ฟังก์ชันคาบคือฟังก์ชันที่ค่าของมันซ้ำกันในช่วงเวลาที่สม่ำเสมอ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ซึ่งใช้ในการอธิบายคลื่นและปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้นซ้ำๆ อื่นๆ เป็นฟังก์ชันคาบ หลายแง่มุมของโลกธรรมชาติมีพฤติกรรมเป็นคาบ เช่นข้างขึ้นข้างแรมของดวงจันทร์การแกว่งของลูกตุ้มและการเต้นของหัวใจ

ความยาวของช่วงเวลาที่ฟังก์ชันคาบซ้ำกันเรียกว่าคาบ ของฟังก์ชันนั้น ฟังก์ชันใด ๆ ที่ไม่ใช่ฟังก์ชันคาบเรียกว่าฟังก์ชัน ไร้คาบ

ฟังก์ชันจะถูกนิยามว่าเป็นฟังก์ชันคาบถ้าค่าของฟังก์ชันนั้นซ้ำกันในช่วงเวลาที่สม่ำเสมอ ตัวอย่างเช่น ตำแหน่งของเข็มนาฬิกา แสดงพฤติกรรมเป็นคาบ โดยจะวนกลับมาที่ตำแหน่งเดิมทุกๆ 12 ชั่วโมง ช่วงเวลาที่ซ้ำ กัน นี้เรียกว่าคาบ

กล่าวอย่างเป็นทางการมากขึ้น ฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันคาบ ถ้ามีค่าคงที่อยู่ค่าหนึ่งซึ่งทำให้ ${\displaystyle f}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle f(x+P)=f(x)}$

สำหรับค่าทั้งหมดของในโดเมนค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งเงื่อนไขนี้เป็นจริงเรียกว่าคาบของฟังก์ชัน^{[ 1 ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle P}$

ถ้ามีคาบอยู่จริง จำนวนเต็มทวีคูณใดๆ(สำหรับจำนวนเต็มบวก) ก็จะเป็นคาบเช่นกัน ถ้ามี คาบบวก ที่เล็กที่สุดจะเรียกว่า คาบนั้น${\displaystyle P}$${\displaystyle nP}$${\displaystyle n}$ช่วงเวลาพื้นฐาน (เรียกอีกอย่างว่าช่วงเวลาดั้งเดิมหรือช่วงเวลาพื้นฐาน) ^{[ 2 ]}บ่อยครั้งที่ "ช่วงเวลา" ของฟังก์ชันถูกใช้เพื่ออ้างถึงช่วงเวลาพื้นฐานของฟังก์ชันนั้น

ในทางเรขาคณิต กราฟของฟังก์ชันคาบแสดงสมมาตรการเลื่อนกราฟของมันไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อนในทิศทาง x ด้วยระยะทาง n ซึ่งหมายความว่ากราฟทั้งหมดสามารถสร้างขึ้นได้จากสำเนาของส่วนใดส่วนหนึ่งที่ทำซ้ำกันในช่วงเวลาปกติ ${\displaystyle x}$${\displaystyle P}$

พฤติกรรมเป็นคาบสามารถอธิบายได้ทั้งจากตัวอย่างทั่วไปในชีวิตประจำวันและจากฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่เป็นทางการมากขึ้น

ฟังก์ชันที่แปลงจำนวนจริงเป็นจำนวนจริงสามารถแสดงความเป็นคาบได้ ซึ่งมักจะแสดงให้เห็นในรูปแบบกราฟ

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันที่แสดงถึง " ส่วนที่เป็นเศษส่วน " ของอาร์กิวเมนต์ คาบของฟังก์ชันนี้คือ 1 เช่น ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(0.5)=f(1.5)=f(2.5)=\cdots =0.5}$

กราฟของฟังก์ชันมีลักษณะเป็นคลื่น ฟันเลื่อย${\displaystyle f}$

ฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นตัวอย่างทั่วไปของฟังก์ชันคาบฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์เป็นฟังก์ชันคาบที่มีคาบพื้นฐานเท่ากับดังแสดงในรูปทางด้านขวา สำหรับฟังก์ชันไซน์ สามารถแสดงได้ดังนี้: ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin x}$

