วิธีการคลื่นระนาบเสริมเชิงเส้น ( LAPW ) เป็นการนำทฤษฎีฟังก์ชันความหนาแน่น ของ Kohn-Sham (DFT) มาปรับใช้เพื่อจำลองคุณสมบัติที่หลากหลายของวัสดุแบบเป็นคาบ [ ^{1 ] [ 2 ] [ 3 ] โดย}ทั่วไปแล้วจะใช้การจัดการทั้ง อิเล็กตรอน วาเลนซ์และอิเล็กตรอนแกนกลางในระดับเดียวกันในบริบทของ DFT และการจัดการศักยภาพและความหนาแน่นประจุเต็มรูปแบบโดยไม่มีการประมาณรูปร่าง ใดๆ วิธีนี้มักเรียกว่าวิธีการคลื่นระนาบเสริมเชิงเส้นศักยภาพเต็มรูปแบบอิเล็กตรอน ทั้งหมด ( FLAPW ) ^{[ 4 ]}วิธีนี้ใช้ชุดฐาน ที่ขยายได้เป็นระบบ และไม่พึ่งพาการประมาณศักยภาพเทียมคุณสมบัติเหล่านี้ทำให้เป็นหนึ่งในการนำ DFT มาใช้ที่แม่นยำที่สุด สามารถใช้ได้กับวัสดุผลึกทั้งหมดโดยไม่คำนึงถึงองค์ประกอบทางเคมี สามารถใช้เป็นข้อมูลอ้างอิงสำหรับการประเมินวิธีการอื่นๆ ได้^{[ 5 ] [ 6 ]}

ทฤษฎีบท Hohenberg-Kohn เป็นหัวใจสำคัญของทฤษฎีฟังก์ชันความหนาแน่น โดยระบุว่าค่าสังเกตได้ ทั้งหมด ของระบบอิเล็กตรอนหลายตัวที่มีปฏิสัมพันธ์กันนั้นเป็นฟังก์ชันของความหนาแน่นประจุสถานะพื้นฐาน และความหนาแน่นนี้จะทำให้พลังงานรวมของระบบมีค่าน้อยที่สุด^{[ 7 ]}ทฤษฎีบทเหล่านี้ไม่ได้ตอบคำถามว่าจะหาความหนาแน่นสถานะพื้นฐานดังกล่าวได้อย่างไรWalter KohnและLu Jeu Sham ได้เสนอสูตรสำหรับเรื่องนี้ โดย แนะนำระบบเสริมของอนุภาคที่ไม่มีปฏิสัมพันธ์กัน ซึ่งสร้างขึ้นเพื่อให้มีความหนาแน่นสถานะพื้นฐานเดียวกันกับระบบอนุภาคที่มีปฏิสัมพันธ์กัน^{[ 8 ]}สมการคล้ายชโรดิงเกอร์ที่อธิบายระบบนี้คือสมการ Kohn-Shamด้วยสมการเหล่านี้ เราสามารถคำนวณสถานะเฉพาะของระบบและด้วยสถานะเฉพาะเหล่านี้ ความหนาแน่น หนึ่งในส่วนประกอบของสมการ Kohn-Sham คือศักยภาพที่มีประสิทธิภาพซึ่งขึ้นอยู่กับความหนาแน่น เนื่องจากความหนาแน่นสถานะพื้นฐานไม่เป็นที่ทราบก่อนการคำนวณ Kohn-Sham DFT และเป็นทั้งข้อมูลนำเข้าและข้อมูลส่งออกของการคำนวณดังกล่าว สมการ Kohn-Sham จึงถูกแก้ในกระบวนการวนซ้ำพร้อมกับการคำนวณความหนาแน่นและศักยภาพใหม่ในแต่ละรอบการวนซ้ำ โดยเริ่มต้นด้วยการคาดเดาความหนาแน่นเริ่มต้น และหลังจากแต่ละรอบการวนซ้ำ ความหนาแน่นใหม่จะถูกสร้างขึ้นโดยผสมจากความหนาแน่นส่งออกและความหนาแน่นก่อนหน้า การคำนวณจะสิ้นสุดลงเมื่อ พบ จุดคงที่ของความหนาแน่นที่สอดคล้องกัน กล่าวคือ ความหนาแน่นนำเข้าและความหนาแน่นส่งออกเหมือนกัน นี่คือความหนาแน่นสถานะพื้นฐาน

