นอกจากℓและmแล้ว ยังมีจำนวนเต็มตัวที่สามn > 0เกิดขึ้นจากเงื่อนไขขอบเขตที่กำหนดไว้บนRฟังก์ชันRและYที่แก้สมการข้างต้นขึ้นอยู่กับค่าของจำนวนเต็มเหล่านี้ ซึ่งเรียกว่าเลขควอนตัมตามธรรมเนียมแล้ว จะใช้ค่าของเลขควอนตัมที่ฟังก์ชันคลื่นขึ้นอยู่เป็นตัวห้อย นิพจน์สุดท้ายสำหรับฟังก์ชันคลื่นที่ทำให้เป็นมาตรฐานคือ: $${\displaystyle \psi _{n\ell m}=R_{n\ell }(r)\,Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}$$$${\displaystyle R_{n\ell }(r)={\sqrt {{\left({\frac {2Z}{na_{\mu }}}\right)}^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{2n{(n+\ell )!}}}}}e^{-Zr/{na_{\mu }}}\left({\frac {2Zr}{na_{\mu }}}\right)^{\ell }L_{n-\ell -1}^{(2\ell +1)}\left({\frac {2Zr}{na_{\mu }}}\right)}$$ ที่ไหน:

• ${\displaystyle L_{n-\ell -1}^{(2\ell +1)}}$คือพหุนามลากูร์แบบทั่วไป
• ${\displaystyle a_{\mu }={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{\mu e^{2}}}={\frac {\hbar c}{\alpha \mu c^{2}}}={\frac {m_{\mathrm {e} }}{\mu }}a_{0}}$
  โดยที่αคือค่าคงที่โครงสร้างละเอียดในที่นี้μคือมวลลดทอนของระบบนิวเคลียส-อิเล็กตรอน นั่นคือ${\textstyle \mu ={m_{\mathrm {N} }m_{\mathrm {e} }}/{(m_{\mathrm {N} }+m_{\mathrm {e} })}}$โดยที่m คือมวลของนิวเคลียส โดยทั่วไป นิวเคลียสจะมีมวลมากกว่าอิเล็กตรอนมาก ดังนั้นμ ≈ m (แต่ใน กรณีของ โพซิตรอนเนียม เช่นμ ≈ m /2 ) a คือรัศมีของบอร์
• ${\displaystyle E_{n}=-\left({\frac {Z^{2}\mu e^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^{2}}}\right){\frac {1}{n^{2}}}=-\left({\frac {Z^{2}\hbar ^{2}}{2\mu a_{\mu }^{2}}}\right){\frac {1}{n^{2}}}=-{\frac {\mu c^{2}Z^{2}\alpha ^{2}}{2n^{2}}}.}$
• ${\displaystyle Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}$ฟังก์ชันดังกล่าวเป็นฟังก์ชัน ฮาร์มอนิ กทรงกลม

ความสมมาตรเนื่องจากฟังก์ชันคลื่นเชิงมุมคือ( −1) ^ℓ

เลขควอนตัมn , ℓและmเป็นจำนวนเต็มและสามารถมีค่าได้ดังต่อไปนี้: $${\displaystyle n=1,2,3,4,\dots }$$$${\displaystyle \ell =0,1,2,\dots ,n-1}$$$${\displaystyle m=-\ell ,-\ell +1,\ldots ,0,\ldots ,\ell -1,\ell }$$

สำหรับการตีความเชิงทฤษฎีกลุ่มของเลขควอนตัมเหล่านี้ โปรดดูRunge–Lenz §  กลศาสตร์ควอนตัมของอะตอมไฮโดรเจนบทความนี้ให้เหตุผลเชิงทฤษฎีกลุ่มว่าทำไมℓ < nและ− ℓ ≤ m ≤ ℓเป็นต้น

^{แต่ละออ ร์}บิทัลอะตอมจะสัมพันธ์กับโมเมนตัมเชิงมุมLซึ่งเป็นตัวดำเนินการเวกเตอร์และค่าลักษณะเฉพาะของกำลังสองของ^มันL² ≡ L x² L y² L z² โดย ^:$${\displaystyle {\hat {L}}^{2}Y_{\ell m}=\hbar ^{2}\ell (\ell +1)Y_{\ell m}}$$

