กระบวนการสุ่มแบบต่อเนื่องจะกำหนดตัวแปรสุ่มX ให้กับแต่ละจุดt ≥ 0 ในเวลา ในทางปฏิบัติแล้วมันคือฟังก์ชันสุ่มของtส่วนเพิ่มของกระบวนการดังกล่าวคือผลต่างX − X ระหว่างค่าของมัน ณ เวลาต่างๆt < sการเรียกส่วนเพิ่มของกระบวนการว่าเป็นอิสระหมายความว่าส่วนเพิ่มX − X และX − X เป็น ตัวแปรสุ่ม อิสระเมื่อใดก็ตามที่ช่วงเวลาทั้งสองไม่ทับซ้อนกัน และโดยทั่วไปแล้ว ส่วนเพิ่มจำนวนจำกัดใดๆ ที่กำหนดให้กับช่วงเวลาที่ไม่ทับซ้อนกันเป็นคู่ๆ จะเป็นอิสระต่อกัน (ไม่ใช่แค่เป็นคู่ๆ )

การเรียกค่าเพิ่มขึ้นว่าคงที่ หมายความว่าการกระจายความน่าจะเป็นของค่าเพิ่มขึ้นใดๆX − X ขึ้นอยู่กับความยาวt  − sของช่วงเวลาเท่านั้น ค่าเพิ่มขึ้นในช่วงเวลาที่มีความยาวเท่ากันจะมีการกระจายแบบเดียวกัน 

ถ้า${\displaystyle X}$เป็นกระบวนการ Wienerซึ่งการแจกแจงความน่าจะเป็นของX   − X เป็นการแจกแจงแบบปกติโดยมีค่าเฉลี่ยเป็น 0 และความแปรปรวนเป็นt − s   

ถ้า${\displaystyle X}$Xt Xsเป็นกระบวนการปัวซงโดยที่การแจกแจงความน่าจะเป็นของ Xt − Xs แจกแจงปัวซงที่มีค่าเฉลี่ย λ( t − s ) โดยที่ λ > 0 คือ "ความเข้มข้น" หรือ "อัตรา" ของกระบวนการ    

ถ้า${\displaystyle X}$เป็นกระบวนการโคชี (Cauchy process)การแจกแจงความน่าจะเป็นของX   − X คือการแจกแจงโคชี (Cauchy distribution)ที่มีความหนาแน่น ρ ${\displaystyle f(x;t)={1 \over \pi }\left[{\gamma \over x^{2}+\gamma ^{2}}\right]}$ที่ไหน${\displaystyle \gamma =t-s}$.

การแจกแจงของกระบวนการ Lévy มีคุณสมบัติของการหารลงตัวอย่างไม่จำกัด : เมื่อกำหนดจำนวนเต็มn ใด ๆ กฎของกระบวนการ Lévy ณ เวลา t สามารถแสดงได้เป็นกฎของผลรวมของ ตัวแปรสุ่มอิสระ nตัว ซึ่งก็คือค่าเพิ่มขึ้นของกระบวนการ Lévy ในช่วงเวลาที่มีความยาวt / nซึ่งเป็นอิสระและมีการแจกแจงเหมือนกันตามสมมติฐานข้อ 2 และ 3 ในทางกลับกัน สำหรับการแจกแจงความน่าจะเป็นที่หารลงตัวอย่างไม่จำกัดแต่ละแบบ${\displaystyle F}$มีกระบวนการเลวี (Lévy process)${\displaystyle X}$เช่นนั้นกฎหมายของ${\displaystyle X_{1}}$ is given by ${\displaystyle F}$.

In any Lévy process with finite moments, the nth moment ${\displaystyle \mu _{n}(t)=E(X_{t}^{n})}$, is a polynomial function of t; these functions satisfy a binomial identity:

${\displaystyle \mu _{n}(t+s)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\mu _{k}(t)\mu _{n-k}(s).}$

Because the characteristic functions of independent random variables multiply, the Lévy–Khintchine theorem suggests that every Lévy process is the sum of Brownian motion with drift and another independent random variable, a Lévy jump process. The Lévy–Itô decomposition describes the latter as a (stochastic) sum of independent Poisson random variables.

Let ${\displaystyle \nu ={\frac {\Pi |_{\mathbb {R} \setminus (-1,1)}}{\Pi (\mathbb {R} \setminus (-1,1))}}}$— that is, the restriction of ${\displaystyle \Pi }$ to ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus (-1,1)}$, normalized to be a probability measure; similarly, let ${\displaystyle \mu =\Pi |_{(-1,1)\setminus \{0\}}}$ (but do not rescale). Then

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} \setminus \{0\}}{\left(e^{i\theta x}-1-i\theta x\mathbf {1} _{|x|<1}\right)\,\Pi (dx)}=\Pi (\mathbb {R} \setminus (-1,1))\int _{\mathbb {R} }{(e^{i\theta x}-1)\,\nu (dx)}+\int _{\mathbb {R} }{(e^{i\theta x}-1-i\theta x)\,\mu (dx)}.}$

The former is the characteristic function of a compound Poisson process with intensity ${\displaystyle \Pi (\mathbb {R} \setminus (-1,1))}$ and child distribution ${\displaystyle \nu }$. The latter is that of a compensated generalized Poisson process (CGPP): a process with countably many jump discontinuities on every interval a.s., but such that those discontinuities are of magnitude less than ${\displaystyle 1}$. If ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }{|x|\,\mu (dx)}<\infty }$, then the CGPP is a pure jump process.^[4][5] Therefore, in terms of processes one may decompose ${\displaystyle X}$ in the following way

${\displaystyle X_{t}=\sigma B_{t}+at+Y_{t}+Z_{t},t\geq 0,}$

where ${\displaystyle Y}$ is the compound Poisson process with jumps larger than ${\displaystyle 1}$ in absolute value and ${\displaystyle Z_{t}}$ is the aforementioned compensated generalized Poisson process which is also a zero-mean martingale.