พื้นที่ ( A ) ของรูปเจ็ดเหลี่ยมด้านเท่าที่มีความยาวด้านaคำนวณได้จากสูตร:

${\displaystyle A={\tfrac {7}{4}}a^{2}\cot {\tfrac {1}{7}}\pi \simeq 3.634a^{2}.}$

สามารถเห็นได้จากการแบ่งรูปเจ็ดเหลี่ยมด้านเท่าหน่วยออกเป็น "ชิ้นสามเหลี่ยม" เจ็ดชิ้น โดยมีจุดยอดอยู่ที่จุดศูนย์กลางและจุดยอดของรูปเจ็ดเหลี่ยม จากนั้นแบ่งแต่ละสามเหลี่ยมออกเป็นครึ่งโดยใช้ความยาว จากจุดศูนย์กลางไปยังด้าน ประกอบมุมฉาก (apothem ) เป็นด้านร่วม ความยาวจากจุดศูนย์กลางไปยังด้านประกอบมุมฉากคือครึ่งหนึ่งของค่าโคแทนเจนต์ของ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{7}}\pi }$และพื้นที่ของสามเหลี่ยมเล็กทั้ง 14 รูปนั้นเท่ากับหนึ่งในสี่ของความยาวจากจุดศูนย์กลางไปยังด้านใดด้านหนึ่ง

พื้นที่ของรูปเจ็ดเหลี่ยมด้านเท่าที่บรรจุอยู่ภายในวงกลมที่มีรัศมีR คือ${\displaystyle {\tfrac {7}{2}}R^{2}\sin {\tfrac {2}{7}}\pi ,}$ในขณะที่พื้นที่ของวงกลมนั้นเองคือ${\displaystyle \pi R^{2};}$ดังนั้นรูปเจ็ดเหลี่ยมด้านเท่าจึงเติมเต็มพื้นที่ประมาณ 0.8710 ของวงกลมที่ล้อมรอบ

เนื่องจาก 7 เป็นจำนวนเฉพาะเพียร์พอนต์แต่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะแฟร์มา ต์ รูปเจ็ด เหลี่ยมด้านเท่าจึงไม่สามารถสร้างได้ด้วยวงเวียนและไม้บรรทัดแต่สามารถสร้างได้ด้วยไม้บรรทัด ที่มีเครื่องหมาย และวงเวียน มันเป็นรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าที่เล็กที่สุดที่มีคุณสมบัตินี้ การสร้างแบบนี้เรียกว่าการสร้างแบบเนอุซิสนอกจากนี้ยังสามารถสร้างได้ด้วยวงเวียน ไม้บรรทัด และเครื่องมือแบ่งมุมสามส่วนความเป็นไปไม่ได้ของการสร้างด้วยไม้บรรทัดและวงเวียนนั้นมาจากการสังเกตว่า${\displaystyle 2\cos {\tfrac {2}{7}}\pi \approx 1.247}$เป็นรากของพหุนามกำลังสาม^ที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้^x³ + x² − 2x − 1ดังนั้น พหุนามนี้จึงเป็นพหุนามขั้นต่ำของ⁠${\displaystyle 2\cos {\tfrac {2}{7}}\pi }$ใน ขณะที่ดีกรีของพหุนามขั้นต่ำสำหรับจำนวนที่สร้างได้จะต้องเป็นกำลังของ 2

การสร้างมุมภายในของรูปเจ็ดเหลี่ยมด้านเท่าด้วยวิธี เน อุ ซิส

ภาพเคลื่อนไหวจากโครงสร้างเนอุซิสที่มีรัศมีเป็นวงกลมล้อมรอบ${\displaystyle {\overline {OA}}=6}$ตามที่Andrew M. Gleason [ 1 ]กล่าวไว้ โดยอิงจากการแบ่งมุมออกเป็นสามส่วนโดยใช้ขวานโทมาฮอว์กโครงสร้างนี้อาศัยข้อเท็จจริงที่ว่า ${\displaystyle \cos \left({\tfrac {2\pi }{7}}\right)={\tfrac {1}{6}}\left(2{\sqrt {7}}\cos \left({\tfrac {1}{3}}\arctan 3{\sqrt {3}}~\right)-1\right).}$

การประมาณค่าสำหรับการใช้งานจริงโดยมีข้อผิดพลาดประมาณ 0.2% คือการใช้ครึ่งหนึ่งของด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่าที่อยู่ภายในวงกลมเดียวกันกับความยาวด้านของรูปเจ็ดเหลี่ยมปกติ ไม่ทราบว่าใครเป็นผู้ค้นพบการประมาณค่านี้เป็นคนแรก แต่มีการกล่าวถึงในMetricaของHeron แห่ง Alexandriaในศตวรรษที่ 1 หลังคริสต์ศักราช เป็นที่รู้จักกันดีในหมู่นักคณิตศาสตร์อิสลามในยุคกลาง และสามารถพบได้ในงานของAlbrecht Dürer [ ^{2 ] [ 3 ] ให้} A อยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมล้อมรอบ ลากส่วนโค้งBOCจากนั้น${\displaystyle \textstyle {BD={\tfrac {1}{2}}BC}}$ให้ค่าประมาณสำหรับขอบของรูปเจ็ดเหลี่ยม

การประมาณค่านี้ใช้${\displaystyle \textstyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}\ประมาณ 0.86603}$สำหรับด้านของรูปเจ็ดเหลี่ยมที่อยู่ภายในวงกลมหน่วย ในขณะที่ค่าที่แน่นอนคือ${\displaystyle \textstyle 2\sin {\tfrac {1}{7}}\pi \ประมาณ 0.86777}$.

