หน้าที่ของกรีน ( เรียนรู้วิธีและเวลาในการลบข้อความนี้ ) หากทราบคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ภายใต้แหล่งกำเนิดจุดและตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เป็นเชิงเส้น ก็สามารถนำคำตอบเหล่านั้นมาซ้อนทับกันเพื่อสร้างคำตอบสำหรับแหล่งกำเนิดทั่วไปได้จี ( x , x ′ ) {\textstyle G(x,x')} แอล ^ ( x ) จี ( x , x ′ ) = δ ( x − x ′ ) {\textstyle {\hat {L}}(x)G(x,x')=\delta (xx')} แอล ^ ( x ) {\textstyle {\hat {L}}(x)} คุณ ( x ) = ∫ เอฟ ( x ′ ) จี ( x , x ′ ) ง x ′ {\textstyle u(x)=\int f(x')G(x,x')\,dx'} แอล ^ ( x ) คุณ ( x ) = เอฟ ( x ) {\textstyle {\hat {L}}(x)u(x)=f(x)} ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันของกรีน ( หรือฟังก์ชันกรีน [ 1 ] การตอบสนองแบบอิมพัลส์ ของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ เชิงเส้นที่ไม่เป็นเอกพันธ์ ซึ่งกำหนดไว้ในโดเมนที่มีเงื่อนไขเริ่มต้นหรือเงื่อนไขขอบเขตที่ระบุ
นั่นหมายความว่า ถ้าเป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นแล้ว L {\displaystyle L}
ฟังก์ชันกรีนคือคำตอบของสมการโดยที่คือฟังก์ชันเดลต้าของดิ แรกG {\displaystyle G} L G = δ , {\displaystyle LG=\delta ,} δ {\displaystyle \delta } วิธีแก้ปัญหาที่ไม่เป็นเอกพันธ์คือการสังเคราะห์ (convolution )L y = f {\displaystyle Ly=f} y = ( G ∗ f ) . {\displaystyle y=(G\ast f).} โดยหลักการซ้อนทับ เมื่อกำหนดสมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้น (ODE) แล้ว เราสามารถแก้สมการสำหรับแต่ละ s ได้ก่อนหาก แหล่งกำเนิด เป็นผลรวมของฟังก์ชันเดลต้า คำตอบจะเป็นผลรวมของฟังก์ชันกรีนเช่นกันเนื่องจากความเป็นเชิงเส้นของL ซึ่งหมายความว่าปริพันธ์ เมื่อมองว่าเป็นผลรวมต่อเนื่อง สามารถสร้างแหล่งกำเนิดได้หลากหลายประเภทผ่าน ปริพันธ์ การสังเคราะห์ เมื่อใดก็ตามที่ปริพันธ์ของกับลู่เข้า คำตอบของสมการไม่เอกพันธุ์จะได้จาก [ 2 ] L y = f {\displaystyle Ly=f} L G = δ s {\displaystyle LG=\delta _{s}} f {\displaystyle f} f {\displaystyle f} G {\displaystyle G} L y = f {\displaystyle Ly=f} y = G ∗ f {\displaystyle y=G\ast f}
ฟังก์ชันของกรีนตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ ชาวอังกฤษ จอร์จ กรีน ซึ่งเป็นผู้พัฒนาแนวคิดนี้เป็นครั้งแรกในช่วงทศวรรษ 1820 ในการศึกษาสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย เชิงเส้นสมัยใหม่ ฟังก์ชันของกรีนส่วนใหญ่ศึกษาจากมุมมองของผลเฉลยพื้นฐาน แทน ซึ่งคำนึงถึงภาษาสมัยใหม่ของทฤษฎีการกระจายหรือฟังก์ชันทั่วไป[ 2 ]
โดยอาศัยหลักการซ้อนทับ ในทฤษฎีหลายอนุภาค คำนี้ยังใช้ในฟิสิกส์ และวิศวกรรม โดยเฉพาะในทฤษฎีสนามควอนตัม อากาศพลศาสตร์ อากาศ อะคูสติก ไฟฟ้าพลศาสตร์ แผ่นดินไหววิทยา และทฤษฎีสนามสถิติ เพื่ออ้างถึงฟังก์ชันสหสัมพันธ์ ประเภทต่างๆ แม้แต่ฟังก์ชันที่ไม่ตรงกับคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ ในทฤษฎีสนามควอนตัม ฟังก์ชันของกรีนทำหน้าที่เป็นตัวแพร่กระจาย หรือเรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันสองจุด (สหสัมพันธ์) [ 3 ]
คำจำกัดความและการใช้งาน ฟังก์ชันกรีนG ( x , s )ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ เชิงเส้น L = L ( x )การกระจายตัว เหนือเซตย่อยของปริภูมิ ยุคลิด ณ จุดs คือคำตอบใดๆ ของสมการ R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
L G ( x , s ) = δ ( s − x ) , {\displaystyle L\,G(x,s)=\delta (s-x)\,,} 1
โดยที่δ คือฟังก์ชันเดลต้าของ Dirac คุณสมบัติของฟังก์ชัน Green นี้สามารถนำมาใช้ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ในรูปแบบ
L u ( x ) = f ( x ) . {\displaystyle L\,u(x)=f(x)\,.} 2
ถ้าเคอร์เนล ของL สมมาตร เงื่อนไขขอบเขต และ/หรือเกณฑ์อื่นๆ ที่กำหนดจากภายนอก จะทำให้ได้ฟังก์ชันกรีนที่ไม่ซ้ำกัน ฟังก์ชันกรีนอาจถูกจัดประเภทตามหมายเลขฟังก์ชันกรีน ตามประเภทของเงื่อนไขขอบเขตที่ตรงตามนั้น ฟังก์ชันกรีนไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชัน ของตัวแปรจริง แต่โดยทั่วไปแล้วจะเข้าใจในแง่ของการ แจกแจง
ฟังก์ชันของกรีนยังเป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์ในการแก้สมการคลื่น และสมการการแพร่กระจาย อีก ด้วย[ 4 ] [ 5 ] กลศาสตร์ควอนตัม ฟังก์ชันของกรีนของแฮมิลโทเนียน เป็นแนวคิดหลักที่มีความเชื่อมโยงที่สำคัญกับแนวคิดของความหนาแน่นของ สถานะ
ฟังก์ชันกรีนที่ใช้ในฟิสิกส์มักถูกกำหนดด้วยเครื่องหมายตรงข้าม นั่นคือ นิยามนี้ไม่ได้เปลี่ยนแปลงคุณสมบัติใดๆ ของฟังก์ชันกรีนอย่างมีนัยสำคัญ เนื่องจากฟังก์ชันเดลต้าของดิแรก มีความสม่ำเสมอ L G ( x , s ) = δ ( x − s ) . {\displaystyle LG(x,s)=\delta (x-s)\,.}
ถ้าตัวดำเนินการไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อนตำแหน่ง นั่นคือ เมื่อมีสัมประสิทธิ์คงที่ เมื่อเทียบกับx แล้ว ฟังก์ชันกรีนสามารถถือได้ว่าเป็นเคอร์เนลการสังเคราะห์ นั่นคือ ในกรณีนี้ ฟังก์ชันกรีนจะเหมือนกับการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นของ ทฤษฎีระบบ เชิง เส้นที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา L {\displaystyle L} G ( x , s ) = G ( x − s ) . {\displaystyle G(x,s)=G(x-s)\,.}
แรงจูงใจ กล่าวโดยคร่าวๆ หาก สามารถหาฟังก์ชันG ดังกล่าวสำหรับตัวดำเนินการ L สมการ 1 f ( s )s เราจะได้ เนื่องจากตัวดำเนินการเป็นเชิงเส้นและกระทำเฉพาะกับตัวแปรx (และไม่ใช่ ตัวแปรของการอินทิเกรตs ) เราจึงสามารถนำตัวดำเนินการออกจากการอินทิเกรตได้ ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ ดังนี้ หมายความว่า ∫ L G ( x , s ) f ( s ) d s = ∫ δ ( x − s ) f ( s ) d s = f ( x ) . {\displaystyle \int LG(x,s)\,f(s)\,ds=\int \delta (x-s)\,f(s)\,ds=f(x)\,.} L = L ( x ) {\displaystyle L=L(x)} L {\displaystyle L} L ( ∫ G ( x , s ) f ( s ) d s ) = f ( x ) . {\displaystyle L\left(\int G(x,s)\,f(s)\,ds\right)=f(x)\,.}
