กระบวนการสุ่มสามารถจำแนกได้หลายวิธี เช่น ตามปริภูมิสถานะ ชุดดัชนี หรือความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสุ่ม วิธีการจำแนกทั่วไปวิธีหนึ่งคือตามจำนวนสมาชิกของชุดดัชนีและปริภูมิสถานะ^{[ 51 ] [ 52 ] [ 53 ]}

เมื่อตีความในแง่ของเวลา หากเซตดัชนีของกระบวนการสุ่มมีจำนวนองค์ประกอบที่จำกัดหรือนับได้ เช่น เซตของจำนวนที่จำกัด เซตของจำนวนเต็ม หรือจำนวนธรรมชาติ กระบวนการสุ่มนั้นจะเรียกว่าอยู่ในเวลาไม่ต่อเนื่อง [ ^{54 ] [ 55 ] หาก}เซตดัชนีเป็นช่วงใดช่วงหนึ่งของเส้นจำนวนจริง เวลานั้นจะเรียกว่าต่อเนื่องกระบวนการสุ่มสองประเภทนี้เรียกว่า กระบวนการสุ่ม แบบเวลาไม่ต่อเนื่องและแบบเวลาต่อเนื่องตาม ลำดับ ^{[ 48 ] [ 56 ] [ 57 ]}กระบวนการสุ่มแบบเวลาไม่ต่อเนื่องถือว่าศึกษาได้ง่ายกว่า เนื่องจากกระบวนการแบบเวลาต่อเนื่องต้องใช้เทคนิคและความรู้ทางคณิตศาสตร์ขั้นสูงกว่า โดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจากเซตดัชนีไม่สามารถนับได้^{[ 58 ] [ 59 ]}หากเซตดัชนีเป็นจำนวนเต็มหรือเซตย่อยของจำนวนเต็ม กระบวนการสุ่มนั้นอาจเรียกว่าลำดับสุ่มได้เช่น กัน ^{[ 55 ]}

ถ้าปริภูมิสถานะเป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนธรรมชาติ กระบวนการสุ่มนั้นจะเรียกว่า กระบวนการสุ่ม แบบไม่ต่อเนื่องหรือกระบวนการสุ่มที่มีค่าเป็นจำนวนเต็มถ้าปริภูมิสถานะเป็นเส้นจำนวนจริง กระบวนการสุ่มนั้นจะเรียกว่ากระบวนการสุ่มที่มีค่าเป็นจำนวนจริงหรือกระบวนการที่มีปริภูมิสถานะต่อเนื่องถ้าปริภูมิสถานะเป็น${\displaystyle n}$ปริภูมิยูคลิดมิติ จากนั้นกระบวนการสุ่มจะเรียกว่า${\displaystyle n}$- กระบวนการเวกเตอร์เชิงมิติหรือ${\displaystyle n}$- กระบวนการเวกเตอร์^{[ 51 ] [ 52 ]}

คำว่าstochasticในภาษาอังกฤษเดิมทีใช้เป็นคำคุณศัพท์ที่มีความหมายว่า "เกี่ยวข้องกับการคาดเดา" และมาจาก คำภาษา กรีกที่มีความหมายว่า "มุ่งเป้าไปที่เป้าหมาย เดา" และพจนานุกรมภาษาอังกฤษของออกซ์ฟอร์ดระบุว่ามีการใช้คำนี้ครั้งแรกในปี 1662 ^{[ 60 ]}ในงานเขียนเกี่ยวกับความน่าจะเป็นเรื่องArs Conjectandiซึ่งตีพิมพ์เป็นภาษาละตินในปี 1713 ยาคอบ เบอร์นูลลีใช้คำว่า "Ars Conjectandi sive Stochastice" ซึ่งได้รับการแปลว่า "ศิลปะแห่งการคาดเดาหรือสโตแคสติก" ^{[ 61 ]}วลีนี้ถูกใช้โดยอ้างอิงถึงเบอร์นูลลีโดยลาดีสเลาส์ บอร์ทคีวิช^{[ 62 ]}ซึ่งในปี 1917 ได้เขียนคำว่าstochastic เป็นภาษาเยอรมัน ในความหมายว่าสุ่ม คำว่ากระบวนการสโตแค สติก ปรากฏในภาษาอังกฤษครั้งแรกในบทความปี 1934 โดยโจเซฟ ดูบ^{[ 60 ]}สำหรับคำศัพท์และคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ที่เฉพาะเจาะจง Doob อ้างถึงเอกสารอีกฉบับในปี 1934 ซึ่งAleksandr Khinchinใช้ คำว่า stochasticscher Prozeß ในภาษาเยอรมัน [ ^{63 ] [ 64 ] แม้ว่าคำ ศัพท์}ภาษาเยอรมันนี้จะถูกใช้มาก่อนแล้ว เช่น โดย Andrei Kolmogorov ในปี 1931 ^{[ 65 ]}

ตามพจนานุกรมภาษาอังกฤษของอ็อกซ์ฟอร์ด การใช้คำว่าrandomในภาษาอังกฤษในความหมายปัจจุบัน ซึ่งเกี่ยวข้องกับโอกาสหรือโชค ย้อนกลับไปถึงศตวรรษที่ 16 ในขณะที่การใช้งานที่บันทึกไว้ก่อนหน้านั้นเริ่มต้นในศตวรรษที่ 14 ในฐานะคำนามที่มีความหมายว่า "ความใจร้อน ความเร็วสูง แรง หรือความรุนแรง (ในการขี่ม้า วิ่ง ตี ฯลฯ)" คำนี้มาจากคำในภาษาฝรั่งเศสยุคกลางที่มีความหมายว่า "ความเร็ว ความเร่งรีบ" และน่าจะมาจากคำกริยาภาษาฝรั่งเศสที่มีความหมายว่า "วิ่ง" หรือ "ควบม้า" การปรากฏเป็นลายลักษณ์อักษรครั้งแรกของคำว่าrandom processเกิดขึ้นก่อนคำ ว่า stochastic processซึ่งพจนานุกรมภาษาอังกฤษของอ็อกซ์ฟอร์ดก็ให้ไว้เป็นคำพ้องความหมายเช่นกัน และถูกใช้ในบทความของฟรานซิส เอดจ์เวิร์ธที่ตีพิมพ์ในปี 1888 ^{[ 66 ]}

นิยามของกระบวนการสุ่มนั้นแตกต่างกันไป^{[ 67 ]}แต่โดยทั่วไปแล้วกระบวนการสุ่มจะถูกนิยามว่าเป็นชุดของตัวแปรสุ่มที่มีดัชนีโดยเซตบางเซต^{[ 68 ] [ 69 ]}คำว่ากระบวนการสุ่มและกระบวนการสุ่มถือเป็นคำพ้องความหมายและใช้แทนกันได้ โดยไม่ต้องระบุเซตดัชนีอย่างแม่นยำ^{[ 27 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 70 ] [ 71 ] [ 72 ]}ทั้งคำว่า "ชุด" ^{[ 28 ] [ 70 ]}หรือ "ตระกูล" ถูกใช้^{[ 4 ] [ 73 ]} ในขณะที่บางครั้งแทนที่จะใช้คำว่า "เซตดัชนี" ก็ ใช้คำว่า "เซตพารามิเตอร์" ^{[ 28 ]}หรือ "พื้นที่พารามิเตอร์" ^{[ 30 ]}

คำว่าฟังก์ชันสุ่มยังใช้เพื่ออ้างถึงกระบวนการสุ่มหรือกระบวนการสโตแคสติก^{[ 5 ] [ 74 ] [ 75 ]}แม้ว่าบางครั้งจะใช้เฉพาะเมื่อกระบวนการสโตแคสติกมีค่าเป็นจำนวนจริง^{[ 28 ] [ 73 ]}คำนี้ยังใช้เมื่อเซตดัชนีเป็นปริภูมิทางคณิตศาสตร์อื่นที่ไม่ใช่เส้นจำนวนจริง^{[ 5 ] [ 76 ]}ในขณะที่คำว่ากระบวนการสโตแคสติกและกระบวนการสุ่มมักใช้เมื่อเซตดัชนีถูกตีความว่าเป็นเวลา^{[ 5 ] [ 76 ] [ 77 ]}และใช้คำอื่นๆ เช่นฟิลด์สุ่มเมื่อเซตดัชนีเป็น${\displaystyle n}$ปริภูมิยูคลิดมิติ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$หรือท่อร่วม^{[ 5 ] [ 28 ] [ 30 ]}

กระบวนการสุ่มสามารถแสดงได้หลายวิธี เช่น${\displaystyle \{X(t)\}_{t\in T}}$[ ^{56 ]​}${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T}}$[ ^{69 ]​}${\displaystyle \{X_{t}\}}$^{[ 78 ]}${\displaystyle \{X(t)\}}$หรือพูดง่ายๆ ก็คือ${\displaystyle X}$นักเขียนบางคนเขียนผิดพลาด${\displaystyle X(t)}$แม้ว่าจะเป็นการใช้สัญลักษณ์ฟังก์ชันในทางที่ผิดก็ตาม^{[ 79 ]}ตัวอย่างเช่น${\displaystyle X(t)}$หรือ${\displaystyle X_{t}}$ใช้เพื่ออ้างถึงตัวแปรสุ่มที่มีดัชนี${\displaystyle t}$และไม่ใช่กระบวนการสุ่มทั้งหมด^{[ 78 ]}ถ้าชุดดัชนีคือ${\displaystyle T=[0,\infty )}$จากนั้นเราก็สามารถเขียนได้ เช่น${\displaystyle (X_{t},t\geq 0)}$เพื่อแสดงถึงกระบวนการสุ่ม^{[ 29 ]}

