ในทางคณิตศาสตร์การยกกำลังซึ่งเขียนแทนด้วยb n ^{เป็นการ}ดำเนินการที่เกี่ยวข้องกับตัวเลขสองตัว ได้แก่ฐาน b และเลขชี้กำลังหรือกำลัง n [ 1 ] เมื่อ n เป็นจำนวนเต็ม^{บวกการ}ยกกำลังสอดคล้องกับการคูณฐานซ้ำๆนั่นคือb ⁿเป็นผลคูณของการคูณ^ฐาน nตัว: ^{[ 1 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง. $${\displaystyle b^{n}=\underbrace {b\times b\times \dots \times b\times b} _{n{\text{ times}}}.}$$${\displaystyle b^{1}=b}$

เลขชี้กำลังมักจะแสดงเป็นตัวยกทางด้านขวาของฐานเป็นb ⁿหรือในรหัสคอมพิวเตอร์เป็นการดำเนินการเลขฐานb^nสองนี้มักจะอ่านว่า " bยกกำลังn " หรืออาจเรียกว่า " bยก กำลัง n " " กำลัง nของb " ^{[ 2 ]}หรือโดยย่อที่สุดคือ " bยกกำลังn "

คำจำกัดความข้างต้นของคำว่า"ทันที" บ่งบอกถึงคุณสมบัติหลายประการ โดยเฉพาะอย่างยิ่งกฎการคูณ: ^{[ nb 1 ]} นั่นคือ เมื่อคูณฐานที่ยกกำลังหนึ่งกับฐานเดียวกันที่ยกกำลังอีกตัวหนึ่ง เลขชี้กำลังจะบวกกัน ${\displaystyle b^{n}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}b^{n}\times b^{m}&=\underbrace {b\times \dots \times b} _{n{\text{ times}}}\times \underbrace {b\times \dots \times b} _{m{\text{ times}}}\\[1ex]&=\underbrace {b\times \dots \times b} _{n+m{\text{ times}}}=b^{n+m}.\end{aligned}}}$$

การยกกำลังยังสามารถขยายไปถึงกำลังที่ไม่ใช่จำนวนเต็มบวกได้อีกด้วย เมื่อbไม่เป็นศูนย์ นิยาม จะสอดคล้องกับกฎการคูณ: . เหตุผลที่คล้ายกันนี้ชี้ให้เห็นถึงนิยาม สำหรับกำลังจำนวนเต็มลบ และโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับจำนวนb ใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ และยังรวมถึงนิยาม สำหรับกำลังเศษส่วน (เมื่อmและnเป็นจำนวนเต็มทั้งคู่) ตัวอย่างเช่นซึ่งหมายถึงซึ่งเป็นนิยามของรากที่สอง: . $${\displaystyle b^{0}=1}$$${\displaystyle b^{0}\times b^{n}=b^{0+n}=b^{n}}$$${\displaystyle b^{-n}=1/b^{n},}$$${\displaystyle b^{-1}={\frac {1}{b}}}$$${\displaystyle b^{n/m}={\sqrt[{m}]{b^{n}}}}$$${\displaystyle b^{1/2}\times b^{1/2}=b^{1/2+1/2}=b^{1}=b}$${\displaystyle (b^{1/2})^{2}=b}$${\displaystyle b^{1/2}={\sqrt {b}}}$

นิยามของการยกกำลังสามารถขยายได้อย่างเป็นธรรมชาติ (โดยคงกฎการคูณไว้) เพื่อกำหนดสำหรับฐานจำนวนจริงบวกใดๆและเลขชี้กำลังจำนวนจริงใดๆนิยามที่ซับซ้อนกว่านั้นอนุญาตให้ใช้ ฐานและเลขชี้กำลัง เชิงซ้อนรวมถึงเมทริกซ์ บางประเภท เป็นฐานหรือเลขชี้กำลังได้ ${\displaystyle b^{x}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle x}$

การยกกำลังถูก นำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในหลายสาขา รวมถึงเศรษฐศาสตร์ชีววิทยาเคมีฟิสิกส์และวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์โดยมีการประยุกต์ใช้ เช่นดอกเบี้ยทบต้น การ เติบโต ของประชากรจลนศาสตร์ปฏิกิริยาเคมีพฤติกรรมของคลื่นและ การเข้ารหัสลับ แบบกุญแจสาธารณะ

คำว่าexponentมาจากภาษาละตินexponentemซึ่งเป็นคำกริยาปัจจุบันของexponereหมายถึง "เสนอ" ^{[ 3 ]}คำว่าpower ( ภาษาละติน : potentia, potestas, dignitas ) เป็นการแปลผิด^{[ 4 ] [ 5 ]}ของภาษากรีกโบราณ δύναμις ( dúnamisในที่นี้: "การขยาย" ^{[ 4 ]} ) ที่ นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกยูคลิดใช้สำหรับกำลังสองของเส้นตรง^{[ 6 ]}ตามฮิปโปเครติสแห่งคิออส^{[ 7 ]}

คำว่าexponentถูกบัญญัติขึ้นในปี ค.ศ. 1544 โดยMichael Stifel [ ^{8 ] [ 9 ] ใน}ศตวรรษที่ 16 Robert Recordeใช้คำว่า "square", "cube", "zenzizenzic" ( กำลังสี่ ), "sursolid" ( กำลัง ห้า ), "zenzicube" ( กำลังหก ), "second sursolid" ( กำลังเจ็ด ) และ " zenzizenzizenzic " ( กำลังแปด ) ^{[ 10 ]}คำว่า "Biquadrate" ก็ถูกใช้เพื่ออ้างถึงกำลังสี่เช่นกัน

ในThe Sand Reckonerอาร์คิมิดีสพิสูจน์กฎของเลขยกกำลัง10 ^a · 10 ^b = 10 ^{a + b}ซึ่งจำเป็นต่อการจัดการกำลังของ10 ^{[ 11 ]}จากนั้นเขาใช้กำลังของ10เพื่อประมาณจำนวนเม็ดทรายที่สามารถบรรจุอยู่ในจักรวาล ได้

ในศตวรรษที่ 9 นักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียอัล-ควาริซมีใช้คำว่า مَال ( māl , "ทรัพย์สิน", "สมบัติ") สำหรับรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส —ชาวมุสลิม "เช่นเดียวกับนักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ในสมัยนั้นและสมัยก่อน คิดว่าจำนวนยกกำลังสองเป็นภาพแทนพื้นที่ โดยเฉพาะที่ดิน ดังนั้นจึงเรียกว่าสมบัติ" ^{[ 10 ]} —และ كَعْبَة ( Kaʿbah , "ลูกบาศก์") สำหรับลูกบาศก์ซึ่งต่อมา นักคณิตศาสตร์ อิสลามได้แสดงในรูปแบบสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์เป็นตัวอักษรmīm (m) และkāf (k) ตามลำดับ ในศตวรรษที่ 15 ดังที่เห็นได้ในงานของAbu'l-Hasan ibn Ali al-Qalasadi [ ^{12 ] นิ}โคลัส ชูเกต์ใช้รูปแบบสัญลักษณ์เลขยกกำลังในศตวรรษที่ 15 เช่น12 ²เพื่อแสดง12 x ^{2 [ 13 ]}ต่อมาเฮนริคัส กรัมมาเตอุสและไมเคิล สติเฟลได้ใช้สิ่งนี้ในศตวรรษที่ 16 ในช่วงปลายศตวรรษที่ 16 โจสต์ บูร์กีจะใช้เลขโรมันสำหรับเลขชี้กำลังในลักษณะที่คล้ายกับของชูเกต์ ตัวอย่างเช่นiii4สำหรับ4 x ^{3 [ 14 ]}​

ในปี ค.ศ. 1636 เจมส์ ฮูมได้ใช้สัญลักษณ์สมัยใหม่โดยพื้นฐาน เมื่อเขาเขียนA ⁱⁱⁱแทนA ³ ใน L'algèbre de Viète ^[ 15 ^]ในช่วงต้นศตวรรษที่ 17 รูปแบบแรกของสัญลักษณ์เลขยกกำลังสมัยใหม่ของเราได้รับการแนะนำโดยเรเน่ เดส์การ์ตในตำราของเขาชื่อ^La Géométrieโดยสัญลักษณ์นี้ได้รับการแนะนำในเล่มที่ 1 ^{[ 16 ]}

ฉันกำหนดให้ ... aaหรือa ²โดยการคูณaด้วยตัวเอง และa ³โดยการคูณมันอีกครั้งด้วยaและทำเช่นนี้ไปเรื่อยๆ จนถึงอนันต์

นักคณิตศาสตร์บางคน (เช่น เดส์การ์ต) ใช้เลขยกกำลังเฉพาะกับกำลังที่มากกว่าสองเท่านั้น โดยนิยมแสดงกำลังสองในรูปของการคูณซ้ำๆ ดังนั้นพวกเขาจึงเขียน^พหุนาม เช่นเป็นax² + bxx² + cx³ + d