สำหรับค่าทั้งหมดของ. ${\displaystyle x}$

สาขาวิชาอนุกรมฟูริเยร์ศึกษาแนวคิดที่ว่า ฟังก์ชันคาบใดๆ สามารถแสดงได้ในรูปผลรวมของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มีคาบตรงกัน

ฟังก์ชันบางฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันคาบ แต่มีคุณสมบัติที่ทำให้เข้าใจได้ยากกว่าฟังก์ชัน Dirichletเป็นต้น เป็นฟังก์ชันคาบ โดยที่จำนวนตรรกยะที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ ก็ได้ทำหน้าที่เป็นคาบ อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันนี้ไม่มีคาบพื้นฐาน

ฟังก์ชันที่มีโดเมนอยู่ในจำนวนเชิงซ้อนสามารถแสดงคุณสมบัติเป็นคาบที่ซับซ้อนยิ่งขึ้นได้

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อนเป็นฟังก์ชันคาบที่มีคาบเป็นจำนวนจินตนาการล้วนๆ:

${\displaystyle e^{ikx}=\cos kx+i\,\sin kx}$

เนื่องจากฟังก์ชันโคไซน์และฟังก์ชันไซน์ต่างก็เป็นฟังก์ชันคาบที่มีคาบสูตรของออยเลอร์แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อนมีคาบเช่นกัน ${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle L}$

${\displaystyle L={\frac {2\pi }{k}}}$.

ฟังก์ชันบนระนาบเชิงซ้อนสามารถมีคาบสองค่าที่แตกต่างกันและไม่สามารถหารลงตัวได้โดยไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันคงที่ ฟังก์ชันเชิงวงรีเป็นตัวอย่างสำคัญของฟังก์ชันดังกล่าว ("ไม่สามารถหารลงตัวได้" ในบริบทนี้หมายถึงคาบที่ไม่ใช่ผลคูณของจำนวนจริงซึ่งกันและกัน)

ฟังก์ชันคาบสามารถรับค่าได้หลายครั้ง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากฟังก์ชันเป็นคาบที่มีคาบ แล้วสำหรับทุกค่าในโดเมนของและจำนวนเต็มบวกทั้งหมด^{[ 3 ]}${\displaystyle f}$${\displaystyle P}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle f(x+nP)=f(x)}$

คุณสมบัติสำคัญที่เกี่ยวข้องกับการอินทิเกรตคือ ถ้าเป็น ฟังก์ชันคาบ ที่สามารถอินทิเกรตได้โดยมีคาบแล้วอินทิกรัลจำกัดของฟังก์ชันนี้ในช่วงความยาวใดๆ ก็จะเหมือนกัน^{[ 3 ]}นั่นคือ สำหรับจำนวนจริงใดๆ: ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle \int _{a}^{a+P}f(x)\,dx=\int _{0}^{P}f(x)\,dx}$

คุณสมบัตินี้มีความสำคัญอย่างยิ่งในสาขาต่างๆ เช่นอนุกรมฟูริเยร์ซึ่งค่าสัมประสิทธิ์ถูกกำหนดโดยการอินทิเกรตตลอดหนึ่งคาบ

ถ้าเป็นฟังก์ชันที่มีคาบแล้วโดยที่เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งอยู่ในโดเมนของจะเป็นฟังก์ชันคาบที่มีคาบตัวอย่างเช่นมีคาบและดังนั้นจะมีคาบ ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle f(ax)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle ax}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\frac {P}{|a|}}}$${\displaystyle f(x)=\sin(x)}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \sin(5x)}$${\displaystyle {\frac {2\pi }{5}}}$