การฉายเวกเตอร์นี้ลงบนทิศทางใดๆ จะถูกทำให้เป็นค่าควอนตัมถ้าทิศทางใดๆ นั้นถูกกำหนดให้เป็น 'z' ค่าควอนตัมจะกำหนดโดย: $${\displaystyle {\hat {L}}_{\text{z}}Y_{\ell m}=\hbar mY_{\ell m},}$$ โดยที่mถูกจำกัดตามที่อธิบายไว้ข้างต้น โปรดสังเกตว่าL ²และL สลับที่กันได้และมีสถานะเฉพาะร่วมกัน ซึ่งสอดคล้องกับหลักการความไม่แน่นอน ของไฮเซนเบิร์ก เนื่องจากL และL ไม่สลับที่กับL จึงไม่สามารถหาสถานะที่เป็นสถานะเฉพาะของส่วนประกอบทั้งสามพร้อมกันได้ ดังนั้นค่าของส่วนประกอบ x และ y จึงไม่คมชัด แต่ได้มาจากฟังก์ชันความน่าจะเป็นที่มีความกว้างจำกัด ข้อเท็จจริงที่ว่าส่วนประกอบ x และ y ไม่ได้ถูกกำหนดไว้อย่างดี แสดงว่าทิศทางของเวกเตอร์โมเมนตัมเชิงมุมก็ไม่ได้ถูกกำหนดไว้อย่างดีเช่นกัน แม้ว่าส่วนประกอบตามแกน z จะคมชัดก็ตาม

ความสัมพันธ์เหล่านี้ไม่ได้ให้ค่าโมเมนตัมเชิงมุมรวมของอิเล็กตรอน สำหรับการหาค่าโมเมนตัมเชิงมุมรวมนั้นจำเป็นต้องรวมค่าสปิน ของอิเล็กตรอนเข้าไปด้วย

การควอนตัมของโมเมนตัมเชิงมุมนี้มีความคล้ายคลึงอย่างมากกับสิ่งที่ นีลส์ โบห์ร (ดูแบบจำลองของโบห์ร ) เสนอไว้ในปี 1913 โดยที่ไม่มีความรู้เกี่ยวกับฟังก์ชันคลื่นมาก่อน

ในอะตอมจริงสปินของอิเล็กตรอนที่เคลื่อนที่สามารถมีปฏิสัมพันธ์กับสนามไฟฟ้าของนิวเคลียสผ่านผลกระทบเชิงสัมพัทธภาพ ซึ่งเป็นปรากฏการณ์ที่เรียกว่าปฏิสัมพันธ์สปิน-วงโคจรเมื่อพิจารณาการเชื่อมโยงนี้สปินและโมเมนตัมเชิงมุมของวงโคจรจะไม่ถูกอนุรักษ์ อีกต่อไป ซึ่งสามารถแสดงให้เห็นได้ด้วยการหมุนควงของอิเล็กตรอน ดังนั้นจึงต้องแทนที่เลขควอนตัมℓ , mและการฉายภาพของสปินm ด้วยเลขควอนตัมที่แสดงถึงโมเมนตัมเชิงมุมรวม (รวมถึงสปิน ) jและm รวมถึงเลขควอนตัมของพาริตี ด้วย

โปรดดูส่วนถัดไปเกี่ยวกับสมการของ Dirac สำหรับวิธีแก้ปัญหาที่รวมถึงการเชื่อมโยงด้วย

ฟังก์ชันเฉพาะของแฮมิลโทเนียนซึ่งหมายถึงฟังก์ชันที่มีพลังงานที่แน่นอน (และดังนั้นจึงไม่เปลี่ยนแปลง ยกเว้นการเลื่อนเฟส) มีพลังงานที่กำหนดโดยไม่ใช่แค่เลขควอนตัมnเท่านั้น (เช่นเดียวกับสมการชโรดิงเกอร์) แต่โดยnและเลขควอนตัมjซึ่ง เป็น เลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุมรวม เลขควอนตัมjกำหนดค่ารวมของกำลังสองของโมเมนตัมเชิงมุมทั้งสามให้เป็นj ( j + 1) (คูณħ ²ดูค่าคงที่ของพลังค์ ) โมเมนตัมเชิงมุมเหล่านี้รวมถึงโมเมนตัมเชิงมุมวงโคจร (ซึ่งเกี่ยวข้องกับการพึ่งพาเชิงมุมของψ ) และโมเมนตัมเชิงมุมสปิน (ซึ่งเกี่ยวข้องกับสถานะสปิน) การแยกพลังงานของสถานะที่มีเลขควอนตัมหลักn เดียวกัน เนื่องจากความแตกต่างในjเรียกว่าโครงสร้างละเอียด เลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุมรวมjมีค่าตั้งแต่1/2ถึงn − 1/2

