การแปลงฮิลเบิร์ต-ฮวง

การแปลงฮิลเบิร์ต-ฮวง ( HHT ) เป็นวิธีการแยกสัญญาณออกเป็นฟังก์ชันโหมดภายใน (IMF) พร้อมกับแนวโน้ม และได้ ข้อมูล ความถี่ทันทีวิธีการนี้ออกแบบมาให้ทำงานได้ดีกับข้อมูลที่ไม่คงที่และไม่เป็นเชิงเส้น

การแปลงฮิลเบิร์ต-ฮวง (HHT) ซึ่งเป็นชื่อที่นาซา กำหนด ^{[ 1 ]}ได้รับการเสนอโดยNorden E. Huangเป็นผลมาจากการแยกส่วนโหมดเชิงประจักษ์ (EMD) และการวิเคราะห์สเปกตรัมฮิลเบิร์ต (HSA) HHT ใช้ระเบียบวิธี EMD ในการแยกส่วนสัญญาณออกเป็นฟังก์ชันโหมดภายใน ( IMF ) ที่มีแนวโน้ม และใช้ระเบียบวิธี HSA กับ IMF เพื่อให้ได้ ข้อมูล ความถี่ทันทีเนื่องจากสัญญาณถูกแยกส่วนในโดเมนเวลาและความยาวของ IMF เท่ากับสัญญาณดั้งเดิม HHT จึงรักษาลักษณะของความถี่ที่เปลี่ยนแปลงไว้ นี่เป็นข้อได้เปรียบที่สำคัญของ HHT เนื่องจากสัญญาณในโลกแห่งความเป็นจริงมักมีสาเหตุหลายประการที่เกิดขึ้นในช่วงเวลาที่แตกต่างกัน HHT จึงเป็นวิธีการใหม่ในการวิเคราะห์ข้อมูล อนุกรมเวลาที่ไม่คงที่และไม่เป็นเชิงเส้น

ส่วนพื้นฐานของ HHT คือ วิธี การแยกองค์ประกอบเชิงประจักษ์ ( EMD ) การแยกสัญญาณออกเป็นส่วนประกอบต่างๆ EMD สามารถเปรียบเทียบได้กับวิธีการวิเคราะห์อื่นๆ เช่นการแปลงฟูริเยร์และการแปลงเวฟเล็ตการใช้วิธี EMD ชุดข้อมูลที่ซับซ้อนใดๆ ก็สามารถแยกออกเป็นส่วนประกอบจำนวนจำกัดและมักจะน้อย ส่วนประกอบเหล่านี้ก่อให้เกิดฐานที่สมบูรณ์และเกือบตั้งฉากกับสัญญาณดั้งเดิม นอกจากนี้ยังสามารถอธิบายได้ว่าเป็นฟังก์ชันโหมดภายใน (IMF) ^{[ 2 ]}

เนื่องจาก IMF แรกมักจะมีส่วนประกอบที่แกว่งมากที่สุด (ความถี่สูง) จึงสามารถปฏิเสธเพื่อกำจัดส่วนประกอบความถี่สูง (เช่น สัญญาณรบกวนแบบสุ่ม) ได้^{[ 3 ] [ 4 ]}อัลกอริทึมการปรับเรียบแบบ EMD ได้ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการประมวลผลข้อมูลแผ่นดินไหว ซึ่งมีความต้องการบันทึกแผ่นดินไหวคุณภาพสูง^{[ 5 ] [ 6 ]}

โดยไม่ต้องออกจากโดเมนเวลา EMD สามารถปรับตัวได้และมีประสิทธิภาพสูง^{[ 7 ]}เนื่องจากการแยกส่วนขึ้นอยู่กับมาตราส่วนเวลาลักษณะเฉพาะของข้อมูลในท้องถิ่น จึงสามารถนำไปใช้กับกระบวนการที่ไม่เป็นเชิงเส้นและไม่คงที่ได้^{[ 7 ]}

ฟังก์ชันโหมดภายใน (Intrinsic Mode Function หรือ IMF) ถูกนิยามว่าเป็นฟังก์ชันที่ตรงตามข้อกำหนดต่อไปนี้:

1. ในชุดข้อมูลทั้งหมด จำนวนค่าสุดขีดและจำนวนจุดตัดศูนย์จะต้องเท่ากันหรือแตกต่างกันไม่เกินหนึ่ง
2. ณ จุดใด ๆ ค่าเฉลี่ยของเส้นโค้งที่กำหนดโดยค่าสูงสุด เฉพาะที่ และเส้นโค้งที่กำหนดโดยค่าต่ำสุด เฉพาะที่ จะ เป็นศูนย์

โดยทั่วไปแล้ว IMF แสดงถึง โหมด การสั่นแบบ ง่ายๆ ซึ่งเป็นคู่ตรงข้ามกับ ฟังก์ชัน ฮาร์มอนิก แบบง่าย ตามคำจำกัดความ IMF คือฟังก์ชันใดๆ ที่มีจำนวนจุดสูงสุดและจุดตัดศูนย์เท่ากัน ซึ่งซองของฟังก์ชันนั้นสมมาตรกับศูนย์^{[ 7 ]} คำจำกัดความนี้รับประกัน การแปลงฮิลเบิร์ตของ IMF ที่มีพฤติกรรมที่ดี

การวิเคราะห์สเปกตรัมฮิลเบิร์ต (HSA) เป็นวิธีการตรวจสอบความถี่ทันที ของแต่ละ IMF ในฐานะฟังก์ชันของเวลา ผลลัพธ์สุดท้ายคือการกระจายความถี่ตามเวลาของแอมพลิจูดสัญญาณ (หรือพลังงาน) ซึ่งเรียกว่าสเปกตรัมฮิลเบิร์ตซึ่งช่วยให้สามารถระบุคุณลักษณะเฉพาะที่อยู่ในตำแหน่งต่างๆ ได้

ค่าแอมพลิจูดและความถี่ของฟังก์ชันโหมดภายใน (IMF) สามารถเปลี่ยนแปลงได้ตามเวลา และต้องเป็นไปตามกฎด้านล่างนี้:

1. จำนวนค่าสุดขั้ว (ค่าสูงสุดเฉพาะที่และค่าต่ำสุดเฉพาะที่) และจำนวนจุดตัดศูนย์จะต้องเท่ากันหรือแตกต่างกันไม่เกินหนึ่ง
2. ณ จุดใด ๆ ค่าเฉลี่ยของขอบเขตที่กำหนดโดยค่าสูงสุดเฉพาะที่และขอบเขตที่กำหนดโดยค่าต่ำสุดเฉพาะที่นั้นมีค่าใกล้เคียงศูนย์

วิธีการแยกองค์ประกอบเชิงประจักษ์ (EMD) เป็นขั้นตอนที่จำเป็นในการลดข้อมูลใดๆ ที่กำหนดให้เป็นชุดของฟังก์ชันโหมดภายใน (IMF) ซึ่ง สามารถนำการวิเคราะห์ สเปกตรัมฮิลเบิร์ต ไป ใช้ได้

