สมการคลื่น

คลื่น พัลส์ที่เคลื่อนที่ผ่านสายที่มีจุดปลายคงที่ ตามแบบจำลองของสมการคลื่น

คลื่นทรงกลมที่มาจากแหล่งกำเนิดจุด

คำตอบของสมการคลื่น 2 มิติ

สมการคลื่น เป็น สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิงเส้นอันดับสองสำหรับอธิบายคลื่นหรือ สนาม คลื่นนิ่งเช่นคลื่นกล (เช่นคลื่นน้ำ คลื่นเสียงและคลื่นแผ่นดินไหว ) หรือคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า (รวมถึง คลื่น แสง ) สมการนี้เกิดขึ้นในสาขาต่างๆ เช่นอะคูสติกส์แม่เหล็กไฟฟ้าและพลศาสตร์ของไหล

บทความนี้เน้นที่คลื่นในฟิสิกส์คลาสสิก ฟิสิกส์ ควอนตัมใช้ สมการคลื่นแบบอิงตัวดำเนินการซึ่งมักเรียกว่าสมการคลื่นเชิงสัมพัทธภาพ

การแนะนำ

สมการคลื่นเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบไฮเปอร์โบลิกที่อธิบายคลื่น รวมถึงคลื่นเคลื่อนที่และคลื่นนิ่ง โดยคลื่นนิ่ง สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นผลรวมเชิงเส้นของคลื่นที่เคลื่อนที่ในทิศทางตรงกันข้าม บทความนี้เน้นที่สมการคลื่นสเกลาร์เป็นหลัก ซึ่งอธิบายคลื่นในสเกลาร์โดยฟังก์ชันสเกลาร์ของตัวแปรเวลา(ตัวแปรที่แสดงถึงเวลา) และตัวแปรเชิงพื้นที่หนึ่งตัวหรือมากกว่า(ตัวแปรที่แสดงตำแหน่งในพื้นที่ที่กำลังพิจารณา) ในขณะเดียวกันก็มีสมการคลื่นเวกเตอร์ที่อธิบายคลื่นในเวกเตอร์เช่นคลื่นสำหรับสนามไฟฟ้า สนามแม่เหล็ก ศักย์เวกเตอร์แม่เหล็กและคลื่นยืดหยุ่นเมื่อเปรียบเทียบกับสมการคลื่นเวกเตอร์ สมการคลื่นสเกลาร์สามารถมองได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของสมการคลื่นเวกเตอร์ ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสมการคลื่นสเกลาร์เป็นสมการที่แต่ละองค์ประกอบ (สำหรับแต่ละแกนพิกัด เช่นองค์ประกอบสำหรับ แกน x ) ของคลื่นเวกเตอร์ที่ไม่มีแหล่งกำเนิดคลื่นในโดเมนที่พิจารณา (เช่น พื้นที่และเวลา) ต้องเป็นไปตามเงื่อนไข ตัวอย่างเช่น ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน สำหรับการแสดงเวกเตอร์สนามไฟฟ้าแบบคลื่นในกรณีที่ไม่มีแหล่งกำเนิดคลื่น ส่วนประกอบแต่ละแกนพิกัดจะต้องสอดคล้องกับสมการคลื่นสเกลาร์ คำตอบของสมการคลื่นสเกลาร์อื่นๆ $u$ ใช้สำหรับปริมาณทางกายภาพในรูปสเกลาร์เช่นความดันในของเหลวหรือก๊าซ หรือการกระจัดตามทิศทางเฉพาะของอนุภาคของของแข็งที่สั่นสะเทือนออกจากตำแหน่งพัก (สมดุล) $u=u(x,y,z,t)$ $t$ $x,y,z$ $x$ $(E_{x},E_{y},E_{z})$ ${\vec {E}}$ $E_{i},i=x,y,z,$

สมการคลื่นสเกลาร์คือ

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)$

ที่ไหน

$c$ เป็นค่าสัมประสิทธิ์ คงที่ที่ไม่เป็นลบและเป็นจำนวน จริง ซึ่งแสดงถึงความเร็วในการแพร่กระจายของคลื่น
$u$ เป็นปริมาณสเกลาร์ที่แสดงถึงการกระจัด หรือโดยทั่วไปแล้วคือปริมาณที่อนุรักษ์ไว้ (เช่นความดันหรือความหนาแน่น )
$x,y,$ โดยที่ คือพิกัดเชิงพื้นที่ทั้งสาม และคือพิกัดเวลา $z$ $t$

สมการดังกล่าวระบุว่า ณ จุดใด ๆ อนุพันธ์อันดับสองของเทียบกับเวลา จะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับผลรวมของอนุพันธ์อันดับสองของเทียบกับพื้นที่ โดยที่ค่าคงที่ของสัดส่วนคือค่ากำลังสองของความเร็วของคลื่น $u$ $u$

โดยใช้สัญลักษณ์จากแคลคูลัสเวกเตอร์สมการคลื่นสามารถเขียนได้อย่างกระชับดังนี้ หรือ โดยที่ตัวห้อยสองตัวหมายถึง อนุพันธ์ย่อย อันดับสองเทียบกับเวลาคือตัวดำเนินการลาปลาสและ คือ ตัวดำเนินการดาล็องแบร์ ซึ่งกำหนดไว้ดังนี้: $u_{tt}=c^{2}\Delta u,$ $\Box u=0,$ $\Delta$ $\Box$ $u_{tt}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}},\qquad \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}},\qquad \Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\Delta .$

การแก้สมการคลื่น (สองทิศทาง) นี้อาจค่อนข้างซับซ้อน อย่างไรก็ตาม สามารถวิเคราะห์ได้ว่าเป็นผลรวมเชิงเส้นของคำตอบง่ายๆ ซึ่งเป็นคลื่นระนาบไซน์ที่ มีทิศทางการแพร่กระจายและความยาวคลื่นต่างกัน แต่มีอัตราเร็วการแพร่กระจายเท่ากันทั้งหมดการวิเคราะห์นี้เป็นไปได้เพราะสมการคลื่นเป็นเชิงเส้นและเอกพันธุ์ ดังนั้นผลคูณใดๆ ของคำตอบหนึ่งก็เป็นคำตอบหนึ่งเช่นกัน และผลรวมของคำตอบสองคำตอบใดๆ ก็เป็นคำตอบหนึ่งเช่นกัน คุณสมบัตินี้เรียกว่าหลักการซ้อนทับในทางฟิสิกส์ $c$

สมการคลื่นเพียงอย่างเดียวไม่ได้ระบุคำตอบทางกายภาพที่แน่นอน คำตอบที่ไม่ซ้ำกันมักจะได้มาจากการกำหนดปัญหาที่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม เช่นเงื่อนไขเริ่มต้นซึ่งกำหนดแอมพลิจูดและเฟสของคลื่น ปัญหาสำคัญอีกประเภทหนึ่งเกิดขึ้นในพื้นที่ปิดที่กำหนดโดยเงื่อนไขขอบเขตซึ่งคำตอบจะแสดงถึงคลื่นนิ่งหรือฮาร์โมนิกคล้ายกับฮาร์โมนิกของเครื่องดนตรี

สมการคลื่นในมิติเดียวของพื้นที่

สมการคลื่นในมิติเชิงพื้นที่เดียวสามารถเขียนได้ดังนี้: โดยทั่วไปแล้วสมการนี้จะถูกอธิบายว่ามีเพียงมิติเชิงพื้นที่เดียวเนื่องจากตัวแปรอิสระ อื่น ๆ เพียงอย่าง เดียวคือเวลา ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.$ $x$ $t$

อนุพันธ์

สมการคลื่นในมิติพื้นที่หนึ่งสามารถหาได้จากการตั้งค่าทางกายภาพที่แตกต่างกันหลายอย่าง ที่รู้จักกันดีที่สุดคือ สามารถหาได้จากกรณีของสายที่สั่น ในระนาบสองมิติ โดยที่แต่ละองค์ประกอบถูกดึงไปในทิศทาง ตรงกันข้ามด้วยแรงตึง^{[ 2 ]}

อีกหนึ่งวิธีทางกายภาพในการหาอนุพันธ์ของสมการคลื่นในมิติเดียวคือการใช้กฎของฮุกในทฤษฎีความยืดหยุ่นกฎของฮุกเป็นการประมาณค่าสำหรับวัสดุบางชนิด โดยระบุว่าปริมาณที่วัสดุเกิดการเสียรูป ( ความเครียด ) มีความสัมพันธ์เชิงเส้นกับแรงที่ทำให้เกิดการเสียรูป ( ความเค้น )

กฎของฮุค

สมการคลื่นในกรณีหนึ่งมิติสามารถหาได้จากกฎของฮุกในลักษณะต่อไปนี้: ลองนึกภาพตุ้มน้ำหนักเล็กๆ จำนวนมากที่มีมวลเชื่อมต่อกันด้วยสปริงไร้มวลที่มีความยาว⁠ ⁠โดยสปริงเหล่านี้มีค่าคงที่สปริงเท่ากับ⁠ ⁠ : $m$ $h$ $k$

ในที่นี้ ตัวแปรตามวัดการกระจัดในแนวนอนจากตำแหน่งสมดุลของมวลที่อยู่ที่⁠ ⁠ดังนั้นโดยพื้นฐานแล้วจึงเป็นการวัดขนาดของการรบกวน (เช่น ความเครียด) ที่เคลื่อนที่ในวัสดุยืดหยุ่น แรงลัพธ์ที่กระทำต่อมวลณ ตำแหน่งนั้นคือ: $u(x)$ $x$ $u(x)$ $m$ $x+h$ ${\begin{aligned}F_{\text{Hooke}}&=F_{x+2h}-F_{x}=k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)]-k[u(x+h,t)-u(x,t)].\end{aligned}}$

โดยการเทียบสมการหลังกับ ${\begin{aligned}F_{\text{Newton}}&=m\,a(t)=m\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x+h,t),\end{aligned}}$

สมการการเคลื่อนที่ของน้ำหนัก ณ ตำแหน่ง⁠ ⁠ $x+h$ จะได้ดังนี้: ถ้าอาร์เรย์ของน้ำหนักประกอบด้วยน้ำหนักที่เว้นระยะห่างเท่าๆ กันตลอดความยาวของมวลรวม⁠ ⁠และค่าคงที่สปริง รวม ของอาร์เรย์⁠ ⁠เราสามารถเขียนสมการข้างต้นได้ดังนี้ ${\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x+h,t)={\frac {k}{m}}[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)].$ $N$ $L=Nh$ $M=Nm$ $K=k/N$ ${\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x+h,t)={\frac {KL^{2}}{M}}{\frac {[u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t)]}{h^{2}}}.$

