โดย ทั่วไปใน วิชาโทโพโลยี และทฤษฎีจำนวนซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์เราสามารถกำหนดโทโพโลยี ต่างๆ บนเซตได้${\displaystyle \mathbb {Z} }$ของจำนวนเต็มหรือเซต${\displaystyle \mathbb {Z} _{>0}}$ของจำนวนเต็มบวกโดยใช้ชุดลำดับเลขคณิต ที่เหมาะสมเป็น ฐานซึ่งเป็นลำดับที่มีรูปแบบดังนี้${\displaystyle \{b,b+a,b+2a,...\}}$หรือ${\displaystyle \{...,b-2a,ba,b,b+a,b+2a,...\}.}$ เซตเปิดเหล่านั้นจะเป็นการรวมกันของลำดับเลขคณิตในชุดข้อมูล ตัวอย่างสามประการ ได้แก่โทโพโลยีของฟูร์สเตนเบิร์กบน${\displaystyle \mathbb {Z} }$และโทโพโลยีโกลอมบ์และโทโพโลยีเคิร์ชบน${\displaystyle \mathbb {Z} _{>0}}$คำจำกัดความที่ถูกต้องมีดังต่อไปนี้

Hillel Furstenberg ^{[ 1 ]}ได้นำเสนอโทโพโลยีแรกเพื่อพิสูจน์ "โทโพโลยี" ของความเป็นอนันต์ของเซตของจำนวนเฉพาะโทโพโลยีที่สองได้รับการศึกษาโดยSolomon Golomb ^{[ 2 ]}และเป็นตัวอย่างของปริภูมิ Hausdorff ที่มีอนันต์นับได้ และเชื่อมต่อกันโทโพโลยีที่สามซึ่งนำเสนอโดย AM Kirch ^{[ 3 ]}เป็นตัวอย่างของปริภูมิ Hausdorff ที่มีอนันต์นับได้ซึ่งทั้งเชื่อมต่อกันและเชื่อมต่อกันในระดับท้องถิ่นโทโพโลยีเหล่านี้ยังมีคุณสมบัติการแยกและความเป็นเอกรูป ที่น่าสนใจอีกด้วย

แนวคิดเรื่องโทโพโลยีลำดับเลขคณิตสามารถขยายไปสู่โดเมนเดเดคินด์ ใดๆ ก็ได้

ลำดับเลขคณิตสองด้านใน${\displaystyle \mathbb {Z} }$เป็นเซตย่อยของรูปแบบ

${\displaystyle a\mathbb {Z} +b:=\{an+b:n\in \mathbb {Z} \},}$

ที่ไหน${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$และ${\displaystyle a>0.}$ จุดตัดของลำดับเลขคณิตสองลำดับดังกล่าวจะเป็นเซตว่าง หรือเป็นลำดับเลขคณิตอีกลำดับหนึ่งที่มีรูปแบบเดียวกัน:

${\displaystyle (a\mathbb {Z} +b)\cap (c\mathbb {Z} +b)=\operatorname {lcm} (a,c)\mathbb {Z} +b,}$

ที่ไหน${\displaystyle \operatorname {lcm} (a,c)}$คือตัวคูณร่วมน้อยที่สุดของ${\displaystyle a}$และ${\displaystyle c.}$^{[ 4 ]}

ในทำนองเดียวกัน ลำดับเลขคณิตด้านเดียวใน${\displaystyle \mathbb {Z} _{>0}=\{1,2,...\}}$เป็นเซตย่อยของรูปแบบ

${\displaystyle a\mathbb {N} +b:=\{an+b:n\in \mathbb {N} \}=\{b,a+b,2a+b,...\},}$

กับ${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,...\}}$และ${\displaystyle a,b>0}$จุดตัดของลำดับเลขคณิตสองลำดับดังกล่าวจะเป็นเซตว่าง หรือเป็นลำดับเลขคณิตอีกลำดับหนึ่งที่มีรูปแบบเดียวกัน:

${\displaystyle (a\mathbb {N} +b)\cap (c\mathbb {N} +d)=\operatorname {lcm} (a,c)\mathbb {N} +q,}$