ซามูเอล จีคได้แนะนำคำว่าดัชนีในปี ค.ศ. 1696 ^{[ 6 ]}คำว่าการผันกลับถูกใช้เป็นคำพ้องความหมายกับคำว่าดัชนีแต่การใช้งานลดลง^{[ 17 ]}และไม่ควรสับสนกับ ความ หมาย ทั่วไปของคำนี้

ในปี ค.ศ. 1748 เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ได้นำเสนอเลขชี้กำลังแบบแปรผัน และโดยปริยายก็คือเลขชี้กำลังที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม โดยเขียนไว้ว่า:

พิจารณาเลขชี้กำลังหรือกำลังที่เลขชี้กำลังเป็นตัวแปร เป็นที่ชัดเจนว่าปริมาณประเภทนี้ไม่ใช่ฟังก์ชันพีชคณิตเนื่องจากในฟังก์ชันเหล่านั้นเลขชี้กำลังต้องคงที่^{[ 18 ]}

เมื่อการคำนวณกลายเป็นระบบอัตโนมัติ สัญกรณ์จึงถูกปรับให้เข้ากับความสามารถเชิงตัวเลขโดยใช้แบบแผนในสัญกรณ์เลขยกกำลัง แนวคิดเชิงทฤษฎีของ การแสดงค่า แบบจุดลอยตัวนั้นเดิมทีได้รับการแนะนำโดยวิศวกรชาวสเปนLeonardo Torres Quevedoในหนังสือ Essays on Automatics ปี 1914 ของ เขา^{[ 19 ] [ 20 ]}ต่อมาในปี 1938วิศวกรชาวเยอรมันKonrad Zuseได้นำแนวคิดนี้ไปใช้จริงเป็นครั้งแรกในคอมพิวเตอร์ Z1 ของเขา^{[ 21 ]}ในการออกแบบของ Zuse รีจิสเตอร์หนึ่งตัวบรรจุการแสดงค่าของตัวเลขหลักนำ และอีกตัวหนึ่งบรรจุการแสดงค่าของเลขชี้กำลัง การแสดงค่า แบบจุดลอยตัวทศนิยม ที่ยืดหยุ่นกว่านั้น ได้รับการแนะนำในปี 1946 ด้วย คอมพิวเตอร์ ของ Bell Laboratoriesในที่สุดนักการศึกษาและวิศวกรก็นำสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ของตัวเลขมาใช้ ซึ่งสอดคล้องกับการอ้างอิงทั่วไปถึงลำดับขนาดในมาตราส่วนอัตราส่วน^{[ 21 ]}

ตัวอย่างเช่น ในปี พ.ศ. 2504 กลุ่มศึกษาคณิตศาสตร์โรงเรียนได้พัฒนาสัญลักษณ์ที่เชื่อมโยงกับหน่วยที่ใช้ในระบบเมตริก^{[ 22 ] [ 23 ]}

เลขยกกำลังยังถูกนำมาใช้เพื่ออธิบายหน่วยวัดและมิติของปริมาณตัวอย่างเช่น เนื่องจากแรงคือมวลคูณความเร่ง จึงวัดเป็น kg m/sec² ^โดยใช้ M แทนมวล L แทนความยาว และ T แทนเวลา นิพจน์ MLT⁻² ^จึงถูกใช้ในการวิเคราะห์มิติเพื่ออธิบายแรง^{[ 24 ] [ 25 ]}

สำนวนb² ⁼ b · bเรียกว่า " กำลังสองของb " หรือ " bกำลังสอง" เพราะพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาวb คือ b² (จริงอยู่ที่อาจเรียกว่า " b ยกกำลัง ^สอง " ก็ได้ แต่ "กำลังสองของb " และ " bกำลังสอง" เป็นที่นิยมมากกว่า)

ในทำนองเดียวกัน นิพจน์b³ = b · b · bเรียกว่า " ลูกบาศก์ของb " หรือ " b ยก กำลัง สาม ^{" เพราะปริมาตรของ ลูกบาศก์}ที่มีด้านยาวbคือb³

เมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวกเลขชี้กำลังนั้นจะบ่งบอกว่าฐานถูกคูณกันกี่ครั้ง ตัวอย่างเช่น3⁵ = ³ · 3 · 3 · 3 · 3 = 243ฐาน3ปรากฏ5ครั้งในการคูณ เพราะเลขชี้กำลังคือ5ในที่นี้243คือกำลังที่ 5 ของ 3หรือ3 ยกกำลัง 5

โดยปกติแล้ว คำว่า "raised" จะถูกละไว้ และบางครั้งก็อาจละคำว่า "power" ด้วย ดังนั้น3 ⁵จึงสามารถอ่านได้ง่ายๆ ว่า "3 ยกกำลัง 5" หรือ "3 ยกที่ 5"

การดำเนินการยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็มสามารถนิยามได้โดยตรงจากการดำเนินการทางคณิตศาสตร์พื้นฐาน

นิยามของการยกกำลังเป็นการคูณซ้ำๆ สามารถ^{กำหนด}เป็นทางการได้โดยใช้การเหนี่ยวนำ [ ^{26 ]}และนิยามนี้สามารถใช้ได้ทันทีที่มี การคูณ แบบสมาคม :

กรณีพื้นฐานคือ

${\displaystyle b^{1}=b}$

และการเกิดซ้ำคือ

${\displaystyle b^{n+1}=b^{n}\cdot b.}$

คุณสมบัติการสลับที่ของการคูณหมายความว่า สำหรับจำนวนเต็มบวกm และ n ใด ๆ

${\displaystyle b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n},}$

และ

${\displaystyle (b^{m})^{n}=b^{mn}.}$

ดังที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ จำนวน (ที่ไม่ใช่ศูนย์) ที่ยก กำลัง 0คือ1 : ^{[ 27 ] [ 1 ]}

${\displaystyle b^{0}=1.}$

ค่านี้ยังได้มาจากการใช้ หลักการ คูณแบบว่างเปล่าซึ่งสามารถใช้ได้ในโครงสร้างพีชคณิต ทุกแบบ ที่มีการคูณซึ่งมีเอกลักษณ์ด้วยวิธีนี้ สูตรจึงได้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n}}$

ใช้ได้กับกรณีนี้ด้วยเช่นกัน ${\displaystyle n=0}$

กรณีของ0 ⁰นั้นเป็นที่ถกเถียงกัน ในบริบทที่พิจารณาเฉพาะเลขยกกำลังจำนวนเต็มเท่านั้นโดยทั่วไปจะกำหนด ค่า 1 ให้กับ 0 ⁰แต่ในกรณีอื่นๆ การเลือกว่าจะกำหนดค่าให้กับมันหรือไม่ และจะกำหนดค่าใดนั้น อาจขึ้นอยู่กับบริบท

การยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังลบถูกกำหนดโดยเอกลักษณ์ต่อไปนี้ ซึ่งใช้ได้กับจำนวนเต็มn ใดๆ และb ที่ไม่ใช่ศูนย์ : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle b^{-n}={\frac {1}{b^{n}}}}$

การยก 0 ด้วยเลขชี้กำลังลบนั้นไม่มีนิยาม แต่ในบางกรณีอาจตีความได้ว่าเป็นอนันต์ ( ) ^{[ 28 ]}${\displaystyle \infty }$

นิยามของการยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังติดลบนี้เป็นนิยามเดียวที่อนุญาตให้ขยายเอกลักษณ์นี้ไปยังเลขชี้กำลังติดลบได้ (พิจารณากรณี) ${\displaystyle b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n}}$${\displaystyle m=-n}$

นิยามเดียวกันนี้ใช้ได้กับองค์ประกอบที่ผกผันได้ในโมโนอิด แบบคูณ ซึ่งก็คือโครงสร้างพีชคณิตที่มีการคูณแบบสมาคมและเอกลักษณ์การคูณที่ใช้สัญลักษณ์1 (ตัวอย่างเช่นเมทริกซ์จัตุรัสที่มีมิติที่กำหนด) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในโครงสร้างดังกล่าว ตัวผกผันขององค์ประกอบที่ผกผันได้xจะใช้สัญลักษณ์ เป็นมาตรฐาน${\displaystyle x^{-1}.}$

อัตลักษณ์ต่อไปนี้มักถูกเรียกว่ากฎเลขชี้กำลังใช้ได้กับเลขชี้กำลังจำนวนเต็มทั้งหมด โดยที่ฐานต้องไม่เป็นศูนย์: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}b^{m}\cdot b^{n}&=b^{m+n}\\\left(b^{m}\right)^{n}&=b^{m\cdot n}\\b^{n}\cdot c^{n}&=(b\cdot c)^{n}\end{aligned}}}$

ต่างจากการบวกและการคูณ การยกกำลังไม่สามารถสลับที่ได้เช่นแต่การสลับตัวดำเนินการจะให้ค่าที่แตกต่างกันนอกจากนี้ การยกกำลังยังไม่สามารถจัดกลุ่มได้ ต่างจากการบวกและการคูณ เช่น(2 ³ ) ² = 8 ² = 64ในขณะที่2 ^{(3 2 )} = 2 ⁹ = 512หากไม่มีวงเล็บ ลำดับการดำเนินการ ตามปกติ สำหรับการยกกำลังแบบอนุกรมในสัญกรณ์ตัวยกจะเป็นแบบบนลงล่าง (หรือ จัดกลุ่มทาง ขวา ) ไม่ใช่แบบล่างขึ้นบน (หรือ จัดกลุ่มทาง ซ้าย ) ^{[ 29 ] [ 30 ] [ 31 ]}นั่นคือ ${\displaystyle 2^{3}=8}$${\displaystyle 3^{2}=9}$