เมื่อพิจารณาลิมิตและสมมติว่ามีความเรียบ จะได้ ซึ่งมาจากนิยามของอนุพันธ์อันดับสองโดยคือกำลังสองของความเร็วในการแพร่กระจายในกรณีนี้ $N\rightarrow \infty ,h\rightarrow 0$ ${\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}}={\frac {KL^{2}}{M}}{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}},$ $KL^{2}/M$

ความเครียดที่พุ่งขึ้นในบาร์

ในกรณีที่แรงกระตุ้นแพร่กระจายไปตามแนวยาวผ่านแท่งวัสดุ แท่งวัสดุนั้นจะทำหน้าที่คล้ายกับสปริงจำนวนอนันต์ที่ต่อกันเป็นอนุกรม และสามารถนำมาพิจารณาเป็นส่วนขยายของสมการที่ได้มาจากกฎของฮุคได้ แท่งวัสดุที่เป็นเนื้อเดียวกัน กล่าวคือ มีหน้าตัดคงที่ ทำจากวัสดุที่มีความยืดหยุ่นเชิงเส้น จะมีค่าความแข็งเกร็งกำหนดโดย โดย ที่คือพื้นที่หน้าตัด และคือโมดูลัสของยังของวัสดุ สมการคลื่นจึงกลายเป็น $K$ $K={\frac {EA}{L}},$ $A$ $E$ ${\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}}={\frac {EAL}{M}}{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}}.$

$AL$ เท่ากับปริมาตรของแท่ง และดังนั้น โดยที่คือความหนาแน่นของวัสดุ สมการคลื่นลดรูปเหลือเป็น ${\frac {AL}{M}}={\frac {1}{\rho }},$ $\rho$ ${\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}}={\frac {E}{\rho }}{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}}.$

ดังนั้น ความเร็วของคลื่นความเค้นในแท่งโลหะจึงเป็น. ${\sqrt {E/\rho }}$

วิธีแก้ปัญหาทั่วไป

แนวทางพีชคณิต

สำหรับสมการคลื่นหนึ่งมิติ อาจพบวิธีแก้ปัญหาทั่วไปที่ค่อนข้างง่าย การกำหนดตัวแปรใหม่^{[ 3 ]} จะเปลี่ยนสมการคลื่นเป็น ซึ่งนำไปสู่วิธีแก้ปัญหาทั่วไป ${\begin{aligned}\xi &=x-ct,\\\eta &=x+ct\end{aligned}}$ ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial \xi \partial \eta }}(x,t)=0,$ $u(x,t)=F(\xi )+G(\eta )=F(x-ct)+G(x+ct).$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง วิธีแก้ปัญหาคือผลรวมของฟังก์ชันที่เคลื่อนที่ไปทางขวาและฟังก์ชันที่เคลื่อนที่ไปทางซ้าย"การเคลื่อนที่" หมายความว่ารูปร่างของฟังก์ชันที่กำหนดขึ้นเองเหล่านี้เมื่อเทียบกับ $x$ ยังคงคงที่ อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันจะถูกเลื่อนไปทางซ้ายและขวาตามเวลาด้วยความเร็วซึ่งได้มาจากJean le Rond d' Alembert ^[⁴^] $F$ $G$ $c$

อีกวิธีหนึ่งที่จะได้ผลลัพธ์นี้คือการแยกตัวประกอบสมการคลื่นโดยใช้ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งสองตัว: จากนั้น สำหรับสมการดั้งเดิมของเรา เราสามารถกำหนด และพบว่าเราต้องมี $\left[{\frac {\partial }{\partial t}}-c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]u=0.$ $v\equiv {\frac {\partial u}{\partial t}}+c{\frac {\partial u}{\partial x}},$ ${\frac {\partial v}{\partial t}}-c{\frac {\partial v}{\partial x}}=0.$

สมการการพาความร้อนนี้สามารถแก้ได้โดยการตีความว่ามันบอกเราว่าอนุพันธ์เชิงทิศทางของในทิศทาง มีค่าเป็น 0 ซึ่งหมายความว่าค่าของมีค่าคงที่บน เส้น ลักษณะเฉพาะในรูปแบบ $x$ $+$ $ct$ $=$ $x$ $0$ และดังนั้นจะต้องขึ้นอยู่กับ $x$ $+$ $ct$ เท่านั้น นั่นคือมีรูปแบบ $H$ $($ $x$ $+$ $ct$ $)$ จากนั้น เพื่อแก้สมการแรก (ไม่เอกพันธุ์) ที่เกี่ยวข้องกับ $u$ เราสามารถสังเกตได้ว่าคำตอบเอกพันธุ์ของมันต้องเป็นฟังก์ชันในรูปแบบ $F$ $($ $x$ $-$ $ct$ $)$ โดยใช้ตรรกะที่คล้ายกับข้างต้น เมื่อเดาคำตอบเฉพาะในรูปแบบ $G$ $($ $x$ $+$ $ct$ $)$ เราพบว่า $v$ $(1,-c)$ $v$ $v$ $v$

$\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]G(x+ct)=H(x+ct).$

เมื่อกระจายด้านซ้ายออกมา จัดเรียงพจน์ใหม่ แล้วใช้การเปลี่ยนตัวแปร $s = x + ct$ จะทำให้สมการง่ายขึ้นเป็น

$G'(s)={\frac {H(s)}{2c}}.$

ซึ่งหมายความว่าเราสามารถหาคำตอบเฉพาะ $G ในรูปแบบ$ ^ที่ ต้องการได้โดยการอินทิเกรต ดังนั้น เราได้แสดงให้เห็นอีกครั้งว่า $u$ เป็นไปตาม $u (x, t) = F (x - ct) + G (x + ct)$ [ ^{5 ]}

สำหรับปัญหาค่าเริ่มต้นฟังก์ชัน $F$ และ $G$ ใดๆ สามารถกำหนดขึ้นเพื่อให้สอดคล้องกับเงื่อนไขเริ่มต้นได้: $u(x,0)=f(x),$ $u_{t}(x,0)=g(x).$

ผลลัพธ์ที่ได้คือสูตรของดาล็องแบร์ : $u(x,t)={\frac {f(x-ct)+f(x+ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}g(s)\,ds.$

$ในความหมายแบบ คลาส สิ$ $ก$ ถ้า $f (x) \in Ck$ และ $g (x) \in Ck -1 แล้ว$ u $(t, x) \in Ck$ อย่างไรก็ตาม รูปคลื่น $F$ และ $G$ อาจเป็นฟังก์ชันทั่วไปเช่น ฟังก์ชันเดลต้า ในกรณีนั้น ผลเฉลยอาจถูกตีความว่าเป็นแรงกระตุ้นที่เคลื่อนที่ไปทางขวาหรือทางซ้าย

สมการคลื่นพื้นฐานเป็นสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นดังนั้นจึงสอดคล้องกับหลักการซ้อนทับหมายความว่า การกระจัดสุทธิที่เกิดจากคลื่นสองลูกขึ้นไปจะเป็นผลรวมของการกระจัดที่เกิดจากแต่ละคลื่นแยกกัน นอกจากนี้ พฤติกรรมของคลื่นสามารถวิเคราะห์ได้โดยการแยกคลื่นออกเป็นส่วนประกอบ เช่นการแปลงฟูริเยร์จะแยกคลื่นออกเป็นส่วนประกอบไซน์

โหมดไอเกนของคลื่นระนาบ

อีกวิธีหนึ่งในการแก้สมการคลื่นหนึ่งมิติคือการวิเคราะห์โหมดความถี่เฉพาะ ( eigenmodes ) ก่อน โหมดความถี่เฉพาะนี้คือคำตอบที่แกว่งไปมาตามเวลาด้วยความถี่เชิงมุมคงที่ $ω$ ที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน โดยที่ส่วนเวลาของฟังก์ชันคลื่นจะมีรูปแบบ $e - iωt = cos(ωt) - i sin(ωt)$ และแอมพลิจูดเป็นฟังก์ชัน $f (x)$ ของตัวแปรเชิงพื้นที่ $x$ ซึ่งทำให้สามารถแยกตัวแปรสำหรับฟังก์ชันคลื่นได้ $u_{\omega }(x,t)=e^{-i\omega t}f(x).$

สิ่งนี้ทำให้เกิดสมการเชิงอนุพันธ์สามัญสำหรับส่วนเชิงพื้นที่ $f (x)$ : ${\frac {\partial ^{2}u_{\omega }}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\left(e^{-i\omega t}f(x)\right)=-\omega ^{2}e^{-i\omega t}f(x)=c^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(e^{-i\omega t}f(x)\right).$

ดังนั้น สมการ นี้จึงเป็นสมการค่าลักษณะเฉพาะสำหรับ $f$ $($ $x$ $)$ อย่างแม่นยำ จึง ได้ชื่อว่าโหมดลักษณะเฉพาะ หรือที่รู้จักกันในชื่อสมการเฮล์มโฮลทซ์ ซึ่งมี คำตอบ เป็นคลื่นระนาบที่รู้จักกันดี โดยมีเลขคลื่น $k$ $=$ $ω$ $/$ $c$ ${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)=-\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}f(x),$ $f(x)=Ae^{\pm ikx},$

ฟังก์ชันคลื่นรวมสำหรับโหมดเฉพาะนี้จึงเป็นการรวมเชิงเส้น โดยที่จำนวนเชิงซ้อน $A$ และ $B$ นั้นขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้นและเงื่อนไขขอบเขตของปัญหาโดยทั่วไป $u_{\omega }(x,t)=e^{-i\omega t}\left(Ae^{-ikx}+Be^{ikx}\right)=Ae^{-i(kx+\omega t)}+Be^{i(kx-\omega t)},$

