ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะเรขาคณิตเชิงพีชคณิตปริภูมิโมดูลัส คือปริภูมิเรขาคณิต (โดยปกติจะเป็นแผนผังหรือสแต็กเชิงพีชคณิต ) ซึ่งจุดต่างๆ แทนวัตถุเชิงพีชคณิตเรขาคณิตชนิดคงที่ หรือคลาสไอโซมอร์ฟิซึมของวัตถุดังกล่าว ปริภูมิเหล่านี้มักเกิดขึ้นเป็นคำตอบของปัญหาการจำแนกประเภท : หากสามารถแสดงให้เห็นว่าชุดของวัตถุที่น่าสนใจ (เช่นเส้นโค้งเชิงพีชคณิต เรียบที่มี จีนัสคงที่) สามารถกำหนดโครงสร้างของปริภูมิเรขาคณิตได้ จากนั้นก็สามารถกำหนดพารามิเตอร์ให้กับวัตถุดังกล่าวได้โดยการแนะนำพิกัดบนปริภูมิที่ได้ ในบริบทนี้ คำว่า "โมดูลัส" ถูกใช้ในความหมายเดียวกับ "พารามิเตอร์" ปริภูมิโมดูลัสถูกเข้าใจครั้งแรกว่าเป็นปริภูมิของพารามิเตอร์มากกว่าเป็นปริภูมิของวัตถุ รูปแบบหนึ่งของปริภูมิโมดูลัสคือ โมดูลัส เชิงรูปธรรมเบอร์นาร์ด รีมันน์ใช้คำว่า "โมดูลัส" เป็นครั้งแรกในปี 1857 ^{[ 1 ]}

ทุกจุดในปริภูมิโมดูลัสสอดคล้องกับคำตอบของปัญหาทางเรขาคณิตที่กำหนดให้ คำตอบสองคำตอบที่แตกต่างกันจะสอดคล้องกับจุดเดียวกันหากคำตอบทั้งสองนั้นเป็นไอโซมอร์ฟิก (กล่าวคือ เหมือนกันทางเรขาคณิต) อาจมองได้ว่าปริภูมิโมดูลัสเป็นปริภูมิพารามิเตอร์สากลสำหรับปัญหาดังกล่าว

ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาปัญหาการค้นหาวงกลมทั้งหมดในระนาบยุคลิดโดยไม่รวมจุดสามจุดเข้าด้วยกัน วงกลมใดๆ ก็สามารถอธิบายได้อย่างไม่ซ้ำกันโดยการให้จุดสามจุด แต่ชุดจุดสามจุดที่แตกต่างกันหลายชุดก็ให้วงกลมเดียวกันได้ การจับคู่จึงเป็นแบบหลายต่อหนึ่ง อย่างไรก็ตาม วงกลมสามารถกำหนดพารามิเตอร์ได้อย่างไม่ซ้ำกันโดยการให้จุดศูนย์กลางและรัศมี ซึ่งเป็นพารามิเตอร์จริงสองตัวและพารามิเตอร์จริงบวกหนึ่งตัว เนื่องจากเราสนใจเฉพาะวงกลม "โดยไม่รวมจุดสามจุดเข้าด้วยกัน" เราจึงระบุวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางต่างกันแต่มีรัศมีเท่ากัน ดังนั้นรัศมีเพียงอย่างเดียวก็เพียงพอที่จะกำหนดพารามิเตอร์ของเซตที่สนใจได้ ดังนั้นปริภูมิโมดูลัสจึงเป็นจำนวนจริงบวก

ปริภูมิโมดูลัส มักมีโครงสร้างทางเรขาคณิตและโทโพโลยีที่ เป็นธรรมชาติ อยู่ด้วยเช่นกัน ยกตัวอย่างเช่น ในกรณีของวงกลม ปริภูมิโมดูลัสไม่ใช่เพียงแค่เซตเชิงนามธรรม แต่ค่าสัมบูรณ์ของผลต่างของรัศมีจะกำหนดเมตริกสำหรับการพิจารณาว่าวงกลมสองวงนั้น "ใกล้เคียงกัน" หรือไม่ โครงสร้างทางเรขาคณิตของปริภูมิโมดูลัสจะบอกเราในระดับท้องถิ่นว่าคำตอบสองคำตอบของปัญหาการจำแนกประเภททางเรขาคณิตนั้น "ใกล้เคียงกัน" หรือไม่ แต่โดยทั่วไปแล้ว ปริภูมิโมดูลัสก็มีโครงสร้างโดยรวมที่ซับซ้อนเช่นกัน

ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาถึงวิธีการอธิบายกลุ่มเส้นตรงที่ตัดกับจุดกำเนิด เราต้องการกำหนดปริมาณที่สามารถระบุเส้นตรงแต่ละเส้นในกลุ่มนี้ได้อย่างเฉพาะเจาะจง ซึ่งก็คือค่าสัมบูรณ์ ตัวอย่างของปริมาณดังกล่าวคือมุมบวกที่มีหน่วยเป็นเรเดียน กลุ่มเส้นตรงที่กำหนดพารามิเตอร์เช่นนี้เรียกว่าและเรียกว่า เส้นตรงเชิงโปรเจกที ฟ จริง${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \theta (L)}$${\displaystyle 0\leq \theta <\pi }$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {R} )}$

เรายังสามารถอธิบายกลุ่มของเส้นตรงที่ตัดกับจุดกำเนิดได้โดยใช้การสร้างเชิงโทโพโลยี กล่าวคือ ลองพิจารณาวงกลมหน่วยและสังเกตว่าสำหรับทุกจุดจะมีเส้นตรงที่ไม่ซ้ำกันเพียงเส้นเดียวที่เชื่อมจุดกำเนิดกับวงกลมนั้น อย่างไรก็ตาม นี่คือเส้นตรงที่เราจะได้จากการมองวงกลมนั้นด้วยดังนั้นเราจึงระบุจุดตรงข้ามโดยใช้ความสัมพันธ์สมมูลเพื่อให้ได้วงกลมที่มีโทโพโลยีผลหาร ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle S^{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle s\in S^{1}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle -s}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\cong S^{1}/\sim }$

ดังนั้น เมื่อเราพิจารณาเป็นปริภูมิโมดูลัสของเส้นตรงที่ตัดกับจุดกำเนิดใน เราจะสามารถจับวิธีการที่สมาชิก (ในกรณีนี้คือเส้นตรง) ของตระกูลสามารถปรับ เปลี่ยน ได้โดยการเปลี่ยนแปลงมุมอย่างต่อเนื่อง${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \theta }$

ปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟจริง คือปริภูมิโมดูลัสของเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดในปริภูมิ ในทำนองเดียวกันปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อนคือปริภูมิของเส้นตรงเชิงซ้อนทั้งหมดที่ผ่านจุดกำเนิดในปริภูมิ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}$

โดยทั่วไปแล้วกราสส์มันเนียน ของปริภูมิเวกเตอร์คือปริภูมิโมดูลัสของปริภูมิย่อยเชิงเส้นมิติ ทั้งหมด ของ V${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle k}$

เมื่อใดก็ตามที่มีการฝังโครงร่างลงในพื้นที่ฉายภาพสากล[ ^{2 ] [ 3 ]}การฝังจะกำหนดโดยมัดเส้นและส่วนต่างๆซึ่งไม่ได้หายไปทั้งหมดในเวลาเดียวกัน ซึ่งหมายความว่า เมื่อกำหนดจุดหนึ่ง^แล้ว${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}\to X}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{n}\in \Gamma (X,{\mathcal {L}})}$

${\displaystyle x:{\text{Spec}}(R)\to X}$

มีจุดที่เกี่ยวข้อง

${\displaystyle {\hat {x}}:{\text{Spec}}(R)\to \mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}}$

ที่กำหนดโดยองค์ประกอบต่างๆ

${\displaystyle [s_{0}:\cdots :s_{n}]\circ x=[s_{0}(x):\cdots :s_{n}(x)]\in \mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}(R)}$

ดังนั้น มัดเส้นสองมัดที่มีส่วนต่างๆ จึงเทียบเท่ากัน

${\displaystyle ({\mathcal {L}},(s_{0},\ldots ,s_{n}))\sim ({\mathcal {L}}',(s_{0}',\ldots ,s_{n}'))}$

ก็ต่อเมื่อมีไอโซมอร์ฟิซึมที่ทำให้ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันโมดูลัสที่เกี่ยวข้อง${\displaystyle \phi :{\mathcal {L}}\to {\mathcal {L}}'}$${\displaystyle \phi (s_{i})=s_{i}'}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}:{\text{Sch}}\to {\text{Sets}}}$

ส่งแผนการไปยังชุดข้อมูล${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}(X)=\left\{({\mathcal {L}},s_{0},\ldots ,s_{n}):{\begin{matrix}{\mathcal {L}}\to X{\text{ is a line bundle}}\\s_{0},\ldots ,s_{n}\in \Gamma (X,{\mathcal {L}})\\{\text{ form a basis of global sections}}\end{matrix}}\right\}/\sim }$

การพิสูจน์ว่าสิ่งนี้เป็นจริงสามารถทำได้โดยการพิจารณาสัจนิรันดร์หลายข้อ: การฝังเชิงโปรเจกทีฟใดๆ ก็ตามจะให้ชีฟที่สร้างขึ้นทั่วโลกโดยมีส่วนต่างๆในทางกลับกัน การกำหนดบันเดิลเส้นที่เพียงพอซึ่งสร้างขึ้นทั่วโลกโดยส่วนต่างๆ จะให้การฝังดังที่กล่าวมาข้างต้น ${\displaystyle i:X\to \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}}$${\displaystyle i^{*}{\mathcal {O}}_{\mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}}(1)}$${\displaystyle i^{*}x_{0},\ldots ,i^{*}x_{n}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}\to X}$${\displaystyle n+1}$

วาไรตี้Chow (d, P ³ ) เป็นวาไรตี้พีชคณิตเชิงโปรเจกทีฟซึ่งกำหนดพารามิเตอร์ของ เส้นโค้ง ดีกรีdในP ³โดยสร้างขึ้นดังนี้ ให้Cเป็นเส้นโค้งดีกรีdในP ³จากนั้นพิจารณาเส้นตรงทั้งหมดในP ³ที่ตัดกับเส้นโค้งCนี่คือตัวหารดีกรีd D _CในG (2, 4) ซึ่งเป็นกราสส์มันเนียนของเส้นตรงในP ³เมื่อCเปลี่ยนแปลง โดยการเชื่อมโยงCกับD _Cเราจะได้ปริภูมิพารามิเตอร์ของเส้นโค้งดีกรีdเป็นเซตย่อยของปริภูมิของตัวหารดีกรีdของกราสส์มันเนียน: Chow (d, P ³ )

แผนผังฮิลเบิร์ตHilb ( X ) เป็นแผนผังโมดูลัสจุดปิด ทุกจุด ของHilb ( X ) สอดคล้องกับแผนผังย่อยปิดของแผนผังX ที่กำหนดไว้ และแผนผังย่อยปิดทุกอันจะถูกแทนด้วยจุดดังกล่าว ตัวอย่างง่ายๆ ของแผนผังฮิลเบิร์ตคือ แผนผังฮิลเบิร์ตที่ใช้กำหนดพารามิเตอร์พื้นผิวระดับของปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟซึ่ง กำหนดโดย บันเดิลเชิงโปรเจกทีฟ${\displaystyle d}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {Hilb}}_{d}(\mathbb {P} ^{n})=\mathbb {P} (\Gamma ({\mathcal {O}}(d)))}$

โดยมีครอบครัวสากลเป็นผู้มอบให้

${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{(V(f),f):f\in \Gamma ({\mathcal {O}}(d))\}}$

โดยที่แผนผังเชิงโปรเจคทีฟที่เกี่ยวข้องสำหรับพหุนามเอกพันธุ์ดีกรีคือ ${\displaystyle V(f)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle f}$

มีแนวคิดที่เกี่ยวข้องหลายอย่างที่เราอาจเรียกว่าปริภูมิโมดูลัสได้ แต่ละคำจำกัดความเหล่านี้เป็นการกำหนดรูปแบบอย่างเป็นทางการของแนวคิดที่แตกต่างกันว่าจุดในปริภูมิMแทนวัตถุทางเรขาคณิตได้ อย่างไร

นี่คือแนวคิดมาตรฐาน โดยหลักการแล้ว ถ้าเรามีปริภูมิMซึ่งแต่ละจุดm ∊ Mสอดคล้องกับวัตถุเชิงพีชคณิตเรขาคณิตU _mแล้ว เราสามารถประกอบวัตถุเหล่านี้เข้าด้วยกันเป็นบันเดิลเชิงสัจพจน์UบนMได้ (ตัวอย่างเช่น กราสส์มันน์G ( k , V ) มีบันเดิลอันดับkซึ่งไฟเบอร์ที่จุดใดๆ [ L ] ∊ G ( k , V ) ก็คือปริภูมิย่อยเชิงเส้นL ⊂ V นั่นเอง ) Mเรียกว่าปริภูมิฐานของตระกูลUเรากล่าวว่าตระกูลดังกล่าวเป็นสากลถ้าตระกูลใดๆ ของวัตถุเชิงพีชคณิตเรขาคณิตTบนปริภูมิฐานใดๆBเป็นการดึงกลับของUตามแผนที่B → M ที่ไม่ซ้ำกัน ปริภูมิโมดูลัสละเอียดคือปริภูมิMซึ่งเป็นฐานของตระกูลสากล

กล่าวโดยละเอียด สมมติว่าเรามีฟังก์ชันFจากสกีมไปยังเซต ซึ่งกำหนดให้กับสกีมBเซตของตระกูลวัตถุที่เหมาะสมทั้งหมดที่มีฐานเป็นBปริภูมิMเป็นปริภูมิโมดูลัสละเอียดสำหรับฟังก์ชันFถ้าM แทน F กล่าว คือ มีไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติ τ : F → Hom (−, M ) โดยที่Hom (−, M ) เป็นฟังก์ชันของจุด ซึ่งหมายความว่าMมีตระกูลสากล ตระกูลนี้คือตระกูลบนMที่สอดคล้องกับแผนที่เอกลักษณ์1 _M ∊ Hom ( M , M )

ปริภูมิโมดูลัสละเอียดเป็นสิ่งที่พึงปรารถนา แต่ก็ไม่ได้มีอยู่เสมอไปและมักสร้างได้ยาก ดังนั้นนักคณิตศาสตร์จึงบางครั้งใช้แนวคิดที่อ่อนกว่า นั่นคือแนวคิดของปริภูมิโมดูลัสหยาบ ปริภูมิMเป็นปริภูมิโมดูลัสหยาบสำหรับฟังก์ชันF ก็ต่อ เมื่อมีการแปลงธรรมชาติ τ : F → Hom (−, M ) และ τ เป็นการแปลงสากลในบรรดาการแปลงธรรมชาติดังกล่าว กล่าวโดยละเอียดกว่านั้นMเป็นปริภูมิโมดูลัสหยาบสำหรับFก็ต่อเมื่อตระกูลT ใดๆ บนฐานBก่อให้เกิดแผนที่ φ _T  : B → Mและวัตถุสองชิ้นใดๆVและW (ถือว่าเป็นตระกูลบนจุดหนึ่ง) สอดคล้องกับจุดเดียวกันของMก็ต่อเมื่อVและWเป็นไอโซมอร์ฟิก ดังนั้นMจึงเป็นปริภูมิที่มีจุดสำหรับทุกวัตถุที่อาจปรากฏในตระกูล และเรขาคณิตของมันสะท้อนให้เห็นถึงวิธีที่วัตถุสามารถเปลี่ยนแปลงได้ในตระกูล อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าปริภูมิโมดูลัสหยาบไม่จำเป็นต้องมีตระกูลของวัตถุที่เหมาะสมใดๆ เลย ไม่ต้องพูดถึงตระกูลสากลด้วยซ้ำ

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ปริภูมิโมดูลัสละเอียดจะประกอบด้วยทั้งปริภูมิฐานMและตระกูลสากลU → Mในขณะที่ปริภูมิโมดูลัสหยาบจะมีเพียงปริภูมิฐานMเท่านั้น

บ่อยครั้งที่วัตถุทางเรขาคณิตที่น่าสนใจมักมาพร้อมกับออโตมอร์ฟิซึม ตามธรรมชาติมากมาย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สิ่งนี้ทำให้การมีอยู่ของปริภูมิโมดูลัสละเอียดเป็นไปไม่ได้ (โดยสัญชาตญาณแล้ว แนวคิดคือ ถ้าLเป็นวัตถุทางเรขาคณิตบางอย่าง ตระกูลL × [0,1] ที่ไม่สำคัญ สามารถสร้างเป็นตระกูลบิดเบี้ยวบนวงกลมS ^{1 ได้}โดยการระบุL × {0} กับL × {1} ผ่านออโตมอร์ฟิซึมที่ไม่ไม่สำคัญ ทีนี้ ถ้าปริภูมิโมดูลัสละเอียดXมีอยู่จริง แผนที่S ¹ → Xไม่ควรเป็นค่าคงที่ แต่จะต้องเป็นค่าคงที่บนเซตเปิดที่เหมาะสมใดๆ โดยอาศัยความไม่สำคัญ) บางครั้งเรายังคงสามารถหาปริภูมิโมดูลัสหยาบได้ อย่างไรก็ตาม วิธีการนี้ไม่เหมาะสม เนื่องจากปริภูมิเหล่านี้ไม่รับประกันว่าจะมีอยู่จริง บ่อยครั้งก็เป็นปริภูมิเอกฐานเมื่อมีอยู่จริง และขาดรายละเอียดเกี่ยวกับตระกูลของวัตถุที่ไม่ไม่สำคัญบางตระกูลที่พวกมันจำแนก

แนวทางที่ซับซ้อนกว่าคือการเสริมการจำแนกประเภทโดยการจดจำไอโซมอร์ฟิซึม กล่าวคือ บนฐานB ใดๆ เราสามารถพิจารณาหมวดหมู่ของตระกูลบนBโดยมีเพียงไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างตระกูลเท่านั้นที่ถือเป็นมอร์ฟิซึม จากนั้นเราพิจารณาหมวดหมู่ไฟเบอร์ซึ่งกำหนดให้กับปริภูมิB ใดๆ กลุ่มตระกูลเหนือBการใช้หมวดหมู่เหล่านี้ที่มีไฟเบอร์ในกลุ่มตระกูลเพื่ออธิบายปัญหาโมดูลัสมีมาตั้งแต่สมัย Grothendieck (1960/61) โดยทั่วไปแล้ว หมวดหมู่เหล่านี้ไม่สามารถแสดงด้วยสกีมหรือแม้แต่ปริภูมิพีชคณิตได้ แต่ในหลายกรณี พวกมันมีโครงสร้างตามธรรมชาติของ สแต็ ก พีชคณิต

แนวคิดเรื่อง สแต็กเชิงพีชคณิตและการนำไปใช้ในการวิเคราะห์ปัญหาโมดูลัส ปรากฏในงานของ Deligne-Mumford (1969) ในฐานะเครื่องมือในการพิสูจน์ความไม่สามารถลดทอนได้ของปริภูมิโมดูลัส (แบบหยาบ) ของเส้นโค้งที่มีจีนัสที่กำหนด ภาษาของสแต็กเชิงพีชคณิตโดยพื้นฐานแล้วให้วิธีการที่เป็นระบบในการมองหมวดหมู่ไฟเบอร์ที่ประกอบขึ้นเป็นปัญหาโมดูลัสในฐานะ "ปริภูมิ" และสแต็กโมดูลัสของปัญหาโมดูลัสจำนวนมากมีพฤติกรรมที่ดีกว่า (เช่น เรียบ) กว่าปริภูมิโมดูลัสแบบหยาบที่สอดคล้องกัน

สแต็กโมดูลัสจัดกลุ่มตระกูลของเส้นโค้งเชิงโปรเจกทีฟเรียบที่มีจีนัสgพร้อมกับไอโซมอร์ฟิซึมของพวกมัน เมื่อg > 1 สแต็กนี้สามารถทำให้กระชับขึ้นได้โดยการเพิ่มจุด "ขอบเขต" ใหม่ซึ่งสอดคล้องกับเส้นโค้งโหนดเสถียร (พร้อมกับไอโซมอร์ฟิซึมของพวกมัน) เส้นโค้งจะเสถียรก็ต่อเมื่อมันมีเพียงกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมจำกัดเท่านั้น สแต็กที่ได้จะถูกแทนด้วยสแต็กโมดูลัสทั้งสองแบบบรรจุตระกูลเส้นโค้งสากล นอกจากนี้ยังสามารถกำหนดปริภูมิโมดูลัสหยาบที่แสดงถึงชั้นไอโซมอร์ฟิซึมของเส้นโค้งเรียบหรือเส้นโค้งเสถียรได้ ปริภูมิโมดูลัสหยาบเหล่านี้ได้รับการศึกษามาก่อนที่แนวคิดของสแต็กโมดูลัสจะถูกคิดค้นขึ้น อันที่จริง แนวคิดของสแต็กโมดูลัสถูกคิดค้นโดย Deligne และ Mumford ในความพยายามที่จะพิสูจน์ความเป็นโปรเจกทีฟของปริภูมิโมดูลัสหยาบ ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมา ปรากฏชัดว่าสแต็กของเส้นโค้งนั้นเป็นวัตถุพื้นฐานมากกว่า ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$

สแต็กทั้งสองข้างต้นมีมิติ 3 g −3 ดังนั้นเส้นโค้งโหนดที่เสถียรสามารถระบุได้อย่างสมบูรณ์โดยการเลือกค่าของพารามิเตอร์ 3 g −3 เมื่อg > 1 ในจีนัสที่ต่ำกว่า จะต้องคำนึงถึงการมีอยู่ของตระกูลออโตมอร์ฟิซึมที่เรียบ โดยการลบจำนวนของพวกมัน มีเส้นโค้งเชิงซ้อนของจีนัสศูนย์เพียงเส้นเดียว คือทรงกลมรีมันน์ และกลุ่มไอโซมอร์ฟิซึมของมันคือ PGL(2) ดังนั้นมิติของคือ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$

dim(space of genus zero curves) − dim(group of automorphisms) = 0 − dim(PGL(2)) = −3.

ในทำนองเดียวกัน ในจีนัส 1 จะมีปริภูมิเส้นโค้งหนึ่งมิติ แต่เส้นโค้งแต่ละเส้นจะมีกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมหนึ่งมิติ ดังนั้น สแต็กจึงมีมิติเป็น 0 ปริภูมิโมดูลัสหยาบจะมีมิติ เท่ากับ 3g − 3 เช่นเดียวกับสแต็กเมื่อg > 1 เพราะเส้นโค้งที่มีจีนัส g > 1 จะมีเพียงกลุ่มจำกัดเป็นออโตมอร์ฟิซึม กล่าวคือ dim(กลุ่มออโตมอร์ฟิซึม) = 0 ในที่สุด ในจีนัสศูนย์ ปริภูมิโมดูลัสหยาบจะมีมิติเป็นศูนย์ และในจีนัสหนึ่งจะมีมิติเป็นหนึ่ง ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}}$

เราสามารถเพิ่มความซับซ้อนให้กับปัญหาได้โดยการพิจารณาโมดูลัสสแต็กของเส้นโค้งปมที่มี จีนัส g และมีจุดทำเครื่องหมาย nจุด เส้นโค้งที่ทำเครื่องหมายไว้ดังกล่าวจะเรียกว่าเสถียรได้ก็ต่อเมื่อกลุ่มย่อยของออโตมอร์ฟิซึมของเส้นโค้งที่ตรึงจุดทำเครื่องหมายไว้นั้นมีจำนวนจำกัด โมดูลัสสแต็กที่ได้ของเส้นโค้งเรียบ (หรือเสถียร) ที่มี จีนัส g และมีจุดทำเครื่องหมาย nจุด จะถูกแทนด้วย( หรือ) และมีมิติ 3g −  3 +  n${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}}$${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$

กรณีที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือกลุ่มโมดูลัสของเส้นโค้งจีนัส 1 ที่มีจุดทำเครื่องหมายหนึ่งจุด นี่คือกลุ่มของเส้นโค้งวงรีและเป็นที่อยู่ตามธรรมชาติของรูปแบบโมดูลาร์ ที่ได้รับการศึกษาอย่าง กว้างขวาง ซึ่งเป็นส่วนตัดเมโรเมอร์ฟิกของบันเดิลบนกลุ่มนี้ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}$

ในมิติที่สูงขึ้น การสร้างและศึกษาโมดูลัสของวาไรตี้เชิงพีชคณิตนั้นยากขึ้น ตัวอย่างเช่น อนาล็อกในมิติที่สูงขึ้นของปริภูมิโมดูลัสของเส้นโค้งวงรีที่กล่าวถึงข้างต้น คือ ปริภูมิโมดูลัสของวาไรตี้อาเบเลียนเช่นวาไรตี้โมดูลัสของซีเกลนี่คือปัญหาพื้นฐานของ ทฤษฎี รูปแบบโมดูลัสของซีเกลดูเพิ่มเติม ที่ วาไรตี้ชิมูระ

János KollárและNicholas Shepherd-Barronใช้เทคนิคที่เกิดขึ้นจากโปรแกรมแบบจำลองขั้นต่ำเพื่อสร้างพื้นที่โมดูลัสของวาไรตี้ประเภททั่วไปซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อพื้นที่โมดูลัส KSB ^{[ 4 ]}

เป็นที่ทราบกันดีว่าทฤษฎีโมดูลัสที่มีพฤติกรรมที่ดีนั้นไม่สามารถสร้างขึ้นได้สำหรับวาไรตี้ฟาโนทั้งหมด ภายใต้การนำของเฉินหยาง ซูการสร้างปริภูมิโมดูลัสของวาไรตี้ฟาโน ได้สำเร็จโดยการจำกัดเฉพาะวาไรตี้ K-เสถียรกลุ่มพิเศษ กล่าวคือมีโครงร่างเชิงโปรเจคทีฟที่กำหนดพารามิเตอร์วาไรตี้ฟาโน K-โพลีสเตเบิล ซึ่งเป็นปริภูมิโมดูลัสที่ดีของสแต็กโมดูลัสที่กำหนดพารามิเตอร์วาไรตี้ฟาโน K-เซมิสเตเบิล

การสร้างพื้นที่โมดูลัสของ วาไรตี้ Calabi-Yauเป็นปัญหาเปิดที่สำคัญ และมีเพียงกรณีพิเศษ เช่น พื้นที่โมดูลัสของพื้นผิว K3หรือวาไรตี้อาเบล เท่านั้น ที่เข้าใจ^{[ 5 ]}

ปัญหาโมดูลัสที่สำคัญอีกประการหนึ่งคือการ ทำความเข้าใจเรขาคณิตของ (สแต็กย่อยต่างๆ ของ) สแต็กโมดูลัส Vect _n ( X ) ของบันเดิลเวกเตอร์ อันดับ n บนวาไรตีพีชคณิตX ที่กำหนดไว้ ^{[ 6 ]}สแต็กนี้ได้รับการศึกษามากที่สุดเมื่อXเป็นมิติเดียว และโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อ n เท่ากับหนึ่ง ในกรณีนี้ พื้นที่โมดูลัสหยาบคือแผนผัง Picardซึ่งเช่นเดียวกับพื้นที่โมดูลัสของเส้นโค้ง ได้รับการศึกษามาก่อนที่สแต็กจะถูกคิดค้นขึ้น เมื่อบันเดิลมีอันดับ 1 และดีกรีศูนย์ การศึกษาพื้นที่โมดูลัสหยาบคือการศึกษา วาไร ตี Jacobian

ในการประยุกต์ใช้กับฟิสิกส์พบว่าจำนวนโมดูลัสของเวกเตอร์บันเดิลและปัญหาที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับจำนวนโมดูลัสของจีบันเดิลหลัก มีความสำคัญใน ทฤษฎีเกจ

เส้นทาง จีโอเดสิกอย่างง่ายและปริมาตรไวล์-ปีเตอร์สันของปริภูมิโมดูลัสของพื้นผิวรีมันน์ที่มีขอบเขต

การกำหนดปัญหาโมดูลัสและการนิยามปริภูมิโมดูลัสในแง่ของฟังก์ชันโมดูลัส (หรือโดยทั่วไปคือหมวดหมู่ที่จัดเรียงตามกรุปอยด์ ) และปริภูมิที่ (เกือบ) แทนฟังก์ชันโมดูลัสในปัจจุบันนั้น มีที่มาจาก Grothendieck (1960/61) ซึ่งเขาได้อธิบายกรอบการทำงานทั่วไป แนวทาง และปัญหาหลักโดยใช้ปริภูมิTeichmüllerในเรขาคณิตวิเคราะห์เชิงซ้อนเป็นตัวอย่าง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การบรรยายจะอธิบายวิธีการทั่วไปในการสร้างปริภูมิโมดูลัสโดยการ ทำให้ ปัญหาโมดูลัสที่กำลังพิจารณา มีความแข็งแกร่ง ขึ้นก่อน

กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น การมีอยู่ของออโตมอร์ฟิซึมที่ไม่ธรรมดาของวัตถุที่กำลังถูกจำแนกประเภท ทำให้ไม่สามารถมีปริภูมิโมดูลัสละเอียดได้ อย่างไรก็ตาม มักเป็นไปได้ที่จะพิจารณาปัญหาโมดูลัสที่ดัดแปลงแล้วของการจำแนกประเภทวัตถุเดิมพร้อมกับข้อมูลเพิ่มเติม ซึ่งเลือกในลักษณะที่เอกลักษณ์เป็นออโตมอร์ฟิซึมเดียวที่เคารพข้อมูลเพิ่มเติมด้วย ด้วยการเลือกข้อมูลที่ทำให้แข็งตัวอย่างเหมาะสม ปัญหาโมดูลัสที่ดัดแปลงแล้วจะมีปริภูมิโมดูลัส (ละเอียด) Tซึ่งมักอธิบายว่าเป็นซับสกีมของสกีมฮิลเบิร์ ต หรือสกีมควอต ที่เหมาะสม ยิ่งไปกว่านั้น ข้อมูลที่ทำให้แข็งตัวจะถูกเลือกเพื่อให้สอดคล้องกับบันเดิลหลักที่มีกลุ่มโครงสร้างพีชคณิตGดังนั้นจึงสามารถย้อนกลับจากปัญหาที่แข็งตัวไปสู่ปัญหาเดิมได้โดยการหารด้วยการกระทำของGและปัญหาของการสร้างปริภูมิโมดูลัสจะกลายเป็นปัญหาของการค้นหาสกีม (หรือปริภูมิทั่วไปมากกว่า) ที่เป็น (ในความหมายที่แข็งแกร่งอย่างเหมาะสม) ผลหาร T / GของTด้วยการกระทำของGโดยทั่วไปแล้ว ปัญหาสุดท้ายนี้ไม่มีคำตอบ อย่างไรก็ตาม ปัญหานี้ได้รับการแก้ไขโดย ทฤษฎีความคงที่ทาง เรขาคณิต (GIT) ที่ก้าวล้ำ ซึ่งพัฒนาโดยเดวิด มัมฟอร์ดในปี 1965 โดยแสดงให้เห็นว่าภายใต้เงื่อนไขที่เหมาะสม ผลหารนั้นมีอยู่จริง

เพื่อให้เข้าใจว่าสิ่งนี้อาจทำงานได้อย่างไร ลองพิจารณาปัญหาของการกำหนดพารามิเตอร์ให้กับเส้นโค้งเรียบที่มีจีนัสg > 2 เส้นโค้งเรียบพร้อมกับระบบเชิงเส้นสมบูรณ์ที่มีดีกรีd > 2g นั้นเทียบเท่ากับสับสกีมหนึ่งมิติแบบปิดของปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ Pd ^−gดังนั้น ปริภูมิโมดูลัสของเส้นโค้งเรียบและระบบเชิงเส้น (ที่ตรงตามเกณฑ์บางประการ) อาจถูกฝังอยู่ในสกีมฮิลเบิร์ตของปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟที่มีมิติสูงเพียงพอ ตำแหน่งHในสกีมฮิลเบิร์ตนี้มีการกระทำของ PGL( n ) ซึ่งผสมองค์ประกอบของระบบเชิงเส้น ดังนั้น ปริภูมิโมดูลัสของเส้นโค้งเรียบจึงถูกกู้คืนเป็นผลหารของHโดยกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปเชิงโปรเจกทีฟ

แนวทางทั่วไปอีกประการหนึ่งนั้นเกี่ยวข้องกับไมเคิล อาร์ติน เป็นหลัก แนวคิดในที่นี้คือการเริ่มต้นด้วยวัตถุประเภทที่จะจัดประเภทและศึกษาทฤษฎีการเปลี่ยนแปลงรูปร่าง ของมัน ซึ่งหมายถึงการสร้างการเปลี่ยนแปลงรูปร่างแบบอนันต์ ก่อน จากนั้นจึงใช้ทฤษฎีบท การเป็นตัวแทนเพื่อนำสิ่งเหล่านี้มารวมกันเป็นวัตถุบนฐานที่เป็นทางการ ต่อมา การใช้ทฤษฎีบทการดำรงอยู่ที่เป็นทางการของโกรเทนดีค จะให้วัตถุประเภทที่ต้องการบนฐานซึ่งเป็นวงแหวนเฉพาะที่สมบูรณ์ วัตถุนี้สามารถประมาณได้โดยใช้ทฤษฎีบทการประมาณของอาร์ตินโดยวัตถุที่กำหนดบนวงแหวนที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดสเปกตรัมของวงแหวนหลังนี้สามารถมองได้ว่าเป็นแผนที่พิกัดชนิดหนึ่งบนปริภูมิโมดูลัสที่ต้องการ โดยการเชื่อมต่อแผนที่เหล่านี้เข้าด้วยกันมากพอ เราสามารถครอบคลุมปริภูมิได้ แต่แผนที่จากผลรวมของสเปกตรัมของเราไปยังปริภูมิโมดูลัสโดยทั่วไปจะเป็นแบบหลายต่อหนึ่ง ดังนั้นเราจึงกำหนดความสัมพันธ์สมมูลบนสเปกตรัมก่อน โดยพื้นฐานแล้ว จุดสองจุดจะสมมูลกันหากวัตถุบนแต่ละจุดนั้นเป็นไอโซมอร์ฟิกกัน สิ่งนี้ทำให้ได้โครงร่างและความสัมพันธ์สมมูล ซึ่งเพียงพอที่จะกำหนดปริภูมิพีชคณิต (ที่จริงแล้วคือสแต็กพีชคณิตหากเราพิจารณาอย่างรอบคอบ) แม้ว่าจะไม่ใช่โครงร่างเสมอไปก็ตาม

ใน วิชาฟิสิกส์บางครั้งคำว่า "ปริภูมิโมดูลัส" ถูกใช้เพื่อ อ้างถึงปริภูมิโมดูลัสของค่าคาดหวังสุญญากาศของชุดฟิลด์สเกลาร์หรือปริภูมิโมดูลัสของพื้นหลังสตริง ที่เป็นไปได้

ปริภูมิโมดูลีปรากฏในฟิสิกส์ในทฤษฎีสนามเชิงทอพอโลยี ด้วยเช่นกัน โดยสามารถใช้ปริพันธ์เส้นทางของไฟน์แมนในการคำนวณจำนวนจุดตัดของปริภูมิโมดูลีเชิงพีชคณิตต่างๆ ได้

• แผนการของฮิลเบิร์ต
• โครงการโควต้า
• ทฤษฎีการเปลี่ยนรูป
• ดัชนี GIT
• เกณฑ์ของ Artinเกณฑ์ทั่วไปสำหรับการสร้างปริภูมิโมดูลัสเป็นสแต็กพีชคณิตจากฟังก์ชันโมดูลัส

• ค่าสัมบูรณ์ของเส้นโค้งพีชคณิต
• สแต็กโมดูลัสของเส้นโค้งวงรี
• ปริภูมิโมดูลัสของวาไรตี้ฟาโนที่มีเสถียรภาพ K
• เส้นโค้งแบบโมดูลาร์
• ฟังก์ชัน Picard
• ค่าสัมบูรณ์ของชีฟกึ่งเสถียรบนเส้นโค้ง
• ปริภูมิโมดูลัสของ Seiberg–Witten
• คอนต์เซวิช โมดูลี สเปซ
• โมดูลัสของชีฟกึ่งเสถียร

• Lurie, J. (2011). "ปัญหาโมดูลัสสำหรับสเปกตรัมวงแหวน". รายงานการประชุมนานาชาติของนักคณิตศาสตร์ 2010 (ICM 2010) . หน้า  1099–1125 . doi : 10.1142/9789814324359_0088 . ISBN 978-981-4324-30-4.