u ( x ) = ∫ G ( x , s ) f ( s ) d s {\displaystyle u(x)=\int G(x,s)\,f(s)\,ds} 3
เป็นคำตอบของสมการL u ( x ) = f ( x ) . {\displaystyle Lu(x)=f(x)\,.}
ดังนั้น เราอาจได้ฟังก์ชันu ( x )สมการ 1 สมการ 2 L
กล่าวอีกนัยหนึ่ง คำตอบของสมการ 2 u ( x ) , สามารถหาได้จากการอินทิเกรตที่กำหนดในสมการ 3 f ( x ) จะเป็นที่ทราบ แต่การอินทิเกรตนี้จะไม่สามารถทำได้เว้นแต่ จะทราบ G ด้วย ปัญหาในขณะนี้คือการหาฟังก์ชันกรีนG ที่สอดคล้องกับสมการ 1 ตอบพื้นฐาน ที่เกี่ยวข้องกับตัวดำเนินการL
ไม่ใช่ว่าตัวดำเนินการทุกตัวจะมีฟังก์ชันกรีน ฟังก์ชันกรีนอาจมองได้ว่าเป็นตัวผกผันทางขวา ของL สมการที่ 3 L {\displaystyle L}
อาจมองได้ว่าเป็นการขยายฟังก์ชันf ตาม ฐาน ฟังก์ชันเดลต้าของ Dirac (โดยฉายf ลงบน) และเป็นการซ้อนทับของคำตอบบนการฉาย แต่ละครั้ง สมการปริพันธ์ดังกล่าวเรียกว่าสมการปริพันธ์ Fredholm ซึ่งการศึกษาเกี่ยวกับสมการนี้เป็นที่มาของทฤษฎี Fredholm δ ( x − s ) {\displaystyle \delta (x-s)}
การใช้งานหลักของฟังก์ชันกรีนในทางคณิตศาสตร์คือการแก้ปัญหาค่าขอบเขต ที่ไม่เป็นเอกพันธุ์ ในฟิสิกส์เชิงทฤษฎี สมัยใหม่ ฟังก์ชันกรีนมักถูกใช้เป็นตัวแพร่กระจาย ในแผนภาพไฟน์แมน และคำว่าฟังก์ชันกรีน มักถูกใช้เพิ่มเติมสำหรับฟังก์ชันความสัมพันธ์ ใดๆ ด้วย
กรอบ ให้เป็น ตัวดำเนินการ Sturm–Liouville ซึ่งเป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นในรูปแบบ และให้ เป็น ตัวดำเนินการ เงื่อนไขขอบเขต แบบเวกเตอร์L {\displaystyle L} L = d d x [ p ( x ) d d x ] + q ( x ) {\displaystyle L={\dfrac {d}{dx}}\left[p(x){\dfrac {d}{dx}}\right]+q(x)} D {\displaystyle \mathbf {D} } D u = [ α 1 u ′ ( 0 ) + β 1 u ( 0 ) α 2 u ′ ( ℓ ) + β 2 u ( ℓ ) ] . {\displaystyle \mathbf {D} u={\begin{bmatrix}\alpha _{1}u'(0)+\beta _{1}u(0)\\\alpha _{2}u'(\ell )+\beta _{2}u(\ell )\end{bmatrix}}\,.}
ให้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ในและ สมมติเพิ่มเติมว่าปัญหา เป็นปัญหาปกติ กล่าว คือ คำตอบเดียวสำหรับสำหรับทุกx คือf ( x ) {\displaystyle f(x)} [ 0 , ℓ ] {\displaystyle [0,\ell ]\,} L u = f D u = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=f\\\mathbf {D} u&=\mathbf {0} \end{aligned}}} f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} u ( x ) = 0 {\displaystyle u(x)=0}
ทฤษฎีบท มีเพียงคำตอบเดียวเท่านั้นที่ตรงตามเงื่อนไข และคำตอบนั้นกำหนดโดย โดย ที่เป็นฟังก์ชันกรีนที่ตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้: u ( x ) {\displaystyle u(x)} L u = f D u = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=f\\\mathbf {D} u&=\mathbf {0} \end{aligned}}} u ( x ) = ∫ 0 ℓ f ( s ) G ( x , s ) d s , {\displaystyle u(x)=\int _{0}^{\ell }f(s)\,G(x,s)\,ds\,,} G ( x , s ) {\displaystyle G(x,s)}
G ( x , s ) {\displaystyle G(x,s)} x {\displaystyle x} s {\displaystyle s} สำหรับ, . x ≠ s {\displaystyle x\neq s\,} L G ( x , s ) = 0 {\displaystyle LG(x,s)=0} สำหรับ, . s ≠ 0 {\displaystyle s\neq 0\,} D G ( x , s ) = 0 {\displaystyle \mathbf {D} G(x,s)=\mathbf {0} } ของอนุพันธ์ : . G ′ ( s 0 + , s ) − G ′ ( s 0 − , s ) = 1 / p ( s ) {\displaystyle G'(s_{0+},s)-G'(s_{0-},s)=1/p(s)\,} ความสมมาตร: . G ( x , s ) = G ( s , x ) {\displaystyle G(x,s)=G(s,x)\,}
ฟังก์ชันของกรีนไม่จำเป็นต้องมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว เนื่องจากผลรวมของคำตอบใดๆ ของสมการเอกพันธุ์กับฟังก์ชันของกรีนหนึ่งตัวจะส่งผลให้เกิดฟังก์ชันของกรีนอีกตัวหนึ่ง ดังนั้น หากสมการเอกพันธุ์มีคำตอบที่ไม่ใช่ศูนย์ ฟังก์ชันของกรีนหลายตัวก็จะมีอยู่ ปัญหา ค่าขอบเขต หรือค่าเริ่มต้น บางอย่าง เกี่ยวข้องกับการหาฟังก์ชันของกรีนที่ไม่เป็นศูนย์เฉพาะสำหรับ; ในกรณีนี้ บางครั้งคำตอบจะเรียกว่าฟังก์ชันของกรีนแบบหน่วงเวลา[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] s ≤ x {\displaystyle s\leq x} s ≥ x {\displaystyle s\geq x} x {\displaystyle x}
คำศัพท์ขั้นสูงและแบบหน่วงเวลามีประโยชน์อย่างยิ่งเมื่อตัวแปร x สอดคล้องกับเวลา ในกรณีดังกล่าว วิธีแก้ปัญหาที่ได้จากการใช้ฟังก์ชันกรีนแบบหน่วงเวลาจะขึ้นอยู่กับแหล่งกำเนิดในอดีตเท่านั้นและเป็นแบบมีเหตุผล ในขณะที่วิธีแก้ปัญหาที่ได้จากการใช้ฟังก์ชันกรีนแบบขั้นสูงจะขึ้นอยู่กับแหล่งกำเนิดในอนาคตเท่านั้นและเป็นแบบไม่มีเหตุผล ในปัญหาเหล่านี้ มักจะเป็นกรณีที่วิธีแก้ปัญหาแบบมีเหตุผลเป็นวิธีแก้ปัญหาที่มีความสำคัญทางกายภาพ อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันกรีนแบบขั้นสูงมีประโยชน์ในการค้นหาวิธีแก้ปัญหาสำหรับปัญหาผกผัน บาง อย่างที่ต้องค้นหาแหล่งกำเนิดจากข้อมูลขอบเขต การใช้ฟังก์ชันกรีนแบบขั้นสูงและแบบหน่วงเวลาเป็นเรื่องปกติอย่างยิ่งสำหรับการวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาของ สม การคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน [ 9 ]
การขยายค่าลักษณะเฉพาะ ถ้าตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ L เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ Ψ ( x ) (กล่าวคือ เซตของฟังก์ชันΨ และสเกลาร์λ L Ψ = λ Ψ ลักษณะเฉพาะ เหล่านี้
"สมบูรณ์" หมายความว่าเซตของฟังก์ชัน{Ψ } เป็นไปตาม ความสัมพันธ์ความสมบูรณ์ ต่อ ไปนี้δ ( x − x ′ ) = ∑ n = 0 ∞ Ψ n † ( x ′ ) Ψ n ( x ) . {\displaystyle \delta (x-x')=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}^{\dagger }(x')\Psi _{n}(x).}
ดังนั้นจึงเป็นดังต่อไปนี้
G ( x , x ′ ) = ∑ n = 0 ∞ Ψ n † ( x ′ ) Ψ n ( x ) λ n , {\displaystyle G(x,x')=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\Psi _{n}^{\dagger }(x')\Psi _{n}(x)}{\lambda _{n}}},}