วิธีการที่ใช้ Kohn-Sham DFT ต้องทำให้ขั้นตอนต่างๆ ของอัลกอริธึมแบบวนซ้ำที่ได้อธิบายไว้นั้นเป็นจริง วิธีการ LAPW นั้นอยู่บนพื้นฐานของการแบ่งเซลล์หน่วย ของวัสดุ ออกเป็นทรงกลมที่เรียกว่าทรงกลมมัฟฟินทิน (MT) ที่ไม่ทับซ้อนกันแต่เกือบจะสัมผัสกัน โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่นิวเคลียสของอะตอม และมีบริเวณระหว่างกลาง (IR) อยู่ระหว่างทรงกลมเหล่านั้น คำอธิบายทางกายภาพและการแสดงแทนของออร์บิทัล Kohn-Sham ความหนาแน่นของประจุ และศักยภาพนั้นได้รับการปรับให้เข้ากับการแบ่งส่วนนี้ ในส่วนต่อไปนี้จะอธิบายการออกแบบวิธีการนี้และการสกัดปริมาณต่างๆ จากวิธีการนี้โดยละเอียดมากขึ้น พร้อมทั้งระบุถึงรูปแบบต่างๆ และส่วนขยายเพิ่มเติม

ประเด็นสำคัญของการนำ DFT ไปใช้ในทางปฏิบัติคือคำถามที่ว่า จะแก้สมการ Kohn-Sham ได้อย่างไร

${\displaystyle \left[{\hat {T}__{\text{s}}+V_{\text{eff}}(\mathbf {r} )\right]\left|\Psi _{j}^{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\right\rangle =\epsilon _{j}^{\mathbf {k} }\left|\Psi _{j}^{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\right\rangle }$

โดยมี ตัวดำเนินการพลังงานจลน์อิเล็กตรอนเดี่ยวศักยภาพประสิทธิผลสถานะ Kohn-Sham ค่าไอเกนพลังงานและเวกเตอร์ตำแหน่งและ Bloch และในขณะที่ในการประเมินเชิงนามธรรมของ Kohn-Sham DFT แบบจำลองสำหรับการมีส่วนร่วมของการแลกเปลี่ยน-ความสัมพันธ์ต่อศักยภาพประสิทธิผลเป็นการประมาณพื้นฐานเพียงอย่างเดียว ในทางปฏิบัติ การแก้สมการ Kohn-Sham จะมาพร้อมกับการแนะนำการประมาณเพิ่มเติมอีกมากมาย ซึ่งรวมถึงความไม่สมบูรณ์ของชุดฐานที่ใช้ในการแสดงออร์บิทัล Kohn-Sham การเลือกใช้การประมาณศักยภาพเทียมหรือพิจารณาอิเล็กตรอนทั้งหมดในแผนการ DFT การจัดการผลกระทบเชิงสัมพัทธภาพ และการประมาณรูปร่างที่เป็นไปได้ของศักยภาพ นอกเหนือจากการแบ่งเซลล์หน่วยแล้ว สำหรับวิธี LAPW ด้านการออกแบบที่สำคัญคือการใช้ชุดฐาน LAPW เพื่อแสดงออร์บิทัลอิเล็กตรอนวาเลนซ์เป็น ${\displaystyle {\hat {T}}_{\text{s}}}$${\displaystyle V_{\text{eff}}(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \Psi _{j}^{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \epsilon _{j}^{\mathbf {k} }}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {k} }$${\displaystyle \left\lbrace \phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }(\mathbf {r} )\right\rbrace }$

${\displaystyle \left|\Psi _{j}^{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\right\rangle =\sum \limits _{\mathbf {G} }c_{j}^{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }\left|\phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }(\mathbf {r} )\right\rangle ,}$

สัมประสิทธิ์การขยายตัวอยู่ ที่ไหนฐาน LAPW ถูกออกแบบมาเพื่อช่วยให้สามารถแสดงออร์บิทัลได้อย่างแม่นยำ และจำลองฟิสิกส์ในแต่ละบริเวณของเซลล์หน่วยได้อย่างถูกต้อง ${\displaystyle c_{j}^{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }}$

เมื่อพิจารณาเซลล์หน่วยที่มีปริมาตรครอบคลุมอะตอมที่ตำแหน่งต่างๆฟังก์ชันพื้นฐาน LAPW จะมีลักษณะเฉพาะด้วยเวกเตอร์แลตติซผกผันและเวกเตอร์บล็อก ที่พิจารณา โดย กำหนดให้เป็น ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\alpha }}$${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle \mathbf {k} }$