IMF แสดงถึงโหมดการสั่นแบบง่ายๆซึ่งเป็นคู่ตรงข้ามกับ ฟังก์ชัน ฮาร์มอนิก แบบง่าย แต่มีความเป็นทั่วไปมากกว่า กล่าวคือ แทนที่จะมีแอมพลิจูดและความถี่คงที่ใน ส่วนประกอบ ฮาร์มอนิก แบบง่าย IMF สามารถมีแอมพลิจูดและความถี่ที่แปรผันไปตามแกนเวลาได้

ขั้นตอนการสกัด IMF เรียกว่าการคัดกรอง โดยขั้นตอนการคัดกรองมีดังนี้:

1. ระบุค่า สุดขีดเฉพาะที่ทั้งหมดในข้อมูลทดสอบ
2. เชื่อมจุดสูงสุด เฉพาะที่ทั้งหมด ด้วยเส้นโค้งสปลายลูกบาศก์เป็นเส้นขอบบน
3. ทำซ้ำขั้นตอนดังกล่าวสำหรับจุดต่ำสุด เฉพาะที่ เพื่อสร้างเส้นขอบล่าง

เส้นขอบบนและล่างควรครอบคลุมข้อมูลทั้งหมดที่อยู่ระหว่างนั้นค่าเฉลี่ย ของเส้นขอบบนและล่าง คือm ₁ความแตกต่างระหว่างข้อมูลและm ₁คือส่วนประกอบแรกh ₁ :

${\displaystyle X(t)-m_{1}=h_{1}.\,}$

ตามหลักการแล้วh ₁ควรตรงตามนิยามของ IMF เนื่องจากโครงสร้างของ h ₁ที่อธิบายไว้ข้างต้นควรทำให้มันสมมาตรและมี ค่า สูงสุด เป็นบวกทั้งหมด และค่าต่ำสุดเป็นลบทั้งหมด หลังจากการคัดกรองรอบแรก ยอดอาจกลายเป็นค่าสูงสุดเฉพาะที่ค่าสุดขั้วใหม่ที่เกิดขึ้นในลักษณะนี้จะเผยให้เห็นโหมดที่เหมาะสมซึ่งสูญหายไปในการตรวจสอบเบื้องต้น ในกระบวนการคัดกรองครั้งต่อไป h ₁สามารถถือได้ว่าเป็นเพียง IMF ต้นแบบเท่านั้น ในขั้นตอนต่อไปh ₁จะถูกมองว่าเป็นข้อมูล:

${\displaystyle h_{1}-m_{11}=h_{11}.\,}$

หลังจากทำการคัดกรองซ้ำหลายครั้งจนถึงkครั้ง h ₁จะกลายเป็น IMF นั่นคือ

${\displaystyle h_{1(k-1)}-m_{1k}=h_{1k}.\,}$

จากนั้นh _1kจะถูกกำหนดให้เป็นส่วนประกอบ IMF แรกของข้อมูล:

${\displaystyle c_{1}=h_{1k}.\,}$

เกณฑ์การหยุดทำงานจะเป็นตัวกำหนดจำนวนขั้นตอนการคัดกรองเพื่อสร้าง IMF โดยมีเกณฑ์การหยุดทำงานอยู่ 4 ข้อดังนี้:

เกณฑ์นี้เสนอโดย Huang et al. (1998) มีลักษณะคล้ายกับการทดสอบการลู่เข้าของ Cauchyและเรากำหนดผลรวมของความแตกต่าง SD ดังนี้

${\displaystyle SD_{k}=\sum _{t=0}^{T}{\frac {|h_{k-1}(t)-h_{k}(t)|^{2}}{h_{k-1}^{2}(t)}}.\,}$

จากนั้นกระบวนการคัดกรองจะหยุดลงเมื่อค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (SD) น้อยกว่าค่าที่กำหนดไว้ล่วงหน้า

เกณฑ์นี้อิงตามสิ่งที่เรียกว่าเลข S ซึ่งกำหนดไว้ว่าเป็นจำนวนการคัดกรองต่อเนื่องกันที่จำนวนจุดตัดศูนย์และ จุดสูงสุด/ ต่ำสุดเท่ากันหรือแตกต่างกันไม่เกินหนึ่ง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เลข S จะถูกเลือกไว้ล่วงหน้า กระบวนการคัดกรองจะหยุดก็ต่อเมื่อในการคัดกรองต่อเนื่องกัน S ครั้ง จำนวนจุดตัดศูนย์และจุดสูงสุด/ต่ำสุดยังคงเท่าเดิม และเท่ากันหรือแตกต่างกันไม่เกินหนึ่ง

วิธีการกำหนดเกณฑ์ ที่เสนอโดย Rilling, Flandrinและ Gonçalvés กำหนดค่าเกณฑ์สองค่าเพื่อรับประกันความผันผวนเล็กน้อยทั่วโลกในค่าเฉลี่ยในขณะที่คำนึงถึงการเปลี่ยนแปลงขนาดใหญ่ในระดับท้องถิ่น^{[ 8 ]}

วิธีการติดตามความแตกต่างของพลังงานที่เสนอโดย Cheng, Yu และ Yang ใช้สมมติฐานว่าสัญญาณดั้งเดิมเป็นองค์ประกอบของสัญญาณตั้งฉาก และคำนวณพลังงานตามสมมติฐาน หากผลลัพธ์ของ EMD ไม่ใช่ฐานตั้งฉากของสัญญาณดั้งเดิม ปริมาณพลังงานจะแตกต่างจากพลังงานดั้งเดิม^{[ 9 ]}

เมื่อเลือกเกณฑ์การหยุดแล้วจะสามารถหา IMF แรก c _{1 ได้ โดยรวมแล้ว c 1}ควรประกอบด้วยมาตราส่วนที่ละเอียดที่สุดหรือส่วนประกอบช่วงเวลาสั้นที่สุดของสัญญาณจากนั้นเราสามารถแยก c ₁ ออก จากข้อมูลส่วนที่เหลือได้เนื่องจากส่วนที่เหลือ r ₁ยังคงมีการเปลี่ยนแปลงช่วงเวลาที่ยาวนานกว่าในข้อมูล จึงถือว่าเป็นข้อมูลใหม่และนำไปผ่านกระบวนการคัดกรองแบบเดียวกันกับที่อธิบายไว้ข้างต้น ${\displaystyle X(t)-c_{1}=r_{1}.\,}$

สามารถทำซ้ำขั้นตอนดังกล่าวสำหรับ r _j ตัวถัดไปทั้งหมดได้ และผลลัพธ์ที่ได้คือ

${\displaystyle r_{n-1}-c_{n}=r_{n}.\,}$

กระบวนการคัดกรองจะหยุดลงในที่สุดเมื่อส่วนที่เหลือ r _nกลายเป็นฟังก์ชันเอกภาคซึ่งไม่สามารถสกัด IMF ออกมาได้อีกต่อไป จากสมการข้างต้น เราสามารถสรุปได้ว่า

