ในทางคณิตศาสตร์การบังคับ (forcing)เป็นวิธีการสร้างแบบจำลอง ใหม่ M [ G ] ของทฤษฎีเซตโดยการเพิ่มเซตย่อยทั่วไปGของโพเซตPเข้าไปในแบบจำลองMโพเซตPที่ใช้จะกำหนดว่าข้อความใดบ้างที่เป็นจริงในเอกภพใหม่ ('ส่วนขยาย') ดังนั้น การบังคับข้อความที่สนใจจึงต้องสร้างโพเซตP ที่เหมาะสม บทความนี้แสดงรายการโพเซตP บางส่วน ที่ถูกนำมาใช้ในการสร้างนี้

• Pเป็นเซตลำดับที่มีอันดับ <
• Vคือเอกภพของเซตทั้งหมด
• Mคือแบบจำลองเชิงถ่ายทอดที่นับได้ของทฤษฎีเซต
• Gเป็นเซตย่อยทั่วไปของPเหนือM

• Pสอดคล้องกับเงื่อนไขของห่วงโซ่ที่นับได้หากทุกแอนติเชนในPมีจำนวนนับได้มากที่สุด ซึ่งหมายความว่าVและV [ G ] มีจำนวนคาร์ดินัลเดียวกัน (และมีโคฟินาลิตี้เดียวกัน)
• เซตย่อยDของPเรียกว่าเซตหนาแน่นถ้าสำหรับทุกp ∈ Pจะมีบางq ∈ Dที่q ≤ p
• ตัวกรองบน​​Pคือเซตย่อยF ที่ไม่ว่าง ของPโดยที่ถ้าp < qและp ∈ Fแล้วq ∈ Fและถ้าp ∈ Fและq ∈ Fแล้วจะมีr ∈ Fบาง ตัว ที่r ≤ pและr ≤ q
• เซตย่อยGของPเรียกว่าเซตทั่วไปเหนือMถ้ามันเป็นตัวกรองที่ตรงกับเซตย่อยหนาแน่นทุกเซตของPในM

การบังคับแบบอะมีบา คือการบังคับด้วยลำดับอะมีบาและเพิ่มเซตของจำนวนจริงสุ่มขนาด 1 เข้าไป

ในการบังคับแบบโคเฮน (ตั้งชื่อตามพอล โคเฮน ) Pคือเซตของฟังก์ชันจากเซตย่อยจำกัดของ ω × ω ไปยัง {0,1} และp < qถ้าp ⊇ q

โพเซ็ตนี้สอดคล้องกับเงื่อนไขลูกโซ่ที่นับได้ การบังคับด้วยโพเซ็ตนี้จะเพิ่มจำนวนจริงที่แตกต่างกัน ω² ในแบบจำลอง นี่คือโพเซ็ตที่โคเฮนใช้ในการพิสูจน์ความเป็นอิสระของสมมติฐานความต่อเนื่องในครั้งแรกของเขา

โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถแทนที่ ω² จำนวนเชิงคาร์ดินัล κ ใดๆ เพื่อสร้างแบบจำลองที่คอนติเนียมมีขนาดอย่างน้อยเท่ากับ κ ในกรณีนี้ไม่มีข้อจำกัดใดๆ หาก κ มีโคฟินาลิตี้เท่ากับ ω ขนาดของจำนวนจริงก็จะมากกว่า κ ในที่สุด

การ บังคับแบบ Grigorieff (ตามชื่อของ Serge Grigorieff) ทำลายตัวกรองอัลตราฟิลเตอร์อิสระบนω

การบังคับของเฮชเลอร์ (ตั้งชื่อตาม สตีเฟน เฮอร์แมน เฮชเลอร์) ใช้เพื่อแสดงให้เห็นว่าสัจพจน์ของมาร์ตินบ่งชี้ว่าทุกตระกูลของฟังก์ชันที่น้อยกว่าcจาก ω ไปยัง ω จะถูกครอบงำโดยฟังก์ชันดังกล่าวบางฟังก์ชันในที่สุด

Pคือเซตของคู่( s , E )โดยที่sคือลำดับจำกัดของจำนวนธรรมชาติ (ซึ่งถือว่าเป็นฟังก์ชันจากลำดับจำกัดไปยัง ω) และEคือเซตย่อยจำกัดของเซตG ที่กำหนดไว้ ของฟังก์ชันจาก ω ไปยัง ω สมาชิก ( s , E ) จะแข็งแกร่งกว่า( t , F )ถ้าtอยู่ในs , Fอยู่ในEและถ้าkอยู่ในโดเมนของsแต่ไม่อยู่ใน โดเมนของ tแล้วs ( k ) > h ( k )สำหรับทุกhในF

