ในการหาอนุพันธ์ของสมการวงกลมโมห์สำหรับกรณีสองมิติของความเค้นระนาบและความเครียดระนาบ ขั้นแรกให้พิจารณาองค์ประกอบวัสดุ ขนาดเล็กมากสองมิติรอบจุดวัสดุจุดหนึ่ง${\displaystyle P}$(รูปที่ 4) โดยมีพื้นที่หน่วยในทิศทางขนานกับ${\displaystyle y}$-${\displaystyle z}$ระนาบ กล่าวคือ ตั้งฉากกับหน้ากระดาษหรือหน้าจอ

จากสมดุลของแรงบนองค์ประกอบขนาดเล็กมาก ขนาดของความเค้นปกติสามารถหาได้${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$และแรงเฉือน${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$ได้รับจาก:

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\cos 2\theta +\tau _{xy}\sin 2\theta }$

${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin 2\theta +\tau _{xy}\cos 2\theta }$

การหาที่มาของสมการพาราเมตริกของวงกลมโมห์ร - สมดุลของแรง

จากสมดุลของแรงในทิศทางของ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$(${\displaystyle x'}$แกน x) (รูปที่ 4) และทราบว่าพื้นที่ของระนาบที่${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$การกระทำคือ${\displaystyle dA}$เรามี: ${\displaystyle \ {\begin{aligned}\sum F_{x'}&=\sigma _{\mathrm {n} }dA-\sigma _{x}dA\cos ^{2}\theta -\sigma _{y}dA\sin ^{2}\theta -\tau _{xy}dA\cos \theta \sin \theta -\tau _{xy}dA\sin \theta \cos \theta =0\\\sigma _{\mathrm {n} }&=\sigma _{x}\cos ^{2}\theta +\sigma _{y}\sin ^{2}\theta +2\tau _{xy}\sin \theta \cos \theta \\\end{aligned}}}$ อย่างไรก็ตาม เมื่อรู้ว่า ${\displaystyle \cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}},\qquad \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}}\qquad {\text{and}}\qquad \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta }$ เราได้รับ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\cos 2\theta +\tau _{xy}\sin 2\theta }$ ทีนี้ จากสมดุลของแรงในทิศทางของ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$(${\displaystyle y'}$แกน x) (รูปที่ 4) และทราบว่าพื้นที่ของระนาบที่${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$การกระทำคือ${\displaystyle dA}$เรามี: ${\displaystyle \ {\begin{aligned}\sum F_{y'}&=\tau _{\mathrm {n} }dA+\sigma _{x}dA\cos \theta \sin \theta -\sigma _{y}dA\sin \theta \cos \theta -\tau _{xy}dA\cos ^{2}\theta +\tau _{xy}dA\sin ^{2}\theta =0\\\tau _{\mathrm {n} }&=-(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin \theta \cos \theta +\tau _{xy}\left(\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \right)\\\end{aligned}}}$ อย่างไรก็ตาม เมื่อรู้ว่า ${\displaystyle \cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =\cos 2\theta \qquad {\text{and}}\qquad \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta }$ เราได้รับ ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin 2\theta +\tau _{xy}\cos 2\theta }$

สมการทั้งสองสามารถได้มาจากการใช้กฎการแปลงเทนเซอร์กับเทนเซอร์ความเค้นโคชีที่ทราบ ซึ่งเทียบเท่ากับการหาค่าสมดุลสถิตของแรงในทิศทางของ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$และ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$.