โดยที่แทนการผันคำนามเชิงซ้อน † {\displaystyle \dagger }
การใช้ตัวดำเนินการL
การศึกษาทั่วไปเกี่ยวกับฟังก์ชันของกรีนที่เขียนในรูปแบบข้างต้น และความสัมพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าวกับปริภูมิฟังก์ชัน ที่เกิดจากเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ เรียกว่าทฤษฎีเฟรดโฮล์ ม
มีวิธีการอื่นอีกหลายวิธีในการหาฟังก์ชันของกรีน รวมถึงวิธีภาพ วิธี แยกตัวแปร และการแปลงลาปลา ส[ 10 ]
การแสดงผลในแง่ของวรอนสเกียน ให้เป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์อันดับสองเชิงเส้นทั่วไปที่กำหนดบนเราเขียนว่า L {\displaystyle L} [ a , b ] ∈ R {\displaystyle [a,b]\in \mathbb {R} }
L u ( x ) = α ( x ) d 2 d x 2 u ( x ) + β ( x ) d d x u ( x ) + γ ( x ) u ( x ) = f ( x ) . {\displaystyle Lu(x)=\alpha (x){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}u(x)+\beta (x){\frac {d}{dx}}u(x)+\gamma (x)u(x)=f(x).}
สมมติว่าและร่วมกันเป็นฐาน ของ คำตอบ ที่เป็นอิสระเชิงเส้น สำหรับปัญหาเอกพันธุ์เมื่อกำหนดเงื่อนไขขอบเขตเอกพันธุ์สำหรับฟังก์ชันกรีนเราสามารถสร้าง ได้โดยกำหนดให้และฟังก์ชันกรีนที่สอดคล้องกับเงื่อนไขเหล่านี้ พร้อมกับความต่อเนื่องของและ "การกระโดด" ของอนุพันธ์ สามารถเขียนได้ดังนี้ u 1 {\displaystyle u_{1}} u 2 {\displaystyle u_{2}} L u = 0. {\displaystyle Lu=0.} G ( a , s ) = G ( b , s ) = 0 {\displaystyle G(a,s)=G(b,s)=0} G ( x , s ) {\displaystyle G(x,s)} u 1 ( a ) = 0 {\displaystyle u_{1}(a)=0} u 2 ( b ) = 0. {\displaystyle u_{2}(b)=0.} G {\displaystyle G}
G ( x , s ) = { u 1 ( x ) u 2 ( s ) α ( s ) W ( s ) , a ≤ x < s u 2 ( x ) u 1 ( s ) α ( s ) W ( s ) , s < x ≤ b {\displaystyle G(x,s)={\begin{cases}{\dfrac {u_{1}(x)u_{2}(s)}{\alpha (s){\mathcal {W(s)}}}},&a\leq x<s\\{\dfrac {u_{2}(x)u_{1}(s)}{\alpha (s){\mathcal {W}}(s)}},&s<x\leq b\end{cases}}}
โดยที่เรียกว่า ดีเทอร์มิแนนต์แบบ วรอนสเกียน ของและแม้ว่านี่จะเป็นกรณีที่ค่อนข้างจำกัด แต่ฟังก์ชันวรอนสเกียนมักปรากฏในชุดปัญหาค่าขอบเขตอื่นๆ ที่ต้องการฟังก์ชันกรีนแบบด้านเดียว (ขั้นสูง/ล่าช้า) เช่นกัน รวมถึงปัญหาที่มีเงื่อนไขเกี่ยวกับอนุพันธ์ของขอบเขต ( เงื่อนไข นอยมันน์ ) หรือเงื่อนไขสองข้อเกี่ยวกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ปกติของฟังก์ชันนั้นบนขอบเขตเดียว ( เงื่อนไข โคชี ) W ( x ) = u 1 ( x ) u 2 ′ ( x ) − u 1 ′ ( x ) u 2 ( x ) {\displaystyle {\mathcal {W}}(x)=u_{1}(x)u'_{2}(x)-u_{1}'(x)u_{2}(x)} u 1 {\displaystyle u_{1}} u 2 {\displaystyle u_{2}}
ถ้าตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์สามารถแยกตัวประกอบได้เป็นแล้วฟังก์ชันกรีนของสามารถสร้างขึ้นจากฟังก์ชันกรีนสำหรับและ ได้: เอกลักษณ์ข้างต้นเป็นผลโดยตรงจากการกำหนดให้ เป็นตัวแทนของตัวดำเนินการผกผันทางขวาของใน ทำนองเดียว กับที่ตัวดำเนินการเชิงเส้นผกผันได้ ซึ่ง กำหนดโดย ถูกแทน ด้วยองค์ประกอบเมทริกซ์ของมัน L {\displaystyle L} L = L 1 L 2 {\displaystyle L=L_{1}L_{2}} L {\displaystyle L} L 1 {\displaystyle L_{1}} L 2 {\displaystyle L_{2}} G ( x , s ) = ∫ G 2 ( x , s 1 ) G 1 ( s 1 , s ) d s 1 . {\displaystyle G(x,s)=\int G_{2}(x,s_{1})\,G_{1}(s_{1},s)\,ds_{1}.} G ( x , s ) {\displaystyle G(x,s)} L {\displaystyle L} C {\displaystyle C} C = ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 {\displaystyle C=(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}} C i , j {\displaystyle C_{i,j}}
นอกจากนี้ ยังมีเอกลักษณ์เพิ่มเติมสำหรับตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ที่เป็นพหุนามสเกลาร์ของอนุพันธ์ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิต รวมกับ ข้อเท็จจริงที่ว่าสลับที่ได้กับตัวเอง รับประกันว่าพหุนาม สามารถแยกตัวประกอบได้ โดยให้ อยู่ในรูป: โดย ที่คือค่าศูนย์ของ การแปลงฟูริเยร์ ของเทียบกับทั้งและจะได้: จากนั้นเศษส่วน สามารถแยกออกเป็นผลรวมโดยใช้การแยกเศษส่วนย่อย ก่อนที่จะแปลงฟูริเยร์กลับไปยังและปริภูมิ กระบวนการนี้ให้เอกลักษณ์ที่เชื่อมโยงปริพันธ์ของฟังก์ชันกรีนและผลรวมของฟังก์ชันเดียวกัน ตัวอย่างเช่น ถ้าแล้วรูปแบบหนึ่งของฟังก์ชันกรีนคือ: แม้ว่าตัวอย่างที่นำเสนอจะสามารถวิเคราะห์ได้ แต่ก็แสดงให้เห็นถึงกระบวนการที่ใช้ได้ผลเมื่อปริพันธ์ไม่เป็นศูนย์ (ตัวอย่างเช่น เมื่อเป็นตัวดำเนินการในพหุนาม) L = P N ( ∂ x ) {\displaystyle L=P_{N}(\partial _{x})} ∂ x {\displaystyle \partial _{x}} L {\displaystyle L} L = ∏ i = 1 N ( ∂ x − z i ) , {\displaystyle L=\prod _{i=1}^{N}\left(\partial _{x}-z_{i}\right),} z i {\displaystyle z_{i}} P N ( z ) {\displaystyle P_{N}(z)} L G ( x , s ) = δ ( x − s ) {\displaystyle LG(x,s)=\delta (x-s)} x {\displaystyle x} s {\displaystyle s} G ^ ( k x , k s ) = δ ( k x − k s ) ∏ i = 1 N ( i k x − z i ) . {\displaystyle {\widehat {G}}(k_{x},k_{s})={\frac {\delta (k_{x}-k_{s})}{\prod _{i=1}^{N}(ik_{x}-z_{i})}}.} x {\displaystyle x} s {\displaystyle s} L = ( ∂ x + γ ) ( ∂ x + α ) 2 {\displaystyle L=\left(\partial _{x}+\gamma \right)\left(\partial _{x}+\alpha \right)^{2}} G ( x , s ) = 1 ( γ − α ) 2 Θ ( x − s ) e − γ ( x − s ) − 1 ( γ − α ) 2 Θ ( x − s ) e − α ( x − s ) + 1 γ − α Θ ( x − s ) ( x − s ) e − α ( x − s ) = ∫ Θ ( x − s 1 ) ( x − s 1 ) e − α ( x − s 1 ) Θ ( s 1 − s ) e − γ ( s 1 − s ) d s 1 . {\displaystyle {\begin{aligned}G(x,s)&={\frac {1}{\left(\gamma -\alpha \right)^{2}}}\Theta (x-s)e^{-\gamma (x-s)}-{\frac {1}{\left(\gamma -\alpha \right)^{2}}}\Theta (x-s)e^{-\alpha (x-s)}+{\frac {1}{\gamma -\alpha }}\Theta (x-s)\left(x-s\right)e^{-\alpha (x-s)}\\[1ex]&=\int \Theta (x-s_{1})\left(x-s_{1}\right)e^{-\alpha (x-s_{1})}\Theta (s_{1}-s)e^{-\gamma (s_{1}-s)}\,ds_{1}.\end{aligned}}} ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}}