การบังคับแบบวนซ้ำที่มีขอบเขตจำกัดได้รับการแนะนำโดยSolovayและTennenbaumเพื่อแสดงให้เห็นถึงความสอดคล้องของ สมมติฐาน ของSuslin Eastonได้แนะนำการบังคับแบบวนซ้ำอีกประเภทหนึ่งเพื่อกำหนดค่าที่เป็นไปได้ของฟังก์ชันต่อเนื่องที่คาร์ดินัลปกติ การบังคับแบบวนซ้ำที่มีขอบเขตที่นับได้ถูกตรวจสอบโดยLaverในการพิสูจน์ความสอดคล้องของข้อสันนิษฐานของ Borel, Baumgartnerผู้แนะนำการบังคับตามสัจพจน์ A และShelahผู้แนะนำการบังคับแบบเหมาะสม การวนซ้ำที่มีขอบเขตที่นับได้แบบปรับปรุงใหม่ได้รับการแนะนำโดยShelahเพื่อจัดการกับการบังคับแบบกึ่งเหมาะสม เช่น การบังคับแบบ Prikry และการวางนัยทั่วไป โดยเฉพาะอย่างยิ่งรวมถึงการบังคับแบบ Namba

บังคับด้วย${\displaystyle \Pi _{1}^{0}}$คลาสถูกคิดค้นโดยRobert SoareและCarl Jockuschเพื่อพิสูจน์ผลลัพธ์ต่างๆ รวมถึงทฤษฎีบทฐานต่ำโดยที่Pคือเซตของสมาชิกที่ไม่ว่างเปล่า${\displaystyle \Pi _{1}^{0}}$กลุ่มย่อยของ${\displaystyle 2^{\omega }}$(หมายถึงเซตของเส้นทางผ่านต้นไม้ ย่อย ที่คำนวณได้ อนันต์ ของ${\displaystyle 2^{<\omega }}$) เรียงลำดับตามการรวม ในขณะที่แนวคิดบังคับส่วนใหญ่ในหน้านี้เกี่ยวข้องกับทฤษฎีเซต แต่แนวคิดนี้เกี่ยวข้องกับทฤษฎีการเรียกซ้ำ

Laverใช้การบังคับแบบ Laver เพื่อแสดงให้เห็นว่าข้อสันนิษฐานของ Borel ซึ่งกล่าวว่าเซตที่มีการวัดแบบเข้มข้นเป็นศูนย์ ทั้งหมด สามารถนับได้นั้น สอดคล้องกับ ZFC (ข้อสันนิษฐานของ Borel ไม่สอดคล้องกับสมมติฐานความต่อเนื่อง)

• Pคือเซตของต้นไม้ลาเวอร์ เรียงลำดับตามการรวม

ต้นไม้ลาเวอร์ p คือเซตย่อยของลำดับจำกัดของจำนวนธรรมชาติ โดยที่

• pเป็นต้นไม้: pประกอบด้วยลำดับเริ่มต้นใดๆ ขององค์ประกอบใดๆ ของpหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือpปิดภายใต้ส่วนเริ่มต้น
• pมีลำต้น: โหนดสูงสุดs ( p ) = s ∈ pโดยที่s ≤ tหรือt ≤ sสำหรับทุกtในp
• ถ้าt ∈ pและs ≤ tแล้วtจะมีผู้สืบทอดโดยตรงจำนวนอนันต์tnในpสำหรับn ∈ ω

ถ้าGเป็นเจเนริกสำหรับ( P , ≤)แล้วจำนวนจริง{ s ( p )  : p ∈ G }ซึ่งเรียกว่าจำนวนจริงลาเวอร์จะกำหนดG ได้อย่างเฉพาะ เจาะจง