${\displaystyle X(t)=\sum _{j=1}^{n}c_{j}+r_{n}.\,}$

ดังนั้น การแยกข้อมูลออกเป็นโหมดเชิงประจักษ์ n โหมดจึงเกิดขึ้น ส่วนประกอบของ EMD มักมีความหมายทางกายภาพ เนื่องจากมาตราส่วนลักษณะเฉพาะถูกกำหนดโดยข้อมูลทางกายภาพ Flandrin et al. (2003) และ Wu และ Huang (2004) ได้แสดงให้เห็นว่า EMD เทียบเท่ากับธนาคารตัวกรองแบบ ไดอะดิก ^{[ 6 ] [ 10 ]}

เมื่อได้ส่วนประกอบของฟังก์ชันโหมดภายในแล้วสามารถคำนวณความถี่ทันที ได้โดยใช้ การแปลงฮิลเบิร์ตหลังจากทำการแปลงฮิลเบิร์ตกับส่วนประกอบ IMF แต่ละส่วนแล้ว ข้อมูลดั้งเดิมสามารถแสดงเป็นส่วนจริง (Real) ได้ในรูปแบบต่อไปนี้:

${\displaystyle X(t)={\text{Real}}{\sum _{j=1}^{n}a_{j}(t)e^{i\int \omega _{j}(t)dt}}.\,}$

ในตัวอย่างข้างต้น สัญญาณทั้งหมดเป็นสัญญาณหนึ่งมิติ และในกรณีของสัญญาณสองมิติ การแปลงฮิลเบิร์ต-ฮวงสามารถนำไปใช้กับการประมวลผลภาพและวิดีโอได้ในลักษณะต่อไปนี้:

1. EMD แบบเสมือนสองมิติ (Pseudo-Two-Dimensional Empirical Mode Decomposition) :

   โดยการแยกสัญญาณสองมิติออกเป็นสัญญาณหนึ่งมิติสองชุดโดยตรง แล้วใช้การแปลงฮิลเบิร์ต-ฮวงแยกกัน จากนั้นจึงนำสัญญาณทั้งสองกลับมารวมกันเป็นสัญญาณสองมิติอีกครั้ง

   The result can produce excellent patterns, and display local rapid oscillations in long-wavelength waves. However, this method has many drawbacks. The most significant one is the discontinuities, occurring when the two sets of processed Intrinsic Mode Functions (IMFs) are recombined into the original two-dimensional signal. The following methods can be used to address this issue.

2. Pseudo-Two-Dimensional EEMD (Pseudo-two-dimensional Ensemble Empirical Mode Decomposition):

   Compared to Pseudo-Two-Dimensional EMD, using EEMD instead of EMD can effectively improve the issue of discontinuity. However, this method has limitations and it's only effective when the time scale is very clear, such as in the case of temperature detection in the North Atlantic. It is not suitable for situations where the time scale of the signal is unclear.

3. Genuine Two-Dimensional EMD (Genuine two-dimensional Empirical Mode Decomposition):

   As Genuine Two-Dimensional EMD directly processes two-dimensional signals, it poses some definitional challenges.

• How to determine the maximum value—should the edges of the image be considered, or should another method be used to define the maximum value?
• How to choose the progressive manner after identifying the maximum value. While Bézier curves may be effective in one-dimensional signals, they may not be directly applicable to two-dimensional signals.

Therefore, Nunes et al. used radial basis functions and the Riesz transform to handle Genuine Two-Dimensional EMD. The following is the form of the Riesz transform. For a complex function f on ${\displaystyle R^{d}}$.

${\displaystyle R_{j}f(x)=c_{d}\lim _{\epsilon \to 0}\int _{\mathbf {R} ^{d}\backslash B_{\epsilon }(x)}{\frac {(t_{j}-x_{j})f(t)}{|x-t|^{d+1}}}\,dt}$

1

for j = 1,2,...,d.

The constant ${\displaystyle C_{d}}$ is a dimension-normalized constant.

${\displaystyle c_{d}={\frac {1}{\pi \omega _{d-1}}}={\frac {\Gamma [(d+1)/2]}{\pi ^{(d+1)/2}}}.}$

Linderhed used Genuine Two-Dimensional EMD for image compression. Compared to other compression methods, this approach provides a lower distortion rate. Song and Zhang [2001], Damerval et al. [2005], and Yuan et al. [2008] used Delaunay triangulation to find the upper and lower bounds of the image. Depending on the requirements for defining maxima and selecting different progressive methods, different effects can be obtained.