การหาอนุพันธ์ของสมการพาราเมตริกวงกลมของ Mohr - การแปลงเทนเซอร์

กฎการแปลงเทนเซอร์ความเครียดสามารถระบุได้ดังนี้ ${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\sigma }}'&=\mathbf {A} {\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {A} ^{T}\\\left[{\begin{matrix}\sigma _{x'}&\tau _{x'y'}\\\tau _{y'x'}&\sigma _{y'}\\\end{matrix}}\right]&=\left[{\begin{matrix}a_{x}&a_{xy}\\a_{yx}&a_{y}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}a_{x}&a_{yx}\\a_{xy}&a_{y}\\\end{matrix}}\right]\\&=\left[{\begin{matrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{matrix}}\right]\end{aligned}}}$ การขยายด้านขวามือ และการรู้ว่า${\displaystyle \sigma _{x'}=\sigma _{\mathrm {n} }}$และ${\displaystyle \tau _{x'y'}=\tau _{\mathrm {n} }}$เรามี: ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }=\sigma _{x}\cos ^{2}\theta +\sigma _{y}\sin ^{2}\theta +2\tau _{xy}\sin \theta \cos \theta }$ อย่างไรก็ตาม เมื่อรู้ว่า ${\displaystyle \cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}},\qquad \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}}\qquad {\text{and}}\qquad \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta }$ เราได้รับ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\cos 2\theta +\tau _{xy}\sin 2\theta }$ ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }=-(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin \theta \cos \theta +\tau _{xy}\left(\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \right)}$ อย่างไรก็ตาม เมื่อรู้ว่า ${\displaystyle \cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =\cos 2\theta \qquad {\text{and}}\qquad \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta }$ เราได้รับ ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin 2\theta +\tau _{xy}\cos 2\theta }$ ในขณะนี้ยังไม่จำเป็นต้องคำนวณส่วนประกอบของความเค้น${\displaystyle \sigma _{y'}}$กระทำบนระนาบที่ตั้งฉากกับระนาบการกระทำของ${\displaystyle \sigma _{x'}}$เนื่องจากไม่จำเป็นสำหรับการหาอนุพันธ์ของสมการวงกลมโมห์ร

สมการทั้งสองนี้คือสมการพาราเมตริกของวงกลมโมห์ร ในสมการเหล่านี้${\displaystyle 2\theta }$คือพารามิเตอร์ และ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$และ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$คือพิกัด ซึ่งหมายความว่าโดยการเลือกใช้ระบบพิกัดที่มีแกน abscissa${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$และบัญญัติ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$โดยกำหนดค่าให้กับพารามิเตอร์${\displaystyle \theta }$จะนำจุดที่ได้มาวางเรียงบนวงกลม

การกำจัดพารามิเตอร์${\displaystyle 2\theta }$จากสมการพาราเมตริกเหล่านี้จะให้สมการไม่พาราเมตริกของวงกลมโมห์ร ซึ่งสามารถทำได้โดยการจัดเรียงสมการใหม่สำหรับ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$และ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$โดยเริ่มจากการย้ายพจน์แรกในสมการแรก แล้วยกกำลังสองทั้งสองข้างของแต่ละสมการ จากนั้นจึงบวกกัน ดังนั้นเราจึงได้

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\sigma _{\mathrm {n} }-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{\mathrm {n} }^{2}&=\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}\\(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{\mathrm {avg} })^{2}+\tau _{\mathrm {n} }^{2}&=R^{2}\end{aligned}}}$

ที่ไหน

${\displaystyle R={\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{\mathrm {avg} }={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})}$

นี่คือสมการของวงกลม (วงกลมโมห์ร) ซึ่งมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}$

ด้วยรัศมี${\displaystyle r=R}$โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่พิกัด ${\displaystyle (a,b)=(\sigma _{\mathrm {avg} },0)}$ใน${\displaystyle (\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })}$ระบบพิกัด

เมื่อใช้โมห์รเซอร์เคิล จะต้องพิจารณากฎการใช้สัญลักษณ์สองชุดที่แตกต่างกัน คือชุด หนึ่ง สำหรับส่วนประกอบของความเค้นใน "พื้นที่ทางกายภาพ" และอีกชุดหนึ่งสำหรับส่วนประกอบของความเค้นใน "พื้นที่โมห์รเซอร์เคิล" นอกจากนี้ ภายในกฎการใช้สัญลักษณ์ทั้งสองชุดนั้น เอกสาร ทางวิศวกรรมกลศาสตร์ ( วิศวกรรมโครงสร้างและวิศวกรรมเครื่องกล ) ยังใช้กฎการใช้สัญลักษณ์ที่แตกต่างจาก เอกสาร ทางธรณีกลศาสตร์ไม่มีกฎการใช้สัญลักษณ์ที่เป็นมาตรฐาน และการเลือกใช้กฎการใช้สัญลักษณ์ใดนั้นขึ้นอยู่กับความสะดวกในการคำนวณและการตีความสำหรับปัญหาเฉพาะนั้นๆ คำอธิบายโดยละเอียดเกี่ยวกับกฎการใช้สัญลักษณ์เหล่านี้จะกล่าวถึงต่อไป