โหมดเฉพาะ (Eigenmodes) มีประโยชน์ในการสร้างคำตอบที่สมบูรณ์ของสมการคลื่น เนื่องจากแต่ละโหมดเฉพาะจะวิวัฒนาการตามเวลาอย่างง่ายดายด้วยตัวประกอบเฟส ดังนั้นคำตอบที่สมบูรณ์จึงสามารถแยกย่อยออกเป็นการขยาย โหมดเฉพาะได้ หรือในรูปของคลื่นระนาบ ซึ่งอยู่ในรูปแบบเดียวกันกับวิธีการทางพีชคณิต ฟังก์ชัน $s$ $\pm$ $($ $ω$ $)$ เรียกว่าส่วนประกอบฟูริเยร์และถูกกำหนดโดยเงื่อนไขเริ่มต้นและเงื่อนไขขอบเขต นี่คือวิธีการที่เรียกว่า วิธีการ ในโดเมนความถี่ซึ่งเป็นทางเลือกแทน การแพร่กระจาย ในโดเมนเวลา โดยตรง เช่น วิธี FDTDของกลุ่มคลื่น $u$ $($ $x$ $,$ $t$ $)$ ซึ่งสมบูรณ์สำหรับการแสดงคลื่นในกรณีที่ไม่มีการยืดเวลา ความสมบูรณ์ของการขยายฟูริเยร์สำหรับการแสดงคลื่นในกรณีที่มีการยืดเวลาถูกท้าทายโดย คำตอบของคลื่น ชิป (chirp wave solutions ) ที่อนุญาตให้ $ω$ เปลี่ยนแปลงตามเวลา^[⁶^]โซลูชันคลื่นชิปดูเหมือนจะบ่งชี้โดยเฉพาะอย่างยิ่งจากค่าตกค้างของเรดาร์ขนาดใหญ่มากแต่ก่อนหน้านี้ไม่สามารถอธิบายได้ในความผิดปกติของการบินผ่านและแตกต่างจากโซลูชันไซนูซอยด์ตรงที่สามารถรับได้ในระยะใดๆ ก็ตามที่ความถี่ที่เลื่อนตามสัดส่วนและการยืดเวลา ซึ่งสอดคล้องกับสถานะชิปในอดีตของแหล่งกำเนิด $e^{-i\omega t},$ $u(x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }s(\omega )u_{\omega }(x,t)\,d\omega ,$ ${\begin{aligned}u(x,t)&=\int _{-\infty }^{\infty }s_{+}(\omega )e^{-i(kx+\omega t)}\,d\omega +\int _{-\infty }^{\infty }s_{-}(\omega )e^{i(kx-\omega t)}\,d\omega \\&=\int _{-\infty }^{\infty }s_{+}(\omega )e^{-ik(x+ct)}\,d\omega +\int _{-\infty }^{\infty }s_{-}(\omega )e^{ik(x-ct)}\,d\omega \\&=F(x-ct)+G(x+ct),\end{aligned}}$

สมการคลื่นเวกเตอร์ในสามมิติ

สมการคลื่นเวกเตอร์ (ซึ่งสามารถอนุมานสมการคลื่นสเกลาร์ได้โดยตรง) สามารถหาได้โดยการใช้สมดุลแรงกับปริมาตรส่วน เล็ก ๆ ถ้าตัวกลางมีโมดูลัสความยืดหยุ่นที่เป็นเนื้อเดียวกัน (กล่าวคือไม่ขึ้นอยู่กับ) ภายในปริมาตรส่วนนั้น เทนเซอร์ความเค้นของตัวกลางจะกำหนดโดยสำหรับการโก่งตัวยืดหยุ่นแบบเวกเตอร์ สมดุลเฉพาะที่ของ: $E$ $\mathbf {x}$ $\mathbf {T} =E\nabla \mathbf {u}$ $\mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)$

แรงดึงเนื่องจากการโก่งตัวและ $\operatorname {div} \mathbf {T} =\nabla \cdot (E\nabla \mathbf {u} )=E\Delta \mathbf {u}$ $\mathbf {u}$
แรงเฉื่อยที่เกิดจากความเร่งเฉพาะที่ $\rho \partial ^{2}\mathbf {u} /\partial t^{2}$ $\partial ^{2}\mathbf {u} /\partial t^{2}$

สามารถเขียนได้ดังนี้ $\rho {\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}-E\Delta \mathbf {u} =\mathbf {0} .$

โดยการรวมโมดูลความหนาแน่นและความยืดหยุ่นเข้าด้วยกัน จะได้ ความเร็วเสียง(กฎของวัสดุ) หลังจากแทรกแล้ว จะได้สมการคลื่นควบคุมที่รู้จักกันดีสำหรับตัวกลางที่เป็นเนื้อเดียวกัน: ^[⁷^] (หมายเหตุ: แทนที่จะใช้เวกเตอร์สามารถใช้สเกลาร์ได้เท่านั้น กล่าวคือ คลื่นจะเดินทางเฉพาะตาม แกน และสมการคลื่นสเกลาร์จะเป็นดังนี้) $\rho$ $E,$ $c={\sqrt {E/\rho }}$ ${\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}-c^{2}\Delta \mathbf {u} ={\boldsymbol {0}}.$ $\mathbf {u} (\mathbf {x} ,t),$ $u(x,t)$ $x$ ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0$

สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเวกเตอร์อันดับที่ 2 ข้างต้นให้คำตอบสองคำตอบที่เป็นอิสระต่อกัน จากพจน์ความเร็วแบบกำลังสองจะเห็นได้ว่ามีคลื่นสองลูกที่เดินทางในทิศทางตรงกันข้ามและเป็นไปได้ ดังนั้นจึงได้กำหนดเป็น "สมการคลื่นสองทิศทาง" สามารถแสดงได้ว่าสำหรับ การแพร่กระจาย ของคลื่นตาม ยาว ในระนาบ การสังเคราะห์สมการคลื่นทิศทางเดียว สองสม การนำไปสู่สมการคลื่นสองทิศทางทั่วไป สำหรับสมการคลื่นสองทิศทางพิเศษที่มีตัวดำเนินการ d'Alembert จะได้ผลลัพธ์ดังนี้: ^[⁸^] สำหรับสิ่งนี้จะลดรูปเป็น ดังนั้นสมการคลื่นทิศทางเดียวอันดับที่ 1 แบบเวกเตอร์ที่มีคลื่นเดินทางในทิศทางการแพร่กระจายที่กำหนดไว้ล่วงหน้าจะได้ผลลัพธ์ดังนี้ ^[⁹^] $c^{2}=(+c)^{2}=(-c)^{2}$ $+c$ $-c$ $\nabla \mathbf {c} =\mathbf {0} ,$ $\left({\frac {\partial }{\partial t}}-\mathbf {c} \cdot \nabla \right)\left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {c} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+(\mathbf {c} \cdot \nabla )\mathbf {c} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+(\mathbf {c} \cdot \nabla )^{2}\right)\mathbf {u} =\mathbf {0} .$ $\nabla \mathbf {c} =\mathbf {0} ,$ $\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+c^{2}\Delta \right)\mathbf {u} =\mathbf {0} .$ $\mathbf {c}$ ${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}-\mathbf {c} \cdot \nabla \mathbf {u} =\mathbf {0} .$

สมการคลื่นสเกลาร์ในสามมิติของปริภูมิ

สามารถหาคำตอบของปัญหาค่าเริ่มต้นสำหรับสมการคลื่นในสามมิติได้จากคำตอบที่สอดคล้องกันสำหรับคลื่นทรงกลม จากนั้นสามารถนำผลลัพธ์ที่ได้ไปใช้เพื่อหาคำตอบเดียวกันในสองมิติได้เช่นกัน

คลื่นทรงกลม

เพื่อให้ได้คำตอบที่มีความถี่คงที่ ให้ใช้การแปลงฟูริเยร์ ซึ่งจะแปลงสมการคลื่นให้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบวงรีในรูปแบบ: $\Psi (\mathbf {r} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\Psi (\mathbf {r} ,\omega )e^{-i\omega t}\,d\omega ,$ $\left(\nabla ^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\Psi (\mathbf {r} ,\omega )=0.$

นี่คือสมการเฮล์มโฮลทซ์และสามารถแก้ได้โดยใช้การแยกตัวแปรในพิกัดทรงกลมจะนำไปสู่การแยกตัวแปรเชิงรัศมีและเชิงมุม โดยเขียนคำตอบได้ดังนี้: ^{[ 10 ]} ส่วนเชิงมุมของคำตอบจะอยู่ในรูปแบบของฮาร์มอนิกทรงกลมและฟังก์ชันเชิงรัศมีจะสอดคล้องกับ: ไม่ขึ้นอยู่กับ โดยที่การแทนค่า จะเปลี่ยนสมการเป็น ซึ่งเป็นสมการเบสเซล $\Psi (\mathbf {r} ,\omega )=\sum _{l,m}f_{lm}(r)Y_{lm}(\theta ,\phi ).$ $\left[{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d}{dr}}+k^{2}-{\frac {l(l+1)}{r^{2}}}\right]f_{l}(r)=0.$ $m$ $k^{2}=\omega ^{2}/c^{2}$ $f_{l}(r)={\frac {1}{\sqrt {r}}}u_{l}(r),$ $\left[{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {d}{dr}}+k^{2}-{\frac {(l+{\frac {1}{2}})^{2}}{r^{2}}}\right]u_{l}(r)=0,$

ตัวอย่าง

Consider the case $l = 0$ . Then there is no angular dependence and the amplitude depends only on the radial distance, i.e., $Ψ(r, t) \to u (r, t)$ . In this case, the wave equation reduces to $\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\Psi (\mathbf {r} ,t)=0,$ or $\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)u(r,t)=0.$

This equation can be rewritten as ${\frac {\partial ^{2}(ru)}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}(ru)}{\partial r^{2}}}=0,$ where the quantity $ru$ satisfies the one-dimensional wave equation. Therefore, there are solutions in the form $u(r,t)={\frac {1}{r}}F(r-ct)+{\frac {1}{r}}G(r+ct),$ where $F$ and $G$ are general solutions to the one-dimensional wave equation and can be interpreted as respectively an outgoing and incoming spherical waves. The outgoing wave can be generated by a point source, and they make possible sharp signals whose form is altered only by a decrease in amplitude as $r$ increases (see an illustration of a spherical wave on the top right). Such waves exist only in cases of space with odd dimensions.

For physical examples of solutions to the 3D wave equation that possess angular dependence, see dipole radiation.

