อนุกรมซับนอร์มอล (หรืออนุกรมนอร์มอล , หอคอยนอร์มอล , อนุกรมซับอินแวเรียนต์หรือเรียกสั้นๆ ว่าอนุกรม ) ของกลุ่มGคือลำดับของกลุ่มย่อยแต่ละกลุ่มซึ่งแต่ละกลุ่ม ย่อย เป็นกลุ่มย่อยนอร์มอลของกลุ่มถัดไป ในสัญลักษณ์มาตรฐาน

${\displaystyle 1=A_{0}\triangleleft A_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft A_{n}=G.}$

ไม่มีข้อกำหนดว่าA จะต้องเป็นกลุ่มย่อยปกติของGเพียงแต่ต้องเป็นกลุ่มย่อยปกติของ A เท่านั้น กลุ่มผลหารA / A เรียกว่ากลุ่มตัวประกอบของอนุกรม

ถ้า A แต่ละจำนวน ปกติในGด้วยแล้ว อนุกรมนั้นจะเรียกว่าอนุกรมปกติ (normal series ) เมื่อไม่ได้ใช้คำนี้ในความหมายที่อ่อนกว่า หรือเรียกว่าอนุกรมไม่เปลี่ยนแปลง (invariant series )

อนุกรมที่มีคุณสมบัติเพิ่มเติมว่าA ≠ A สำหรับทุกiเรียกว่าอนุกรมที่ไม่มีการซ้ำกันหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ แต่ละA เป็นกลุ่มย่อยแท้ของA ความยาวของอนุกรมคือจำนวนของการรวมอย่างเคร่งครัดA < A ถ้าอนุกรมไม่มีการซ้ำกัน ความยาวของอนุกรมคือn

สำหรับอนุกรมย่อยปกติ ความยาวของอนุกรมคือจำนวน กลุ่มปัจจัยที่ ไม่ใช่กลุ่มปัจจัยศูนย์แต่ละกลุ่มปัจจัยที่ไม่ใช่กลุ่มปัจจัยศูนย์จะมีอนุกรมปกติที่มีความยาว 1 กล่าวคือ${\displaystyle 1\triangleleft G}$และกลุ่มย่อยปกติแท้ที่ไม่ใช่กลุ่มย่อยที่ไม่สำคัญใดๆ จะให้ชุดอนุกรมปกติที่มีความยาว 2 สำหรับกลุ่มง่ายชุดอนุกรมที่ไม่สำคัญที่มีความยาว 1 คือชุดอนุกรมย่อยปกติที่ยาวที่สุดที่เป็นไปได้

สามารถระบุอนุกรมได้ทั้งแบบเรียงลำดับจากน้อยไปมาก:

${\displaystyle 1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq A_{n}=G}$

หรือเรียงลำดับจากมากไปน้อย:

${\displaystyle G=B_{0}\geq B_{1}\geq \cdots \geq B_{n}=1.}$

สำหรับอนุกรมจำกัดที่กำหนดให้ ไม่มีความแตกต่างระหว่าง "อนุกรมจากน้อยไปมาก" หรือ "อนุกรมจากมากไปน้อย" นอกเหนือจากสัญลักษณ์ อย่างไรก็ตาม สำหรับ อนุกรม อนันต์มีความแตกต่างอยู่: อนุกรมจากน้อยไปมาก

${\displaystyle 1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq G}$

มีพจน์ที่เล็กที่สุด พจน์ที่เล็กเป็นอันดับสอง และอื่นๆ แต่ไม่มีพจน์ที่ใหญ่ที่สุด ไม่มีพจน์ที่ใหญ่เป็นอันดับสอง และอื่นๆ ในขณะที่อนุกรมที่ลดลงนั้นตรงกันข้าม

${\displaystyle G=B_{0}\geq B_{1}\geq \cdots \geq 1}$

มีคำที่ใหญ่ที่สุด แต่ไม่มีคำที่เล็กที่สุด

นอกจากนี้ เมื่อกำหนดสูตรเวียนเกิดสำหรับการสร้างอนุกรมแล้ว พจน์ที่ได้จะเป็นอนุกรมจากน้อยไปมากหรือจากมากไปน้อย และเราจะเรียกอนุกรมที่ได้ว่าเป็นอนุกรมจากน้อยไปมากหรือจากมากไปน้อยตามลำดับ ตัวอย่างเช่นอนุกรมที่ได้มาและอนุกรมกลางล่างเป็นอนุกรมจากมากไปน้อย ในขณะที่อนุกรมกลางบนเป็นอนุกรมจากน้อยไปมาก