${\displaystyle \phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }(\mathbf {r} )=\left\lbrace {\begin{array}{l l}{\frac {1}{\sqrt {\Omega }}}e^{i(\mathbf {k} +\mathbf {G} )\mathbf {r} }&{\text{for }}\mathbf {r} {\text{ in IR}}\\\sum \limits _{l=0}^{l_{{\text{max}},\alpha }}\sum \limits _{m=-l}^{l}\left[a_{l,m}^{\mathbf {k} ,\mathbf {G} ,\alpha }u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })+b_{l,m}^{\mathbf {k} ,\mathbf {G} ,\alpha }{\dot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right]Y_{l,m}(\mathbf {\hat {r}} _{\alpha })&{\text{for }}\mathbf {r} {\text{ in MT}}_{\alpha }\end{array}}\right.,}$

โดยที่เวกเตอร์ตำแหน่งสัมพันธ์กับตำแหน่งของนิวเคลียสของอะตอมฟังก์ชันพื้นฐาน LAPW จึงเป็นคลื่นระนาบในย่านอินฟราเรดและการรวมเชิงเส้นของฟังก์ชันรัศมีและคูณด้วยฮาร์มอนิกทรงกลมในแต่ละทรงกลม MT ฟังก์ชันรัศมีในที่นี้คือคำตอบของแฮมิลโทเนียนของ Kohn-Sham สำหรับศักยภาพเฉลี่ยทรงกลมที่มีพฤติกรรมปกติที่นิวเคลียสสำหรับพารามิเตอร์พลังงานที่กำหนดเมื่อรวมกับอนุพันธ์พลังงานการเสริมคลื่นระนาบในแต่ละทรงกลม MT เหล่านี้ทำให้สามารถแสดงออร์บิทัลของ Kohn-Sham ที่พลังงานเฉพาะใดๆ ที่เป็นเชิงเส้นรอบพารามิเตอร์พลังงานได้ สัมประสิทธิ์และจะถูกกำหนดโดยอัตโนมัติโดยการบังคับให้ฟังก์ชันพื้นฐานสามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องสำหรับแต่ละช่องสัญญาณ ชุดของฟังก์ชันพื้นฐาน LAPW ถูกกำหนดโดยการระบุพารามิเตอร์ตัดในแต่ละทรงกลม MT การขยายเป็นฮาร์มอนิกทรงกลมจะถูกจำกัดไว้ที่จำนวนโมเมนตัมเชิงมุมสูงสุดโดยที่คือรัศมีมัฟฟินทินของอะตอม การเลือกค่าตัดนี้เกี่ยวข้องกับการลดลงของสัมประสิทธิ์การขยายตัวสำหรับการเติบโตในการขยายตัวแบบเรย์ลีของคลื่นระนาบไปสู่ฮาร์มอนิกทรงกลม ${\displaystyle \mathbf {r} _{\alpha }=\mathbf {r} -{\boldsymbol {\tau }}_{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })}$${\displaystyle {\dot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })}$${\displaystyle Y_{l,m}}$${\displaystyle u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })}$${\displaystyle E_{l,\alpha }}$${\displaystyle {\dot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })}$${\displaystyle a_{l,m}^{\mathbf {k} ,\mathbf {G} ,\alpha }}$${\displaystyle b_{l,m}^{\mathbf {k} ,\mathbf {G} ,\alpha }}$${\displaystyle (l,m)}$${\displaystyle K_{\text{max}}=|\mathbf {k} +\mathbf {G} |_{\text{max}}}$${\displaystyle l_{{\text{max}},\alpha }\approx K_{\text{max}}R_{{\text{MT}}_{\alpha }}}$${\displaystyle R_{{\text{MT}}_{\alpha }}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle l}$

ในขณะที่ฟังก์ชันพื้นฐาน LAPW ถูกใช้เพื่อแสดงสถานะวาเลนซ์สถานะอิเล็กตรอนแกนกลางซึ่งถูกจำกัดอย่างสมบูรณ์ภายในทรงกลม MT จะถูกคำนวณสำหรับศักยภาพเฉลี่ยทรงกลมบนกริดรัศมี สำหรับแต่ละอะตอมแยกกันโดยใช้เงื่อนไขขอบเขตอะตอม สถานะกึ่งแกนกลางซึ่งยังคงอยู่ในตำแหน่งเฉพาะที่แต่ขยายออกไปเล็กน้อยนอกขอบเขตทรงกลม MT อาจถือได้ว่าเป็นสถานะอิเล็กตรอนแกนกลางหรือสถานะอิเล็กตรอนวาเลนซ์ สำหรับตัวเลือกหลัง การแสดงแบบเชิงเส้นไม่เพียงพอเนื่องจากพลังงานไอเกนที่เกี่ยวข้องมักจะอยู่ห่างไกลจากพารามิเตอร์พลังงาน เพื่อแก้ไขปัญหานี้ ฟังก์ชันพื้นฐาน LAPW สามารถขยายได้ด้วยฟังก์ชันพื้นฐานเพิ่มเติมในทรงกลม MT ที่เกี่ยวข้อง ซึ่งเรียกว่าออร์บิทัลเฉพาะที่ (LOs) ^{[ 9 ]}สิ่งเหล่านี้ได้รับการปรับแต่งเพื่อให้การแสดงสถานะกึ่งแกนกลางที่แม่นยำ