การพิสูจน์สมการของวงกลมโมห์รโดยใช้รูปที่ 4 ก่อนหน้านี้เป็นไปตามหลักการกำหนดเครื่องหมายในกลศาสตร์วิศวกรรม ดังนั้นในบทความนี้จะใช้หลักการกำหนดเครื่องหมายดังกล่าว

ธรรมเนียมการใช้สัญลักษณ์วงกลม-ช่องว่างของ Mohr

ตามหลักการกำหนดเครื่องหมายของวงกลมโมห์รและพื้นที่ ความเค้นปกติจะมีเครื่องหมายเดียวกับความเค้นปกติตามหลักการกำหนดเครื่องหมายของพื้นที่ทางกายภาพ กล่าวคือ ความเค้นปกติที่เป็นบวกจะกระทำออกไปทางระนาบการกระทำ และความเค้นปกติที่เป็นลบจะกระทำเข้าทางระนาบการกระทำ

อย่างไรก็ตาม แรงเฉือนมีข้อกำหนดที่แตกต่างกันในพื้นที่วงกลมโมห์รเมื่อเทียบกับข้อกำหนดในพื้นที่ทางกายภาพ ในข้อกำหนดเรื่องเครื่องหมายในพื้นที่วงกลมโมห์ร แรงเฉือนที่เป็นบวกจะหมุนองค์ประกอบวัสดุในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา และแรงเฉือนที่เป็นลบจะหมุนวัสดุในทิศทางตามเข็มนาฬิกา ด้วยวิธีนี้ ส่วนประกอบของแรงเฉือน${\displaystyle \tau _{xy}}$มีค่าเป็นบวกในพื้นที่วงกลมโมห์ร และส่วนประกอบของแรงเฉือน${\displaystyle \tau _{yx}}$มีค่าเป็นลบในพื้นที่วงกลมโมห์ร

มีสองทางเลือกในการวาดพื้นที่วงกลมโมห์ร ซึ่งจะได้วงกลมโมห์รที่ถูกต้องทางคณิตศาสตร์:

1. แรงเฉือนที่เป็นบวกจะถูกพล็อตขึ้นด้านบน (รูปที่ 5 ข้อกำหนดเรื่องเครื่องหมาย #1)
2. ค่าความเค้นเฉือนที่เป็นบวกจะถูกพล็อตลงด้านล่าง กล่าวคือ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$แกน x กลับด้าน (รูปที่ 5, ข้อกำหนดเรื่องเครื่องหมาย #2)

การพล็อตแรงเฉือนบวกขึ้นด้านบนทำให้มุมเปลี่ยนไป${\displaystyle 2\theta }$บนวงกลม Mohr มีการหมุนตามเข็มนาฬิกาเป็นบวก ซึ่งตรงข้ามกับข้อกำหนดของพื้นที่ทางกายภาพ นั่นเป็นเหตุผลที่ผู้เขียนบางคน^{[ 3 ]}นิยมพล็อตความเค้นเฉือนที่เป็นบวกลงด้านล่าง ซึ่งทำให้มุม${\displaystyle 2\theta }$วงกลมโมห์รมีทิศทางการหมุนทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก คล้ายกับหลักการทางฟิสิกส์เชิงพื้นที่สำหรับแรงเฉือน

เพื่อแก้ไข "ปัญหา" ที่แกนความเค้นเฉือนชี้ลงด้านล่างในพื้นที่วงกลมโมห์ร จึงมี การกำหนดเครื่องหมาย ทางเลือกโดยถือว่าความเค้นเฉือนที่เป็นบวกจะหมุนองค์ประกอบวัสดุในทิศทางตามเข็มนาฬิกา และความเค้นเฉือนที่เป็นลบจะหมุนองค์ประกอบวัสดุในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา (รูปที่ 5 ตัวเลือกที่ 3) ด้วยวิธีนี้ ความเค้นเฉือนที่เป็นบวกจะถูกพล็อตขึ้นด้านบนในพื้นที่วงกลมโมห์ร และมุม${\displaystyle 2\theta }$มีการหมุนทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวกในพื้นที่วงกลมโมห์ร ข้อกำหนดเครื่องหมาย ทางเลือก นี้ สร้างวงกลมที่เหมือนกับข้อกำหนดเครื่องหมาย #2 ในรูปที่ 5 เนื่องจากความเค้นเฉือนเป็นบวก${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$นอกจากนี้ยังมีแรงเฉือนทวนเข็มนาฬิกาด้วย โดยทั้งสองแบบแสดงทิศทางลงด้านล่าง และยังมีแรงเฉือนติดลบด้วย${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$เป็นแรงเฉือนตามเข็มนาฬิกา และทั้งสองถูกพล็อตขึ้นด้านบน

บทความนี้ใช้หลักการกำหนดเครื่องหมายตามกลศาสตร์วิศวกรรมสำหรับพื้นที่ทางกายภาพ และ ใช้หลักการกำหนดเครื่องหมาย ทางเลือกสำหรับพื้นที่วงกลมโมห์ร (หลักการกำหนดเครื่องหมายหมายเลข 3 ในรูปที่ 5)

โดยสมมติว่าเรารู้ส่วนประกอบของความเค้นแล้ว${\displaystyle \sigma _{x}}$,${\displaystyle \sigma _{y}}$, และ${\displaystyle \tau _{xy}}$ณ จุดหนึ่ง${\displaystyle P}$ในวัตถุที่กำลังศึกษา ดังแสดงในรูปที่ 4 ขั้นตอนต่อไปนี้คือขั้นตอนในการสร้างวงกลมโมห์รสำหรับสถานะความเค้นที่${\displaystyle P}$:

1. วาดระบบพิกัดคาร์ทีเซียน${\displaystyle (\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })}$ด้วยแนวนอน${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$แกน - และแนวตั้ง ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$-แกน.
2. พล็อตจุดสองจุด${\displaystyle A(\sigma _{y},\tau _{xy})}$และ${\displaystyle B(\sigma _{x},-\tau _{xy})}$ใน${\displaystyle (\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })}$พื้นที่ที่สอดคล้องกับส่วนประกอบความเค้นที่ทราบบนระนาบตั้งฉากทั้งสอง${\displaystyle A}$และ${\displaystyle B}$ตามลำดับ (รูปที่ 4 และ 6) โดยปฏิบัติตามหลักการกำหนดเครื่องหมายที่เลือกไว้
3. ลากเส้น เชื่อมจุดต่างๆ บนเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม${\displaystyle A}$และ${\displaystyle B}$ด้วยเส้นตรง${\displaystyle {\overline {AB}}}$.
4. วาดวงกลมโมห์ร จุดศูนย์กลาง${\displaystyle O}$จุดกึ่งกลางของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมคือจุดกึ่งกลางของเส้นผ่านศูนย์กลาง${\displaystyle {\overline {AB}}}$ซึ่งสอดคล้องกับจุดตัดของเส้นนี้กับ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$แกน.

ขนาดของความเค้นหลักคือพิกัดแกน x ของจุดต่างๆ${\displaystyle C}$และ${\displaystyle E}$(รูปที่ 6) โดยที่วงกลมตัดกับ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$แกน - ขนาดของความเค้นหลักที่สำคัญที่สุด${\displaystyle \sigma _{1}}$ค่าสัมบูรณ์ ที่มากที่สุด ของแกน x ของจุดทั้งสองนี้ก็คือค่าของจุด x เสมอ ในทำนองเดียวกัน ขนาดของความเค้นหลักรองก็คือค่าของจุด x เช่นกัน${\displaystyle \sigma _{2}}$ค่าสัมบูรณ์ต่ำสุดของแกน abscissa ของจุดทั้งสองนี้จะเป็นค่าที่คาดการณ์ได้เสมอ และค่าแกน y ของจุดทั้งสองนี้จะเป็นศูนย์ ซึ่งสอดคล้องกับขนาดของส่วนประกอบความเค้นเฉือนบนระนาบหลัก หรืออีกทางหนึ่ง ค่าของความเค้นหลักสามารถหาได้โดย

${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{\max }=\sigma _{\text{avg}}+R}$

${\displaystyle \sigma _{2}=\sigma _{\min }=\sigma _{\text{avg}}-R}$

โดยที่ขนาดของความเค้นปกติเฉลี่ย${\displaystyle \sigma _{\text{avg}}}$คือแกน abscissa ของจุดศูนย์กลาง${\displaystyle O}$โดยกำหนดโดย

${\displaystyle \sigma _{\text{avg}}={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})}$

และความยาวของรัศมี${\displaystyle R}$ของวงกลม (โดยอิงจากสมการของวงกลมที่ผ่านสองจุด) กำหนดโดย

${\displaystyle R={\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}}}}$

ค่าความเค้นเฉือนสูงสุดและต่ำสุดสอดคล้องกับพิกัดของจุดสูงสุดและจุดต่ำสุดบนวงกลมตามลำดับ จุดเหล่านี้อยู่ตรงจุดตัดของวงกลมกับเส้นตรงแนวตั้งที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม${\displaystyle O}$ดังนั้น ขนาดของความเค้นเฉือนสูงสุดและต่ำสุดจึงเท่ากับค่ารัศมีของวงกลม${\displaystyle R}$

${\displaystyle \tau _{\max ,\min }=\pm R}$

ดังที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ หลังจากทำการวิเคราะห์ความเค้นแบบสองมิติแล้ว เราจะทราบส่วนประกอบของความเค้น${\displaystyle \sigma _{x}}$,${\displaystyle \sigma _{y}}$, และ${\displaystyle \tau _{xy}}$ณ จุดสำคัญ${\displaystyle P}$ส่วนประกอบของแรงเค้นเหล่านี้กระทำในระนาบตั้งฉากสองระนาบ${\displaystyle A}$และ${\displaystyle B}$ผ่านไป${\displaystyle P}$ดังแสดงในรูปที่ 5 และ 6 วงกลมโมห์รใช้ในการหาองค์ประกอบของความเค้น${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$และ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$กล่าวคือ พิกัดของจุดใดๆ${\displaystyle D}$บนวงกลม กระทำบนระนาบอื่นใด${\displaystyle D}$ผ่านไป${\displaystyle P}$การสร้างมุม${\displaystyle \theta }$กับเครื่องบิน${\displaystyle B}$สำหรับเรื่องนี้ สามารถใช้ได้สองวิธี คือ วิธีมุมสองเท่า และวิธีจุดกำเนิดหรือขั้วของระนาบ

ขั้วหรือจุดกำเนิดของระนาบ

แนวทางที่สองเกี่ยวข้องกับการกำหนดจุดบนวงกลมโมห์รที่เรียกว่าขั้วหรือจุดกำเนิดของระนาบเส้นตรงใดๆ ที่ลากจากขั้วจะตัดกับวงกลมโมห์รที่จุดซึ่งแสดงถึงสถานะของความเค้นบนระนาบที่เอียงในทิศทางเดียวกัน (ขนาน) กับเส้นตรงนั้นในอวกาศ ดังนั้น การทราบส่วนประกอบของความเค้นจึงเป็นสิ่งสำคัญ${\displaystyle \sigma }$และ${\displaystyle \tau }$บนระนาบใดๆ เราสามารถลากเส้นขนานกับระนาบนั้นผ่านพิกัดที่กำหนดได้${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$และ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$บนวงกลมโมห์ร และหาจุดขั้วโดยพิจารณาจากจุดตัดของเส้นดังกล่าวกับวงกลมโมห์ร ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเรามีสภาวะความเค้นที่มีส่วนประกอบของความเค้น${\displaystyle \sigma _{x},\!}$,${\displaystyle \sigma _{y},\!}$, และ${\displaystyle \tau _{xy},\!}$ดังแสดงในรูปที่ 7 ขั้นแรก เราสามารถลากเส้นจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งได้${\displaystyle B}$ขนานกับระนาบการกระทำของ${\displaystyle \sigma _{x}}$หรือหากเราเลือกอย่างอื่น ก็คือเส้นตรงจากจุด${\displaystyle A}$ขนานกับระนาบการกระทำของ${\displaystyle \sigma _{y}}$จุดตัดของเส้นตรงสองเส้นใดๆ กับวงกลมโมห์ร คือ ขั้ว เมื่อกำหนดขั้วได้แล้ว ก็ต้องหาค่าความเค้นบนระนาบที่ทำมุมกับขั้วนั้น${\displaystyle \theta }$โดยที่ระนาบ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือระนาบที่มีเวกเตอร์ตั้งฉากทำมุมกับระนาบนั้น${\displaystyle \theta }$เมื่อพิจารณาจากระนาบแนวนอนแล้ว เราสามารถลากเส้นจากจุดศูนย์กลางขนานกับระนาบนั้นได้ (ดูรูปที่ 7) แรงดัดและแรงเฉือนบนระนาบนั้นจะเป็นพิกัดของจุดตัดระหว่างเส้นตรงกับวงกลมโมห์ร

ทิศทางของระนาบที่ความเค้นหลักสูงสุดและต่ำสุดกระทำ หรือที่เรียกว่าระนาบหลักสามารถกำหนดได้โดยการวัดมุม ∠BOC และ ∠BOE ในวงกลมโมห์ร ตามลำดับ แล้วหาครึ่งหนึ่งของแต่ละมุม ดังนั้น มุม ∠BOC ระหว่าง${\displaystyle {\overline {OB}}}$และ${\displaystyle {\overline {OC}}}$เป็นสองเท่าของมุม${\displaystyle \theta _{p}}$ซึ่งระนาบหลักที่สำคัญสร้างขึ้นด้วยระนาบ${\displaystyle B}$.

มุม${\displaystyle \theta _{p1}}$และ${\displaystyle \theta _{p2}}$สามารถหาได้จากสมการต่อไปนี้เช่นกัน

${\displaystyle \tan 2\theta _{\mathrm {p} }={\frac {2\tau _{xy}}{\sigma _{y}-\sigma _{x}}}}$

สมการนี้กำหนดค่าสองค่าสำหรับ${\displaystyle \theta _{\mathrm {p} }}$ซึ่งคือ${\displaystyle 90^{\circ }}$แยกออกจากกัน (รูปภาพ) สมการนี้สามารถหาได้โดยตรงจากเรขาคณิตของวงกลม หรือโดยการสร้างสมการพาราเมตริกของวงกลมสำหรับ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$เท่ากับศูนย์ (ความเค้นเฉือนในระนาบหลักมีค่าเป็นศูนย์เสมอ)

สมมติว่ามีชิ้นส่วนวัสดุอยู่ในสภาวะความเค้นดังแสดงในรูปที่ 8 และรูปที่ 9 โดยระนาบของด้านหนึ่งทำมุม 10° กับระนาบแนวนอน จงใช้โมห์เซอร์เคิลเพื่อหาค่าต่อไปนี้

• ทิศทางของระนาบการกระทำของพวกเขา
• ความเค้นเฉือนสูงสุดและทิศทางของระนาบการกระทำของความเค้นเหล่านั้น
• ส่วนประกอบของความเค้นบนระนาบแนวนอน

ตรวจสอบคำตอบโดยใช้สูตรการแปลงความเค้นหรือกฎการแปลงความเค้น

คำตอบ: ตามหลักการกำหนดเครื่องหมายทางกลศาสตร์วิศวกรรมสำหรับพื้นที่ทางกายภาพ (รูปที่ 5) ส่วนประกอบของความเค้นสำหรับองค์ประกอบวัสดุในตัวอย่างนี้คือ:

${\displaystyle \sigma _{x'}=-10{\textrm {MPa}}}$

${\displaystyle \sigma _{y'}=50{\textrm {MPa}}}$

${\displaystyle \tau _{x'y'}=40{\textrm {MPa}}}$.

ในการทำตามขั้นตอนการวาดวงกลมโมห์รสำหรับสภาวะความเค้นเฉพาะนี้ ขั้นแรกเราจะวาดระบบพิกัดคาร์ทีเซียน${\displaystyle (\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })}$ด้วย${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$แกน - ชี้ขึ้นด้านบน

จากนั้นเรากำหนดจุดสองจุด A(50,40) และ B(-10,-40) ซึ่งแสดงถึงสถานะความเค้นที่ระนาบ A และ B ดังแสดงในรูปที่ 8 และรูปที่ 9 จุดเหล่านี้เป็นไปตามหลักการกำหนดเครื่องหมายทางกลศาสตร์วิศวกรรมสำหรับพื้นที่วงกลมโมห์ร (รูปที่ 5) ซึ่งถือว่าความเค้นปกติเป็นบวกพุ่งออกไปจากองค์ประกอบวัสดุ และความเค้นเฉือนเป็นบวกบนแต่ละระนาบที่หมุนองค์ประกอบวัสดุตามเข็มนาฬิกา ด้วยวิธีนี้ ความเค้นเฉือนที่กระทำบนระนาบ B จะเป็นลบ และความเค้นเฉือนที่กระทำบนระนาบ A จะเป็นบวก เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมคือเส้นที่เชื่อมจุด A และ B จุดศูนย์กลางของวงกลมคือจุดตัดของเส้นนี้กับ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$แกน x เมื่อทราบทั้งตำแหน่งของจุดศูนย์กลางและความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลาง เราจึงสามารถวาดวงกลมโมห์รสำหรับสภาวะความเค้นเฉพาะนี้ได้

แกน abscissa ของจุด E และ C ทั้งสองจุด (รูปที่ 8 และรูปที่ 9) ตัดกับ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$แกน x และแกน y แสดงขนาดของความเค้นปกติต่ำสุดและสูงสุดตามลำดับ ส่วนแกน y ของจุด E และ C แสดงขนาดของความเค้นเฉือนที่กระทำบนระนาบหลักเล็กและระนาบหลักใหญ่ตามลำดับ ซึ่งมีค่าเป็นศูนย์สำหรับระนาบหลักใหญ่

แม้ว่าแนวคิดของการใช้โมห์เซอร์เคิลคือการหาค่าส่วนประกอบของความเค้นต่างๆ โดยการวัดพิกัดของจุดต่างๆ บนวงกลม แต่การตรวจสอบผลลัพธ์ด้วยวิธีวิเคราะห์นั้นสะดวกกว่า ดังนั้น รัศมีและแกน x ของจุดศูนย์กลางของวงกลมจึงเป็นดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}R&={\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\\&={\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(-10-50)\right]^{2}+40^{2}}}\\&=50{\textrm {MPa}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\mathrm {avg} }&={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})\\&={\tfrac {1}{2}}(-10+50)\\&=20{\textrm {MPa}}\\\end{aligned}}}$

และความเค้นหลักคือ

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}&=\sigma _{\mathrm {avg} }+R\\&=70{\textrm {MPa}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{2}&=\sigma _{\mathrm {avg} }-R\\&=-30{\textrm {MPa}}\\\end{aligned}}}$

พิกัดของจุด H และ G (รูปที่ 8 และรูปที่ 9) คือขนาดของแรงเฉือนต่ำสุดและสูงสุดตามลำดับ ส่วนแกน abscissa ของจุด H และ G คือขนาดของแรงกดปกติที่กระทำบนระนาบเดียวกันกับที่แรงเฉือนต่ำสุดและสูงสุดกระทำ ตามลำดับ สามารถหาขนาดของแรงเฉือนต่ำสุดและสูงสุดได้โดยวิธีวิเคราะห์

${\displaystyle \tau _{\max ,\min }=\pm R=\pm 50{\textrm {MPa}}}$

และความเค้นปกติที่กระทำบนระนาบเดียวกันกับที่ความเค้นเฉือนต่ำสุดและสูงสุดกระทำนั้นมีค่าเท่ากับ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {avg} }}$