Monochromatic spherical wave

Although the word "monochromatic" is not exactly accurate, since it refers to light or electromagnetic radiation with well-defined frequency, the spirit is to discover the eigenmode of the wave equation in three dimensions. Following the derivation in the previous section on plane-wave eigenmodes, if we again restrict our solutions to spherical waves that oscillate in time with well-defined constant angular frequency $ω$ , then the transformed function $ru (r, t)$ has simply plane-wave solutions: $ru(r,t)=Ae^{i(\omega t\pm kr)},$ or $u(r,t)={\frac {A}{r}}e^{i(\omega t\pm kr)}.$

From this we can observe that the peak intensity of the spherical-wave oscillation, characterized as the squared wave amplitude $I=|u(r,t)|^{2}={\frac {|A|^{2}}{r^{2}}},$ drops at the rate proportional to $1/ r 2$ , an example of the inverse-square law.

Solution of a general initial-value problem

สมการคลื่นเป็นเชิงเส้นในตัวแปร $u$ และไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการเลื่อนในอวกาศและเวลา ดังนั้น เราสามารถสร้างคำตอบได้หลากหลายมากโดยการเลื่อนและรวมคลื่นทรงกลม ให้ $φ (ξ, η, ζ)$ เป็นฟังก์ชันใดๆ ของตัวแปรอิสระสามตัว และให้รูปคลื่นทรงกลม $F$ เป็นฟังก์ชันเดลต้าให้กลุ่มของคลื่นทรงกลมมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $(ξ, η, ζ)$ และให้ $r$ เป็นระยะรัศมีจากจุดนั้น ดังนั้น

$r^{2}=(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}.$

ถ้า $u$ เป็นการซ้อนทับกันของคลื่นดังกล่าวโดยมีฟังก์ชันถ่วงน้ำหนัก $φ$ แล้ว ตัวส่วน $4$ $πc$ เป็นเพียงความสะดวกเท่านั้น ${\displaystyle u(t,x,y,z)={\frac {1}{4\pi c}}\iiint \varphi (\xi ,\eta ,\zeta ){\frac {\delta (r-ct)}{r}}\,d\xi \,d\eta \,d\zeta$

จากนิยามของฟังก์ชันเดลต้า $u$ อาจเขียนได้อีกแบบหนึ่งว่า โดยที่ $α$ , $β$ และ $γ$ คือพิกัดบนทรงกลมหน่วย $S$ และ $ω$ คือองค์ประกอบพื้นที่บน $S$ ผลลัพธ์นี้ตีความได้ว่า $u$ $($ $t$ $,$ $x$ $)$ คือ $t$ เท่าของค่าเฉลี่ยของ $φ$ บนทรงกลมรัศมี $ct$ ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $x$ : $u(t,x,y,z)={\frac {t}{4\pi }}\iint _{S}\varphi (x+ct\alpha ,y+ct\beta ,z+ct\gamma )\,d\omega ,$ $u(t,x,y,z)=tM_{ct}[\varphi ].$

ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า $u(0,x,y,z)=0,\quad u_{t}(0,x,y,z)=\varphi (x,y,z).$

ค่าเฉลี่ยเป็นฟังก์ชันคู่ของ $t$ ดังนั้นถ้า แล้ว $v(t,x,y,z)={\frac {\partial }{\partial t}}{\big (}tM_{ct}[\varphi ]{\big )},$ $v(0,x,y,z)=\varphi (x,y,z),\quad v_{t}(0,x,y,z)=0.$

สูตรเหล่านี้ให้คำตอบสำหรับปัญหาค่าเริ่มต้นของสมการคลื่น แสดงให้เห็นว่าคำตอบ ณ จุด $P$ ที่กำหนด $(t, x, y, z)$ ขึ้นอยู่กับข้อมูลบนทรงกลมรัศมี $ct$ เท่านั้น ซึ่งถูกตัดโดยกรวยแสงที่ลากย้อนกลับจาก $P$ ไม่ขึ้นอยู่กับข้อมูลภายในทรงกลมนี้ ดังนั้นภายในทรงกลมจึงเป็นช่องว่างสำหรับคำตอบ ปรากฏการณ์นี้เรียกว่าหลักการของฮุยเกนส์ซึ่งเป็นจริงเฉพาะสำหรับจำนวนคี่ของมิติพื้นที่ โดยที่สำหรับมิติเดียว การอินทิเกรตจะดำเนินการเหนือขอบเขตของช่วงโดยสัมพันธ์กับการวัดของดิแรก^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}

สมการคลื่นสเกลาร์ในสองมิติของปริภูมิ

ในมิติอวกาศสองมิติ สมการคลื่นคือ

$u_{tt}=c^{2}\left(u_{xx}+u_{yy}\right).$

เราสามารถใช้ทฤษฎีสามมิติในการแก้ปัญหานี้ได้ หากเรามองว่า $u$ เป็นฟังก์ชันในสามมิติที่ไม่ขึ้นอยู่กับมิติที่สาม ถ้า

$u(0,x,y)=0,\quad u_{t}(0,x,y)=\phi (x,y),$

จากนั้นสูตรแก้ปัญหาแบบสามมิติจะกลายเป็น

$u(t,x,y)=tM_{ct}[\phi ]={\frac {t}{4\pi }}\iint _{S}\phi (x+ct\alpha ,\,y+ct\beta )\,d\omega ,$

โดยที่ $α$ และ $β$ คือพิกัดสองพิกัดแรกบนทรงกลมหน่วย และ $dω$ คือองค์ประกอบพื้นที่บนทรงกลม อินทิกรัลนี้สามารถเขียนใหม่ได้เป็นอินทิกรัลสองชั้นบนจาน $D$ ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $($ $x, y) และ$ รัศมี $ct :$

$u(t,x,y)={\frac {1}{2\pi c}}\iint _{D}{\frac {\phi (x+\xi ,y+\eta )}{\sqrt {(ct)^{2}-\xi ^{2}-\eta ^{2}}}}d\xi \,d\eta .$

เห็นได้ชัดว่าคำตอบที่ $(t, x, y)$ ขึ้นอยู่กับข้อมูลบนกรวยแสงเท่านั้น แต่ยังขึ้นอยู่กับข้อมูลที่อยู่ภายในกรวยนั้นด้วย $(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}=c^{2}t^{2},$

สมการคลื่นสเกลาร์ในมิติทั่วไปและสูตรของเคิร์ชฮอฟฟ์

เราต้องการหาคำตอบสำหรับ $u tt - Δ u = 0$ สำหรับ $u : R n \times (0, \infty) \to R$ โดยที่ $u (x, 0) =$ ^g $($ $x$ $)$ $และ$ u $t (x, 0) = h (x)$ [ ^{13 ]}

ขนาดแปลกๆ

สมมติให้ $n \geq 3$ เป็นจำนวนเต็มคี่ และ $g \in C m +1 (R n)$ , $h \in C m (R n)$ สำหรับ $m = (n + 1)/2$ ให้ $γ n = 1 \times 3 \times 5 \times \dots \times (n - 2)$ และให้

$u(x,t)={\frac {1}{\gamma _{n}}}\left[\partial _{t}\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-3}{2}}\left(t^{n-2}{\frac {1}{|\partial B_{t}(x)|}}\int _{\partial B_{t}(x)}g\,dS\right)+\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-3}{2}}\left(t^{n-2}{\frac {1}{|\partial B_{t}(x)|}}\int _{\partial B_{t}(x)}h\,dS\right)\right]$

แล้ว

$u\in C^{2}{\big (}\mathbf {R} ^{n}\times [0,\infty ){\big )}$ ,
$u_{tt}-\Delta u=0$ ใน, $\mathbf {R} ^{n}\times (0,\infty )$
$\lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u(x,t)=g(x^{0})$ ,
$\lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u_{t}(x,t)=h(x^{0})$ .

มิติคู่

สมมติให้ $n \geq 2$ เป็นจำนวนเต็มคู่ และ $g \in C m +1 (R n)$ , $h \in C m (R n)$ สำหรับ $m = (n + 2)/2$ ให้ $γ n = 2 \times 4 \times \dots \times n$ และให้

$u(x,t)={\frac {1}{\gamma _{n}}}\left[\partial _{t}\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-2}{2}}\left(t^{n}{\frac {1}{|B_{t}(x)|}}\int _{B_{t}(x)}{\frac {g}{(t^{2}-|y-x|^{2})^{\frac {1}{2}}}}dy\right)+\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-2}{2}}\left(t^{n}{\frac {1}{|B_{t}(x)|}}\int _{B_{t}(x)}{\frac {h}{(t^{2}-|y-x|^{2})^{\frac {1}{2}}}}dy\right)\right]$

แล้ว

$u \in C 2 (R n \times [0, \infty))$
$u tt - Δ u = 0$ ใน $R n \times (0, \infty)$
$\lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u(x,t)=g(x^{0})$
$\lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u_{t}(x,t)=h(x^{0})$

หน้าที่ของกรีน

พิจารณาสมการคลื่นที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันในมิติต่างๆโดยการปรับขนาดเวลา เราสามารถกำหนดความเร็วของคลื่นได้ $1+D$ $(\partial _{tt}-c^{2}\nabla ^{2})u=s(t,x)$ $c=1$

เนื่องจากสมการคลื่นมีอันดับ 2 ในเวลา จึงมีปฏิกิริยาตอบสนองแบบอิมพัลส์ สองแบบ คือ อิมพัลส์ความเร่งและอิมพัลส์ความเร็ว ผลของการกระตุ้นด้วยอิมพัลส์ความเร่งคือการเปลี่ยนแปลงความเร็วของคลื่นอย่างฉับพลันผลของการกระตุ้นด้วยอิมพัลส์ความเร็วคือการเปลี่ยนแปลงการกระจัดของคลื่นอย่างฉับพลัน $(\partial _{tt}-\nabla ^{2})u=s(t,x)$ $\partial _{t}u$ $u$

สำหรับแรงกระตุ้นความเร่งคือฟังก์ชันเดลต้าของดิแรกคำตอบของกรณีนี้เรียกว่าฟังก์ชันกรีนสำหรับสมการคลื่น $s(t,x)=\delta ^{D+1}(t,x)$ $\delta$ $G$

สำหรับแรงกระตุ้นความเร็วดังนั้น ถ้าเราแก้ฟังก์ชันกรีนคำตอบสำหรับกรณีนี้ก็คือ $s(t,x)=\partial _{t}\delta ^{D+1}(t,x)$ $G$ $\partial _{t}G$

