ในฟิสิกส์และทฤษฎีความน่าจะเป็นทฤษฎีสนามเฉลี่ย ( MFT ) หรือทฤษฎีสนามแบบสอดคล้องกันเองศึกษาพฤติกรรมของแบบจำลองสุ่ม ( สโตแคสติก ) มิติสูง โดยการศึกษาแบบจำลองที่ง่ายกว่าซึ่งประมาณค่าแบบจำลองดั้งเดิมโดยการหาค่าเฉลี่ยของระดับความเป็นอิสระ (จำนวนค่าในการคำนวณทางสถิติขั้น สุดท้าย ที่สามารถเปลี่ยนแปลงได้อย่างอิสระ) แบบจำลองดังกล่าวพิจารณาส่วนประกอบแต่ละส่วนจำนวนมากที่โต้ตอบกัน

แนวคิดหลักของ MFT คือการแทนที่ปฏิสัมพันธ์ ทั้งหมด กับร่างกายหนึ่งด้วยปฏิสัมพันธ์เฉลี่ยหรือที่มีประสิทธิภาพ ซึ่งบางครั้งเรียกว่าสนามโมเลกุล [ ^{1 ] ซึ่ง}จะลดปัญหาหลายร่างกาย ให้กลายเป็น ปัญหาหนึ่งร่างกายที่มีประสิทธิภาพความง่ายในการแก้ปัญหา MFT หมายความว่าสามารถได้รับข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับพฤติกรรมของระบบได้ด้วยต้นทุนการคำนวณที่ต่ำกว่า

MFT ได้ถูกนำไปประยุกต์ใช้ในหลากหลายสาขานอกเหนือจากฟิสิกส์ รวมถึงการอนุมานทางสถิติแบบจำลองกราฟิกประสาทวิทยาศาสตร์ [ ^{2 ] ปัญญา}ประดิษฐ์แบบจำลองการระบาด [ ^{3 ]}ทฤษฎีการเข้าคิว [ ^{4 ] ประสิทธิภาพ}เครือข่ายคอมพิวเตอร์และทฤษฎีเกม [ ^{5 ]}เช่นในสมดุลการตอบสนองเชิงค^วอนตั ^ม

แนวคิดนี้ปรากฏครั้งแรกในฟิสิกส์ ( กลศาสตร์เชิงสถิติ ) ในงานของPierre Curie ^{[ 6 ]}และPierre Weissเพื่ออธิบายการเปลี่ยนเฟส^{[ 7 ]} MFT ถูกนำมาใช้ในการประมาณค่า Bragg–Williams โมเดลบน แลตทิ ซBethe ทฤษฎี LandauกฎCurie-Weissสำหรับ ความ ไวต่อสนามแม่เหล็กทฤษฎีโซลูชัน Flory–HugginsและทฤษฎีScheutjens– Fleer

โดยทั่วไปแล้ว ระบบที่มีระดับความเป็นอิสระจำนวนมาก (บางครั้งอาจเป็นอนันต์) ยากที่จะหาคำตอบที่แน่นอนหรือคำนวณได้ในรูปแบบวิเคราะห์ที่ปิดสนิท ยกเว้นในบางกรณีที่ง่าย (เช่น ทฤษฎี สนามสุ่ม แบบเกาส์เซียนบางทฤษฎี โมเดลไอซิงแบบ 1 มิติ) บ่อยครั้งที่เกิดปัญหาเชิงการจัดเรียงที่ทำให้การคำนวณฟังก์ชันพาร์ติชันของระบบทำได้ยาก ทฤษฎีบทขอบเขตหลายมิติ (MFT) เป็นวิธีการประมาณค่าที่มักทำให้ปัญหาดั้งเดิมสามารถหาคำตอบได้และเปิดให้คำนวณได้ และในบางกรณี MFT อาจให้ค่าประมาณที่แม่นยำมาก