หนึ่งในกระบวนการสุ่มที่ง่ายที่สุดคือกระบวนการเบอร์นูลลี [ ^{80 ]}ซึ่งเป็นลำดับของ ตัวแปรสุ่ม อิสระและมีการกระจายเหมือนกัน⁽ iid) โดยที่ตัวแปรสุ่มแต่ละตัวมีค่าเป็นหนึ่งหรือศูนย์ เช่น หนึ่งด้วยความน่าจะเป็น${\displaystyle p}$และศูนย์ด้วยความน่าจะเป็น${\displaystyle 1-p}$กระบวนการนี้สามารถเชื่อมโยงกับการจำลองสถานการณ์ของการโยนเหรียญซ้ำๆ โดยที่ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวนั้นถือว่าเท่ากับ${\displaystyle p}$และค่าของมันคือหนึ่ง ในขณะที่ค่าของด้านก้อยคือศูนย์^{[ 81 ]}กล่าวอีกนัยหนึ่ง กระบวนการเบอร์นูลลีคือลำดับของตัวแปรสุ่มเบอร์นูลลีแบบอิสระและเหมือนกัน^{[ 82 ]}โดยการโยนเหรียญในอุดมคติแต่ละครั้งเป็นตัวอย่างของการทดลองเบอร์นูลลี^{[ 83 ]}

การเดินแบบสุ่ม (Random walks)เป็นกระบวนการสุ่มที่โดยทั่วไปแล้วถูกกำหนดให้เป็นผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระและกระจายเหมือนกัน ( iid ) หรือเวกเตอร์สุ่มในปริภูมิยุคลิด ดังนั้นจึงเป็นกระบวนการที่เปลี่ยนแปลงในเวลาแบบไม่ต่อเนื่อง ^{[ 84 ] [ 85 ] [ 86 ] [ 87 ] [ 88 ]}แต่บางคนก็ใช้คำนี้เพื่ออ้างถึงกระบวนการที่เปลี่ยนแปลงในเวลาแบบต่อเนื่อง^{[ 89 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่งกระบวนการ Wiener ที่ใช้ในแบบจำลองทางการเงิน ซึ่งทำให้เกิดความสับสนและนำไปสู่การวิพากษ์วิจารณ์^{[ 90 ]}มีการเดินแบบสุ่มประเภทอื่นๆ อีกหลายประเภท ซึ่งกำหนดไว้เพื่อให้ปริภูมิสถานะของพวกมันสามารถเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์อื่นๆ เช่น แลตทิซและกลุ่ม และโดยทั่วไปแล้วมีการศึกษาอย่างกว้างขวางและมีการประยุกต์ใช้มากมายในสาขาวิชาต่างๆ^{[ 89 ] [ 91 ]}

ตัวอย่างคลาสสิกของการเดินสุ่มคือการเดินสุ่มแบบง่ายซึ่งเป็นกระบวนการสุ่มในเวลาไม่ต่อเนื่อง โดยมีจำนวนเต็มเป็นปริภูมิสถานะ และอิงตามกระบวนการเบอร์นูลลี โดยที่ตัวแปรเบอร์นูลลีแต่ละตัวจะมีค่าเป็นบวกหนึ่งหรือลบหนึ่ง กล่าวอีกนัยหนึ่ง การเดินสุ่มแบบง่ายเกิดขึ้นบนจำนวนเต็ม และค่าของมันจะเพิ่มขึ้นทีละหนึ่งด้วยความน่าจะเป็น เช่น${\displaystyle p}$หรือลดลงหนึ่งด้วยความน่าจะเป็น${\displaystyle 1-p}$ดังนั้นเซตดัชนีของการเดินสุ่มนี้จึงเป็นจำนวนธรรมชาติ ในขณะที่ปริภูมิสถานะเป็นจำนวนเต็ม ถ้า${\displaystyle p=0.5}$การเดินแบบสุ่มนี้เรียกว่าการเดินแบบสุ่มสมมาตร^{[ 92 ] [ 93 ]}

กระบวนการ Wiener เป็นกระบวนการสุ่มที่มี การเพิ่มขึ้น แบบคงที่และเป็นอิสระซึ่งมีการกระจายแบบปกติโดยขึ้นอยู่กับขนาดของการเพิ่มขึ้น^{[ 2 ] [ 94 ]}กระบวนการ Wiener ได้รับการตั้งชื่อตามNorbert Wienerผู้พิสูจน์การมีอยู่ทางคณิตศาสตร์ แต่กระบวนการนี้ยังถูกเรียกว่ากระบวนการเคลื่อนที่แบบบราวน์หรือเพียงแค่การเคลื่อนที่แบบบราวน์เนื่องจากความเชื่อมโยงทางประวัติศาสตร์ในฐานะแบบจำลองสำหรับการเคลื่อนที่แบบบราวน์ในของเหลว^{[ 95 ] [ 96 ] [ 97 ]}

กระบวนการ Wiener มีบทบาทสำคัญในทฤษฎีความน่าจะเป็น และมักถูกพิจารณาว่าเป็นกระบวนการสุ่มที่สำคัญที่สุดและได้รับการศึกษามากที่สุด โดยมีความเชื่อมโยงกับกระบวนการสุ่มอื่นๆ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 98 ] [ 99 ] [ 100 ] [ 101 ]}เซตดัชนีและปริภูมิสถานะของมันคือจำนวนที่ไม่เป็นลบและจำนวนจริงตามลำดับ ดังนั้นจึงมีทั้งเซตดัชนีและปริภูมิสถานะที่ต่อเนื่อง^{[ 102 ]}แต่กระบวนการนี้สามารถกำหนดได้ทั่วไปมากขึ้น ดังนั้นปริภูมิสถานะของมันจึงสามารถเป็น${\displaystyle n}$พื้นที่ยูคลิดมิติ - ^{[ 91 ] [ 99 ] [ 103 ]}หากค่าเฉลี่ยของการเพิ่มขึ้นใดๆ เป็นศูนย์ กระบวนการ Wiener หรือ Brownian motion ที่ได้จะเรียกว่ามีการเลื่อนเป็นศูนย์ หากค่าเฉลี่ยของการเพิ่มขึ้นสำหรับสองจุดใดๆ ในเวลาเท่ากับผลต่างของเวลาคูณด้วยค่าคงที่บางค่า${\displaystyle \mu }$หากเป็นจำนวนจริง กระบวนการสุ่มที่เกิดขึ้นจะเรียกว่ามีการเคลื่อนที่แบบดริฟต์${\displaystyle \mu }$[ ^{104 ] [ 105 ] [ 106 ]​}

แทบจะแน่นอนว่าเส้นทางตัวอย่างของกระบวนการ Wiener นั้นต่อเนื่องทุกที่ แต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกที่มันสามารถถือได้ว่าเป็นเวอร์ชันต่อเนื่องของการเดินสุ่มแบบง่าย^{[ 49 ] [ 105 ]}กระบวนการนี้เกิดขึ้นจากขีดจำกัดทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการสุ่มอื่นๆ เช่น การเดินสุ่มบางอย่างที่ปรับขนาดใหม่^{[ 107 ] [ 108 ]}ซึ่งเป็นหัวข้อของทฤษฎีบทของ Donskerหรือหลักการไม่แปรเปลี่ยน หรือที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางเชิงฟังก์ชัน^{[ 109 ] [ 110 ] [ 111 ]}

กระบวนการ Wiener เป็นสมาชิกของตระกูลกระบวนการสุ่มที่สำคัญบางตระกูล รวมถึงกระบวนการ Markov กระบวนการ Lévy และกระบวนการ Gaussian ^{[ 2 ] [ 49 ]}กระบวนการนี้ยังมีการใช้งานมากมายและเป็นกระบวนการสุ่มหลักที่ใช้ในแคลคูลัสสุ่ม^{[ 112 ] [ 113 ]}มันมีบทบาทสำคัญในการเงินเชิงปริมาณ^{[ 114 ] [ 115 ]}ซึ่งใช้ในแบบจำลอง Black–Scholes–Merton เป็นต้น^{[ 116 ]}กระบวนการนี้ยังใช้ในสาขาต่างๆ รวมถึงวิทยาศาสตร์ธรรมชาติส่วนใหญ่ ตลอดจนสาขาสังคมศาสตร์บางสาขา ในฐานะแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับปรากฏการณ์สุ่มต่างๆ^{[ 3 ] [ 117 ] [ 118 ]}

กระบวนการปัวซงเป็นกระบวนการสุ่มที่มีรูปแบบและคำจำกัดความที่แตกต่างกัน^{[ 119 ] [ 120 ]}สามารถนิยามได้ว่าเป็นกระบวนการนับ ซึ่งเป็นกระบวนการสุ่มที่แสดงถึงจำนวนจุดหรือเหตุการณ์แบบสุ่มจนถึงเวลาหนึ่ง จำนวนจุดของกระบวนการที่อยู่ในช่วงตั้งแต่ศูนย์ถึงเวลาที่กำหนดคือตัวแปรสุ่มปัวซงที่ขึ้นอยู่กับเวลานั้นและพารามิเตอร์บางอย่าง กระบวนการนี้มีจำนวนธรรมชาติเป็นปริภูมิสถานะและจำนวนที่ไม่เป็นลบเป็นเซตดัชนี กระบวนการนี้ยังเรียกว่ากระบวนการนับปัวซง เนื่องจากสามารถตีความได้ว่าเป็นตัวอย่างของกระบวนการนับ^{[ 119 ]}