รูปแบบคลื่นระนาบของฟังก์ชันพื้นฐานในบริเวณช่องว่างทำให้การสร้างเมทริกซ์แฮมิลโทเนียนทำได้ง่ายขึ้น

${\displaystyle H_{\mathbf {G'} ,\mathbf {G} }^{\mathbf {k} }=\left\langle \phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G'} }{\Big |}{\hat {H}}{\Big |}\phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }\right\rangle =\left\langle \phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G'} }{\Big |}{\hat {T}}_{\text{s}}+V_{\text{eff}}(\mathbf {r} ){\Big |}\phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }\right\rangle }$

สำหรับบริเวณนั้นถือว่าเรียบง่าย ในทรงกลม MT การตั้งค่านี้ก็เรียบง่ายและประหยัดค่าใช้จ่ายในการคำนวณสำหรับพลังงานจลน์และศักยภาพเฉลี่ยแบบทรงกลม เช่น ในการประมาณแบบมัฟฟิน-ทินความเรียบง่ายนี้เกิดจากการเชื่อมต่อของฟังก์ชันรัศมีกับแฮมิลโทเนียนทรงกลมในทรงกลม กล่าวคือและเมื่อเปรียบเทียบกับการประมาณแบบ MT สำหรับคำอธิบายศักยภาพแบบเต็ม (FLAPW) ส่วนประกอบจากส่วนที่ไม่เป็นทรงกลมของศักยภาพจะถูกเพิ่มเข้าไปในเมทริกซ์แฮมิลโทเนียนในทรงกลม MT และในส่วนประกอบ IR ที่เกี่ยวข้องกับการเบี่ยงเบนจากศักยภาพคงที่ ${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{sphr}}^{\alpha }}$${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{sphr}}^{\alpha }\left|u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle =E_{l,\alpha }\left|u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle }$${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{sphr}}^{\alpha }\left|{\dot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle =E_{l,\alpha }\left|{\dot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle +\left|u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle }$

หลังจากตั้ง ค่าเมทริกซ์แฮมิลโทเนียน พร้อมกับเมทริกซ์โอเวอร์แลปแล้ว จะได้ออร์บิทัลของ Kohn-Sham เป็นฟังก์ชันเฉพาะจากปัญหาค่าเฉพาะเฮอร์มิเชียนหนาแน่นทั่วไปเชิงพีชคณิต${\displaystyle H_{\mathbf {G'} ,\mathbf {G} }^{\mathbf {k} }}$${\displaystyle S_{\mathbf {G'} ,\mathbf {G} }^{\mathbf {k} }=\left\langle \phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G'} }{\Big |}\phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }\right\rangle }$

${\displaystyle \sum \limits _{\mathbf {G} }H_{\mathbf {G'} ,\mathbf {G} }^{\mathbf {k} }c_{j}^{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }=\epsilon _{j}^{\mathbf {k} }\sum \limits _{\mathbf {G} }S_{\mathbf {G'} ,\mathbf {G} }^{\mathbf {k} }c_{j}^{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }~~,}$

โดยที่ คือค่าพลังงานไอเก น ของสถานะ Kohn-Sham ที่ j ที่เวกเตอร์ Bloch และสถานะดังกล่าวถูกกำหนดตามที่ระบุไว้ข้างต้นโดยสัมประสิทธิ์การขยายตัว${\displaystyle \epsilon _{j}^{\mathbf {k} }}$${\displaystyle {\mathbf {k} }}$${\displaystyle c_{j}^{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }}$