ในทฤษฎีสนามแฮมิลโทเนียนสามารถขยายได้โดยใช้ขนาดของการผันผวนรอบค่าเฉลี่ยของสนาม ในบริบทนี้ MFT สามารถมองได้ว่าเป็นการขยาย "อันดับศูนย์" ของแฮมิลโทเนียนในรูปของการผันผวน ในทางกายภาพ หมายความว่าระบบ MFT ไม่มีการผันผวน แต่สิ่งนี้สอดคล้องกับแนวคิดที่ว่าเราแทนที่ปฏิสัมพันธ์ทั้งหมดด้วย "สนามเฉลี่ย"

บ่อยครั้งที่ MFT เป็นจุดเริ่มต้นที่สะดวกสำหรับการศึกษาความผันผวนลำดับสูงกว่า ตัวอย่างเช่น เมื่อคำนวณฟังก์ชันพาร์ติชันการศึกษาการจัดเรียงของพจน์ปฏิสัมพันธ์ในแฮมิลโทเนียน บางครั้งอาจให้ ผลลัพธ์การรบกวน หรือ แผนภาพไฟน์แมนที่แก้ไขการประมาณค่าเฉลี่ยสนาม ได้ดีที่สุดเท่านั้น

โดยทั่วไป มิติมีบทบาทสำคัญในการพิจารณาว่าวิธีการแบบ Mean-Field จะใช้ได้กับปัญหาใดปัญหาหนึ่งหรือไม่ บางครั้งจะมีมิติวิกฤตค่าหนึ่งที่สูงกว่านั้น วิธีการแบบ Mean-Field จะใช้ได้ผล และต่ำกว่านั้นจะใช้ไม่ได้ผล

ตามหลักการเชิงอนุมาน ปฏิสัมพันธ์จำนวนมากจะถูกแทนที่ด้วยปฏิสัมพันธ์ที่มีประสิทธิภาพเพียงหนึ่งเดียวใน MFT ดังนั้น หากสนามหรืออนุภาคแสดงปฏิสัมพันธ์แบบสุ่มจำนวนมากในระบบดั้งเดิม ปฏิสัมพันธ์เหล่านั้นมักจะหักล้างกันเอง ทำให้ปฏิสัมพันธ์ที่มีประสิทธิภาพเฉลี่ยและ MFT จะมีความแม่นยำมากขึ้น นี่เป็นความจริงในกรณีที่มีมิติสูง เมื่อแฮมิลโทเนียนรวมถึงแรงระยะไกล หรือเมื่ออนุภาคมีขนาดใหญ่ (เช่นโพลิเมอร์ ) เกณฑ์ของกินซ์เบิร์กเป็นการแสดงออกอย่างเป็นทางการว่าความผันผวนทำให้ MFT เป็นการประมาณที่ไม่ดี ซึ่งมักขึ้นอยู่กับจำนวนมิติเชิงพื้นที่ในระบบที่สนใจ

พื้นฐานอย่างเป็นทางการของทฤษฎีสนามเฉลี่ยคืออสมการโบโกลิอูบอฟอสมการนี้ระบุว่าพลังงานอิสระของระบบที่มีแฮมิลโทเนียน

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{0}+\Delta {\mathcal {H}}}$

มีขีดจำกัดบนดังต่อไปนี้:

${\displaystyle F\leq F_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle {\mathcal {H}}\rangle _{0}-TS_{0},}$

โดยที่คือเอนโทรปีและและคือพลังงานอิสระของเฮล์มโฮลทซ์ค่าเฉลี่ยคำนวณจากกลุ่ม สมดุล ของระบบอ้างอิงที่มีแฮมิลโทเนียนในกรณีพิเศษที่แฮมิลโทเนียนอ้างอิงเป็นของระบบที่ไม่เกิดปฏิสัมพันธ์ และสามารถเขียนได้เป็น ${\displaystyle S_{0}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}=\sum _{i=1}^{N}h_{i}(\xi _{i}),}$

