ผลคูณโครเนกเกอร์เป็นกรณีพิเศษของผลคูณเทนเซอร์ดังนั้นจึงเป็นทวิเชิงเส้นและมีคุณสมบัติการสลับที่ได้ :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \otimes (\mathbf {B} +\mathbf {C} )&=\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} +\mathbf {A} \otimes \mathbf {C} ,\\(\mathbf {B} +\mathbf {C} )\otimes \mathbf {A} &=\mathbf {B} \otimes \mathbf {A} +\mathbf {C} \otimes \mathbf {A} ,\\(k\mathbf {A} )\otimes \mathbf {B} &=\mathbf {A} \otimes (k\mathbf {B} )=k(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ),\\(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\otimes \mathbf {C} &=\mathbf {A} \otimes (\mathbf {B} \otimes \mathbf {C} ),\\\mathbf {A} \otimes \mathbf {0} &=\mathbf {0} \otimes \mathbf {A} =\mathbf {0} ,\end{aligned}}}$

โดยทั่วไปA ⊗ BและB ⊗ Aเป็นเมทริกซ์ที่แตกต่างกัน อย่างไรก็ตามA ⊗ BและB ⊗ Aมีความสมมูลกันในเชิงการเรียงสับเปลี่ยน หมายความว่ามีเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนPและQ อยู่จริง ซึ่ง^{[ 5 ]}

${\displaystyle \mathbf {B} \otimes \mathbf {A} =\mathbf {P} \,\left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} \right)\,\mathbf {Q} .}$

ถ้าAและBเป็นกำลังสอง แล้วA ⊗ BและB ⊗ Aจะมีความคล้ายคลึงกัน ในการเรียงสับเปลี่ยนแบบคู่ ซึ่งหมายความว่าเราสามารถใช้P = Q ^Tได้

เมทริกซ์PและQเป็นเมทริกซ์สับเปลี่ยนที่สมบูรณ์แบบ เรียกว่าเมทริกซ์ "การสลับตำแหน่ง" ^{[ 6 ]}เมทริกซ์การสลับตำแหน่งS สามารถสร้างได้โดยการนำส่วนย่อยของ เมทริกซ์เอกลักษณ์ I มาใช้ โดยที่${\displaystyle r=pq}$.

${\displaystyle \mathbf {S} _{p,q}={\begin{bmatrix}\mathbf {I} _{r}(1:q:r,:)\\\mathbf {I} _{r}(2:q:r,:)\\\vdots \\\mathbf {I} _{r}(q:q:r,:)\end{bmatrix}}}$

ในที่นี้ใช้สัญลักษณ์โคลอนใน MATLAB เพื่อระบุเมทริกซ์ย่อย และ I คือ เมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาด r × rถ้า${\displaystyle \mathbf {A} \in \mathbb {R} ^{m_{1}\times n_{1}}}$และ${\displaystyle \mathbf {B} \in \mathbb {R} ^{m_{2}\times n_{2}}}$, แล้ว

${\displaystyle \mathbf {B} \otimes \mathbf {A} =\mathbf {S} _{m_{1},m_{2}}(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\mathbf {S} _{n_{1},n_{2}}^{\textsf {T}}}$

ถ้าA , B , CและDเป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดที่สามารถสร้างผลคูณเมทริกซ์ACและBDได้ ดังนั้น^{[ 7 ]}

${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )(\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=(\mathbf {AC} )\otimes (\mathbf {BD} ).}$

คุณสมบัติ นี้เรียกว่าคุณสมบัติผลคูณผสมเนื่องจากเป็นการผสมผสานระหว่างผลคูณเมทริกซ์แบบธรรมดาและผลคูณโครเนกเกอร์

ผลที่ตามมาโดยตรง (อีกครั้ง โดยพิจารณาจาก)${\displaystyle \mathbf {A} \in \mathbb {R} ^{m_{1}\times n_{1}}}$และ${\displaystyle \mathbf {B} \in \mathbb {R} ^{m_{2}\times n_{2}}}$),