ออร์บิทัลสำหรับสถานะที่กำหนดสามารถเขียนได้โดยใช้ฟังก์ชันเชิงรัศมีสองฟังก์ชันและฟังก์ชันเชิงมุมสองฟังก์ชัน ฟังก์ชันเชิงรัศมีขึ้นอยู่กับทั้งเลขควอนตัมหลักnและจำนวนเต็มkซึ่งกำหนดไว้ดังนี้:

${\displaystyle k={\begin{cases}-j-{\tfrac {1}{2}}&{\text{if }}j=\ell +{\tfrac {1}{2}}\\j+{\tfrac {1}{2}}&{\text{if }}j=\ell -{\tfrac {1}{2}}\end{cases}}}$

โดยที่ℓคือเลขควอนตัมเชิงมุมซึ่งมีค่าตั้งแต่0ถึงn − 1ฟังก์ชันมุมขึ้นอยู่กับkและเลขควอนตัมmซึ่งมีค่าตั้งแต่− jถึงjโดยเพิ่มขึ้นทีละ1สถานะต่างๆ จะถูกกำหนดโดยใช้ตัวอักษร S, P, D, F เป็นต้น เพื่อแทนสถานะที่มีℓเท่ากับ0 , 1 , 2 , 3เป็นต้น (ดูเลขควอนตัมเชิงมุม ) โดยมีตัวห้อยแสดงค่าjตัวอย่างเช่น สถานะสำหรับn = 4แสดงอยู่ในตารางต่อไปนี้ (โดยจะมีn นำหน้า เช่น 4S ):

สามารถติดป้ายกำกับเพิ่มเติมด้วยตัวห้อยmได้ มี^{สถานะ} 2n² สถานะที่มีเลขควอนตั มหลักnโดยมีจำนวน 4j + 2สถานะที่มีค่าj ใดๆ ก็ได้ ยกเว้นค่า jสูงสุด ( j = n − 1/2 ) ซึ่งมีเพียง2j + 1 สถานะเท่านั้น เนื่องจากออร์บิทัลที่มีค่าnและj ที่กำหนด มีพลังงานเท่ากันตามสมการของ Dirac จึงเป็นฐานสำหรับปริภูมิของฟังก์ชันที่มีพลังงานนั้น

พลังงาน ซึ่งเป็นฟังก์ชันของnและ| k | (เท่ากับj + 1/2 ) คือ: $${\displaystyle {\begin{array}{rl}E_{n\,j}&=\mu c^{2}\left(1+\left[{\dfrac {Z\alpha }{n-|k|+{\sqrt {k^{2}-Z^{2}\alpha ^{2}}}}}\right]^{2}\right)^{-1/2}\\&\\&\approx \mu c^{2}\left\{1-{\dfrac {Z^{2}\alpha ^{2}}{2n^{2}}}\left[1+{\dfrac {Z^{2}\alpha ^{2}}{n}}\left({\dfrac {1}{|k|}}-{\dfrac {3}{4n}}\right)\right]\right\}\end{array}}}$$