${\displaystyle b^{p^{q}}=b^{\left(p^{q}\right)},}$

ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะแตกต่างจาก

${\displaystyle \left(b^{p}\right)^{q}=b^{pq}.}$

โดยปกติแล้ว สามารถคำนวณกำลังของผลรวมได้จากกำลังของตัวเลขที่นำมาบวกกันโดยใช้สูตรทวินาม

${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}a^{i}b^{n-i}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {n!}{i!(n-i)!}}a^{i}b^{n-i}.}$

อย่างไรก็ตาม สูตรนี้จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อตัวบวกสลับที่ได้ (กล่าวคือab = ba ) ซึ่งเป็นไปโดยปริยายหากตัวบวกเหล่านั้นอยู่ในโครงสร้างที่สลับที่ได้มิฉะนั้น หากaและbเป็นเมทริกซ์จัตุรัสที่มีขนาดเท่ากัน สูตรนี้จะไม่สามารถใช้ได้ ดังนั้น ในพีชคณิตคอมพิวเตอร์ อัลกอริทึมหลายอย่าง ที่เกี่ยวข้องกับเลขชี้กำลังจำนวนเต็มจะต้องเปลี่ยนแปลงเมื่อฐานของเลขชี้กำลังไม่สลับที่ได้ ระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์อเนกประสงค์บางระบบใช้สัญลักษณ์ที่แตกต่างกัน (บางครั้ง ใช้ ^^แทน^ ) สำหรับการยกกำลังด้วยฐานที่ไม่สลับที่ได้ ซึ่งเรียกว่าการยกกำลังแบบไม่สลับที่ได้

สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบnและmค่าของn ^mคือจำนวนฟังก์ชันจากเซตที่ มีสมาชิก mตัวไปยังเซตที่มี สมาชิก nตัว (ดูการยกกำลังเชิงคาร์ดินัล ) ฟังก์ชันดังกล่าวสามารถแสดงได้ในรูป ของ ทูเปิลmตัวจาก เซตที่มีสมาชิก nตัว (หรือในรูป ของคำที่มีตัวอักษร m ตัวจาก ตัวอักษร nตัว) ตัวอย่างบางส่วนสำหรับค่าmและn ที่เฉพาะเจาะจง แสดงอยู่ในตารางต่อไปนี้:

ในระบบเลขฐานสิบ ( ทศนิยม ) เลขยกกำลังจำนวนเต็มของ10จะเขียนโดยใช้เลข1ตามด้วยหรือนำหน้าด้วยเลขศูนย์จำนวนหนึ่ง ซึ่งจำนวนศูนย์นั้นจะขึ้นอยู่กับเครื่องหมายและขนาดของเลขชี้กำลัง ตัวอย่างเช่น10 ³ =1000และ10 ⁻⁴ =0.0001​

การยกกำลังด้วยฐาน10ใช้ในสัญกรณ์วิทยาศาสตร์เพื่อแสดงจำนวนมากหรือน้อย ตัวอย่างเช่น299 792 458  เมตร/วินาที ( ความเร็วแสงในสุญญากาศ หน่วยเป็นเมตรต่อวินาที ) สามารถเขียนได้ดังนี้2.997 924 58 × 10 ⁸  ม./วินาทีแล้วประมาณค่าเป็น2.998 × 10⁸ ม ^.  /วินาที

คำนำหน้าหน่วย SIที่อิงตามกำลังของ10ยังใช้เพื่ออธิบายปริมาณน้อยหรือมากอีกด้วย ตัวอย่างเช่น คำนำหน้ากิโลหมายถึง ...10 ³ =1000ดังนั้นหนึ่งกิโลเมตรคือ1000เมตร

เลขยกกำลังลบตัวแรกของ2มีชื่อเรียกเฉพาะ: คือครึ่งหนึ่ง ; คือหนึ่งในสี่${\displaystyle 2^{-1}}$${\displaystyle 2^{-2}}$

กำลังของ2ปรากฏในทฤษฎีเซตเนื่องจากเซตที่มีสมาชิกn ตัว จะมี เซตกำลัง ซึ่งเป็นเซตของ เซตย่อยทั้งหมดของเซตนั้นซึ่งมีสมาชิก 2ⁿ ^ตัว

เลขยกกำลังจำนวนเต็มของ2มีความสำคัญในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เลขยกกำลังจำนวนเต็มบวก²ⁿให้จำนวนค่าที่เป็นไปได้สำหรับเลขฐานสองจำนวนเต็มn บิตตัวอย่างเช่นไบต์หนึ่งอาจมีค่าได้2⁸ = 256 ^ค่าที่แตกต่างกันระบบเลขฐานสองแสดงจำนวนใดๆ เป็นผลรวมของเลขยกกำลังของ2และแสดงเป็นลำดับของ0และ1คั่นด้วยจุดทศนิยมโดยที่1แสดงถึงเลขยกกำลังของ2ที่ปรากฏในผลรวม เลขชี้กำลังถูกกำหนดโดยตำแหน่งของ1 นี้ เลขชี้กำลังที่ไม่เป็นลบคือลำดับของ1ทางซ้ายของจุดทศนิยม (เริ่มจาก0 ) และเลขชี้กำลังที่เป็นลบถูกกำหนดโดยลำดับทางขวาของจุดทศนิยม

เลขยกกำลังทุกตัวของหนึ่งเท่ากับ: 1 ⁿ = 1 .

สำหรับเลขชี้กำลังบวกn > 0 กำลัง ที่nของศูนย์จะมีค่าเป็นศูนย์: 0 ⁿ = 0ส่วนสำหรับเลขชี้กำลังลบ ค่านี้หาไม่ได้ ${\displaystyle 0^{-n}=1/0^{n}=1/0}$

ในบางบริบท (เช่น คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง ) นิพจน์0 ⁰ถูกกำหนดให้เท่ากับ0 ในขณะที่ในบริบทอื่นๆ (เช่น คณิตศาสตร์เชิงวิเคราะห์ ) มักจะไม่มีนิยาม ${\displaystyle 1}$

เนื่องจากจำนวนลบคูณกับจำนวนลบอีกจำนวนหนึ่งจะได้ผลลัพธ์เป็นบวก ดังนั้นเราจึงได้ว่า:

${\displaystyle (-1)^{n}=\left\{{\begin{array}{rl}1&{\text{for even }}n,\\-1&{\text{for odd }}n.\\\end{array}}\right.}$

ด้วยเหตุนี้ กำลังของ−1จึงมีประโยชน์ในการแสดงลำดับ สลับ สำหรับการอภิปรายที่คล้ายกันเกี่ยวกับกำลังของจำนวนเชิงซ้อนiโปรดดูที่§ รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน

ลิมิตของลำดับกำลังของจำนวนที่มากกว่าหนึ่งจะลู่เข้าสู่ค่าอนันต์ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ลำดับนั้นจะเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขอบเขต

${\displaystyle b^{n}\rightarrow \infty {\text{ as }}n\rightarrow \infty {\text{ when }}b>1}$

สามารถอ่านได้ว่า " bยกกำลังnมีแนวโน้มเข้าสู่+∞เมื่อnมีแนวโน้มเข้าสู่อินฟินิตี้ ในกรณีที่bมากกว่าหนึ่ง"

เลขยกกำลังของจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าหนึ่งมักมีแนวโน้มเข้าใกล้ศูนย์:

${\displaystyle b^{n}\rightarrow 0{\text{ as }}n\rightarrow \infty {\text{ when }}\left|b\right|<1}$

เลขยกกำลังหนึ่งใดๆ ก็ตามย่อมเป็นหนึ่งเสมอ:

${\displaystyle b^{n}=1{\text{ for all }}n{\text{ for }}b=1}$

กำลังของจำนวนลบจะสลับกันระหว่างค่าบวกและค่าลบ เมื่อnสลับกันระหว่างจำนวนคู่และจำนวนคี่ ดังนั้นจึงไม่เข้าใกล้ค่าจำกัดใดๆ เมื่อnเพิ่มขึ้น ${\displaystyle b\leq -1}$

ถ้าจำนวนที่ยกกำลังเปลี่ยนแปลงไปเรื่อยๆ โดยมีแนวโน้มเข้าใกล้1เมื่อเลขชี้กำลังมีแนวโน้มเข้าใกล้อินฟินิตี้ ลิมิตนั้นก็ไม่จำเป็นต้องเป็นหนึ่งในกรณีข้างต้นเสมอไป กรณีที่สำคัญเป็นพิเศษคือ

${\displaystyle (1+{\frac {1}{n}})^{n}\rightarrow e{\text{ as }}n\rightarrow \infty }$