• ตัวตรวจจับความไม่เสถียร/วิธีการ "ทำให้เสถียร" อนุกรมเวลาโดยใช้ HHT/EMD : วิธี EMD สามารถนำมาใช้พัฒนาตัวตรวจจับความไม่เสถียรและวิธีการ "ทำให้เสถียร" สัญญาณ ซึ่งเหมาะสมอย่างยิ่งสำหรับการวิเคราะห์อนุกรมเวลาที่ซับซ้อนซึ่งมีพฤติกรรมเชิงเวลาที่ซับซ้อน โดยการแยกสัญญาณออกเป็น IMF และแนวโน้มส่วนเหลือ EMD จะแยกส่วนประกอบตามมาตราส่วนเวลาท้องถิ่น โดยไม่สมมติความเป็นเส้นตรงหรือความเสถียร จากนั้นแต่ละ IMF สามารถทดสอบได้ทีละส่วนโดยใช้การทดสอบความเสถียรแบบดั้งเดิม ทำให้สามารถตรวจจับ (และกำจัดเพิ่มเติม) ส่วนประกอบที่ไม่เสถียรซึ่งอาจถูกบดบังอยู่ในสัญญาณดั้งเดิมได้ นอกจากนี้ คุณสมบัติ "ที่ดี" ของ IMF เกี่ยวกับความเป็นตั้งฉากโดยประมาณและลักษณะค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ ทำให้เหมาะสำหรับการตรวจสอบพฤติกรรมที่ไม่เสถียรโดยวิธีการแยกส่วนประกอบ^{[ 11 ]}แนวทางนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับการระบุรูปแบบที่ซับซ้อนของความไม่เสถียร เช่น สัญญาณชิป ส่วนประกอบที่ปรับความถี่ หรือการเปลี่ยนแปลงแบบค่อยเป็นค่อยไป^{[ 12 ] [ 13 ]}ซึ่งยากที่จะตรวจจับได้โดยใช้การทดสอบทั่วโลกมาตรฐาน วิธีการที่ใช้ EMD จึงให้กรอบการทำงานที่ยืดหยุ่นสำหรับการตรวจจับความไม่เสถียรในการใช้งานจริงที่ท้าทาย รวมถึงสัญญาณทางสรีรวิทยา การวัดสิ่งแวดล้อม^{[ 14 ] [ 15 ]}และอนุกรมเวลาทางการเงิน^{[ 16 ]}ซึ่งรูปแบบที่ไม่เสถียรมักจะพัฒนาไปในลักษณะที่ไม่เป็นมาตรฐานและเฉพาะที่
• EMD ที่ได้รับการปรับปรุงบนสัญญาณ ECG : Ahmadi et al.[2019] ได้นำเสนอ EMD ที่ได้รับการปรับปรุงและเปรียบเทียบกับ EMD ประเภทอื่นๆ ผลลัพธ์แสดงให้เห็นว่าอัลกอริทึมที่เสนอไม่มี IMF ปลอมสำหรับฟังก์ชันเหล่านี้และไม่ได้อยู่ในลูปอนันต์ การเปรียบเทียบประเภท EMD บนสัญญาณ ECG ( Electrocardiography ) เผยให้เห็นว่า EMD ที่ได้รับการปรับปรุงเป็นอัลกอริทึมที่เหมาะสมที่จะใช้ในการวิเคราะห์สัญญาณทางชีวภาพ^{[ 17 ]}
• การประยุกต์ใช้ทางชีวการแพทย์ : Huang et al. [1999b] วิเคราะห์ความดันหลอดเลือดแดงปอด ใน หนูที่รู้สึกตัวและไม่ถูกจำกัดการเคลื่อนไหว
• ประสาทวิทยาศาสตร์ : Pigorini et al. [2011] วิเคราะห์การตอบสนอง EEG ของมนุษย์ต่อการกระตุ้นด้วยสนามแม่เหล็กผ่านกะโหลกศีรษะ^{[ 18 ]} Liang et al. [2005] วิเคราะห์ศักยภาพที่ถูกกระตุ้นด้วยภาพของลิงแสมที่ปฏิบัติงานความสนใจเชิงพื้นที่ทางสายตา
• ระบาดวิทยา : Cummings et al. [2004] ใช้วิธี EMD เพื่อแยกรูปแบบที่มีคาบ 3 ปีซึ่งฝังอยู่ในอนุกรมเวลาการระบาดของไข้เลือดออกที่บันทึกไว้ในประเทศไทย และประเมินความเร็วในการแพร่กระจายของการระบาดของไข้เลือดออก Yang et al. [2010] ใช้วิธี EMD เพื่อกำหนดขอบเขตของส่วนประกอบย่อยของอนุกรมเวลาทางระบาดวิทยาด้านประสาทจิตเวชหลายรายการ รวมถึงความสัมพันธ์ระหว่างผลกระทบตามฤดูกาลของการค้นหาภาวะซึมเศร้าใน Google [2010] ความสัมพันธ์ระหว่างการฆ่าตัวตายและมลพิษทางอากาศในเมืองไทเป [2011] และความสัมพันธ์ระหว่างแนวปะทะอากาศเย็นและการเกิดไมเกรนในเมืองไทเป [2011]
• เคมีและวิศวกรรมเคมี : Phillips et al. [2003] ศึกษาการเปลี่ยนแปลงโครงสร้างใน การจำลอง พลศาสตร์บราวน์และพลศาสตร์โมเลกุลโดยใช้การวิเคราะห์เปรียบเทียบระหว่างวิธี HHT และ วิธี เวฟเล็ต Wiley et al. [2004] ใช้ HHT เพื่อศึกษาผลของพลศาสตร์โมเลกุลที่กรองแบบดิจิทัลแบบย้อนกลับได้ ซึ่งสามารถเพิ่มหรือลดความถี่ของการเคลื่อนที่เฉพาะได้ Montesinos et al. [2002] ประยุกต์ใช้ HHT กับสัญญาณที่ได้จากความเสถียรของเซลล์ประสาท BWR
• การประยุกต์ใช้ด้านการเงิน : Huang et al. [2003b] ได้นำ HHT มาใช้กับอนุกรมเวลาทางการเงินที่ไม่คงที่ และใช้ข้อมูลอัตราดอกเบี้ยจำนองรายสัปดาห์
• การประมวลผลภาพ : Hariharan et al. [2006] ได้นำ EMD มาใช้ในการรวมภาพและการปรับปรุง ภาพ ^{[ 19 ]} Chang et al. [2009] ได้นำ EMD ที่ได้รับการปรับปรุงมาใช้ในการจดจำม่านตา ซึ่งรายงานว่ามีความเร็วในการคำนวณเร็วกว่า EMD ดั้งเดิมถึง 100% โดยไม่สูญเสียความแม่นยำ^{[ 20 ]}
• ความปั่นป่วนของบรรยากาศ : Hong et al. [2010] ได้นำ HHT มาใช้กับข้อมูลความปั่นป่วนที่สังเกตได้ในชั้นขอบเขตที่เสถียรเพื่อแยกการเคลื่อนที่แบบปั่นป่วนและไม่ปั่นป่วน^{[ 21 ]}