ถ้ากระบวนการปัวซงถูกกำหนดด้วยค่าคงที่บวกเพียงค่าเดียว กระบวนการนั้นจะเรียกว่ากระบวนการปัวซงเอกพันธุ์^{[ 119 ] [ 121 ]}กระบวนการปัวซงเอกพันธุ์เป็นสมาชิกของกลุ่มกระบวนการสุ่มที่สำคัญ เช่น กระบวนการมาร์คอฟและกระบวนการเลวี^{[ 49 ]}

กระบวนการปัวซงที่เป็นเอกพันธุ์สามารถกำหนดและสรุปได้หลายวิธี สามารถกำหนดได้ว่าเซตดัชนีเป็นเส้นจำนวนจริง และกระบวนการสุ่มนี้ยังเรียกว่ากระบวนการปัวซงแบบอยู่ตัว^{[ 122 ] [ 123 ]}หากค่าคงที่พารามิเตอร์ของกระบวนการปัวซงถูกแทนที่ด้วยฟังก์ชันอินทิกรัลที่ไม่เป็นลบของ${\displaystyle t}$กระบวนการที่เกิดขึ้นเรียกว่ากระบวนการปัวซงที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันหรือไม่เป็นเนื้อเดียวกัน โดยที่ความหนาแน่นเฉลี่ยของจุดในกระบวนการจะไม่คงที่อีกต่อไป^{[ 124 ]}กระบวนการปัวซงเป็นกระบวนการพื้นฐานในทฤษฎีการเข้าคิว และเป็นกระบวนการสำคัญสำหรับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ซึ่งมีการประยุกต์ใช้กับแบบจำลองของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นแบบสุ่มในช่วงเวลาที่กำหนด^{[ 125 ] [ 126 ]}

กระบวนการปัวซงที่กำหนดบนเส้นจำนวนจริงสามารถตีความได้ว่าเป็นกระบวนการสุ่ม^{[ 49 ] [ 127 ]}ในบรรดาวัตถุสุ่มอื่นๆ^{[ 128 ] [ 129 ]}แต่จากนั้นก็สามารถกำหนดบน${\displaystyle n}$พื้นที่ยูคลิดมิติหรือพื้นที่ทางคณิตศาสตร์อื่นๆ^{[ 130 ]}ซึ่งมักถูกตีความว่าเป็นเซตสุ่มหรือการวัดการนับแบบสุ่ม แทนที่จะเป็นกระบวนการสุ่ม^{[ 128 ] [ 129 ]}ในบริบทนี้ กระบวนการปัวซง หรือที่เรียกว่ากระบวนการจุดปัวซง เป็นหนึ่งในวัตถุที่สำคัญที่สุดในทฤษฎีความน่าจะเป็น ทั้งในด้านการประยุกต์ใช้และเหตุผลทางทฤษฎี^{[ 22 ] [ 131 ]}แต่มีข้อสังเกตว่ากระบวนการปัวซงไม่ได้รับความสนใจมากเท่าที่ควร ส่วนหนึ่งเป็นเพราะมักถูกพิจารณาเฉพาะบนเส้นจำนวนจริงเท่านั้น ไม่ใช่บนพื้นที่ทางคณิตศาสตร์อื่นๆ^{[ 131 ] [ 132 ]}

กระบวนการสุ่ม (stochastic process) ถูกนิยามว่าเป็นชุดของตัวแปรสุ่มที่กำหนดบนปริภูมิความน่าจะ เป็นร่วมกัน${\displaystyle (\โอเมก้า ,{\คณิตศาสตร์ {F}},P)}$, ที่ไหน${\displaystyle \Omega }$เป็น ปริภูมิ ของตัวอย่าง${\displaystyle {\mathcal {F}}}$เป็น${\displaystyle \sigma }$- พีชคณิตและ${\displaystyle P}$เป็นการวัดความน่าจะเป็นและตัวแปรสุ่มซึ่งกำหนดดัชนีโดยเซตบางเซต${\displaystyle T}$โดยทั้งหมดมีค่าอยู่ในปริภูมิทางคณิตศาสตร์เดียวกัน${\displaystyle S}$ซึ่งจะต้องสามารถวัดได้โดยสัมพันธ์กับบางสิ่ง${\displaystyle \sigma }$-พีชคณิต${\displaystyle \Sigma }$[ ^{28 ]​}

กล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับปริภูมิความน่าจะเป็นที่กำหนด${\displaystyle (\โอเมก้า ,{\คณิตศาสตร์ {F}},P)}$และพื้นที่ที่วัดได้${\displaystyle (S,\Sigma )}$กระบวนการสุ่มคือกลุ่มของ${\displaystyle S}$ตัวแปรสุ่มที่มีค่า ซึ่งสามารถเขียนได้ดังนี้: ^{[ 80 ]}

${\displaystyle \{X(t):t\in T\}.}$

ในอดีต ปัญหาหลายอย่างในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติมักมีประเด็นสำคัญอยู่ประเด็นหนึ่ง${\displaystyle t\in T}$มีความหมายถึงเวลา ดังนั้น${\displaystyle X(t)}$เป็นตัวแปรสุ่มที่แสดงค่าที่สังเกตได้ ณ เวลา${\displaystyle t}$[ ^{133 ]}กระบวนการสุ่มสามารถเขียนได้^{ดังนี้}${\displaystyle \{X(t,\omega ):t\in T\}}$เพื่อสะท้อนให้เห็นว่าแท้จริงแล้วมันเป็นฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว${\displaystyle t\in T}$และ${\displaystyle \omega \in \Omega }$[ ^{28 ] [ 134 ]​}

มีวิธีอื่นในการพิจารณากระบวนการสุ่ม โดยคำจำกัดความข้างต้นถือเป็นแบบดั้งเดิม^{[ 68 ] [ 69 ]}ตัวอย่างเช่น กระบวนการสุ่มสามารถตีความหรือกำหนดได้ว่าเป็น${\displaystyle S^{T}}$ตัวแปรสุ่มที่มีค่าเป็น - โดยที่${\displaystyle S^{T}}$คือปริภูมิของฟังก์ชัน ที่เป็นไปได้ทั้งหมด จากเซต${\displaystyle T}$เข้าไปในพื้นที่${\displaystyle S}$[ ^{27 ] [ 68 ] อย่างไรก็ตาม คำจำกัดความทางเลือกนี้ในฐานะ "ตัวแปรสุ่มที่มีค่าเป็นฟังก์ชัน" โดยทั่วไปจำเป็นต้องมีสมมติฐานความ สม่ำเสมอ}เพิ่มเติมเพื่อให้มีการกำหนดที่ดี^{[ 135 ]}

ชุด${\displaystyle T}$เรียกว่าเซตดัชนี^{[ 4 ] [ 51 ]}หรือเซตพารามิเตอร์^{[ 28 ] [ 136 ]}ของกระบวนการสุ่ม บ่อยครั้งที่เซตนี้เป็นเซตย่อยของเส้นจำนวนจริงเช่นจำนวนธรรมชาติหรือช่วง ทำให้เซตนี้เป็นเซต${\displaystyle T}$การตีความเวลา^{[ 1 ]}นอกจากชุดเหล่านี้แล้ว ยังมีชุดดัชนีอีกด้วย${\displaystyle T}$อาจเป็นเซตอื่นที่มีลำดับทั้งหมดหรือเซตทั่วไปมากกว่า^{[ 1 ] [ 54 ]}เช่นระนาบคาร์ทีเซียน${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$หรือ${\displaystyle n}$ปริภูมิยูคลิดมิติ ซึ่งมีองค์ประกอบหนึ่งๆ${\displaystyle t\in T}$สามารถแทนจุดในอวกาศได้^{[ 48 ] [ 137 ]}กล่าวคือ ผลลัพธ์และทฤษฎีบทหลายอย่างเป็นไปได้เฉพาะกับกระบวนการสุ่มที่มีชุดดัชนีเรียงลำดับอย่างสมบูรณ์เท่านั้น^{[ 138 ]}

พื้นที่ทางคณิตศาสตร์${\displaystyle S}$สถานะ ของกระบวนการสุ่มเรียกว่าปริภูมิสถานะ ปริภูมิทางคณิตศาสตร์นี้สามารถกำหนดได้โดยใช้จำนวนเต็มเส้นจำนวนจริง${\displaystyle n}$พื้นที่ยูคลิดมิติพื้นที่เชิงซ้อน หรือพื้นที่ทางคณิตศาสตร์ที่เป็นนามธรรมมากขึ้น พื้นที่สถานะถูกกำหนดโดยใช้องค์ประกอบที่สะท้อนถึงค่าต่างๆ ที่กระบวนการสุ่มสามารถรับได้^{[ 1 ] [ 5 ] [ 28 ] [ 51 ] [ 56 ]}

