ก่อนอื่นเราพิจารณาจุดตัดของเส้นตรงL และL ในปริภูมิสองมิติ โดยที่เส้นตรงL ถูกกำหนดโดยจุดสองจุดที่แตกต่างกัน( x , y )และ( x , y )และเส้นตรงL ถูกกำหนดโดยจุดสองจุดที่แตกต่าง^กัน ( x , y )และ( x , y ) [ ^{6 ]}

จุดตัดPของเส้นตรงL และL สามารถกำหนดได้โดยใช้ดีเทอร์มิแนนต์

${\displaystyle P_{x}={\frac {\begin{vmatrix}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}x_{1}&1\\x_{2}&1\end{vmatrix}}\\\\{\begin{vmatrix}x_{3}&y_{3}\\x_{4}&y_{4}\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}x_{3}&1\\x_{4}&1\end{vmatrix}}\end{vmatri x}}{\begin{vmatrix}{\begin{vmatrix}x_{1}&1\\x_{2}&1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}y_{1}&1\\y_{2}&1\end{vmatrix}}\\\\{\begin{vmatrix}x_{3}&1\\x_{4}&1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}y_{3}&1\\y_{4}&1\end{vmatrix}}\end{vmatrix}}}\,\!\qquad P_{y}={\frac {\begin{vmatrix}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}y_{1}&1\\y_{2}&1\end{vmatrix}}\\\\{\begin{vmatrix}x_{3}&y_{3}\\x_{4}&y_{4}\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}y_{3}&1\\y_{4}&1\end{vmatrix}}\end{vmat rix}}{\begin{vmatrix}{\begin{vmatrix}x_{1}&1\\x_{2}&1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}y_{1}&1\\y_{2}&1\end{vmatrix}}\\\\{\begin{vmatrix}x_{3}&1\\x_{4}&1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}y_{3}&1\\y_{4}&1\end{vmatrix}}\end{vmatrix}}}\,\!}$

สามารถเขียนค่ากำหนดได้ดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{x}&={\frac {(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})(x_{3}-x_{4})-(x_{1}-x_{2})(x_{3}y_{4}-y_{3}x_{4})}{(x_{1}-x_{2})(y_{3}-y_{4})-(y_{1}-y_{2})(x_{3}-x_{4})}}\\[4px]P_{y}&={\frac {(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})(y_{3}-y_{4})-(y_{1}-y_{2})(x_{3}y_{4}-y_{3}x_{4} )}{(x_{1}-x_{2})(y_{3}-y_{4})-(y_{1}-y_{2})(x_{3}-x_{4})}}\end{aligned}}}$

เมื่อเส้นตรงทั้งสองขนานกันหรือทับกัน ตัวส่วนจะมีค่าเป็นศูนย์

จุดตัดข้างต้นเป็นจุดตัดสำหรับเส้นตรงที่มีความยาวอนันต์ซึ่งกำหนดโดยจุดต่างๆ ไม่ใช่ส่วนของเส้นตรงระหว่างจุด และสามารถสร้างจุดตัดที่ไม่ปรากฏอยู่ในส่วนของเส้นตรงทั้งสองเส้นได้ เพื่อหาตำแหน่งของจุดตัดเทียบกับส่วนของเส้นตรง เราสามารถกำหนดเส้นตรงL และL ในรูปของ พารามิเตอร์ เบซิเยร์ ระดับแรก ได้:

${\displaystyle L_{1}={\begin{bmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{bmatrix}}+t{\begin{bmatrix}x_{2}-x_{1}\\y_{2}-y_{1}\end{bmatrix}},\qquad L_{2}={\begin{bmatrix}x_{3}\\y_{3}\end{bmatrix}}+u{\begin{bmatrix}x_{4}-x_{3}\\y_{4}-y_{3}\end{bmatrix}}}$

(โดยที่tและuเป็นจำนวนจริง) จุดตัดของเส้นตรงจะพบได้จากค่าtหรือu ค่าใดค่าหนึ่งต่อไปนี้ โดยที่

${\displaystyle t={\frac {\begin{vmatrix}x_{1}-x_{3}&x_{3}-x_{4}\\y_{1}-y_{3}&y_{3}-y_{4}\end{vmatrix}}{\be จิน{vmatrix}x_{1}-x_{2}&x_{3}-x_{4}\\y_{1}-y_{2}&y_{3}-y_{4}\end{vmatrix}}}={\frac {(x_{1}-x_{3})(y_{3}-y_{4})-(y_{1}-y_{3})(x_{3}-x_{4})}{(x_{1}-x_{2})(y_{3}-y_{4})-(y_{1}-y_{2})(x_{3}-x_{4})}}}$