การบังคับแบบ Laver เป็นไปตามคุณสมบัติของ Laver

การเตรียมการของ Laver ได้รับการแนะนำโดยLaver ^{[ 1 ]}ในบริบทของการบังคับในขณะที่รักษาสัจพจน์จำนวนคาร์ดินัลขนาดใหญ่ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หาก κ เป็น จำนวนคาร์ดินัลซูเปอร์คอมแพ็กต์หลังจากบังคับด้วยการเตรียมการของ Laver ที่ κ แล้ว κ จะยังคงเป็นจำนวนคาร์ดินัลซูเปอร์คอมแพ็กต์ และยิ่งไปกว่านั้นจะยังคงเป็นเช่นนั้นต่อไปหลังจากการบังคับปิดแบบกำหนดทิศทาง κ เพิ่มเติมใดๆ

การเตรียมการของ Laver P บน κ คือ การวนซ้ำของการสนับสนุน Easton ที่มีความยาว κ โดยมีฟังก์ชัน Laver f เป็นตัวนำทาง ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันที่สำหรับx ใดๆ ในVจะมีการฝัง λ-supercompactness jที่มีจุดวิกฤต κ (สำหรับ λ ที่เหมาะสม) โดยที่j(f)(κ)=x ; Laver แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันดังกล่าวมีอยู่สำหรับคาร์ดินัล supercompact ทุกตัว κ การวนซ้ำP จะมีการบังคับที่ไม่ธรรมดาเฉพาะในบางขั้นตอน α เท่านั้น ซึ่งf(α)เป็นชื่อที่เหมาะสมสำหรับการบังคับแบบปิดทิศทาง α ในกรณีนี้f(α)จะถูกใช้เป็นการบังคับในขั้นตอน α

โพเซ็ตเหล่านี้จะยุบจำนวนคาร์ดินัลต่างๆ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือบังคับให้พวกมันมีขนาดเท่ากับจำนวนคาร์ดินัลที่มีขนาดเล็กกว่า

• การยุบจำนวนเชิงคาร์ดินัลให้เหลือ ω: Pคือเซตของลำดับจำกัดทั้งหมดของจำนวนเชิงออร์ดินัลที่น้อยกว่าจำนวนเชิงคาร์ดินัล λ ที่กำหนดให้ ถ้า λ เป็นจำนวนนับไม่ได้ การบังคับด้วยโพเซตนี้จะยุบ λ ให้เหลือ ω
• การยุบจำนวนเชิงซ้อนหนึ่งไปยังอีกจำนวนเชิงซ้อนหนึ่ง: Pคือเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจากเซตย่อยของ κ ที่มีขนาดน้อยกว่า κ ไปยัง λ (สำหรับจำนวนเชิงซ้อน κ และ λ ที่คงที่) การบังคับด้วยเซตลำดับนี้จะยุบ λ ลงเหลือ κ
• การยุบแบบเลวี:ถ้า κ เป็นเซตปกติและ λ เป็นเซตที่เข้าถึงไม่ได้ แล้วPคือเซตของฟังก์ชันpบนเซตย่อยของλ × κที่มีโดเมนขนาดเล็กกว่า κ และp (α, ξ) < αสำหรับทุก(α, ξ)ในโดเมนของpเซตลำดับนี้จะยุบจำนวนคาร์ดินัลทั้งหมดที่น้อยกว่า λ ไปยัง κ แต่ยังคง λ ไว้เป็นตัวสืบทอดของ κ

การยุบตัวของเลวี (Levy Collapsing) ตั้งชื่อตามแอซเรียล เลวี (Azriel Levy )

ในบรรดาแนวคิดการบังคับมากมายที่พัฒนาโดยมาจิดอร์ หนึ่งในแนวคิดที่เป็นที่รู้จักมากที่สุดคือการวางนัยทั่วไปของการบังคับแบบพริครี ซึ่งใช้ในการเปลี่ยนโคฟินาลิตี้ของจำนวนคาร์ดินัล ให้เป็นจำนวนคาร์ดินัลปกติ ที่เล็กกว่าที่กำหนดให้

• สมาชิกของPคือคู่ที่ประกอบด้วยเซตจำกัดsของจำนวนธรรมชาติและเซตอนันต์Aของจำนวนธรรมชาติ โดยที่สมาชิกทุกตัวในsมีค่าน้อยกว่าสมาชิกทุกตัวในAลำดับถูกกำหนดโดย

( t , B )แข็งแกร่งกว่า ( s , A ) (( t , B ) < ( s , A ))ถ้าs เป็นส่วนเริ่มต้นของt , Bเป็นเซตย่อยของAและtอยู่ในs ∪ A