หลักการของดูฮาเมล

การใช้งานหลักของฟังก์ชันกรีนคือการแก้ปัญหาค่าเริ่มต้นโดยใช้หลักการของดูฮาเมลทั้งในกรณีเอกพันธุ์และอเอกพันธุ์

เมื่อกำหนดฟังก์ชันกรีนและเงื่อนไขเริ่มต้นแล้วคำตอบของสมการคลื่นเอกพันธุ์คือ^[¹⁴^]โดยที่เครื่องหมายดอกจันคือการสังเคราะห์ในอวกาศ กล่าวให้ชัดเจนยิ่งขึ้นสำหรับกรณีที่ไม่เป็นเอกพันธุ์ คำตอบจะมีพจน์เพิ่มเติมอีกหนึ่งพจน์โดยการสังเคราะห์เหนือปริภูมิเวลา : $G$ $u(0,x),\partial _{t}u(0,x)$ $u=(\partial _{t}G)\ast u+G\ast \partial _{t}u$ $u(t,x)=\int (\partial _{t}G)(t,x-x')u(0,x')dx'+\int G(t,x-x')(\partial _{t}u)(0,x')dx'.$ $\iint _{t'<t}G(t-t',x-x')s(t',x')dt'dx'.$

วิธีแก้ปัญหาโดยใช้การแปลงฟูริเยร์

โดยการแปลงฟูริเยร์เทอมนี้สามารถอินทิเกรตได้โดยทฤษฎีบทเศษเหลือจะต้องรบกวนอินทิกรัลเล็กน้อยโดย หรือโดยเพราะเป็นอินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมการรบกวนหนึ่งให้คำตอบไปข้างหน้า และอีกการรบกวนหนึ่งให้คำตอบย้อนกลับ^[¹⁵^]คำตอบไปข้างหน้าให้อินทิกรัลสามารถแก้ได้โดยการต่อเคอร์เนลปัวซง แบบวิเคราะห์ ซึ่งให้^[¹⁴^]^[¹⁶^]โดยที่ คือครึ่งหนึ่งของพื้นที่ผิวของไฮเปอร์สเฟียร์มิติ^[¹⁶^] ${\hat {G}}(\omega )={\frac {1}{-\omega _{0}^{2}+\omega _{1}^{2}+\cdots +\omega _{D}^{2}}},\quad G(t,x)={\frac {1}{(2\pi )^{D+1}}}\int {\hat {G}}(\omega )e^{+i\omega _{0}t+i{\vec {\omega }}\cdot {\vec {x}}}d\omega _{0}d{\vec {\omega }}.$ $\omega _{0}$ $+i\epsilon$ $-i\epsilon$ $G(t,x)={\frac {1}{(2\pi )^{D}}}\int {\frac {\sin(\|{\vec {\omega }}\|t)}{\|{\vec {\omega }}\|}}e^{i{\vec {\omega }}\cdot {\vec {x}}}d{\vec {\omega }},\quad \partial _{t}G(t,x)={\frac {1}{(2\pi )^{D}}}\int \cos(\|{\vec {\omega }}\|t)e^{i{\vec {\omega }}\cdot {\vec {x}}}d{\vec {\omega }}.$ $G(t,x)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}{\frac {C_{D}}{D-1}}\operatorname {Im} \left[\|x\|^{2}-(t-i\epsilon )^{2}\right]^{-(D-1)/2}$ $C_{D}=\pi ^{-(D+1)/2}\Gamma ((D+1)/2)$ $(D+1)$

โซลูชันในมิติเฉพาะ

เราสามารถเชื่อมโยงฟังก์ชันของกรีนในมิติกับฟังก์ชันของกรีนในมิติ (การลดมิติเป็นไปได้ในทุกกรณี การเพิ่มมิติเป็นไปได้ในสมมาตรทรงกลม) ^[¹⁷^] $D$ $D+n$

ขนาดที่ลดลง

เมื่อกำหนดฟังก์ชันและคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ในมิติหนึ่ง เราสามารถขยายฟังก์ชันนั้นไปยังมิติอื่นได้อย่างง่ายดายโดยการกำหนดให้มิติเพิ่มเติมเหล่านั้นคงที่: เนื่องจากฟังก์ชันกรีนถูกสร้างขึ้นจากและฟังก์ชันกรีนในมิติหนึ่งจึงสามารถอินทิเกรตได้เป็นฟังก์ชันกรีนในมิติอื่น: $s(t,x)$ $u(t,x)$ $(1+D)$ $(1+D+n)$ $n$ $s(t,x_{1:D},x_{D+1:D+n})=s(t,x_{1:D}),\quad u(t,x_{1:D},x_{D+1:D+n})=u(t,x_{1:D}).$ $s$ $u$ $(1+D+n)$ $(1+D)$ $G_{D}(t,x_{1:D})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}G_{D+n}(t,x_{1:D},x_{D+1:D+n})d^{n}x_{D+1:D+n}.$

การเพิ่มมิติ

ฟังก์ชันกรีนในมิติต่างๆ สามารถเชื่อมโยงกับฟังก์ชันกรีนในมิติอื่นๆ ได้ โดยอาศัยสมมาตรทรงกลม เมื่อทำการอินทิเกรตในพิกัดเชิงขั้ว โดยที่ในสมการสุดท้าย เราได้ทำการเปลี่ยนตัวแปรดังนั้นเราจึงได้ความสัมพันธ์เวียนเกิดดังนี้ $D$ $D+2$ $G_{D}(t,r)=\int _{\mathbb {R} ^{2}}G_{D+2}(t,{\sqrt {r^{2}+y^{2}+z^{2}}})dydz.$ $G_{D}(t,r)=2\pi \int _{0}^{\infty }G_{D+2}(t,{\sqrt {r^{2}+q^{2}}})qdq=2\pi \int _{r}^{\infty }G_{D+2}(t,q')q'dq',$ $q'={\sqrt {r^{2}+q^{2}}}$ $G_{D+2}(t,r)=-{\frac {1}{2\pi r}}\partial _{r}G_{D}(t,r).$

คำตอบในD = 1, 2, 3

เมื่อตัวอินทิกรัลในการแปลงฟูริเยร์คือฟังก์ชันsinc โดยที่คือฟังก์ชันเครื่องหมายและคือฟังก์ชันขั้นบันไดหน่วย $D=1$ ${\begin{aligned}G_{1}(t,x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }{\frac {\sin(|\omega |t)}{|\omega |}}e^{i\omega x}d\omega \\&={\frac {1}{2\pi }}\int \operatorname {sinc} (\omega )e^{i\omega {\frac {x}{t}}}d\omega \\&={\frac {\operatorname {sgn}(t-x)+\operatorname {sgn}(t+x)}{4}}\\&={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\theta (t-|x|)\quad t>0\\-{\frac {1}{2}}\theta (-t-|x|)\quad t<0\end{cases}}\end{aligned}}$ $\operatorname {sgn}$ $\theta$

มิติสามารถเพิ่มขึ้นเพื่อให้ได้กรณีดังกล่าว และในทำนองเดียวกันสำหรับวิธีแก้ปัญหาแบบย้อนกลับ สามารถรวมลงหนึ่งมิติเพื่อให้ได้กรณีดังกล่าว $D=3$ $G_{3}(t,r)={\frac {\delta (t-r)}{4\pi r}}$ $D=2$ $G_{2}(t,r)=\int _{\mathbb {R} }{\frac {\delta (t-{\sqrt {r^{2}+z^{2}}})}{4\pi {\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}}dz={\frac {\theta (t-r)}{2\pi {\sqrt {t^{2}-r^{2}}}}}$

คลื่นหน้าและร่องรอยคลื่น

ในกรณีนี้ คำตอบของฟังก์ชันกรีนคือผลรวมของหน้าคลื่นสองหน้าคลื่นที่เคลื่อนที่ในทิศทางตรงกันข้าม $D=1$ ${\frac {\operatorname {sgn}(t-x)}{4}}+{\frac {\operatorname {sgn}(t+x)}{4}}$

ในมิติคี่ โซลูชันไปข้างหน้าจะไม่เป็นศูนย์เฉพาะที่เท่านั้นเมื่อมิติเพิ่มขึ้น รูปร่างของหน้าคลื่นจะซับซ้อนมากขึ้นเรื่อยๆ โดยเกี่ยวข้องกับอนุพันธ์ที่สูงกว่าของฟังก์ชันเดลต้าของ Dirac ตัวอย่างเช่น^[¹⁷^]โดยที่และความเร็วของคลื่นจะถูกกู้คืน $t=r$ ${\begin{aligned}&G_{1}={\frac {1}{2c}}\theta (\tau )\\&G_{3}={\frac {1}{4\pi c^{2}}}{\frac {\delta (\tau )}{r}}\\&G_{5}={\frac {1}{8\pi ^{2}c^{2}}}\left({\frac {\delta (\tau )}{r^{3}}}+{\frac {\delta ^{\prime }(\tau )}{cr^{2}}}\right)\\&G_{7}={\frac {1}{16\pi ^{3}c^{2}}}\left(3{\frac {\delta (\tau )}{r^{5}}}+3{\frac {\delta ^{\prime }(\tau )}{cr^{4}}}+{\frac {\delta ^{\prime \prime }(\tau )}{c^{2}r^{3}}}\right)\end{aligned}}$ $\tau =t-r$ $c$

ในมิติคู่ โซลูชันไปข้างหน้าจะไม่เป็นศูนย์ในบริเวณทั้งหมดด้านหลังหน้าคลื่นจะไม่เป็นศูนย์ เรียกว่าร่องรอยร่องรอยมีสมการ: ^[¹⁷^]หน้าคลื่นเองก็เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์ที่สูงขึ้นเรื่อยๆ ของฟังก์ชันเดลต้าของ Dirac ด้วย $r\leq t$ $G_{D}(t,x)=(-1)^{1+D/2}{\frac {1}{(2\pi )^{D/2}}}{\frac {1}{c^{D}}}{\frac {\theta (t-r/c)}{\left(t^{2}-r^{2}/c^{2}\right)^{(D-1)/2}}}$