ตารางต่อไปนี้แสดงภาพรวมของฟังก์ชันกรีนของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ที่ปรากฏบ่อย โดยที่, , คือฟังก์ชันขั้นบันไดของ Heaviside , คือฟังก์ชัน Bessel , คือฟังก์ชัน Bessel ดัดแปลงชนิดแรก และคือฟังก์ชัน Bessel ดัดแปลงชนิดที่สอง [ 11 ] เมื่อ t ) ปรากฏในคอลัมน์แรก จะแสดงฟังก์ชันกรีนแบบหน่วงเวลา (เชิงสาเหตุ) r = x 2 + y 2 + z 2 {\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}} ρ = x 2 + y 2 {\textstyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} Θ ( t ) {\textstyle \Theta (t)} J ν ( z ) {\textstyle J_{\nu }(z)} I ν ( z ) {\textstyle I_{\nu }(z)} K ν ( z ) {\textstyle K_{\nu }(z)}
ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์L ฟังก์ชันG ของกรีน ตัวอย่างการใช้งาน ∂ t n + 1 {\displaystyle \partial _{t}^{n+1}} t n n ! Θ ( t ) {\displaystyle {\frac {t^{n}}{n!}}\Theta (t)} ∂ t + γ {\displaystyle \partial _{t}+\gamma } Θ ( t ) e − γ t {\displaystyle \Theta (t)e^{-\gamma t}} ( ∂ t + γ ) 2 {\displaystyle \left(\partial _{t}+\gamma \right)^{2}} Θ ( t ) t e − γ t {\displaystyle \Theta (t)te^{-\gamma t}} ∂ t 2 + 2 γ ∂ t + ω 0 2 {\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}+\omega _{0}^{2}} γ < ω 0 {\displaystyle \gamma <\omega _{0}} Θ ( t ) e − γ t sin ( ω t ) ω {\displaystyle \Theta (t)e^{-\gamma t}\,{\frac {\sin(\omega t)}{\omega }}} ω = ω 0 2 − γ 2 {\displaystyle \omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}} ตัวสั่นฮาร์มอนิกแบบหน่วงน้อย 1 มิติ ∂ t 2 + 2 γ ∂ t + ω 0 2 {\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}+\omega _{0}^{2}} γ > ω 0 {\displaystyle \gamma >\omega _{0}} Θ ( t ) e − γ t sinh ( ω t ) ω {\displaystyle \Theta (t)e^{-\gamma t}\,{\frac {\sinh(\omega t)}{\omega }}} ω = γ 2 − ω 0 2 {\displaystyle \omega ={\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2}}}} ตัวสั่นฮาร์มอนิกแบบหน่วงเกิน 1 มิติ ∂ t 2 + 2 γ ∂ t + ω 0 2 {\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}+\omega _{0}^{2}} γ = ω 0 {\displaystyle \gamma =\omega _{0}} Θ ( t ) e − γ t t {\displaystyle \Theta (t)e^{-\gamma t}t} ตัวสั่นฮาร์มอนิกแบบหน่วงวิกฤต 1 มิติ ตัวดำเนินการลาปลาซ 1 มิติd 2 d x 2 {\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}} ( x − s ) Θ ( x − s ) + x α ( s ) + β ( s ) {\displaystyle \left(x-s\right)\Theta (x-s)+x\alpha (s)+\beta (s)} สมการปัวซง 1 มิติ ตัวดำเนินการลาปลาซ 2 มิติ ∇ 2D 2 = ∂ x 2 + ∂ y 2 {\displaystyle \nabla _{\text{2D}}^{2}=\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}} 1 2 π ln ρ {\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\ln \rho } ρ = x 2 + y 2 {\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} สมการปัวซง 2 มิติ ตัวดำเนินการลาปลาซ 3 มิติ ∇ 3D 2 = ∂ x 2 + ∂ y 2 + ∂ z 2 {\displaystyle \nabla _{\text{3D}}^{2}=\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}+\partial _{z}^{2}} − 1 4 π r {\displaystyle -{\frac {1}{4\pi r}}} r = x 2 + y 2 + z 2 {\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}} สมการปัวซง ตัวดำเนินการเฮล์มโฮลทซ์ ∇ 3D 2 + k 2 {\displaystyle \nabla _{\text{3D}}^{2}+k^{2}} − e − i k r 4 π r = i k 32 π r H 1 / 2 ( 2 ) ( k r ) = i k 4 π h 0 ( 2 ) ( k r ) {\displaystyle {\frac {-e^{-ikr}}{4\pi r}}=i{\sqrt {\frac {k}{32\pi r}}}H_{1/2}^{(2)}(kr)=i{\frac {k}{4\pi }}\,h_{0}^{(2)}(kr)} ฟังก์ชันแฮงเคลชนิดที่สอง และคือฟังก์ชันแฮงเคลทรงกลมชนิดที่สอง H α ( 2 ) {\displaystyle H_{\alpha }^{(2)}} h 0 ( 2 ) {\displaystyle h_{0}^{(2)}} สมการชโรดิงเกอร์ 3 มิติแบบอยู่กับที่สำหรับอนุภาคอิสระ Δ 2 − k 4 {\displaystyle \Delta ^{2}-k^{4}} 1 2 k 2 ( i 4 H 0 ( 1 ) ( k r ) − 1 2 π K 0 ( k r ) ) {\displaystyle {\frac {1}{2k^{2}}}\left({\frac {i}{4}}H_{0}^{(1)}(kr)-{\frac {1}{2\pi }}K_{0}(kr)\right)} ฟังก์ชันแฮงเคลชนิดที่หนึ่ง และคือฟังก์ชันเบสเซลที่ดัดแปลงแล้ว H 0 ( 1 ) {\displaystyle H_{0}^{(1)}} K 0 {\displaystyle K_{0}} สมการคลื่นดัดง อแบบฮาร์มอนิกเวลา 2 มิติตัวดำเนินการความแตกต่าง∇ ⋅ G {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {G} } ( − 1 ) 1 + ( d − 1 ) ! Γ ( d 2 ) 2 π d / 2 ( | d − 2 | + δ d , 2 ) ( x − x 0 ) ‖ x − x 0 ‖ d . {\displaystyle (-1)^{1+(d-1)!}{\frac {\Gamma \left({\frac {d}{2}}\right)}{2\pi ^{d/2}}}{\frac {(\,|d-2|+\delta _{d,2})\,(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}\right\|^{d}}}.