• กระบวนการปรับขนาดด้วยการแก้ไขความไม่ต่อเนื่อง : Huang et al. [2008] ได้ขยาย HHT ไปสู่ลำดับตามอำเภอใจเพื่อคำนึงถึงการแก้ไขความไม่ต่อเนื่องของกระบวนการปรับขนาด และได้ประยุกต์ใช้วิธีการตาม HHT นี้กับข้อมูลความปั่นป่วนของอุทกพลศาสตร์ที่รวบรวมในการทดลองในห้องปฏิบัติการ^{[ 22 ]}การปล่อยน้ำในแม่น้ำรายวัน^{[ 23 ]}สถิติอนุภาคเดี่ยวแบบลากรางจ์จากการจำลองเชิงตัวเลขโดยตรง^{[ 24 ]} Tan et al. [2014] สนามความปั่นป่วนของความปั่นป่วนสองมิติ^{[ 25 ]} Qiu et al. [2016] ความปั่นป่วนของแบคทีเรียสองมิติ^{[ 26 ]} Li & Huang [2014] ตลาดหุ้นจีน^{[ 27 ]} Calif et al. [2013] รังสีแสงอาทิตย์^{[ 28 ]}ซอร์สโค้ดสำหรับการวิเคราะห์สเปกตรัมฮิลเบิร์ตลำดับใดๆ สามารถพบได้ที่^{[ 29 ]}
• การประยุกต์ใช้ในด้านอุตุนิยมวิทยาและบรรยากาศ : Salisbury และ Wimbush [2002] ใช้ข้อมูลดัชนีความผันผวนทางใต้ (Southern Oscillation Index) และประยุกต์ใช้เทคนิค HHT เพื่อตรวจสอบว่า ข้อมูล ขอบเขตอิทธิพล (Sphere of influence)ปราศจากสัญญาณรบกวนเพียงพอที่จะสามารถคาดการณ์ได้อย่างมีประโยชน์หรือไม่ และ สามารถคาดการณ์เหตุการณ์ ความผันผวนทางใต้ของเอลนีโญ ในอนาคต จากข้อมูล SOI ได้หรือไม่ Pan et al. [2002] ใช้ HHT ในการวิเคราะห์ ข้อมูลลม จากดาวเทียมสแคตเตอร์มิเตอร์เหนือมหาสมุทรแปซิฟิกตะวันตกเฉียงเหนือ และเปรียบเทียบผลลัพธ์กับผลลัพธ์ของฟังก์ชันเชิงตั้งฉากเชิงประจักษ์แบบเวกเตอร์ (Vector empirical orthogonal function )
• วิศวกรรมมหาสมุทร : Schlurmann [2002] ได้นำเสนอการประยุกต์ใช้ HHT เพื่อจำแนกลักษณะคลื่นน้ำที่ไม่เป็นเชิงเส้น จากสองมุมมองที่แตกต่างกัน โดยใช้การทดลองในห้องปฏิบัติการ Veltcheva [2002] ได้ประยุกต์ใช้ HHT กับข้อมูลคลื่นจากทะเลชายฝั่ง Larsen et al. [2004] ได้ใช้ HHT เพื่อจำแนกลักษณะสภาพแวดล้อมทางแม่เหล็กไฟฟ้าใต้น้ำและระบุการรบกวนทางแม่เหล็กไฟฟ้าที่เกิดจากมนุษย์ชั่วคราว
• การศึกษาด้านแผ่นดินไหว : Huang et al. [2001] ใช้ HHT เพื่อพัฒนาการแสดงสเปกตรัมของ ข้อมูล แผ่นดินไหว Chen et al. [2002a] ใช้ HHT เพื่อกำหนด เส้นโค้ง การกระจายตัวของ คลื่น พื้นผิวแผ่นดินไหวและเปรียบเทียบผลลัพธ์กับการวิเคราะห์เวลา-ความถี่แบบฟูริเยร์ Shen et al. [2003] ประยุกต์ใช้ HHT กับการเคลื่อนที่ของพื้นดินและเปรียบเทียบผลลัพธ์ของ HHT กับสเปกตรัมฟูริเยร์
• ฟิสิกส์ดวงอาทิตย์ : Nakariakov et al. [2010] ใช้ EMD เพื่อสาธิตรูปทรงสามเหลี่ยมของการเต้นเป็นจังหวะกึ่งคาบที่ตรวจพบในรังสีเอกซ์แข็งและการปล่อยคลื่นไมโครเวฟที่เกิดขึ้นในเปลวสุริยะ [ ^{30 ] Barnhart}และ Eichinger [2010] ใช้ HHT เพื่อแยกส่วนประกอบเป็นคาบภายใน ข้อมูล จุดดวงอาทิตย์รวมถึงวัฏจักร Schwabe 11 ปี วัฏจักร Hale 22 ปี และวัฏจักร Gleissberg ประมาณ 100 ปี^{[ 31 ]}พวกเขาเปรียบเทียบผลลัพธ์ของพวกเขากับการวิเคราะห์ Fourier แบบ ดั้งเดิม
• การประยุกต์ใช้งานเชิงโครงสร้าง : Quek et al. [2003] แสดงให้เห็นถึงความเป็นไปได้ของ HHT ในฐานะเครื่องมือประมวลผลสัญญาณสำหรับการระบุตำแหน่งความผิดปกติในรูปแบบของรอยแตกการแยกชั้นหรือการสูญเสียความแข็งแกร่งในคานและแผ่น โดยอาศัยสัญญาณคลื่นที่แพร่กระจายซึ่งได้มาทางกายภาพ Li et al. [2003] ได้วิเคราะห์ผลลัพธ์ของการทดสอบแบบจำลองพลศาสตร์ของเสาคอนกรีตเสริมเหล็กรูป สี่เหลี่ยมผืนผ้าสองต้นโดยใช้ HHT
• การตรวจสอบสุขภาพโครงสร้าง : Pines และ Salvino [2002] ได้ประยุกต์ใช้ HHT ในการตรวจสอบสุขภาพโครงสร้าง Yang et al. [2004] ใช้ HHT สำหรับการตรวจจับความเสียหาย โดยใช้ EMD เพื่อแยกความเสียหายที่เกิดขึ้นเนื่องจากการเปลี่ยนแปลงอย่างกะทันหันในความแข็งแกร่งของโครงสร้าง Yu et al. [2003] ใช้ HHT สำหรับการวินิจฉัยข้อบกพร่องของตลับลูกปืน
• การระบุระบบ : Chen และ Xu [2002] ได้สำรวจความเป็นไปได้ในการใช้ HHT เพื่อระบุอัตราส่วนการหน่วงของโหมด ของโครงสร้างที่มีความถี่โหมดที่อยู่ใกล้กัน และเปรียบเทียบผลลัพธ์กับFFT Xu et al. [2003] ได้เปรียบเทียบความถี่โหมดและอัตราส่วนการหน่วงในช่วงเวลาต่างๆ และลมที่แตกต่างกันสำหรับอาคารคอมโพสิตที่สูงที่สุดแห่งหนึ่งในโลก
• การรู้จำเสียงพูด : Huang และ Pan [2006] ได้ใช้ HHT สำหรับการกำหนดระดับเสียงพูด^{[ 32 ]}
• ฟิสิกส์อนุภาคดาราศาสตร์ : Bellini et al. [2014] (ความร่วมมือ Borexino), ^{[ 33 ]}การวัดการปรับเปลี่ยนตามฤดูกาลของฟลักซ์นิวตริโนจากดวงอาทิตย์ด้วยการทดลอง Borexino, Phys. Rev. D 89, 112007 2014