ระดับของฟิสิกส์เชิงสัมพัทธ ภาพที่พิจารณา นั้นแตกต่างกันสำหรับอิเล็กตรอนแกนกลางและอิเล็กตรอนวาเลนซ์ การรวมตัวของอิเล็กตรอนแกนกลางอย่างเข้มข้นเนื่องจากความเอกฐานของศักยภาพที่มีประสิทธิภาพที่นิวเคลียสของอะตอมนั้นเชื่อมโยงกับการมีส่วนร่วมของพลังงานจลน์ขนาดใหญ่ ดังนั้นการพิจารณาเชิงสัมพัทธภาพอย่างสมบูรณ์จึงเป็นที่ต้องการและเป็นเรื่องปกติ สำหรับการกำหนดฟังก์ชันรัศมีและวิธีการทั่วไปคือการประมาณคำอธิบายเชิงสัมพัทธภาพอย่างสมบูรณ์ ซึ่งอาจเป็นการประมาณเชิงสัมพัทธภาพแบบสเกลาร์^{[ 10 ] [ 11 ]} (SRA) หรือวิธีการที่คล้ายกัน^{[ 12 ] [ 13 ]}ผลกระทบหลักที่ถูกละเลยโดยการประมาณเหล่านี้คือการเชื่อมโยงสปิน-ออร์บิตดังที่ได้ระบุไว้ข้างต้น การสร้างเมทริกซ์แฮมิลโทเนียนภายในการประมาณดังกล่าวเป็นเรื่องง่าย การเชื่อมโยงสปิน-ออร์บิตสามารถรวมเพิ่มเติมได้ แม้ว่าสิ่งนี้จะนำไปสู่การตั้งค่าเมทริกซ์แฮมิลโทเนียนที่ซับซ้อนมากขึ้นหรือแผนการแปรผันที่สอง^{[ 14 ] [ 15 ]}ซึ่งเชื่อมโยงกับความต้องการการคำนวณที่เพิ่มขึ้น ในบริเวณช่องว่างระหว่างอะตอมนั้น การอธิบายอิเล็กตรอนวาเลนซ์โดยไม่พิจารณาผลกระทบเชิงสัมพัทธภาพเป็นเรื่องที่สมเหตุสมผลและพบได้ทั่วไป ${\displaystyle u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })}$${\displaystyle {\dot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })}$

หลังจากคำนวณฟังก์ชันเฉพาะของ Kohn-Sham แล้ว ขั้นตอนต่อไปคือการสร้างความหนาแน่นประจุ อิเล็กตรอน โดยการเติมอิเล็กตรอนเข้าไปในสถานะพลังงานต่ำสุดจนถึงระดับ Fermiระดับ Fermi นั้นถูกกำหนดในกระบวนการนี้โดยการรักษาสภาพความเป็นกลางของประจุในหน่วยเซลล์ ความหนาแน่นประจุที่ได้จะมีรูปแบบเฉพาะพื้นที่ ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )=\left\{{\begin{array}{l l}\sum \limits _{\mathbf {G} }\rho _{\mathbf {G} }e^{i\mathbf {G} \mathbf {r} }&{\text{for }}\mathbf {r} {\text{ in IR}}\\\sum \limits _{l=0}^{l_{{\text{max}},\alpha }}\sum \limits _{m=-l}^{l}\rho _{l,m}^{\alpha }(r_{\alpha })Y_{l,m}(\mathbf {\hat {r}} _{\alpha })&{\text{for }}\mathbf {r} {\text{ in MT}}_{\alpha }\end{array}}\right.,}$

กล่าวคือ กำหนดให้เป็นการขยายคลื่นระนาบในบริเวณช่องว่าง และเป็นการขยายเป็นฟังก์ชันรัศมีคูณด้วยฮาร์มอนิกทรงกลมในแต่ละทรงกลม MT โดยที่ฟังก์ชันรัศมีในที่นี้จะถูกกำหนดเป็นตัวเลขบนตาข่าย

การแสดงศักยภาพที่มีประสิทธิภาพเป็นไปตามรูปแบบเดียวกัน ในการสร้างนั้น วิธีการทั่วไปคือการใช้วิธีการของ Weinert ในการแก้ สม การPoisson ^{[ 16 ]}ซึ่งให้คำตอบของสมการ Poisson ได้อย่างมีประสิทธิภาพและแม่นยำโดยไม่ต้องประมาณรูปร่างสำหรับความหนาแน่นประจุแบบคาบใดๆ โดยอาศัยแนวคิดของศักยภาพแบบหลายขั้วและปัญหาค่าขอบเขตสำหรับทรงกลม

เนื่องจากวิธีการคำนวณ DFT ที่แตกต่างกันนั้นใช้กรอบทฤษฎีเดียวกัน จึงให้ผลลัพธ์คุณสมบัติของวัสดุที่คล้ายคลึงกันมาก อย่างไรก็ตาม ความแตกต่างในการนำไปใช้ส่งผลให้ความง่ายในการหาค่าบางอย่างและการตีความค่าเหล่านั้นแตกต่างกัน ในส่วนต่อไปนี้จะกล่าวถึงตัวอย่างบางส่วน