ฟังก์ชันตัวอย่าง คือ ผลลัพธ์เดียวของกระบวนการสุ่ม ดังนั้นจึงสร้างขึ้นโดยการเลือกค่าที่เป็นไปได้เพียงค่าเดียวของตัวแปรสุ่มแต่ละตัวของกระบวนการสุ่ม^{[ 28 ] [ 139 ]}กล่าวโดยละเอียดกว่านั้น ถ้า${\displaystyle \{X(t,\omega ):t\in T\}}$เป็นกระบวนการสุ่ม ดังนั้นสำหรับจุดใดๆ${\displaystyle \omega \in \Omega }$การทำแผนที่

${\displaystyle X(\cdot ,\omega ):T\rightarrow S,}$

เรียกว่าฟังก์ชันตัวอย่างการทำให้เป็นจริงหรือโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อ${\displaystyle T}$ถูกตีความว่าเป็นเวลา ซึ่งเป็นเส้นทางตัวอย่างของกระบวนการสุ่ม${\displaystyle \{X(t,\omega ):t\in T\}}$[ ^{50 ]}ซึ่งหมายความว่าสำหรับค่าคง^ที่${\displaystyle \omega \in \Omega }$มีฟังก์ชันตัวอย่างที่แมปชุดดัชนีอยู่${\displaystyle T}$ไปยังพื้นที่ของรัฐ${\displaystyle S}$[ ^{28 ] ชื่ออื่น ๆ สำหรับฟังก์ชันตัวอย่าง ของ}กระบวนการสุ่ม ได้แก่วิถีโคจรฟังก์ชันเส้นทาง^{[ 140 ]}หรือเส้นทาง^[ 141 ^]

ส่วนเพิ่มของกระบวนการสุ่มคือผลต่างระหว่างตัวแปรสุ่มสองตัวของกระบวนการสุ่มเดียวกัน สำหรับกระบวนการสุ่มที่มีชุดดัชนีที่สามารถตีความได้ว่าเป็นเวลา ส่วนเพิ่มคือจำนวนที่กระบวนการสุ่มเปลี่ยนแปลงไปในช่วงเวลาหนึ่ง ตัวอย่างเช่น ถ้า${\displaystyle \{X(t):t\in T\}}$เป็นกระบวนการสุ่มที่มีปริภูมิสถานะ${\displaystyle S}$และชุดดัชนี${\displaystyle T=[0,\infty )}$ดังนั้นสำหรับจำนวนที่ไม่เป็นลบสองจำนวนใดๆ${\displaystyle t_{1}\in [0,\infty )}$และ${\displaystyle t_{2}\in [0,\infty )}$โดยที่${\displaystyle t_{1}\leq t_{2}}$ความแตกต่าง${\displaystyle X_{t_{2}}-X_{t_{1}}}$เป็น${\displaystyle S}$ตัวแปรสุ่มที่มีค่าเรียกว่าส่วนเพิ่ม^{[ 48 ] [ 49 ]}เมื่อสนใจส่วนเพิ่ม มักจะเป็นพื้นที่สถานะ${\displaystyle S}$คือเส้นจำนวนจริงหรือจำนวนธรรมชาติ แต่มันอาจจะเป็น${\displaystyle n}$^{พื้นที่ยู คลิด}มิติหรือพื้นที่นามธรรมอื่นๆ เช่นพื้นที่บานาค [ ^{49 ]}

กระบวนการมาร์คอฟเป็นกระบวนการสุ่ม ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะอยู่ในช่วงเวลาแบบไม่ต่อเนื่องหรือต่อเนื่องที่มีคุณสมบัติของมาร์คอฟ ซึ่งหมายความว่าค่าถัดไปของกระบวนการมาร์คอฟขึ้นอยู่กับค่าปัจจุบัน แต่เป็นอิสระแบบมีเงื่อนไขจากค่าก่อนหน้าของกระบวนการสุ่ม กล่าวอีกนัยหนึ่ง พฤติกรรมของกระบวนการในอนาคตเป็นอิสระแบบสุ่มจากพฤติกรรมในอดีต โดยพิจารณาจากสถานะปัจจุบันของกระบวนการ^{[ 191 ] [ 192 ]}

กระบวนการเคลื่อนที่แบบบราวน์และกระบวนการปัวซง (ในมิติเดียว) ต่างก็เป็นตัวอย่างของกระบวนการมาร์คอฟ^{[ 193 ]}ในเวลาต่อเนื่อง ในขณะที่การเดินแบบสุ่มบนจำนวนเต็มและ ปัญหา การล้มละลายของนักพนันเป็นตัวอย่างของกระบวนการมาร์คอฟในเวลาไม่ต่อเนื่อง^{[ 194 ] [ 195 ]}

ห่วงโซ่มาร์คอฟเป็นกระบวนการมาร์คอฟประเภทหนึ่งที่มีปริภูมิสถานะแบบ ไม่ต่อเนื่อง หรือชุดดัชนีแบบไม่ต่อเนื่อง (มักแทนเวลา) แต่คำจำกัดความที่แน่นอนของห่วงโซ่มาร์คอฟนั้นแตกต่างกันไป^{[ 196 ]}ตัวอย่างเช่น เป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดห่วงโซ่มาร์คอฟเป็นกระบวนการมาร์คอฟในเวลาแบบไม่ต่อเนื่องหรือต่อเนื่องที่มีปริภูมิสถานะที่นับได้ (ดังนั้นจึงไม่ขึ้นอยู่กับลักษณะของเวลา) ^{[ 197 ] [ 198 ] [ 199 ] [ 200 ]}แต่ก็เป็นเรื่องปกติเช่นกันที่จะกำหนดห่วงโซ่มาร์คอฟว่ามีเวลาแบบไม่ต่อเนื่องในปริภูมิสถานะที่นับได้หรือต่อเนื่อง (ดังนั้นจึงไม่ขึ้นอยู่กับปริภูมิสถานะ) ^{[ 196 ]}มีการโต้แย้งว่าคำจำกัดความแรกของห่วงโซ่มาร์คอฟซึ่งมีเวลาแบบไม่ต่อเนื่องนั้นมักจะถูกนำมาใช้ แม้ว่าคำจำกัดความที่สองจะถูกใช้โดยนักวิจัยเช่นJoseph DoobและKai Lai Chungก็ตาม^{[ 201 ]}

กระบวนการมาร์คอฟเป็นกระบวนการสุ่มประเภทสำคัญและมีการประยุกต์ใช้ในหลายสาขา^{[ 39 ] [ 202 ]}ตัวอย่างเช่น เป็นพื้นฐานสำหรับวิธีการจำลองแบบสุ่มทั่วไปที่เรียกว่าMarkov chain Monte Carloซึ่งใช้ในการจำลองวัตถุสุ่มที่มีการกระจายความน่าจะเป็นเฉพาะ และมีการประยุกต์ใช้ในสถิติแบบเบย์เซียน^{[ 203 ] [ 204 ]}

แนวคิดของสมบัติของมาร์คอฟนั้นเดิมทีใช้กับกระบวนการสุ่มในเวลาต่อเนื่องและเวลาไม่ต่อเนื่อง แต่สมบัติดังกล่าวได้รับการปรับใช้กับชุดดัชนีอื่นๆ เช่น${\displaystyle n}$พื้นที่ยุคลิดมิติ ซึ่งส่งผลให้เกิดชุดของตัวแปรสุ่มที่เรียกว่าฟิลด์สุ่มมาร์คอฟ^{[ 205 ] [ 206 ] [ 207 ]}

มาร์ติงเกลเป็นกระบวนการสุ่มแบบเวลาไม่ต่อเนื่องหรือเวลาต่อเนื่องที่มีคุณสมบัติว่า ในทุกขณะ เมื่อกำหนดค่าปัจจุบันและค่าในอดีตทั้งหมดของกระบวนการแล้ว ความคาดหวังแบบมีเงื่อนไขของค่าในอนาคตทุกค่าจะเท่ากับค่าปัจจุบัน ในเวลาไม่ต่อเนื่อง ถ้าคุณสมบัตินี้เป็นจริงสำหรับค่าถัดไป ก็จะเป็นจริงสำหรับค่าในอนาคตทั้งหมด คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ที่แน่นอนของมาร์ติงเกลต้องใช้เงื่อนไขอื่นอีกสองข้อควบคู่กับแนวคิดทางคณิตศาสตร์ของฟิลเทรชัน ซึ่งเกี่ยวข้องกับสัญชาตญาณของข้อมูลที่มีอยู่ที่เพิ่มขึ้นเมื่อเวลาผ่านไป โดยทั่วไปมาร์ติงเกลจะถูกกำหนดให้เป็นค่าจริง^{[ 208 ] [ 209 ] [ 155 ]}แต่ก็อาจเป็นค่าเชิงซ้อน^{[ 210 ]}หรือแม้แต่ทั่วไปกว่านั้น^{[ 211 ]}

การเดินสุ่มแบบสมมาตรและกระบวนการ Wiener (โดยมีการเลื่อนเป็นศูนย์) ต่างก็เป็นตัวอย่างของมาร์ติงเกล ในเวลาแบบไม่ต่อเนื่องและแบบต่อเนื่อง ตามลำดับ^{[ 208 ] [ 209 ]}สำหรับลำดับของตัวแปรสุ่มอิสระและมีการกระจายเหมือนกัน${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$โดยมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ กระบวนการสุ่มที่เกิดขึ้นจากผลรวมย่อยที่ต่อเนื่องกัน${\displaystyle X_{1},X_{1}+X_{2},X_{1}+X_{2}+X_{3},\dots }$เป็นมาร์ติงเกลแบบเวลาไม่ต่อเนื่อง^{[ 212 ]}ในแง่นี้ มาร์ติงเกลแบบเวลาไม่ต่อเนื่องจะขยายแนวคิดของผลรวมย่อยของตัวแปรสุ่มอิสระ^{[ 213 ]}