ดูหัวข้อ§ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังด้านล่าง

ข้อจำกัดอื่นๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งข้อจำกัดของนิพจน์ที่มีรูปแบบไม่แน่นอนจะอธิบายไว้ในหัวข้อ§ ข้อจำกัดของอำนาจด้านล่าง

ฟังก์ชันจริงในรูปแบบโดยที่บางครั้งเรียกว่าฟังก์ชันกำลัง^{[ 32 ]}เมื่อเป็นจำนวนเต็มและจะมีสองตระกูลหลักคือ สำหรับจำนวนคู่ และสำหรับจำนวนคี่ โดยทั่วไปสำหรับเมื่อเป็นจำนวนคู่จะมีแนวโน้มเข้าสู่ค่า อนันต์บวก เมื่อ เพิ่มขึ้นและมีแนวโน้มเข้าสู่ค่าอนันต์บวกเมื่อ ลดลงกราฟทั้งหมดจากตระกูลของฟังก์ชันกำลังคู่จะมีรูปร่างทั่วไปเป็น โดยจะแบนราบมากขึ้นตรงกลางเมื่อเพิ่มขึ้น^{[ 33 ]} ฟังก์ชันที่มี สมมาตรแบบนี้( )เรียกว่าฟังก์ชัน คู่${\displaystyle f(x)=cx^{n}}$${\displaystyle c\neq 0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f(x)=cx^{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y=cx^{2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f(-x)=f(x)}$

เมื่อเป็นจำนวนคี่ พฤติกรรม เชิงเส้นกำกับของจะกลับทิศทางจากบวกเป็นลบสำหรับก็จะโน้มเอียงไปสู่ค่า อนันต์บวก เมื่อ เพิ่มขึ้นแต่จะโน้มเอียงไปสู่ค่าอนันต์ลบเมื่อ ลดลงกราฟทั้งหมดจากตระกูลฟังก์ชันกำลังคี่จะมีรูปร่างทั่วไปเป็น โดยจะแบนราบมากขึ้นตรงกลางเมื่อเพิ่มขึ้น และจะสูญเสียความแบนราบทั้งหมดตรงนั้นในเส้นตรงเมื่อฟังก์ชันที่มีสมมาตรแบบนี้( )เรียกว่าฟังก์ชันคี่ ${\displaystyle n}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle f(x)=cx^{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y=cx^{3}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$

สำหรับกรณีนี้ พฤติกรรมเชิงอะซิมโทติกตรงกันข้ามจะเป็นจริงในแต่ละกรณี^{[ 33 ]}${\displaystyle c<0}$

ถ้าxเป็นจำนวนจริง ที่ไม่เป็นลบ และnเป็นจำนวนเต็มบวกหรือ หมายถึง รากที่nของxที่เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบเพียงตัวเดียวนั่นคือy เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบเพียงตัวเดียว ที่ทำให้${\displaystyle x^{1/n}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$${\displaystyle y^{n}=x.}$

ถ้าxเป็นจำนวนจริงบวก และ q เป็นจำนวนตรรกยะโดยที่pและq > 0เป็นจำนวนเต็ม แล้วจะนิยามได้ดังนี้ ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$${\textstyle x^{p/q}}$

${\displaystyle x^{\frac {p}{q}}=\left(x^{p}\right)^{\frac {1}{q}}=(x^{\frac {1}{q}})^{p}.}$

ความเท่าเทียมกันทางด้านขวาอาจได้มาจากการกำหนดและการเขียน${\displaystyle y=x^{\frac {1}{q}},}$${\displaystyle (x^{\frac {1}{q}})^{p}=y^{p}=\left((y^{p})^{q}\right)^{\frac {1}{q}}=\left((y^{q})^{p}\right)^{\frac {1}{q}}=(x^{p})^{\frac {1}{q}}.}$

ถ้าrเป็นจำนวนตรรกยะบวก จะได้ว่า0 ^r = 0ตามนิยาม

คำจำกัดความทั้งหมดนี้จำเป็นสำหรับการขยายเอกลักษณ์ไปสู่เลขชี้กำลังตรรกยะ ${\displaystyle (x^{r})^{s}=x^{rs}}$

ในทางกลับกัน การขยายนิยามเหล่านี้ไปยังฐานที่ไม่ใช่จำนวนจริงบวกก็มีปัญหาเช่นกัน ตัวอย่างเช่น จำนวนจริงลบจะมี รากที่ n เป็นจำนวนจริง ซึ่งจะเป็นลบถ้าnเป็นจำนวนคี่และไม่มีรากจริงถ้าnเป็นจำนวนคู่ ในกรณีหลังนี้ ไม่ว่าเราจะเลือกราก ที่ n ที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดมาใช้ใน เอกลักษณ์ ก็ จะไม่สามารถเป็นจริงได้ ตัวอย่างเช่น ${\displaystyle x^{\frac {1}{n}},}$${\displaystyle (x^{a})^{b}=x^{ab}}$

${\displaystyle \left((-1)^{2}\right)^{\frac {1}{2}}=1^{\frac {1}{2}}=1\neq (-1)^{2\cdot {\frac {1}{2}}}=(-1)^{1}=-1.}$

โปรดดูหัวข้อ § เลขชี้กำลังจริงและ§ เลขชี้กำลังที่ไม่ใช่จำนวนเต็มที่มีฐานเป็นจำนวนเชิงซ้อนสำหรับรายละเอียดเกี่ยวกับวิธีการแก้ปัญหาเหล่านี้

สำหรับจำนวนจริงบวก การยกกำลังด้วยกำลังจริงสามารถกำหนดได้สองวิธีที่เทียบเท่ากัน คือ โดยการขยายกำลังตรรกยะไปสู่จำนวนจริงโดยใช้ความต่อเนื่อง ( § ขีดจำกัดของเลขชี้กำลังตรรกยะด้านล่าง) หรือในรูปของลอการิทึมของฐานและฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ( § กำลังผ่านลอการิทึมด้านล่าง) ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนจริงบวกเสมอ และเอกลักษณ์และคุณสมบัติที่แสดงไว้ข้างต้นสำหรับเลขชี้กำลังจำนวนเต็มยังคงเป็นจริงกับคำจำกัดความเหล่านี้สำหรับเลขชี้กำลังจำนวนจริง คำจำกัดความที่สองใช้กันทั่วไปมากกว่า เนื่องจากสามารถขยายไปสู่เลขชี้กำลัง เชิงซ้อน ได้โดยตรง

ในทางกลับกัน การยกกำลังด้วยกำลังจริงของจำนวนจริงลบนั้นยากที่จะกำหนดได้อย่างสอดคล้องกัน เนื่องจากอาจไม่ใช่จำนวนจริงและมีค่าได้หลายค่า เราอาจเลือกค่าใดค่าหนึ่งในบรรดาค่าเหล่านั้น เรียกว่าค่าหลักแต่ไม่มีตัวเลือกใดสำหรับค่าหลักที่ทำให้เอกลักษณ์เป็นจริง

${\displaystyle \left(b^{r}\right)^{s}=b^{rs}}$

ถูกต้องแล้ว ดูหัวข้อ§ ความล้มเหลวของเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึมดังนั้น การยกกำลังด้วยฐานที่ไม่ใช่จำนวนจริงบวกโดยทั่วไปจึงถูกมองว่าเป็นฟังก์ชันหลายค่า

เนื่องจากจำนวนอตรรกยะ ใดๆ สามารถแสดงได้ใน รูปของ ลิมิตของลำดับของจำนวนตรรกยะ การยกกำลังของจำนวนจริงบวกbด้วยเลขชี้กำลังจริงx ใด ๆ สามารถกำหนดได้โดยใช้ความต่อเนื่องตามกฎ^{[ 34 ]}

${\displaystyle b^{x}=\lim _{r(\in \mathbb {Q} )\to x}b^{r}\quad (b\in \mathbb {R} ^{+},\,x\in \mathbb {R} ),}$

โดยที่ลิมิตนั้นหาได้จากค่าr ที่เป็นจำนวนตรรกยะ เท่านั้น ลิมิตนี้มีอยู่สำหรับทุกค่าb ที่เป็นบวก และทุกค่า x ที่เป็นจำนวนจริง

ตัวอย่างเช่น ถ้าx = πการแสดงผลแบบทศนิยมไม่รู้จบ π = 3.14159...และคุณสมบัติความเป็นเอกภาคของเลขยกกำลังตรรกยะ สามารถนำมาใช้สร้างช่วงที่ล้อมรอบด้วยเลขยกกำลังตรรกยะที่มีขนาดเล็กเท่าที่ต้องการได้ และต้องมีช่วงดังกล่าวอยู่ภายใน${\displaystyle b^{\pi }:}$

${\displaystyle \left[b^{3},b^{4}\right],\left[b^{3.1},b^{3.2}\right],\left[b^{3.14},b^{3.15}\right],\left[b^{3.141},b^{3.142}\right],\left[b^{3.1415},b^{3.1416}\right],\left[b^{3.14159},b^{3.14160}\right],\ldots }$

ดังนั้น ขอบเขตบนและขอบเขตล่างของช่วงจึงก่อให้เกิดลำดับ สองลำดับ ที่มีลิมิตเดียวกัน ซึ่งเขียนแทนด้วย${\displaystyle b^{\pi }.}$