เทคนิคการบังคับทิศทางแบบมาเธียส (Mathias forcing) ตั้งชื่อตามเอเดรียน มาเธียส

การบังคับแบบนัมบะ (ตั้งชื่อตามคันจินัมบะ) ใช้เพื่อเปลี่ยนโคฟินาลิตี้ของ ω เป็น ω โดยไม่ทำให้ ω ยุบตัว ลง

• Pคือเซตของต้นไม้ทั้งหมด${\displaystyle T\subseteq \omega _{2}^{<\omega }}$(เซตย่อยปิดลงที่ไม่ว่างของเซตลำดับจำกัดของจำนวนเชิงอันดับน้อยกว่า ω² ซึ่งมีคุณสมบัติว่าs ใดๆ ในTมีส่วนขยายในTซึ่งมี${\displaystyle \aleph _{2}}$ ผู้สืบทอดโดยตรงPเรียงลำดับตามการรวม (กล่าวคือ ต้นไม้ย่อยเป็นเงื่อนไขที่แข็งแกร่งกว่า) จุดตัดของต้นไม้ทั้งหมดในตัวกรองทั่วไปกำหนดลำดับที่นับได้ซึ่งเป็นโคฟินัลในω

การบังคับ Namba′ คือเซตย่อยของPโดยที่มีโหนดหนึ่งอยู่ด้านล่างซึ่งลำดับการเรียงเป็นแบบเชิงเส้น และอยู่ด้านบนซึ่งแต่ละโหนดจะมี${\displaystyle \aleph _{2}}$ผู้สืบทอดตำแหน่งโดยตรง

MagidorและShelahพิสูจน์ว่าหาก CH เป็นจริง วัตถุทั่วไปของการบังคับ Namba จะไม่มีอยู่ในส่วนขยายทั่วไปโดย Namba′ และในทางกลับกัน^{[ 2 ] [ 3 ]}

ในการบังคับแบบ Prikry (ตั้งชื่อตาม Karel Prikrý) Pคือเซตของคู่( s , A )โดยที่sเป็นเซตย่อยจำกัดของจำนวนเชิงคาร์ดินัลที่วัดได้คงที่ κ และAเป็นสมาชิกของการวัดปกติคง ที่ Dบน κ เงื่อนไข( s , A )จะแข็งแกร่งกว่า( t , B )ถ้าtเป็นส่วนเริ่มต้นของs , Aอยู่ในBและsอยู่ในt ∪ Bแนวคิดการบังคับนี้สามารถใช้เพื่อเปลี่ยนโคฟินาลิตี้ของ κ ในขณะที่ยังคงรักษาจำนวนเชิงคาร์ดินัลทั้งหมดไว้

การนำผลคูณของเงื่อนไขบังคับมาใช้ เป็นวิธีการบังคับเงื่อนไขทั้งหมดพร้อมกัน

• ผลคูณจำกัด : ถ้าPและQเป็นเซตลำดับบางส่วน ผลคูณเซตลำดับบาง ส่วน P × Qจะมีลำดับบางส่วนที่กำหนดโดย( p , q ) ≤ ( p , q )ถ้าp ≤ p และq ≤ q
• ผลคูณอนันต์ : ผลคูณของเซตของโพเซตP , i ∈ Iซึ่งแต่ละเซตมีสมาชิกที่ใหญ่ที่สุดคือ 1 คือเซตของฟังก์ชันpบนIโดยที่p ( i ) ∈ P ( i )และp ( i ) = 1สำหรับทุก i ยกเว้นจำนวนจำกัดของiลำดับจะกำหนดโดยp ≤ qถ้าp ( i ) ≤ q ( i )สำหรับทุกi
• ผลคูณอีสตัน (ตั้งชื่อตามวิลเลียม บิเกโลว์ อีสตัน) ของเซตโพเซตP , i ∈ Iโดยที่Iเป็นเซตของจำนวนเชิงคาร์ดินัล คือเซตของฟังก์ชันpบนIโดยที่p ( i ) ∈ P ( i )และเป็นเช่นนั้น สำหรับจำนวนเชิงคาร์ดินัลปกติ γ ทุกตัว จำนวนสมาชิก α ของ γ ที่มีp (α) ≠ 1จะน้อยกว่า γ

การบังคับแบบราดิน (ตั้งชื่อตามลอน เบิร์ก ราดิน) ซึ่งเป็นการขยายความเชิงเทคนิคที่ซับซ้อนของการบังคับแบบมาจิดอร์ จะเพิ่มเซตย่อยปิดที่ไม่จำกัดขอบเขตให้กับจำนวนเชิงคาร์ดินัลปกติ λ บางจำนวน

