ดูบทความนี้เป็นตัวอย่าง

ให้Fแทนฟังก์ชันการกระจายสะสมของตัวแปรสุ่มXแล้ว ( โดยการอินทิเกรตแบบแยกส่วน )  $${\displaystyle f(x):=\int _{-\infty }^{x}F(u)\,du=\operatorname {E} \left[\max(0,xX)\right]=x-\operatorname {E} \left[\min(x,X)\right]}$$ มีคอนจูเกตแบบนูน $${\displaystyle f^{*}(p)=\int _{0}^{p}F^{-1}(q)\,dq=(p-1)F^{-1}(p)+\operatorname {E} \left[\min(F^{-1}(p),X)\right]=pF^{-1}(p)-\operatorname {E} \left[\max(0,F^{-1}(p)-X)\right].}$$

การตีความเฉพาะอย่างหนึ่งมีการเปลี่ยนแปลง $${\displaystyle f^{\text{inc}}(x):=\arg \sup _{t}t\cdot x-\int _{0}^{1}\max\{tf(u),0\}\,du,}$$ เนื่องจากนี่เป็นการจัดเรียงใหม่ที่ไม่ลดลงของฟังก์ชันเริ่มต้นfโดยเฉพาะอย่างยิ่ง${\displaystyle f^{\text{inc}}=f}$สำหรับfที่ไม่ลดลง

ประกาศว่า${\displaystyle f\leq g}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$สำหรับทุกคน${\displaystyle x.}$ดังนั้น การผันแบบนูนจึงเป็นการกลับลำดับซึ่งตามคำนิยามหมายความว่า ถ้า${\displaystyle f\leq g}$แล้ว${\displaystyle f^{*}\geq g^{*}.}$

สำหรับกลุ่มฟังก์ชัน${\displaystyle \left(f_{\alpha }\right)_{\alpha }}$จากข้อเท็จจริงที่ว่าค่าสูงสุดสามารถสลับเปลี่ยนกันได้ จึงสรุปได้ว่า

${\displaystyle \left(\inf _{\alpha }f_{\alpha }\right)^{*}(x^{*})=\sup _{\alpha }f_{\alpha }^{*}(x^{*}),}$

และจากอสมการสูงสุด-ต่ำสุดที่ว่า

${\displaystyle \left(\sup _{\alpha }f_{\alpha }\right)^{*}(x^{*})\leq \inf _{\alpha }f_{\alpha }^{*}(x^{*}).}$

คอนจูเกตเชิงนูนของฟังก์ชันจะเป็นกึ่งต่อเนื่องล่าง เสมอ ไบคอนจูเกต${\displaystyle f^{**}}$(คอนจูเกตเชิงนูนของคอนจูเกตเชิงนูน) ก็คือเปลือกเชิงนูนปิด กล่าวคือฟังก์ชันเชิงนูนกึ่งต่อเนื่องล่างที่ ใหญ่ที่สุดที่มี${\displaystyle f^{**}\leq f.}$ เพื่อให้การทำงานเป็นไปอย่างถูกต้อง${\displaystyle f,}$

${\displaystyle f=f^{**}}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle f}$เป็นฟังก์ชันนูนและกึ่งต่อเนื่องล่าง ตามทฤษฎีบทเฟนเชล-โมโร

อสมการเฟนเชล (ด้านล่าง) บ่งชี้ว่า${\displaystyle f^{**}\leq f}$กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น${\displaystyle f^{**}}$คือฟังก์ชันนูนกึ่งต่อเนื่องล่างที่ใหญ่ที่สุดที่ไม่เกิน${\displaystyle f}$ซึ่งมักถูกอธิบายว่าเป็นซองนูนปิดของ${\displaystyle f}$โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตามทฤษฎีบท Fenchel–Moreauฟังก์ชันที่เหมาะสมจะเท่ากับฟังก์ชันคู่ควบของมันก็ต่อเมื่อมันเป็นฟังก์ชันนูนและกึ่งต่อเนื่องล่าง^{[ 2 ] [ 3 ]}

สำหรับฟังก์ชันf ใดๆ และฟังก์ชันสังยุคแบบนูนf *ของ มัน อสมการของเฟนเชล (หรือที่รู้จักกันในชื่ออสมการเฟนเชล-ยัง ) จะเป็นจริงสำหรับทุกๆ${\displaystyle x\in X}$ และ${\displaystyle p\in X^{*}}$:

${\displaystyle \left\langle p,x\right\rangle \leq f(x)+f^{*}(p).}$

นอกจากนี้ ความเท่าเทียมกันจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle p\in \partial f(x)}$, ที่ไหน${\displaystyle \partial f(x)}$คือซับเกรเดียนต์การพิสูจน์เป็นไปตามนิยามของคอนจูเกตแบบนูน:${\displaystyle f^{*}(p)=\sup _{\tilde {x}}\left\{\langle p,{\tilde {x}}\rangle -f({\tilde {x}})\right\}\geq \langle p,x\rangle -f(x)}$

สำหรับสองฟังก์ชัน${\displaystyle f_{0}}$และ${\displaystyle f_{1}}$และจำนวนหนึ่ง${\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1}$ความสัมพันธ์ของความนูน

${\displaystyle \left((1-\lambda )f_{0}+\lambda f_{1}\right)^{*}\leq (1-\lambda )f_{0}^{*}+\lambda f_{1}^{*}}$

