ในคณิตศาสตร์วิเคราะห์โดยเฉพาะสาขาย่อยของการวิเคราะห์เชิงนูนและการหาค่า เหมาะสมที่สุด ฟังก์ชันนูนที่เหมาะสมคือฟังก์ชันนูนค่าจริงแบบขยายที่มีโดเมนไม่ว่างเปล่าซึ่งไม่เคยมีค่าเท่ากับและไม่เท่ากับค่าเดิมโดยสมบูรณ์${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle +\infty .}$

ในการวิเคราะห์แบบนูนและการวิเคราะห์แบบแปรผัน โดยทั่วไปแล้วจะมีการหาจุด (ในโดเมน) ที่ฟังก์ชันที่กำหนดบางฟังก์ชัน มีค่าต่ำสุด โดยที่ ค่าของฟังก์ชันนั้นอยู่ในเส้นจำนวนจริงที่ขยาย^{[ 1 ]}จุดดังกล่าว หากมีอยู่ จะเรียกว่าจุดต่ำสุดทั่วโลกของฟังก์ชัน และค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้เรียกว่าค่าต่ำสุดทั่วโลก ( ค่า ) ของฟังก์ชัน หากฟังก์ชันมีค่าเป็นแสดงว่าค่าต่ำสุดทั่วโลกก็คือค่า เช่นกัน และปัญหาการหาค่าต่ำสุดสามารถหาคำตอบได้ นี่คือเหตุผลสำคัญที่นิยามของ " ฟังก์ชัน ที่เหมาะสม " กำหนดให้ฟังก์ชันต้องไม่มีค่าเป็น เลย สมมติเช่นนี้ หากโดเมนของฟังก์ชันว่างเปล่า หรือหากฟังก์ชันเท่ากับ อย่างสมบูรณ์ปัญหาการหาค่าต่ำสุดก็จะมีคำตอบทันที ฟังก์ชันค่าจริงที่ขยายซึ่งปัญหาการหาค่าต่ำสุดไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยกรณีง่ายๆ สามกรณีนี้ คือฟังก์ชันที่เรียกว่าฟังก์ชันที่เหมาะสมผลลัพธ์หลายอย่าง (แม้จะไม่ใช่ทั้งหมด) ที่สมมติฐานกำหนดให้ฟังก์ชันต้องเป็นฟังก์ชันที่เหมาะสม จะเพิ่มข้อกำหนดนี้โดยเฉพาะเพื่อยกเว้นกรณีง่ายๆ เหล่านี้ ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}.}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle +\infty }$

หากปัญหาเป็นปัญหาการหาค่าสูงสุด (ซึ่งจะระบุไว้อย่างชัดเจน เช่น ฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันเว้าแทนที่จะเป็นฟังก์ชันนูน) นิยามของคำว่า " เหมาะสม " จะถูกกำหนดในลักษณะที่คล้ายคลึงกัน (แม้ว่าในทางเทคนิคจะแตกต่างกัน) แต่มีเป้าหมายเดียวกัน คือ เพื่อยกเว้นกรณีที่สามารถหาคำตอบของปัญหาการหาค่าสูงสุดได้ทันที โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชันเว้าจะเรียกว่าเหมาะสมหากฟังก์ชัน ผกผันของมัน ซึ่งเป็นฟังก์ชันนูนนั้น เหมาะสมในความหมายที่กำหนดไว้ข้างต้น ${\displaystyle g}$${\displaystyle -g,}$

สมมติว่าเป็นฟังก์ชันที่รับค่าบนเส้นจำนวนจริงแบบขยาย ถ้าเป็นฟังก์ชันนูน หรือถ้า กำลังหาจุดต่ำสุดของ แล้ว เรียกว่าฟังก์ชันแท้ถ้า ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)>-\infty }$    สำหรับทุกๆ${\displaystyle x\in X}$

และถ้าหากมีจุดบาง จุดอยู่ด้วย เช่นกันที่ ${\displaystyle x_{0}\in X}$

${\displaystyle f\left(x_{0}\right)<+\infty .}$

กล่าวคือ ฟังก์ชันจะเหมาะสม ก็ต่อ เมื่อมันไม่เคยบรรลุค่าและโดเมนที่มีประสิทธิภาพ ของมัน ไม่ว่างเปล่า^{[ 2 ]} ซึ่งหมายความว่ามีอยู่บางค่าที่และก็ไม่เท่ากับฟังก์ชันนูนที่ไม่เหมาะสมเรียกว่าฟังก์ชันนูนที่ไม่เหมาะสม^{[ 3 ]}${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f(x)\in \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle -\infty .}$

ฟังก์ชันเว้าแท้คือ ฟังก์ชันใดๆ ที่มีคุณสมบัติว่าเป็นฟังก์ชันนูนแท้ กล่าวคือ ถ้า เป็นฟังก์ชันเว้า หรือถ้า กำลังหาจุดสูงสุดของ ฟังก์ชันเว้า แท้ จะเรียกว่าเป็นฟังก์ชันเว้าแท้ ก็ต่อ เมื่อโดเมนของมันไม่ว่างเปล่า มันไม่มีค่าเท่ากับและไม่เท่ากับ โดยสมบูรณ์${\displaystyle g:X\to [-\infty ,\infty ]}$${\displaystyle f:=-g}$${\displaystyle g:X\to [-\infty ,\infty ]}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle +\infty ,}$${\displaystyle -\infty .}$

สำหรับฟังก์ชันนูนแท้ทุกฟังก์ชันจะมีค่าและ บาง ค่าที่ทำให้ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to [-\infty ,\infty ],}$${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x)\geq x\cdot br}$

สำหรับทุกๆ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}.}$

ผลรวมของฟังก์ชันนูนที่เหมาะสมสองฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันนูน แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันนูนที่เหมาะสมเสมอไป^{[ 4 ]} ตัวอย่างเช่น ถ้าเซตและ เป็น เซตนูนที่ไม่ว่างในปริภูมิเวกเตอร์ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะและจะเป็นฟังก์ชันนูนที่เหมาะสม แต่ถ้าแล้วจะเท่ากับ${\displaystyle A\subset X}$${\displaystyle B\subset X}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle I_{A}}$${\displaystyle I_{B}}$${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$${\displaystyle I_{A}+I_{B}}$${\displaystyle +\infty .}$

การสังเคราะห์อินฟิมัลของฟังก์ชันนูนที่เหมาะสมสองฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันนูน แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันนูนที่เหมาะสม^{[ 5 ]}

• โดเมนที่มีประสิทธิภาพ