กับ${\displaystyle q}$เท่ากับองค์ประกอบที่เล็กที่สุดในส่วนที่ทับซ้อนกัน

สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าจุดตัดที่ไม่ว่างเปล่าทุกจุดของลำดับเลขคณิตจำนวนจำกัดนั้นยังคงเป็นลำดับเลขคณิตอยู่ จากนั้นเราสามารถกำหนดโทโพโลยีบนได้${\displaystyle \mathbb {Z} }$หรือ${\displaystyle \mathbb {Z} _{>0}}$โดยการเลือกคอลเลกชัน${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ของลำดับเลขคณิต โดยประกาศองค์ประกอบทั้งหมดของ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ให้เป็นเซตเปิด และใช้โทโพโลยีที่สร้างขึ้นจากเซตเหล่านั้น ถ้าจุดตัดที่ไม่ว่างของสมาชิกสองตัวของ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$เป็นองค์ประกอบอีกอย่างหนึ่งของ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$คอลเลกชัน${\displaystyle {\mathcal {B}}}$จะเป็นฐานสำหรับโทโพโลยี โดยทั่วไปแล้ว จะเป็นฐานย่อยสำหรับโทโพโลยี และเป็นเซตของลำดับเลขคณิตทั้งหมดที่เป็นการตัดกันแบบจำกัดที่ไม่ว่างเปล่าขององค์ประกอบของ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$จะเป็นพื้นฐานสำหรับโครงสร้างทางโทโพโลยี ต่อไปนี้คือกรณีพิเศษสามกรณี

โทโพโลยีของฟูร์สเตนเบิร์ก^[ 1 ] ^{หรือโท}โพ โล ยีจำนวนเต็มที่เว้นระยะเท่ากัน^{[ 5 ]}บนเซต${\displaystyle \mathbb {Z} }$ของจำนวนเต็มได้มาจากการใช้ชุดข้อมูลของจำนวนเต็มทั้งหมดเป็นฐาน${\displaystyle a\mathbb {Z} +b}$กับ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$และ${\displaystyle a>0.}$

โทโพโลยีของโกลอมบ์ [ ^{2 ] หรือ}โทโพโลยีจำนวนเต็มเฉพาะสัมพัทธ์^{[ 6 ]}บนเซต${\displaystyle \mathbb {Z} _{>0}}$ของจำนวนเต็มบวกได้มาจากการใช้ชุดข้อมูลของจำนวนเต็มบวกทั้งหมดเป็นฐาน${\displaystyle a\mathbb {N} +b}$กับ${\displaystyle a,b>0}$และ${\displaystyle a}$และ${\displaystyle b}$จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ [ ^{2 ] หรือ} เทียบเท่า^{[ 7 ]}ชุดย่อยของเซตดังกล่าวที่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม${\displaystyle b<a}$นอกจากนี้ยังเป็นฐานสำหรับโทโพโลยีอีกด้วย^{[ 6 ]}พื้นที่โทโพโลยี ที่สอดคล้องกันเรียกว่าพื้นที่โกลอมบ์^{[ 8 ]}

โทโพโลยีของ Kirch ^{[ 3 ]}หรือ โทโพโล ยีจำนวนเต็มเฉพาะ [ ^{9 ] บน}เซต${\displaystyle \mathbb {Z} _{>0}}$ของจำนวนเต็มบวกได้มาจากการใช้ชุดข้อมูลของจำนวนเต็มบวกทั้งหมด เป็น ฐานย่อย${\displaystyle p\mathbb {N} +b}$กับ${\displaystyle b>0}$และ${\displaystyle p}$จำนวนเฉพาะที่ไม่หารลงตัว${\displaystyle b.}$^{[ 10 ]} ในทำนองเดียวกัน ^{[ 7 ]}สามารถนำชุดทั้งหมดมาเป็นฐานย่อยได้${\displaystyle p\mathbb {N} +b}$กับ${\displaystyle p}$ไพรม์และ${\displaystyle 0<b<p}$[ ^{3 ] [ 9 ]} ฐานสำหรับ โทโพโล ^ยีประกอบด้วยทั้งหมด${\displaystyle a\mathbb {N} +b}$ด้วยคุณสมบัติที่ค่อนข้างดีเยี่ยม${\displaystyle a,b>0}$และ${\displaystyle a}$ปราศจากสี่เหลี่ยมจัตุรัส (หรือแบบเดียวกันแต่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม)${\displaystyle b<a}$) พื้นที่โทโพโลยีที่สอดคล้องกันเรียกว่าพื้นที่เคิร์ช^{[ 10 ]}