} ให้เป็นสนามเวกเตอร์จากไปและโดยที่เป็นเช่นนั้นฟังก์ชันคือฟังก์ชันแกมมา และคือเดลต้าของโครเนกเกอร์ โดยที่สำหรับและสำหรับสุดท้าย ! คือสัญลักษณ์แฟกทอเรียล และคือค่าสัมบูรณ์[ 12 ] ตัวอย่าง ได้แก่ สมการการขนส่งหรือความต่อเนื่องที่ ไม่ขึ้นกับเวลา[ 13 ] สมการของแม็กซ์เวลล์ ที่ ไม่มีแหล่งกำเนิดG {\displaystyle \mathbf {G} } R d {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} R d {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} x , x 0 ∈ R d {\displaystyle \mathbf {x} ,\,\mathbf {x} _{0}\in \mathbb {R} ^{d}} d ∈ N {\displaystyle d\in \mathbb {N} } ∇ ⋅ G = δ {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {G} =\delta } Γ ( ⋅ ) {\displaystyle \Gamma (\cdot )} δ d , 2 {\displaystyle \delta _{d,2}} δ d , 2 = 0 {\displaystyle \delta _{d,2}=0} d ≠ 2 {\displaystyle d\neq 2} δ 2 , 2 = 1 {\displaystyle \delta _{2,2}=1} d = 2 {\displaystyle d=2} | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} ∇ 2 − k 2 {\displaystyle \nabla ^{2}-k^{2}} n {\displaystyle n} − ( 2 π ) − n / 2 ( k r ) n / 2 − 1 K n / 2 − 1 ( k r ) {\displaystyle -\left(2\pi \right)^{-n/2}\left({\frac {k}{r}}\right)^{n/2-1}K_{n/2-1}(kr)} ศักยภาพยูกาวะ , ตัวแพร่กระจายไฟน์แมน , สมการปัวซงแบบมีตัวกรอง ∂ t 2 − c 2 ∂ x 2 {\displaystyle \partial _{t}^{2}-c^{2}\partial _{x}^{2}} 1 2 c Θ ( c t − x ) {\displaystyle {\frac {1}{2c}}\Theta (ct-x)} สมการคลื่น 1 มิติ∂ t 2 − c 2 ∇ 2D 2 {\displaystyle \partial _{t}^{2}-c^{2}\,\nabla _{\text{2D}}^{2}} Θ ( c t − ρ ) 2 π c c 2 t 2 − ρ 2 {\displaystyle {\frac {\Theta (ct-\rho )}{2\pi c{\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}}}} สมการคลื่น 2 มิติผู้ดำเนินการดาเลมเบิร์ต ◻ = 1 c 2 ∂ t 2 − ∇ 3D 2 {\displaystyle \square ={\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\nabla _{\text{3D}}^{2}} 1 4 π r δ ( t − r c ) {\displaystyle {\frac {1}{4\pi r}}\delta \left(t-{\frac {r}{c}}\right)} สมการคลื่น 3 มิติ∂ t − k ∂ x 2 {\displaystyle \partial _{t}-k\partial _{x}^{2}} ( 1 4 π k t ) 1 / 2 Θ ( t ) e − x 2 / 4 k t {\displaystyle \left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)^{1/2}\Theta (t)e^{-x^{2}/4kt}} การแพร่ แบบ 1 มิติ∂ t − k ∇ 2D 2 {\displaystyle \partial _{t}-k\,\nabla _{\text{2D}}^{2}} ( 1 4 π k t ) Θ ( t ) e − ρ 2 / 4 k t {\displaystyle \left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)\Theta (t)e^{-\rho ^{2}/4kt}} การแพร่กระจาย แบบ 2 มิติ∂ t − k ∇ 3D 2 {\displaystyle \partial _{t}-k\,\nabla _{\text{3D}}^{2}} ( 1 4 π k t ) 3 / 2 Θ ( t ) e − r 2 / 4 k t {\displaystyle \left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)^{3/2}\Theta (t)e^{-r^{2}/4kt}} การแพร่กระจาย แบบ 3 มิติ1 c 2 ∂ t 2 − ∂ x 2 + μ 2 {\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\partial _{x}^{2}+\mu ^{2}} 1 2 ( 1 − sin μ c t ) [ δ ( c t − x ) + δ ( c t + x ) ] + 1 2 μ Θ ( c t − | x | ) J 0 ( μ u ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\tfrac {1}{2}}\left(1-\sin {\mu ct}\right)\left[\delta (ct-x)+\delta (ct+x)\right]\\[0.5ex]&+{\tfrac {1}{2}}\mu \Theta (ct-|x|)J_{0}(\mu u)\end{aligned}}} u = c 2 t 2 − x 2 {\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}}}} สมการไคลน์-กอร์ดอน 1 มิติ1 c 2 ∂ t 2 − ∇ 2D 2 + μ 2 {\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\nabla _{\text{2D}}^{2}+\mu ^{2}} δ ( c t − ρ ) 4 π ρ ( 1 + cos ( μ c t ) ) + μ 2 Θ ( c t − ρ ) 4 π sinc ( μ u ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\delta (ct-\rho )}{4\pi \rho }}\left(1+\cos(\mu ct)\right)\\[0.5ex]&+{\frac {\mu ^{2}\Theta (ct-\rho )}{4\pi }}\operatorname {sinc} (\mu u)\end{aligned}}} u = c 2 t 2 − ρ 2 {\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}} สมการไคลน์-กอร์ดอน 2 มิติ◻ + μ 2 {\displaystyle \square +\mu ^{2}} 1 4 π r δ ( t − r c ) + μ c 4 π u Θ ( c t − r ) J 1 ( μ u ) {\displaystyle {\frac {1}{4\pi r}}\delta {\left(t-{\frac {r}{c}}\right)}+{\frac {\mu c}{4\pi u}}\Theta (ct-r)J_{1}{\left(\mu u\right)}} u = c 2 t 2 − r 2 {\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-r^{2}}}} สมการไคลน์-กอร์ดอน 3 มิติ∂ t 2 + 2 γ ∂ t − c 2 ∂ x 2 {\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\partial _{x}^{2}} e − γ t 2 [ δ ( c t − x ) + δ ( c t + x ) ] + e − γ t 2 Θ ( c t − | x | ) ( k I 0 ( k u ) + γ t u I 1 ( k u ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {e^{-\gamma t}}{2}}\left[\delta (ct-x)+\delta (ct+x)\right]\\[0.5ex]&+{\frac {e^{-\gamma t}}{2}}\Theta (ct-|x|)\left(kI_{0}(ku)+{\frac {\gamma t}{u}}I_{1}(ku)\right)\end{aligned}}} u = c 2 t 2 − x 2 {\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}}}} k = γ / c {\displaystyle k=\gamma /c} สมการของพนักงานส่งโทรเลข ∂ t 2 + 2 γ ∂ t − c 2 ∇ 2D 2 {\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\,\nabla _{\text{2D}}^{2}} e − γ t 4 π ρ δ ( c t − ρ ) ( 1 + e − γ t + 3 γ t ) + e − γ t 4 π u 2 Θ ( c t − ρ ) ( k u 2 − 3 c t c u sinh ( k u ) + 3 γ t cosh ( k u ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {e^{-\gamma t}}{4\pi \rho }}\delta (ct-\rho )\left(1+e^{-\gamma t}+3\gamma t\right)\\&+{\frac {e^{-\gamma t}}{4\pi u^{2}}}\Theta (ct-\rho )\left({\frac {ku^{2}-3ct}{cu}}\sinh \left(ku\right)+3\gamma t\cosh \left(ku\right)\right)\end{aligned}}} u = c 2 t 2 − ρ 2 {\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}} k = γ / c {\displaystyle k=\gamma /c} การนำความร้อนเชิงสัมพัทธ ภาพ 2 มิติ∂ t 2 + 2 γ ∂ t − c 2 ∇ 3D 2 {\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\,\nabla _{\text{3D}}^{2}} e − γ t 20 π r 2 δ ( c t − r ) ( 8 − 3 e − γ t + 2 γ t + 4 γ 2 t 2 ) + k e − γ t 20 π u Θ ( c t − r ) ( k I 1 ( k u ) + 4 γ t u I 2 ( k u ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {e^{-\gamma t}}{20\pi r^{2}}}\delta (ct-r)\left(8-3e^{-\gamma t}+2\gamma t+4\gamma ^{2}t^{2}\right)\\[0.5ex]&+{\frac {ke^{-\gamma t}}{20\pi u}}\Theta (ct-r)\left(kI_{1}(ku)+{\frac {4\gamma t}{u}}I_{2}(ku)\right)\end{aligned}}} u = c 2 t 2 − r 2 {\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-r^{2}}}} k = γ / c {\displaystyle k=\gamma /c} การนำความร้อนเชิงสัมพัทธภาพ สามมิติ
ฟังก์ชันของกรีนสำหรับตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่เกี่ยวข้องกับตัวดำเนินการลาปลาเซียน สามารถนำไปใช้ได้อย่างง่ายดายโดยใช้เอกลักษณ์ที่สองของกรี น
ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทของกรีน ให้เริ่มต้นด้วยทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ (หรือที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทของเกาส์ ) ∫ V ∇ ⋅ A d V = ∫ S A ⋅ d σ ^ . {\displaystyle \int _{V}\nabla \cdot \mathbf {A} \,dV=\int _{S}\mathbf {A} \cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}\,.}
ให้และแทนค่าลงในกฎของเกาส์ A = φ ∇ ψ − ψ ∇ φ {\displaystyle \mathbf {A} =\varphi \,\nabla \psi -\psi \,\nabla \varphi }
คำนวณและใช้กฎผลคูณสำหรับตัวดำเนินการ ∇ ∇ ⋅ A {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} } ∇ ⋅ A = ∇ ⋅ ( φ ∇ ψ − ψ ∇ φ ) = ( ∇ φ ) ⋅ ( ∇ ψ ) + φ ∇ 2 ψ − ( ∇ φ ) ⋅ ( ∇ ψ ) − ψ ∇ 2 φ = φ ∇ 2 ψ − ψ ∇ 2 φ . {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {A} &=\nabla \cdot \left(\varphi \,\nabla \psi \;-\;\psi \,\nabla \varphi \right)\\&=(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )\;+\;\varphi \,\nabla ^{2}\psi \;-\;(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )\;-\;\psi \nabla ^{2}\varphi \\&=\varphi \,\nabla ^{2}\psi \;-\;\psi \,\nabla ^{2}\varphi .\end{aligned}}}
เมื่อนำสิ่งนี้ไปแทนในทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ จะได้ทฤษฎีบทของกรี น ∫ V ( φ ∇ 2 ψ − ψ ∇ 2 φ ) d V = ∫ S ( φ ∇ ψ − ψ ∇ φ ) ⋅ d σ ^ . {\displaystyle \int _{V}\left(\varphi \,\nabla ^{2}\psi -\psi \,\nabla ^{2}\varphi \right)dV=\int _{S}\left(\varphi \,\nabla \psi -\psi \nabla \,\varphi \right)\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}.}
สมมติว่าตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นL คือตัวดำเนินการลาปลา เซียน ∇² และ มีฟังก์ชันกรีนG สำหรับตัวดำเนินการลาปลาเซียน คุณสมบัติการนิยามของฟังก์ชันกรีนยังคงใช้ได้อยู่ L G ( x , x ′ ) = ∇ 2 G ( x , x ′ ) = δ ( x − x ′ ) . {\displaystyle LG(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ').}
พิจารณาเอกลักษณ์ที่สองของกรีน ดูเอกลักษณ์ของกรีน จากนั้น ψ = G {\displaystyle \psi =G} ∫ V [ φ ( x ′ ) δ ( x − x ′ ) − G ( x , x ′ ) ∇ ′ 2 φ ( x ′ ) ] d 3 x ′ = ∫ S [ φ ( x ′ ) ∇ ′ G ( x , x ′ ) − G ( x , x ′ ) ∇ ′ φ ( x ′ ) ] ⋅ d σ ^ ′ . {\displaystyle \int _{V}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,{\nabla '}^{2}\,\varphi (\mathbf {x} ')\right]d^{3}\mathbf {x} '=\int _{S}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\,{\nabla '}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,{\nabla '}\varphi (\mathbf {x} ')\right]\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'.}
โดย ใช้ สมการลาปลาส ∇²φ ( x ) = 0 หรือสมการปัวซง ∇²φ ( x ) = −ρ ( x ) ได้ โดย แบบนอยมันน์ หรือแบบดิริชเลต์ กล่าว φ ( x )φ ( x )φ ( x )
สมมติว่าปัญหาคือการหาค่าφ ( x )φ ( x ) เนื่องจากคุณสมบัติการนิยามของฟังก์ชันเดลต้าของดิแรก และเราจะได้ ∫ V φ ( x ′ ) δ ( x − x ′ ) d 3 x ′ {\displaystyle \int _{V}\varphi (\mathbf {x} ')\,\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '} φ ( x ) = − ∫ V G ( x , x ′ ) ρ ( x ′ ) d 3 x ′ + ∫ S [ φ ( x ′ ) ∇ ′ G ( x , x ′ ) − G ( x , x ′ ) ∇ ′ φ ( x ′ ) ] ⋅ d σ ^ ′ . {\displaystyle \varphi (\mathbf {x} )=-\int _{V}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,\rho (\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '+\int _{S}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\,\nabla 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,\nabla '\varphi (\mathbf {x} ')\right]\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'.}
รูปแบบนี้แสดงถึงคุณสมบัติที่รู้จักกันดีของฟังก์ชันฮาร์มอนิก นั่นคือหากทราบค่าหรืออนุพันธ์ปกติบนพื้นผิวขอบเขตแล้ว ค่าของฟังก์ชันภายในปริมาตรนั้นจะทราบได้ทุก ที่
ในไฟฟ้าสถิต φ ( x ) ถูกตีความว่าเป็นศักย์ไฟฟ้า ρ ( x ) เป็นความหนาแน่น ประจุไฟฟ้า และอนุพันธ์ปกติเป็น ส่วนประกอบปกติ ของ ∇ φ ( x ′ ) ⋅ d σ ^ ′ {\displaystyle \nabla \varphi (\mathbf {x} ')\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'}
หากปัญหาคือการแก้ปัญหาค่าขอบเขตแบบ Dirichlet ฟังก์ชัน Green ควรถูกเลือกให้G ( x , x ′)x หรือx′ อยู่บนพื้นผิวขอบเขต ดังนั้นจึงเหลือเพียงหนึ่งในสองพจน์ในปริพันธ์พื้นผิว หากปัญหาคือการแก้ปัญหาค่าขอบเขตแบบ Neumann อาจดูเหมือนสมเหตุสมผลที่จะเลือกฟังก์ชัน Green เพื่อให้ค่าอนุพันธ์ปกติเป็นศูนย์บนพื้นผิวขอบเขต อย่างไรก็ตาม การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของ Gauss กับสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนดฟังก์ชัน Green ทำให้ค่า อนุพันธ์ปกติของG ( x , x ′) ไม่สามารถเป็นศูนย์บนพื้นผิวได้ เนื่องจากต้องมีปริพันธ์เป็น 1 บนพื้นผิว[ 14 ] ∫ S ∇ ′ G ( x , x ′ ) ⋅ d σ ^ ′ = ∫ V ∇ ′ 2 G ( x , x ′ ) d 3 x ′ = ∫ V δ ( x − x ′ ) d 3 x ′ = 1 , {\displaystyle \int _{S}\nabla 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'=\int _{V}\nabla '^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '=\int _{V}\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '=1\,,}