(พลังงานขึ้นอยู่กับจุดศูนย์ที่ใช้แน่นอน) โปรดทราบว่าหากZสามารถมีค่ามากกว่า137 (สูงกว่าธาตุใดๆ ที่รู้จัก) เราจะมีค่าลบอยู่ภายในรากที่สองสำหรับออร์บิทัล S และ P ซึ่งหมายความว่าออร์บิทัลเหล่านั้นจะไม่มีอยู่จริง วิธีแก้ปัญหาของชโรดิงเกอร์สอดคล้องกับการแทนที่วงเล็บด้านในในนิพจน์ที่สองด้วย1ความแม่นยำของความแตกต่างของพลังงานระหว่างสถานะไฮโดรเจนสองสถานะต่ำสุดที่คำนวณจากวิธีแก้ปัญหาของชโรดิงเกอร์อยู่ที่ประมาณ 9 ppm ( ต่ำเกินไป 90 μeV จากค่าประมาณ10  eV ) ในขณะที่ความแม่นยำของสมการ Dirac สำหรับความแตกต่างของพลังงานเดียวกันนั้นอยู่ที่ประมาณ 3  ppm (สูงเกินไป) สมการ Schrödinger จะให้สถานะที่มีพลังงานสูงกว่าสมการ Dirac ที่แม่นยำกว่าเล็กน้อยเสมอ สมการ Dirac ให้ระดับพลังงานบางระดับของไฮโดรเจนได้อย่างแม่นยำ (ตัวอย่างเช่น สถานะ 4P จะมีพลังงานเพียงประมาณ 10 eV เท่านั้น)2 × 10 ⁻¹⁰  eVสูงเกินไป) ในขณะที่บางระดับสูงน้อยกว่า (ตัวอย่างเช่น ระดับ 2S อยู่ที่ประมาณ)4 × 10 ⁻⁶  eVต่ำเกินไป) ^{[ 12 ]}การปรับเปลี่ยนพลังงานเนื่องจากการใช้สมการ Dirac แทนการแก้ปัญหา Schrödinger นั้นมีลำดับα ²และด้วยเหตุนี้αจึงเรียกว่าค่าคงที่โครงสร้างละเอียด

โดยทั่วไปแล้ว คำตอบของสมการ Dirac สำหรับเลขควอนตัมn , kและmคือ: $${\displaystyle \Psi ={\begin{pmatrix}g_{n,k}(r)r^{-1}\Omega _{k,m}(\theta ,\phi )\\if_{n,k}(r)r^{-1}\Omega _{-k,m}(\theta ,\phi )\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}g_{n,k}(r)r^{-1}{\sqrt {(k+{\tfrac {1}{2}}-m)/(2k+1)}}Y_{k,m-1/2}(\theta ,\phi )\\-g_{n,k}(r)r^{-1}\operatorname {sgn} k{\sqrt {(k+{\tfrac {1}{2}}+m)/(2k+1)}}Y_{k,m+1/2}(\theta ,\phi )\\if_{n,k}(r)r^{-1}{\sqrt {(-k+{\tfrac {1}{2}}-m)/(-2k+1)}}Y_{-k,m-1/2}(\theta ,\phi )\\if_{n,k}(r)r^{-1}\operatorname {sgn} k{\sqrt {(-k+{\tfrac {1}{2}}+m)/(-2k+1)}}Y_{-k,m+1/2}(\theta ,\phi )\end{pmatrix}}}$$ โดยที่ Ω คือคอลัมน์ของ ฟังก์ชัน ฮาร์มอนิกทรงกลม สอง ฟังก์ชันที่แสดงอยู่ทางด้านขวา${\displaystyle Y_{a,b}(\theta ,\phi )}$หมายถึงฟังก์ชันฮาร์มอนิกทรงกลม:

${\displaystyle Y_{a,b}(\theta ,\phi )={\begin{cases}(-1)^{b}{\sqrt {{\frac {2a+1}{4\pi }}{\frac {(a-b)!}{(a+b)!}}}}P_{a}^{b}(\cos \theta )e^{ib\phi }&{\text{if }}a>0\\Y_{-a-1,b}(\theta ,\phi )&{\text{if }}a<0\end{cases}}}$

โดยที่P ^b คือพหุนามเลอจองเดอร์ที่เกี่ยวข้อง (โปรดทราบว่านิยามของΩอาจเกี่ยวข้องกับฮาร์มอนิกทรงกลมที่ไม่มีอยู่จริง เช่นY แต่สัมประสิทธิ์ของมันจะเป็นศูนย์)

ต่อไปนี้คือพฤติกรรมของฟังก์ชันเชิงมุมบางส่วนเหล่านี้ โดยละเว้นตัวประกอบการทำให้เป็นมาตรฐานเพื่อทำให้การแสดงออกง่ายขึ้น