Chen และ Feng [2003] เสนอเทคนิคเพื่อปรับปรุงขั้นตอน HHT ^{[ 34 ]}ผู้เขียนตั้งข้อสังเกตว่า EMD มีข้อจำกัดในการแยกแยะส่วนประกอบต่างๆ ใน สัญญาณ แถบความถี่แคบแถบความถี่แคบอาจประกอบด้วย (ก) ส่วนประกอบที่มีความถี่ใกล้เคียงกัน หรือ (ข) ส่วนประกอบที่ไม่มีความถี่ใกล้เคียงกัน แต่ส่วนประกอบหนึ่งมีพลังงานความเข้ม สูง กว่าส่วนประกอบอื่นๆ มาก เทคนิคที่ได้รับการปรับปรุงนี้ขึ้นอยู่กับคลื่นปรากฏการณ์การเต้นของคลื่น

Datig และ Schlurmann [2004] ^{[ 35 ]}ได้ทำการศึกษาอย่างครอบคลุมเกี่ยวกับประสิทธิภาพและข้อจำกัดของ HHT โดยเฉพาะอย่างยิ่งการประยุกต์ใช้กับคลื่นน้ำที่ไม่สม่ำเสมอผู้เขียนได้ทำการตรวจสอบอย่างละเอียดเกี่ยวกับการประมาณค่าแบบ splineผู้เขียนได้อภิปรายเกี่ยวกับการใช้จุดเพิ่มเติมทั้งไปข้างหน้าและข้างหลังเพื่อกำหนดซองที่ดีขึ้น พวกเขายังทำการศึกษาเชิงพารามิเตอร์เกี่ยวกับการปรับปรุงที่เสนอและแสดงให้เห็นถึงการปรับปรุงอย่างมีนัยสำคัญในการคำนวณ EMD โดยรวม ผู้เขียนตั้งข้อสังเกตว่า HHT สามารถแยกแยะความแตกต่างระหว่างส่วนประกอบที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาจากข้อมูลที่กำหนดได้ การศึกษาของพวกเขายังแสดงให้เห็นว่า HHT สามารถแยกแยะความแตกต่างระหว่างคลื่นขี่และคลื่นพาหะได้

Huang และ Wu [2008] ^{[ 36 ]}ได้ทบทวนการประยุกต์ใช้การแปลง Hilbert–Huang โดยเน้นว่าพื้นฐานทางทฤษฎีของ HHT นั้นเป็นเชิงประจักษ์ล้วนๆ และสังเกตว่า "ข้อเสียหลักประการหนึ่งของ EMD คือการผสมโหมด" พวกเขายังได้สรุปปัญหาเปิดที่โดดเด่นของ HHT ซึ่งรวมถึง: ผลกระทบที่ปลายของ EMD ปัญหา Spline การเลือก IMF ที่ดีที่สุด และความเป็นเอกลักษณ์ แม้ว่า EMD แบบกลุ่ม (EEMD) อาจช่วยบรรเทาปัญหาหลังนี้ได้

ปรากฏการณ์ End effect เกิดขึ้นที่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของสัญญาณ เนื่องจากไม่มีจุดใดก่อนจุดข้อมูลแรกและหลังจุดข้อมูลสุดท้ายที่จะนำมาพิจารณาร่วมกันได้ อย่างไรก็ตาม ในกรณีส่วนใหญ่ จุดปลายเหล่านี้ไม่ใช่ค่าสุดขั้วของสัญญาณ ดังนั้น เมื่อทำการประมวลผล EMD ของ HHT ค่าสูงสุดของสัญญาณจะเบี่ยงเบนออกไปที่จุดปลายและทำให้เกิดข้อผิดพลาดอย่างมาก

ข้อผิดพลาดนี้ทำให้รูปคลื่น IMF ผิดเพี้ยนที่จุดปลาย นอกจากนี้ ข้อผิดพลาดในผลลัพธ์การแยกส่วนจะสะสมมากขึ้นเรื่อยๆ ในแต่ละรอบของกระบวนการคัดกรอง^{[ 37 ]}เมื่อคำนวณความถี่และแอมพลิจูดทันทีของ IMF ผลลัพธ์ของการแปลงฟูริเยร์แบบเร็ว (FFT) อาจทำให้เกิดปรากฏการณ์ Gibbs และการรั่วไหลของความถี่ ซึ่งนำไปสู่การสูญเสียข้อมูล

ต่อไปนี้เป็นวิธีการต่างๆ ที่เสนอเพื่อแก้ไขปัญหาผลกระทบที่ปลายสายใน HHT:

วิธีนี้ใช้ประโยชน์จากแนวโน้มการเปลี่ยนแปลงโดยธรรมชาติของสัญญาณเพื่อขยายตัวเอง ส่งผลให้ส่วนขยายมีลักษณะคล้ายคลึงกับข้อมูลต้นฉบับอย่างมาก

• ส่วนขยายการจับคู่รูปคลื่น: ^{[ 38 ]}

ส่วนขยายนี้ตั้งอยู่บนสมมติฐานที่ว่ารูปคลื่นที่คล้ายกันจะเกิดขึ้นซ้ำๆ ภายในสัญญาณ ดังนั้น รูปคลื่นสามเหลี่ยมที่ตรงกับขอบเขตของสัญญาณมากที่สุดจะถูกระบุภายในรูปคลื่นของสัญญาณ จากนั้นจึงสามารถทำนายค่าเฉพาะที่ภายในขอบเขตของสัญญาณได้โดยอาศัยค่าเฉพาะที่สอดคล้องกับรูปคลื่นสามเหลี่ยมนั้น

• วิธีการขยายภาพสะท้อน:

สัญญาณจำนวนมากแสดงรูปแบบการทำซ้ำภายใน การใช้ลักษณะเฉพาะนี้ วิธีการขยายแบบมิเรอร์จะเพิ่มสำเนาแบบมิเรอร์ของสัญญาณดั้งเดิมที่ปลายทั้งสองข้าง วิธีการที่เรียบง่ายและมีประสิทธิภาพนี้ช่วยปรับปรุงความแม่นยำของฟังก์ชันโหมดภายใน (IMF) สำหรับสัญญาณเป็นคาบได้อย่างมาก อย่างไรก็ตาม วิธีนี้ไม่เหมาะสำหรับสัญญาณที่ไม่เป็นคาบและอาจทำให้เกิดผลข้างเคียงได้ มีการเสนอวิธีการทางเลือกหลายวิธีเพื่อแก้ไขข้อจำกัดเหล่านี้^{[ 39 ]}

ออกแบบและคำนวณพารามิเตอร์ที่จำเป็นบางอย่างจากสัญญาณต้นฉบับเพื่อสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เฉพาะ จากนั้นแบบจำลองจะทำนายแนวโน้มของจุดปลายทั้งสอง

• การทำนายด้วยเครื่องถดถอยเวกเตอร์สนับสนุน (SVRM): ^{[ 40 ]}

วิธีนี้ใช้เทคนิคการเรียนรู้ของเครื่องจักรเพื่อจัดการกับผลกระทบที่ปลายสัญญาณใน HHT ข้อดีของมันคือ ปรับตัวได้ ยืดหยุ่น แม่นยำสูง และมีประสิทธิภาพสำหรับทั้งสัญญาณแบบเป็นคาบและไม่เป็นคาบ แม้ว่าความซับซ้อนในการคำนวณอาจเป็นข้อกังวล แต่หากไม่คำนึงถึงปัจจัยนี้ SVRM ก็เป็นโซลูชันที่แข็งแกร่งและมีประสิทธิภาพในการลดผลกระทบที่ปลายสัญญาณใน HHT

• แบบจำลองอัตถารีเกรสซีฟ (AR): ^{[ 41 ]}

ด้วยการกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างอินพุตและเอาต์พุตเป็นสมการเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์เปลี่ยนแปลงตามเวลา การสร้างแบบจำลอง AR ช่วยให้สามารถทำนายค่าที่หายไป ณ จุดปลายของสัญญาณได้ทางสถิติ วิธีนี้ต้องการทรัพยากรการคำนวณน้อยที่สุดและมีประสิทธิภาพเป็นพิเศษสำหรับการวิเคราะห์สัญญาณคงที่ อย่างไรก็ตาม ความแม่นยำจะลดลงสำหรับสัญญาณที่ไม่คงที่ และการเลือกอันดับแบบจำลองที่เหมาะสมสามารถส่งผลกระทบอย่างมากต่อประสิทธิภาพของมัน