และ

${\displaystyle u=-{\frac {\begin{vmatrix}x_{1}-x_{2}&x_{1}-x_{3}\\y_{1}-y_{2}&y_{1}-y_{3}\end{vmatrix}}{\be จิน{vmatrix}x_{1}-x_{2}&x_{3}-x_{4}\\y_{1}-y_{2}&y_{3}-y_{4}\end{vmatrix}}}=-{\frac {(x_{1}-x_{2})(y_{1}-y_{3})-(y_{1}-y_{2})(x_{1}-x_{3})}{(x_{1}-x_{2})(y_{3}-y_{4})-(y_{1}-y_{2})(x_{3}-x_{4})}},}$

กับ

${\displaystyle (P_{x},P_{y})={\bigl (}x_{1}+t(x_{2}-x_{1}),\;y_{1}+t(y_{2}-y_{1}){\bigr )}\quad {\text{หรือ}}\quad (P_{x},P_{y})={\bigl (}x_{3}+u(x_{4}-x_{3}),\;y_{3}+u(y_{4}-y_{3}){\bigr )}}$

จะมีจุดตัดหาก0 ≤ t ≤ 1และ0 ≤ u ≤ 1จุดตัดจะอยู่ภายในส่วนของเส้นตรงแรกหาก0 ≤ t ≤ 1และจะอยู่ภายในส่วนของเส้นตรงที่สองหาก0 ≤ u ≤ 1อสมการเหล่านี้สามารถทดสอบได้โดยไม่ต้องหาร ทำให้สามารถตรวจสอบการมีอยู่ของจุดตัดของส่วนของเส้นตรงได้อย่างรวดเร็วก่อนที่จะคำนวณจุดที่แน่นอน^{[ 7 ]}

ในกรณีที่ส่วนของเส้นตรงทั้งสองใช้แกน x ร่วมกัน และ${\displaystyle x_{2}=x_{1}+1}$,${\displaystyle t}$และ${\displaystyle u}$ทำให้ง่ายขึ้นเป็น $${\displaystyle t=u={\frac {y_{1}-y_{3}}{y_{1}-y_{2}-y_{3}+y_{4}}},}$$ กับ $${\displaystyle (P_{x},P_{y})={\bigl (}x_{1}+t,\;y_{1}+t(y_{2}-y_{1}){\bigr )}\quad {\text{or}}\quad (P_{x},P_{y})={\bigl (}x_{1}+t,\;y_{3}+t(y_{4}-y_{3}){\bigr )}.}$$

พิกัดxและyของจุดตัดของเส้นตรงสองเส้นที่ไม่เป็นเส้นตรงแนวตั้ง สามารถหาได้ง่ายๆ โดยใช้การแทนค่าและการจัดเรียงใหม่ดังต่อไปนี้

สมมติว่าเส้นตรงสองเส้นมีสมการy = ax + cและy = bx + dโดยที่aและbคือความชัน (ความลาดชัน) ของเส้นตรง และcและdคือจุด ตัดแกน yของเส้นตรง ณ จุดที่เส้นตรงทั้งสองตัดกัน (ถ้ามี) พิกัด y ของทั้งสองเส้น จะเท่ากัน ดังนั้นจึงมีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

${\displaystyle ax+c=bx+d.}$

เราสามารถจัดเรียงนิพจน์นี้ใหม่เพื่อดึงค่าของ x ออกมาได้

${\displaystyle ax-bx=d-c,}$

และด้วยเหตุนี้

${\displaystyle x={\frac {d-c}{a-b}}.}$

ในการหา พิกัด yสิ่งที่เราต้องทำก็คือแทนค่าxลงในสมการเส้นตรงใดสมการหนึ่งจากสองสมการ ตัวอย่างเช่น แทนค่าลงในสมการแรก:

${\displaystyle y=a{\frac {d-c}{a-b}}+c.}$

ดังนั้น จุดตัดคือ

${\displaystyle P=\left({\frac {d-c}{a-b}},a{\frac {d-c}{a-b}}+c\right).}$

โปรดสังเกตว่า ถ้าa = bเส้นตรงทั้งสองจะขนานกันและไม่ตัดกัน เว้นแต่ว่าc = dด้วย ซึ่งในกรณีนี้เส้นตรงทั้งสองจะทับกันและตัดกันทุกจุด