${\displaystyle \Omega _{-1,-1/2}\propto {\binom {0}{1}}}$

${\displaystyle \Omega _{-1,1/2}\propto {\binom {1}{0}}}$

${\displaystyle \Omega _{1,-1/2}\propto {\binom {(x-iy)/r}{z/r}}}$

${\displaystyle \Omega _{1,1/2}\propto {\binom {z/r}{(x+iy)/r}}}$

จากสิ่งเหล่านี้ เราจะเห็นว่าในออร์บิทัล S ( k = −1 ) ส่วนประกอบสองส่วนบนสุดของΨมีโมเมนตัมเชิงมุมวงโคจรเป็นศูนย์เช่นเดียวกับออร์บิทัล S ของชโรดิงเกอร์ แต่ส่วนประกอบสองส่วนล่างสุดเป็นออร์บิทัลเช่นเดียวกับออร์บิทัล P ของชโรดิงเกอร์ ในคำตอบ P ( k = 1 ) สถานการณ์จะกลับกัน ในทั้งสองกรณี สปินของแต่ละส่วนประกอบจะชดเชยโมเมนตัมเชิงมุมวงโคจรของมันรอบแกน z เพื่อให้ได้ค่าที่ถูกต้องสำหรับโมเมนตัมเชิงมุมรวมรอบแกน z

สปินเนอร์ Ωทั้งสองตัวเป็นไปตามความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้:

${\displaystyle \Omega _{k,m}={\begin{pmatrix}z/r&(x-iy)/r\\(x+iy)/r&-z/r\end{pmatrix}}\Omega _{-k,m}}$

ในการเขียนฟังก์ชันg ( r )และf ( r ) ให้เรากำหนดรัศมีที่ปรับขนาดρ ดังนี้ :

${\displaystyle \rho \equiv 2Cr}$

กับ

${\displaystyle C={\frac {\sqrt {\mu ^{2}c^{4}-E^{2}}}{\hbar c}}}$

โดยที่Eคือพลังงาน ( E ) ที่ระบุไว้ข้างต้น เรายังกำหนดγดังนี้:

${\displaystyle \gamma \equiv {\sqrt {k^{2}-Z^{2}\alpha ^{2}}}}$

g ( r )และ f ( r )อิงตามพหุนาม Laguerre ทั่วไป สองตัว ที่มีอันดับ n − | k | − 1และ n − | k | :

${\displaystyle g_{n,k}(r)=A\rho ^{\gamma }e^{-\rho /2}\left(Z\alpha \rho L_{n-|k|-1}^{(2\gamma +1)}(\rho )+(\gamma -k){\frac {\gamma \mu c^{2}-kE}{\hbar cC}}L_{n-|k|}^{(2\gamma -1)}(\rho )\right)}$

${\displaystyle f_{n,k}(r)=A\rho ^{\gamma }e^{-\rho /2}\left((\gamma -k)\rho L_{n-|k|-1}^{(2\gamma +1)}(\rho )+Z\alpha {\frac {\gamma \mu c^{2}-kE}{\hbar cC}}L_{n-|k|}^{(2\gamma -1)}(\rho )\right)}$

โดยที่Aคือค่าคงที่การทำให้เป็นมาตรฐานซึ่งเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันแกมมา :

${\displaystyle A={\frac {1}{\sqrt {2k(k-\gamma )}}}{\sqrt {{\frac {C}{n-|k|+\gamma }}{\frac {(n-|k|-1)!}{\Gamma (n-|k|+2\gamma +1)}}{\frac {1}{2}}\left(\left({\frac {Ek}{\gamma \mu c^{2}}}\right)^{2}+{\frac {Ek}{\gamma \mu c^{2}}}\right)}}}$

fมีค่าเล็กเมื่อเทียบกับ g (ยกเว้นที่ r มีค่าน้อยมาก ) เพราะเมื่อ kเป็นบวก พจน์แรกจะมีอิทธิพลมากกว่า และ αมีค่ามากเมื่อเทียบกับ γ − kในขณะที่เมื่อ kเป็นลบ พจน์ที่สองจะมีอิทธิพลมากกว่า และ αมีค่าเล็กเมื่อเทียบกับ γ − kโปรดสังเกตว่าพจน์ที่มีอิทธิพลนั้นค่อนข้างคล้ายกับคำตอบของสมการชโรดิงเจอร์ – ดัชนีบนของพหุนามลากูร์มีค่าน้อยกว่าเล็กน้อย ( 2γ + 1 หรือ 2γ − 1แทนที่จะเป็น2ℓ + 1 ซึ่งเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุด) เช่นเดียวกับกำลังของ ρ ( γหรือ γ − 1แทนที่จะเป็น ℓ ซึ่ง เป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุด)การลดลงแบบเอกซ์ponential นั้น เร็วกว่าในคำตอบของสมการชโรดิงเจอร์เล็กน้อย