มาร์ติงเกลยังสามารถสร้างขึ้นจากกระบวนการสุ่มโดยการใช้การแปลงที่เหมาะสมบางอย่าง ซึ่งเป็นกรณีของกระบวนการปัวซงเอกพันธุ์ (บนเส้นจำนวนจริง) ส่งผลให้เกิดมาร์ติงเกลที่เรียกว่า กระบวนการปัวซ งชดเชย^{[ 209 ]}มาร์ติงเกลยังสามารถสร้างขึ้นจากมาร์ติงเกลอื่นๆ ได้อีกด้วย^{[ 212 ]}ตัวอย่างเช่น มีมาร์ติงเกลที่อิงตามมาร์ติงเกลของกระบวนการไวเนอร์ ซึ่งก่อให้เกิดมาร์ติงเกลแบบต่อเนื่อง^{[ 208 ] [ 214 ]}

มาร์ติงเกลเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของแนวคิด 'เกมที่ยุติธรรม' ซึ่งสามารถสร้างความคาดหวังที่สมเหตุสมผลสำหรับผลตอบแทนได้^{[ 215 ]}และเดิมทีพัฒนาขึ้นเพื่อแสดงให้เห็นว่าไม่สามารถได้เปรียบ 'ไม่ยุติธรรม' ในเกมดังกล่าวได้^{[ 216 ]}แต่ปัจจุบันมีการนำไปใช้ในหลายสาขาของความน่าจะเป็น ซึ่งเป็นหนึ่งในเหตุผลหลักในการศึกษา^{[ 155 ] [ 216 ] [ 217 ]}ปัญหามากมายในความน่าจะเป็นได้รับการแก้ไขโดยการค้นหามาร์ติงเกลในปัญหาและศึกษา^{[ 218 ]}มาร์ติงเกลจะลู่เข้าภายใต้เงื่อนไขบางประการเกี่ยวกับโมเมนต์ ดังนั้นจึงมักใช้เพื่อหาผลลัพธ์การลู่เข้า ซึ่งส่วนใหญ่เป็นผลมาจากทฤษฎีบทการลู่เข้าของมาร์ติงเกล^{[ 213 ] [ 219 ] [ 220 ]}

มาร์ติงเกลมีการใช้งานมากมายในสถิติ แต่มีการสังเกตว่าการใช้งานและการประยุกต์ใช้ยังไม่แพร่หลายเท่าที่ควรในสาขาสถิติ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการอนุมานทางสถิติ^{[ 221 ]}มีการนำไปประยุกต์ใช้ในทฤษฎีความน่าจะเป็น เช่น ทฤษฎีการเข้าคิวและแคลคูลัสปาล์ม^{[ 222 ]}และสาขาอื่นๆ เช่น เศรษฐศาสตร์^{[ 223 ]}และการเงิน^{[ 17 ]}

กระบวนการ Lévy เป็นประเภทของกระบวนการสุ่มที่สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นการวางนัยทั่วไปของการเดินแบบสุ่มในเวลาต่อเนื่อง^{[ 49 ] [ 224 ]}กระบวนการเหล่านี้มีการประยุกต์ใช้มากมายในสาขาต่างๆ เช่น การเงิน กลศาสตร์ของไหล ฟิสิกส์ และชีววิทยา^{[ 225 ] [ 226 ]}ลักษณะสำคัญที่กำหนดกระบวนการเหล่านี้คือคุณสมบัติความคงที่และความเป็นอิสระ ดังนั้นจึงเรียกกันว่ากระบวนการที่มีการเพิ่มขึ้นแบบคงที่และเป็นอิสระกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ กระบวนการสุ่ม${\displaystyle X}$เป็นกระบวนการ Lévy ถ้าสำหรับ${\displaystyle n}$ตัวเลขที่ไม่ติดลบ${\displaystyle 0\leq t_{1}\leq \dots \leq t_{n}}$ที่สอดคล้องกัน${\displaystyle n-1}$การเพิ่มขึ้น

${\displaystyle X_{t_{2}}-X_{t_{1}},\dots ,X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}},}$

ทั้งหมดนี้เป็นอิสระต่อกัน และการกระจายของการเพิ่มแต่ละครั้งขึ้นอยู่กับความแตกต่างของเวลาเท่านั้น^{[ 49 ]}

กระบวนการเลวี (Lévy process) สามารถนิยามได้โดยที่ปริภูมิสถานะของมันเป็นปริภูมิทางคณิตศาสตร์นามธรรมบางอย่าง เช่นปริภูมิบานาค (Banach space ) แต่โดยทั่วไปแล้วกระบวนการเหล่านี้มักถูกนิยามให้มีค่าอยู่ในปริภูมิยุคลิด (Euclidean space) เซตดัชนีคือจำนวนที่ไม่เป็นลบ ดังนั้น${\displaystyle I=[0,\infty )}$ซึ่งให้การตีความของเวลา กระบวนการสุ่มที่สำคัญ เช่น กระบวนการ Wiener กระบวนการ Poisson ที่เป็นเอกพันธ์ (ในมิติเดียว) และsubordinatorsล้วนเป็นกระบวนการ Lévy ^{[ 49 ] [ 224 ]}

ฟิลด์สุ่มคือกลุ่มของตัวแปรสุ่มที่ถูกกำหนดดัชนีโดย${\displaystyle n}$พื้นที่ยุคลิดมิติหรือแมนิโฟลด์บางอย่าง โดยทั่วไปแล้ว ฟิลด์สุ่มสามารถถือเป็นตัวอย่างของกระบวนการสุ่มหรือกระบวนการสโตแคสติก ซึ่งเซตดัชนีไม่จำเป็นต้องเป็นเซตย่อยของเส้นจำนวนจริง^{[ 30 ]}แต่มีธรรมเนียมว่าการรวบรวมตัวแปรสุ่มที่มีดัชนีเรียกว่าฟิลด์สุ่มเมื่อดัชนีมีสองมิติขึ้นไป^{[ 5 ] [ 28 ] [ 227 ]}หากคำจำกัดความเฉพาะของกระบวนการสโตแคสติกต้องการให้เซตดัชนีเป็นเซตย่อยของเส้นจำนวนจริง ฟิลด์สุ่มสามารถถือได้ว่าเป็นการวางนัยทั่วไปของกระบวนการสโตแคสติก^{[ 228 ]}

กระบวนการจุด คือ ชุดของจุดที่ตั้งอยู่แบบสุ่มบนปริภูมิทางคณิตศาสตร์บางอย่าง เช่น เส้นจำนวนจริง${\displaystyle n}$พื้นที่ยูคลิดมิติ หรือพื้นที่นามธรรมอื่นๆ บางครั้งคำว่ากระบวนการจุดไม่เป็นที่นิยม เนื่องจากในทางประวัติศาสตร์ คำว่ากระบวนการหมายถึงวิวัฒนาการของระบบบางอย่างในเวลา ดังนั้นกระบวนการจุดจึงเรียกว่า สนาม จุดสุ่ม^{[ 229 ]}มีการตีความกระบวนการจุดที่แตกต่างกัน เช่น การวัดการนับแบบสุ่มหรือเซตแบบสุ่ม^{[ 230 ] [ 231 ]}ผู้เขียนบางคนมองว่ากระบวนการจุดและกระบวนการสุ่มเป็นวัตถุสองอย่างที่แตกต่างกัน โดยที่กระบวนการจุดเป็นวัตถุสุ่มที่เกิดขึ้นจากหรือเกี่ยวข้องกับกระบวนการสุ่ม^{[ 232 ] [ 233 ]}แม้ว่าจะมีการกล่าวไว้ว่าความแตกต่างระหว่างกระบวนการจุดและกระบวนการสุ่มนั้นไม่ชัดเจน^{[ 233 ]}

ผู้เขียนคนอื่นๆ พิจารณาถึงกระบวนการจุดว่าเป็นกระบวนการสุ่ม โดยที่กระบวนการนั้นถูกจัดทำดัชนีโดยเซตของปริภูมิพื้นฐาน^{[ d ]}ที่กำหนดกระบวนการนั้น เช่น เส้นจำนวนจริงหรือ${\displaystyle n}$พื้นที่ยุคลิดมิติ^{[ 236 ] [ 237 ]}กระบวนการสุ่มอื่นๆ เช่น กระบวนการต่ออายุและกระบวนการนับ ได้รับการศึกษาในทฤษฎีของกระบวนการจุด^{[ 238 ] [ 233 ]}

ทฤษฎีความน่าจะเป็นมีต้นกำเนิดมาจากเกมเสี่ยงโชค ซึ่งมีประวัติศาสตร์ยาวนาน โดยมีเกมบางเกมที่เล่นกันมาหลายพันปีแล้ว^{[ 239 ]}แต่มีการวิเคราะห์ในแง่ของความน่าจะเป็นน้อยมาก^{[ 240 ]}ปี ค.ศ. 1654 มักถูกพิจารณาว่าเป็นปีกำเนิดของทฤษฎีความน่าจะเป็น เมื่อนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสปิแอร์ แฟร์มาต์และบลาส์ ปาสคาลได้เขียนจดหมายโต้ตอบกันเกี่ยวกับความน่าจะเป็น โดยได้รับแรงบันดาลใจจาก ปัญหา การพนัน^{[ 241 ] [ 242 ]}แต่ก็มีงานทางคณิตศาสตร์ก่อนหน้านี้ที่ทำเกี่ยวกับความน่าจะเป็นของเกมการพนัน เช่นLiber de Ludo AleaeโดยGerolamo Cardanoซึ่งเขียนขึ้นในศตวรรษที่ 16 แต่ได้รับการตีพิมพ์หลังมรณกรรมในปี ค.ศ. 1663 ^{[ 243 ]}

