การเชื่อมต่อ Grothendieck เป็นการขยายความของการเชื่อมต่อ Gauss–Maninที่สร้างขึ้นในลักษณะที่คล้ายคลึงกับการที่การเชื่อมต่อ Ehresmannขยายความของการเชื่อมต่อ Koszulการสร้างนั้นต้องเป็นไปตามข้อกำหนดของความไม่แปรเปลี่ยนทางเรขาคณิตซึ่งอาจถือได้ว่าเป็นอนาล็อกของความแปรเปลี่ยนร่วมสำหรับโครงสร้างที่กว้างกว่า รวมถึงแผนผังของเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ดังนั้นการเชื่อมต่อในแง่หนึ่งจึงต้องอยู่ในชีฟ ธรรมชาติ บนโทโพโลยี Grothendieckในส่วนนี้ เราจะกล่าวถึงวิธีการอธิบายการเชื่อมต่อ Ehresmann ในแง่ของทฤษฎีชีฟในฐานะการเชื่อมต่อ Grothendieck

อนุญาต${\displaystyle M}$เป็นท่อร่วมและ${\displaystyle \pi :E\to M}$การจุ่มแบบทั่วถึง ดังนั้น${\displaystyle E}$เป็นท่อหลายท่อที่มีเส้นใยหุ้มอยู่${\displaystyle M.}$ อนุญาต${\displaystyle J^{1}(M,E)}$เป็น กลุ่มเจ็ทลำดับแรกของส่วนต่างๆ${\displaystyle E.}$ สิ่งนี้อาจถือได้ว่าเป็นมัดรวมกัน${\displaystyle M}$หรือกลุ่มของพื้นที่ทั้งหมดของ${\displaystyle E.}$ ตามการตีความแบบหลัง การเชื่อมต่อ Ehresmann คือส่วนหนึ่งของบันเดิล (เหนือ${\displaystyle E}$)${\displaystyle J^{1}(M,E)\to E.}$ ดังนั้น ปัญหาคือการได้มาซึ่งคำอธิบายที่แท้จริงของกลุ่มส่วนต่างๆ ของกลุ่มเวกเตอร์นี้

วิธีแก้ปัญหาของ Grothendieck คือการพิจารณาการฝังตัวในแนวทแยง${\displaystyle \Delta :M\to M\times M.}$ มัดฟาง${\displaystyle I}$ของอุดมคติของ${\displaystyle \Delta }$ใน${\displaystyle M\times M}$ประกอบด้วยฟังก์ชันต่างๆ บน${\displaystyle M\times M}$ซึ่งหายไปตามแนวทแยงมุม เรขาคณิตขนาดเล็กมากส่วนใหญ่ของ${\displaystyle M}$สามารถรับรู้ได้ในแง่ของ${\displaystyle I.}$ ตัวอย่างเช่น${\displaystyle \Delta ^{*}\left(I,I^{2}\right)}$คือชีฟของส่วนต่างๆ ของบันเดิลโคแทนเจนต์เราอาจกำหนดย่านใกล้เคียงอนันต์อันดับแรกได้${\displaystyle M^{(2)}}$ของ${\displaystyle \Delta }$ใน${\displaystyle M\times M}$เพื่อเป็นโครงร่างย่อยที่สอดคล้องกับกลุ่มของอุดมคติ${\displaystyle I^{2}.}$ (ดูรายละเอียดพิกัดด้านล่าง)

มีส่วนยื่นออกมาสองส่วน${\displaystyle p_{1},p_{2}:M\times M\to M}$โดยการฉายภาพ ปัจจัยที่เกี่ยวข้องของผลคูณคาร์ทีเซียน ซึ่งจำกัดเพื่อให้ได้การฉายภาพ${\displaystyle p_{1},p_{2}:M^{(2)}\to M.}$ ขณะนี้สามารถสร้างการดึงกลับของพื้นที่ไฟเบอร์ ได้แล้ว${\displaystyle E}$ตามด้านใดด้านหนึ่งของ${\displaystyle p_{1}}$หรือ${\displaystyle p_{2}.}$ โดยทั่วไปแล้ว ไม่มีวิธีการมาตรฐานใดที่จะใช้ระบุได้อย่างแน่ชัด${\displaystyle p_{1}^{*}E}$และ${\displaystyle p_{2}^{*}E}$การเชื่อมต่อ แบบGrothendieckคือไอโซมอร์ฟิซึมที่กำหนดไว้ระหว่างสองปริภูมิเหล่านี้ เราอาจดำเนินการกำหนดความโค้งและความโค้ง pของการเชื่อมต่อในภาษาเดียวกันได้

• ความสัมพันธ์ (คณิตศาสตร์) – ฟังก์ชันในคณิตศาสตร์