ตัวประกอบการทำให้เป็นมาตรฐานทำให้ปริพันธ์เหนือ ปริภูมิทั้งหมดของกำลังสองของค่าสัมบูรณ์เท่ากับ1

เมื่อk = − n (ซึ่งสอดคล้องกับ ค่า jสูงสุดที่เป็นไปได้สำหรับn ที่กำหนด เช่น 1S , 2P , 3D , ...) แล้วg ( r )และf ( r )คือ:

${\displaystyle g_{n,-n}(r)=A(n+\gamma )\rho ^{\gamma }e^{-\rho /2}}$

${\displaystyle f_{n,-n}(r)=AZ\alpha \rho ^{\gamma }e^{-\rho /2}}$

เมื่อค่า Aลดลงเหลือ:

${\displaystyle A={\frac {1}{\sqrt {2n(n+\gamma )}}}{\sqrt {\frac {C}{2\gamma ^{2}n^{2}\Gamma (2\gamma +1)}}}}$

โปรดสังเกตว่าเนื่องจากปัจจัยZαทำให้f ( r )มีค่าน้อยเมื่อเทียบกับg ( r )นอกจากนี้ โปรดสังเกตว่าในกรณีนี้ พลังงานจะกำหนดโดย

${\displaystyle E_{n,n-1/2}={\frac {\gamma }{n}}\mu c^{2}={\sqrt {1-{\frac {Z^{2}\alpha ^{2}}{n^{2}}}}}\,\mu c^{2}}$

และค่าคงที่การสลายตัวเชิงรัศมีCโดย

${\displaystyle C={\frac {Z\alpha }{n}}{\frac {\mu c^{2}}{\hbar c}}.}$

นี่คือออร์บิทัล 1S แบบสปินขึ้น โดยไม่มีการปรับค่าให้เป็นมาตรฐาน:

${\displaystyle \Psi \propto {\begin{pmatrix}(1+\gamma )r^{\gamma -1}e^{-Cr}\\0\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{-Cr}z/r\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{-Cr}(x+iy)/r\end{pmatrix}}}$

โปรดสังเกตว่าγ มีค่าน้อยกว่า 1เล็กน้อยดังนั้นฟังก์ชันด้านบนจึงคล้ายกับฟังก์ชันที่ลดลงแบบเลขชี้กำลังของrยกเว้นว่าที่ค่า r น้อยมาก ๆ ในทางทฤษฎีแล้วฟังก์ชันนี้จะมีค่าเข้าสู่อนันต์ แต่ค่าของr ^{γ −1}จะมีค่ามากกว่า 10 ก็ต่อเมื่อค่าrน้อยกว่า10 ^{1/( γ −1)}ซึ่งมีค่าน้อยมาก (น้อยกว่ารัศมีของโปรตอนมาก) เว้นแต่ว่าZจะมีค่ามาก

วงโคจร 1S แบบหมุนลง โดยไม่ปรับค่ามาตรฐาน จะได้ดังนี้:

${\displaystyle \Psi \propto {\begin{pmatrix}0\\(1+\gamma )r^{\gamma -1}e^{-Cr}\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{-Cr}(x-iy)/r\\-iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{-Cr}z/r\end{pmatrix}}}$

เราสามารถผสมสิ่งเหล่านี้เพื่อให้ได้ออร์บิทัลที่มีทิศทางการหมุนไปในทิศทางอื่น เช่น:

${\displaystyle \Psi \propto {\begin{pmatrix}(1+\gamma )r^{\gamma -1}e^{-Cr}\\(1+\gamma )r^{\gamma -1}e^{-Cr}\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{-Cr}(x-iy+z)/r\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{-Cr}(x+iy-z)/r\end{pmatrix}}}$

ซึ่งสอดคล้องกับแกนการหมุนและโมเมนตัมเชิงมุมที่ชี้ไปในทิศทาง x การเพิ่ม การหมุน "ลง" iครั้งให้กับการหมุน "ขึ้น" จะได้วงโคจรที่วางตัวในทิศทาง y

เพื่อยกตัวอย่างเพิ่มเติม วงโคจร 2P ที่มีสปินขึ้น จะเป็นสัดส่วนกับ:

${\displaystyle \Psi \propto {\begin{pmatrix}\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left(Z\alpha \rho +(\gamma -1){\frac {\gamma \mu c^{2}-E}{\hbar cC}}(-\rho +2\gamma )\right)z/r\\\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left(Z\alpha \rho +(\gamma -1){\frac {\gamma \mu c^{2}-E}{\hbar cC}}(-\rho +2\gamma )\right)(x+iy)/r\\i\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left((\gamma -1)\rho +Z\alpha {\frac {\gamma \mu c^{2}-E}{\hbar cC}}(-\rho +2\gamma )\right)\\0\end{pmatrix}}}$

(จำไว้ว่าρ = 2 rC C มี ค่าประมาณครึ่งหนึ่งของค่าสำหรับออร์บิทัล 1S แต่γยังคงเท่าเดิม)

โปรดสังเกตว่าเมื่อρมีค่าเล็กเมื่อเทียบกับα (หรือrมีค่าเล็กเมื่อเทียบกับħc /( μc ² ) ) ออร์บิทัลประเภท "S" จะมีบทบาทเด่น (องค์ประกอบที่สามของสปินเนอร์ของ Dirac)

สำหรับออร์บิทัล 2S สปินขึ้น เรามี:

${\displaystyle \Psi \propto {\begin{pmatrix}\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left(Z\alpha \rho +(\gamma +1){\frac {\gamma \mu c^{2}+E}{\hbar cC}}(-\rho +2\gamma )\right)\\0\\i\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left((\gamma +1)\rho +Z\alpha {\frac {\gamma \mu c^{2}+E}{\hbar cC}}(-\rho +2\gamma )\right)z/r\\i\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left((\gamma +1)\rho +Z\alpha {\frac {\gamma \mu c^{2}+E}{\hbar cC}}(-\rho +2\gamma )\right)(x+iy)/r\end{pmatrix}}}$

ส่วนประกอบแรกมีลักษณะคล้ายตัว S และมีรัศมีอยู่ใกล้ρ = 2ซึ่งค่าจะลดลงเหลือศูนย์ ในขณะที่ส่วนประกอบสองส่วนด้านล่างมีลักษณะคล้ายตัว P

นอกจากสถานะผูกพัน ซึ่งมีพลังงานน้อยกว่าพลังงานของอิเล็กตรอนที่อยู่ห่างจากนิวเคลียสอย่างไม่มีที่สิ้นสุดแล้ว ยังมีคำตอบของสมการ Dirac ที่พลังงานสูงกว่า ซึ่งสอดคล้องกับอิเล็กตรอนอิสระที่ทำปฏิกิริยากับนิวเคลียส คำตอบเหล่านี้ไม่สามารถทำให้เป็นมาตรฐานได้ แต่สามารถหาคำตอบที่มีแนวโน้มเข้าใกล้ศูนย์เมื่อrเข้าสู่ค่าอนันต์ (ซึ่งเป็นไปไม่ได้เมื่อ| E | < μc ^{2 ยกเว้นที่ค่า} Eของสถานะผูกพันที่กล่าวถึงข้างต้น) นอกจากนี้ยังมีคำตอบที่คล้ายกันเมื่อE < − μc ²คำตอบที่มีพลังงานลบเหล่านี้ก็เหมือนกับคำตอบที่มีพลังงานบวกที่มีพลังงานตรงข้ามกัน แต่เป็นกรณีที่นิวเคลียสผลักอิเล็กตรอนแทนที่จะดึงดูด ยกเว้นว่าคำตอบสำหรับส่วนประกอบสองส่วนบนจะสลับตำแหน่งกับคำตอบสำหรับส่วนประกอบสองส่วนล่าง

คำตอบพลังงานลบของสมการของดิแรกมีอยู่จริงแม้ในกรณีที่ไม่มีแรงคูลอมบ์จากนิวเคลียส ดิแรกตั้งสมมติฐานว่าเราสามารถพิจารณาสถานะเหล่านี้เกือบทั้งหมดว่าเต็มแล้ว หากสถานะพลังงานลบใดสถานะหนึ่งไม่เต็ม จะปรากฏให้เห็นราวกับว่ามีอิเล็กตรอนที่ถูกผลักโดยนิวเคลียสที่มีประจุบวก นี่กระตุ้นให้ดิแรกตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับการมีอยู่ของอิเล็กตรอนที่มีประจุบวก และการคาดการณ์ของเขาก็ได้รับการยืนยันด้วยการค้นพบโพซิตรอน