รูปแบบที่ง่ายที่สุดของอนุพันธ์ปกติคือค่าคงที่ นั่นคือ1/ S โดยที่S ∫ S φ ( x ′ ) ∇ ′ G ( x , x ′ ) ⋅ d σ ^ ′ = ⟨ φ ⟩ S {\displaystyle \int _{S}\varphi (\mathbf {x} ')\,\nabla 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'=\langle \varphi \rangle _{S}} ⟨ φ ⟩ S {\displaystyle \langle \varphi \rangle _{S}}
หากไม่มีเงื่อนไขขอบเขต ฟังก์ชันกรีนสำหรับตัวดำเนินการลาปลาเซียน ( ฟังก์ชันกรีนสำหรับสมการลาปลาเซียนสามตัวแปร ) คือ G ( x , x ′ ) = − 1 4 π | x − x ′ | . {\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=-{\frac {1}{4\pi \left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}}.}
สมมติว่าขอบเขตพื้นผิวขยายออกไปถึงอนันต์ และเมื่อแทนค่านิพจน์นี้ลงในฟังก์ชันกรีน ในที่สุดจะได้นิพจน์มาตรฐานสำหรับศักย์ไฟฟ้าในรูปของความหนาแน่นประจุไฟฟ้าดังนี้
φ ( x ) = ∫ V ρ ( x ′ ) 4 π ε | x − x ′ | d 3 x ′ . {\displaystyle \varphi (\mathbf {x} )=\int _{V}{\dfrac {\rho (\mathbf {x} ')}{4\pi \varepsilon \left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}}\,d^{3}\mathbf {x} '\,.}
ตัวอย่าง จงหาฟังก์ชันกรีนสำหรับปัญหาต่อไปนี้ ซึ่งมีหมายเลขฟังก์ชันกรีน คือ X11: L u = u ″ + k 2 u = f ( x ) u ( 0 ) = 0 , u ( π 2 k ) = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=u''+k^{2}u=f(x)\\u(0)&=0,\quad u{\left({\tfrac {\pi }{2k}}\right)}=0.\end{aligned}}}
ขั้นตอนแรก: ฟังก์ชันกรีนสำหรับตัวดำเนินการเชิงเส้นที่กำลังพิจารณาอยู่นั้น ถูกกำหนดให้เป็นคำตอบของสมการ
G ″ ( x , s ) + k 2 G ( x , s ) = δ ( x − s ) . {\displaystyle G''(x,s)+k^{2}G(x,s)=\delta (x-s).} สมการ*
ถ้าแล้วฟังก์ชันเดลต้าจะให้ค่าเป็นศูนย์ และคำตอบทั่วไปคือ x ≠ s {\displaystyle x\neq s} G ( x , s ) = c 1 cos k x + c 2 sin k x . {\displaystyle G(x,s)=c_{1}\cos kx+c_{2}\sin kx.}
สำหรับเงื่อนไขขอบเขตที่หมายความว่า ถ้าและ. x < s {\displaystyle x<s} x = 0 {\displaystyle x=0} G ( 0 , s ) = c 1 ⋅ 1 + c 2 ⋅ 0 = 0 , c 1 = 0 {\displaystyle G(0,s)=c_{1}\cdot 1+c_{2}\cdot 0=0,\quad c_{1}=0} x < s {\displaystyle x<s} s ≠ π 2 k {\displaystyle s\neq {\tfrac {\pi }{2k}}}
สำหรับเงื่อนไขขอบเขตที่หมายความว่า x > s {\displaystyle x>s} x = π 2 k {\displaystyle x={\tfrac {\pi }{2k}}} G ( π 2 k , s ) = c 3 ⋅ 0 + c 4 ⋅ 1 = 0 , c 4 = 0 {\displaystyle G{\left({\tfrac {\pi }{2k}},s\right)}=c_{3}\cdot 0+c_{4}\cdot 1=0,\quad c_{4}=0}
สมการของถูกละเว้นด้วยเหตุผลที่คล้ายคลึงกัน G ( 0 , s ) = 0 {\displaystyle G(0,s)=0}
สรุปผลการวิจัยจนถึงขณะนี้: G ( x , s ) = { c 2 sin k x , for x < s , c 3 cos k x , for s < x . {\displaystyle G(x,s)={\begin{cases}c_{2}\sin kx,&{\text{for }}x<s,\\[0.4ex]c_{3}\cos kx,&{\text{for }}s<x.\end{cases}}}
ขั้นตอนที่สอง: งานต่อไปคือการพิจารณาและ กำหนดค่า ต่างๆ c 2 {\displaystyle c_{2}} c 3 {\displaystyle c_{3}}
การรับประกันความต่อเนื่องในการทำงานของพรรคกรีนนั้นหมาย ถึง...x = s {\displaystyle x=s} c 2 sin k s = c 3 cos k s {\displaystyle c_{2}\sin ks=c_{3}\cos ks}
เราสามารถรับประกันความไม่ต่อเนื่องที่เหมาะสมในอนุพันธ์อันดับแรกได้โดยการอินทิเกรตสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนด (เช่นสมการ * x = s − ε {\displaystyle x=s-\varepsilon } x = s + ε {\displaystyle x=s+\varepsilon } ε {\displaystyle \varepsilon } c 3 ⋅ ( − k sin k s ) − c 2 ⋅ ( k cos k s ) = 1 {\displaystyle c_{3}\cdot (-k\sin ks)-c_{2}\cdot (k\cos ks)=1}
สมการความต่อเนื่อง (หรือไม่ต่อเนื่อง) ทั้งสองสมการสามารถแก้หาค่าและได้ค่า c 2 {\displaystyle c_{2}} c 3 {\displaystyle c_{3}} c 2 = − cos k s k ; c 3 = − sin k s k {\displaystyle c_{2}=-{\frac {\cos ks}{k}}\quad ;\quad c_{3}=-{\frac {\sin ks}{k}}}
ดังนั้นฟังก์ชันของกรีนสำหรับปัญหานี้คือ: G ( x , s ) = { − cos k s k sin k x , x < s , − sin k s k cos k x , s < x . {\displaystyle G(x,s)={\begin{cases}-{\frac {\cos ks}{k}}\sin kx,&x<s,\\-{\frac {\sin ks}{k}}\cos kx,&s<x.\end{cases}}}
ตัวอย่างเพิ่มเติม ให้n = 1R L เป็นแล้ว ฟังก์ชันขั้นบันได ของHeaviside Θ( x − x ) เป็นฟังก์ชัน Green ของL x d d x {\textstyle {\frac {d}{dx}}} ให้n = 2{( x , y ) : x , y ≥ 0} และL เป็นตัวดำเนินการลาปลาเซียน นอกจากนี้ สมมติว่ามีการกำหนดเงื่อนไขขอบเขตแบบ Dirichlet ที่ x = 0เงื่อนไขขอบเขตแบบ Neumann ที่y = 0G ( x , y , x 0 , y 0 ) = 1 2 π [ ln ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 − ln ( x + x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + ln ( x − x 0 ) 2 + ( y + y 0 ) 2 − ln ( x + x 0 ) 2 + ( y + y 0 ) 2 ] . {\displaystyle {\begin{aligned}G(x,y,x_{0},y_{0})={\dfrac {1}{2\pi }}&\left[\ln {\sqrt {\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}}-\ln {\sqrt {\left(x+x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}}\right.\\[5pt]&\left.{}+\ln {\sqrt {\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}}}-\ln {\sqrt {\left(x+x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}}}\,\right].\end{aligned}}} ให้และทั้งสามเป็นสมาชิกของจำนวนจริง แล้วสำหรับฟังก์ชันใดๆที่มีอนุพันธ์อันดับที่ ซึ่งสามารถหาปริพันธ์ได้ในช่วง: ฟังก์ชันกรีนในสมการข้างต้นไม่เป็นเอกลักษณ์ สมการจะเปลี่ยนแปลงอย่างไรหากเพิ่ม เข้าไปในโดยที่สอดคล้อง กับ สำหรับทุก(ตัวอย่างเช่นโดยที่)? นอกจากนี้ ให้เปรียบเทียบสมการข้างต้นกับรูปแบบของอนุกรมเทย์เลอร์ ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่a < x < b {\displaystyle a<x<b} f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } n {\displaystyle n} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} f ( x ) = ∑ m = 0 n − 1 ( x − a ) m m ! [ d m f d x m ] x = a + ∫ a b [ ( x − s ) n − 1 ( n − 1 ) ! Θ ( x − s ) ] [ d n f d x n ] x = s d s . {\displaystyle f(x)=\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {(x-a)^{m}}{m!