นี่หมายความว่าหลักการทั่วไปของฮุยเกนส์ – การกระจัดของคลื่น ณ จุดหนึ่งในปริภูมิเวลาขึ้นอยู่กับสถานะ ณ จุดบนรังสีลักษณะ เฉพาะ ที่ผ่านไป เท่านั้น – ใช้ได้เฉพาะในมิติคี่เท่านั้น การตีความทางกายภาพคือสัญญาณที่ส่งผ่านโดยคลื่นยังคงไม่บิดเบี้ยวในมิติคี่ แต่จะบิดเบี้ยวในมิติคู่^[¹⁸^]^:⁶⁹⁸ $(t,x)$ $(t,x)$

ข้อสันนิษฐานของ Hadamardระบุว่าหลักการทั่วไปของ Huygens นี้ยังคงใช้ได้ในมิติคี่ทั้งหมด แม้ว่าสัมประสิทธิ์ในสมการคลื่นจะไม่คงที่ก็ตาม มันไม่ถูกต้องอย่างเคร่งครัด แต่ก็ถูกต้องสำหรับตระกูลสัมประสิทธิ์บางตระกูล^{[ 18 ]}^{: 765}

ปัญหาเกี่ยวกับขอบเขต

มิติอวกาศหนึ่งมิติ

การสะท้อนและการส่งผ่านที่ขอบเขตของสื่อสองประเภท

สำหรับคลื่นตกกระทบที่เดินทางจากตัวกลางหนึ่ง (ซึ่งมีความเร็วคลื่น $c 1$ ) ไปยังตัวกลางอีกตัวกลางหนึ่ง (ซึ่งมีความเร็วคลื่น $c 2$ ) ส่วนหนึ่งของคลื่นจะส่งผ่านเข้าไปในตัวกลางที่สอง ในขณะที่อีกส่วนหนึ่งจะสะท้อนกลับไปในทิศทางตรงกันข้ามและคงอยู่ในตัวกลางแรก แอมพลิจูดของคลื่นที่ส่งผ่านและคลื่นสะท้อนสามารถคำนวณได้โดยใช้เงื่อนไขความต่อเนื่องที่ขอบเขต

พิจารณาส่วนประกอบของคลื่นตกกระทบที่มีความถี่เชิงมุม $ω$ ซึ่งมีรูปคลื่นดังนี้ ที่ $t$ $= 0$ คลื่นตกกระทบไปถึงขอบเขตระหว่างตัวกลางทั้งสองที่ $x$ $= 0$ ดังนั้น คลื่นสะท้อนและคลื่นส่งผ่านที่สอดคล้องกันจะมีรูปคลื่นดังนี้ เงื่อนไขความต่อเนื่องที่ขอบเขตคือ ซึ่งให้สมการดังนี้ และเราได้ค่าการสะท้อนและการส่งผ่าน เมื่อ $c$ $2$ $<$ $c$ $1$ คลื่นสะท้อนจะมีเฟสการเปลี่ยนแปลงการสะท้อน 180° เนื่องจาก $B$ $/$ $A$ $< 0$ การอนุรักษ์พลังงานสามารถตรวจสอบได้โดย การอธิบายข้างต้นเป็นจริงสำหรับส่วนประกอบใดๆ โดยไม่คำนึงถึงความถี่เชิงมุม $ω$ ของ มัน $u^{\text{inc}}(x,t)=Ae^{i(k_{1}x-\omega t)},\quad A\in \mathbb {C} .$ $u^{\text{refl}}(x,t)=Be^{i(-k_{1}x-\omega t)},\quad u^{\text{trans}}(x,t)=Ce^{i(k_{2}x-\omega t)},\quad B,C\in \mathbb {C} .$ $u^{\text{inc}}(0,t)+u^{\text{refl}}(0,t)=u^{\text{trans}}(0,t),\quad u_{x}^{\text{inc}}(0,t)+u_{x}^{\text{ref}}(0,t)=u_{x}^{\text{trans}}(0,t).$ $A+B=C,\quad A-B={\frac {k_{2}}{k_{1}}}C={\frac {c_{1}}{c_{2}}}C,$ ${\frac {B}{A}}={\frac {c_{2}-c_{1}}{c_{2}+c_{1}}},\quad {\frac {C}{A}}={\frac {2c_{2}}{c_{2}+c_{1}}}.$ ${\frac {B^{2}}{c_{1}}}+{\frac {C^{2}}{c_{2}}}={\frac {A^{2}}{c_{1}}}.$

กรณีลิมิตที่ $c 2 = 0$ สอดคล้องกับ "ปลายคงที่" ที่ไม่เคลื่อนที่ ในขณะที่กรณีลิมิตที่ $c 2 \to \infty$ สอดคล้องกับ "ปลายอิสระ"

สูตร Sturm–Liouville

เส้นเชือกที่ยืดหยุ่นได้ซึ่งถูกยืดระหว่างจุดสองจุด $x = 0$ และ $x = L$ จะสอดคล้องกับสมการคลื่นสำหรับ $t > 0$ และ $0 < x < L$ ที่จุดขอบเขต $u$ อาจสอดคล้องกับเงื่อนไขขอบเขตที่หลากหลาย รูปแบบทั่วไปที่เหมาะสมสำหรับการใช้งานคือ

${\begin{aligned}-u_{x}(t,0)+au(t,0)&=0,\\u_{x}(t,L)+bu(t,L)&=0,\end{aligned}}$

โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ กรณีที่ $u$ ต้องเป็นศูนย์ที่จุดปลาย (เช่น "ปลายคงที่") คือลิมิตของเงื่อนไขนี้เมื่อ $a$ หรือ $b$ ที่เกี่ยวข้อง เข้าใกล้อินฟินิตี้ วิธีการแยกตัวแปรประกอบด้วยการค้นหาคำตอบของปัญหานี้ในรูปแบบพิเศษ $u(t,x)=T(t)v(x).$

ผลที่ตามมาคือ ${\frac {T''}{c^{2}T}}={\frac {v''}{v}}=-\lambda .$

ต้องกำหนดค่าไอเกน λ เพื่อให้ได้คำตอบที่ไม่ใช่ค่าศูนย์ของ ปัญหาค่า $ขอบเขต$ ${\begin{aligned}v''+\lambda v=0,&\\-v'(0)+av(0)&=0,\\v'(L)+bv(L)&=0.\end{aligned}}$

นี่เป็นกรณีพิเศษของปัญหาทั่วไปในทฤษฎี Sturm–Liouvilleถ้า $a$ และ $b$ เป็นค่าบวก ค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดจะเป็นค่าบวก และคำตอบจะเป็นฟังก์ชันตรีโกโนเมตริกคำตอบที่สอดคล้องกับเงื่อนไขเริ่มต้นที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้สำหรับ $u$ และ $u t$ สามารถหาได้จากการขยายฟังก์ชันเหล่านี้ในอนุกรมตรีโกโนเมตริกที่เหมาะสม

มิติอวกาศหลายมิติ

คำตอบของสมการคลื่นในสองมิติ โดยมีเงื่อนไขขอบเขตการกระจัดเป็นศูนย์ตลอดขอบด้านนอกทั้งหมด

ทฤษฎีค่าเริ่มต้นและค่าขอบเขตแบบหนึ่งมิติสามารถขยายไปสู่จำนวนมิติของปริภูมิใดๆ ก็ได้ พิจารณาโดเมน $D$ ใน ปริภูมิ $x$ มิติ $m$ ที่มีขอบเขต $B$ สมการคลื่นจะต้องเป็นจริงก็ต่อเมื่อ $x$ อยู่ใน $D$ และ $t$ $> 0$ บนขอบเขตของ $D$ คำตอบ $u$ จะต้องสอดคล้องกับ

${\frac {\partial u}{\partial n}}+au=0,$

โดยที่ $n$ คือเวกเตอร์หน่วยตั้งฉากภายนอกกับ $B$ และ $a$ คือฟังก์ชันที่ไม่เป็นลบซึ่งกำหนดบน $B$ กรณีที่ $u$ เป็นศูนย์บน $B$ เป็นกรณีลิมิตสำหรับ $a$ ที่เข้าใกล้อินฟินิตี้ เงื่อนไขเริ่มต้นคือ

$u(0,x)=f(x),\quad u_{t}(0,x)=g(x),$

โดยที่ $f$ และ $g$ ถูกกำหนดไว้ใน $D$ ปัญหานี้อาจแก้ไขได้โดยการขยาย $f$ และ $g$ ในฟังก์ชันเฉพาะของตัวดำเนินการลาปลาเซียนใน $D$ ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขขอบเขต ดังนั้นฟังก์ชันเฉพาะ $v$ จึงเป็นไปตาม

$\nabla \cdot \nabla v+\lambda v=0$

ใน $D$ และ

${\frac {\partial v}{\partial n}}+av=0$

บน $B.$

ในกรณีที่มีมิติเชิงพื้นที่สองมิติ ฟังก์ชันเฉพาะเหล่านี้อาจตีความได้ว่าเป็นโหมดการสั่นของหนังกลองที่ยืดออกเหนือขอบเขต $B$ ถ้า $B$ เป็นวงกลม ฟังก์ชันเฉพาะเหล่านี้จะมีส่วนประกอบเชิงมุมที่เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเชิงขั้ว $θ$ คูณด้วยฟังก์ชันเบสเซล (อันดับจำนวนเต็ม) ของส่วนประกอบแนวรัศมี รายละเอียดเพิ่มเติมอยู่ในสมการเฮล์มโฮลทซ์

ถ้าขอบเขตเป็นทรงกลมในสามมิติของปริภูมิ ส่วนประกอบเชิงมุมของฟังก์ชันเฉพาะจะเป็นฮาร์มอนิกทรงกลมและส่วนประกอบเชิงรัศมีจะเป็นฟังก์ชันเบสเซลลำดับครึ่งจำนวนเต็ม

สมการคลื่นไม่เอกพันธุ์ในมิติเดียว

สมการคลื่นที่ไม่เป็นเอกพันธ์ในหนึ่งมิติมี เงื่อนไขเริ่มต้นดังนี้ $u_{tt}(x,t)-c^{2}u_{xx}(x,t)=s(x,t)$ $u(x,0)=f(x),$ $u_{t}(x,0)=g(x).$