ปริมาณพื้นฐานที่สุดที่ DFT ให้มาคือพลังงานรวมสถานะพื้นฐานของระบบที่ศึกษา เพื่อหลีกเลี่ยงการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันเฉพาะในการประเมินค่า การใช้งานทั่วไป^{[ 17 ]}จะแทนที่ค่าคาดหวังของตัวดำเนินการพลังงานจลน์ด้วยผลรวมของพลังงานแถบของสถานะ Kohn-Sham ที่ถูกครอบครองลบด้วยพลังงานเนื่องจากศักยภาพที่มีประสิทธิภาพ แรงที่กระทำต่ออะตอม ซึ่งกำหนดโดยการเปลี่ยนแปลงของพลังงานรวมเนื่องจากการกระจัดเล็กน้อย มีส่วนประกอบหลักสองส่วน ส่วนแรกเกิดจากการกระจัดของศักยภาพ เรียกว่าแรง Hellmann-Feynmanส่วนประกอบอื่น ๆ ซึ่งต้องใช้การคำนวณที่ซับซ้อนกว่า เกิดจากการเปลี่ยนแปลงที่เกี่ยวข้องในฟังก์ชันพื้นฐานที่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของอะตอม มักเรียกว่าแรง Pulay ^{[ 18 ]} และต้องใช้การใช้งานเฉพาะวิธี^{[ 19 ] [ 20 ]}นอกเหนือจากแรงแล้ว ยังจำเป็นต้องมีการใช้งานเฉพาะวิธีที่คล้ายกันสำหรับปริมาณอื่น ๆ ที่ได้มาจากฟังก์ชันพลังงานรวมด้วย สำหรับวิธี LAPW ได้มีการสร้างสูตรสำหรับเทนเซอร์ความเครียด^{[ 21 ]}และสำหรับโฟนอน^{[ 22 ]}ขึ้นมา

โดยไม่คำนึงถึงขนาดที่แท้จริงของอะตอม การประเมินปริมาณที่ขึ้นอยู่กับอะตอมใน LAPW มักถูกตีความว่าเป็นการคำนวณปริมาณในทรงกลม MT ที่เกี่ยวข้อง ซึ่งใช้ได้กับปริมาณต่างๆ เช่น ประจุที่อะตอม โมเมนต์แม่เหล็ก หรือการฉายภาพความหนาแน่นของสถานะหรือโครงสร้างแถบลงบนลักษณะวงโคจรที่แน่นอนที่อะตอมที่กำหนด การตีความปริมาณดังกล่าวที่เบี่ยงเบนไปจากการทดลองหรือการใช้งาน DFT อื่นๆ อาจนำไปสู่ความแตกต่างเมื่อเปรียบเทียบผลลัพธ์ นอกจากนี้ ข้อมูลนำเข้า LAPW ที่เฉพาะเจาะจงกับอะตอมบางส่วนยังเกี่ยวข้องโดยตรงกับบริเวณ MT ที่เกี่ยวข้อง ตัวอย่างเช่น ในแนวทาง DFT+U ค่าHubbard Uจะส่งผลต่อทรงกลม MT เท่านั้น^{[ 23 ]}

จุดแข็งของแนวทาง LAPW คือการรวมอิเล็กตรอนทั้งหมดไว้ในการคำนวณ DFT ซึ่งมีความสำคัญต่อการประเมินปริมาณบางอย่าง หนึ่งในนั้นคือพารามิเตอร์ปฏิสัมพันธ์ไฮเปอร์ไฟน์ เช่น เกรเดียนต์ สนามไฟฟ้าซึ่งการคำนวณเกี่ยวข้องกับการประเมินความโค้งของศักยภาพคูลอมบ์ของอิเล็กตรอนทั้งหมดใกล้กับนิวเคลียส การทำนายปริมาณดังกล่าวด้วย LAPW มีความแม่นยำมาก^{[ 24 ]}