}}\left[{\frac {d^{m}f}{dx^{m}}}\right]_{x=a}+\int _{a}^{b}\left[{\frac {(x-s)^{n-1}}{(n-1)!}}\Theta (x-s)\right]\left[{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}\right]_{x=s}ds\,.} G ( x , s ) = ( x − s ) n − 1 ( n − 1 ) ! Θ ( x − s ) {\displaystyle G(x,s)={\frac {(x-s)^{n-1}}{(n-1)!}}\Theta (x-s)} g ( x − s ) {\displaystyle g(x-s)} G ( x , s ) {\displaystyle G(x,s)} g ( x ) {\displaystyle g(x)} d n g d x n = 0 {\textstyle {\frac {d^{n}g}{dx^{n}}}=0} x ∈ [ a , b ] {\displaystyle x\in [a,b]} g ( x ) = − x / 2 {\displaystyle g(x)=-x/2} n = 2 {\displaystyle n=2} x = a {\displaystyle x=a}
ดูเพิ่มเติม
ลิงก์ภายนอก 
![{\displaystyle L={\dfrac {d}{dx}}\left[p(x){\dfrac {d}{dx}}\right]+q(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5d3fd6df18b34bdfbba804fbc99e3e6dda15291)
![{\displaystyle [0,\ell ]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a8f5818a03081009018fc028c713c925de6c1b1)
![{\displaystyle [a,b]\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72fef19f5d726e6d71a11d41a3d8d46d692d9e19)
![{\displaystyle {\begin{aligned}G(x,s)&={\frac {1}{\left(\gamma -\alpha \right)^{2}}}\Theta (xs)e^{-\gamma (xs)}-{\frac {1}{\left(\gamma -\alpha \right)^{2}}}\Theta (xs)e^{-\alpha (xs)}+{\frac {1}{\gamma -\alpha }}\Theta (xs)\left(xs\right)e^{-\alpha (xs)}\\[1ex]&=\int \Theta (x-s_{1})\left(x-s_{1}\right)e^{-\alpha (x-s_{1})}\Theta (s_{1}-s)e^{-\gamma (s_{1}-s)}\,ds_{1}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b618a4d5e86ad85324802640e1224eefe701fb88)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\tfrac {1}{2}}\left(1-\sin {\mu ct}\right)\left[\delta (ct-x)+\delta (ct+x)\right]\\[0.5ex]&+{\tfrac {1}{2}}\mu \Theta (ct-|x|)J_{0}(\mu u)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccd523213c0a359d56e473feade6e0664ce12960)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\delta (ct-\rho )}{4\pi \rho }}\left(1+\cos(\mu ct)\right)\\[0.5ex]&+{\frac {\mu ^{2}\Theta (ct-\rho )}{4\pi }}\operatorname {sinc} (\mu u)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6173a8a3b700f51d333a1fd06bdaecf76f30c56f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {e^{-\gamma t}}{2}}\left[\delta (ct-x)+\delta (ct+x)\right]\\[0.5ex]&+{\frac {e^{-\gamma t}}{2}}\Theta (ct-|x|)\left(kI_{0}(ku)+{\frac {\gamma t}{u}}I_{1}(ku)\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dc2dbfd69682c96b62e6d2a1beb641435592bd2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {e^{-\gamma t}}{20\pi r^{2}}}\delta (ct-r)\left(8-3e^{-\gamma t}+2\gamma t+4\gamma ^{2}t^{2}\right)\\[0.5ex]&+{\frac {ke^{-\gamma t}}{20\pi u}}\Theta (ct-r)\left(kI_{1}(ku)+{\frac {4\gamma t}{u}}I_{2}(ku)\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56533332e8aa0017a6a71ab6bdb1b34c9f9d67a8)
![{\displaystyle \int _{V}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,{\nabla '}^{2}\,\varphi (\mathbf {x} ')\right]d^{3}\mathbf {x} '=\int _{S}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\,{\nabla '}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,{\nabla '}\varphi (\mathbf {x} ')\right]\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2081611a48e5f745ead5696edd75afcea51a17a4)
![{\displaystyle \varphi (\mathbf {x} )=-\int _{V}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,\rho (\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '+\int _{S}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\,\nabla 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,\nabla '\varphi (\mathbf {x} ')\right]\cdot d{\hat {\boldสัญลักษณ์ {\sigma }}}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5794de11e41281313ec24d0f2b75ad20f42ba286)
![{\displaystyle G(x,s)={\begin{cases}c_{2}\sin kx,&{\text{สำหรับ }}x<s,\\[0.4ex]c_{3}\cos kx,&{\text{สำหรับ }}s<x.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6c653101af1959f15082dffc96effa1371fe449)
![{\displaystyle {\begin{aligned}G(x,y,x_{0},y_{0})={\dfrac {1}{2\pi }}&\left[\ln {\sqrt {\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}}-\ln {\sqrt {\left(x+x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}}\right.\\[5pt]&\left.{}+\ln {\sqrt {\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}}}-\ln {\sqrt {\left(x+x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}}}\,\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a48e894755b8bec27b8e5255f1aa1946d91a222)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle f(x)=\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {(xa)^{m}}{m!}}\left[{\frac {d^{m}f}{dx^{m}}}\right]_{x=a}+\int _{a}^{b}\left[{\frac {(xs)^{n-1}}{(n-1)!}}\Theta (xs)\right]\left[{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}\right]_{x=s}ds\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a482e6b86452bc1eeee1ea7373df0c85ced263c3)
![{\displaystyle x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026357b404ee584c475579fb2302a4e9881b8cce)