ฟังก์ชัน $s (x, t)$ มักเรียกว่าฟังก์ชันแหล่งกำเนิด เพราะในทางปฏิบัติ ฟังก์ชันนี้อธิบายถึงผลกระทบของแหล่งกำเนิดคลื่นต่อตัวกลางที่คลื่นนั้นเคลื่อนที่ผ่าน ตัวอย่างทางฟิสิกส์ของฟังก์ชันแหล่งกำเนิด ได้แก่ แรงที่ขับเคลื่อนคลื่นบนเส้นเชือก หรือประจุหรือความหนาแน่นกระแสในมาตรวัดลอเรนซ์ของแม่เหล็กไฟฟ้า

วิธีหนึ่งในการแก้ปัญหาค่าเริ่มต้น (โดยใช้ค่าเริ่มต้นตามที่ระบุไว้ข้างต้น) คือการใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติพิเศษของสมการคลื่นในมิติของปริภูมิที่เป็นจำนวนคี่ กล่าวคือ คำตอบของสมการนั้นเคารพหลักการความเป็นเหตุเป็นผล กล่าวคือ สำหรับจุดใดๆ $(xᵢ, ti) ค่าของ u(xᵢ, ti$ $) ขึ้นอยู่กับค่าของ f(xᵢ$ $+$ $ctᵢ) และ f(xᵢ -$ $ctᵢ$ $) และ ค่า ของ ฟังก์ชัน$ g $(x$ $)$ $ระหว่าง$ $($ $xᵢ$ - ctᵢ) และ (xᵢ + ctᵢ) เท่านั้น $ซึ่ง สามารถ$ $เห็น$ $ได้$ $ใน$ $สูตร$ ของ $ดา ล็ อง แบร์ ที่ กล่าว$ ไว้ $ข้าง ต้น โดย$ $ที่$ ปริมาณ $เหล่า นี้ เป็น ปริมาณ เดียว ที่$ $ปรากฏ อยู่ ใน นั้น ใน$ $ทาง$ กายภาพ $หาก$ $ความเร็ว$ ในการแพร่กระจายสูงสุดคือ $c$ $แล้ว$ $ส่วน$ $ใด$ ๆ ของคลื่นที่ไม่สามารถแพร่กระจายไปยังจุดที่กำหนดภายในเวลาที่กำหนด จะไม่สามารถส่งผลกระทบต่อแอมพลิจูด ณ จุดและเวลาเดียวกันได้

ในแง่ของการหาคำตอบ คุณสมบัติความเป็นเหตุเป็นผลนี้หมายความว่า สำหรับจุดใดๆ บนเส้นที่กำลังพิจารณา พื้นที่เดียวที่ต้องพิจารณาคือพื้นที่ที่ครอบคลุมจุดทั้งหมดที่อาจส่งผลกระทบต่อจุดที่กำลังพิจารณาได้ ให้ $R$ $C$ แทน พื้นที่ที่ส่งผลกระทบต่อจุด $(xi, ti) สมมติว่าเรา ทำการ อินทิเกรตสมการคลื่นที่ไม่เป็นเอกพันธ์เหนือ บริเวณ$ นี้: $\iint _{R_{C}}{\big (}c^{2}u_{xx}(x,t)-u_{tt}(x,t){\big )}\,dx\,dt=\iint _{R_{C}}s(x,t)\,dx\,dt.$

เพื่อลดความซับซ้อนลง เราสามารถใช้ทฤษฎีบทของกรีนเพื่อลดรูปด้านซ้ายเพื่อให้ได้ดังต่อไปนี้: $\int _{L_{0}+L_{1}+L_{2}}{\big (}{-}c^{2}u_{x}(x,t)\,dt-u_{t}(x,t)\,dx{\big )}=\iint _{R_{C}}s(x,t)\,dx\,dt.$

ด้านซ้ายในขณะนี้คือผลรวมของปริพันธ์เชิงเส้นสามค่าตามขอบเขตของบริเวณความเป็นเหตุเป็นผล ซึ่งปรากฏว่าคำนวณได้ค่อนข้างง่าย: $\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}-u_{t}(x,0)\,dx=-\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)\,dx.$

ในสมการข้างต้น พจน์ที่จะทำการอินทิเกรตเทียบกับเวลาจะหายไป เนื่องจากช่วงเวลาที่เกี่ยวข้องเป็นศูนย์ ดังนั้น $dt =$ 0

สำหรับอีกสองด้านของบริเวณนั้น ควรสังเกตว่า $x \pm ct$ เป็นค่าคงที่ นั่นคือ $x i \pm ct i$ โดยที่เครื่องหมายถูกเลือกอย่างเหมาะสม เมื่อใช้สิ่งนี้ เราจะได้ความสัมพันธ์ $d x \pm c d t = 0$ โดยเลือกเครื่องหมายที่ถูกต้องอีกครั้ง: ${\begin{aligned}\int _{L_{1}}{\big (}{-}c^{2}u_{x}(x,t)\,dt-u_{t}(x,t)\,dx{\big )}&=\int _{L_{1}}{\big (}cu_{x}(x,t)\,dx+cu_{t}(x,t)\,dt{\big )}\\&=c\int _{L_{1}}\,du(x,t)\\&=cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}+ct_{i}).\end{aligned}}$

และเช่นเดียวกันสำหรับส่วนขอบเขตสุดท้าย: ${\begin{aligned}\int _{L_{2}}{\big (}{-}c^{2}u_{x}(x,t)\,dt-u_{t}(x,t)\,dx{\big )}&=-\int _{L_{2}}{\big (}cu_{x}(x,t)\,dx+cu_{t}(x,t)\,dt{\big )}\\&=-c\int _{L_{2}}\,du(x,t)\\&=cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}-ct_{i}).\end{aligned}}$

เมื่อนำผลลัพธ์ทั้งสามมารวมกันและใส่กลับเข้าไปในอินทิกรัลเดิมจะได้ ${\begin{aligned}\iint _{R_{C}}s(x,t)\,dx\,dt&=-\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)\,dx+cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}+ct_{i})+cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}-ct_{i})\\&=2cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}+ct_{i})-cf(x_{i}-ct_{i})-\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)\,dx.\end{aligned}}$

เมื่อแก้สมการหา $u (x i, t i)$ เราจะได้ $u(x_{i},t_{i})={\frac {f(x_{i}+ct_{i})+f(x_{i}-ct_{i})}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)\,dx+{\frac {1}{2c}}\int _{0}^{t_{i}}\int _{x_{i}-c(t_{i}-t)}^{x_{i}+c(t_{i}-t)}s(x,t)\,dx\,dt.$

ในสมการสุดท้ายของลำดับ ขอบเขตของการอินทิกรัลเหนือฟังก์ชันแหล่งกำเนิดได้รับการระบุอย่างชัดเจน เมื่อพิจารณาจากคำตอบนี้ ซึ่งใช้ได้กับตัวเลือกทั้งหมด $(x i, t i)$ ที่เข้ากันได้กับสมการคลื่น จะเห็นได้ชัดว่าสองพจน์แรกเป็นเพียงสูตรของดาล็องแบร์ ดังที่กล่าวไว้ข้างต้นว่าเป็นคำตอบของสมการคลื่นเอกพันธุ์ในมิติเดียว ความแตกต่างอยู่ที่พจน์ที่สาม ซึ่งเป็นการอินทิกรัลเหนือแหล่งกำเนิด

ข้อสรุปทั่วไปเพิ่มเติม

คลื่นยืดหยุ่น

สมการคลื่นยืดหยุ่น (หรือที่รู้จักกันในชื่อสมการนาเวียร์-โคชี ) ในสามมิติ อธิบายการแพร่กระจายของคลื่นใน ตัวกลาง ยืดหยุ่น ที่ เป็นเนื้อเดียวกันและ มี คุณสมบัติไอโซโทร ปิก วัสดุของแข็งส่วนใหญ่มีความยืดหยุ่น ดังนั้นสมการนี้จึงอธิบายปรากฏการณ์ต่างๆ เช่นคลื่นแผ่นดินไหวในโลกและ คลื่น อัลตราโซนิกที่ใช้ตรวจจับข้อบกพร่องในวัสดุ แม้ว่าจะเป็นสมการเชิงเส้น แต่สมการนี้มีรูปแบบที่ซับซ้อนกว่าสมการที่กล่าวมาข้างต้น เนื่องจากต้องคำนึงถึงทั้งการเคลื่อนที่ตามแนวยาวและแนวขวาง โดยที่: $\rho {\ddot {\mathbf {u} }}=\mathbf {f} +(\lambda +2\mu )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\mu \nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} ),$

λ

และ

μ

คือพารามิเตอร์ของ Laméซึ่งใช้อธิบายคุณสมบัติความยืดหยุ่นของตัวกลาง

ρ

คือความหนาแน่น

f

คือฟังก์ชันแหล่งกำเนิด (แรงขับเคลื่อน)

u

คือเวกเตอร์การกระจัด

โดยใช้ $\nabla \times (\nabla \times u) = \nabla(\nabla \cdot u) - \nabla \cdot \nabla u = \nabla(\nabla \cdot u) - ∆ u$ สมการคลื่นยืดหยุ่นสามารถเขียนใหม่ให้อยู่ในรูปแบบที่พบได้ทั่วไปมากขึ้น คือ สมการนาเวียร์-โคชี

Note that in the elastic wave equation, both force and displacement are vector quantities. Thus, this equation is sometimes known as the vector wave equation. As an aid to understanding, the reader will observe that if $f$ and $\nabla \cdot u$ are set to zero, this becomes (effectively) Maxwell's equation for the propagation of the electric field $E$ , which has only transverse waves.

