ในทางคณิตศาสตร์กลุ่มโปรไฟไนต์ (Profinite group)คือกลุ่มเชิงทอพอโลยี (Topological group ) ที่ประกอบขึ้นจากระบบของกลุ่มจำกัด (finite groups ) ในแง่หนึ่ง

แนวคิดของการใช้กลุ่มโปรไฟไนต์คือการให้มุมมองแบบ "เอกภาพ" หรือ "ภาพรวม" ของระบบกลุ่มจำกัดทั้งหมด คุณสมบัติของกลุ่มโปรไฟไนต์โดยทั่วไปแล้วเป็นคุณสมบัติเอกภาพของระบบ ตัวอย่างเช่น กลุ่มโปรไฟไนต์ถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัด (ในฐานะกลุ่มทางทอพอโลยี) ก็ต่อเมื่อมีอยู่${\displaystyle d\in \mathbb {N} }$เพื่อให้ทุกกลุ่มในระบบสามารถสร้างขึ้นได้โดย${\displaystyle d}$องค์ประกอบ^{[ 1 ]}ทฤษฎีบทเกี่ยวกับกลุ่มจำกัดจำนวนมากสามารถสรุปทั่วไปเป็นกลุ่มโปรไฟไนต์ได้อย่างง่ายดาย ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทของลากรองจ์และทฤษฎีบทของไซโลว์^{[ 2 ]}

ในการสร้างกลุ่มโปรไฟไนต์ จำเป็นต้องมีระบบของกลุ่มจำกัดและฟังก์ชันโฮโมมอร์ฟิซึมระหว่างกลุ่มเหล่านั้น โดยไม่เสียความเป็นทั่วไป เราสามารถสมมติให้ฟังก์ชันโฮโมมอร์ฟิซึมเหล่านี้เป็นฟังก์ชันทั่วถึงได้ซึ่งในกรณีนี้ กลุ่มจำกัดจะปรากฏเป็นกลุ่มผลหารของกลุ่มโปรไฟไนต์ที่ได้ ในแง่หนึ่ง กลุ่มผลหารเหล่านี้เป็นการประมาณค่ากลุ่มโปรไฟไนต์

ตัวอย่างที่สำคัญของกลุ่มโปรไฟไนต์ ได้แก่กลุ่มการบวกของ${\displaystyle p}$จำนวนเต็ม -adicและกลุ่ม Galois ของ ส่วนขยายฟิลด์ดีกรีอนันต์

กลุ่มโปรไฟไนต์ทุกกลุ่มเป็นกลุ่มกระชับและไม่เชื่อมต่อกันโดยสมบูรณ์การขยายแนวคิดนี้ในรูปแบบที่ไม่กระชับคือกลุ่มโปรไฟไนต์เฉพาะที่ และกลุ่มที่ไม่เชื่อมต่อกัน โดยสมบูรณ์ นั้นมีความทั่วไปยิ่งกว่า