หลังจากคาร์ดาโน ยาคอบ เบอร์นูลลี^{[ e ]}ได้เขียนArs Conjectandiซึ่งถือเป็นเหตุการณ์สำคัญในประวัติศาสตร์ของทฤษฎีความน่าจะเป็น หนังสือของเบอร์นูลลีได้รับการตีพิมพ์หลังมรณกรรมในปี 1713 และเป็นแรงบันดาลใจให้นักคณิตศาสตร์หลายคนศึกษาความน่าจะเป็น^{[ 245 ] [ 246 ]}แต่ถึงแม้จะมีนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงหลายคนมีส่วนร่วมในทฤษฎีความน่าจะเป็น เช่นปิแอร์-ซีมอง ลาปลาซ อับราฮัมเดอ มัวร์คาร์ล เกาส์ซิเมออน ปัวซงและปาฟนูตี เชบิเชฟ [ ^{247 ] [ 248 ] ชุมชน}คณิตศาสตร์ส่วนใหญ่^{[ f ]}ก็ไม่ได้พิจารณาว่าทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์จนกระทั่งศตวรรษที่ 20 ^{[ 247 ] [ 249 ] [ 250 ] [ 251 ]}

ในสาขาวิทยาศาสตร์กายภาพ นักวิทยาศาสตร์ได้พัฒนาศาสตร์กลศาสตร์เชิงสถิติ ขึ้นในศตวรรษที่ 19 โดยที่ระบบทางกายภาพ เช่น ภาชนะที่บรรจุก๊าซ จะถูกพิจารณาหรือจัดการทางคณิตศาสตร์ในฐานะกลุ่มของอนุภาคที่เคลื่อนที่จำนวนมาก แม้ว่าจะมีนักวิทยาศาสตร์บางคน เช่นรูดอล์ฟ คลอเซียส พยายามที่จะรวมความสุ่มเข้าไปในฟิสิกส์เชิงสถิติ แต่ งานส่วนใหญ่ก็แทบไม่มีความสุ่มเลย^{[ 252 ] [ 253 ]} สิ่งนี้เปลี่ยนไปในปี พ.ศ. 2392 เมื่อเจมส์ คลาร์ก แม็กซ์เวลล์ ได้มีส่วนสำคัญในสาขานี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีจลน์ของก๊าซ โดยนำเสนอผลงานที่เขาสร้างแบบจำลองอนุภาคก๊าซให้เคลื่อนที่ในทิศทางสุ่มด้วยความเร็วสุ่ม^{[ 254 ] [ 255 ]}ทฤษฎีจลน์ของก๊าซและฟิสิกส์เชิงสถิติยังคงได้รับการพัฒนาต่อไปในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 19 โดยผลงานส่วนใหญ่ดำเนินการโดย Clausius, Ludwig BoltzmannและJosiah Gibbsซึ่งต่อมาจะมีอิทธิพลต่อแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของAlbert Einstein สำหรับ การเคลื่อนที่แบบบราวน์^{[ 256 ]}

ในการประชุมนานาชาติของนักคณิตศาสตร์ที่ปารีสในปี 1900 เดวิด ฮิลเบิร์ตได้นำเสนอรายการปัญหาทางคณิตศาสตร์โดยปัญหาข้อที่หกของเขาขอให้มีการจัดการทางคณิตศาสตร์ของฟิสิกส์และความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับสัจพจน์[ ^{248 ] ใน}ช่วงต้นศตวรรษที่ 20 นักคณิตศาสตร์ได้พัฒนาทฤษฎีการวัด ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์สำหรับการศึกษาปริพันธ์ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ โดยผู้ก่อตั้งสองคนเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ได้แก่อองรี เลเบสก์และเอมิล โบเรลในปี 1925 นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสอีกคนหนึ่ง คือ ปอล เลวี ได้ตีพิมพ์หนังสือความน่าจะเป็นเล่มแรกที่ใช้แนวคิดจากทฤษฎีการวัด^{[ 248 ]}

ในช่วงทศวรรษ 1920 นักคณิตศาสตร์อย่างSergei Bernstein , Aleksandr Khinchin [ ^{g ] และ} Andrei Kolmogorov [ ^{251 ] ได้มีส่วนสำคัญต่อทฤษฎีความน่าจะเป็นในสหภาพโซเวียต [ 251 ]} Kolmogorov ได้ตีพิมพ์ผลงานชิ้นแรกของเขาในปี 1929 ซึ่งเป็นการนำเสนอพื้นฐานทางคณิตศาสตร์โดยอาศัยทฤษฎีการวัดสำหรับทฤษฎีความน่าจะเป็น^{[ 257 ]}ในช่วงต้นทศวรรษ 1930 Khinchin และ Kolmogorov ได้จัดสัมมนาเกี่ยวกับความน่าจะเป็น ซึ่งมีนักวิจัยเข้าร่วมมากมาย เช่นEugene SlutskyและNikolai Smirnov [ ^{258 ] และ Khinchin ได้ให้คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์แรกของกระบวนการสุ่มว่าเป็นชุดของตัวแปรสุ่มที่จัด ทำ}ดัชนีโดยเส้นจำนวนจริง^{[ 63 ] [ 259 ] [ h ]}

ในปี พ.ศ. 2476 Andrei Kolmogorov ได้ตีพิมพ์หนังสือเกี่ยวกับพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นภาษาเยอรมันชื่อ^{Grundbegriffe} der Wahrscheinlichkeitsrechnung [ ^{i ]}ซึ่ง Kolmogorov ใช้ทฤษฎีการวัดเพื่อพัฒนากรอบเชิงสัจพจน์สำหรับทฤษฎีความน่าจะเป็น การตีพิมพ์หนังสือเล่มนี้ถือกันอย่างกว้างขวางว่าเป็นจุดกำเนิดของทฤษฎีความน่าจะเป็นสมัยใหม่ เมื่อทฤษฎีความน่าจะเป็นและกระบวนการสุ่มกลายเป็นส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์^{[ 248 ] [ 251 ]}

หลังจากการตีพิมพ์หนังสือของ Kolmogorov งานพื้นฐานเพิ่มเติมเกี่ยวกับทฤษฎีความน่าจะเป็นและกระบวนการสุ่มได้ถูกดำเนินการโดย Khinchin และ Kolmogorov เช่นเดียวกับนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ เช่นJoseph Doob , William Feller , Maurice Fréchet , Paul Lévy , Wolfgang DoeblinและHarald Cramér [ ^{248 ] [ 251 ] หลาย} ทศวรรษต่อมา Cramér กล่าวถึงช่วงทศวรรษ 1930 ว่าเป็น "ยุคแห่งความกล้าหาญของทฤษฎีความน่าจะเป็นทางคณิตศาสตร์" ^{[ 251 ]}สงครามโลกครั้งที่สองได้ขัดขวางการพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็นอย่างมาก ทำให้ Feller อพยพจากสวีเดนไปยังสหรัฐอเมริกา^{[ 251 ]}และการเสียชีวิตของ Doeblin ซึ่งปัจจุบันถือเป็นผู้บุกเบิกในกระบวนการสุ่ม^{[ 261 ]}

หลังสงครามโลกครั้งที่สอง การศึกษาทฤษฎีความน่าจะเป็นและกระบวนการสุ่มได้รับความสนใจจากนักคณิตศาสตร์มากขึ้น โดยมีผลงานสำคัญในหลายสาขาของความน่าจะเป็นและคณิตศาสตร์ รวมถึงการสร้างสาขาใหม่ๆ^{[ 251 ] [ 264 ]}ตั้งแต่ช่วงทศวรรษ 1940 Kiyosi Itôได้ตีพิมพ์บทความที่พัฒนาสาขาแคลคูลัสสุ่มซึ่งเกี่ยวข้องกับปริพันธ์ สุ่ม และสมการเชิงอนุพันธ์ สุ่ม โดยอาศัยกระบวนการเคลื่อนที่แบบ Wiener หรือ Brownian ^{[ 265 ]}

นอกจากนี้ ในช่วงทศวรรษ 1940 ยังมีการเชื่อมโยงระหว่างกระบวนการสุ่ม โดยเฉพาะมาร์ติงเกล และสาขาคณิตศาสตร์ของทฤษฎีศักยภาพโดยเริ่มจากแนวคิดของชิซูโอะ คาคูทานิและต่อมาเป็นผลงานของโจเซฟ ดูบ^{[ 264 ]}งานวิจัยเพิ่มเติมที่ถือว่าเป็นงานบุกเบิกนั้น ดำเนินการโดยกิลเบิร์ต ฮันต์ในช่วงทศวรรษ 1950 ซึ่งเชื่อมโยงกระบวนการมาร์คอฟและทฤษฎีศักยภาพ ซึ่งมีผลอย่างมากต่อทฤษฎีของกระบวนการเลวี และนำไปสู่ความสนใจในการศึกษาเพิ่มเติมเกี่ยวกับกระบวนการมาร์คอฟด้วยวิธีการที่พัฒนาโดยอิโตะ^{[ 21 ] [ 266 ] [ 267 ]}