โดยการใช้พิกัดเอกพันธุ์จุดตัดของเส้นตรงสองเส้นที่กำหนดโดยปริยายสามารถหาได้ค่อนข้างง่าย ใน 2 มิติ ทุกจุดสามารถกำหนดได้ว่าเป็นภาพฉายของจุด 3 มิติ ซึ่งกำหนดเป็นสามพิกัดเรียงลำดับ( x , y , w )การแมปจากพิกัด 3 มิติไปยังพิกัด 2 มิติคือ(x′, y′) = (x/w, y / w )เราสามารถแปลงจุด 2 มิติเป็นพิกัดเอกพันธุ์ได้โดยกำหนดให้เป็น( x , y , w )

สมมติว่าเราต้องการหาจุดตัดของเส้นตรงอนันต์สองเส้นในปริภูมิ 2 มิติ ซึ่งกำหนดเป็นa x + b y + c = 0และa x + b y + c = 0เราสามารถแทนเส้นตรงทั้งสองนี้ในพิกัดเส้นตรง ได้ เป็น U = ( a , b , c )และU = ( a , b , c )จุดตัดP ′ของเส้นตรงทั้งสองจะกำหนดได้ง่ายๆ ดังนี้^{[ 8 ]}

${\displaystyle P'=(a_{p},b_{p},c_{p})=U_{1}\times U_{2}=(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1},a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2},a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})}$

ถ้าc = 0เส้นทั้งสองจะไม่ตัดกัน

ในสองมิติ เส้นตรงมากกว่าสองเส้นแทบจะไม่ตัดกันที่จุดเดียวเลย เพื่อตรวจสอบว่าเส้นตรงเหล่านั้นตัดกันหรือไม่ และถ้าตัดกัน จะหาจุดตัดได้อย่างไร ให้เขียน สมการที่ i ( i = 1, …, n ) ดังนี้

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{i1}&a_{i2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=b_{i},}$

และนำสมการเหล่านี้มาเรียงต่อกันในรูปแบบเมทริกซ์ดังนี้

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {w} =\mathbf {b} ,}$

โดยที่ แถวที่ iของเมทริกซ์A ขนาด n × 2คือ[ a , a ] , wคือเวกเตอร์ขนาด 2 × 1 [ ^x ]และ องค์ประกอบที่ iของเวกเตอร์คอลัมน์bคือb ถ้าAมีคอลัมน์ที่เป็นอิสระต่อกันอันดับ ของมัน คือ 2 ดังนั้นถ้าและเฉพาะเมื่ออันดับของเมทริกซ์เสริม[ A | b ]ก็เป็น 2 ด้วย จะมีคำตอบของสมการเมทริกซ์และจุดตัดของเส้นตรงทั้งnเส้น จุดตัด ถ้ามีอยู่ จะกำหนดโดย

${\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {A} ^{\mathrm {g} }\mathbf {b} =\left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} \right)^{-1}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {b} ,}$

โดยที่A ^gคือเมทริกซ์ผกผันทั่วไปของมัวร์-เพนโรสของA (ซึ่งมีรูปแบบดังที่แสดงไว้ เนื่องจากAมีอันดับคอลัมน์เต็ม) หรืออีกวิธีหนึ่ง สามารถหาคำตอบได้โดยการแก้สมการอิสระสองสมการใดๆ ร่วมกัน แต่ถ้าอันดับของAเป็นเพียง 1 แล้ว ถ้าอันดับของเมทริกซ์เสริมเป็น 2 จะไม่มีคำตอบ แต่ถ้าอันดับของเมทริกซ์เสริมเป็น 1 เส้นทั้งหมดจะทับซ้อนกัน

วิธีการข้างต้นสามารถขยายไปสู่สามมิติได้อย่างง่ายดาย ในสามมิติหรือมากกว่านั้น เส้นตรงสองเส้นแทบจะไม่ตัดกันเลย คู่ของเส้นตรงที่ไม่ขนานกันและไม่ตัดกันเรียกว่าเส้นเฉียงแต่ถ้าหากมีการตัดกันเกิดขึ้น ก็สามารถหาจุดตัดได้ดังนี้