ตัวอย่างเพื่อแสดงให้เห็นถึงข้อผิดพลาด: ที่รัศมีวงกลมล้อมรอบr = 1 เมตรข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของด้านแรกจะมีค่าประมาณ− 1.7 มิลลิเมตร

ยังมีการประมาณรูปเจ็ดเหลี่ยมโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัดอีกหลายวิธี แต่ต้องใช้เวลานานในการวาด ^{[ 4 ]}

รูปเจ็ดเหลี่ยมปกติอยู่ในกลุ่มจุดD ( สัญกรณ์ Schoenflies ) ลำดับที่ 28 องค์ประกอบสมมาตร ได้แก่ แกนหมุนแบบ 7 เท่า C แกนหมุนแบบ 7 เท่า S ระนาบสะท้อน แนวตั้ง 7 ระนาบ σ แกนหมุนแบบ 2 เท่า 7 ระนาบ C ในระนาบของรูปเจ็ดเหลี่ยม และระนาบสะท้อนแนวนอน σ ซึ่งอยู่ในระนาบของรูปเจ็ดเหลี่ยมเช่นกัน^{[ 6 ]}

ด้านa ของรูปเจ็ดเหลี่ยมปกติ เส้นทแยงมุม ที่สั้นกว่าbและเส้นทแยงมุมที่ยาวกว่าcโดยที่a < b < cเป็นไปตาม^{[ 7 ] :เลมมา 1}

${\displaystyle a^{2}=c(cb),}$

${\displaystyle b^{2}=a(c+a),}$

${\displaystyle c^{2}=b(a+b),}$

${\displaystyle {\frac {1}{a}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}}$ ( สมการเชิงแสง )

และด้วยเหตุนี้

${\displaystyle ab+ac=bc,}$

และ^{[ 7 ] : Coro. 2}

${\displaystyle b^{3}+2b^{2}c-bc^{2}-c^{3}=0,}$

${\displaystyle c^{3}-2c^{2}a-ca^{2}+a^{3}=0,}$

${\displaystyle a^{3}-2a^{2}b-ab^{2}+b^{3}=0,}$

ดังนั้น – b / c , c / aและa / bทั้งหมดจึงสอดคล้องกับสมการกำลังสาม${\displaystyle t^{3}-2t^{2}-t+1=0.}$อย่างไรก็ตาม ไม่มีนิพจน์พีชคณิตใดที่มีพจน์เป็นจำนวนจริงล้วนๆ สำหรับคำตอบของสมการนี้ เนื่องจากเป็นตัวอย่างของกรณีที่ไม่สามารถลดทอนได้ (casus irreducibilis )

ความยาวโดยประมาณของเส้นทแยงมุมเมื่อพิจารณาจากด้านของรูปเจ็ดเหลี่ยมด้านเท่า จะกำหนดโดย

${\displaystyle b\approx 1.80193\cdot a,\qquad c\approx 2.24698\cdot a.}$

เรายังมี^{[ 8 ]}

${\displaystyle b^{2}-a^{2}=ac,}$

${\displaystyle c^{2}-b^{2}=ab,}$

${\displaystyle a^{2}-c^{2}=-bc,}$

และ

${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {c^{2}}{b^{2}}}+{\frac {a^{2}}{c^{2}}}=5.}$

รูปสามเหลี่ยมเจ็ดเหลี่ยมมีจุดยอดที่ตรงกับจุดยอดที่หนึ่ง สอง และสี่ของรูปเจ็ดเหลี่ยมปกติ (จากจุดยอดเริ่มต้นใดๆ) และมีมุม⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{7}}\pi }$, ⁠​${\displaystyle {\tfrac {2}{7}}\pi }$และ​​${\displaystyle {\tfrac {4}{7}}\pi }$ดังนั้นด้านของมันจึงตรงกับด้านหนึ่งและเส้นทแยงมุม สองเส้นที่เฉพาะเจาะจง ของรูปเจ็ดเหลี่ยมปกติ ^{[ 7 ]}

นอกจากปริซึมเจ็ดเหลี่ยมและแอนติปริซึมเจ็ดเหลี่ยมแล้วไม่มีรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนใดที่สร้างขึ้นจากรูปหลายเหลี่ยมปกติทั้งหมดที่มีรูปเจ็ดเหลี่ยมเป็นหน้าตัด