สิ่งนี้กำหนดสำหรับค่าบวกb ทุกค่า และค่าจริงxให้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องของbและxดูเพิ่มเติมที่นิพจน์ที่กำหนดไว้อย่างดี^{[ 35 ]}${\displaystyle b^{x}}$

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังอาจนิยามได้เป็น โดยที่คือจำนวนของออยเลอร์แต่เพื่อหลีกเลี่ยงการให้เหตุผลแบบวนซ้ำเราจึงไม่สามารถใช้นิยามนี้ได้ที่นี่ ดังนั้น เราจึงให้นิยามที่เป็นอิสระของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและของ โดยอาศัยเพียงเลขชี้กำลังจำนวนเต็มบวก (การคูณซ้ำ) จากนั้นเราจะร่างบทพิสูจน์ว่านิยามนี้สอดคล้องกับนิยามก่อนหน้านี้:${\displaystyle x\mapsto e^{x},}$${\displaystyle e\approx 2.718}$${\displaystyle \exp(x),}$${\displaystyle e=\exp(1)}$${\displaystyle \exp(x)=e^{x}.}$

มีวิธีนิยามฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่เทียบเท่ากันได้หลายวิธีหนึ่งในนั้นคือ

${\displaystyle \exp(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$

มีและเอกลักษณ์เลขยกกำลัง (หรือกฎการคูณ) ก็ยังคงใช้ได้เช่นกัน เนื่องจาก ${\displaystyle \exp(0)=1,}$${\displaystyle \exp(x)\exp(y)=\exp(x+y)}$

${\displaystyle \exp(x)\exp(y)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}\left(1+{\frac {y}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x+y}{n}}+{\frac {xy}{n^{2}}}\right)^{n},}$

และพจน์อันดับสองไม่มีผลต่อลิมิต ทำให้ได้ผลลัพธ์เป็น. ${\displaystyle {\frac {xy}{n^{2}}}}$${\displaystyle \exp(x)\exp(y)=\exp(x+y)}$

จำนวนของออยเลอร์สามารถนิยามได้เป็น โดยจากสมการข้างต้น จะได้ว่าเมื่อxเป็นจำนวนเต็ม (ซึ่งเป็นผลมาจากนิยามการคูณซ้ำของการยกกำลัง) ถ้าxเป็นจำนวนจริงจะได้มาจากนิยามที่ให้ไว้ในส่วนก่อนหน้า โดยใช้เอกลักษณ์เลขชี้กำลังถ้าxเป็นจำนวนตรรกยะ และความต่อเนื่องของฟังก์ชันเลขชี้กำลังในกรณีอื่น ๆ ${\displaystyle e=\exp(1)}$${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$

ลิมิตที่กำหนดฟังก์ชันเลขชี้กำลังนั้นลู่เข้าสำหรับค่าเชิงซ้อน x ทุกค่าดังนั้นจึงสามารถนำไปใช้ขยายนิยามของฟังก์ชันเลขชี้กำลังได้และจากจำนวนจริงไปยังอาร์กิวเมนต์เชิงซ้อนz ใดๆ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่ขยายแล้วนี้ยังคงสอดคล้องกับเอกลักษณ์เลขชี้กำลัง และมักใช้ในการกำหนดนิยามการยกกำลังสำหรับฐานและเลขชี้กำลังเชิงซ้อน ${\displaystyle \exp(z)}$${\displaystyle e^{z},}$

นิยามของe ^xในรูปของฟังก์ชันเลขชี้กำลังทำให้สามารถกำหนดb ^xสำหรับจำนวนจริงบวก b ทุกตัวได้ โดยใช้รูปของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและ ฟังก์ชัน ลอการิทึมโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ข้อเท็จจริงที่ว่าลอการิทึมธรรมชาติln( x )เป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลังe ^xหมายความว่าเรามี

${\displaystyle b=\exp(\ln b)=e^{\ln b}}$

สำหรับทุกb > 0เพื่อรักษาเอกลักษณ์จะต้องมี ${\displaystyle (e^{x})^{y}=e^{xy},}$

${\displaystyle b^{x}=\left(e^{\ln b}\right)^{x}=e^{x\ln b}}$

ดังนั้น จึงสามารถใช้เป็นนิยามทางเลือกของb ^xสำหรับจำนวนจริงบวกb ใดๆ ได้ ซึ่งสอดคล้องกับนิยามที่ให้ไว้ข้างต้นโดยใช้เลขชี้กำลังตรรกยะและความต่อเนื่อง โดยมีข้อดีคือสามารถขยายไปยังเลขชี้กำลังเชิงซ้อนใดๆ ได้โดยตรง ${\displaystyle e^{x\ln b}}$

ถ้าbเป็นจำนวนจริงบวก การยกกำลังด้วยฐานbและเลขชี้กำลังเชิงซ้อนzจะถูกกำหนดโดยใช้ฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีอาร์กิวเมนต์เป็นจำนวนเชิงซ้อน (ดูตอนท้ายของหัวข้อ§ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังด้านบน) ดังนี้

${\displaystyle b^{z}=e^{(z\ln b)},}$

โดยที่หมายถึงลอการิทึม ธรรมชาติของb${\displaystyle \ln b}$

สิ่งนี้สอดคล้องกับเอกลักษณ์

${\displaystyle b^{z+t}=b^{z}b^{t},}$

โดยทั่วไปแล้ว ไม่สามารถนิยามได้ เนื่องจากb ^zไม่ใช่จำนวนจริง หากกำหนดความหมายให้กับการยกกำลังของจำนวนเชิงซ้อน (ดูหัวข้อ§ เลขชี้กำลังที่ไม่ใช่จำนวนเต็มที่มีฐานเป็นจำนวนเชิงซ้อนด้านล่าง) โดยทั่วไปแล้วจะได้ ${\textstyle \left(b^{z}\right)^{t}}$

${\displaystyle \left(b^{z}\right)^{t}\neq b^{zt},}$

เว้นแต่ว่าzเป็นจำนวนจริงหรือtเป็นจำนวนเต็ม

สูตรของออยเลอร์

${\displaystyle e^{iy}=\cos y+i\sin y,}$

อนุญาตให้แสดงรูปแบบเชิงขั้วของ z ในรูปของส่วนจริงและส่วนจินตนาการของzกล่าวคือ ${\displaystyle b^{z}}$

${\displaystyle b^{x+iy}=b^{x}(\cos(y\ln b)+i\sin(y\ln b)),}$

โดยที่ค่าสัมบูรณ์ของ ตัวประกอบ ตรีโกณมิติเท่ากับหนึ่ง ซึ่งเป็นผลมาจาก

${\displaystyle b^{x+iy}=b^{x}b^{iy}=b^{x}e^{iy\ln b}=b^{x}(\cos(y\ln b)+i\sin(y\ln b)).}$

ในส่วนก่อนหน้านี้ การยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ใช่จำนวนเต็มได้ถูกนิยามไว้สำหรับฐานจำนวนจริงบวกเท่านั้น สำหรับฐานอื่นๆ ความยากลำบากจะปรากฏขึ้นตั้งแต่กรณีที่ดูเหมือนง่ายอย่างรากที่nนั่นคือ เลขชี้กำลังที่nเป็นจำนวนเต็มบวก แม้ว่าทฤษฎีทั่วไปของการยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ใช่จำนวนเต็มจะใช้ได้กับ รากที่ nแต่กรณีนี้สมควรได้รับการพิจารณาก่อน เนื่องจากไม่จำเป็นต้องใช้ลอการิทึมเชิงซ้อนและจึงเข้าใจได้ง่ายกว่า ${\displaystyle 1/n,}$

จำนวนเชิงซ้อนz ที่ไม่ใช่ศูนย์ทุกตัว สามารถเขียนในรูปเชิงขั้วได้ดังนี้

${\displaystyle z=\rho e^{i\theta }=\rho (\cos \theta +i\sin \theta ),}$

โดยที่คือค่าสัมบูรณ์ของzและคืออาร์กิวเมนต์ ของมัน อาร์กิวเมนต์ถูกกำหนดไว้จนถึงจำนวนเต็มทวีคูณของ2πซึ่งหมายความว่า ถ้าคืออาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน แล้วก็จะเป็นอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนเดียวกันนั้นสำหรับทุกจำนวนเต็มด้วย ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta +2k\pi }$${\displaystyle k}$

รูปแบบเชิงขั้วของผลคูณของจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวนได้มาจากการคูณค่าสัมบูรณ์และบวกค่าตัวแปร ดังนั้น รูปแบบเชิงขั้วของรากที่nของจำนวนเชิงซ้อนจึงสามารถหาได้โดยการหา รากที่ nของค่าสัมบูรณ์และหารค่าตัวแปรด้วยn :

${\displaystyle \left(\rho e^{i\theta }\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{\rho }}\,e^{\frac {i\theta }{n}}.}$