• การทำนายด้วยโครงข่ายประสาทเทียม:

ด้วยการใช้ประโยชน์จากพลังของการเรียนรู้เครือข่ายประสาท วิธีการเหล่านี้จึงนำเสนอแนวทางที่หลากหลายและแข็งแกร่งในการลดผลกระทบสุดท้ายใน HHT สถาปัตยกรรมเครือข่ายต่างๆ รวมถึง RBF-NN ^{[ 42 ]}และ GRNN ^{[ 43 ]}ได้เกิดขึ้น ซึ่งแสดงให้เห็นถึงความสามารถในการจับความสัมพันธ์ที่ซับซ้อนภายในสัญญาณและเรียนรู้จากชุดข้อมูลขนาดใหญ่

ปัญหาการผสมโหมดเกิดขึ้นระหว่างกระบวนการ EMD การดำเนินการตามขั้นตอนการคัดกรองโดยตรงทำให้เกิดการผสมโหมดเนื่องจากการแก้ไขโหมด IMF สัญญาณเฉพาะอาจไม่ถูกแยกออกเป็น IMF เดียวกันทุกครั้ง ปัญหานี้ทำให้ยากต่อการดำเนินการสกัดคุณลักษณะ การฝึกโมเดล และการจดจำรูปแบบ เนื่องจากคุณลักษณะไม่ได้ถูกกำหนดไว้ในดัชนีการติดฉลากเดียวอีกต่อไป ปัญหาการผสมโหมดสามารถหลีกเลี่ยงได้โดยการรวมการทดสอบแบบไม่ต่อเนื่องระหว่างกระบวนการ HHT ^{[ 44 ]}

แหล่งที่มา: ^{[ 45 ]}

วิธีการบดบังช่วยปรับปรุง EMD โดยการแยกส่วนประกอบความถี่ที่คล้ายคลึงกันผ่านขั้นตอนต่อไปนี้:

1. การสร้างสัญญาณบดบัง :

   สร้างสัญญาณบดบังจากข้อมูลความถี่ของข้อมูลต้นฉบับสัญญาณบดบังนี้ออกแบบมาเพื่อป้องกันส่วนประกอบความถี่ต่ำจาก IMF ที่ได้จาก EMD${\displaystyle s(n)}$${\displaystyle x(n)}$

2. ทำการทดสอบ EMD โดยใช้สัญญาณบดบัง :

   ทำการคำนวณ EMD อีกครั้งกับสัญญาณที่แก้ไขแล้ว x+(n) = x(n) + s(n) เพื่อให้ได้ IMF z+(n) และในทำนองเดียวกัน กับ x-(n) = x(n) - s(n) เพื่อให้ได้ IMF z-(n) จากนั้น IMF จะถูกกำหนดเป็น z(n) = (z+(n) + z-(n))/2

3. การแยกส่วนประกอบ :

   ด้วยการเลือกความถี่ของสัญญาณบดบังอย่างเหมาะสม ส่วนประกอบที่มีความถี่ใกล้เคียงกันจึงสามารถแยกออกจากกันได้ สัญญาณบดบังจะป้องกันการผสมโหมด ทำให้ EMD สามารถแยกแยะความแตกต่างระหว่างส่วนประกอบความถี่ที่อยู่ใกล้กันได้

4. การลดข้อผิดพลาดให้น้อยที่สุด :

   การเลือกพารามิเตอร์สำหรับสัญญาณบดบัง เช่น แอมพลิจูด จะส่งผลต่อประสิทธิภาพของอัลกอริธึม

การเลือกแอมพลิจูดที่เหมาะสมที่สุดขึ้นอยู่กับความถี่ โดยรวมแล้ว วิธีการมาสก์ช่วยเพิ่มประสิทธิภาพของ EMD โดยการป้องกันการผสมโหมด ซึ่งช่วยปรับปรุงความแม่นยำและการใช้งานของ EMD ในการวิเคราะห์สัญญาณ

แหล่งที่มา: ^{[ 46 ]}

EEMD เพิ่มสัญญาณรบกวนสีขาวที่มีแอมพลิจูดจำกัดเข้าไปในสัญญาณต้นฉบับ จากนั้นจึงแยกสัญญาณออกเป็น IMF โดยใช้ EMD ขั้นตอนการประมวลผลของ EEMD มีดังต่อไปนี้:

1. เพิ่มสัญญาณรบกวนสีขาวที่มีแอมพลิจูดจำกัดเข้าไปในสัญญาณต้นฉบับ
2. แยกสัญญาณรบกวนออกเป็น IMF โดยใช้ EMD
3. ทำซ้ำขั้นตอนที่ 1 และ 2 หลายๆ ครั้งเพื่อสร้างกลุ่มของ IMF
4. คำนวณค่าเฉลี่ยของ IMF แต่ละตัวในกลุ่มตัวอย่าง เพื่อให้ได้ส่วนประกอบ IMF สุดท้าย

ผลของการแยกส่วนโดยใช้ EEMD คืออนุกรมสัญญาณรบกวนสีขาวที่เพิ่มเข้ามาจะหักล้างกันเอง (หรือเติมเต็มพื้นที่มาตราส่วนทั้งหมดอย่างสม่ำเสมอ) สัญญาณรบกวนยังช่วยให้วิธีการ EMD เป็นตัวกรองแบบไดอะดิกอย่างแท้จริงสำหรับข้อมูลใดๆ ซึ่งหมายความว่าสัญญาณที่มีมาตราส่วนใกล้เคียงกันในชุดข้อมูลที่มีสัญญาณรบกวนสามารถบรรจุอยู่ในส่วนประกอบ IMF เดียวได้ ซึ่งช่วยลดโอกาสการผสมโหมดได้อย่างมาก วิธีการนี้รักษาความเป็นเอกลักษณ์ทางกายภาพของการแยกส่วนและแสดงถึงการปรับปรุงที่สำคัญเหนือกว่าวิธีการ EMD