กลุ่มพหุนามสามารถนิยามได้ในสองวิธีที่เทียบเท่ากัน

• กลุ่มจำกัดจะเป็นกลุ่มโปรไฟไนต์ หากกำหนดโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่องให้
• กลุ่มของ${\displaystyle p}$จำนวนเต็ม -adic${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ภายใต้การบวกนั้นเป็นแบบโปรไฟไนต์ (ที่จริงแล้วเป็นแบบโปรไซคลิก ) มันคือลิมิตผกผันของกลุ่มจำกัด${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ที่ไหน${\displaystyle n}$ครอบคลุมจำนวนธรรมชาติ ทั้งหมด และแผนที่ธรรมชาติ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z} }$สำหรับ${\displaystyle n\geq m.}$โทโพโลยีบนกลุ่มโปรไฟไนต์นี้เหมือนกับโทโพโลยีที่เกิดขึ้นจาก${\displaystyle p}$การประเมินค่า -adic บน${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$
• กลุ่มของจำนวนเต็มโปรไฟไนต์${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$คือการเติมเต็มอย่างไม่มีที่สิ้นสุดของ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$โดยละเอียดแล้ว มันคือลิมิตผกผันของกลุ่มจำกัด${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ที่ไหน${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$ด้วยแผนที่โมดูลัส${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$สำหรับ${\displaystyle m\,|\,n.}$กลุ่มนี้เป็นผลผลิตจากทุกกลุ่ม${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$และมันคือกลุ่มกาโลอิสสัมบูรณ์ของฟิลด์จำกัด ใด ๆ
• ทฤษฎีการขยายฟิลด์ของกาโลอิสที่มีดีกรีอนันต์ก่อให้เกิดกลุ่มกาโลอิสที่เป็นโปรไฟไนต์โดยธรรมชาติ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า${\displaystyle L/K}$เป็นการขยายของกาโลอิสพิจารณากลุ่มนี้${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (L/K)}$ประกอบด้วยออโตมอร์ฟิซึมของฟิลด์ ทั้งหมด ของ${\displaystyle L}$ที่รักษาองค์ประกอบทั้งหมดของ${\displaystyle K}$คงที่ กลุ่มนี้คือลิมิตผกผันของกลุ่มจำกัด${\displaystyle \operatorname {Gal} (F/K),}$ที่ไหน${\displaystyle F}$ครอบคลุมขอบเขตของฟิลด์ระดับกลางทั้งหมดดังนี้${\displaystyle F/K}$เป็นการ ขยายกาโลอิส แบบจำกัดสำหรับกระบวนการลิมิต โฮโมมอร์ฟิซึมการจำกัด${\displaystyle \operatorname {Gal} (F_{1}/K)\to \operatorname {Gal} (F_{2}/K)}$ถูกนำมาใช้ในกรณีที่${\displaystyle F_{2}\subseteq F_{1}.}$โครงสร้างทางเรขาคณิตที่ได้รับจาก${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$เป็นที่รู้จักกันในชื่อโทโพโลยีครัลล์ตามชื่อของโวล์ฟกัง ครัลล์วอเตอร์เฮาส์ (1974)แสดงให้เห็นว่า กลุ่มโปรไฟไนต์ ทุกกลุ่มนั้นสม isomorphic กับกลุ่มที่เกิดขึ้นจากทฤษฎีกาโลอิสของ ฟิลด์ บางฟิลด์${\displaystyle K,}$แต่ยังไม่สามารถควบคุมได้ว่าจะเป็นสาขาใด${\displaystyle K}$ในกรณีนี้จะเป็นเช่นนั้น ที่จริงแล้ว ในหลายๆ สาขา${\displaystyle K}$โดยทั่วไปแล้วไม่มีใครทราบแน่ชัดว่ากลุ่มจำกัด ใดบ้าง ที่ปรากฏเป็นกลุ่มกาโลอิสเหนือ${\displaystyle K.}$นี่คือปัญหาผกผันของกาโลอิสสำหรับฟิลด์หนึ่ง ${\displaystyle K.}$(สำหรับบางฟิลด์)${\displaystyle K}$ปัญหา Galois ผกผันได้รับการแก้ไขแล้ว เช่น ฟิลด์ของฟังก์ชันตรรกยะในตัวแปรเดียวเหนือจำนวนเชิงซ้อน) ไม่ใช่ทุกกลุ่มโปรไฟไนต์จะเกิดขึ้นเป็นกลุ่ม Galois สัมบูรณ์ของฟิลด์^{[ 6 ]}
• กลุ่มพื้นฐาน เอตาเลที่พิจารณาในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตก็เป็นกลุ่มโปรไฟไนต์ด้วยเช่นกัน กล่าวโดยคร่าวๆ เพราะพีชคณิตสามารถ 'มองเห็น' การปกคลุมแบบจำกัดของวาไรตี้เชิงพีชคณิต เท่านั้น อย่างไรก็ตาม กลุ่มพื้นฐานของโทโพโลยีเชิงพีชคณิต โดยทั่วไปไม่ใช่กลุ่มโปรไฟไนต์: สำหรับกลุ่มใดๆ ที่กำหนดไว้ จะมี คอมเพล็กซ์ CWสองมิติที่มีกลุ่มพื้นฐานเท่ากับกลุ่มนั้น
• กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของต้นไม้รากที่มีขอบเขตจำกัดเฉพาะที่เป็นกลุ่มโปรไฟไนต์