เมื่อทราบค่าองศาอิสระของส่วนประกอบแต่ละส่วนในระบบสถิติของเรา (อะตอม สปิน และอื่นๆ) เราสามารถพิจารณาปรับขอบบนให้แคบลงได้โดยการลดค่าด้านขวาของอสมการให้เหลือน้อยที่สุด ระบบอ้างอิงที่ลดค่าให้เหลือน้อยที่สุดนั้นจะเป็นค่าประมาณที่ดีที่สุดของระบบจริงโดยใช้องศาอิสระที่ไม่สัมพันธ์กัน และเรียกว่าการประมาณค่าเฉลี่ย (mean field approximation ) ${\displaystyle \xi _{i}}$

สำหรับกรณีทั่วไปที่แฮมิลโทเนียนเป้าหมายประกอบด้วยปฏิสัมพันธ์แบบคู่เท่านั้น กล่าวคือ

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{(i,j)\in {\mathcal {P}}}V_{i,j}(\xi _{i},\xi _{j}),}$

โดยที่เป็นเซตของคู่ที่โต้ตอบกัน ขั้นตอนการลดค่าให้น้อยที่สุดสามารถดำเนินการได้อย่างเป็นทางการ กำหนดให้ เป็นผลรวมทั่วไปของค่าที่สังเกตได้เหนือระดับความเป็นอิสระของส่วนประกอบเดียว (ผลรวมสำหรับตัวแปรแบบไม่ต่อเนื่อง อินทิกรัลสำหรับตัวแปรแบบต่อเนื่อง) พลังงานอิสระโดยประมาณกำหนดโดย ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle \operatorname {Tr} _{i}f(\xi _{i})}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{0}&=\operatorname {Tr} _{1,2,\ldots ,N}{\mathcal {H}}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})\\&+kT\,\operatorname {Tr} _{1,2,\ldots ,N}P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})\log P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N}),\end{aligned}}}$

ความน่าจะเป็นที่จะพบระบบอ้างอิงในสถานะที่ระบุโดยตัวแปรนั้นอยู่ที่ใดความน่าจะเป็นนี้กำหนดโดยตัวประกอบโบลต์ซมันน์แบบนอร์มาไลซ์${\displaystyle P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{N})}$${\displaystyle (\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{N})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})&={\frac {1}{Z_{0}^{(N)}}}e^{-\beta {\mathcal {H}}_{0}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})}\\&=\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{Z_{0}}}e^{-\beta h_{i}(\xi _{i})}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \prod _{i=1}^{N}P_{0}^{(i)}(\xi _{i}),\end{aligned}}}$

ฟังก์ชันการแบ่งส่วนอยู่ที่ไหนดังนั้น ${\displaystyle Z_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{0}&=\sum _{(i,j)\in {\mathcal {P}}}\operatorname {Tr} _{i,j}V_{i,j}(\xi _{i},\xi _{j})P_{0}^{(i)}(\xi _{i})P_{0}^{(j)}(\xi _{j})\\&+kT\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Tr} _{i}P_{0}^{(i)}(\xi _{i})\log P_{0}^{(i)}(\xi _{i}).\end{aligned}}}$

เพื่อลดค่าให้น้อยที่สุด เราจึงทำการหาอนุพันธ์เทียบกับความน่าจะเป็นที่มีหนึ่งองศาอิสระโดยใช้ตัวคูณลากรางจ์เพื่อให้แน่ใจว่ามีการปรับค่าให้เป็นมาตรฐานอย่างเหมาะสม ผลลัพธ์สุดท้ายคือชุดสมการความสอดคล้องในตัวเอง ${\displaystyle P_{0}^{(i)}}$

${\displaystyle P_{0}^{(i)}(\xi _{i})={\frac {1}{Z_{0}}}e^{-\beta h_{i}^{MF}(\xi _{i})},\quad i=1,2,\ldots ,N,}$