กลุ่มที่ตรงตามเงื่อนไขสายโซ่ขึ้น (ACC) บนกลุ่มย่อยเรียกว่ากลุ่มโนเธอร์เรียน (Noetherian group ) และกลุ่มที่ตรงตามเงื่อนไขสายโซ่ลง (DCC) เรียกว่ากลุ่มอาร์ทิเนียน (Artinian group) (อย่าสับสนกับกลุ่มอาร์ทิน (Artin groups )) โดยเปรียบเทียบกับวงแหวนโนเธอร์เรียน (Noetherian rings ) และวงแหวนอาร์ทิเนียน (Artinian rings ) เงื่อนไข ACC เทียบเท่ากับเงื่อนไขสูงสุด กล่าว คือ ทุก กลุ่มย่อย ที่ไม่ว่างเปล่าจะมีสมาชิกสูงสุด และเงื่อนไข DCC เทียบเท่ากับเงื่อนไขต่ำสุด ที่คล้ายคลึง กัน

กลุ่มหนึ่งอาจเป็นกลุ่มโนเธอร์เรียนแต่ไม่ใช่กลุ่มอาร์ทิเนียน เช่นกลุ่มวัฏจักรอนันต์และแตกต่างจากวงแหวนตรงที่ กลุ่มหนึ่งอาจเป็นกลุ่มอาร์ทิเนียนแต่ไม่ใช่กลุ่มโนเธอร์เรียน เช่นกลุ่มพรูเฟอร์กลุ่มจำกัดทุกกลุ่มเป็นทั้งกลุ่มโนเธอร์เรียนและกลุ่มอาร์ทิเนียนอย่างชัดเจน

ภาพโฮโมมอร์ฟิกและกลุ่มย่อยของกลุ่มโนเธอร์เรียนเป็นกลุ่มโนเธอร์เรียน และการขยายกลุ่มโนเธอร์เรียนด้วยกลุ่มโนเธอร์เรียนก็เป็นกลุ่มโนเธอร์เรียนเช่นกัน ผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกันนี้ใช้ได้กับกลุ่มอาร์ทิเนียนด้วย

กลุ่มโนเธอร์เรียนเทียบเท่ากับกลุ่มที่ทุกกลุ่มย่อยถูกสร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัดซึ่งแข็งแกร่งกว่าการที่กลุ่มนั้นถูกสร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัด: กลุ่มอิสระบนตัวสร้าง 2 ตัวหรือมากกว่านั้นถูกสร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัด แต่ประกอบด้วยกลุ่มอิสระที่มีอันดับอนันต์

กลุ่มโนเธอร์เรียนไม่จำเป็นต้องเป็นส่วนขยายจำกัดของกลุ่มโพลีไซคลิก^{[ 1 ]}

อนุกรมกลุ่มย่อยอนันต์สามารถกำหนดและเกิดขึ้นเองตามธรรมชาติได้เช่นกัน ในกรณีนี้ ชุดดัชนีเฉพาะ ( เรียงลำดับอย่างสมบูรณ์ ) จะมีความสำคัญ และมีความแตกต่างระหว่างอนุกรมจากน้อยไปมากและอนุกรมจากมากไปน้อย อนุกรมจากน้อยไปมาก${\displaystyle 1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq G}$ที่ซึ่ง${\displaystyle A_{i}}$หากดัชนีเป็นจำนวนธรรมชาติอาจเรียกง่ายๆ ว่าอนุกรมเพิ่มขึ้นอนันต์และในทางกลับกันสำหรับอนุกรมลดลงอนันต์หากกลุ่มย่อยมีดัชนีโดยทั่วไปเป็นจำนวนเชิงอันดับจะได้อนุกรมอนันต์^{[ 2 ]}เช่น อนุกรมเพิ่มขึ้นนี้:

${\displaystyle 1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq A_{\omega }\leq A_{\omega +1}=G}$

เมื่อกำหนดสูตรเวียนเกิดสำหรับการสร้างอนุกรมแล้ว เราสามารถกำหนดอนุกรมอนันต์ได้โดยใช้การเวียนเกิดอนันต์โดยการกำหนดอนุกรมที่ลำดับลิมิตโดย ${\displaystyle A_{\lambda }:=\bigcup _{\alpha <\lambda }A_{\alpha }}$(สำหรับอนุกรมที่เพิ่มขึ้น) หรือ${\displaystyle A_{\lambda }:=\bigcap _{\alpha <\lambda }A_{\alpha }}$(สำหรับอนุกรมที่ลดลง) ตัวอย่างพื้นฐานของการสร้างนี้ ได้แก่อนุกรมกลางล่าง อนันต์ และอนุกรมกลางบน

เซตที่มีลำดับสมบูรณ์อื่นๆ เกิดขึ้นได้ยากมาก หรือแทบจะไม่เกิดขึ้นเลย ในฐานะเซตดัชนีของอนุกรมกลุ่มย่อย ตัวอย่างเช่น เราสามารถกำหนดอนุกรมกลุ่มย่อยแบบอนันต์คู่ (อนุกรมที่มีดัชนีเป็น จำนวนเต็ม ) ได้ แต่แทบจะไม่พบเห็นอนุกรมกลุ่มย่อยแบบอนันต์คู่ที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติเลย:

${\displaystyle 1\leq \cdots \leq A_{-1}\leq A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq G}$

• อนุกรมองค์ประกอบคืออนุกรมย่อยปกติ สูงสุด

ในทำนองเดียวกัน อนุกรมย่อยปกติซึ่งแต่ละA เป็น กลุ่มย่อยปกติ สูงสุดของA หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง อนุกรมประกอบคืออนุกรมย่อยปกติซึ่งแต่ละกลุ่มตัวประกอบเป็นกลุ่มเดี่ยว

• อนุกรมหลักคืออนุกรมปกติ สูงสุด

• กลุ่มที่แก้ได้หรือกลุ่มที่ละลายได้ คือกลุ่มที่มีอนุกรมย่อยปกติ ซึ่งกลุ่มตัวประกอบทั้งหมดเป็นกลุ่มอาเบเลียน
• อนุกรมนิลโพเทนต์คืออนุกรมซับนอร์มัลที่ผลหารที่ต่อเนื่องกันเป็นอนุกรมนิลโพเทนต์

อนุกรมนิลโพเทนต์จะมีอยู่ก็ต่อเมื่อกลุ่มนั้นสามารถหาคำตอบได้

• อนุกรมศูนย์กลางคือ อนุกรมย่อยปกติ ที่ผลหารที่ต่อเนื่องกันเป็นอนุกรมศูนย์กลาง กล่าว คือ เมื่อกำหนดอนุกรมข้างต้นแล้ว${\displaystyle A_{i+1}/A_{i}\subseteq Z(G/A_{i})}$สำหรับ${\displaystyle i=0,1,\ldots ,n-2}$.

อนุกรมศูนย์กลางจะมีอยู่ก็ต่อเมื่อกลุ่มนั้นเป็นกลุ่มนิลโพเทนต์เท่านั้น

ชุดย่อยบางชุดถูกกำหนดตามหน้าที่ โดยพิจารณาจากกลุ่มย่อย เช่น ศูนย์กลาง และการดำเนินการ เช่น ตัวสลับ ซึ่งได้แก่:

• ชุดกลางล่าง
• ชุดกลางตอนบน
• อนุกรมอนุพันธ์
• ชุดอุปกรณ์ล่าง
• ชุดอุปกรณ์ติดตั้งส่วนบน

มีอนุกรมที่มาจากกลุ่มย่อยของลำดับกำลังเฉพาะหรือดัชนีกำลังเฉพาะ ซึ่งเกี่ยวข้องกับแนวคิดต่างๆ เช่นกลุ่มย่อยของไซโลว์

• ซีรีส์pล่าง
• ซีรีส์pด้านบน