• ผลคูณทุกตัวของกลุ่มโปรไฟไนต์ (จำนวนเท่าใดก็ได้) ล้วนเป็นกลุ่มโปรไฟไนต์ โทโพโลยีที่เกิดขึ้นจากความเป็นโปรไฟไนต์นั้นสอดคล้องกับโทโพโลยีของผลคูณลิมิตผกผันของระบบผกผันของกลุ่มโปรไฟไนต์ที่มีแผนที่การเปลี่ยนผ่านแบบต่อเนื่องก็เป็นกลุ่มโปรไฟไนต์ และฟังก์ชันลิมิตผกผันเป็นฟังก์ชันที่แม่นยำบนหมวดหมู่ของกลุ่มโปรไฟไนต์ ยิ่งไปกว่านั้น การเป็นโปรไฟไนต์ยังเป็นสมบัติของการขยายอีกด้วย
• ทุก กลุ่ม ย่อยปิดของกลุ่มโปรไฟไนต์นั้นเป็นกลุ่มโปรไฟไนต์ด้วยเช่นกัน โครงสร้างทางโทโพโลยีที่เกิดขึ้นจากความเป็นโปรไฟไนต์นั้นสอดคล้องกับโครงสร้างทางโทโพโลยีของปริภูมิย่อยถ้า${\displaystyle N}$เป็นกลุ่มย่อยปกติปิดของกลุ่มโปรไฟไนต์${\displaystyle G,}$จากนั้นกลุ่มปัจจัย${\displaystyle G/N}$เป็นจำนวนจำกัดเชิงโปรไฟไนต์; โทโพโลยีที่เกิดขึ้นจากความเป็นจำนวนจำกัดเชิงโปรไฟไนต์นั้นสอดคล้องกับโทโพโลยีเชิงผลหาร
• เนื่องจากกลุ่มจำกัดทุกกลุ่ม${\displaystyle G}$เป็น Hausdorff ขนาดกะทัดรัด มีการวัด Haar อยู่ บน${\displaystyle G,}$ซึ่งทำให้เราสามารถวัด "ขนาด" ของเซตย่อยได้${\displaystyle G,}$คำนวณความน่าจะเป็น บางอย่าง และอินทิเกรตฟังก์ชันบน${\displaystyle G.}$
• กลุ่มย่อยของกลุ่มโปรไฟไนต์จะเป็นกลุ่มเปิดก็ต่อเมื่อกลุ่มย่อยนั้นเป็นกลุ่มปิดและมีดัชนีจำกัด
• ตามทฤษฎีบทของNikolay NikolovและDan Segalในกลุ่มโปรไฟไนต์ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดทางโทโพโลยี (กล่าวคือ กลุ่มโปรไฟไนต์ที่มีกลุ่มย่อยที่สร้างขึ้นอย่าง จำกัดและ หนาแน่น ) กลุ่มย่อยที่มีดัชนีจำกัดจะเป็นกลุ่มเปิด นี่เป็นการขยายผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกันก่อนหน้านี้ของ Jean-Pierre Serre สำหรับ กลุ่มโปร ไฟไนต์ ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดทางโทโพโล ยี${\displaystyle p}$กลุ่มต่างๆการพิสูจน์ใช้การ จำแนกประเภทของ กลุ่มง่ายจำกัด
• จากผลลัพธ์ของ Nikolov–Segal ข้างต้น ฟังก์ชันโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่เป็นฟังก์ชันทั่วถึงใดๆ ก็ตาม${\displaystyle \varphi :G\to H}$ระหว่างกลุ่มจำกัด${\displaystyle G}$และ${\displaystyle H}$ต่อเนื่องตราบเท่าที่${\displaystyle G}$เป็นกลุ่มย่อยเปิดที่สร้างขึ้นโดยมีจำนวนจำกัดในเชิงโทโพโลยี แท้จริงแล้ว กลุ่มย่อยเปิดใดๆ ของ${\displaystyle H}$มีดัชนีจำกัด ดังนั้นภาพผกผันของมันใน${\displaystyle G}$นอกจากนี้ ยังเป็นเซตที่มีดัชนีจำกัด ดังนั้นจึงต้องเป็นเซตเปิด
• สมมติ${\displaystyle G}$และ${\displaystyle H}$กลุ่มโปรไฟไนต์ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดในเชิงทอพอโลยี ซึ่งสมมาตรกันในฐานะกลุ่มดิสครีตโดยสมมาตร${\displaystyle \iota .}$แล้ว${\displaystyle \iota }$เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงและต่อเนื่องตามผลลัพธ์ข้างต้น นอกจากนี้${\displaystyle \iota ^{-1}}$นอกจากนี้ยังต่อเนื่องด้วย ดังนั้น${\displaystyle \iota }$เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมดังนั้น โทโพโลยีบนกลุ่มโปรไฟไนต์ที่สร้างขึ้นโดยโทโพโลยีแบบจำกัด จึงถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดยโครงสร้างทางพีชคณิต ของมัน

มีแนวคิดเรื่องกลุ่มอินดิไฟไนต์ซึ่งเป็นแนวคิดคู่ขนานกับกลุ่มโปรไฟไนต์ กล่าวคือ กลุ่มอินดิไฟไนต์${\displaystyle G}$กลุ่มอินดีแฟกต์ (ind-finite group) คือกลุ่มที่เป็นลิมิตโดยตรงของระบบอุปนัยของกลุ่มจำกัด (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันคืออินดีกรุ๊ป ) แต่โดยทั่วไปแล้วจะใช้ศัพท์ที่แตกต่างออกไป คือ กลุ่ม${\displaystyle G}$เรียกว่าเป็นกลุ่มจำกัดเฉพาะที่ (locally finite)ถ้ากลุ่มย่อย ที่สร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัดทุกกลุ่ม เป็นกลุ่มจำกัด ซึ่งในความเป็นจริงแล้วเทียบเท่ากับการเป็นกลุ่ม 'จำกัดโดยตัวดำเนินการ' (ind-finite)

โดยการประยุกต์ใช้ทฤษฎีทวิภาวะของปอนทรียาจินจะเห็นได้ว่า กลุ่มโปรไฟไนต์ แบบอาเบเลียนมีความสัมพันธ์แบบทวิภาวะกับกลุ่มอาเบเลียนแบบไม่ต่อเนื่องที่มีขอบเขตจำกัดเฉพาะที่ ซึ่งกลุ่มหลังนี้ก็คือกลุ่มทอร์ชั่น แบบอาเบเลียน นั่นเอง

กลุ่มโปรไฟไนต์คือเป็นแบบโปรเจคทีฟหากมีคุณสมบัติการยกสำหรับทุกส่วนขยาย นี่เทียบเท่ากับการกล่าวว่า${\displaystyle G}$เป็นแบบโปรเจคทีฟ ถ้าสำหรับทุกมอร์ฟิซึมแบบทั่วถึงจากโปรไฟไนต์${\displaystyle H\to G}$มีส่วนหนึ่ง${\displaystyle G\to H.}$^{[ 7 ] [ 8 ]}

คุณสมบัติการฉายภาพสำหรับกลุ่มโปรไฟไนต์${\displaystyle G}$เทียบเท่ากับคุณสมบัติทั้งสองอย่าง: ^{[ 7 ]}

• มิติโคโฮโมโลจี${\displaystyle \operatorname {cd} (G)\leq 1;}$
• สำหรับจำนวนเฉพาะทุกตัว${\displaystyle p}$ไซโลว์${\displaystyle p}$-กลุ่มย่อยของ${\displaystyle G}$เป็นโปรแกรมฟรี-${\displaystyle p}$-กลุ่ม

กลุ่มโปรไฟไนต์เชิงโปรเจกทีฟทุกกลุ่มสามารถรับรู้ได้ว่าเป็นกลุ่มกาโลอิสสัมบูรณ์ของฟิลด์ปิดพีชคณิตเทียมผลลัพธ์นี้เป็นผลงานของAlexander LubotzkyและLou van den Dries ^{[ 9 ]}

กลุ่มจำกัด${\displaystyle G}$เป็นเป็นแบบโปรไซคลิกหากถูกสร้างขึ้นในเชิงโทโพโลยีโดยองค์ประกอบเดียว${\displaystyle \sigma$ นั่น คือ ถ้า${\displaystyle G={\overline {\langle \sigma \rangle }},}$การปิดกลุ่มย่อย${\displaystyle \langle \sigma \rangle =\left\{\sigma ^{n}:n\in \mathbb {Z} \right\}.}$^{[ 10 ]}

กลุ่มโทโพโลยี${\displaystyle G}$เป็นไปตามวัฏจักรก็ต่อเมื่อ${\displaystyle G\cong {\textstyle \prod \limits _{p\in S}}G_{p}}$ที่ไหน${\displaystyle p}$ครอบคลุมเซตของจำนวน เฉพาะบางเซต${\displaystyle S}$และ${\displaystyle G_{p}}$มีโครงสร้างเหมือนกับอย่างใดอย่างหนึ่ง${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$หรือ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} .}$^{[ 11 ]}

• เสร็จสมบูรณ์แบบเฮาส์ดอร์ฟ
• กลุ่มวัฏจักรท้องถิ่น
• กลุ่มโปร- พี
• จำนวนเต็มจำกัด– แนวคิดทางทฤษฎีจำนวน 
• สมบัติส่วนเหลือ (คณิตศาสตร์)
• กลุ่มจำกัดที่เหลืออยู่– ประเภทหนึ่งของกลุ่มทางคณิตศาสตร์