โดยที่ค่าเฉลี่ยของสนามกำหนดโดย

${\displaystyle h_{i}^{\text{MF}}(\xi _{i})=\sum _{\{j\mid (i,j)\in {\mathcal {P}}\}}\operatorname {Tr} _{j}V_{i,j}(\xi _{i},\xi _{j})P_{0}^{(j)}(\xi _{j}).}$

ทฤษฎีสนามเฉลี่ยสามารถนำไปใช้กับระบบทางกายภาพหลายระบบเพื่อศึกษาปรากฏการณ์ต่างๆ เช่น^การเปลี่ยนเฟส [ ^{8 ]}

อสมการ Bogoliubov ที่แสดงไว้ข้างต้น สามารถใช้เพื่อค้นหาพลวัตของแบบจำลองสนามเฉลี่ยของแลตทิซ Ising สองมิติ ฟังก์ชันการทำให้เป็นแม่เหล็กสามารถคำนวณได้จากพลังงานอิสระโดย ประมาณที่เป็นผลลัพธ์ ^{[ 9 ]}ขั้นตอนแรกคือการเลือกการประมาณค่าแฮมิลโทเนียนที่แท้จริงที่จัดการได้ง่ายกว่า การใช้แฮมิลโทเนียนสนามที่ไม่โต้ตอบหรือสนามที่มีประสิทธิภาพ

${\displaystyle -m\sum _{i}s_{i}}$,

พลังงานอิสระแปรผันคือ

${\displaystyle F_{V}=F_{0}+\left\langle \left(-J\sum s_{i}s_{j}-h\sum s_{i}\right)-\left(-m\sum s_{i}\right)\right\rangle _{0}.}$

จากอสมการโบโกลิอูบอฟ การลดรูปปริมาณนี้และการคำนวณฟังก์ชันการทำให้เป็นแม่เหล็กที่ทำให้พลังงานอิสระแปรผัน มีค่าน้อยที่สุด จะได้ค่าประมาณที่ดีที่สุดของการทำให้เป็นแม่เหล็กจริง ตัวที่ทำให้ค่าน้อยที่สุดคือ

${\displaystyle m=J\sum \langle s_{j}\rangle _{0}+h,}$

ซึ่งเป็น ค่าเฉลี่ย ของการหมุน โดยรวม ซึ่งสามารถลดรูปได้เป็น

${\displaystyle m={\text{tanh}}(zJ\beta m+h}$)

การเทียบสนามที่มีผลซึ่งสปินทั้งหมดรับรู้กับค่าเฉลี่ยของสปินนั้น เชื่อมโยงวิธีการแปรผันเข้ากับการลดความผันผวน การตีความทางกายภาพของฟังก์ชันการทำให้เป็นแม่เหล็กจึงเป็นสนามของค่าเฉลี่ยสำหรับสปินแต่ละตัว

พิจารณาแบบจำลอง Isingบนโครงตาข่ายมิติ n แฮมิลโทเนียนกำหนดโดย ${\displaystyle d}$

${\displaystyle H=-J\sum _{\langle i,j\rangle }s_{i}s_{j}-h\sum _{i}s_{i},}$

โดยที่แสดงถึงผลรวมเหนือคู่เพื่อนบ้านที่อยู่ใกล้ที่สุดและคือสปินไอซิงที่อยู่ใกล้เคียงกัน ${\displaystyle \sum _{\langle i,j\rangle }}$${\displaystyle \langle i,j\rangle }$${\displaystyle s_{i},s_{j}=\pm 1}$

ให้เราแปลงตัวแปรสปินของเราโดยการนำความผันผวนจากค่าเฉลี่ยเข้ามาใช้เราอาจเขียนแฮมิลโทเนียนใหม่ได้ดังนี้ ${\displaystyle m_{i}\equiv \langle s_{i}\rangle }$

${\displaystyle H=-J\sum _{\langle i,j\rangle }(m_{i}+\delta s_{i})(m_{j}+\delta s_{j})-h\sum _{i}s_{i},}$

โดยที่เรากำหนด; นี่คือความผันผวนของการหมุน ${\displaystyle \delta s_{i}\equiv s_{i}-m_{i}}$

ถ้าเราขยายด้านขวา เราจะได้พจน์หนึ่งที่ขึ้นอยู่กับค่าเฉลี่ยของสปินโดยสิ้นเชิงและไม่ขึ้นอยู่กับการจัดเรียงสปิน นี่คือพจน์ที่ไม่สำคัญ ซึ่งไม่มีผลต่อคุณสมบัติทางสถิติของระบบ พจน์ถัดไปคือพจน์ที่เกี่ยวข้องกับผลคูณของค่าเฉลี่ยของสปินและค่าความผันผวน สุดท้าย พจน์สุดท้ายเกี่ยวข้องกับผลคูณของค่าความผันผวนสองค่า

การประมาณค่าเฉลี่ยสนามประกอบด้วยการละเลยพจน์ความผันผวนอันดับสองนี้:

${\displaystyle H\approx H^{\text{MF}}\equiv -J\sum _{\langle i,j\rangle }(m_{i}m_{j}+m_{i}\delta s_{j}+m_{j}\delta s_{i})-h\sum _{i}s_{i}.}$

ความผันผวนเหล่านี้จะเพิ่มมากขึ้นในมิติที่ต่ำ ทำให้ MFT เป็นการประมาณค่าที่ดีกว่าสำหรับมิติที่สูง

อีกครั้งหนึ่ง สามารถขยายพจน์บวกได้อีกครั้ง นอกจากนี้ เราคาดว่าค่าเฉลี่ยของแต่ละสปินจะไม่ขึ้นกับตำแหน่ง เนื่องจากโซ่ไอซิงไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อนตำแหน่ง ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle H^{\text{MF}}=-J\sum _{\langle i,j\rangle }{\big (}m^{2}+2m(s_{i}-m){\big )}-h\sum _{i}s_{i}.}$

ผลรวมของสปินที่อยู่ใกล้เคียงสามารถเขียนใหม่ได้เป็น โดยที่หมายถึง "เพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดของ" และตัวประกอบนำหน้าจะช่วยหลีกเลี่ยงการนับซ้ำ เนื่องจากพันธะแต่ละพันธะมีส่วนร่วมในสองสปิน การทำให้ง่ายขึ้นจะนำไปสู่การแสดงออกสุดท้าย ${\displaystyle \sum _{\langle i,j\rangle }={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j\in nn(i)}}$${\displaystyle nn(i)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle 1/2}$

${\displaystyle H^{\text{MF}}={\frac {Jm^{2}Nz}{2}}-\underbrace {(h+mJz)} _{h^{\text{eff.}}}\sum _{i}s_{i},}$

โดยที่คือเลขการประสานงานณ จุดนี้ แฮมิลโทเนียนของไอซิงได้ถูกแยกออกเป็นผลรวมของแฮมิลโทเนียนแบบหนึ่งตัวที่มีสนามเฉลี่ยที่มีประสิทธิภาพซึ่งเป็นผลรวมของสนามภายนอกและสนามเฉลี่ยที่เกิดจากสปินข้างเคียง เป็นที่น่าสังเกตว่าสนามเฉลี่ยนี้ขึ้นอยู่โดยตรงกับจำนวนเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุด และดังนั้นจึงขึ้นอยู่กับมิติของระบบ (ตัวอย่างเช่น สำหรับแลตทิซไฮเปอร์คิวบิกที่มีมิติ )${\displaystyle z}$${\displaystyle h^{\text{eff.}}=h+Jzm}$${\displaystyle h}$${\displaystyle d}$${\displaystyle z=2d}$

เมื่อแทนแฮมิลโทเนียนนี้ลงในฟังก์ชันพาร์ติชันและแก้ปัญหา 1 มิติที่มีประสิทธิภาพ เราจะได้

${\displaystyle Z=e^{-{\frac {\beta Jm^{2}Nz}{2}}}\left[2\cosh \left({\frac {h+mJz}{k_{\text{B}}T}}\right)\right]^{N},}$

โดยที่คือจำนวนไซต์ในโครงตาข่าย นี่คือสูตรที่สมบูรณ์และแม่นยำสำหรับฟังก์ชันการแบ่งส่วนของระบบ เราสามารถหาพลังงานอิสระของระบบและคำนวณเลขชี้กำลังวิกฤตได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราสามารถหาค่าสนามแม่เหล็กเป็นฟังก์ชันของได้ ${\displaystyle N}$${\displaystyle m}$${\displaystyle h^{\text{eff.}}}$

ดังนั้นเราจึงมีสมการสองสมการระหว่างและซึ่งช่วยให้เราสามารถกำหนดค่าเป็นฟังก์ชันของอุณหภูมิได้ ซึ่งนำไปสู่ข้อสังเกตดังต่อไปนี้: ${\displaystyle m}$${\displaystyle h^{\text{eff.}}}$${\displaystyle m}$

• สำหรับอุณหภูมิที่สูงกว่าค่าที่กำหนดทางออกเดียวคือระบบนี้เป็นพาราแมกเนติก${\displaystyle T_{\text{c}}}$${\displaystyle m=0}$
• สำหรับค่า จะมีสองคำตอบที่ไม่เป็นศูนย์: ระบบนี้เป็นเฟอร์โรแมกเนติก${\displaystyle T<T_{\text{c}}}$${\displaystyle m=\pm m_{0}}$

${\displaystyle T_{\text{c}}}$กำหนดโดยความสัมพันธ์ต่อไปนี้: . ${\displaystyle T_{\text{c}}={\frac {Jz}{k_{B}}}}$

สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่า MFT สามารถอธิบายการเปลี่ยนเฟสเฟอร์โรแมกเนติกได้

ในทำนองเดียวกัน MFT สามารถนำไปใช้กับแฮมิลโทเนียนประเภทอื่นได้ ดังเช่นในกรณีต่อไปนี้:

• เพื่อศึกษาการเปลี่ยนสถานะจากโลหะเป็นตัวนำยิ่งยวดในกรณีนี้ สิ่งที่เทียบได้กับสภาพแม่เหล็กคือช่องว่างของตัวนำยิ่งยวด${\displaystyle \Delta }$
• สนามโมเลกุลของผลึกเหลวที่เกิดขึ้นเมื่อค่าลาปลาเซียนของสนามทิศทางไม่เป็นศูนย์
• เพื่อกำหนดการ จัดเรียง หมู่ข้างเคียงของกรดอะมิโน ที่เหมาะสมที่สุด โดยกำหนดโครงสร้างหลักของโปรตีน ให้คงที่ ในการทำนายโครงสร้างโปรตีน (ดูSelf-consistent mean field (biology) )
• เพื่อกำหนดคุณสมบัติความยืดหยุ่นของวัสดุคอมโพสิต

การลดค่าความแปรปรวน เช่น ทฤษฎีสนามเฉลี่ย สามารถนำมาใช้ในการอนุมานทางสถิติ ได้เช่นกัน

ในทฤษฎีสนามเฉลี่ย สนามเฉลี่ยที่ปรากฏในปัญหาไซต์เดี่ยวจะเป็นปริมาณสเกลาร์หรือเวกเตอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลา อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่กรณีเสมอไป ในทฤษฎีสนามเฉลี่ยรูปแบบหนึ่งที่เรียกว่าทฤษฎีสนามเฉลี่ยเชิงพลวัต (DMFT) สนามเฉลี่ยจะกลายเป็นปริมาณที่ขึ้นกับเวลา ตัวอย่างเช่น DMFT สามารถนำไปใช้กับแบบจำลองฮับบาร์ดเพื่อศึกษาการเปลี่ยนผ่านจากโลหะเป็นฉนวนมอตต์ได้

• ทฤษฎีสนามเฉลี่ยพลวัต
• ทฤษฎีเกมสนามเฉลี่ย