ในสามมิติ เส้นตรงจะถูกแทนด้วยจุดตัดของระนาบสองระนาบ โดยแต่ละระนาบมีสมการในรูปแบบ

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{i1}&a_{i2}&a_{i3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=b_{i}.}$

ดังนั้น เส้นตรงจำนวนnเส้น สามารถแทนได้ด้วยสมการ2nสม การ ใน เวกเตอร์พิกัด 3 มิติw :

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {w} =\mathbf {b} }$

โดยที่Aคือ2n × 3และbคือ2n × 1เช่นเดียวกับก่อนหน้านี้ จะมีจุดตัดที่ไม่ซ้ำกันเพียงจุดเดียวก็ต่อเมื่อAมีอันดับคอลัมน์เต็ม และเมทริกซ์เสริม[ A | b ] ไม่มี อันดับ คอลัมน์เต็ม และจุดตัดที่ไม่ซ้ำกันนั้น หากมีอยู่ จะกำหนดโดย

${\displaystyle \mathbf {w} =\left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} \right)^{-1}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {b} .}$

ในกรณีสองมิติ ขั้นแรก ให้แทนเส้นตรงiด้วยจุดp บนเส้นตรง และเวกเตอร์ปกติหน่วยn̂ ที่ตั้งฉากกับเส้นตรงนั้น นั่นคือ ถ้าx และx เป็นจุดบนเส้นตรง 1 แล้ว ให้p = x และให้

${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} _{1}:={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}{\frac {\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1}}{\|\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1}\|}}}$

ซึ่งเป็นเวกเตอร์หน่วยตามแนวเส้นตรง โดยหมุนไปเป็นมุมฉาก

ระยะห่างจากจุดxไปยังเส้นตรง( p , n̂ )กำหนดโดย

${\displaystyle d{\bigl (}\mathbf {x} ,(\mathbf {p} ,\mathbf {\hat {n}} ){\bigr )}={\bigl |}(\mathbf {x} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {\hat {n}} {\bigr |}=\left|(\mathbf {x} -\mathbf {p} )^{\mathsf {T}}\mathbf {\hat {n}} \right|=\left|\mathbf {\hat {n}} ^{\mathsf {T}}(\mathbf {x} -\mathbf {p} )\right|={\sqrt {(\mathbf {x} -\mathbf {p} )^{\mathsf {T}}\mathbf {\hat {n}} \mathbf {\hat {n}} ^{\mathsf {T}}(\mathbf {x} -\mathbf {p} )}}.}$

ดังนั้น ระยะทางยกกำลังสองจากจุดxไปยังเส้นตรง คือ

${\displaystyle d{\bigl (}\mathbf {x} ,(\mathbf {p} ,\mathbf {\hat {n}} ){\bigr )}^{2}=(\mathbf {x} -\mathbf {p} )^{\mathsf {T}}\left(\mathbf {\hat {n}} \mathbf {\hat {n}} ^{\mathsf {T}}\right)(\mathbf {x} -\mathbf {p} ).}$

ผลรวมของกำลังสองของระยะทางไปยังเส้นหลายเส้นคือฟังก์ชันต้นทุน :

${\displaystyle E(\mathbf {x} )=\sum _{i}(\mathbf {x} -\mathbf {p} _{i})^{\mathsf {T}}\left(\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\right)(\mathbf {x} -\mathbf {p} _{i}).}$

สามารถจัดเรียงใหม่ได้ดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}E(\mathbf {x} )&=\sum _{i}\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {p} _{i}-\mathbf {p} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {x} +\mathbf {p} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {p} _{i}\\&=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\left(\sum _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {x} -2\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\left(\sum _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {p} _{i}\right)+\sum _{i}\mathbf {p} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {p} _{i}.\end{aligned}}}$

ในการหาค่าต่ำสุด เราทำการหาอนุพันธ์เทียบกับxแล้วกำหนดให้ผลลัพธ์เท่ากับเวกเตอร์ศูนย์:

${\displaystyle {\frac {\partial E(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {x} }}={\boldsymbol {0}}=2\left(\sum _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {x} -2\left(\sum _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {p} _{i}\right)}$

ดังนั้น

${\displaystyle \left(\sum _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {x} =\sum _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {p} _{i}}$

และดังนั้น

${\displaystyle \mathbf {x} =\left(\sum _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\right)^{-1}\left(\sum _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {p} _{i}\right).}$