Kohn-Sham DFT ไม่ได้ให้การเข้าถึงปริมาณทั้งหมดที่อาจสนใจโดยตรง ตัวอย่างเช่น ค่าพลังงานไอเกนส่วนใหญ่ของสถานะ Kohn-Sham ไม่ได้เกี่ยวข้องโดยตรงกับระบบอิเล็กตรอนหลายตัวที่มีปฏิสัมพันธ์จริง ดังนั้นสำหรับการทำนายคุณสมบัติทางแสง จึงมักใช้โค้ด DFT ร่วมกับซอฟต์แวร์ที่ใช้การประมาณ GW (GWA) สำหรับทฤษฎีการรบกวนหลายอนุภาค และอาจใช้สมการBethe-Salpeter (BSE) เพื่ออธิบายเอ็กซิตอน ซอฟต์แวร์ดังกล่าวต้องปรับให้เข้ากับการแสดงผลที่ใช้ในการใช้งาน DFT ทั้ง GWA และ BSE ได้รับการกำหนดสูตรในบริบท LAPW และมีการใช้งานเครื่องมือดังกล่าวหลายอย่าง^{[ 25 ] [ 26 ] [ 27 ]}ในสถานการณ์การประมวลผลภายหลังอื่นๆ อาจเป็นประโยชน์ที่จะฉายสถานะ Kohn-Sham ไปยังฟังก์ชัน Wannierสำหรับวิธีการ LAPW การฉายภาพดังกล่าวได้รับการใช้งานแล้ว^{[ 28 ] [ 29 ]}และมีการใช้งานทั่วไป