ในปี พ.ศ. 2496 Doob ได้ตีพิมพ์หนังสือเรื่องกระบวนการสุ่ม (Stochastic processes ) ซึ่งมีอิทธิพลอย่างมากต่อทฤษฎีของกระบวนการสุ่มและเน้นย้ำถึงความสำคัญของทฤษฎีการวัดในความน่าจะเป็น^{[ 264 ] [ 263 ]} Doob ยังได้พัฒนาทฤษฎีมาร์ติงเกลเป็นหลัก โดยต่อมาได้รับการสนับสนุนอย่างมากจากPaul-André Meyerงานก่อนหน้านี้ดำเนินการโดยSergei Bernstein , Paul LévyและJean Villeซึ่งคนหลังได้นำคำว่ามาร์ติงเกลมาใช้สำหรับกระบวนการสุ่ม^{[ 268 ] [ 269 ]}วิธีการจากทฤษฎีมาร์ติงเกลได้รับความนิยมในการแก้ปัญหาความน่าจะเป็นต่างๆ เทคนิคและทฤษฎีได้รับการพัฒนาเพื่อศึกษาเกี่ยวกับกระบวนการมาร์คอฟแล้วนำไปประยุกต์ใช้กับมาร์ติงเกล ในทางกลับกัน วิธีการจากทฤษฎีมาร์ติงเกลก็ได้รับการจัดตั้งขึ้นเพื่อจัดการกับกระบวนการมาร์คอฟ^{[ 264 ]}

มีการพัฒนาสาขาความน่าจะเป็นอื่นๆ และนำมาใช้ศึกษาเกี่ยวกับกระบวนการสุ่ม โดยแนวทางหลักประการหนึ่งคือทฤษฎีความเบี่ยงเบนขนาดใหญ่^{[ 264 ]}ทฤษฎีนี้มีการประยุกต์ใช้มากมายในฟิสิกส์เชิงสถิติและสาขาอื่นๆ และมีแนวคิดหลักย้อนกลับไปอย่างน้อยถึงทศวรรษที่ 1930 ต่อมาในช่วงทศวรรษที่ 1960 และ 1970 อเล็กซานเดอร์ เวนท์เซลล์ ในสหภาพโซเวียต และมอนโร ดี. ดอนสเกอร์และศรีนิวาส วาราธานในสหรัฐอเมริกา ได้ทำงานพื้นฐาน ^{[ 270 ]}ซึ่งต่อมาส่งผลให้วาราธานได้รับรางวัลอาเบลในปี 2007 ^{[ 271 ]}ในช่วงทศวรรษ 1990 และ 2000 ทฤษฎีวิวัฒนาการของ Schramm–Loewner ^{[ 272 ]}และเส้นทางหยาบ^{[ 142 ]}ได้รับการนำเสนอและพัฒนาเพื่อศึกษาเกี่ยวกับกระบวนการสุ่มและวัตถุทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ในทฤษฎีความน่าจะเป็น ซึ่งส่งผลให้มีการมอบเหรียญ Fields ให้แก่ Wendelin Werner ^{[ 273 ]}ในปี 2008 และMartin Hairerในปี 2014 ตามลำดับ ^{[ 274 ]}

ทฤษฎีของกระบวนการสุ่มยังคงเป็นหัวข้อวิจัยที่สำคัญ โดยมีการจัดการประชุมนานาชาติประจำปีในหัวข้อกระบวนการสุ่ม^{[ 45 ] [ 225 ]}

แม้ว่า Khinchin จะให้คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการสุ่มในช่วงทศวรรษ 1930 ^{[ 63 ] [ 259 ]}แต่กระบวนการสุ่มเฉพาะบางอย่างก็ถูกค้นพบแล้วในบริบทที่แตกต่างกัน เช่น กระบวนการเคลื่อนที่แบบบราวน์และกระบวนการปัวซง^{[ 21 ] [ 24 ]}กระบวนการสุ่มบางตระกูล เช่น กระบวนการจุดหรือกระบวนการต่ออายุ มีประวัติความเป็นมาที่ยาวนานและซับซ้อน ย้อนกลับไปหลายศตวรรษ^{[ 275 ]}

กระบวนการไวเนอร์

กระบวนการWienerหรือกระบวนการเคลื่อนที่แบบบราวน์มีต้นกำเนิดมาจากสาขาต่างๆ รวมถึงสถิติ การเงิน และฟิสิกส์^{[ 21 ]}ในปี พ.ศ. 2423 นักดาราศาสตร์ชาวเดนมาร์ก Thorvald Thieleได้เขียนบทความเกี่ยวกับวิธีกำลังสองน้อยที่สุด โดยเขาใช้กระบวนการนี้เพื่อศึกษาข้อผิดพลาดของแบบจำลองในการวิเคราะห์อนุกรมเวลา^{[ 284 ] [ 285 ] [ 286 ]}ปัจจุบันงานนี้ถือเป็นการค้นพบเบื้องต้นของวิธีการทางสถิติที่เรียกว่าการกรอง Kalmanแต่ผลงานนี้กลับถูกมองข้ามไปเป็นส่วนใหญ่ เชื่อกันว่าแนวคิดในบทความของ Thiele นั้นล้ำหน้าเกินกว่าที่ชุมชนคณิตศาสตร์และสถิติในวงกว้างจะเข้าใจได้ในขณะนั้น^{[ 286 ]}

นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสLouis Bachelierใช้กระบวนการ Wiener ในวิทยานิพนธ์ปี 1900 ของเขา^{[ 287 ] [ 288 ] เพื่อจำลองการเปลี่ยนแปลงราคาในตลาดหลักทรัพย์ปารีส [ 289 ] โดยไม่ทราบถึงงานของ Thiele [ 21 ] มีการคาดการณ์ว่าBachelier}ได้นำแนวคิดมาจาก^{แบบจำลอง}การ^{เดินแบบสุ่ม}ของJules Regnaultแต่ Bachelier ไม่ได้อ้างอิงถึงเขา^{[ 290 ]}และวิทยานิพนธ์ของ Bachelier ในปัจจุบันถือเป็นงานบุกเบิกในสาขาคณิตศาสตร์การเงิน^{[ 289 ] [ 290 ]}

โดยทั่วไปเชื่อกันว่างานของ Bachelier ได้รับความสนใจเพียงเล็กน้อยและถูกลืมไปหลายทศวรรษ จนกระทั่ง Leonard Savageค้นพบมันอีกครั้งในช่วงทศวรรษ 1950 และได้รับความนิยมมากขึ้นหลังจากวิทยานิพนธ์ของ Bachelier ได้รับการแปลเป็นภาษาอังกฤษในปี 1964 แต่งานของเขาก็ไม่เคยถูกลืมในวงการคณิตศาสตร์ เพราะ Bachelier ได้ตีพิมพ์หนังสือในปี 1912 ซึ่งให้รายละเอียดเกี่ยวกับแนวคิดของเขา^{[ 290 ]}ซึ่งนักคณิตศาสตร์หลายคนได้อ้างอิงถึง รวมถึง Doob, Feller ^{[ 290 ]}และ Kolmogorov ^{[ 21 ]}หนังสือเล่มนี้ยังคงถูกอ้างอิงอย่างต่อเนื่อง แต่ในช่วงทศวรรษ 1960 วิทยานิพนธ์ดั้งเดิมของ Bachelier เริ่มถูกอ้างอิงมากกว่าหนังสือของเขา เมื่อนักเศรษฐศาสตร์เริ่มอ้างอิงงานของ Bachelier ^{[ 290 ]}

ในปี ค.ศ. 1905 อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ได้ตีพิมพ์บทความที่เขาศึกษาการสังเกตทางกายภาพของการเคลื่อนที่แบบบราวน์ หรือการเคลื่อนที่เพื่ออธิบายการเคลื่อนที่แบบสุ่มของอนุภาคในของเหลวโดยใช้แนวคิดจากทฤษฎีจลน์ของก๊าซไอน์สไตน์ได้อนุพันธ์สมการเชิงอนุพันธ์ที่เรียกว่าสมการการแพร่กระจายเพื่ออธิบายความน่าจะเป็นของการพบอนุภาคในบริเวณใดบริเวณหนึ่งของพื้นที่ ไม่นานหลังจากบทความแรกของไอน์สไตน์เกี่ยวกับการเคลื่อนที่แบบบราวน์ มาเรียนสโมลูโชว์สกีได้ตีพิมพ์ผลงานที่เขาอ้างถึงไอน์สไตน์ แต่เขียนว่าเขาได้อนุพันธ์ผลลัพธ์ที่เทียบเท่ากันโดยอิสระโดยใช้วิธีการที่แตกต่างกัน^{[ 291 ]}

งานของไอน์สไตน์ รวมถึงผลการทดลองที่ได้รับจากฌอง แปร์แร็งต่อมาได้เป็นแรงบันดาลใจให้นอร์เบิร์ต วีนเนอร์ในช่วงทศวรรษ 1920 ^{[ 292 ]}ใช้ทฤษฎีการวัดประเภทหนึ่งที่พัฒนาโดยเพอร์ซี ดาเนียลและการวิเคราะห์ฟูริเยร์เพื่อพิสูจน์การมีอยู่ของกระบวนการวีนเนอร์ในฐานะวัตถุทางคณิตศาสตร์^{[ 21 ]}