ถ้าเพิ่มเข้าไปในจำนวนเชิงซ้อน จำนวนเชิงซ้อนจะไม่เปลี่ยนแปลง แต่จะเพิ่มเข้าไปในอาร์กิวเมนต์ของรากที่nและให้ รากที่ n ใหม่ สามารถทำซ้ำได้nครั้ง ( ) และให้รากที่n ทั้ง nรากของจำนวนเชิงซ้อน: ${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle 2i\pi /n}$${\displaystyle k=0,1,...,n-1}$

${\displaystyle \left(\rho e^{i(\theta +2k\pi )}\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{\rho }}\,e^{\frac {i(\theta +2k\pi )}{n}}.}$

โดยทั่วไปแล้ว เรามักจะเลือกหนึ่งในรากที่n ของจำนวน nรากเป็นรากหลักที่นิยมใช้กันคือ การเลือกรากที่n ที่มีส่วนจริงมากที่สุด และถ้ามีสองราก ก็จะเลือกรากที่มีส่วนจินตนาการเป็นบวก วิธีนี้ทำให้รากที่nหลักเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องในระนาบเชิงซ้อนทั้งหมด ยกเว้นค่าจริงที่เป็นลบของตัวเลขใต้รากฟังก์ชันนี้จะเท่ากับ รากที่ n ปกติ สำหรับตัวเลขจริงที่เป็นบวก สำหรับตัวเลขจริงที่เป็นลบและเลขชี้กำลังเป็นคี่ รากที่ n หลัก จะไม่ใช่จำนวนจริง แม้ว่ารากที่n ปกติจะเป็นจำนวนจริงก็ตาม การต่อยอดเชิงวิเคราะห์แสดงให้เห็นว่า รากที่ nหลักเป็น ฟังก์ชัน เชิงซ้อนที่หาอนุพันธ์ได้ เพียงฟังก์ชันเดียวที่ขยายรากที่ nปกติไปยังระนาบเชิงซ้อนโดยไม่รวมจำนวนจริงที่ไม่เป็นบวก ${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi ,}$

ถ้าจำนวนเชิงซ้อนถูกเลื่อนไปรอบ ๆ ศูนย์โดยการเพิ่มค่าอาร์กิวเมนต์ หลังจากเพิ่มค่าแล้วจำนวนเชิงซ้อนจะกลับมาอยู่ที่ตำแหน่งเริ่มต้น และรากที่n ของมันจะถูก สลับตำแหน่งแบบวงกลม (โดยการคูณด้วยn) สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าไม่สามารถกำหนด ฟังก์ชันรากที่ nที่ต่อเนื่องในระนาบเชิงซ้อนทั้งหมดได้ ${\displaystyle 2\pi ,}$$e^{2i\pi /n}$

ราก ที่nของเอกภาพ คือ จำนวนเชิงซ้อน ที่ มี คุณสมบัติ${\displaystyle n}$ว่า โดยที่เป็นจำนวนเต็ม${\displaystyle \omega ^{n}=1}$บวกจำนวนเชิงซ้อน${\displaystyle n}$เหล่านี้ปรากฏในสาขาคณิตศาสตร์ต่างๆ เช่น ในการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องหรือในการแก้สมการพีชคณิต ( ตัวผกผันของลากรางจ์ )

ราก ที่nของเอกภาพคือ เลขชี้กำลัง แรกของnนั่นคือn ${\displaystyle n}$, n , n , ... , ...ราก ที่ nของเอกภาพที่มีคุณสมบัติการก่อกำเนิดนี้เรียกว่ารากที่n ของเอกภาพ ดั้งเดิม ซึ่งมีรูปแบบเป็น k = n + n + ... โดยที่kเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับn รากที่สองของเอกภาพดั้งเดิมเพียงหนึ่งเดียวคือ ...และรากที่สี่ของเอกภาพดั้งเดิมคือ ...${\displaystyle \omega =e^{2\pi i/n}}$${\displaystyle 1=\omega ^{0}=\omega ^{n}}$${\displaystyle \omega =\omega ^{1}}$${\displaystyle \omega ^{2}}$${\displaystyle \omega ^{n-1}}$${\displaystyle \omega ^{k}=e^{2k\pi i/n}}$${\displaystyle -1;}$${\displaystyle i}$${\displaystyle -i}$

ราก ที่ nของเอกภาพช่วยให้สามารถแสดง รากที่ n ทั้งหมด ของจำนวนเชิงซ้อนzในรูป ผลคูณ n ครั้ง ของรากที่ n ของ z ที่กำหนดให้กับรากที่ n ของเอกภาพ

ในทางเรขาคณิต รากที่nของเอกภาพจะอยู่บนวงกลมหน่วยของระนาบเชิงซ้อนณ จุดยอดของรูป หลาย เหลี่ยม ด้านเท่า nด้านโดยมีจุดยอดหนึ่งอยู่บนจำนวนจริง 1

เนื่องจากจำนวนดัง กล่าวเป็นรากที่ nดั้งเดิม ของเอกภาพที่มี อาร์กิวเมนต์บวกที่เล็กที่สุดจึงเรียกว่า รากที่ nดั้งเดิมหลักของเอกภาพบางครั้งย่อเป็น ราก ที่nหลักของเอกภาพแม้ว่าคำศัพท์นี้อาจทำให้สับสนกับค่าหลักของซึ่งคือ 1 ก็ตาม^{[ 36 ] [ 37 ] [ 38 ]}${\displaystyle e^{2k\pi i/n}}$${\displaystyle 1^{1/n}}$

การกำหนดนิยามของการยกกำลังด้วยฐานจำนวนเชิงซ้อนนำไปสู่ความยากลำบากที่คล้ายคลึงกับที่อธิบายไว้ในหัวข้อก่อนหน้า ยกเว้นว่าโดยทั่วไปแล้วจะมีค่าที่เป็นไปได้สำหรับ z มากมายนับไม่ถ้วนดังนั้นจึง ต้องกำหนด ค่าหลักซึ่งไม่ต่อเนื่องสำหรับค่าzที่เป็นจำนวนจริงและไม่เป็นบวก หรือกำหนดให้เป็นฟังก์ชันหลายค่า $z^{w}$$z^{w}$

ในทุกกรณีจะใช้ ลอการิทึมเชิงซ้อน เพื่อกำหนดการยกกำลังเชิงซ้อนดังนี้

${\displaystyle z^{w}=e^{w\log z},}$

โดยที่ตัวแปรของลอการิทึมเชิงซ้อนที่ใช้นั้นเป็นฟังก์ชันหรือฟังก์ชันหลายค่าเช่น ${\displaystyle \log z}$

${\displaystyle e^{\log z}=z}$

สำหรับทุกค่าzในโดเมนนิยาม ของ มัน

ค่าหลักของลอการิทึมเชิงซ้อนคือฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์โดยที่สำหรับจำนวนเชิงซ้อนzที่ ไม่ใช่ศูนย์ทุกตัว${\displaystyle \log ,}$

${\displaystyle e^{\log z}=z,}$

และอาร์กิวเมนต์ของzเป็นไปตามเงื่อนไข

${\displaystyle -\pi <\operatorname {Arg} z\leq \pi .}$

ค่าหลักของลอการิทึมเชิงซ้อนไม่สามารถนิยามได้ เนื่องจากมันไม่ต่อเนื่องที่ค่าจริงลบของzและมันเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก (กล่าวคือ สามารถหาอนุพันธ์เชิงซ้อนได้) ที่อื่น ๆ ถ้าzเป็นจำนวนจริงและเป็นบวก ค่าหลักของลอการิทึมเชิงซ้อนคือลอการิทึมธรรมชาติ${\displaystyle z=0,}$${\displaystyle \log z=\ln z.}$

ค่าหลักของถูกกำหนดให้เป็น โดย ที่คือค่าหลักของลอการิทึม ${\displaystyle z^{w}}$${\displaystyle z^{w}=e^{w\log z},}$${\displaystyle \log z}$

ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก ยกเว้นในบริเวณใกล้เคียงจุดที่zเป็นจำนวนจริงและไม่เป็นบวก ${\displaystyle (z,w)\to z^{w}}$

ถ้าzเป็นจำนวนจริงและเป็นบวก ค่าหลักของ z จะเท่ากับค่าปกติที่กำหนดไว้ข้างต้น ถ้าn เป็น จำนวนเต็มค่าหลักนี้จะเหมือนกับค่าที่กำหนดไว้ข้างต้น ${\displaystyle z^{w}}$${\displaystyle w=1/n,}$

ในบางบริบท อาจมีปัญหาเรื่องความไม่ต่อเนื่องของค่าหลักของและที่ค่าจริงลบของzในกรณีนี้ การพิจารณาฟังก์ชันเหล่านี้ว่าเป็นฟังก์ชันหลายค่าจะ เป็นประโยชน์${\displaystyle \log z}$${\displaystyle z^{w}}$

ถ้าแทนค่าหนึ่งของลอการิทึมหลายค่า (โดยทั่วไปคือค่าหลัก) ค่าอื่นๆ จะเป็นโดยที่kเป็นจำนวนเต็มใดๆ ในทำนองเดียวกัน ถ้าเป็นค่าหนึ่งของเลขยกกำลัง ค่าอื่นๆ จะกำหนดโดย ${\displaystyle \log z}$${\displaystyle 2ik\pi +\log z,}$${\displaystyle z^{w}}$