Dispersion relation

In dispersive wave phenomena, the speed of wave propagation varies with the wavelength of the wave, which is reflected by a dispersion relation

$\omega =\omega (\mathbf {k} ),$

where $ω$ is the angular frequency, and $k$ is the wavevector describing plane-wave solutions. For light waves, the dispersion relation is $ω = \pm c | k |$ , but in general, the constant speed $c$ gets replaced by a variable phase velocity:

$v_{\text{p}}={\frac {\omega (k)}{k}}.$

Notes

1 2Speiser, David. Discovering the Principles of Mechanics 1600–1800, p. 191 (Basel: Birkhäuser, 2008).
↑Tipler, Paul and Mosca, Gene. Physics for Scientists and Engineers, Volume 1: Mechanics, Oscillations and Waves; Thermodynamics, pp. 470–471 (Macmillan, 2004).
↑Eric W. Weisstein. "d'Alembert's Solution". MathWorld. Retrieved 2009-01-21.
↑
D'Alembert (1747) "Recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration" (Researches on the curve that a tense cord forms [when] set into vibration), Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin, vol. 3, p. 214–219.
- See also: D'Alembert (1747) "Suite des recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration" (Further researches on the curve that a tense cord forms [when] set into vibration), Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin, vol. 3, p. 220–249.
- ดูเพิ่มเติมที่: D'Alembert (1750) "Addition au mémoire sur la courbe que forme une corde tenduë mise en Vibration" Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin , vol. 6, น. 355–360.
↑ "สมการคลื่นเชิงเส้นอันดับหนึ่งและอันดับสอง" (PDF) . math.arizona.edu . เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 2017-12-15
↑ V. Guruprasad (2015). "หลักฐานเชิงสังเกตสำหรับโหมดคลื่นเดินทางที่มีการเปลี่ยนแปลงตามสัดส่วนระยะทาง" EPL . 110 (5) 54001. arXiv : 1507.08222 . Bibcode : 2015EL....11054001G . doi : 10.1209/0295-5075/110/54001 . S2CID 42285652 .
↑ Bschorr, Oskar; Raida, Hans-Joachim (เมษายน 2021). "สมการคลื่นทางเดียวทรงกลม" . อะคูสติกส์ . 3 (2): 309– 315. doi : 10.3390/acoustics3020021 .ข้อความนี้คัดลอกมาจากแหล่งข้อมูลนี้ ซึ่งเผยแพร่ภายใต้สัญญาอนุญาต Creative Commons Attribution 4.0 International License
↑ Raida, Hans-Joachim (ตุลาคม 2022). "ตัวดำเนินการคลื่นทางเดียว" . อะคูสติกส์ . 4 (4): 885– 893. doi : 10.3390/acoustics4040053 .
↑ Bschorr, Oskar; Raida, Hans-Joachim (ธันวาคม 2021). "สมการคลื่นทางเดียวแบบแยกตัวประกอบ" . อะคูสติกส์ . 3 (4): 714– 722. doi : 10.3390/acoustics3040045 .
↑แจ็กสัน, จอห์น เดวิด (14 สิงหาคม 1998). พลศาสตร์ไฟฟ้าคลาสสิก ( ฉบับที่ 3). ไวลีย์. หน้า425. ISBN 978-0-471-30932-1.
↑ Atiyah, บอตต์แอนด์การ์ดิง 1970 , หน้า 109–189.
↑ Atiyah, บอตต์แอนด์การ์ดิง 1973 , หน้า 145–206.
↑อีแวนส์ 2010 , หน้า 70–80.
1 2 Barnett, Alex H. (28 ธันวาคม 2006). "ฟังก์ชันกรีนสำหรับสมการคลื่น" (PDF) . users.flatironinstitute.org . สืบค้นเมื่อ25 สิงหาคม 2024 .
↑ "ฟังก์ชันสีเขียวของสมการคลื่น" (PDF) . julian.tau.ac.il . สืบค้นเมื่อ2024-09-03 .
1 2 Taylor, Michael E. (2023), "สมการลาปลาสและสมการคลื่น"ใน Taylor, Michael E. (บรรณาธิการ), สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย 1: ทฤษฎีพื้นฐาน , วิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ประยุกต์, เล่มที่115, Cham: Springer International Publishing, หน้า137–205 , doi : 10.1007/978-3-031-33859-5_2 , ISBN 978-3-031-33859-5สืบค้นเมื่อ 2024-08-20
1 2 3 Soodak, Harry; Tiersten, Martin S. (1993-05-01). "คลื่นและร่องรอยในมิติ N" . American Journal of Physics . 61 (5): 395– 401. Bibcode : 1993AmJPh..61..395S . doi : 10.1119/1.17230 . ISSN 0002-9505 .
1 2 Courant, Richard; Hilbert, David (2009). วิธีการทางฟิสิกส์คณิตศาสตร์ 2: สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย / โดย R. Courant ( พิมพ์ซ้ำครั้งที่ 2). Weinheim: Wiley-VCH. ISBN 978-0-471-50439-9.

ลิงก์ภายนอก

สมการคลื่นไม่เชิงเส้นโดยStephen Wolframและ Rob Knapp, เครื่องมือสำรวจสมการคลื่นไม่เชิงเส้นโดยWolfram Demonstrations Project
แง่มุมทางคณิตศาสตร์ของสมการคลื่นมีการกล่าวถึงในDispersive PDE Wiki ซึ่งได้รับการเก็บถาวรเมื่อวันที่ 25 เมษายน 2550 ที่ Wayback Machine
Graham W Griffiths และ William E. Schiesser (2009). คลื่นเชิงเส้นและไม่เชิงเส้น Scholarpedia , 4(7):4308. doi:10.4249/scholarpedia.4308
ภาพยนตร์เพื่อการศึกษา เรื่อง "ความคล้ายคลึงกันในพฤติกรรมของคลื่น"โดย ดร. จอห์น ไชฟ์ จากห้องปฏิบัติการเบลล์เทเลโฟน ปี 1959 แสดงให้เห็นถึงพฤติกรรมของคลื่น 1 มิติ (การบิดตัว) และการจับคู่ความต้านทานโดยใช้เครื่องมือกลจริงแทนการใช้ภาพเคลื่อนไหวเทียม

[Speiser-1] 1 2Speiser, David. Discovering the Principles of Mechanics 1600–1800, p. 191 (Basel: Birkhäuser, 2008).

[Tipler-2] Tipler, Paul and Mosca, Gene. Physics for Scientists and Engineers, Volume 1: Mechanics, Oscillations and Waves; Thermodynamics, pp. 470–471 (Macmillan, 2004).

[3] Eric W. Weisstein. "d'Alembert's Solution". MathWorld. Retrieved 2009-01-21.

[4] D'Alembert (1747) "Recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration" (Researches on the curve that a tense cord forms [when] set into vibration), Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin, vol. 3, p. 214–219.
See also: D'Alembert (1747) "Suite des recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration" (Further researches on the curve that a tense cord forms [when] set into vibration), Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin, vol. 3, p. 220–249.
ดูเพิ่มเติมที่: D'Alembert (1750) "Addition au mémoire sur la courbe que forme une corde tenduë mise en Vibration" Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin , vol. 6, น. 355–360.

[mwA7A] See also: D'Alembert (1747) "Suite des recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration" (Further researches on the curve that a tense cord forms [when] set into vibration), Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin, vol. 3, p. 220–249.

[mwA7U] ดูเพิ่มเติมที่: D'Alembert (1750) "Addition au mémoire sur la courbe que forme une corde tenduë mise en Vibration" Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin , vol. 6, น. 355–360.

[5] "สมการคลื่นเชิงเส้นอันดับหนึ่งและอันดับสอง" (PDF) . math.arizona.edu . เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 2017-12-15

[6] V. Guruprasad (2015). "หลักฐานเชิงสังเกตสำหรับโหมดคลื่นเดินทางที่มีการเปลี่ยนแปลงตามสัดส่วนระยะทาง" EPL . 110 (5) 54001. arXiv : 1507.08222 . Bibcode : 2015EL....11054001G . doi : 10.1209/0295-5075/110/54001 . S2CID 42285652 .

[br3-7] Bschorr, Oskar; Raida, Hans-Joachim (เมษายน 2021). "สมการคลื่นทางเดียวทรงกลม" . อะคูสติกส์ . 3 (2): 309– 315. doi : 10.3390/acoustics3020021 .ข้อความนี้คัดลอกมาจากแหล่งข้อมูลนี้ ซึ่งเผยแพร่ภายใต้สัญญาอนุญาต Creative Commons Attribution 4.0 International License

[8] Raida, Hans-Joachim (ตุลาคม 2022). "ตัวดำเนินการคลื่นทางเดียว" . อะคูสติกส์ . 4 (4): 885– 893. doi : 10.3390/acoustics4040053 .

[br2-9] Bschorr, Oskar; Raida, Hans-Joachim (ธันวาคม 2021). "สมการคลื่นทางเดียวแบบแยกตัวประกอบ" . อะคูสติกส์ . 3 (4): 714– 722. doi : 10.3390/acoustics3040045 .

[10] แจ็กสัน, จอห์น เดวิด (14 สิงหาคม 1998). พลศาสตร์ไฟฟ้าคลาสสิก ( ฉบับที่ 3). ไวลีย์. หน้า425. ISBN 978-0-471-30932-1.

[FOOTNOTEAtiyahBottGårding1970109–189-11] Atiyah, บอตต์แอนด์การ์ดิง 1970 , หน้า 109–189.

[FOOTNOTEAtiyahBottGårding1973145–206-12] Atiyah, บอตต์แอนด์การ์ดิง 1973 , หน้า 145–206.

[FOOTNOTEEvans201070–80-13] อีแวนส์ 2010 , หน้า 70–80.

[:2-14] 1 2 Barnett, Alex H. (28 ธันวาคม 2006). "ฟังก์ชันกรีนสำหรับสมการคลื่น" (PDF) . users.flatironinstitute.org . สืบค้นเมื่อ25 สิงหาคม 2024 .

[15] "ฟังก์ชันสีเขียวของสมการคลื่น" (PDF) . julian.tau.ac.il . สืบค้นเมื่อ2024-09-03 .

[:0-16] 1 2 Taylor, Michael E. (2023), "สมการลาปลาสและสมการคลื่น"ใน Taylor, Michael E. (บรรณาธิการ), สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย 1: ทฤษฎีพื้นฐาน , วิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ประยุกต์, เล่มที่115, Cham: Springer International Publishing, หน้า137–205 , doi : 10.1007/978-3-031-33859-5_2 , ISBN 978-3-031-33859-5สืบค้นเมื่อ 2024-08-20

[:1-17] 1 2 3 Soodak, Harry; Tiersten, Martin S. (1993-05-01). "คลื่นและร่องรอยในมิติ N" . American Journal of Physics . 61 (5): 395– 401. Bibcode : 1993AmJPh..61..395S . doi : 10.1119/1.17230 . ISSN 0002-9505 .

[:3-18] 1 2 Courant, Richard; Hilbert, David (2009). วิธีการทางฟิสิกส์คณิตศาสตร์ 2: สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย / โดย R. Courant ( พิมพ์ซ้ำครั้งที่ 2). Weinheim: Wiley-VCH. ISBN 978-0-471-50439-9.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[

ที่

[

[

[

[

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

g

[