${\displaystyle \mathbf {A} \otimes \mathbf {B} =(\mathbf {I} _{m_{1}}\otimes \mathbf {B} )(\mathbf {A} \otimes \mathbf {I} _{n_{2}})=(\mathbf {A} \otimes \mathbf {I} _{m_{2}})(\mathbf {I} _{n_{1}}\otimes \mathbf {B} ).}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การใช้ คุณสมบัติ การสลับแถวและคอลัมน์จากด้านล่าง หมายความว่า ถ้า

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {Q} \otimes \mathbf {U} }$

และถ้าQและUเป็นเมทริกซ์ตั้งฉาก (หรือเมทริกซ์เอกลักษณ์ ) แล้วAก็เป็นเมทริกซ์ตั้งฉาก (หรือเมทริกซ์เอกลักษณ์) เช่นกัน

ผลคูณเมทริกซ์-เวกเตอร์แบบผสมของโครเนกเกอร์สามารถเขียนได้ดังนี้:

${\displaystyle \left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} \right)\operatorname {vec} \left(\mathbf {V} \right)=\operatorname {vec} (\mathbf {B} \mathbf {V} \mathbf {A} ^{T})}$

${\displaystyle \operatorname {vec} (\mathbf {V} )}$

${\displaystyle \mathbf {V} }$

ถ้า${\displaystyle \mathbf {A} }$และ${\displaystyle \mathbf {C} }$เป็นเมทริกซ์จัตุรัสที่มีมิติ${\displaystyle m}$, และ${\displaystyle \mathbf {B} }$และ${\displaystyle \mathbf {D} }$เป็นเมทริกซ์จัตุรัสที่มีมิติ${\displaystyle n}$จากนั้นก็เป็นคอมมิวเทเตอร์

${\displaystyle [\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ,\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} ]=[\mathbf {A} ,\mathbf {C} ]\otimes (\mathbf {B} \mathbf {D} )+(\mathbf {C} \mathbf {A} )\otimes [\mathbf {B} ,\mathbf {D} ]}$,

หรือ

${\displaystyle [\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ,\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} ]=[\mathbf {A} ,\mathbf {C} ]\otimes (\mathbf {D} \mathbf {B} )+(\mathbf {A} \mathbf {C} )\otimes [\mathbf {B} ,\mathbf {D} ]}$.

คุณสมบัติผลคูณแบบผสมยังใช้ได้กับผลคูณแบบองค์ประกอบต่อองค์ประกอบด้วย ถ้าAและCเป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากัน และBและDเป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากัน^{[ 7 ]}

${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\circ (\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \circ \mathbf {C} )\otimes (\mathbf {B} \circ \mathbf {D} ).}$

ดังนั้นA ⊗ Bจะหาอินเวอร์สได้ก็ต่อเมื่อทั้งAและBหาอินเวอร์สได้ ซึ่งในกรณีนี้ อินเวอร์สจะกำหนดโดย

${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}\otimes \mathbf {B} ^{-1}.}$

คุณสมบัติผลคูณที่ผกผันได้ยังคงใช้ได้กับผกผันเทียมของ Moore–Penroseเช่นกัน^{[ 7 ] [ 8 ]} นั่นคือ

${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{+}=\mathbf {A} ^{+}\otimes \mathbf {B} ^{+}.}$

ในภาษาของทฤษฎีหมวดหมู่คุณสมบัติผลคูณผสมของผลคูณโครเนกเกอร์ (และผลคูณเทนเซอร์ทั่วไป) แสดงให้เห็นว่าหมวดหมู่Mat ของเมทริกซ์เหนือฟิลด์F นั้นเป็น หมวดหมู่โมโนอิดัลจริง ๆโดยมีวัตถุเป็นจำนวนธรรมชาติnมอร์ฟิซึมn → mเป็น เมทริกซ์ n × mที่มีรายการอยู่ในFการประกอบกำหนดโดยการคูณเมทริกซ์ลูกศรเอกลักษณ์เป็นเพียงเมทริกซ์เอกลักษณ์n × n I และผลคูณเทนเซอร์กำหนดโดยผลคูณโครเนกเกอร์^{[ 9 ]}