เมื่อสร้างกระบวนการสุ่มแบบต่อเนื่องในเวลา จะเกิดปัญหาทางคณิตศาสตร์บางประการขึ้น เนื่องจากชุดดัชนีที่นับไม่ได้ ซึ่งไม่เกิดขึ้นกับกระบวนการแบบไม่ต่อเนื่องในเวลา^{[ 58 ] [ 59 ]}ปัญหาหนึ่งคือ เป็นไปได้ที่จะมีกระบวนการสุ่มมากกว่าหนึ่งกระบวนการที่มีการกระจายแบบมิติจำกัดเหมือนกัน ตัวอย่างเช่น ทั้งการปรับเปลี่ยนแบบต่อเนื่องทางซ้ายและการปรับเปลี่ยนแบบต่อเนื่องทางขวาของกระบวนการปัวซงมีการกระจายแบบมิติจำกัดเหมือนกัน^{[ 312 ]}ซึ่งหมายความว่าการกระจายของกระบวนการสุ่มไม่จำเป็นต้องระบุคุณสมบัติของฟังก์ชันตัวอย่างของกระบวนการสุ่มอย่างเฉพาะเจาะจง^{[ 307 ] [ 313 ]}

ปัญหาอีกประการหนึ่งคือฟังก์ชันของกระบวนการเวลาต่อเนื่องที่อาศัยจุดจำนวนนับไม่ได้ของเซตดัชนีอาจไม่สามารถวัดได้ ดังนั้นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์บางอย่างอาจไม่สามารถกำหนดได้อย่างชัดเจน^{[ 168 ]}ตัวอย่างเช่น ค่าสูงสุดของกระบวนการสุ่มหรือฟิลด์สุ่มไม่จำเป็นต้องเป็นตัวแปรสุ่มที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน^{[ 30 ] [ 59 ]}สำหรับกระบวนการสุ่มเวลาต่อเนื่อง${\displaystyle X}$ลักษณะอื่นๆ ที่ขึ้นอยู่กับจุดจำนวนนับไม่ถ้วนของชุดดัชนี${\displaystyle T}$รวมถึง: ^{[ 168 ]}

• ฟังก์ชันตัวอย่างของกระบวนการสุ่ม${\displaystyle X}$เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องของ${\displaystyle t\in T}$;
• ฟังก์ชันตัวอย่างของกระบวนการสุ่ม${\displaystyle X}$เป็นฟังก์ชันที่มีขอบเขตของ${\displaystyle t\in T}$; และ
• ฟังก์ชันตัวอย่างของกระบวนการสุ่ม${\displaystyle X}$เป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นของ${\displaystyle t\in T}$.

โดยที่สัญลักษณ์∈สามารถอ่านได้ว่า "สมาชิกของเซต" ดังเช่นใน${\displaystyle t}$สมาชิกคนหนึ่งของกลุ่ม${\displaystyle T}$.

เพื่อเอาชนะความยากลำบากสองประการที่อธิบายไว้ข้างต้น ได้แก่ "มากกว่าหนึ่ง..." และ "ฟังก์ชันของ..." สมมติฐานและแนวทางที่แตกต่างกันจึงเป็นไปได้^{[ 69 ]}

แนวทางหนึ่งในการหลีกเลี่ยงปัญหาการสร้างทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการสุ่มที่เสนอโดยJoseph Doobคือการสมมติว่ากระบวนการสุ่มนั้นสามารถแยกได้^{[ 314 ]}ความสามารถในการแยกได้ทำให้มั่นใจได้ว่าการแจกแจงมิติอนันต์จะกำหนดคุณสมบัติของฟังก์ชันตัวอย่างโดยกำหนดให้ฟังก์ชันตัวอย่างถูกกำหนดโดยพื้นฐานจากค่าของฟังก์ชันเหล่านั้นบนเซตของจุดที่หนาแน่นและนับได้ในเซตดัชนี^{[ 315 ]}ยิ่งไปกว่านั้น หากกระบวนการสุ่มสามารถแยกได้ ฟังก์ชันของจุดจำนวนนับไม่ถ้วนในเซตดัชนีจะสามารถวัดได้ และสามารถศึกษาความน่าจะเป็นของฟังก์ชันเหล่านั้นได้^{[ 168 ] [ 315 ]}

แนวทางอื่นที่เป็นไปได้ ซึ่งเดิมพัฒนาโดยAnatoliy Skorokhod ^{และ Andrei Kolmogorov [ 316 ]}สำหรับกระบวนการสุ่ม^{แบบต่อ}เนื่องที่มีปริภูมิเมตริกใดๆ เป็นปริภูมิสถานะ สำหรับการสร้างกระบวนการสุ่มดังกล่าว ถือว่าฟังก์ชันตัวอย่างของกระบวนการสุ่มเป็นของปริภูมิฟังก์ชันที่เหมาะสม ซึ่งโดยปกติจะเป็นปริภูมิ Skorokhod ที่ประกอบด้วยฟังก์ชันต่อเนื่องทางขวาทั้งหมดที่มีขีดจำกัดทางซ้าย แนวทางนี้ถูกนำมาใช้มากกว่าสมมติฐานการแยกส่วน^{[ 69 ] [ 262 ]}แต่กระบวนการสุ่มดังกล่าวตามแนวทางนี้จะสามารถแยกส่วนได้โดยอัตโนมัติ^{[ 317 ]}

แม้ว่าจะไม่ค่อยได้ใช้ แต่สมมติฐานการแยกส่วนถือว่ามีความทั่วไปมากกว่า เนื่องจากกระบวนการสุ่มทุกกระบวนการมีเวอร์ชันที่แยกส่วนได้^{[ 262 ]}นอกจากนี้ยังใช้เมื่อไม่สามารถสร้างกระบวนการสุ่มในพื้นที่ Skorokhod ได้^{[ 173 ]}ตัวอย่างเช่น สมมติฐานการแยกส่วนจะถูกใช้เมื่อสร้างและศึกษาฟิลด์สุ่ม โดยที่ชุดของตัวแปรสุ่มจะถูกจัดทำดัชนีโดยเซตอื่นที่ไม่ใช่เส้นจำนวนจริง เช่น${\displaystyle n}$พื้นที่ยูคลิดมิติ^{[ 30 ] [ 318 ]}

• Applebaum, David (2004). "กระบวนการ Lévy: จากความน่าจะเป็นสู่การเงินและกลุ่มควอนตัม" ประกาศของ AMS 51 ( 11): 1336– 1347
• Cramer, Harald (1976). "ครึ่งศตวรรษกับทฤษฎีความน่าจะเป็น: ความทรงจำส่วนตัวบางประการ" . The Annals of Probability . 4 (4): 509– 546. doi : 10.1214/aop/1176996025 . ISSN 0091-1798 . 
• Guttorp, Peter; Thorarinsdottir, Thordis L. (2012). "เกิดอะไรขึ้นกับความโกลาหลแบบไม่ต่อเนื่อง กระบวนการ Quenouille และคุณสมบัติ Markov ที่คมชัด? ประวัติบางส่วนของกระบวนการจุดสุ่ม" วารสารสถิติระหว่างประเทศ80 (2): 253– 268. doi : 10.1111/j.1751-5823.2012.00181.x . ISSN 0306-7734 . S2CID 80836 .  
• Jarrow, Robert; Protter, Philip (2004). "ประวัติย่อของการบูรณาการเชิงสุ่มและคณิตศาสตร์การเงิน: ช่วงปีแรก ๆ 1880–1970". หนังสือที่ระลึกสำหรับ Herman Rubin . เอกสารบรรยายของสถาบันสถิติคณิตศาสตร์ - ชุดเอกสารวิจัย. หน้า75–91 . doi : 10.1214/lnms/1196285381 . ISBN  978-0-940600-61-4ISSN 0749-2170​​ 
• Meyer, Paul-André (2009). "กระบวนการสุ่มตั้งแต่ปี 1950 ถึงปัจจุบัน" วารสารอิเล็กทรอนิกส์สำหรับประวัติศาสตร์ของความน่าจะเป็นและสถิติ 5 ( 1): 1– 42

• Robert J. Adler (2010). เรขาคณิตของสนามสุ่ม . SIAM. ISBN 978-0-89871-693-1.
• Robert J. Adler; Jonathan E. Taylor (2009). Random Fields and Geometry . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-48116-6.
• Pierre Brémaud (2013). Markov Chains: Gibbs Fields, Monte Carlo Simulation, and Queues . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-3124-8.
• โจเซฟ แอล. ดูบ (1990). กระบวนการสุ่ม . ไวลีย์.
• Anders Hald (2005). ประวัติศาสตร์ของความน่าจะเป็นและสถิติและการประยุกต์ใช้ก่อนปี 1750. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-72517-6.
• Crispin Gardiner (2010). วิธีการเชิงสุ่ม . Springer. ISBN 978-3-540-70712-7.
• Iosif I. Gikhman; Anatoly Vladimirovich Skorokhod (1996). บทนำสู่ทฤษฎีของกระบวนการสุ่ม . Courier Corporation. ISBN 978-0-486-69387-3.
• เอมานูเอล ปาร์เซน (2015). กระบวนการสุ่ม . สำนักพิมพ์ Courier Dover. ISBN 978-0-486-79688-8.
• Murray Rosenblatt (1962). กระบวนการสุ่ม . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด.