แบบจำลองไอซิง (หรือแบบจำลองเลนซ์-ไอซิง ) ซึ่งตั้งชื่อตามนักฟิสิกส์เอิร์นส์ ไอซิงและวิลเฮล์ม เลนซ์เป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของเฟอร์โรแมกเนติซึมในกลศาสตร์เชิงสถิติแบบจำลองนี้ประกอบด้วยตัวแปรแบบไม่ต่อเนื่องที่แสดงถึงโมเมนต์ไดโพลแม่เหล็กของ "สปิน" ของอะตอมซึ่งสามารถอยู่ในสถานะใดสถานะหนึ่งจากสองสถานะ (+1 หรือ −1) สปินเหล่านี้ถูกจัดเรียงในกราฟโดยปกติ จะเป็น โครงตาข่าย (ซึ่งโครงสร้างเฉพาะที่ซ้ำกันเป็นระยะในทุกทิศทาง) ทำให้แต่ละสปินสามารถมีปฏิสัมพันธ์กับสปินข้างเคียงได้ สปินข้างเคียงที่สอดคล้องกันจะมีพลังงานต่ำกว่าสปินที่ไม่สอดคล้องกัน ระบบมีแนวโน้มที่จะมีพลังงานต่ำที่สุด แต่ความร้อนจะรบกวนแนวโน้มนี้ ทำให้เกิดความเป็นไปได้ของเฟสโครงสร้างที่แตกต่างกันแบบจำลองไอซิงแบบโครงตาข่ายสี่เหลี่ยม สองมิติ เป็นหนึ่งในแบบจำลองเชิงสถิติที่ง่ายที่สุดที่แสดงการเปลี่ยนเฟส^{[ 1 ]}แม้ว่าจะเป็นแบบจำลองวัสดุแม่เหล็กที่ง่ายมาก แต่แบบจำลอง Ising ก็ยังสามารถให้ผลลัพธ์เชิงคุณภาพและบางครั้งเชิงปริมาณที่ใช้ได้กับระบบทางกายภาพจริง และโดยทั่วไปแล้ว สามารถมองได้ว่าเป็นแบบจำลองเวกเตอร์n ของ Stanley สำหรับn = 1

แบบจำลอง Ising ถูกคิดค้นโดยนักฟิสิกส์Wilhelm Lenz  ( 1920 ) ซึ่งมอบเป็นโจทย์ให้นักศึกษาของเขา Ernst Ising แบบจำลอง Ising แบบหนึ่งมิติได้รับการแก้ไขโดยIsing (1925)เพียงผู้เดียวในวิทยานิพนธ์ปี 1924 ของเขา^{[ 2 ]}โดยไม่มีการเปลี่ยนเฟส แบบจำลอง Ising แบบตารางสี่เหลี่ยมสองมิตินั้นยากกว่ามาก และได้รับการอธิบายเชิงวิเคราะห์ในภายหลังโดยLars Onsager  ( 1944 ) โดยปกติจะแก้ไขโดยวิธีเมทริกซ์ถ่ายโอนแม้ว่าจะมีวิธีการที่ง่ายมากที่เชื่อมโยงแบบจำลองกับทฤษฎีสนามควอนตัม เฟอร์มิออนิ ก ที่ไม่เกิดปฏิสัมพันธ์ ^{[ 3 ]}

ในมิติที่มากกว่าสี่ การเปลี่ยนเฟสของแบบจำลอง Ising อธิบายได้ด้วยทฤษฎีสนามเฉลี่ย แบบจำลอง Ising สำหรับมิติที่มากกว่านั้นได้รับการสำรวจเพิ่มเติมโดยคำนึงถึงโครงสร้างต้นไม้แบบต่างๆ ในช่วงปลายทศวรรษ 1970 ซึ่งนำไปสู่การหาคำตอบที่แม่นยำของ แบบจำลอง Barth (1981) ที่ไม่มีสนามและไม่ขึ้นกับเวลา สำหรับต้นไม้ Cayley แบบปิดที่มีอัตราส่วนการแตกกิ่งแบบใดก็ได้ และด้วยเหตุนี้จึงมีมิติขนาดใหญ่มากภายในกิ่งของต้นไม้ คำตอบของแบบจำลองนี้แสดงให้เห็นพฤติกรรมการเปลี่ยนเฟสแบบใหม่ที่ผิดปกติ พร้อมกับความสัมพันธ์ระหว่างสปินระยะไกลและเพื่อนบ้านใกล้เคียงที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งถือว่ามีความเกี่ยวข้องกับเครือข่ายประสาทขนาดใหญ่ในฐานะหนึ่งในแอปพลิ เคชันที่เป็นไป ได้

ปัญหา Ising ที่ไม่มีสนามภายนอก สามารถกำหนดให้เทียบเท่าได้ในรูปของ ปัญหา การตัดสูงสุดของกราฟ (Max-Cut) ซึ่งสามารถแก้ไขได้โดยใช้การเพิ่มประสิทธิภาพเชิงการจัดเรียง

พิจารณาเซตของไซต์บนโครงตาข่าย แต่ละไซต์มีเซตของไซต์ที่อยู่ติดกัน (เช่นกราฟ ) ซึ่งก่อตัวเป็นโครงตาข่ายมิติ n สำหรับแต่ละไซต์บนโครงตาข่ายจะมีตัวแปรแบบไม่ต่อเนื่องโดยที่แทนค่าสปินของไซต์นั้นการกำหนดค่าสปินคือการกำหนดค่าสปินให้กับแต่ละไซต์บนโครงตาข่าย ${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle d}$${\displaystyle k\in \Lambda }$${\displaystyle \sigma _{k}}$${\displaystyle \sigma _{k}\in \{-1,+1\}}$${\displaystyle {\sigma }=\{\sigma _{k}\}_{k\in \Lambda }}$

สำหรับตำแหน่งสองตำแหน่งที่อยู่ติดกันจะมีการปฏิสัมพันธ์เกิดขึ้น นอกจากนี้ ตำแหน่งนั้นยังมีสนามแม่เหล็กภายนอกที่ทำปฏิกิริยากับมันด้วยพลังงานของการจัดเรียงตัวจะกำหนดโดยฟังก์ชันแฮมิลโทเนียน${\displaystyle i,j\in \Lambda }$${\displaystyle J_{ij}}$${\displaystyle j\in \Lambda }$${\displaystyle h_{j}}$${\displaystyle {\sigma }}$

$${\displaystyle H(\sigma )=-\sum _{\langle ij\rangle }J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}-\mu \sum _{j}h_{j}\sigma _{j},}$$

โดยผลรวมแรกจะอยู่เหนือคู่ของสปินที่อยู่ติดกัน (แต่ละคู่จะถูกนับเพียงครั้งเดียว) สัญลักษณ์นี้บ่งชี้ว่าไซต์และเป็นเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดโมเมนต์แม่เหล็กกำหนดโดยโปรดทราบว่าเครื่องหมายในเทอมที่สองของแฮมิลโทเนียนข้างต้นควรจะเป็นบวก เนื่องจากโมเมนต์แม่เหล็กของอิเล็กตรอนมีทิศทางตรงข้ามกับสปิน แต่โดยทั่วไปจะใช้เทอมลบ^{[ 4 ]}แฮมิลโทเนียนของไอซิงเป็นตัวอย่างของฟังก์ชันเสมือนบูลีนเครื่องมือจากการวิเคราะห์ฟังก์ชันบูลีนสามารถนำมาใช้เพื่ออธิบายและศึกษาได้ ${\displaystyle \langle ij\rangle }$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \mu }$

ความน่าจะเป็นของการจัดเรียงตัวนั้นกำหนดโดย การแจกแจงแบบโบลต์ซมันน์ที่มีอุณหภูมิผกผัน : ${\displaystyle \beta \geq 0}$

$${\displaystyle P_{\beta }(\sigma )={\frac {e^{-\beta H(\sigma )}}{Z_{\beta }}},}$$

โดยที่และค่าคงที่การทำให้เป็นมาตรฐาน ${\displaystyle \beta =1/(k_{\text{B}}T)}$

$${\displaystyle Z_{\beta }=\sum _{\sigma }e^{-\beta H(\sigma )}}$$

คือฟังก์ชันพาร์ติชันสำหรับฟังก์ชันของสปิน ("ตัวแปรที่สังเกตได้") จะใช้สัญลักษณ์ แทน ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \langle f\rangle _{\beta }=\sum _{\sigma }f(\sigma )P_{\beta }(\sigma )}$$

ค่าคาดหวัง (ค่าเฉลี่ย) ของ ${\displaystyle f}$

ความน่าจะเป็นของการกำหนดค่าแสดงถึงความน่าจะเป็นที่ (ในสภาวะสมดุล) ระบบจะอยู่ในสถานะที่มีการกำหนดค่าดังกล่าว ${\displaystyle P_{\beta }(\sigma )}$${\displaystyle \sigma }$

เครื่องหมายลบในแต่ละพจน์ของฟังก์ชันแฮมิลโทเนียนเป็นเพียงธรรมเนียมปฏิบัติ โดยใช้ธรรมเนียมเครื่องหมายนี้ โมเดลไอซิงสามารถจำแนกได้ตามเครื่องหมายของการปฏิสัมพันธ์: ถ้าสำหรับคู่i ,  j${\displaystyle H(\sigma )}$

ระบบจะเรียกว่าเฟอร์โรแมกเนติกหรือแอนติเฟอร์โรแมกเนติกก็ต่อเมื่อปฏิกิริยาทั้งหมดเป็นเฟอร์โรแมกเนติกหรือเป็นแอนติเฟอร์โรแมกเนติก แบบจำลองไอซิงดั้งเดิมเป็นเฟอร์โรแมกเนติก และยังคงมักเข้าใจกันว่า "แบบจำลองไอซิง" หมายถึงแบบจำลองไอซิงที่เป็นเฟอร์โรแมกเนติก

ในแบบจำลอง Ising แบบเฟอร์โรแมกเนติก สปินจะพยายามเรียงตัวกัน: การจัดเรียงที่สปินที่อยู่ติดกันมีเครื่องหมายเดียวกันจะมีโอกาสเกิดขึ้นสูงกว่า ในแบบจำลองแอนติเฟอร์โรแมกเนติก สปินที่อยู่ติดกันมักจะมีเครื่องหมายตรงข้ามกัน

หลักการกำหนดเครื่องหมายของH (σ) ยังอธิบายถึงวิธีการที่ไซต์สปินjมีปฏิสัมพันธ์กับสนามภายนอก กล่าวคือ ไซต์สปินต้องการเรียงตัวให้สอดคล้องกับสนามภายนอก ถ้า:

แบบจำลอง Ising มักถูกตรวจสอบโดยไม่มีสนามภายนอกมามีปฏิสัมพันธ์กับแลตทิซ นั่นคือh  = 0 สำหรับทุกjในแลตทิซ Λ โดยใช้การลดรูปนี้ แฮมิลโทเนียนจึงกลายเป็น

$${\displaystyle H(\sigma )=-\sum _{\langle i~j\rangle }J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}.}$$

เมื่อสนามภายนอกเป็นศูนย์ทุกที่h  = 0 แบบจำลอง Ising จะสมมาตรภายใต้การสลับค่าของสปินในทุกตำแหน่งของโครงตาข่าย แต่สนามที่ไม่เป็นศูนย์จะทำลายสมมาตรนี้

อีกหนึ่งการลดรูปที่นิยมใช้คือ การสมมติว่าเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดทั้งหมด ⟨ ij ⟩ มีความแรงปฏิสัมพันธ์เท่ากัน จากนั้นเราสามารถกำหนดJ _ij = Jสำหรับทุกคู่i ,  jใน Λ ในกรณีนี้ แฮมิลโทเนียนจะลดรูปลงไปอีกเป็น

$${\displaystyle H(\sigma )=-J\sum _{\langle i~j\rangle }\sigma _{i}\sigma _{j}.}$$

เซตย่อย S ของ เซต จุดยอด V(G) ของกราฟแบบไม่มีทิศทางที่มีน้ำหนัก G กำหนดการตัดของกราฟ G ออกเป็น S และ เซตย่อย ส่วนเติมเต็ม G\S ขนาดของการตัดคือผลรวมของน้ำหนักของขอบระหว่าง S และ G\S ขนาดของ การตัดสูงสุดต้องมีขนาดอย่างน้อยเท่ากับขนาดของการตัดอื่นๆ โดยที่ S เปลี่ยนแปลงได้

สำหรับแบบจำลอง Ising ที่ไม่มีสนามภายนอกบนกราฟ G นั้น Hamiltonian จะกลายเป็นผลรวมต่อไปนี้เหนือขอบของกราฟ E(G)

${\displaystyle H(\sigma )=-\sum _{ij\in E(G)}J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}}$.

ในที่นี้ จุดยอด i แต่ละจุดของกราฟคือไซต์สปินที่รับค่าสปินการกำหนดค่าสปินที่กำหนดจะแบ่งเซตของจุด ยอดออก เป็นสองเซตย่อยที่ขึ้นอยู่กับค่าสปิน คือเซตที่มีสปินขึ้นและเซตที่มีสปินลงเราใช้สัญลักษณ์ แทนเซตของขอบที่ขึ้นอยู่กับค่าสปิน ซึ่งเชื่อมต่อเซตย่อยของจุดยอดสองเซตที่เสริมกันและขนาดของการตัดเพื่อแบ่ง กราฟแบบไม่มีทิศทางที่มีน้ำหนัก G ออกเป็น สองส่วน สามารถกำหนดได้ดังนี้ ${\displaystyle \sigma _{i}=\pm 1}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle V(G)}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle V^{+}}$${\displaystyle V^{-}}$${\displaystyle \delta (V^{+})}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle V^{+}}$${\displaystyle V^{-}}$${\displaystyle \left|\delta (V^{+})\right|}$${\displaystyle \delta (V^{+})}$

$${\displaystyle \left|\delta (V^{+})\right|={\frac {1}{2}}\sum _{ij\in \delta (V^{+})}W_{ij},}$$

โดยที่แทนน้ำหนักของขอบและการปรับสเกล 1/2 นั้นใช้เพื่อชดเชยการนับน้ำหนักซ้ำซ้อน ${\displaystyle W_{ij}}$${\displaystyle ij}$${\displaystyle W_{ij}=W_{ji}}$

อัตลักษณ์

$${\displaystyle {\begin{aligned}H(\sigma )&=-\sum _{ij\in E(V^{+})}J_{ij}-\sum _{ij\in E(V^{-})}J_{ij}+\sum _{ij\in \delta (V^{+})}J_{ij}\\&=-\sum _{ij\in E(G)}J_{ij}+2\sum _{ij\in \delta (V^{+})}J_{ij},\end{aligned}}}$$

โดยที่ผลรวมทั้งหมดในเทอมแรกไม่ขึ้นอยู่กับหมายความว่าการลดค่าในเทียบเท่ากับการลดค่าการกำหนดน้ำหนักขอบจึงเปลี่ยนปัญหา Ising ที่ไม่มีฟิลด์ภายนอกให้กลายเป็นปัญหา Max-Cut ของกราฟ ^{[ 5 ]}ที่ทำให้ขนาดการตัด สูงสุดซึ่งเกี่ยวข้องกับแฮมิลโทเนียนของ Ising ดังต่อไปนี้ ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle H(\sigma )}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sum _{ij\in \delta (V^{+})}J_{ij}}$${\displaystyle W_{ij}=-J_{ij}}$${\displaystyle \left|\delta (V^{+})\right|}$

$${\displaystyle H(\sigma )=\sum _{ij\in E(G)}W_{ij}-4\left|\delta (V^{+})\right|.}$$

คำถามทางสถิติจำนวนมากที่ควรถามเกี่ยวกับแบบจำลองนี้ เกี่ยวข้องกับจำนวนการหมุนที่มากเป็นพิเศษ:

• ในการจัดเรียงแบบทั่วไป สปินส่วนใหญ่จะเป็น +1 หรือ −1 หรือกระจายอย่างเท่าๆ กัน?
• ถ้าค่าการหมุนที่ตำแหน่งi ใดๆ เท่ากับ 1 ความน่าจะเป็นที่ค่าการหมุนที่ตำแหน่งjจะเท่ากับ 1 คือเท่าใด
• ถ้าค่า βเปลี่ยนไป จะเกิดการเปลี่ยนสถานะหรือไม่?
• บนโครงตาข่าย Λ มิติแฟรกทัลของรูปร่างของกลุ่มสปิน +1 ขนาดใหญ่คืออะไร?

กรณีที่ได้รับการศึกษามากที่สุดของแบบจำลอง Ising คือแบบจำลองสนามศูนย์เฟอร์โรแมกเนติกที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามการเลื่อนบน แลตทิ ซมิติ d กล่าวคือ Λ =  Z ^d , J _ij  = 1, h  = 0

ในวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกปี 1924 ของเขา Ising ได้แก้แบบจำลองสำหรับ กรณี d  = 1 ซึ่งสามารถคิดได้ว่าเป็นโครงตาข่ายแนวนอนเชิงเส้นที่แต่ละไซต์มีปฏิสัมพันธ์กับเพื่อนบ้านด้านซ้ายและด้านขวาเท่านั้น ในมิติเดียว วิธีแก้ปัญหานี้ไม่มีการเปลี่ยนเฟส [ ^{6 ] กล่าว}คือ สำหรับ β บวกใดๆ ความสัมพันธ์ ⟨σ _i σ _j ⟩ จะลดลงแบบเอกซ์โปเนนเชียลใน | i  −  j |: $${\displaystyle \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{\beta }\leq C\exp \left(-c(\beta )|i-j|\right),}$$

และระบบก็เกิดความไม่เป็นระเบียบ จากผลลัพธ์นี้ เขาจึงสรุปอย่างผิดพลาดว่าแบบจำลองนี้ไม่แสดงพฤติกรรมเฟสในมิติใดๆ

แบบจำลอง Ising เกิดการเปลี่ยนสถานะระหว่างสถานะที่เป็นระเบียบและสถานะที่ไม่เป็นระเบียบใน 2 มิติขึ้นไป กล่าวคือ ระบบจะอยู่ในสถานะไม่เป็นระเบียบเมื่อค่า β มีขนาดเล็ก ในขณะที่เมื่อค่า β มีขนาดใหญ่ ระบบจะแสดงความเป็นระเบียบแบบเฟอร์โรแมกเนติก:

$${\displaystyle \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{\beta }\geq c(\beta )>0.}$$

สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์ครั้งแรกโดยRudolf Peierlsในปี พ.ศ. 2479 ^{[ 7 ]}โดยใช้สิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่า ข้อโต้แย้ง ของ Peierls

แบบจำลอง Ising บนโครงตาข่ายสี่เหลี่ยมสองมิติที่ไม่มีสนามแม่เหล็กได้รับการแก้ไขเชิงวิเคราะห์โดยLars Onsager  ( 1944 ) Onsager ได้รับฟังก์ชันสหสัมพันธ์และพลังงานอิสระของแบบจำลอง Ising และประกาศสูตรสำหรับสนามแม่เหล็กที่เกิดขึ้นเองสำหรับแบบจำลอง 2 มิติในปี 1949 แต่ไม่ได้ให้การพิสูจน์Yang (1952)ได้ให้การพิสูจน์สูตรนี้เป็นครั้งแรกที่ตีพิมพ์ โดยใช้สูตรลิมิตสำหรับดีเทอร์มิแนนต์ Fredholmซึ่งได้รับการพิสูจน์ในปี 1951 โดยSzegőเพื่อตอบสนองต่องานของ Onsager โดยตรง^{[ 8 ]}

มีการพิสูจน์ ความไม่เท่าเทียมกันของความสัมพันธ์จำนวนหนึ่งอย่างเข้มงวดสำหรับความสัมพันธ์ของสปินแบบไอซิง (สำหรับโครงสร้างแลตทิซทั่วไป) ซึ่งช่วยให้นักคณิตศาสตร์สามารถศึกษาแบบจำลองไอซิงได้ทั้งในและนอกสภาวะวิกฤต

สำหรับเซตย่อยใดๆ ของสปินและบนแลตทิซ อสมการต่อไปนี้จะเป็นจริง ${\displaystyle \sigma _{A}}$${\displaystyle \sigma _{B}}$

$${\displaystyle \langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle \geq \langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle ,}$$

ที่ไหน. ${\displaystyle \langle \sigma _{A}\rangle =\langle \prod _{j\in A}\sigma _{j}\rangle }$

ด้วยเหตุนี้ จึง เกิดผลลัพธ์ ในกรณีพิเศษ${\displaystyle B=\emptyset }$${\displaystyle \langle \sigma _{A}\rangle \geq 0}$

นี่หมายความว่าสปินมีความสัมพันธ์เชิงบวกในเฟอร์โรแมกเนตแบบไอซิง การประยุกต์ใช้โดยตรงของสิ่งนี้คือ ค่าการแม่เหล็กของชุดสปินใดๆจะเพิ่มขึ้นตามชุดค่าคงที่การเชื่อมต่อใดๆ ${\displaystyle \langle \sigma _{A}\rangle }$${\displaystyle J_{B}}$

อสมการ Simon-Lieb ^{[ 9 ]}ระบุว่าสำหรับเซตใดๆที่แยกออกจาก(เช่น ขอบของกล่องที่มีอยู่ภายในกล่องและอยู่ภายนอก) ${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

$${\displaystyle \langle \sigma _{x}\sigma _{y}\rangle \leq \sum _{z\in S}\langle \sigma _{x}\sigma _{z}\rangle \langle \sigma _{z}\sigma _{y}\rangle .}$$

ความไม่เท่าเทียมกันนี้สามารถใช้เพื่อกำหนดความคมชัดของการเปลี่ยนเฟสสำหรับแบบจำลอง Ising ได้^{[ 10 ]}

ความไม่เท่าเทียมกันนี้ได้รับการพิสูจน์ครั้งแรกสำหรับแบบจำลองการซึมผ่านที่มีความสัมพันธ์เชิงบวก ประเภทหนึ่ง ซึ่งรวมถึงการแสดงแบบจำลอง Ising ด้วย ใช้เพื่อกำหนดอุณหภูมิวิกฤตของแบบจำลอง Potts แบบ ระนาบ โดยใช้การโต้แย้งการซึมผ่าน (ซึ่งรวมถึงแบบจำลอง Ising เป็นกรณีพิเศษ) ^{[ 11 ]}

ในขณะที่กฎของพันธะเคมีทำให้เหล่านักเคมีในศตวรรษที่สิบเก้าเข้าใจอย่างชัดเจนว่าอะตอมมีอยู่จริง แต่ในหมู่นักฟิสิกส์ การถกเถียงยังคงดำเนินต่อไปจนถึงต้นศตวรรษที่ยี่สิบ นักอะตอมนิยม โดยเฉพาะอย่างยิ่งเจมส์ คลาร์ก แม็กซ์เวลล์และลุดวิก โบลต์ซมันน์ได้นำสูตรของแฮมิลตันที่ดัดแปลงมาจากกฎของนิวตันไปใช้กับระบบขนาดใหญ่ และพบว่าพฤติกรรมทางสถิติของอะตอมสามารถอธิบายก๊าซที่อุณหภูมิห้องได้อย่างถูกต้อง แต่กลศาสตร์สถิติแบบคลาสสิกไม่สามารถอธิบายคุณสมบัติทั้งหมดของของเหลวและของแข็ง รวมถึงก๊าซที่อุณหภูมิต่ำได้

เมื่อกลศาสตร์ควอนตัม สมัยใหม่ ได้รับการวางรากฐานแล้ว ทฤษฎีอะตอมก็ไม่ขัดแย้งกับการทดลองอีกต่อไป แต่สิ่งนี้ไม่ได้นำไปสู่การยอมรับอย่างเป็นสากลของกลศาสตร์เชิงสถิติ ซึ่งก้าวไปไกลกว่าทฤษฎีอะตอม โจไซอาห์ วิลลาร์ด กิบบ์สได้ให้รูปแบบที่สมบูรณ์แบบเพื่อสร้างกฎของอุณหพลศาสตร์ขึ้นใหม่จากกฎของกลศาสตร์ แต่ข้อโต้แย้งที่ผิดพลาดมากมายยังคงหลงเหลืออยู่จากศตวรรษที่ 19 เมื่อกลศาสตร์เชิงสถิติถูกมองว่าน่าสงสัย ความบกพร่องในสัญชาตญาณส่วนใหญ่เกิดจากข้อเท็จจริงที่ว่าขีดจำกัดของระบบสถิติอนันต์มีกฎศูนย์-หนึ่ง มากมาย ซึ่งไม่มีอยู่ในระบบจำกัด: การเปลี่ยนแปลงเพียงเล็กน้อยในพารามิเตอร์สามารถนำไปสู่ความแตกต่างอย่างมากในพฤติกรรมโดยรวม

ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 บางคนเชื่อว่าฟังก์ชันการแบ่งส่วนไม่สามารถอธิบายการเปลี่ยนสถานะได้ โดยอ้างอิงจากเหตุผลดังต่อไปนี้:

1. ฟังก์ชันการแบ่งส่วนคือผลรวมของe ^{−β E}เหนือการกำหนดค่าทั้งหมด
2. ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ ของ β ทุกที่
3. ผลรวมของฟังก์ชันวิเคราะห์คือฟังก์ชันวิเคราะห์

ข้อโต้แย้งนี้ใช้ได้กับผลรวมจำกัดของเลขชี้กำลัง และพิสูจน์ได้อย่างถูกต้องว่าไม่มีจุดเอกฐานในพลังงานอิสระของระบบที่มีขนาดจำกัด สำหรับระบบที่อยู่ในขีดจำกัดทางเทอร์โมไดนามิก (นั่นคือ ระบบอนันต์) ผลรวมอนันต์อาจนำไปสู่จุดเอกฐานได้ การลู่เข้าสู่ขีดจำกัดทางเทอร์โมไดนามิกนั้นรวดเร็ว ดังนั้นพฤติกรรมของเฟสจึงปรากฏให้เห็นได้ชัดเจนแล้วบนโครงข่ายที่มีขนาดค่อนข้างเล็ก แม้ว่าจุดเอกฐานจะถูกทำให้เรียบลงด้วยขนาดที่จำกัดของระบบก็ตาม

แนวคิดนี้ได้รับการวางรากฐานครั้งแรกโดยRudolf Peierlsในแบบจำลอง Ising

หลังจากที่ Lenz และ Ising สร้างแบบจำลอง Ising ได้ไม่นาน Peierls ก็สามารถแสดงให้เห็นได้อย่างชัดเจนว่าการเปลี่ยนสถานะเกิดขึ้นในสองมิติ

เพื่อทำเช่นนี้ เขาจึงเปรียบเทียบขีดจำกัดอุณหภูมิสูงและอุณหภูมิต่ำ ที่อุณหภูมิอนันต์ (β = 0) การจัดเรียงทั้งหมดจะมีโอกาสเท่ากัน การหมุนแต่ละครั้งเป็นอิสระจากกันอย่างสมบูรณ์ และหากนำการจัดเรียงทั่วไปที่อุณหภูมิอนันต์มาพล็อตโดยให้ค่าบวก/ลบแทนด้วยสีดำและสีขาว จะดูเหมือนสัญญาณรบกวนบนหน้าจอโทรทัศน์สำหรับอุณหภูมิสูง แต่ไม่ถึงอุณหภูมิอนันต์ จะมีความสัมพันธ์เล็กน้อยระหว่างตำแหน่งที่อยู่ใกล้เคียงกัน สัญญาณรบกวนมีแนวโน้มที่จะจับกลุ่มกันเล็กน้อย แต่หน้าจอยังคงดูสุ่ม และไม่มีสีดำหรือสีขาวมากเกินไป

การวัดปริมาณส่วนเกินนั้นคือค่าการแม่เหล็กซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยของสปิน:

$${\displaystyle M={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}.}$$

ข้อโต้แย้งที่ผิดพลาดซึ่งคล้ายคลึงกับข้อโต้แย้งในส่วนที่แล้ว ได้แสดงให้เห็นว่า ค่า เฉลี่ยของสนามแม่เหล็กในแบบจำลอง Ising นั้นเป็นศูนย์เสมอ

1. การจัดเรียงสปินทุกแบบจะมีพลังงานเท่ากับการจัดเรียงสปินที่สลับทิศทางทั้งหมด
2. ดังนั้นสำหรับทุกการจัดเรียงที่มีค่าการเหนี่ยวนำแม่เหล็กMจะมี1การจัดเรียงที่มีค่าการเหนี่ยวนำแม่เหล็ก −M ด้วยความน่าจะเป็นเท่ากัน
3. ดังนั้น ระบบควรใช้เวลาในสถานะที่มีสนามแม่เหล็กM เท่ากับ เวลา ที่ อยู่ในสถานะที่มีสนามแม่เหล็ก − M
4. ดังนั้นค่าเฉลี่ยของสนามแม่เหล็ก (ตลอดช่วงเวลาทั้งหมด) จึงเป็นศูนย์

เช่นเดียวกับที่กล่าวมาแล้ว สิ่งนี้พิสูจน์ได้เพียงว่าค่าเฉลี่ยของสนามแม่เหล็กเป็นศูนย์ที่ปริมาตรจำกัดใดๆ สำหรับระบบอนันต์ ความผันผวนอาจไม่สามารถผลักดันระบบจากสถานะบวกเป็นส่วนใหญ่ไปสู่สถานะลบเป็นส่วนใหญ่ด้วยความน่าจะเป็นที่ไม่เป็นศูนย์ได้

สำหรับอุณหภูมิที่สูงมาก ค่าการเหนี่ยวนำแม่เหล็กจะเป็นศูนย์ เช่นเดียวกับที่อุณหภูมิอนันต์ เพื่อให้เห็นภาพนี้ ลองสังเกตว่า ถ้าสปิน A มีความสัมพันธ์เพียงเล็กน้อย ε กับสปิน B และ B มีความสัมพันธ์กับ C เพียงเล็กน้อย แต่ C เป็นอิสระจาก A ในด้านอื่นๆ ปริมาณความสัมพันธ์ระหว่าง A และ C จะเป็นไปตาม ε² ^{สำหรับ}สปินสองตัวที่อยู่ห่างกันเป็นระยะLปริมาณความสัมพันธ์จะเป็นไปตาม ε/ ^Lแต่ถ้ามีเส้นทางมากกว่าหนึ่งเส้นทางที่ความสัมพันธ์สามารถเดินทางได้ ปริมาณนี้จะเพิ่มขึ้นตามจำนวนเส้นทาง

จำนวนเส้นทางที่มีความยาวLบนโครงตาข่ายสี่เหลี่ยมจัตุรัสใน มิติ dคือ เนื่องจากมี 2 dตัวเลือกสำหรับตำแหน่งที่จะไปในแต่ละขั้น $${\displaystyle N(L)=(2d)^{L},}$$

ขอบเขตของค่าสหสัมพันธ์โดยรวมนั้นกำหนดโดยส่วนประกอบของค่าสหสัมพันธ์ที่ได้จากการรวมเส้นทางทั้งหมดที่เชื่อมโยงจุดสองจุด ซึ่งมีค่าสูงสุดโดยผลรวมของเส้นทางทั้งหมดที่มีความยาวLหารด้วย ซึ่งจะมีค่าเป็นศูนย์เมื่อ ε มีค่าเล็ก $${\displaystyle \sum _{L}(2d)^{L}\varepsilon ^{L},}$$

ที่อุณหภูมิต่ำ (β ≫ 1) การจัดเรียงตัวจะอยู่ใกล้กับการจัดเรียงตัวที่มีพลังงานต่ำที่สุด ซึ่งก็คือการจัดเรียงตัวที่สปินทั้งหมดเป็นบวกหรือสปินทั้งหมดเป็นลบ เพียร์ลส์ตั้งคำถามว่า เป็นไปได้ทางสถิติหรือไม่ที่อุณหภูมิต่ำ โดยเริ่มต้นจากสปินทั้งหมดเป็นลบ ที่จะผันผวนไปสู่สถานะที่สปินส่วนใหญ่เป็นบวก เพื่อให้สิ่งนี้เกิดขึ้นได้ หยดของสปินบวกจะต้องสามารถรวมตัวกันเพื่อสร้างสถานะบวกได้

พลังงานของหยดที่มีสปินบวกในพื้นหลังลบเป็นสัดส่วนกับเส้นรอบวงของหยด L โดยที่สปินบวกและสปินลบอยู่ติดกัน สำหรับหยดที่มีเส้นรอบวงLพื้นที่อยู่ระหว่าง ( L  − 2)/2 (เส้นตรง) และ ( L /4) ^² (กล่องสี่เหลี่ยม) ต้นทุนความน่าจะเป็นสำหรับการนำหยดเข้ามามีปัจจัยe ^−βLแต่ปัจจัยนี้มีส่วนช่วยในฟังก์ชันการแบ่งส่วนคูณด้วยจำนวนหยดทั้งหมดที่มีเส้นรอบวง^Lซึ่งน้อยกว่าจำนวนเส้นทางทั้งหมดที่มีความยาวLดังนั้น การมีส่วนร่วมของสปินทั้งหมดจากหยด แม้จะนับเกินโดยอนุญาต ให้ แต่ละไซต์มีหยดแยกกัน ก็ยังมีขอบเขตบนโดย $${\displaystyle N(L)<4^{2L}.}$$$${\displaystyle \sum _{L}L^{2}4^{2L}e^{-4\beta L},}$$

ซึ่งจะลดลงเหลือศูนย์เมื่อค่า β มีขนาดใหญ่ สำหรับค่า β ที่มากพอ การเปลี่ยนแปลงนี้จะยับยั้งการเกิดลูปยาวๆ ในลักษณะเลขชี้กำลัง ทำให้ลูปเหล่านั้นไม่สามารถเกิดขึ้นได้ และค่าการแม่เหล็กจะไม่ผันผวนห่างจาก −1 มากนัก

ดังนั้น Peierls จึงสรุปได้ว่า การทำให้เป็นแม่เหล็กในแบบจำลอง Ising นั้น ในที่สุดจะกำหนดขอบเขตการเลือกขั้นสูงซึ่งเป็นโดเมนที่แยกจากกันและไม่เชื่อมโยงกันด้วยความผันผวนที่จำกัด

คราเมอร์สและแวนเนียร์สามารถแสดงให้เห็นว่าการขยายตัวที่อุณหภูมิสูงและการขยายตัวที่อุณหภูมิต่ำของแบบจำลองนั้นเท่ากันจนถึงการปรับขนาดโดยรวมของพลังงานอิสระ ซึ่งทำให้สามารถกำหนดจุดเปลี่ยนเฟสในแบบจำลองสองมิติได้อย่างแม่นยำ (ภายใต้สมมติฐานว่ามีจุดวิกฤตเพียงจุดเดียว)

หลังจากวิธีแก้ปัญหาของ Onsager แล้ว Yang และ Lee ได้ตรวจสอบวิธีที่ฟังก์ชันการแบ่งส่วนกลายเป็นค่าเอกฐานเมื่ออุณหภูมิเข้าใกล้อุณหภูมิวิกฤต

แรงบันดาลใจดั้งเดิมของแบบจำลองนี้มาจากปรากฏการณ์เฟอร์โรแมกเนติซึมเหล็กเป็นวัสดุแม่เหล็ก เมื่อถูกทำให้เป็นแม่เหล็กแล้ว มันจะคงสภาพเป็นแม่เหล็กอยู่นานมากเมื่อเทียบกับช่วงเวลาของอะตอม

ในศตวรรษที่ 19 มีความคิดว่าสนามแม่เหล็กเกิดจากกระแสไฟฟ้าในสสาร และแอมแปร์ได้ตั้งสมมติฐานว่าแม่เหล็กถาวรเกิดจากกระแสอะตอมถาวร อย่างไรก็ตาม การเคลื่อนที่ของอนุภาคที่มีประจุแบบคลาสสิกไม่สามารถอธิบายกระแสถาวรได้ ดังที่ลาร์มอร์ ได้แสดงให้เห็นแล้ว เพื่อให้เกิดภาวะเฟอร์โรแมกเนติซึม อะตอมจะต้องมีโมเมนต์แม่เหล็ก ถาวร ซึ่งไม่ได้เกิดจากการเคลื่อนที่ของประจุแบบคลาสสิก

เมื่อมีการค้นพบการหมุนของอิเล็กตรอนแล้ว ก็เป็นที่ชัดเจนว่าสนามแม่เหล็กน่าจะเกิดจากการหมุนของอิเล็กตรอนจำนวนมากที่เรียงตัวไปในทิศทางเดียวกัน จึงเกิดคำถามขึ้นว่า การหมุนของอิเล็กตรอนเหล่านั้นรู้ได้อย่างไรว่าควรชี้ไปในทิศทางใด เพราะอิเล็กตรอนที่อยู่ด้านหนึ่งของแม่เหล็กไม่ได้มีปฏิสัมพันธ์โดยตรงกับอิเล็กตรอนที่อยู่อีกด้านหนึ่ง พวกมันสามารถส่งผลกระทบต่ออิเล็กตรอนข้างเคียงเท่านั้น แบบจำลองของไอซิงถูกออกแบบมาเพื่อตรวจสอบว่าการหมุนของอิเล็กตรอนจำนวนมากสามารถเรียงตัวไปในทิศทางเดียวกันได้หรือไม่ โดยใช้เพียงแรงเฉพาะที่เท่านั้น

แบบจำลองไอซิงสามารถตีความใหม่ได้ว่าเป็นแบบจำลองทางสถิติสำหรับการเคลื่อนที่ของอะตอม เนื่องจากพลังงานจลน์ขึ้นอยู่กับโมเมนตัมเท่านั้น ไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่ง ในขณะที่สถิติของตำแหน่งขึ้นอยู่กับพลังงานศักย์เท่านั้น ดังนั้นอุณหพลศาสตร์ของแก๊สจึงขึ้นอยู่กับพลังงานศักย์สำหรับแต่ละการจัดเรียงตัวของอะตอมเท่านั้น

แบบจำลองอย่างง่ายคือการทำให้ปริภูมิเวลาเป็นโครงตาข่าย และจินตนาการว่าแต่ละตำแหน่งจะมีอะตอมอยู่หรือไม่ก็ได้ ปริภูมิของการจัดเรียงตัวคือปริภูมิของบิตอิสระB _iโดยที่แต่ละบิตจะเป็น 0 หรือ 1 ขึ้นอยู่กับว่าตำแหน่งนั้นถูกครอบครองหรือไม่ ปฏิสัมพันธ์แบบดึงดูดจะลดพลังงานของอะตอมสองอะตอมที่อยู่ใกล้กัน หากการดึงดูดเกิดขึ้นเฉพาะระหว่างเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุด พลังงานจะลดลง −4 JB _i B _jสำหรับแต่ละคู่เพื่อนบ้านที่ถูกครอบครอง

ความหนาแน่นของอะตอมสามารถควบคุมได้โดยการเพิ่มศักยภาพทางเคมีซึ่งเป็นต้นทุนความน่าจะเป็นแบบทวีคูณสำหรับการเพิ่มอะตอมอีกหนึ่งอะตอม ปัจจัยการคูณในความน่าจะเป็นสามารถตีความใหม่ได้ว่าเป็นพจน์บวกในลอการิทึม – พลังงาน พลังงานส่วนเกินของการจัดเรียงที่มี อะตอม Nตัวจะเปลี่ยนแปลงไปเป็นμNต้นทุนความน่าจะเป็นของอะตอมอีกหนึ่งอะตอมคือปัจจัย exp(− βμ )

ดังนั้นพลังงานของก๊าซในโครงตาข่ายคือ: $${\displaystyle E=-{\frac {1}{2}}\sum _{\langle i,j\rangle }4JB_{i}B_{j}+\sum _{i}\mu B_{i}.}$$

การเขียนบิตใหม่ในรูปของการหมุน${\displaystyle B_{i}=(S_{i}+1)/2.}$$${\displaystyle E=-{\frac {1}{2}}\sum _{\langle i,j\rangle }JS_{i}S_{j}-{\frac {1}{2}}\sum _{i}(4J-\mu )S_{i}.}$$

สำหรับโครงสร้างตาข่ายที่แต่ละไซต์มีจำนวนเพื่อนบ้านเท่ากัน นี่คือแบบจำลอง Ising ที่มีสนามแม่เหล็กh = ( zJ  −  μ )/2 โดยที่zคือจำนวนเพื่อนบ้าน

ในระบบชีวภาพ มีการใช้แบบจำลองก๊าซแลตติสแบบดัดแปลงเพื่อทำความเข้าใจพฤติกรรมการจับยึดที่หลากหลาย ซึ่งรวมถึงการจับยึดของลิแกนด์กับตัวรับบนพื้นผิวเซลล์^{[ 12 ]}การจับยึดของ โปรตีน เคโมแท็กซิสกับมอเตอร์แฟลเจลลัม^{[ 13 ]}และการควบแน่นของ DNA ^{[ 14 ]}

กิจกรรมของเซลล์ประสาทในสมองสามารถจำลองได้ทางสถิติ เซลล์ประสาทแต่ละเซลล์จะอยู่ในสถานะใดสถานะหนึ่งระหว่างทำงาน (+) หรือไม่ทำงาน (−) ในแต่ละช่วงเวลา เซลล์ประสาทที่ทำงานอยู่คือเซลล์ที่ส่งสัญญาณไฟฟ้าลงไปตามแอกซอนในช่วงเวลาใดเวลาหนึ่ง และเซลล์ประสาทที่ไม่ทำงานคือเซลล์ที่ไม่ส่งสัญญาณไฟฟ้า

ตามแนวทางทั่วไปของ Jaynes ^{[ 15 ] [ 16 ]}การตีความในภายหลังของ Schneidman, Berry, Segev และ Bialek ^{[ 17 ]} คือแบบจำลอง Ising มีประโยชน์สำหรับแบบจำลองการทำงานของระบบประสาทใดๆ เนื่องจากแบบจำลองทางสถิติสำหรับกิจกรรมของระบบประสาทควรได้รับการเลือกโดยใช้หลักการของเอนโทรปีสูงสุดแบบจำลองทางสถิติที่สามารถสร้างอัตราการยิงเฉลี่ยของแต่ละเซลล์ประสาทได้นั้น จะแนะนำตัวคูณลากรางจ์สำหรับแต่ละเซลล์ประสาท: แต่กิจกรรมของแต่ละเซลล์ประสาทในแบบจำลองนี้เป็นอิสระทางสถิติ เพื่อให้สามารถพิจารณาความสัมพันธ์แบบคู่ เมื่อเซลล์ประสาทหนึ่งมีแนวโน้มที่จะยิง (หรือไม่ยิง) พร้อมกับเซลล์ประสาทอื่น ให้แนะนำตัวคูณลากรางจ์แบบคู่: โดยที่ไม่จำกัดเฉพาะเซลล์ประสาทข้างเคียง โปรดทราบว่าการวางนัยทั่วไปของแบบจำลอง Ising นี้บางครั้งเรียกว่าการแจกแจงแบบไบนารีเลขชี้กำลังกำลังสองในทางสถิติ ฟังก์ชันพลังงานนี้จะแนะนำเฉพาะอคติความน่าจะเป็นสำหรับสปินที่มีค่า และสำหรับคู่ของสปินที่มีค่าเดียวกัน ความสัมพันธ์ลำดับสูงกว่านั้นไม่ถูกจำกัดด้วยตัวคูณ รูปแบบกิจกรรมที่สุ่มมาจาก1การแจกแจงนี้ต้องการจำนวนบิตมากที่สุดในการจัดเก็บในคอมพิวเตอร์ ในรูปแบบการเข้ารหัสที่มีประสิทธิภาพที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ เมื่อเทียบกับการแจกแจงอื่นๆ ที่มีกิจกรรมเฉลี่ยและความสัมพันธ์แบบคู่เท่ากัน ซึ่งหมายความว่าแบบจำลอง Ising มีความเกี่ยวข้องกับระบบใดๆ ที่อธิบายด้วยบิตที่สุ่มมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ โดยมีข้อจำกัดเกี่ยวกับความสัมพันธ์แบบคู่และจำนวนเฉลี่ยของเลข 1 ซึ่งมักเกิดขึ้นทั้งในวิทยาศาสตร์กายภาพและสังคม $${\displaystyle E=-\sum _{i}h_{i}S_{i}}$$$${\displaystyle E=-{\tfrac {1}{2}}\sum _{ij}J_{ij}S_{i}S_{j}-\sum _{i}h_{i}S_{i}}$$${\displaystyle J_{ij}}$

ด้วยแบบจำลอง Ising สิ่งที่เรียกว่าspin glassesสามารถอธิบายได้ด้วย Hamiltonian ทั่วไปโดยที่ ตัวแปร Sอธิบายสปิน Ising ในขณะที่J _i,kมาจากการกระจายแบบสุ่ม สำหรับ spin glasses การกระจายแบบทั่วไปจะเลือกพันธะแอนติเฟอร์โรแมกเนติกด้วยความน่าจะเป็นpและพันธะเฟอร์โรแมกเนติกด้วยความน่าจะเป็น 1 −  p (เรียกอีกอย่างว่าแบบจำลอง Ising พันธะสุ่ม) พันธะเหล่านี้จะคงที่หรือ "ดับ" แม้จะมีการผันผวนทางความร้อน เมื่อp  = 0 เราจะได้แบบจำลอง Ising ดั้งเดิม ระบบนี้สมควรได้รับความสนใจในตัวของมันเอง โดยเฉพาะอย่างยิ่งระบบหนึ่งมีคุณสมบัติ "ไม่เป็นเออร์โกดิก" ซึ่งนำไปสู่พฤติกรรมการผ่อนคลายที่แปลกประหลาด แบบจำลอง Ising พันธะและไซต์เจือจางที่เกี่ยวข้องก็ได้รับความสนใจอย่างมากเช่นกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งในสองมิติ ซึ่งนำไปสู่พฤติกรรมวิกฤตที่น่าสนใจ^{[ 18 ]}${\textstyle H=-{\frac {1}{2}}\,\sum J_{i,k}\,S_{i}\,S_{k},}$

แบบจำลอง Ising มีบทบาทสำคัญในการพัฒนาเครือข่าย Hopfieldแบบจำลอง Ising ดั้งเดิมเป็นแบบจำลองสำหรับสมดุลRoy J. Glauberในปี 1963 ได้ศึกษาแบบจำลอง Ising ที่วิวัฒนาการไปตามเวลา ในฐานะกระบวนการสู่สมดุลทางความร้อน ( พลวัตของ Glauber ) โดยเพิ่มองค์ประกอบของเวลาเข้าไป^{[ 19 ]} (Kaoru Nakano, 1971) ^{[ 20 ] [ 21 ]}และ ( Shun'ichi Amari , 1972) ^{[ 22 ]}เสนอให้ปรับเปลี่ยนน้ำหนักของแบบจำลอง Ising โดยใช้ กฎ การเรียนรู้แบบ Hebbianเป็นแบบจำลองของหน่วยความจำแบบเชื่อมโยง แนวคิดเดียวกันนี้ได้รับการตีพิมพ์โดย ( William A. Little , 1974) ^{[ 23 ]}ซึ่ง Hopfield ได้อ้างถึงในบทความของเขาในปี 1982

แบบจำลอง Sherrington –Kirkpatrickของสปินกลาสที่ตีพิมพ์ในปี 1975 ^{[ 24 ]}คือเครือข่าย Hopfield ที่มีการเริ่มต้นแบบสุ่ม Sherrington และ Kirkpatrick พบว่ามีความเป็นไปได้สูงที่ฟังก์ชันพลังงานของแบบจำลอง SK จะมีค่าต่ำสุดเฉพาะที่จำนวนมาก ในบทความปี 1982 Hopfield ได้นำทฤษฎีที่พัฒนาขึ้นใหม่นี้มาใช้เพื่อศึกษาเครือข่าย Hopfield ที่มีฟังก์ชันการกระตุ้นแบบไบนารี^{[ 25 ]}ในบทความปี 1984 เขาได้ขยายสิ่งนี้ไปสู่ฟังก์ชันการกระตุ้นแบบต่อเนื่อง^{[ 26 ]}ซึ่งกลายเป็นแบบจำลองมาตรฐานสำหรับการศึกษาเครือข่ายประสาทผ่านกลศาสตร์สถิติ^{[ 27 ] [ 28 ]}

บ่อละลายสามารถจำลองได้ด้วยแบบจำลอง Ising; ข้อมูลภูมิประเทศน้ำแข็งทะเลมีผลอย่างมากต่อผลลัพธ์ ตัวแปรสถานะเป็นแบบไบนารีสำหรับการประมาณค่า 2 มิติแบบง่าย ซึ่งอาจเป็นน้ำหรือน้ำแข็ง^{[ 29 ]}

เพื่อตรวจสอบแบบจำลอง Ising ที่อาจมีความเกี่ยวข้องกับโครงข่ายประสาทขนาดใหญ่ (เช่น มีปฏิสัมพันธ์ต่อโหนดจำนวนมาก) ตามคำแนะนำของ Krizan ในปี 1979 Barth (1981)ได้สูตรวิเคราะห์ที่แม่นยำสำหรับพลังงานอิสระของแบบจำลอง Ising บนต้นไม้ Cayley ปิด (ที่มีอัตราส่วนการแตกแขนงขนาดใหญ่ตามอำเภอใจ) สำหรับสนามแม่เหล็กภายนอกเป็นศูนย์ (ในขีดจำกัดทางเทอร์โมไดนามิก) โดยการประยุกต์ใช้วิธีการของGlasser (1970)และJellito (1979)${\displaystyle 10^{4}}$${\displaystyle 10^{5}}$

$${\displaystyle -\beta f=\ln 2+{\frac {2\gamma }{(\gamma +1)}}\ln(\cosh J)+{\frac {\gamma (\gamma -1)}{(\gamma +1)}}\sum _{i=2}^{z}{\frac {1}{\gamma ^{i}}}\ln J_{i}(\tau )}$$

โดยที่เป็นอัตราส่วนการแตกกิ่งแบบสุ่ม (มากกว่าหรือเท่ากับ 2) , , , (โดยที่แทนพลังงานปฏิสัมพันธ์ระหว่างเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุด) และมี k (→ ∞ ในขีดจำกัดทางเทอร์โมไดนามิก) รุ่นในแต่ละกิ่งของต้นไม้ (ก่อตัวเป็นโครงสร้างต้นไม้ปิดดังแสดงในแผนภาพต้นไม้ Cayley ปิดที่กำหนด) ผลรวมในพจน์สุดท้ายสามารถแสดงให้เห็นว่าลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอและรวดเร็ว (เช่น สำหรับ z → ∞ มันยังคงมีค่าจำกัด) ทำให้ได้ฟังก์ชันต่อเนื่องและโมโนโทน ซึ่งแสดงให้เห็นว่า สำหรับค่ามากกว่าหรือเท่ากับ 2 พลังงานอิสระเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องของอุณหภูมิ T การวิเคราะห์เพิ่มเติมเกี่ยวกับพลังงานอิสระบ่งชี้ว่ามันแสดงอนุพันธ์อันดับแรกที่ไม่ต่อเนื่องอย่างผิดปกติที่อุณหภูมิวิกฤต ( Krizan, Barth & Glasser (1983) , Glasser & Goldberg (1983) ) ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle t\equiv \tanh J}$${\displaystyle \tau \equiv t^{2}}$${\displaystyle J\equiv \beta \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \gamma }$

พบว่าความสัมพันธ์แบบสปิน-สปินระหว่างไซต์ (โดยทั่วไปคือ m และ n) บนต้นไม้มีจุดเปลี่ยนผ่านเมื่อพิจารณาที่จุดยอด (เช่น A และ Ā ซึ่งเป็นภาพสะท้อน) ไซต์ข้างเคียงที่เกี่ยวข้อง (เช่น B และภาพสะท้อน) และระหว่างไซต์ที่อยู่ติดกับจุดยอดสุดขั้วบนและล่างของต้นไม้ทั้งสอง (เช่น A และ B) ซึ่งสามารถกำหนดได้จาก โดยที่เท่ากับจำนวนพันธะคือจำนวนกราฟที่นับสำหรับจุดยอดคี่ที่มีไซต์กลางเป็นเลขคู่ (ดูวิธีการและเอกสารอ้างอิงที่อ้างถึงสำหรับการคำนวณโดยละเอียด) คือความหลากหลายที่เกิดจากความเป็นไปได้ของสปินสองค่า และฟังก์ชันพาร์ติชันได้มาจาก(หมายเหตุ: สอดคล้องกับเอกสารอ้างอิงในส่วนนี้และเทียบเท่ากับหรือใช้ข้างต้นและในส่วนก่อนหน้า มีค่าเท่ากับ) อุณหภูมิวิกฤตกำหนดโดย $${\displaystyle \langle s_{m}s_{n}\rangle ={Z_{N}}^{-1}(0,T)[\cosh J]^{N_{b}}2^{N}\sum _{l=1}^{z}g_{mn}(l)t^{l}}$$${\displaystyle N_{b}}$${\displaystyle g_{mn}(l)t^{l}}$${\displaystyle 2^{N}}$${\displaystyle {Z_{N}}}$${\displaystyle \sum _{\{s\}}e^{-\beta H}}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle \sigma _{i}}$${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle T_{C}}$$${\displaystyle T_{C}={\frac {2\epsilon }{k_{\text{B}}[\ln({\sqrt {\gamma }}+1)-\ln({\sqrt {\gamma }}-1)]}}.}$$

อุณหภูมิวิกฤตสำหรับแบบจำลองนี้ถูกกำหนดโดยอัตราส่วนการแตกแขนงและพลังงานปฏิสัมพันธ์ระหว่างไซต์ เท่านั้น ซึ่งข้อเท็จจริงนี้อาจมีนัยสำคัญโดยตรงที่เกี่ยวข้องกับโครงสร้างประสาทเทียบกับหน้าที่ของมัน (ในแง่ที่ว่ามันเชื่อมโยงพลังงานปฏิสัมพันธ์และอัตราส่วนการแตกแขนงกับพฤติกรรมการเปลี่ยนแปลง) ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ระหว่างพฤติกรรมการเปลี่ยนแปลงของกิจกรรมของเครือข่ายประสาทระหว่างสถานะหลับและตื่น (ซึ่งอาจสัมพันธ์กับการเปลี่ยนแปลงเฟสแบบสปิน-สปิน) ในแง่ของการเปลี่ยนแปลงในการเชื่อมต่อประสาท ( ) และ/หรือปฏิสัมพันธ์ระหว่างเพื่อนบ้าน ( ) เมื่อเวลาผ่านไป เป็นเพียงแนวทางหนึ่งที่เป็นไปได้ที่แนะนำสำหรับการตรวจสอบเชิงทดลองเพิ่มเติมเกี่ยวกับปรากฏการณ์ดังกล่าว ไม่ว่าในกรณีใด สำหรับแบบจำลอง Ising นี้ ได้มีการกำหนดไว้แล้วว่า "ความเสถียรของความสัมพันธ์ระยะไกลจะเพิ่มขึ้นเมื่อเพิ่มขึ้นหรือเพิ่มขึ้น" ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \epsilon }$

สำหรับโทโพโลยีนี้ พบว่าความสัมพันธ์ระหว่างสปินกับสปินเป็นศูนย์ระหว่างจุดยอดสุดขั้วและจุดศูนย์กลางที่ต้นไม้ (หรือกิ่ง) สองต้นเชื่อมต่อกัน (เช่น ระหว่าง A กับ C, D หรือ E แต่ละตัว) พฤติกรรมนี้อธิบายได้ว่าเป็นเพราะเมื่อ k เพิ่มขึ้น จำนวนลิงก์จะเพิ่มขึ้นแบบเลขชี้กำลัง (ระหว่างจุดยอดสุดขั้ว) ดังนั้นแม้ว่าการมีส่วนร่วมในความสัมพันธ์ของสปินจะลดลงแบบเลขชี้กำลัง แต่ความสัมพันธ์ระหว่างจุดต่างๆ เช่น จุดยอดสุดขั้ว (A) ในต้นไม้ต้นหนึ่งกับจุดยอดสุดขั้วในต้นไม้ที่เชื่อมต่อกัน (Ā) ยังคงมีค่าจำกัด (เหนืออุณหภูมิวิกฤต) นอกจากนี้ A และ B ยังแสดงความสัมพันธ์ที่ไม่เป็นศูนย์ (เช่นเดียวกับการสะท้อนของพวกมัน) ดังนั้นจึงทำให้จุดระดับ B (ที่มีระดับ A) สามารถพิจารณาได้ว่าเป็น "คลัสเตอร์" ที่มีแนวโน้มที่จะแสดงการซิงโครไนซ์ของการยิง

จากการตรวจสอบแบบจำลองเครือข่ายคลาสสิกอื่นๆ เพื่อเปรียบเทียบ พบว่าแบบจำลอง Ising บนต้นไม้ Cayley แบบปิด เป็นแบบจำลองทางกลศาสตร์เชิงสถิติแบบคลาสสิกแบบแรกที่แสดงให้เห็นทั้งจุดระยะใกล้และระยะไกลที่มีความสัมพันธ์ระหว่างสปินที่ไม่เป็นศูนย์ ในขณะเดียวกันก็แสดงให้เห็นจุดกลางที่มีความสัมพันธ์เป็นศูนย์ ซึ่งเป็นเรื่องสำคัญสำหรับเครือข่ายประสาทขนาดใหญ่ในขณะที่พิจารณาแบบจำลองนี้ พฤติกรรมของแบบจำลองนี้ยังมีความเกี่ยวข้องกับระบบทางกายภาพ (หรือชีวภาพ) แบบต้นไม้แยกและรวมอื่นๆ ที่แสดงโครงสร้างต้นไม้ Cayley แบบปิดที่มีปฏิสัมพันธ์แบบ Ising โครงสร้างนี้ไม่ควรถูกมองข้าม เนื่องจากพฤติกรรมของมันสำหรับแบบจำลอง Ising ได้รับการแก้ไขอย่างแม่นยำแล้ว และสันนิษฐานได้ว่าธรรมชาติจะหาวิธีใช้ประโยชน์จากสมมาตรที่เรียบง่ายเช่นนี้ในหลายระดับของการออกแบบของมัน

Barth (1981)ตั้งข้อสังเกตตั้งแต่เนิ่นๆ ถึงความเป็นไปได้ของความสัมพันธ์ระหว่าง (1) แบบจำลองเครือข่ายประสาทขนาดใหญ่แบบคลาสสิก (ที่มีโทโพโลยีแบบแยกและรวมที่คล้ายกัน) กับ (2) แบบจำลองกลศาสตร์ควอนตัมเชิงสถิติพื้นฐาน (ไม่ขึ้นอยู่กับโทโพโลยีและมีความคงอยู่ในสถานะควอนตัมพื้นฐาน)

ผลลัพธ์ที่สำคัญที่สุดที่ได้จากแบบจำลองต้นไม้เคย์ลีย์แบบปิด คือ การเกิดความสัมพันธ์ระยะไกลโดยไม่มีความสัมพันธ์ระยะกลาง ผลลัพธ์นี้ไม่เคยปรากฏมาก่อนในแบบจำลองคลาสสิกอื่นๆ นักวิจัยจำนวนมาก (Ricciardi และ Umezawa, 1967, Hokkyo 1972, Stuart, Takahashi และ Umezawa 1978, 1979) ได้อ้างถึงความล้มเหลวของมุมมองแบบคลาสสิกเกี่ยวกับการส่งผ่านแรงกระตุ้นในการอธิบายปรากฏการณ์นี้ว่าเป็นเรื่องสำคัญมากพอที่จะต้องตั้งสมมติฐานใหม่ในระดับพื้นฐาน และได้เสนอแนะถึงการมีอยู่ของโหมดความร่วมมือเชิงควอนตัมภายในสมอง…นอกจากนี้ ยังเป็นที่น่าสนใจที่จะสังเกตว่า (การสร้างแบบจำลอง) ของ…อนุภาคโกลด์สโตนหรือโบซอน (ตามที่ Umezawa และคณะกล่าวไว้)…ภายในสมอง แสดงให้เห็นถึงความสัมพันธ์ระยะไกลของเลขควอนตัมที่คงอยู่ในสถานะพื้นฐาน…ในแบบจำลองต้นไม้ Cayley แบบปิด สถานะพื้นฐานของคู่ไซต์ เช่นเดียวกับตัวแปรสถานะของแต่ละไซต์ (สามารถ) แสดงความสัมพันธ์ระยะไกลได้

เป็นความเชื่อตามธรรมชาติและแพร่หลายในหมู่นักฟิสิกส์ประสาทรุ่นแรกๆ (เช่น อุเมะซาวะ, คริซาน, บาร์ธ เป็นต้น) ว่าแบบจำลองประสาทแบบคลาสสิก (รวมถึงแบบจำลองที่มีแง่มุมทางกลศาสตร์เชิงสถิติ) จะต้องถูกบูรณาการเข้ากับฟิสิกส์ควอนตัม (ที่มีแง่มุมทางสถิติควอนตัม) ในสักวันหนึ่ง คล้ายกับที่สาขาเคมีได้บูรณาการตัวเองเข้ากับฟิสิกส์ควอนตัมผ่านทางเคมีควอนตัมมาโดยตลอด

ยังมีปัญหาทางกลศาสตร์เชิงสถิติที่น่าสนใจอีกหลายประการที่ยังต้องได้รับการแก้ไขสำหรับต้นไม้เคย์ลีย์แบบปิด ซึ่งรวมถึงกรณีที่ขึ้นอยู่กับเวลาและสถานการณ์สนามภายนอก ตลอดจนความพยายามทางทฤษฎีที่มุ่งทำความเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างองค์ประกอบควอนตัมพื้นฐานและฟิสิกส์ขององค์ประกอบเหล่านั้น

แบบจำลอง Ising มักจะประเมินค่าเชิงตัวเลขได้ยากหากระบบมีสถานะจำนวนมาก ลองพิจารณาแบบจำลอง Ising ที่มี

L = |Λ|: จำนวนไซต์ทั้งหมดบนโครงตาข่าย

σ _j ∈ {−1, +1}: ตำแหน่งสปินแต่ละตัวบนแลตทิซ, j  = 1, ..., L ,

S ∈ {−1, +1} ^L : สถานะของระบบ

เนื่องจากไซต์สปินทุกไซต์มีสปิน ±1 จึงมี สถานะที่แตกต่างกัน 2 ^Lที่เป็นไปได้^{[ 30 ]}นี่เป็นเหตุผลที่ทำให้แบบจำลอง Ising ถูกจำลองโดยใช้วิธีMonte Carlo ^{[ 30 ]}

แฮมิลโทเนียนที่นิยมใช้ในการแสดงพลังงานของแบบจำลองเมื่อใช้วิธีมอนเตคาร์โลคือ:

$${\displaystyle H(\sigma )=-J\sum _{\langle i~j\rangle }\sigma _{i}\sigma _{j}-h\sum _{j}\sigma _{j}.}$$

นอกจากนี้ แฮมิลโทเนียนยังถูกทำให้ง่ายขึ้นอีกโดยการสมมติว่าสนามภายนอกh เป็นศูนย์ เนื่องจากคำถามหลายข้อที่ตั้งขึ้นเพื่อแก้ไขโดยใช้แบบจำลองนี้สามารถตอบได้แม้ไม่มีสนามภายนอก ซึ่งนำเราไปสู่สมการพลังงานต่อไปนี้สำหรับสถานะ σ:

$${\displaystyle H(\sigma )=-J\sum _{\langle i~j\rangle }\sigma _{i}\sigma _{j}.}$$

เมื่อกำหนดแฮมิลโทเนียนนี้แล้ว ปริมาณที่น่าสนใจ เช่น ความร้อนจำเพาะหรือการทำให้เป็นแม่เหล็กของแม่เหล็กที่อุณหภูมิที่กำหนด สามารถคำนวณได้^{[ 30 ]}

อัลกอริทึม Metropolis –Hastingsเป็นอัลกอริทึม Monte Carlo ที่ใช้กันทั่วไปในการคำนวณการประมาณค่าแบบจำลอง Ising ^{[ 30 ]}อัลกอริทึมจะเลือกความน่าจะเป็นในการเลือกg (μ, ν) ก่อน ซึ่งแสดงถึงความน่าจะเป็นที่สถานะ ν จะถูกเลือกโดยอัลกอริทึมจากสถานะทั้งหมด โดยกำหนดให้มีสถานะ μ อยู่ก่อน จากนั้นจะใช้ความน่าจะเป็นในการยอมรับA (μ, ν) เพื่อให้ เป็นไปตาม สมดุลโดยละเอียดหากยอมรับสถานะใหม่ ν เราจะย้ายไปยังสถานะนั้นและทำซ้ำโดยการเลือกสถานะใหม่และตัดสินใจว่าจะยอมรับหรือไม่ หากไม่ยอมรับ ν เราจะอยู่ใน μ กระบวนการนี้จะทำซ้ำจนกว่าจะถึงเกณฑ์การหยุดบางอย่าง ซึ่งสำหรับแบบจำลอง Ising มักจะเป็นเมื่อแลตทิซกลายเป็นเฟอร์โรแมกเนติก หมายความว่าไซต์ทั้งหมดชี้ไปในทิศทางเดียวกัน^{[ 30 ]}

เมื่อนำอัลกอริทึมไปใช้ ต้องแน่ใจว่าg (μ, ν) ถูกเลือกเพื่อให้ เป็นไปตาม เงื่อนไขเออร์โกดิ ซิตี้ ในสภาวะสมดุลทางความร้อนพลังงานของระบบจะผันผวนภายในช่วงเล็กๆ เท่านั้น^{[ 30 ]}นี่คือแรงจูงใจเบื้องหลังแนวคิดของ ไดนามิก การพลิกสปินเดี่ยว^{[ 31 ]}ซึ่งระบุว่าในแต่ละการเปลี่ยนผ่าน เราจะเปลี่ยนตำแหน่งสปินเพียงตำแหน่งเดียวบนแลตทิซ^{[ 30 ]} ยิ่งไปกว่านั้น การใช้ไดนามิกการพลิกสปินเดี่ยวทำให้เราสามารถเปลี่ยนจากสถานะใดๆ ไปยังสถานะอื่นๆ ได้โดยการพลิกแต่ละตำแหน่งที่แตกต่างกันระหว่างสองสถานะทีละตำแหน่ง ปริมาณการเปลี่ยนแปลงสูงสุดระหว่างพลังงานของสถานะปัจจุบันH _μและพลังงานของสถานะใหม่ที่เป็นไปได้H _ν (โดยใช้ไดนามิกการพลิกสปินเดี่ยว) คือ 2 Jระหว่างสปินที่เราเลือกที่จะ "พลิก" เพื่อย้ายไปยังสถานะใหม่และสปินข้างเคียงของสปินนั้น^{[ 30 ]}ดังนั้น ในแบบจำลอง Ising 1 มิติ ที่แต่ละไซต์มีเพื่อนบ้านสองราย (ซ้ายและขวา) ความแตกต่างสูงสุดของพลังงานจะเป็น 4 Jให้cแทนจำนวนการประสานงานของแลตติสคือจำนวนเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดที่ไซต์แลตติสใดๆ มี เราสมมติว่าทุกไซต์มีจำนวนเพื่อนบ้านเท่ากันเนื่องจากเงื่อนไขขอบเขตแบบคาบ^{[ 30} ] ^{สิ่งสำคัญ}ที่ควรทราบคืออัลกอริทึม Metropolis–Hastings ทำงานได้ไม่ดีรอบจุดวิกฤตเนื่องจากการชะลอตัววิกฤต จำเป็นต้องใช้เทคนิคอื่นๆ เช่น วิธีมัลติกริด อัลกอริทึมของ Niedermayer อัลกอริทึมSwendsen–Wangหรืออัลกอริทึม Wolffเพื่อแก้ไขแบบจำลองใกล้จุดวิกฤต ซึ่งเป็นข้อกำหนดสำหรับการกำหนดเลขชี้กำลังวิกฤตของระบบ

โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับแบบจำลอง Ising และการใช้พลวัตการพลิกสปินเดี่ยว เราสามารถกำหนดสิ่งต่อไปนี้ได้ เนื่องจากมี ไซต์ทั้งหมด Lบนแลตทิซ การใช้การพลิกสปินเดี่ยวเป็นวิธีเดียวที่เราเปลี่ยนไปสู่สถานะอื่น เราจะเห็นว่ามีสถานะใหม่ ν ทั้งหมดLสถานะจากสถานะปัจจุบัน μ ของเรา อัลกอริทึมนี้ถือว่าความน่าจะเป็นในการเลือกเท่ากับLสถานะ: g (μ, ν) = 1/ L สมดุลโดยละเอียดบอกเราว่าสมการต่อไปนี้ต้องเป็นจริง:

$${\displaystyle {\frac {P(\mu ,\nu )}{P(\nu ,\mu )}}={\frac {g(\mu ,\nu )A(\mu ,\nu )}{g(\nu ,\mu )A(\nu ,\mu )}}={\frac {A(\mu ,\nu )}{A(\nu ,\mu )}}={\frac {P_{\beta }(\nu )}{P_{\beta }(\mu )}}={\frac {{\frac {1}{Z}}e^{-\beta (H_{\nu })}}{{\frac {1}{Z}}e^{-\beta (H_{\mu })}}}=e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })}.}$$

ดังนั้น เราจึงต้องการเลือกความน่าจะเป็นในการยอมรับสำหรับอัลกอริทึมของเราเพื่อให้เป็นไปตามเงื่อนไขที่กำหนด

$${\displaystyle {\frac {A(\mu ,\nu )}{A(\nu ,\mu )}}=e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })}.}$$

If H_ν > H_μ, then A(ν, μ) > A(μ, ν). Metropolis sets the larger of A(μ, ν) or A(ν, μ) to be 1. By this reasoning the acceptance algorithm is:^[30]

$${\displaystyle A(\mu ,\nu )={\begin{cases}e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })},&{\text{if }}H_{\nu }-H_{\mu }>0,\\1&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

The basic form of the algorithm is as follows:

1. Pick a spin site using selection probability g(μ, ν) and calculate the contribution to the energy involving this spin.
2. Flip the value of the spin and calculate the new contribution.
3. If the new energy is less, keep the flipped value.
4. If the new energy is more, only keep with probability ${\displaystyle e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })}.}$
5. Repeat.

The change in energy H_ν − H_μ only depends on the value of the spin and its nearest graph neighbors. So if the graph is not too connected, the algorithm is fast. This process will eventually produce a pick from the distribution.

It is possible to view the Ising model as a Markov chain, as the immediate probability P_β(ν) of transitioning to a future state ν only depends on the present state μ. The Metropolis algorithm is actually a version of a Markov chain Monte Carlo simulation, and since we use single-spin-flip dynamics in the Metropolis algorithm, every state can be viewed as having links to exactly L other states, where each transition corresponds to flipping a single spin site to the opposite value.^[32] Furthermore, since the energy equation H_σ change only depends on the nearest-neighbor interaction strength J, the Ising model and its variants such the Sznajd model can be seen as a form of a voter model for opinion dynamics.

The thermodynamic limit exists as long as the interaction decay is ${\displaystyle J_{ij}\sim |i-j|^{-\alpha }}$ with α > 1.^[33]

• In the case of ferromagnetic interaction ${\displaystyle J_{ij}\sim |i-j|^{-\alpha }}$ with 1 < α < 2, Dyson proved, by comparison with the hierarchical case, that there is phase transition at small enough temperature.^[34]
• In the case of ferromagnetic interaction ${\displaystyle J_{ij}\sim |i-j|^{-2}}$, Fröhlich and Spencer proved that there is phase transition at small enough temperature (in contrast with the hierarchical case).^[35]
• ในกรณีของการปฏิสัมพันธ์กับ α > 2 (ซึ่งรวมถึงกรณีของการปฏิสัมพันธ์ในระยะจำกัด) จะไม่มีการเปลี่ยนเฟสที่อุณหภูมิบวกใดๆ (เช่น β ที่มีค่าจำกัด) เนื่องจากพลังงานอิสระเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ในพารามิเตอร์ทางเทอร์โมไดนามิก^{[ 33 ]}${\displaystyle J_{ij}\sim |i-j|^{-\alpha }}$
• ในกรณีของ ปฏิสัมพันธ์ เพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุด E. Ising ได้ให้คำตอบที่แน่นอนของแบบจำลอง ที่อุณหภูมิบวกใดๆ (เช่น β ที่มีค่าจำกัด) พลังงานอิสระจะเป็นเชิงวิเคราะห์ในพารามิเตอร์ทางเทอร์โมไดนามิกส์ และความสัมพันธ์ของสปินแบบสองจุดที่ถูกตัดทอนจะลดลงอย่างรวดเร็วแบบเอกซ์โพเนนเชียล ที่อุณหภูมิศูนย์ (เช่น β ที่มีค่าอนันต์) จะมีการเปลี่ยนเฟสอันดับสอง: พลังงานอิสระมีค่าอนันต์ และความสัมพันธ์ของสปินแบบสองจุดที่ถูกตัดทอนจะไม่ลดลง (คงที่) ดังนั้นT = 0 จึงเป็นอุณหภูมิวิกฤตของกรณีนี้ สูตรการปรับขนาดเป็นไปตามเงื่อนไข^{[ 36 ]}

ในกรณีเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุด (โดยมีเงื่อนไขขอบเขตแบบคาบหรือแบบอิสระ) จะมีคำตอบที่แน่นอน แฮมิลโทเนียนของแบบจำลองไอซิงแบบหนึ่งมิติบนโครงตาข่ายของ ไซต์ Lที่มีเงื่อนไขขอบเขตแบบอิสระคือ โดยที่Jและhสามารถเป็นจำนวนใดก็ได้ เนื่องจากในกรณีที่ง่ายขึ้นนี้Jเป็นค่าคงที่ที่แสดงถึงความแรงของการปฏิสัมพันธ์ระหว่างเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุด และhเป็นสนามแม่เหล็กภายนอกคงที่ที่ใช้กับไซต์โครงตาข่าย ดังนั้น พลังงานอิสระคือ และความสัมพันธ์ระหว่างสปิน (เช่น ความแปรปรวนร่วม) คือ โดยที่C (β) และc (β) เป็นฟังก์ชันบวกสำหรับT > 0 อย่างไรก็ตาม สำหรับ T → 0 ความยาวความสัมพันธ์ผกผัน c (β) จะเป็นศูนย์ $${\displaystyle H(\sigma )=-J\sum _{i=1,\ldots ,L-1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}-h\sum _{i}\sigma _{i},}$$$${\displaystyle f(\beta ,h)=-\lim _{L\to \infty }{\frac {1}{\beta L}}\ln Z(\beta )=-{\frac {1}{\beta }}\ln \left(e^{\beta J}\cosh \beta h+{\sqrt {e^{2\beta J}(\sinh \beta h)^{2}+e^{-2\beta J}}}\right),}$$$${\displaystyle \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle -\langle \sigma _{i}\rangle \langle \sigma _{j}\rangle =C(\beta )e^{-c(\beta )|i-j|},}$$

การพิสูจน์ผลลัพธ์นี้เป็นการคำนวณอย่างง่าย

ถ้าh = 0 การหาพลังงานอิสระในกรณีเงื่อนไขขอบเขตอิสระนั้นง่ายมาก กล่าวคือเมื่อ จากนั้นแบบจำลองจะแยกตัวประกอบภายใต้การเปลี่ยนตัวแปร $${\displaystyle H(\sigma )=-J\left(\sigma _{1}\sigma _{2}+\cdots +\sigma _{L-1}\sigma _{L}\right).}$$$${\displaystyle \sigma '_{j}=\sigma _{j}\sigma _{j-1},\quad j\geq 2.}$$

สิ่งนี้ให้ $${\displaystyle Z(\beta )=\sum _{\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{L}}e^{\beta J\sigma _{1}\sigma _{2}}e^{\beta J\sigma _{2}\sigma _{3}}\cdots e^{\beta J\sigma _{L-1}\sigma _{L}}=2\prod _{j=2}^{L}\sum _{\sigma '_{j}}e^{\beta J\sigma '_{j}}=2\left[e^{\beta J}+e^{-\beta J}\right]^{L-1}.}$$

ดังนั้น พลังงานอิสระคือ

$${\displaystyle f(\beta ,0)=-{\frac {1}{\beta }}\ln \left[e^{\beta J}+e^{-\beta J}\right].}$$

โดยมีการเปลี่ยนแปลงตัวแปรแบบเดียวกัน

$${\displaystyle \langle \sigma _{j}\sigma _{j+N}\rangle =\left[{\frac {e^{\beta J}-e^{-\beta J}}{e^{\beta J}+e^{-\beta J}}}\right]^{N},}$$

ดังนั้นค่าจะลดลงอย่างรวดเร็วแบบเลขชี้กำลังทันทีที่T ≠ 0 แต่สำหรับT = 0 นั่นคือในขีดจำกัด β → ∞ จะไม่มีการลดลง

ถ้าh ≠ 0 เราจำเป็นต้องใช้วิธีเมทริกซ์ถ่ายโอน สำหรับกรณีเงื่อนไขขอบเขตแบบคาบจะเป็นดังนี้ ฟังก์ชันพาร์ติชันคือ สัมประสิทธิ์สามารถมองได้ว่าเป็นส่วนประกอบของเมทริกซ์ มีตัวเลือกที่เป็นไปได้หลายแบบ ตัวเลือกที่สะดวก (เนื่องจากเมทริกซ์สมมาตร) คือ หรือ ในรูปแบบเมทริกซ์ โดยที่ λ ₁คือค่าไอเกนสูงสุดของVในขณะที่λ ₂คือค่าไอเกนอีกค่าหนึ่ง: และλ ₂ < λ ₁ซึ่งให้สูตรของพลังงานอิสระข้างต้น ในขีดจำกัดทางเทอร์โมไดนามิกส์สำหรับกรณีที่ไม่เกิดปฏิสัมพันธ์ (J = 0) เราได้ คำตอบสำหรับแบบจำลอง Ising ขอบเขตเปิดดังนี้ $${\displaystyle Z(\beta )=\sum _{\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{L}}e^{\beta h\sigma _{1}}e^{\beta J\sigma _{1}\sigma _{2}}e^{\beta h\sigma _{2}}e^{\beta J\sigma _{2}\sigma _{3}}\cdots e^{\beta h\sigma _{L}}e^{\beta J\sigma _{L}\sigma _{1}}=\sum _{\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{L}}V_{\sigma _{1},\sigma _{2}}V_{\sigma _{2},\sigma _{3}}\cdots V_{\sigma _{L},\sigma _{1}}.}$$${\displaystyle V_{\sigma ,\sigma '}}$$${\displaystyle V_{\sigma ,\sigma '}=e^{{\frac {\beta h}{2}}\sigma }e^{\beta J\sigma \sigma '}e^{{\frac {\beta h}{2}}\sigma '}}$$$${\displaystyle V={\begin{bmatrix}e^{\beta (h+J)}&e^{-\beta J}\\e^{-\beta J}&e^{-\beta (h-J)}\end{bmatrix}}.}$$$${\displaystyle Z(\beta )=\operatorname {Tr} \left(V^{L}\right)=\lambda _{1}^{L}+\lambda _{2}^{L}=\lambda _{1}^{L}\left[1+\left({\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}\right)^{L}\right],}$$$${\displaystyle \lambda _{1}=e^{\beta J}\cosh \beta h+{\sqrt {e^{2\beta J}(\cosh \beta h)^{2}-2\sinh 2\beta J}}=e^{\beta J}\cosh \beta h+{\sqrt {e^{2\beta J}(\sinh \beta h)^{2}+e^{-2\beta J}}},}$$$${\displaystyle Z_{N}\to (\lambda _{1})^{N}=(2\cosh \beta h)^{N},}$$

พลังงานของสถานะต่ำสุดคือ − JLเมื่อสปินทั้งหมดเหมือนกัน สำหรับการจัดเรียงตัวแบบอื่น พลังงานส่วนเกินจะเท่ากับ 2 Jคูณด้วยจำนวนการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายที่พบเมื่อสแกนการจัดเรียงตัวจากซ้ายไปขวา

ถ้าเรากำหนดจำนวนการเปลี่ยนเครื่องหมายในการจัดเรียงเป็นkความแตกต่างของพลังงานจากสถานะพลังงานต่ำสุดคือ 2k เนื่องจากพลังงานสามารถบวกเพิ่มได้ตามจำนวนการพลิก ดังนั้นความน่าจะ เป็น pของการพลิกสปินในแต่ละตำแหน่งจึงเป็นอิสระต่อกัน อัตราส่วนของความน่าจะเป็นที่จะพบการพลิกต่อความน่าจะเป็นที่จะไม่พบการพลิกคือปัจจัยโบลต์ซมันน์:

$${\displaystyle {\frac {p}{1-p}}=e^{-2\beta J}.}$$

ปัญหาดังกล่าวลดลงเหลือเพียงการโยนเหรียญ ที่มีอคติอย่างอิสระ ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วเป็นการอธิบายทางคณิตศาสตร์เสร็จสมบูรณ์แล้ว

จากคำอธิบายในแง่ของการโยนแบบอิสระ เราสามารถเข้าใจสถิติของแบบจำลองสำหรับเส้นยาวได้ เส้นจะแยกออกเป็นโดเมน แต่ละโดเมนมีความยาวเฉลี่ย exp(2β) ความยาวของโดเมนมีการกระจายแบบเอกซ์โปเนนเชียล เนื่องจากมีความน่าจะเป็นคงที่ในการพบกับการพลิกในแต่ละขั้นตอน โดเมนจะไม่กลายเป็นอนันต์ ดังนั้นระบบที่ยาวจึงไม่ถูกทำให้เป็นแม่เหล็ก แต่ละขั้นตอนจะลดความสัมพันธ์ระหว่างสปินกับเพื่อนบ้านลงในปริมาณที่เป็นสัดส่วนกับpดังนั้นความสัมพันธ์จึงลดลงแบบเอกซ์โปเนนเชียล

$${\displaystyle \langle S_{i}S_{j}\rangle \propto e^{-p|i-j|}.}$$

ฟังก์ชันพาร์ติชันคือปริมาตรของการกำหนดค่า โดยแต่ละการกำหนดค่ามีน้ำหนักตามน้ำหนักของโบลต์ซมันน์ เนื่องจากแต่ละการกำหนดค่าอธิบายได้ด้วยการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมาย ฟังก์ชันพาร์ติชันจึงสามารถแยกตัวประกอบได้ดังนี้:

$${\displaystyle Z=\sum _{\text{configs}}e^{\sum _{k}S_{k}}=\prod _{k}(1+p)=(1+p)^{L}.}$$

ค่าลอการิทึมหารด้วยLคือความหนาแน่นของพลังงานอิสระ:

$${\displaystyle \beta f=\log(1+p)=\log \left(1+{\frac {e^{-2\beta J}}{1+e^{-2\beta J}}}\right),}$$

ซึ่งเป็นค่าวิเคราะห์ที่ห่างจาก β = ∞ สัญญาณของการเปลี่ยนสถานะคือพลังงานอิสระที่ไม่สามารถวิเคราะห์ได้ ดังนั้นแบบจำลองหนึ่งมิติจึงไม่มีการเปลี่ยนสถานะ

ในการแสดงแฮมิลโทเนียนของไอซิงโดยใช้คำอธิบายเชิงควอนตัมของสปิน เราจะแทนที่ตัวแปรสปินด้วยเมทริกซ์เปาลี ที่เกี่ยวข้อง อย่างไรก็ตาม ขึ้นอยู่กับทิศทางของสนามแม่เหล็ก เราสามารถสร้างแฮมิลโทเนียนแบบสนามตามขวางหรือสนามตามยาวได้ แฮมิลโทเนียน แบบสนามตามขวางกำหนดโดย

$${\displaystyle H(\sigma )=-J\sum _{i=1,\ldots ,L}\sigma _{i}^{z}\sigma _{i+1}^{z}-h\sum _{i}\sigma _{i}^{x}.}$$

แบบจำลองสนามตามขวางประสบกับการเปลี่ยนเฟสระหว่างระบอบที่เป็นระเบียบและไม่เป็นระเบียบที่J  ~  hซึ่งสามารถแสดงได้โดยการแมปเมทริกซ์ของ Pauli

$${\displaystyle \sigma _{n}^{z}=\prod _{i=1}^{n}T_{i}^{x},}$$

$${\displaystyle \sigma _{n}^{x}=T_{n}^{z}T_{n+1}^{z}.}$$

เมื่อเขียนแฮมิลโทเนียนใหม่โดยใช้เมทริกซ์เปลี่ยนฐาน เราจะได้

$${\displaystyle H(\sigma )=-h\sum _{i=1,\ldots ,L}T_{i}^{z}T_{i+1}^{z}-J\sum _{i}T_{i}^{x}.}$$

เนื่องจากบทบาทของ^hและ J สลับกัน แฮมิลโทเนียนจึงเกิดการเปลี่ยนผ่านที่J = h [ ^{37 ]}

เมื่อไม่มีสนามภายนอก เราสามารถหาอนุพันธ์ของสมการเชิงฟังก์ชันที่สอดคล้องกับโดยใช้การปรับมาตรฐาน^{[ 38 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ให้เป็นฟังก์ชันพาร์ติชันที่มีไซต์ ตอนนี้เรามี: โดยที่. เรารวมเหนือแต่ละ ของเพื่อให้ได้ตอนนี้ เนื่องจากฟังก์ชัน cosh เป็นฟังก์ชันคู่ เราจึงสามารถแก้เป็น. ตอนนี้เรามีความสัมพันธ์ความคล้ายคลึงในตัวเอง: เมื่อหาลิมิต เราจะได้โดยที่. ${\displaystyle f(\beta ,0)=f(\beta )}$${\displaystyle Z_{N}(\beta ,J)}$${\displaystyle N}$$${\displaystyle Z_{N}(\beta ,J)=\sum _{\sigma }e^{K\sigma _{2}(\sigma _{1}+\sigma _{3})}e^{K\sigma _{4}(\sigma _{3}+\sigma _{5})}\cdots }$$${\displaystyle K:=\beta J}$${\displaystyle \sigma _{2},\sigma _{4},\cdots }$$${\displaystyle Z_{N}(\beta ,J)=\sum _{\sigma }(2\cosh(K(\sigma _{1}+\sigma _{3})))\cdot (2\cosh(K(\sigma _{3}+\sigma _{5})))\cdots }$$${\displaystyle Ae^{K'\sigma _{1}\sigma _{3}}=2\cosh(K(\sigma _{1}+\sigma _{3}))}$${\textstyle A=2{\sqrt {\cosh(2K)}},K'={\frac {1}{2}}\ln \cosh(2K)}$$${\displaystyle {\frac {1}{N}}\ln Z_{N}(K)={\frac {1}{2}}\ln \left(2{\sqrt {\cosh(2K)}}\right)+{\frac {1}{2}}{\frac {1}{N/2}}\ln Z_{N/2}(K')}$$$${\displaystyle f(\beta )={\frac {1}{2}}\ln \left(2{\sqrt {\cosh(2K)}}\right)+{\frac {1}{2}}f(\beta ')}$$${\displaystyle \beta 'J={\frac {1}{2}}\ln \cosh(2\beta J)}$

เมื่อมีค่าเล็ก เราจะได้ดังนั้นเราจึงสามารถประเมินค่าเชิงตัวเลขได้โดยการทำซ้ำสมการเชิงฟังก์ชันจนกว่าจะมีค่าเล็ก ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle f(\beta )\approx \ln 2}$${\displaystyle f(\beta )}$${\displaystyle K}$

ในกรณีของเฟอร์โรแมกเนติก จะมีการเปลี่ยนเฟสเกิดขึ้น ที่อุณหภูมิต่ำข้อโต้แย้งของ Peierlsพิสูจน์ได้ว่ามีสนามแม่เหล็กเป็นบวกในกรณีเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุด และจากนั้นโดยอสมการของ Griffithsก็ยังเป็นเช่นนั้นเมื่อมีการเพิ่มปฏิสัมพันธ์ระยะไกลเข้าไป ในขณะเดียวกัน ที่อุณหภูมิสูงการขยายคลัสเตอร์ทำให้ฟังก์ชันทางเทอร์โมไดนามิกเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ ในกรณีเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุด พลังงานอิสระได้รับการคำนวณอย่างแม่นยำโดย Onsager ฟังก์ชันสหสัมพันธ์สปิน-สปินได้รับการคำนวณโดย McCoy และ Wu

ออนซาเกอร์ (1944)ได้แสดงนิพจน์เชิงวิเคราะห์ต่อไปนี้สำหรับพลังงานอิสระของแบบจำลองไอซิงบนโครงตาข่ายสี่เหลี่ยมจัตุรัสแบบไม่สมมาตร เมื่อสนามแม่เหล็กในขีดจำกัดทางเทอร์โมไดนามิกเป็นฟังก์ชันของอุณหภูมิ และพลังงานปฏิสัมพันธ์ในแนวนอนและแนวตั้งและตามลำดับ ${\displaystyle h=0}$${\displaystyle J_{1}}$${\displaystyle J_{2}}$

$${\displaystyle -\beta f=\ln 2+{\frac {1}{8\pi ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }d\theta _{1}\int _{0}^{2\pi }d\theta _{2}\ln[\cosh(2\beta J_{1})\cosh(2\beta J_{2})-\sinh(2\beta J_{1})\cos(\theta _{1})-\sinh(2\beta J_{2})\cos(\theta _{2})].}$$

จากนิพจน์สำหรับพลังงานอิสระนี้ ฟังก์ชันทางเทอร์โมไดนามิกทั้งหมดของแบบจำลองสามารถคำนวณได้โดยใช้ค่าอนุพันธ์ที่เหมาะสม แบบจำลอง Ising 2 มิติเป็นแบบจำลองแรกที่แสดงการเปลี่ยนเฟสแบบต่อเนื่องที่อุณหภูมิบวก โดยเกิดขึ้นที่อุณหภูมิที่แก้สมการ ${\displaystyle T_{c}}$

$${\displaystyle \sinh \left({\frac {2J_{1}}{kT_{c}}}\right)\sinh \left({\frac {2J_{2}}{kT_{c}}}\right)=1.}$$

ในกรณีไอโซโทรปิก เมื่อพลังงานปฏิสัมพันธ์ในแนวนอนและแนวตั้งเท่ากันอุณหภูมิวิกฤตจะเกิดขึ้นที่จุดต่อไปนี้ ${\displaystyle J_{1}=J_{2}=J}$${\displaystyle T_{c}}$

$${\displaystyle T_{c}={\frac {2J}{k\ln(1+{\sqrt {2}})}}=(2.269185\cdots ){\frac {J}{k}}}$$

เมื่อพลังงานอันตรกิริยาและมีค่าเป็นลบทั้งคู่ แบบจำลอง Ising จะกลายเป็นแอนติเฟอร์โรแมกเนติก เนื่องจากโครงตาข่ายสี่เหลี่ยมเป็นแบบสองส่วน จึงไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเปลี่ยนแปลงนี้เมื่อสนามแม่เหล็กดังนั้นพลังงานอิสระและอุณหภูมิวิกฤตจึงเหมือนกันสำหรับกรณีแอนติเฟอร์โรแมกเนติก สำหรับโครงตาข่ายสามเหลี่ยมซึ่งไม่ใช่แบบสองส่วน แบบจำลอง Ising แบบเฟอร์โรแมกเนติกและแอนติเฟอร์โรแมกเนติกจะมีพฤติกรรมที่แตกต่างกันอย่างเห็นได้ชัด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง รอบๆ รูปสามเหลี่ยม เป็นไปไม่ได้ที่จะทำให้คู่สปินทั้ง 3 คู่ขนานกันในทิศทางตรงกันข้าม ดังนั้นแบบจำลอง Ising แบบแอนติเฟอร์โรแมกเนติกจึงไม่สามารถเข้าถึงสถานะพลังงานต่ำสุดได้ นี่เป็นตัวอย่างของความขัดแย้งทางเรขาคณิต ${\displaystyle J_{1}}$${\displaystyle J_{2}}$${\displaystyle h=0}$

ออนซาเกอร์ประกาศสูตรต่อไปนี้สำหรับค่าสนามแม่เหล็กที่เกิดขึ้นเองMของเฟอร์โรแมกเนตไอซิงสองมิติบนโครงตาข่ายสี่เหลี่ยมในการประชุมสองครั้งที่แตกต่างกันในปี พ.ศ. 2491 แม้ว่าจะไม่มีหลักฐานพิสูจน์ก็ตาม^{[ 8 ]}

$${\displaystyle M=\left(1-\left[\sinh 2\beta J_{1}\sinh 2\beta J_{2}\right]^{-2}\right)^{\frac {1}{8}}}$$

โดยที่และคือพลังงานปฏิสัมพันธ์ในแนวนอนและแนวตั้ง ${\displaystyle J_{1}}$${\displaystyle J_{2}}$

การพิสูจน์ที่สมบูรณ์ได้รับการนำเสนอในปี พ.ศ. 2494 โดยYang (1952)โดยใช้กระบวนการจำกัดค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์การถ่ายโอน ต่อมาการพิสูจน์ได้รับการทำให้ง่ายขึ้นอย่างมากในปี พ.ศ. 2506 โดย Montroll, Potts และ Ward ^{[ 8 ]}โดยใช้สูตรลิมิตของSzegőสำหรับดีเทอร์มิแนนต์ Toeplitzโดยถือว่าการทำให้เป็นแม่เหล็กเป็นลิมิตของฟังก์ชันสหสัมพันธ์

ณ จุดวิกฤต แบบจำลองไอซิงสองมิติคือทฤษฎีสนามคอนฟอร์มอลสองมิติฟังก์ชันสหสัมพันธ์ของสปินและพลังงานถูกอธิบายโดยแบบจำลองขั้นต่ำซึ่งได้รับการแก้ไขอย่างแม่นยำแล้ว

ในสามมิติเช่นเดียวกับในสองมิติ กรณีที่ได้รับการศึกษามากที่สุดของแบบจำลอง Ising คือแบบจำลองที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามการแปลบนโครงตาข่ายลูกบาศก์ที่มีการเชื่อมต่อเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดในสนามแม่เหล็กเป็นศูนย์ นักทฤษฎีหลายคนค้นหาวิธีแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์สามมิติมาหลายทศวรรษ ซึ่งจะคล้ายคลึงกับวิธีแก้ปัญหาของ Onsager ในกรณีสองมิติ^{[ 39 ] [ 40 ]}วิธีแก้ปัญหาดังกล่าวยังไม่พบจนถึงปัจจุบัน แม้ว่าจะไม่มีหลักฐานว่ามันอาจไม่มีอยู่ก็ตาม ในสามมิติ แบบจำลอง Ising ได้รับการแสดงให้เห็นว่ามีการแสดงแทนในแง่ของสายเฟอร์มิออนิกที่ไม่โต้ตอบกันโดยAlexander PolyakovและVladimir Dotsenkoการสร้างนี้ได้ดำเนินการบนโครงตาข่าย และขีดจำกัดต่อเนื่องซึ่งคาดการณ์ว่าอธิบายจุดวิกฤต ยังไม่เป็นที่รู้จัก

ในสามมิติเช่นเดียวกับในสองมิติ ข้อโต้แย้งของ Peierls แสดงให้เห็นว่ามีการเปลี่ยนเฟส การเปลี่ยนเฟสนี้เป็นที่ทราบกันดีว่ามีความต่อเนื่อง (ในแง่ที่ว่าความยาวสหสัมพันธ์ลู่เข้าและค่าสนามแม่เหล็กเป็นศูนย์) และเรียกว่าจุดวิกฤตเชื่อกันว่าจุดวิกฤตสามารถอธิบายได้ด้วยจุดคงที่ของกลุ่มการปรับมาตรฐานของการแปลงกลุ่มการปรับมาตรฐาน Wilson-Kadanoff นอกจากนี้ยังเชื่อกันว่าการเปลี่ยนเฟสสามารถอธิบายได้ด้วยทฤษฎีสนามคอนฟอร์มอลเอกภาพสามมิติ ดังที่เห็นได้จากการจำลองMonte Carlo ^{[ 41 ] [ 42 ]}ผลลัพธ์การหาค่าเฉพาะที่แม่นยำในแบบจำลองควอนตัม^{[ 43 ]}และข้อโต้แย้งทางทฤษฎีสนามควอนตัม^{[ 44 ]}แม้ว่าจะเป็นปัญหาที่ยังเปิดอยู่ในการสร้างภาพกลุ่มการปรับมาตรฐานหรือภาพทฤษฎีสนามคอนฟอร์มอลอย่างเข้มงวด นักฟิสิกส์เชิงทฤษฎีได้ใช้วิธีการทั้งสองนี้ในการคำนวณเลขชี้กำลังวิกฤตของการเปลี่ยนเฟส ซึ่งสอดคล้องกับการทดลองและการจำลอง Monte Carlo ทฤษฎีสนามคอนฟอร์มอลนี้ซึ่งอธิบายจุดวิกฤตไอซิงสามมิติกำลังอยู่ระหว่างการตรวจสอบอย่างจริงจังโดยใช้วิธีการบูตสแตรปคอนฟอร์มอล [ ^{45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ] วิธี}นี้ในปัจจุบันให้ข้อมูลที่แม่นยำที่สุดเกี่ยวกับโครงสร้างของทฤษฎีวิกฤต (ดูเลขชี้กำลังวิกฤตของไอซิง )

ในปี พ.ศ. 2543 Sorin IstrailจากSandia National Laboratoriesได้พิสูจน์ว่าแบบจำลอง Ising แบบสปินกลาสบน แลตทิซ ที่ไม่เป็นระนาบ นั้น เป็นNP-completeนั่นคือ สมมติว่าP ≠ NPแบบจำลอง Ising แบบสปินกลาสทั่วไปสามารถหาคำตอบได้อย่างแม่นยำเฉพาะใน กรณี ระนาบ เท่านั้น ดังนั้นคำตอบสำหรับมิติที่สูงกว่าสองจึงไม่สามารถหาคำตอบได้เช่นกัน^{[ 49 ]}ผลลัพธ์ของ Istrail เกี่ยวข้องกับแบบจำลองสปินกลาสที่มีการเชื่อมต่อที่แปรผันตามพื้นที่เท่านั้น และไม่ได้บอกอะไรเกี่ยวกับแบบจำลองเฟอร์โรแมกเนติกดั้งเดิมของ Ising ที่มีการเชื่อมต่อเท่ากัน

ในมิติใดก็ตาม แบบจำลอง Ising สามารถอธิบายได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยใช้สนามเฉลี่ย ที่แปรผันตามตำแหน่ง สนามนี้ถูกกำหนดให้เป็นค่าเฉลี่ยของค่าสปินในบริเวณกว้าง แต่ไม่กว้างจนครอบคลุมทั้งระบบ สนามยังคงมีการเปลี่ยนแปลงอย่างช้าๆ จากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง เนื่องจากปริมาตรเฉลี่ยเคลื่อนที่ ความผันผวนของสนามเหล่านี้อธิบายได้ด้วยทฤษฎีสนามต่อเนื่องในขีดจำกัดของระบบอนันต์ ความแม่นยำของการประมาณนี้จะดีขึ้นเมื่อมิติใหญ่ขึ้น ความเข้าใจที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นเกี่ยวกับพฤติกรรมของแบบจำลอง Ising ซึ่งนอกเหนือไปจากการประมาณด้วยสนามเฉลี่ย สามารถทำได้โดยใช้วิธี กลุ่มการปรับมาตรฐาน

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับแบบจำลองไอซิง

• แบบจำลอง Ising ที่ The Net Advance of Physics
• Barry Arthur Cipra , "แบบจำลอง Ising เป็นปัญหาNP-complete ", SIAM News , Vol. 33, No. 6; ฉบับออนไลน์ (.pdf)
• บทความจาก Science World เกี่ยวกับแบบจำลอง Ising
• แอปเพล็ต Java แบบไดนามิก 2 มิติ Ising โดย UCSC เก็บถาวรเมื่อวันที่ 21 กุมภาพันธ์ 2020 ที่Wayback Machine
• แอปเพล็ต Java แบบไดนามิก 2 มิติ Ising
• แอปเพล็ต Java Ising 2 มิติขนาดใหญ่/ซับซ้อนกว่าเก็บถาวรเมื่อ 2020-11-25 ที่Wayback Machine
• "ฉันร้องเพลงอย่างมีจังหวะ" แบบจำลอง Ising: แบบจำลองอย่างง่ายสำหรับพฤติกรรมวิกฤตในระบบการหมุนโดย Dirk Brockman เป็นการจำลองแบบโต้ตอบที่ช่วยให้ผู้ใช้สามารถส่งออกโค้ดที่ใช้งานได้ไปยังสไลด์นำเสนอ
• การจำลองแบบจำลอง Isingโดย Enrique Zeleny จากโครงการ Wolfram Demonstrations Project
• การเปลี่ยนสถานะบนโครงตาข่าย
• นักวิจัยจาก Sandia อ้างว่า การพิสูจน์แบบจำลอง Ising ด้วยสามมิติเป็นไปไม่ได้
• การจำลองแบบมอนเตคาร์โลเชิงโต้ตอบของแบบจำลอง Ising, XY และ Heisenberg ด้วยกราฟิก 3 มิติ (ต้องใช้เบราว์เซอร์ที่รองรับ WebGL)
• โค้ดโมเดล Ising , ตัวอย่างการลดสัญญาณรบกวนภาพด้วยโมเดล Ising
• เอกสารประกอบการบรรยายของเดวิด ตอง ให้ข้อมูลเบื้องต้นที่ดี
• ภาพการ์ตูนแม่เหล็กที่พลิกโฉมวงการวิทยาศาสตร์ - บทความจากนิตยสาร Quanta เกี่ยวกับแบบจำลอง Ising
• การจำลองแบบจำลอง Ising สองมิติในภาษา Julia: https://github.com/cossio/SquareIsingModel.jl