การเลือก IMF ที่เกี่ยวข้องใน EMD นั้นมีความสำคัญ เนื่องจากไม่ใช่ทุก IMF จะมีข้อมูลที่มีความหมายหรือมีประโยชน์สำหรับงานที่กำหนด เพราะบาง IMF อาจสอดคล้องกับสัญญาณรบกวน การผสมโหมด หรือแนวโน้มตกค้างที่ไม่พึงประสงค์ เนื่องจาก EMD เป็นแบบขับเคลื่อนด้วยข้อมูลและปรับตัวได้ จึงแยกสัญญาณออกเป็น IMF ที่มีช่วงความถี่ตั้งแต่สูงไปต่ำ แต่ไม่มีการรับประกันโดยธรรมชาติว่าแต่ละ IMF จะแสดงถึงส่วนประกอบที่สามารถตีความได้ทางกายภาพหรือมีความสำคัญ IMF ลำดับต่ำมักจะจับสัญญาณรบกวนความถี่สูง ในขณะที่ IMF ลำดับสูงอาจสะท้อนถึงแนวโน้มหรือสิ่งแปลกปลอมความถี่ต่ำ ดังนั้น การระบุว่าควรเก็บ IMF ใดไว้จึงเป็นสิ่งสำคัญเพื่อหลีกเลี่ยงการนำสัญญาณรบกวนกลับมาหรือการทิ้งส่วนประกอบสัญญาณที่มีข้อมูล มีวิธีการหลายวิธีในการชี้นำการเลือก IMF รวมถึงเกณฑ์ตามพลังงาน (เช่น การเก็บรักษา IMF หรือชุดย่อยของ IMF ที่กำหนดซึ่งมีส่วนสำคัญต่อพลังงานของสัญญาณ^{[ 47 ]} ) การวัดตามเอนโทรปี (เช่น เอนโทรปีการเรียงสับเปลี่ยนหรือเอนโทรปีตัวอย่าง^{[ 48 ]} ) ความสัมพันธ์กับสัญญาณดั้งเดิม^{[ 49 ]}ข้อมูลร่วมกัน^{[ 50 ]}หรือความเกี่ยวข้องเฉพาะงานโดยใช้การเรียนรู้แบบมีผู้กำกับดูแล (เช่น ความสำคัญของคุณลักษณะในงานการจำแนกประเภท)

• การแปลงฮิลเบิร์ต
• การวิเคราะห์สเปกตรัมฮิลเบิร์ต
• สเปกตรัมฮิลเบิร์ต
• ความถี่ทันที
• การแยกองค์ประกอบเชิงประจักษ์แบบหลายมิติ
• ไม่เชิงเส้น
• การแปลงเวฟเล็ต
• การแปลงฟูริเยร์
• ซองสัญญาณ

• Ditommaso, Rocco; Mucciarelli, Marco; Parolai, Stefano; Picozzi, Matteo (สิงหาคม 2012). "การตรวจสอบการตอบสนองทางพลศาสตร์โครงสร้างของหอคอยก่ออิฐ: การเปรียบเทียบการวิเคราะห์แบบคลาสสิกและการวิเคราะห์ความถี่เวลา"วารสารวิศวกรรมแผ่นดินไหว 10 ( 4): 1221– 1235. Bibcode : 2012BuEE...10.1221D . doi : 10.1007/s10518-012-9347-x .
• Boudraa, Abdel-Ouahab; Cexus, Jean-Christophe (ธันวาคม 2007). "การกรองสัญญาณโดยใช้ EMD". IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement . 56 (6): 2196– 2202. Bibcode : 2007ITIM...56.2196B . doi : 10.1109/TIM.2007.907967 .
• Huang, Norden E.; Shen, Zheng; Long, Steven R.; Wu, Manli C.; Shih, Hsing H.; Zheng, Quanan; Yen, Nai-Chyuan; Tung, Chi Chao; Liu, Henry H. (8 มีนาคม 1998). "การแยกองค์ประกอบเชิงประจักษ์และสเปกตรัมฮิลเบิร์ตสำหรับการวิเคราะห์อนุกรมเวลาแบบไม่เชิงเส้นและไม่คงที่" Proceedings of the Royal Society of London. Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences . 454 ( 1971): 903– 995. Bibcode : 1998RSPSA.454..903H . doi : 10.1098/rspa.1998.0193 .
• Huang, NE; Wu Z. (2008). "บทวิจารณ์เกี่ยวกับการแปลงฮิลเบิร์ต-ฮวง: วิธีการและการประยุกต์ใช้ในการศึกษาทางธรณีฟิสิกส์" Rev. Geophys . 46 (2): RG2006. Bibcode : 2008RvGeo..46.2006H . doi : 10.1029/2007RG000228 .
• Huang, Norden E.; Attoh-Okine, Nii O., บรรณาธิการ (2005). การแปลงฮิลเบิร์ต-ฮวงในวิศวกรรม . doi : 10.1201/9781420027532 . ISBN 978-0-429-11431-1.
• Huang, NE; Shen, SSP (2005). การแปลงฮิลเบิร์ต-ฮวงและการประยุกต์ใช้ . ลอนดอน: World Scientific. ISBN 978-981-256-376-7.
• Schmitt, Francois G; Huang, Yongxiang (2016). การวิเคราะห์เชิงสุ่มของอนุกรมเวลาแบบปรับขนาด: จากทฤษฎีความปั่นป่วนสู่การประยุกต์ใช้สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยคอมบริดจ์ISBN 978-1-107-06761-5.
• Huang, Norden E.; Long, Steven R.; Shen, Zheng (1996). กลไกการลดความถี่ในการวิวัฒนาการของคลื่นไม่เชิงเส้นความก้าวหน้าในกลศาสตร์ประยุกต์ เล่มที่ 32 หน้า 59–117C doi : 10.1016/S0065-2156(08)70076-0 ISBN 978-0-12-002032-4.
• Huang, Norden E.; Shen, Zheng; Long, Steven R. (มกราคม 1999). "มุมมองใหม่ของคลื่นน้ำที่ไม่เป็นเชิงเส้น: สเปกตรัมฮิลเบิร์ต". Annual Review of Fluid Mechanics . 31 (1): 417– 457. Bibcode : 1999AnRFM..31..417H . doi : 10.1146/annurev.fluid.31.1.417 .
• Huang, Norden E; Wu, Man-Li C; Long, Steven R; Shen, Samuel SP; Qu, Wendong; Gloersen, Per; Fan, Kuang L (8 กันยายน 2003). "ขีดจำกัดความเชื่อมั่นสำหรับการแยกองค์ประกอบเชิงประจักษ์และการวิเคราะห์สเปกตรัมฮิลเบิร์ต". วารสาร Proceedings of the Royal Society of London. Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences . 459 (2037): 2317– 2345. Bibcode : 2003RSPSA.459.2317H . doi : 10.1098/rspa.2003.1123 .
• Wu, Zhaohua; Huang, Norden E. (8 มิถุนายน 2547). "การศึกษาลักษณะของสัญญาณรบกวนสีขาวโดยใช้วิธีการแยกองค์ประกอบเชิงประจักษ์". วารสาร Proceedings of the Royal Society of London. Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences . 460 (2046): 1597– 1611. Bibcode : 2004RSPSA.460.1597W . doi : 10.1098/rspa.2003.1221 .
• ศาสตราจารย์เจี้ยน-จิวน์ ติง ภาควิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยแห่งชาติไต้หวัน“การวิเคราะห์ความถี่เวลาและการแปลงเวฟเล็ต 2021” (PDF ){{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)