ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันเชิงตั้งฉากจัดอยู่ใน ปริภูมิ ฟังก์ชันซึ่งเป็นปริภูมิเวกเตอร์ที่มีรูปแบบทวิเชิงเส้นเมื่อปริภูมิฟังก์ชันมีช่วงเป็นโดเมนรูปแบบทวิเชิงเส้นอาจเป็นปริพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันในช่วงนั้น:

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int {\overline {f(x)}}g(x)\,dx.}$

ฟังก์ชันและจะตั้งฉากกันเมื่อปริพันธ์นี้เป็นศูนย์ กล่าวคือเมื่อใดก็ตามที่เช่นเดียวกับฐานของเวกเตอร์ในปริภูมิที่มีมิติจำกัด ฟังก์ชันตั้งฉากกันสามารถสร้างฐานอนันต์สำหรับปริภูมิฟังก์ชันได้ ในเชิงแนวคิด ปริพันธ์ข้างต้นเทียบเท่ากับผลคูณดอท ของเวกเตอร์ เวกเตอร์สองตัวเป็นอิสระต่อกัน (ตั้งฉากกัน) ถ้าผลคูณดอทของพวกมันเป็นศูนย์ ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \langle f,\,g\rangle =0}$${\displaystyle f\neq g}$

สมมติ ว่า เป็นลำดับของฟังก์ชันเชิงตั้งฉากที่มีนอร์ม L² ที่ไม่เป็นศูนย์^{ดังนั้น}ลำดับนี้ จึงเป็น ลำดับของฟังก์ชันที่มี นอร์ม L²เท่ากับหนึ่ง ซึ่งก่อให้เกิดลำดับเชิงตั้งฉากปกติเพื่อให้มี นอร์ม L² ที่กำหนดไว้ อินทิกรั ลจะต้องมีขอบเขต ซึ่งจำกัดให้ฟังก์ชันเหล่านั้นเป็นฟังก์ชันที่สามารถหา ค่ากำลัง ^{สอง ของอินทิ ก}รัลได้ ${\displaystyle \{f_{0},f_{1},\ldots \}}$${\textstyle \left\|f_{n}\right\|_{2}={\sqrt {\langle f_{n},f_{n}\rangle }}=\left(\int f_{n}^{2}\ dx\right)^{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle \left\{f_{n}/\left\|f_{n}\right\|_{2}\right\}}$

ฟังก์ชันเชิงตั้งฉากหลายชุดได้กลายเป็นฐานมาตรฐานสำหรับการประมาณค่าฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันไซน์sin nxและsin mxเป็นฟังก์ชันเชิงตั้งฉากในช่วงเมื่อn และmเป็นจำนวนเต็มบวก สำหรับค่า n > 0 แล้ว${\displaystyle x\in (-\pi ,\pi )}$${\displaystyle m\neq n}$

${\displaystyle 2\sin \left(mx\right)\sin \left(nx\right)=\cos \left(\left(mn\right)x\right)-\cos \left(\left(m+n\right)x\right),}$

และอินทิกรัลของผลคูณของฟังก์ชันไซน์ทั้งสองเป็นศูนย์^{[ 1 ]}เมื่อรวมกับฟังก์ชันโคไซน์ ฟังก์ชันเชิงตั้งฉากเหล่านี้สามารถประกอบเป็นพหุนามตรีโกณมิติเพื่อประมาณฟังก์ชันที่กำหนดบนช่วงด้วยอนุกรมฟูริเยร์

ถ้าเริ่มต้นด้วยลำดับเอกนามบนช่วงและใช้กระบวนการแกรม-ชมิดต์จะได้พหุนามเลอจองเดอร์ พหุนามเลอจองเดอร์ที่เกี่ยวข้องก็เป็นอีกชุดหนึ่งของพหุนามเชิงตั้งฉากเช่น กัน${\displaystyle \left\{1,x,x^{2},\dots \right\}}$${\displaystyle [-1,1]}$

การศึกษาพหุนามเชิงตั้งฉากเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันน้ำหนัก ที่แทรกอยู่ในรูปแบบทวิเชิงเส้น: ${\displaystyle w(x)}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int w(x)f(x)g(x)\,dx.}$

สำหรับพหุนามลากูร์บนฟังก์ชันน้ำหนักคือ. ${\displaystyle (0,\infty )}$${\displaystyle w(x)=e^{-x}}$

ทั้งนักฟิสิกส์และนักทฤษฎีความน่าจะเป็นใช้พหุนามเฮอร์ไมต์บนโดยที่ฟังก์ชันน้ำหนักคือ หรือ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$${\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}}$${\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}/2}}$

พหุนามเชบิเชฟถูกกำหนดบนและใช้ค่าน้ำหนัก หรือ${\displaystyle [-1,1]}$${\textstyle w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$${\textstyle w(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$

พหุนาม Zernikeถูกกำหนดขึ้นบนดิสก์หน่วยและมีคุณสมบัติตั้งฉากกันทั้งในส่วนรัศมีและส่วนเชิงมุม

ฟังก์ชัน Walshและเวฟเล็ต Haarเป็นตัวอย่างของฟังก์ชันเชิงตั้งฉากที่มีช่วงค่าแบบไม่ต่อเนื่อง

พหุนามเลอจองเดอร์และเชบิเชฟให้ตระกูลฟังก์ชันเชิงตั้งฉากสำหรับช่วง[−1, 1]ในขณะที่บางครั้งอาจต้องการตระกูลฟังก์ชันเชิงตั้งฉากบนช่วง[0, ∞) ในกรณีนี้ การใช้ การแปลงเคย์ลีย์ ก่อน จะสะดวกกว่าเพื่อให้ตัวแปรอยู่ในช่วง[−1, 1]กระบวนการนี้จะส่งผลให้ได้ตระกูล ฟังก์ชันเชิงตั้งฉากแบบ ตรรกยะที่เรียกว่าฟังก์ชันตรรกยะเลอจองเดอร์และฟังก์ชันตรรกยะเชบิเชฟ

โดยทั่วไปแล้ว คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ เชิงเส้น ที่มีเงื่อนไขขอบเขตสามารถเขียนได้ในรูปผลรวมถ่วงน้ำหนักของฟังก์ชันคำตอบเชิงตั้งฉาก (หรือที่เรียกว่าฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ ) ซึ่งนำไปสู่ ชุดอนุกรมฟูริ เย ร์แบบทั่วไป

• ค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ
• พื้นที่ฮิลเบิร์ต
• ทฤษฎีบทคาร์ฮูเนน-โลเอฟ
• ทฤษฎีบทของลอริเซลลา
• ฟังก์ชันวานเนียร์

• ฟังก์ชันเชิงตั้งฉาก (Orthogonal Functions ) บน MathWorld