การสลับตำแหน่งและการสลับตำแหน่งแบบคอนจูเกตเป็นคุณสมบัติการกระจายตัวของผลคูณโครเนกเกอร์:

${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{\textsf {T}}=\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\otimes \mathbf {B} ^{\textsf {T}}}$และ${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{*}=\mathbf {A} ^{*}\otimes \mathbf {B} ^{*}.}$

ให้Aเป็น เมทริกซ์ขนาด n × nและให้Bเป็น เมทริกซ์ขนาด m × mแล้ว

${\displaystyle \left|\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} \right|=\left|\mathbf {A} \right|^{m}\left|\mathbf {B} \right|^{n}.}$

ถ้าAเป็น เมทริกซ์ ขนาด n × n , Bเป็น เมทริกซ์ขนาด m × mและI แทนเมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาดk × k แล้วเราสามารถกำหนดสิ่งที่บางครั้งเรียกว่าผลรวมโครเนกเกอร์ ( ⊕)ได้โดย

${\displaystyle \mathbf {A} \,{\overline {\oplus }}\,\mathbf {B} =\mathbf {A} \otimes \mathbf {I} _{m}+\mathbf {I} _{n}\otimes \mathbf {B} .}$

นี่แตกต่างจากการบวกโดยตรงของเมทริกซ์สองเมทริกซ์ การดำเนินการนี้เกี่ยวข้องกับผลคูณเทนเซอร์บนพีชคณิตลีดังที่ได้อธิบายไว้ด้านล่าง ( #คุณสมบัติเชิงนามธรรม ) ในหัวข้อ "ความสัมพันธ์กับผลคูณเทนเซอร์เชิง นามธรรม "

เรามีสูตรต่อไปนี้สำหรับเมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียลซึ่งมีประโยชน์ในการประเมินเชิงตัวเลขบางอย่าง^{[ 10 ]}

${\displaystyle \exp({\mathbf {N} \,{\overline {\oplus }}\,\mathbf {M} })=\exp(\mathbf {N} )\otimes \exp(\mathbf {M} )}$

ผลรวมโครเนกเกอร์ปรากฏขึ้นตามธรรมชาติในวิชาฟิสิกส์เมื่อพิจารณากลุ่มของระบบ ที่ไม่เกิดปฏิสัมพันธ์ กัน

ถ้าH ^rคือแฮมิลโทเนียนของระบบที่rดังกล่าว แฮมิลโทเนียนทั้งหมดของกลุ่มระบบจะเป็น

${\displaystyle H_{\operatorname {Tot} }={\overline {\bigoplus _{r}}}H^{r}.}$

อนุญาต${\displaystyle A}$เป็น${\displaystyle m\times n}$เมทริกซ์และ${\displaystyle B}$เอ${\displaystyle p\times q}$เมทริกซ์ เมื่อสลับลำดับของการคูณโครเนกเกอร์และการแปลงเป็นเวกเตอร์ การดำเนินการทั้งสองสามารถเชื่อมโยงกันได้ในเชิงเส้นผ่านฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับ เมท ริกซ์การสลับตำแหน่ง${\displaystyle K_{qm}}$นั่นคือ${\displaystyle \operatorname {vec} (\operatorname {Kron} (A,B))}$และ${\displaystyle \operatorname {Kron} (\operatorname {vec} A,\operatorname {vec} B)}$มีความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้:

${\displaystyle \operatorname {vec} (A\otimes B)=(I_{n}\otimes K_{qm}\otimes I_{p})(\operatorname {vec} A\otimes \operatorname {vec} B).}$

นอกจากนี้ ความสัมพันธ์ข้างต้นยังสามารถจัดเรียงใหม่ได้ในรูปของ${\displaystyle \operatorname {vec} A}$หรือ${\displaystyle \operatorname {vec} B}$ดังต่อไปนี้:

${\displaystyle \operatorname {vec} (A\otimes B)=(I_{n}\otimes G)\operatorname {vec} A=(H\otimes I_{p})\operatorname {vec} B,}$

ที่ไหน

${\displaystyle G=(K_{qm}\otimes I_{p})(I_{m}\otimes \operatorname {vec} B){\text{ and }}H=(I_{n}\otimes K_{qm})(\operatorname {vec} A\otimes I_{q}).}$

สมมติว่าAและBเป็นเมทริกซ์จัตุรัสขนาดnและmตามลำดับ ให้λ , ..., λ เป็นค่าลักษณะเฉพาะของAและμ , ..., μ เป็นค่าลักษณะเฉพาะของB (เรียงตามจำนวนครั้งที่ปรากฏ ) แล้วค่าลักษณะเฉพาะของA ⊗ Bคือ

${\displaystyle \lambda _{i}\mu _{j},\qquad i=1,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,m.}$

ดังนั้น ผลรวมของ ร่องรอยและดีเทอร์มิแนนต์ของผลคูณโครเนกเกอร์จึงกำหนดโดย

${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=\operatorname {tr} \mathbf {A} \,\operatorname {tr} \mathbf {B} \quad {\text{and}}\quad \det(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=(\det \mathbf {A} )^{m}(\det \mathbf {B} )^{n}.}$

ถ้าAและBเป็นเมทริกซ์สี่เหลี่ยมผืนผ้า เราสามารถพิจารณาค่าเอกลักษณ์ของเมทริกซ์ทั้งสอง ได้ สมมติว่าAมีค่าเอกลักษณ์ที่ไม่เป็นศูนย์จำนวนr

${\displaystyle \sigma _{\mathbf {A} ,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{\mathbf {A} }.}$

ในทำนองเดียวกัน ให้แทนค่าเอกลักษณ์ที่ไม่เป็นศูนย์ของBด้วย

${\displaystyle \sigma _{\mathbf {B} ,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{\mathbf {B} }.}$

ดังนั้น ผลคูณโครเนกเกอร์A ⊗ Bจึงมี ค่าเอกลักษณ์ที่ไม่เป็นศูนย์ r r กล่าวคือ

${\displaystyle \sigma _{\mathbf {A} ,i}\sigma _{\mathbf {B} ,j},\qquad i=1,\ldots ,r_{\mathbf {A} },\,j=1,\ldots ,r_{\mathbf {B} }.}$

เนื่องจากอันดับของเมทริกซ์เท่ากับจำนวนค่าเอกฐานที่ไม่เป็นศูนย์ เราจึงพบว่า

${\displaystyle \operatorname {rank} (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=\operatorname {rank} \mathbf {A} \,\operatorname {rank} \mathbf {B} .}$

ผลคูณโครเนกเกอร์ของเมทริกซ์สอดคล้องกับผลคูณเทนเซอร์เชิงนามธรรมของแผนที่เชิงเส้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าปริภูมิเวกเตอร์V , W , XและYมีฐาน{ v , ..., v }, { w , ..., w }, { x , ..., x }และ{ y , ..., y }ตามลำดับ และถ้าเมทริกซ์AและBแทนการแปลงเชิงเส้นS  : V → XและT  : W → Yตามลำดับในฐานที่เหมาะสมแล้ว เมทริกซ์A ⊗ Bจะแทนผลคูณเทนเซอร์ของแผนที่สองแผนที่S ⊗ T  : V ⊗ W → X ⊗ Yโดยสัมพันธ์กับฐาน{ v ⊗ w , v ⊗ w , ..., v ⊗ w , ..., v ⊗ w }ของV ⊗ Wและฐานที่กำหนดในทำนองเดียวกันของX ⊗ Yโดยมีคุณสมบัติว่าA ⊗ B ( v ⊗ w ) = ( Av ) ⊗ ( Bw )โดยที่iและjเป็นจำนวนเต็มในช่วงที่เหมาะสม^{[ 11 ]}