เราสามารถเลือกใช้วิธีการมุมคู่ (รูปที่ 8) หรือวิธีการเสา (รูปที่ 9) เพื่อหาทิศทางของแรงเค้นปกติหลักและแรงเค้นเฉือนหลักได้

โดยใช้วิธีมุมสองเท่า เราวัดมุม ∠BOC และ ∠BOE ในวงกลมโมห์ร (รูปที่ 8) เพื่อหาค่าสองเท่าของมุมที่ความเค้นหลักสูงสุดและความเค้นหลักรองทำกับระนาบ B ในพื้นที่ทางกายภาพ เพื่อให้ได้ค่ามุมเหล่านี้ที่แม่นยำยิ่งขึ้น แทนที่จะวัดมุมด้วยตนเอง เราสามารถใช้สูตรวิเคราะห์ได้

${\displaystyle {\begin{aligned}2\theta _{\mathrm {p} }=\arctan {\frac {2\tau _{xy}}{\sigma _{x}-\sigma _{y}}}=\arctan {\frac {2*40}{(-10-50)}}=-\arctan {\frac {4}{3}}\end{aligned}}}$

หนึ่งในวิธีแก้ปัญหาคือ:${\displaystyle 2\theta _{p}=-53.13^{\circ }}$จากการพิจารณาภาพที่ 8 ค่านี้สอดคล้องกับมุม ∠BOE ดังนั้น มุมหลักเล็กคือ

${\displaystyle \theta _{p2}=-26.565^{\circ }}$

จากนั้น มุมหลักที่สำคัญที่สุดคือ

${\displaystyle {\begin{aligned}2\theta _{p1}&=180-53.13^{\circ }=126.87^{\circ }\\\theta _{p1}&=63.435^{\circ }\\\end{aligned}}}$

โปรดจำไว้ว่าในตัวอย่างนี้${\displaystyle \theta _{p1}}$และ${\displaystyle \theta _{p2}}$คือมุมที่สัมพันธ์กับระนาบการกระทำของ${\displaystyle \sigma _{x'}}$(มุ่งเน้นที่${\displaystyle x'}$(แกน -) และไม่ใช่มุมที่สัมพันธ์กับระนาบการกระทำของ${\displaystyle \sigma _{x}}$(มุ่งเน้นที่${\displaystyle x}$-แกน).

ในการใช้แนวทาง Pole เราจะกำหนดตำแหน่ง Pole หรือจุดกำเนิดของระนาบก่อน สำหรับการนี้ เราจะลากเส้นตรงผ่านจุด A บนวงกลม Mohr โดยทำมุม 10° กับแนวราบ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เส้นตรงขนานกับระนาบ A โดยที่${\displaystyle \sigma _{y'}}$กระทำ ขั้วคือจุดที่เส้นนี้ตัดกับวงกลมโมห์ร (รูปที่ 9) เพื่อยืนยันตำแหน่งของขั้ว เราสามารถลากเส้นผ่านจุด B บนวงกลมโมห์รขนานกับระนาบ B โดยที่${\displaystyle \sigma _{x'}}$เส้นนี้จะตัดกับวงกลมของโมห์รที่ขั้วโลกด้วย (รูปที่ 9)

จากจุดขั้วโลก เราลากเส้นไปยังจุดต่างๆ บนวงกลมโมห์ร พิกัดของจุดที่เส้นเหล่านี้ตัดกับวงกลมโมห์รบ่งบอกถึงส่วนประกอบของความเค้นที่กระทำบนระนาบในพื้นที่ทางกายภาพที่มีความเอียงเดียวกันกับเส้นนั้น ตัวอย่างเช่น เส้นจากขั้วโลกไปยังจุด C บนวงกลมมีความเอียงเดียวกันกับระนาบในพื้นที่ทางกายภาพที่${\displaystyle \sigma _{1}}$ระนาบนี้ทำมุม 63.435° กับระนาบ B ทั้งในพื้นที่วงกลมโมห์รและในพื้นที่ทางกายภาพ ในทำนองเดียวกัน ลากเส้นจากจุดศูนย์กลางไปยังจุด E, D, F, G และ H เพื่อหาองค์ประกอบความเค้นบนระนาบที่มีทิศทางเดียวกัน