ถือครอง${\displaystyle {*}}$การดำเนินการนี้เป็นการแมปแบบนูนในตัวมันเอง

การสังเคราะห์เชิงอินฟิมัล (หรือผลรวมเอพิ) ของฟังก์ชันสองฟังก์ชัน${\displaystyle f}$และ${\displaystyle g}$ถูกกำหนดให้เป็น

${\displaystyle \left(f\operatorname {\Box } g\right)(x)=\inf \left\{f(xy)+g(y)\mid y\in \mathbb {R} ^{n}\right\}.}$

การดำเนินการ${\displaystyle \operatorname {\Box } }$เป็นสมมาตร (สลับที่ได้) และสมาคมได้ กล่าวคือ

${\displaystyle f\Box g=g\Box f,\qquad (f\Box g)\Box h=f\Box (g\Box h).}$

อนุญาต${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}}$ต้องเป็นฟังก์ชันที่เหมาะสมนูน และกึ่งต่อเนื่องล่าง บน${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$จากนั้นการสังเคราะห์อินฟิมัลจะเป็นแบบนูนและกึ่งต่อเนื่องล่าง (แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นแบบเหมาะสม) ^{[ 4 ]}และเป็นไปตาม

${\displaystyle \left(f_{1}\operatorname {\Box } \cdots \operatorname {\Box } f_{m}\right)^{*}=f_{1}^{*}+\cdots +f_{m}^{*},}$

หรือเทียบเท่ากัน

${\displaystyle \left(f_{1}+\cdots +f_{m}\right)^{*}=f_{1}^{*}\operatorname {\Box } \cdots \operatorname {\Box } f_{m}^{*},}$

ซึ่งแสดงถึงพฤติกรรมของการสังยุคแบบนูนโดยสัมพันธ์กับผลรวมของฟังก์ชัน

การสังเคราะห์อินฟิมัลของฟังก์ชันสองฟังก์ชันมีการตีความทางเรขาคณิต: เอพิกราฟ (ที่เข้มงวด) ของการสังเคราะห์อินฟิมัลของฟังก์ชันสองฟังก์ชันคือผลรวมมินคอฟสกีของเอพิกราฟ (ที่เข้มงวด) ของฟังก์ชันเหล่านั้น^{[ 5 ]}

ถ้าฟังก์ชัน${\displaystyle f}$ถ้าเมทริกซ์นั้นสามารถหาอนุพันธ์ได้ อนุพันธ์ของเมทริกซ์นั้นจะเป็นค่าอาร์กิวเมนต์สูงสุดในการคำนวณคอนจูเกตแบบนูน:

${\displaystyle f^{\prime }(x)=x^{*}(x):=\arg \sup _{x^{*}}{\langle x,x^{*}\rangle }-f^{*}\left(x^{*}\right)}$และ

${\displaystyle f^{{*}\prime }\left(x^{*}\right)=x\left(x^{*}\right):=\arg \sup _{x}{\langle x,x^{*}\rangle }-f(x);}$

เพราะฉะนั้น

${\displaystyle x=\nabla f^{*}\left(\nabla f(x)\right),}$

${\displaystyle x^{*}=\nabla f\left(\nabla f^{*}\left(x^{*}\right)\right),}$

และยิ่งไปกว่านั้น

${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)\cdot f^{{*}\prime \prime }\left(x^{*}(x)\right)=1,}$

${\displaystyle f^{{*}\prime \prime }\left(x^{*}\right)\cdot f^{\prime \prime }\left(x(x^{*})\right)=1.}$

ถ้าสำหรับบางคน${\displaystyle \gamma >0,}$${\displaystyle g(x)=\alpha +\beta x+\gamma \cdot f\left(\lambda x+\delta \right)}$, แล้ว

${\displaystyle g^{*}\left(x^{*}\right)=-\alpha -\delta {\frac {x^{*}-\beta }{\lambda }}+\gamma \cdot f^{*}\left({\frac {x^{*}-\beta }{\lambda \gamma }}\right).}$

อนุญาต${\displaystyle A:X\to Y}$ให้เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขตสำหรับฟังก์ชันนูนใดๆ${\displaystyle f}$บน${\displaystyle X,}$

${\displaystyle \left(Af\right)^{*}=f^{*}A^{*}}$

ที่ไหน

${\displaystyle (Af)(y)=\inf\{f(x):x\in X,Ax=y\}}$

เป็นภาพต้นแบบของ${\displaystyle f}$ในส่วนที่เกี่ยวกับ${\displaystyle A}$และ${\displaystyle A^{*}}$คือตัวดำเนินการผกผันของ${\displaystyle A.}$^{[ 6 ]}

ฟังก์ชันนูนปิด${\displaystyle f}$มีความสมมาตรเมื่อเทียบกับเซตที่กำหนด${\displaystyle G}$ของการแปลงเชิงเส้นตั้งฉาก

${\displaystyle f(Ax)=f(x)}$สำหรับทุกคน${\displaystyle x}$และทั้งหมด${\displaystyle A\in G}$

ก็ต่อเมื่อคอนจูเกตเชิงนูนของมันเท่านั้น${\displaystyle f^{*}}$มีความสมมาตรเมื่อเทียบกับ${\displaystyle G.}$