ถ้า λ เป็นจำนวนเชิงคาร์ดินัลที่มีขนาดใหญ่เพียงพอ การบังคับจะทำให้ λ ยังคงเป็นจำนวนปกติสามารถวัดได้ เป็นจำนวนซูเปอร์ คอมแพ็กต์ ฯลฯ

• Pคือเซตของเซตย่อยบอเรลของ [0,1] ที่มีมาตรเป็นบวก โดยที่pเรียกว่าแข็งแกร่งกว่าqถ้ามันอยู่ในqเซตทั่วไปGจะเข้ารหัส "จำนวนจริงสุ่ม": จำนวนจริงx ที่ไม่ ซ้ำกันในทุกช่วงตรรกยะ[ r , s ] ^{V [ G ]}โดยที่[ r , s ] ^Vอยู่ในGจำนวนจริงนี้ "สุ่ม" ในความหมายที่ว่า ถ้าXเป็นเซตย่อยใดๆ ของ[0, 1] ^Vที่มีมาตร 1 และอยู่ในVแล้วx ∈ X

• Pคือเซตของต้นไม้สมบูรณ์ทั้งหมดที่อยู่ในเซตของลำดับจำกัด{0, 1} (ต้นไม้Tคือเซตของลำดับจำกัดที่ประกอบด้วยเซกเมนต์เริ่มต้นทั้งหมดของสมาชิก และเรียกว่าต้นไม้สมบูรณ์ ถ้าสำหรับสมาชิกt ใดๆ ของTมีเซกเมนต์sที่ขยายtโดยที่ทั้งs 0 และs 1 อยู่ในT ) ต้นไม้pแข็งแกร่งกว่าqถ้าpอยู่ในqการบังคับด้วยต้นไม้สมบูรณ์ถูกใช้โดยGerald Enoch Sacksเพื่อสร้างจำนวนจริงaที่มีระดับการสร้างขั้นต่ำ

การบังคับด้วยกระสอบมี คุณสมบัติ ของกระสอบ

สำหรับSซึ่งเป็นเซตย่อยคงที่ของ${\displaystyle \omega _{1}}$เราตั้ง${\displaystyle P=\{\langle \sigma ,C\rangle \,\colon \sigma }$เป็นลำดับปิดจากSและCเป็นเซตย่อยปิดที่ไม่จำกัดขอบเขตของ${\displaystyle \omega _{1}\}}$เรียงลำดับโดย${\displaystyle \langle \sigma ',C'\rangle \leq \langle \sigma ,C\rangle }$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle \sigma '}$ต่อขยายปลาย${\displaystyle \sigma }$และ${\displaystyle C'\subseteq C}$และ${\displaystyle \sigma '\subseteq \sigma \cup C}$. ใน${\displaystyle V[G]}$เรามีสิ่งนั้น${\displaystyle \bigcup \{\sigma \,\colon (\exists C)(\langle \sigma ,C\rangle \in G)\}}$เป็นเซตย่อยปิดที่ไม่จำกัดขอบเขตของSซึ่งเกือบทั้งหมดบรรจุอยู่ในเซตคลับแต่ละเซตในV${\displaystyle \aleph _{1}}$ได้รับการรักษาไว้ วิธีนี้ได้รับการแนะนำโดยโรนัลด์ เจนเซนเพื่อแสดงให้เห็นถึงความสอดคล้องกันของสมมติฐานความต่อเนื่องและสมมติฐานซัสลิน

สำหรับSซึ่งเป็นเซตย่อยคงที่ของ${\displaystyle \omega _{1}}$เรากำหนดให้Pเท่ากับเซตของลำดับที่นับได้แบบปิดจากSใน${\displaystyle V[G]}$เรามีสิ่งนั้น${\displaystyle \bigcup G}$เป็นเซตย่อยปิดที่ไม่จำกัดขอบเขตของSและ${\displaystyle \aleph _{1}}$ได้รับการรักษาไว้ และถ้า CH เป็นจริง จำนวนคาร์ดินัลทั้งหมดก็จะได้รับการรักษาไว้เช่นกัน

