาร์ ดูที่ แลตติส (กลุ่ม )

อีกทางเลือกหนึ่ง เช่น รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าอาจกำหนดวัตถุทั้งหมดได้ แม้ว่าเวกเตอร์การเลื่อนจะไม่ตั้งฉากกันก็ตาม หากมีด้านสองด้านขนานกับเวกเตอร์การเลื่อนด้านหนึ่ง ในขณะที่เวกเตอร์การเลื่อนอีกด้านเริ่มต้นที่ด้านหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและสิ้นสุดที่ด้านตรงข้าม

ตัวอย่างเช่น พิจารณาการปูพื้นด้วยกระเบื้องสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีขนาดเท่ากันและมีลวดลายไม่สมมาตร โดยวางเรียงในทิศทางเดียวกันเป็นแถว และในแต่ละแถวมีการเลื่อนกระเบื้องเพียงเศษส่วน ไม่ใช่ครึ่งหนึ่ง แต่เป็นการเลื่อนที่เท่ากันเสมอ ในกรณีนี้ เราจะมีเพียงสมมาตรการเลื่อน (translational symmetry ) เท่านั้น ซึ่งก็คือ กลุ่มสมมาตรp 1 (เช่นเดียวกันนี้ใช้ได้กับกรณีที่ไม่มีการเลื่อน) หากมีสมมาตรการหมุน (rotational symmetry) อันดับสองของลวดลายบนกระเบื้อง เราจะได้p 2 (สมมาตรที่มากขึ้นของลวดลายบนกระเบื้องจะไม่เปลี่ยนแปลงค่านี้ เนื่องจากวิธีการจัดเรียงกระเบื้อง) สี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นหน่วยที่สะดวกกว่าในการพิจารณาเป็นโดเมนพื้นฐาน (หรือเซตของสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป) มากกว่ารูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ประกอบด้วยส่วนหนึ่งของกระเบื้องแผ่นหนึ่งและอีกส่วนหนึ่งของกระเบื้องอีกแผ่นหนึ่ง

ใน 2 มิติ อาจมีสมมาตรการเลื่อนในทิศทางเดียวสำหรับเวกเตอร์ที่มีความยาวใดๆ เส้นตรงหนึ่งเส้นที่ไม่ทิศทางเดียวกันสามารถกำหนดวัตถุทั้งหมดได้อย่างสมบูรณ์ ในทำนองเดียวกัน ใน 3 มิติ อาจมีสมมาตรการเลื่อนในหนึ่งหรือสองทิศทางสำหรับเวกเตอร์ที่มีความยาวใดๆ ระนาบ ( ภาคตัดขวาง ) หรือเส้นตรงหนึ่งเส้นสามารถกำหนดวัตถุทั้งหมดได้อย่างสมบูรณ์

• ลวดลายประดับทั้งหมดมีสมมาตรแบบการเลื่อน และบางครั้งก็มีสมมาตรแบบอื่นๆ ด้วย
• การแปลงฟูริเยร์และการคำนวณค่าสัมบูรณ์ที่ตามมา เป็นตัวดำเนินการที่ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการเลื่อนตำแหน่ง
• การแปลงจากฟังก์ชันพหุนามไปเป็นดีกรีของพหุนามนั้นเป็นฟังก์ชันที่ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการเลื่อนตำแหน่ง
• มาตรวัดเลเบสเป็นมาตรวัดที่ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการเลื่อนตำแหน่งอย่างสมบูรณ์

• การสะท้อนแบบเลื่อน
• การเคลื่อนย้าย
• ฟังก์ชันคาบ
• แลตติซ (กลุ่ม)
• ตัวดำเนินการการแปล (กลศาสตร์ควอนตัม)
• สมมาตรแบบหมุน
• สมมาตรลอเรนซ์
• การเรียงตัวของรูปทรงเรขาคณิต
• รายชื่อวัฏจักร § คณิตศาสตร์ของคลื่นและวัฏจักร