แม้ว่าn̂ จะไม่สามารถนิยามได้อย่างชัดเจนในมิติมากกว่าสองมิติ แต่ก็สามารถขยายไปสู่จำนวนมิติใดๆ ได้โดยสังเกตว่าn̂ n̂ ^Tเป็นเพียงเมทริกซ์สมมาตร ที่มี ค่าไอเกนทั้งหมดเป็นหนึ่ง ยกเว้นค่าไอเกนศูนย์ในทิศทางตามแนวเส้นตรง ซึ่งให้ค่าเซมิ-นอร์มของระยะห่างระหว่างp กับจุดอื่นที่ให้ระยะห่างจากเส้นตรง ในจำนวนมิติใดๆ ถ้าv̂ เป็นเวกเตอร์หน่วยตามแนว เส้นตรงที่ iแล้ว

${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}}$กลายเป็น${\displaystyle \mathbf {I} -\mathbf {\hat {v}} _{i}\mathbf {\hat {v}} _{i}^{\mathsf {T}}}$

โดยที่Iคือเมทริกซ์เอกลักษณ์และดังนั้น^{[ 9 ]}

${\displaystyle x=\left(\sum _{i}\mathbf {I} -\mathbf {\hat {v}} _{i}\mathbf {\hat {v}} _{i}^{\mathsf {T}}\right)^{-1}\left(\sum _{i}\left(\mathbf {I} -\mathbf {\hat {v}} _{i}\mathbf {\hat {v}} _{i}^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {p} _{i}\right).}$

ในการหาจุดตัดของชุดเส้นตรง เราจะคำนวณจุดที่มีระยะห่างน้อยที่สุดจากเส้นตรงเหล่านั้น แต่ละเส้นตรงถูกกำหนดโดยจุดกำเนิดa และเวกเตอร์ทิศทางหน่วยn̂ กำลังสองของระยะห่างจากจุด p ไปยัง เส้นตรงเส้นใดเส้นหนึ่งนั้นหาได้จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

${\displaystyle d_{i}^{2}=\left\|\mathbf {p} -\mathbf {a} _{i}\right\|^{2}-\left(\left(\mathbf {p} -\mathbf {a} _{i}\right)^{\mathsf {T}}\mathbf {\hat {n}} _{i}\right)^{2}=\left(\mathbf {p} -\mathbf {a} _{i}\right)^{\mathsf {T}}\left(\mathbf {p} -\mathbf {a} _{i}\right)-\left(\left(\mathbf {p} -\mathbf {a} _{i}\right)^{\mathsf {T}}\mathbf {\hat {n}} _{i}\right)^{2}}$

โดยที่( p − a ) ^T n̂ คือการฉายภาพของp − a บนเส้นตรงiผลรวมของระยะทางจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสไปยังเส้นตรงทั้งหมดคือ

${\displaystyle \sum _{i}d_{i}^{2}=\sum _{i}\left({\left(\mathbf {p} -\mathbf {a} _{i}\right)^{\mathsf {T}}}\left(\mathbf {p} -\mathbf {a} _{i}\right)-{\left(\left(\mathbf {p} -\mathbf {a} _{i}\right)^{\mathsf {T}}\mathbf {\hat {n}} _{i}\right)^{2}}\right)}$

เพื่อลดรูปนิพจน์นี้ เราจึงทำการหาอนุพันธ์ของ นิพจน์นี้เทียบกับp

${\displaystyle \sum _{i}\left(2\left(\mathbf {p} -\mathbf {a} _{i}\right)-2\left(\left(\mathbf {p} -\mathbf {a} _{i}\right)^{\mathsf {T}}\mathbf {\hat {n}} _{i}\right)\mathbf {\hat {n}} _{i}\right)={\boldsymbol {0}}}$

${\displaystyle \sum _{i}\left(\mathbf {p} -\mathbf {a} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\right)\left(\mathbf {p} -\mathbf {a} _{i}\right)}$

ซึ่งส่งผลให้

${\displaystyle \left(\sum _{i}\left(\mathbf {I} -\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\right)\right)\mathbf {p} =\sum _{i}\left(\mathbf {I} -\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {a} _{i}}$

โดยที่Iคือเมทริกซ์เอกลักษณ์นี่คือเมทริกซ์Sp = Cซึ่งมีคำตอบคือp = S + ^C โดยที่S ⁺คือเมทริกซ์ผกผันเทียมของS