สำหรับSซึ่งเป็นเซตย่อยคงที่ของ${\displaystyle \omega _{1}}$เรากำหนดให้Pเท่ากับเซตของเซตจำกัดของคู่ลำดับที่นับได้ โดยที่ถ้า${\displaystyle p\in P}$และ${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle \in p}$แล้ว${\displaystyle \alpha \leq \beta }$และ${\displaystyle \alpha \in S}$และเมื่อใดก็ตามที่${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle }$และ${\displaystyle \langle \gamma ,\delta \rangle }$หาก p เป็นองค์ประกอบที่แตกต่างกัน ก็แสดงว่าpเป็นอย่างใดอย่างหนึ่ง${\displaystyle \beta <\gamma }$หรือ${\displaystyle \delta <\alpha }$P ถูกจัดเรียงตามลำดับการรวมแบบย้อนกลับใน${\displaystyle V[G]}$เรามีสิ่งนั้น${\displaystyle \{\alpha \,\colon (\exists \beta )(\langle \alpha ,\beta \rangle \in \bigcup G)\}}$เป็นเซตย่อยปิดที่ไม่จำกัดขอบเขตของSและจำนวนคาร์ดินัลทั้งหมดจะยังคงอยู่

การบังคับแบบซิลเวอร์ (ตั้งชื่อตามแจ็ค ฮาวาร์ด ซิลเวอร์ ) คือเซตของฟังก์ชันบางส่วนทั้งหมดจากจำนวนธรรมชาติไปยัง{0, 1}ซึ่งมีโดเมนเป็นอนันต์ หรือเทียบเท่ากับเซตของคู่( A , p ) ทั้งหมด โดยที่Aเป็นเซตย่อยของจำนวนธรรมชาติที่มีคอมพลีเมนต์เป็นอนันต์ และpเป็นฟังก์ชันจากAไปยังเซตคงที่ที่มี 2 สมาชิก เงื่อนไขq จะแข็งแกร่งกว่าเงื่อนไขpถ้าqขยายp

การบังคับด้วยเงินนั้นสอดคล้องกับ Fusion, คุณสมบัติของ Sacksและมีค่าต่ำสุดเมื่อเทียบกับจำนวนจริง (แต่ไม่ใช่ค่าต่ำสุดอย่างแท้จริง)

การบังคับแบบ Vopěnka (ตั้งชื่อตามPetr Vopěnka ) ใช้สำหรับเพิ่มเซตโดยทั่วไป${\displaystyle A}$ของลำดับที่ถึง${\displaystyle {\color {blue}{\text{HOD}}}}$กำหนดนิยามก่อน${\displaystyle P'}$ในฐานะเซตของทั้งหมดที่ไม่ว่างเปล่า${\displaystyle {\text{OD}}}$เซตย่อยของเซตกำลัง${\displaystyle {\mathcal {P}}(\alpha )}$ของ${\displaystyle \alpha }$, ที่ไหน${\displaystyle A\subseteq \alpha }$เรียงลำดับตามการรวม:${\displaystyle p\leq q}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle p\subseteq q}$แต่ละเงื่อนไข${\displaystyle p\in P'}$สามารถแทนด้วยทูเพิล ได้${\displaystyle (\beta ,\gamma ,\varphi )}$ ที่ไหน${\displaystyle x\in p\Leftrightarrow V_{\beta }\models \varphi (\gamma ,x)}$สำหรับทุกคน${\displaystyle x\subseteq \alpha }$การแปลระหว่าง${\displaystyle p}$และมีการเป็นตัวแทนน้อยที่สุดคือ${\displaystyle {\text{OD}}}$และด้วยเหตุนี้${\displaystyle P'}$ มีโครงสร้างเหมือนกับเซตลำดับ${\displaystyle P\in {\text{HOD}}}$(เงื่อนไขคือการแสดงองค์ประกอบขั้นต่ำของ${\displaystyle P'}$). โพเซ็ตนี้คือแรงผลักดัน Vopenka สำหรับเซตย่อยของ${\displaystyle \alpha }$การกำหนด${\displaystyle G_{A}}$ในฐานะเซตของการแสดงแทนทั้งหมดสำหรับองค์ประกอบต่างๆ${\displaystyle p\in P'}$โดยที่ ${\displaystyle A\in p}$, แล้ว${\displaystyle G_{A}}$เป็น${\displaystyle {\text{HOD}}}$-ทั่วไปและ${\displaystyle A\in {\text{HOD}}[G_{A}]}$.

• A.Miller (2009), Forcing Tidbits.