โทโพโลยีทั้งสามมีความสัมพันธ์กันในแง่ที่ว่า เซตเปิดทุกเซตในโทโพโลยีของเคิร์ชเป็นเซตเปิดในโทโพโลยีของโกลอมบ์ และเซตเปิดทุกเซตในโทโพโลยีของโกลอมบ์เป็นเซตเปิดในโทโพโลยีของเฟอร์สเตนเบิร์ก (โดยจำกัดเฉพาะปริภูมิย่อย)${\displaystyle \mathbb {Z} _{>0}}$). ในกองถ่าย${\displaystyle \mathbb {Z} _{>0}}$โทโพโลยีของ Kirch นั้นหยาบกว่าโทโพโลยีของ Golomb ซึ่งหยาบกว่าโทโพโลยีของ Furstenberg อีกที

โทโพโลยี Golomb และโทโพโลยี Kirch เป็นHausdorffแต่ไม่ใช่แบบปกติ^{[ 6 ] [ 9 ]}

The Furstenberg topology is Hausdorff and regular.^[5] It is metrizable, but not completely metrizable.^[5][11] Indeed, it is homeomorphic to the rational numbers${\displaystyle \mathbb {Q} }$ with the subspace topology inherited from the real line.^[12] Broughan^[12] has shown that the Furstenberg topology is closely related to the p-adic completion of the rational numbers.

Regarding connectedness properties, the Furstenberg topology is totally disconnected.^[5] The Golomb topology is connected,^[6][2][13] but not locally connected.^[6][13][14] The Kirch topology is both connected and locally connected.^[9][3][13]

The integers with the Furstenberg topology form a homogeneous space, because it is a topological ring — in some sense, the only topology on ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ for which it is a ring.^[15] By contrast, the Golomb space and the Kirch space are topologically rigid — the only self-homeomorphism is the trivial one.^[8][10]

Both the Furstenberg and Golomb topologies furnish a proof that there are infinitely many prime numbers.^[1][2] A sketch of the proof runs as follows:

1. Fix a prime p and note that the (positive, in the Golomb space case) integers are a union of finitely many residue classes modulo p. Each residue class is an arithmetic progression, and thus clopen.
2. Consider the multiples of each prime. These multiples are a residue class (so closed), and the union of these sets is all (Golomb: positive) integers except the units±1.
3. If there are finitely many primes, that union is a closed set, and so its complement ({±1}) is open.
4. But every nonempty open set is infinite, so {±1} is not open.

โทโพโลยีฟูร์สเตนเบิร์กเป็นกรณีพิเศษของโทโพโลยีโปรไฟไนต์บนกลุ่ม โดยละเอียดแล้ว มันคือโทโพโลยีที่เกิดจากการรวมกัน${\displaystyle \mathbb {Z} \subset {\hat {\mathbb {Z} }}}$, ที่ไหน${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}}$คือ วงแหวน จำนวนเต็มโปรไฟไนต์ที่มีโทโพโลยีโปรไฟไนต์

แนวคิดเรื่องลำดับเลขคณิตนั้นสมเหตุสมผลในทุกกรณี${\displaystyle \mathbb {Z} }$- โมดูลแต่การสร้างโทโพโลยีบนโมดูลเหล่านั้นขึ้นอยู่กับการปิดภายใต้การตัดกัน ในทางกลับกัน การวางนัยทั่วไปที่ถูกต้องจะสร้างโทโพโลยีจากอุดมคติของโดเมนเดเดคินด์ [ ^{16 ] กระบวนการ} นี้สร้างเซตที่เชื่อมต่อกันแบบ Hausdorff ที่นับได้จำนวนมาก แต่โดเมนเดเดคินด์ที่แตกต่างกันสามารถสร้างพื้นที่โทโพโลยีแบบโฮโมมอร์ฟิกได้หรือไม่นั้นเป็นหัวข้อของการวิจัยในปัจจุบัน^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}