${\displaystyle e^{w(2ik\pi +\log z)}=z^{w}e^{2ik\pi w},}$

โดยที่kเป็นจำนวนเต็มใดๆ

ค่าk ที่แตกต่างกัน จะให้ค่าที่แตกต่างกันเว้นแต่ว่าwจะเป็นจำนวนตรรกยะนั่นคือ มีจำนวนเต็มdที่ทำให้dwเป็นจำนวนเต็ม ซึ่งเป็นผลมาจากความเป็นคาบของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง โดยเฉพาะอย่างยิ่งก็ต่อเมื่อเป็นจำนวนเต็มคูณของ${\displaystyle z^{w}}$${\displaystyle e^{a}=e^{b}}$${\displaystyle a-b}$${\displaystyle 2\pi i.}$

ถ้าเป็นจำนวนตรรกยะที่มีmและn เป็นจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวหารร่วมกับแล้วจะมีค่าเพียงn ค่าเท่านั้น ในกรณีนี้ค่าเหล่านี้จะเหมือนกับค่าที่อธิบายไว้ในหัวข้อ§ รากที่ nของจำนวนเชิงซ้อนถ้าwเป็นจำนวนเต็ม จะมีเพียงค่าเดียวที่ตรงกับค่าในหัวข้อ§ เลขชี้กำลังจำนวนเต็ม${\displaystyle w={\frac {m}{n}}}$${\displaystyle n>0,}$${\displaystyle z^{w}}$${\displaystyle m=1,}$

การยกกำลังแบบหลายค่าเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกในแง่ที่ว่ากราฟ ของมัน ประกอบด้วยแผ่นหลายแผ่นซึ่งแต่ละแผ่นกำหนดฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกในบริเวณใกล้เคียงของทุกจุด ถ้าzเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องตามวงกลมรอบ0แล้ว หลังจากหมุนไปหนึ่งรอบ ค่าของแผ่นนั้นจะเปลี่ยนไป ${\displaystyle z\neq 0,}$${\displaystyle z^{w}}$

รูปแบบมาตรฐาน ของสามารถคำนวณได้จากรูปแบบมาตรฐานของzและwแม้ว่าจะสามารถอธิบายได้ด้วยสูตรเดียว แต่การแบ่งการคำนวณออกเป็นหลายขั้นตอนจะทำให้เข้าใจได้ชัดเจนยิ่งขึ้น ${\displaystyle x+iy}$${\displaystyle z^{w}}$

• รูปแบบเชิงขั้วของzถ้าเป็นรูปแบบมาตรฐานของ z (โดยที่ aและ bเป็นจำนวนจริง) แล้วรูปแบบเชิงขั้วของมันคือโดยที่และโดยที่คือฟังก์ชันอาร์คแทงเจนต์สองอาร์กิวเมนต์${\displaystyle z=a+ib}$$${\displaystyle z=\rho e^{i\theta }=\rho (\cos \theta +i\sin \theta ),}$$${\textstyle \rho ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$${\displaystyle \theta =\operatorname {atan2} (b,a)}$${\displaystyle \operatorname {atan2} }$
• ลอการิทึมของzค่าหลักของลอการิทึมนี้คือโดยที่แทนลอการิทึมธรรมชาติค่าอื่นๆ ของลอการิทึมได้มาจากการบวกสำหรับจำนวนเต็ม k ใด ๆ${\displaystyle \log z=\ln \rho +i\theta ,}$${\displaystyle \ln }$${\displaystyle 2ik\pi }$
• รูปแบบมาตรฐานของ${\displaystyle w\log z.}$ถ้าcและdเป็นจำนวนจริง ค่าของคือค่าหลักที่สอดคล้องกับ${\displaystyle w=c+di}$${\displaystyle w\log z}$$${\displaystyle w\log z=(c\ln \rho -d\theta -2dk\pi )+i(d\ln \rho +c\theta +2ck\pi ),}$$${\displaystyle k=0.}$
• ผลลัพธ์สุดท้ายโดยใช้เอกลักษณ์ต่างๆจะได้ค่าหลักดังนี้${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y}}$${\displaystyle e^{y\ln x}=x^{y},}$$${\displaystyle z^{w}=\rho ^{c}e^{-d(\theta +2k\pi )}\left(\cos(d\ln \rho +c\theta +2ck\pi )+i\sin(d\ln \rho +c\theta +2ck\pi )\right),}$$${\displaystyle k=0}$

• ${\displaystyle i^{i}}$ รูปแบบเชิงขั้วของiคือและค่าของจึงเป็นดังนี้ดังนั้นค่าทั้งหมดของ จึงเป็นจำนวนจริง โดยค่าหลักคือ${\displaystyle i=e^{i\pi /2},}$${\displaystyle \log i}$$${\displaystyle \log i=i\left({\frac {\pi }{2}}+2k\pi \right).}$$$${\displaystyle i^{i}=e^{i\log i}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}e^{-2k\pi }.}$$${\displaystyle i^{i}}$$${\displaystyle e^{-{\frac {\pi }{2}}}\approx 0.2079.}$$
• ${\displaystyle (-2)^{3+4i}}$ในทำนองเดียวกัน รูปแบบเชิงขั้วของ−2คือดังนั้น วิธีที่อธิบายไว้ข้างต้นจะให้ค่าในกรณีนี้ ค่าทั้งหมดมีอาร์กิวเมนต์เดียวกันแต่มีค่าสัมบูรณ์ต่างกัน${\displaystyle -2=2e^{i\pi }.}$$${\displaystyle {\begin{aligned}(-2)^{3+4i}&=2^{3}e^{-4(\pi +2k\pi )}(\cos(4\ln 2+3(\pi +2k\pi ))+i\sin(4\ln 2+3(\pi +2k\pi )))\\&=-2^{3}e^{-4(\pi +2k\pi )}(\cos(4\ln 2)+i\sin(4\ln 2)).\end{aligned}}}$$${\displaystyle 4\ln 2,}$

ในทั้งสองตัวอย่าง ค่าทั้งหมดของมีอาร์กิวเมนต์เดียวกัน โดยทั่วไปแล้ว ข้อนี้จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อส่วนจริงของwเป็นจำนวนเต็ม ${\displaystyle z^{w}}$

เอกลักษณ์บางอย่างสำหรับเลขยกกำลังและลอการิทึมของจำนวนจริงบวก จะใช้ไม่ได้กับจำนวนเชิงซ้อน ไม่ว่าเลขยกกำลังเชิงซ้อนและลอการิทึมเชิงซ้อนจะถูกนิยามว่าเป็นฟังก์ชันค่าเดียวอย่างไรก็ตาม ตัวอย่างเช่น:

ถ้าb เป็น จำนวนพีชคณิตจริงบวก และxเป็นจำนวนตรรกยะ แล้วb ^xก็เป็นจำนวนพีชคณิตด้วย นี่เป็นผลมาจากทฤษฎีส่วนขยายพีชคณิต ข้อเท็จจริง นี้ยังคงเป็นจริงหากbเป็นจำนวนพีชคณิตใดๆ ก็ตาม ในกรณีนี้ ค่าทั้งหมดของb ^x (ในฐานะฟังก์ชันหลายค่า ) จะเป็นจำนวนพีชคณิต ถ้าxเป็นจำนวนอตรรกยะ (นั่นคือไม่ใช่จำนวนตรรกยะ ) และทั้งbและxเป็นจำนวนพีชคณิต ทฤษฎีบทของ Gelfond–Schneider กล่าวว่า ค่าทั้งหมดของb ^xเป็นจำนวนอดิศัย (นั่นคือ ไม่ใช่จำนวนพีชคณิต) ยกเว้นในกรณีที่ bเท่ากับ0หรือ1

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ถ้าxเป็นจำนวนอตรรกยะแล้วอย่างน้อยหนึ่งในb , xและb ^xจะเป็นจำนวนอดิศัย ${\displaystyle b\not \in \{0,1\},}$

นิยามของการยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็มบวกเป็นการคูณซ้ำๆ อาจใช้ได้กับการดำเนินการแบบสมาคม ใดๆ ที่แสดงเป็นการคูณ^{[ nb 2 ]}นิยามของx ⁰ยังต้องการการมีอยู่ของเอกลักษณ์การคูณอีก ด้วย ^{[ 40 ]}

โครงสร้างพีชคณิตที่ประกอบด้วยเซตพร้อมกับการดำเนินการแบบสมาคมที่แสดงด้วยการคูณ และเอกลักษณ์การคูณที่แสดงด้วย1เรียกว่าโมโนอิดในโมโนอิดดังกล่าว การยกกำลังของสมาชิกxถูกกำหนดแบบอุปนัยโดย

• ${\displaystyle x^{0}=1,}$
• ${\displaystyle x^{n+1}=xx^{n}}$สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบทุกจำนวนn

ถ้าnเป็นจำนวนเต็มลบจะถูกกำหนดก็ต่อเมื่อxมีตัวผกผันการคูณเท่านั้น^{[ 41 ]}ในกรณีนี้ ตัวผกผันของxจะถูกแทนด้วยx ⁻¹และx ⁿจะถูกกำหนดเป็น${\displaystyle x^{n}}$${\displaystyle \left(x^{-1}\right)^{-n}.}$

การยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็มเป็นไปตามกฎต่อไปนี้ สำหรับxและyในโครงสร้างพีชคณิต และmและnเป็นจำนวนเต็ม:

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{0}&=1\\x^{m+n}&=x^{m}x^{n}\\(x^{m})^{n}&=x^{mn}\\(xy)^{n}&=x^{n}y^{n}\quad {\text{if }}xy=yx,{\text{and, in particular, if the multiplication is commutative.}}\end{aligned}}}$

คำจำกัดความเหล่านี้ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในหลายสาขาของคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับกลุ่มวงแหวนฟิลด์และ เมท ริกซ์จัตุรัส (ซึ่งประกอบเป็นวงแหวน) นอกจากนี้ยังใช้ได้กับฟังก์ชันจากเซตไปยังตัวมันเอง ซึ่งประกอบเป็นโมโนอิดภายใต้การประกอบฟังก์ชันซึ่งรวมถึงตัวอย่างเฉพาะ เช่นการแปลงทางเรขาคณิตและเอนโดมอร์ฟิซึมของโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ใด ๆ

เมื่อมีการดำเนินการหลายอย่างที่อาจทำซ้ำได้ เป็นเรื่องปกติที่จะระบุการดำเนินการที่ทำซ้ำโดยการวางสัญลักษณ์ของการดำเนินการนั้นไว้ในตัวยก ก่อนเลขชี้กำลัง ตัวอย่างเช่น ถ้าfเป็นฟังก์ชันจริงที่มีค่าที่สามารถคูณได้จะแสดงการยกกำลังโดยการคูณ และอาจแสดงการยกกำลังโดยการประกอบฟังก์ชันนั่นคือ ${\displaystyle f^{n}}$${\displaystyle f^{\circ n}}$

${\displaystyle (f^{n})(x)=(f(x))^{n}=f(x)\,f(x)\cdots f(x),}$

และ

${\displaystyle (f^{\circ n})(x)=f(f(\cdots f(f(x))\cdots )).}$

โดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ในขณะที่จะใช้สัญลักษณ์${\displaystyle (f^{n})(x)}$${\displaystyle f(x)^{n},}$${\displaystyle (f^{\circ n})(x)}$${\displaystyle f^{n}(x).}$

กลุ่มการคูณคือ เซตที่มีการดำเนินการแบบสมาคมซึ่งแทนด้วยการคูณ มีสมาชิกเอกลักษณ์และสมาชิกทุกตัวมีตัวผกผัน

ดังนั้น ถ้าGเป็นกลุ่ม จะมี นิยาม สำหรับทุกและทุกจำนวนเต็มn${\displaystyle x^{n}}$${\displaystyle x\in G}$

เซตของกำลังทั้งหมดของสมาชิกในกลุ่มหนึ่งๆ ประกอบกันเป็นกลุ่มย่อยกลุ่ม (หรือกลุ่มย่อย) ที่ประกอบด้วยกำลังทั้งหมดของสมาชิกx ที่เฉพาะเจาะจง เรียกว่ากลุ่มวัฏจักรที่สร้างโดยxถ้ากำลังทั้งหมดของxแตกต่างกัน กลุ่มนั้นจะสมสัณฐานกับกลุ่มการบวก ของจำนวนเต็ม มิฉะนั้น กลุ่มวัฏจักรนั้นจะเป็นกลุ่มจำกัด (มีจำนวนสมาชิกจำกัด) และจำนวนสมาชิกของมันคืออันดับของxถ้าอันดับของxคือnแล้วกลุ่มวัฏจักรที่สร้างโดยxจะประกอบด้วย กำลัง nตัวแรกๆ ของx (โดยเริ่มจากเลขชี้กำลัง0หรือ1 ก็ได้ ) ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle x^{n}=x^{0}=1,}$

ลำดับของสมาชิกมีบทบาทพื้นฐานในทฤษฎีกลุ่มตัวอย่างเช่น ลำดับของสมาชิกในกลุ่มจำกัดจะเป็นตัวหารของจำนวนสมาชิกของกลุ่มเสมอ ( ลำดับของกลุ่ม) ลำดับที่เป็นไปได้ของสมาชิกในกลุ่มมีความสำคัญในการศึกษาโครงสร้างของกลุ่ม (ดูทฤษฎีบทของไซโลว์ ) และในการจำแนก กลุ่มง่ายจำกัด

การใช้สัญลักษณ์ตัวยกยังใช้สำหรับการผันแปรด้วย กล่าวคือg ^h = h ⁻¹ ghโดยที่gและhเป็นสมาชิกของกลุ่ม สัญลักษณ์นี้ไม่ควรสับสนกับการยกกำลัง เนื่องจากตัวยกไม่ใช่จำนวนเต็ม เหตุผลของการใช้สัญลักษณ์นี้คือ การผันแปรเป็นไปตามกฎบางประการของการยกกำลัง กล่าวคือและ${\displaystyle (g^{h})^{k}=g^{hk}}$${\displaystyle (gh)^{k}=g^{k}h^{k}.}$

ในริงหนึ่งอาจมีสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์บางตัวที่สอดคล้องกับเงื่อนไขสำหรับจำนวนเต็มn บาง ตัว สมาชิกดังกล่าวเรียกว่าสมาชิกนิลโพเท นต์ ในริงสลับที่สมาชิกนิลโพเทนต์จะประกอบกันเป็นไอเดียลซึ่งเรียกว่านิลราดิคัลของริง ${\displaystyle x^{n}=0}$

ถ้าอนุมูลนิลถูกลดรูปเป็นอุดมคติศูนย์ (นั่นคือ ถ้าหมายความว่าสำหรับทุกจำนวนเต็มบวกn ) วงแหวนสลับที่นั้นจะเรียกว่า วงแหวน ลดรูปวงแหวนลดรูปมีความสำคัญในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตเนื่องจากวงแหวนพิกัดของเซตพีชคณิตเชิงเส้นตรงจะเป็นวงแหวนลดรูปเสมอ ${\displaystyle x\neq 0}$${\displaystyle x^{n}\neq 0}$

โดยทั่วไปแล้ว เมื่อกำหนดไอเดียลIในริงสลับที่RเซตของสมาชิกในRที่มีกำลังในIเรียกว่าไอเดียล เรียกว่ารากของIนิลราดิคัลคือรากของไอเดียลศูนย์ไอเดียลราดิคัลคือไอเดียลที่เท่ากับรากของตัวเอง ในริงพหุนาม เหนือฟิลด์kไอเดียลจะเป็นราดิคัลก็ต่อเมื่อมันเป็นเซตของพหุนามทั้งหมดที่เป็นศูนย์บนเซตพีชคณิตเชิงเส้น (นี่เป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทนัลส์เทลเลนแซทซ์ของฮิลเบิร์ต ) ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

ถ้าAเป็นเมทริกซ์จัตุรัส ผลคูณของAกับตัวเองnครั้งเรียกว่ากำลังของเมทริกซ์นอกจากนี้ยังกำหนดให้เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์^{[ 42 ]}และถ้าAสามารถผกผันได้แล้ว ${\displaystyle A^{0}}$${\displaystyle A^{-n}=\left(A^{-1}\right)^{n}}$

กำลังของเมทริกซ์มักปรากฏในบริบทของระบบไดนามิกแบบไม่ต่อเนื่องโดยที่เมทริกซ์Aแสดงถึงการเปลี่ยนจากเวกเตอร์สถานะxของระบบบางระบบไปยังสถานะถัดไปAxของระบบ^{[ 43 ]}นี่คือการตีความมาตรฐานของห่วงโซ่มาร์คอฟตัวอย่างเช่นคือสถานะของระบบหลังจากสองขั้นตอนเวลา และอื่นๆคือสถานะของระบบหลังจากnขั้นตอนเวลา กำลังของเมทริกซ์คือเมทริกซ์การเปลี่ยนผ่านระหว่างสถานะปัจจุบันและสถานะ ณ เวลาnขั้นตอนในอนาคต ดังนั้นการคำนวณกำลังของเมทริกซ์จึงเทียบเท่ากับการแก้ปัญหาการวิวัฒนาการของระบบไดนามิก ในหลายกรณี กำลังของเมทริกซ์สามารถคำนวณได้อย่างสะดวกโดยใช้ค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ${\displaystyle A^{2}x}$${\displaystyle A^{n}x}$${\displaystyle A^{n}}$

นอกเหนือจากเมทริกซ์แล้วตัวดำเนินการเชิงเส้น ทั่วไปอื่นๆ ก็สามารถยกกำลังได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น ตัวดำเนิน การอนุพันธ์ในแคลคูลัสซึ่งเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นที่กระทำกับฟังก์ชันเพื่อให้ได้ฟังก์ชันใหม่กำลัง ที่ nของตัวดำเนินการอนุพันธ์คือ อนุพันธ์อันดับที่ n : ${\displaystyle d/dx}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle (d/dx)f(x)=f'(x)}$

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}f(x)={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)=f^{(n)}(x).}$