• APW : วิธีคลื่นระนาบเสริม^{[ 30 ]}เป็นต้นแบบของ LAPW โดยใช้โซลูชันเชิงรัศมีสำหรับศักยภาพเฉลี่ยทรงกลมเพื่อเสริมในทรงกลม MT อนุพันธ์พลังงานของฟังก์ชันเชิงรัศมี นี้ ไม่ได้เกี่ยวข้อง การขาดการทำให้เป็นเชิงเส้นนี้หมายความว่าการเสริมจะต้องปรับให้เข้ากับสถานะ Kohn-Sham แต่ละสถานะแยกกัน กล่าวคือ ขึ้นอยู่กับเวกเตอร์ Bloch และดัชนีแถบ ซึ่งต่อมานำไปสู่ปัญหาค่าลักษณะเฉพาะที่ไม่เป็นเชิงเส้นและขึ้นอยู่กับพลังงาน เมื่อเปรียบเทียบกับ LAPW ปัญหานี้มีความซับซ้อนกว่าในการแก้ไข นอกจากนี้ยังมีการกำหนดสูตรการวางนัยทั่วไปเชิงสัมพัทธภาพของแนวทางนี้ RAPW ^{[ 31 ]}
• การขยายออร์บิทัลท้องถิ่น : ฐาน LAPW สามารถขยายได้ด้วยออร์บิทัลท้องถิ่น^{[ 9 ]} (LOs) ซึ่งเป็นฟังก์ชันฐานเพิ่มเติมที่มีค่าไม่เป็นศูนย์เฉพาะในทรงกลม MT เดียวเท่านั้น ประกอบด้วยฟังก์ชันรัศมี, , และฟังก์ชันรัศมีที่สามที่ปรับแต่งเพื่ออธิบายฟิสิกส์เฉพาะกรณีการใช้งาน LOs ได้รับการเสนอครั้งแรกสำหรับการแสดงสถานะเซมิคอร์ การใช้งานอื่นๆ เกี่ยวข้องกับการแสดงสถานะที่ว่าง^{[ 32 ] [ 33 ]}หรือการกำจัดข้อผิดพลาดเชิงเส้นสำหรับสถานะวาเลนซ์^{[ 34 ]}${\displaystyle u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })}$${\displaystyle {\dot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })}$
• APW+lo : ในวิธี APW+lo ^{[ 35 ] [ 36 ]}การเสริมในทรงกลม MT ประกอบด้วยฟังก์ชันเท่านั้นโดยจะจับคู่กับคลื่นระนาบในบริเวณระหว่างกลางเฉพาะในแง่ของค่าเท่านั้น ในการใช้งานการทำให้เป็นเชิงเส้นแบบทางเลือก ฟังก์ชันจะถูกรวมอยู่ในชุดฐานเป็นออร์บิทัลเฉพาะที่เพิ่มเติม แม้ว่าเงื่อนไขการจับคู่จะส่งผลให้เกิดรอยหยักที่ไม่สมจริงของฟังก์ชันฐานที่ขอบเขตทรงกลม MT แต่การพิจารณารอยหยักอย่างรอบคอบในการสร้างเมทริกซ์แฮมิลโทเนียนจะช่วยลดรอยหยักนั้นในฟังก์ชันไอเกนของ Kohn-Sham เมื่อเปรียบเทียบกับวิธี LAPW แบบคลาสสิก วิธี APW+lo นำไปสู่ชุดฐานที่ยืดหยุ่นน้อยกว่า ผลลัพธ์ที่ได้คือการลู่เข้าที่เร็วขึ้นของการคำนวณ DFT เมื่อเทียบกับขนาดของชุดฐาน${\displaystyle u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })}$${\displaystyle {\dot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })}$
• การกำหนดสูตร LAPW ของ Soler-Williams : ในการกำหนดสูตร LAPW ของ Soler-Williams ^{[ 37 ]}คลื่นระนาบครอบคลุมเซลล์หน่วยทั้งหมด ในทรงกลม MT การเสริมกำลังจะดำเนินการโดยการแทนที่คลื่นระนาบจนถึง ขีดจำกัด โมเมนตัมเชิงมุมด้วยฟังก์ชันและซึ่งจะทำให้ได้ฟังก์ชันพื้นฐานที่สามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องในช่องสัญญาณเหนือขีดจำกัดโมเมนตัมเชิงมุม ผลที่ตามมาคือ วิธีการของ Soler-Williams มีข้อกำหนดขีดจำกัดโมเมนตัมเชิงมุมที่ลดลงเมื่อเทียบกับการกำหนดสูตร LAPW แบบคลาสสิก${\displaystyle u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })}$${\displaystyle {\dot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })}$${\displaystyle (l,m)}$
• ELAPW : ในวิธีการ LAPW แบบขยาย^{[ 38 ] [ 39 ]}คู่ของออร์บิทัลท้องถิ่นที่แนะนำฟังก์ชันและจะถูกเพิ่มเข้าไปในฐาน LAPW พารามิเตอร์พลังงานจะถูกเลือกเพื่อขยายขอบเขตพลังงานอย่างเป็นระบบซึ่งสถานะ Kohn-Sham ได้รับการอธิบายอย่างแม่นยำโดยการทำให้เป็นเชิงเส้นใน LAPW${\displaystyle u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha }^{\text{lo}})}$${\displaystyle {\dot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha }^{\text{lo}})}$${\displaystyle E_{l,\alpha }^{\text{lo}}}$
• QAPW : ในวิธีการ APW แบบกำลังสอง^{[ 40 ] [ 41 ]}การเสริมในทรงกลม MT ยังรวมถึงอนุพันธ์พลังงานลำดับที่สองด้วยการจับคู่ที่ขอบเขตทรงกลม MT ทำได้โดยการบังคับความต่อเนื่องของฟังก์ชันพื้นฐานในค่า ความชัน และความโค้ง ซึ่งคล้ายกับวิธีการ APW แบบซูเปอร์ลิเนียร์ (SLAPW) ที่ใช้ฟังก์ชันรัศมีและ/หรืออนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านั้นที่พารามิเตอร์พลังงานมากกว่าหนึ่งตัวสำหรับการเสริม^{[ 9 ]}เมื่อเปรียบเทียบกับฐาน LAPW บริสุทธิ์ วิธีการเหล่านี้สามารถแสดงออร์บิทัล Kohn-Sham ได้อย่างแม่นยำในหน้าต่างพลังงานที่กว้างขึ้นรอบพารามิเตอร์พลังงาน ข้อเสียคือเงื่อนไขการจับคู่ที่เข้มงวดกว่าทำให้ชุดฐานแข็งขึ้น${\displaystyle {\ddot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })}$${\displaystyle u_{l,\alpha }}$${\displaystyle {\dot {u}}_{l,\alpha }}$
• ระบบมิติที่ต่ำกว่า : การแบ่งเซลล์หน่วยสามารถขยายเพื่อรวมบริเวณสุญญากาศกึ่งอนันต์ที่มีการเสริมคลื่นระนาบของตัวเองได้อย่างชัดเจน^{[ 42 ]}ซึ่งช่วยให้สามารถคำนวณระบบมิติที่ต่ำกว่าได้อย่างมีประสิทธิภาพ เช่น พื้นผิวและฟิล์มบาง สำหรับการจัดการโซ่อะตอม ได้มีการกำหนดส่วนขยายไปยังการตั้งค่าแบบหนึ่งมิติ^{[ 43 ]}

มีโครงการซอฟต์แวร์หลายโครงการที่นำวิธีการ LAPW และ/หรือรูปแบบต่างๆ ของวิธีการนี้มาใช้ ตัวอย่างของโค้ดดังกล่าวได้แก่

• กวางเอลก์
• น่าตื่นเต้น
• แฟลร์^{[ 44 ]}
• เฟลอร์
• ฮิแลปว
• เวียน2ก