อนุญาต${\displaystyle A_{n}=\{x\in I;f_{n}(y)\not \rightarrow f_{n}(x){\text{ as }}y\to x\}}$เป็นเซตของความไม่ต่อเนื่องของ${\displaystyle f_{n}}$แต่ละเซตเหล่านี้สามารถนับได้ตามข้อเท็จจริงพื้นฐานข้างต้น เซต${\displaystyle A:=\left(\textstyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)\cup (I\cap \mathbb {Q} )}$เป็นจำนวนนับได้ และสามารถเขียนแทนได้ด้วย${\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$.

โดยความมีขอบเขตสม่ำเสมอของ${\displaystyle \{f_{n}\__{n=1}^{\infty }}$และทฤษฎีบทโบลซาโน-ไวเออร์สตรัสมีลำดับย่อยอยู่${\displaystyle \{f_{n}^{(1)}\__{n=1}^{\infty }}$โดยที่${\displaystyle \{f_{n}^{(1)}(a_{1})\}_{n=1}^{\infty }}$ลู่เข้า สมมติว่า${\displaystyle \{f_{n}^{(k)}\__{n=1}^{\infty }}$ได้รับการเลือกไว้ในลักษณะที่ว่า${\displaystyle \{f_{n}^{(k)}(a_{i})\}_{n=1}^{\infty }}$ลู่เข้าสำหรับ${\displaystyle i=1,\dots ,k}$จากนั้นโดยอาศัยขอบเขตที่สม่ำเสมอและกฎของโบลซาโน-ไวเออร์สตรัส จึงมีลำดับย่อย${\displaystyle \{f_{n}^{(k+1)}\__{n=1}^{\infty }}$ของ${\displaystyle \{f_{n}^{(k)}\__{n=1}^{\infty }}$โดยที่${\displaystyle \{f_{n}^{(k)}(a_{k+1})\__{n=1}^{\infty }}$ลู่เข้า ดังนั้น${\displaystyle \{f_{n}^{(k+1)}(a_{i})\}_{n=1}^{\infty }}$ลู่เข้าสำหรับ${\displaystyle i=1,\dots ,k+1}$.

อนุญาต${\displaystyle g_{k}=f_{k}^{(k)}}$, แล้ว${\displaystyle \{g_{k}\__{k=1}^{\infty }}$เป็นลำดับย่อยของ${\displaystyle \{f_{n}\__{n=1}^{\infty }}$ที่บรรจบกันแบบจุดต่อจุดทุกที่ใน${\displaystyle A}$.

อนุญาต ${\displaystyle h_{k}(x)=\sup _{a\leq x,a\in A}g_{k}(a)}$ดังนั้นh (a)=g a)สำหรับa ∈ A h kจะเพิ่มขึ้น ให้${\displaystyle h(x)=\limsup \limits _{k\rightarrow \infty }h_{k}(x)}$ดังนั้น h จึงเป็นค่าเพิ่มขึ้น เนื่องจากค่าสูงสุดและลิมิตของฟังก์ชันเพิ่มขึ้นเป็นค่าเพิ่มขึ้น และ${\displaystyle h(a)=\lim \limits _{k\rightarrow \infty }g_{k}(a)}$สำหรับa ∈ Aโดยขั้นตอนที่ 1ยิ่งไปกว่านั้นhมีจุดไม่ต่อเนื่องอย่างมากที่สุดเพียงจำนวนนับได้

เราจะแสดงให้เห็นว่าg ลู่เข้าที่จุดต่อเนื่องทั้งหมดของhให้xเป็นจุดต่อเนื่องของh , q,r ∈ A, q<x<rแล้ว${\displaystyle g_{k}(q)-h(r)\leq g_{k}(x)-h(x)\leq g_{k}(r)-h(q)}$,เพราะฉะนั้น

${\displaystyle \limsup \limits _{k\rightarrow \infty }{\bigl (}g_{k}(x)-h(x){\bigr )}\leq \limsup \limits _{k\rightarrow \infty }{\bigl (}g_{k}(r)-h(q){\bigr )}=h(r)-h(q)}$

${\displaystyle h(q)-h(r)=\liminf \limits _{k\rightarrow \infty }{\bigl (}g_{k}(q)-h(r){\bigr )}\leq \liminf \limits _{k\rightarrow \infty }{\bigl (}g_{k}(x)-h(x){\bigr )}}$

ดังนั้น,

${\displaystyle h(q)-h(r)\leq \liminf \limits _{k\rightarrow \infty }{\bigl (}g_{k}(x)-h(x){\bigr )}\leq \limsup \limits _{k\rightarrow \infty }{\bigl (}g_{k}(x)-h(x){\bigr )}\leq h(r)-h(q)}$

เนื่องจากhต่อเนื่องที่xดังนั้นโดยการหาลิมิต${\displaystyle q\uparrow x,r\downarrow x}$เรามี${\displaystyle h(q),h(r)\rightarrow h(x)}$, ดังนั้น${\displaystyle \lim \limits _{k\rightarrow \infty }g_{k}(x)=h(x)}$

สามารถทำได้โดยใช้กระบวนการแนวทแยงคล้ายกับ ขั้นตอน ที่1

ด้วยขั้นตอนข้างต้น เราได้สร้างลำดับย่อยของ ( f ) ที่ลู่เข้าแบบจุดต่อจุดในI