คุณสมบัติสำคัญอย่างหนึ่งของฟังก์ชันคาบจำนวนมากคือ ฟังก์ชันเหล่านั้นสามารถอธิบายได้ด้วยอนุกรมฟูริเยร์อนุกรมนี้แสดงฟังก์ชันคาบเป็นผลรวมของฟังก์ชันคาบที่ง่ายกว่า ได้แก่ไซน์และโคไซน์ตัวอย่างเช่น คลื่นเสียงจากเครื่องดนตรีสามารถแยกออกเป็นโน้ตพื้นฐานและโอเวอร์โทน ต่างๆ การแยกส่วนนี้เป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพในสาขาต่างๆ เช่น ฟิสิกส์และการประมวลผลสัญญาณ แม้ว่าฟังก์ชันคาบที่มี "พฤติกรรมที่ดี" ส่วนใหญ่จะสามารถแสดงได้ด้วยวิธีนี้^{[ 4 ]}อนุกรมฟูริเยร์สามารถใช้ได้เฉพาะกับฟังก์ชันคาบหรือฟังก์ชันที่กำหนดบนความยาวจำกัดเท่านั้น หากเป็นฟังก์ชันคาบที่มีคาบที่สามารถอธิบายได้ด้วยอนุกรมฟูริเยร์ สัมประสิทธิ์ของอนุกรมสามารถอธิบายได้ด้วยปริพันธ์ในช่วงความยาว ${\displaystyle f}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$

ฟังก์ชันใดๆ ที่เกิดจากการรวมกันของฟังก์ชันคาบที่มีคาบเดียวกัน ก็จะเป็นฟังก์ชันคาบเช่นกัน (แม้ว่าคาบพื้นฐานของมันอาจจะน้อยกว่าก็ตาม) ซึ่งได้แก่:

• การบวกการลบการคูณ และการหารของฟังก์ชันคาบ^{[ 1 ]}และ
• การยกกำลังหรือการหาค่ารากของฟังก์ชันคาบ (โดยที่ฟังก์ชันนั้นต้องนิยามได้สำหรับทุกค่า)${\displaystyle x}$

แนวคิดเรื่องความเป็นคาบสามารถขยายความไปได้ไกลกว่าฟังก์ชันบนเส้นจำนวนจริง ตัวอย่างเช่น แนวคิดของรูปแบบที่ซ้ำกันสามารถนำไปใช้กับรูปทรงในหลายมิติ เช่น การปูพื้นระนาบแบบเป็นคาบ ลำดับยังสามารถมองได้ว่าเป็นฟังก์ชันที่กำหนดบนจำนวนธรรมชาติและแนวคิดของลำดับคาบก็ถูกกำหนดตามนั้น

เซตย่อยหนึ่งของฟังก์ชันคาบคือฟังก์ชันแอนติคาบนี่คือฟังก์ชันที่สำหรับทุกตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์เป็นฟังก์ชันแอนติคาบและคาบตามลำดับ ในขณะที่ฟังก์ชันแอนติคาบเป็นฟังก์ชันคาบ แต่ในทางกลับกัน นั้น ไม่จำเป็นต้องเป็นจริงเสมอไป^{[ 5 ]}${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x+P)=-f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle P}$${\displaystyle 2P}$

การสรุปทั่วไปเพิ่มเติมปรากฏในบริบทของทฤษฎีบทของ Blochและทฤษฎีบทของ Floquetซึ่งควบคุมการแก้สมการเชิงอนุพันธ์แบบคาบต่างๆ ในบริบทนี้ คำตอบ (ในมิติเดียว) โดยทั่วไปจะเป็นฟังก์ชันในรูปแบบ

${\displaystyle f(x+P)=e^{ikP}f(x)~,}$

โดยที่เป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน ( เวกเตอร์คลื่นบล็อกหรือเลขชี้กำลังฟลอเกต์ ) ฟังก์ชันในรูปแบบนี้บางครั้งเรียกว่าฟังก์ชันคาบบล็อกในบริบทนี้ ฟังก์ชันคาบเป็นกรณีพิเศษและฟังก์ชันแอนติคาบเป็นกรณีพิเศษเมื่อใดก็ตามที่เป็นจำนวนตรรกยะ ฟังก์ชันนั้นก็จะเป็นฟังก์ชันคาบด้วย ${\displaystyle k}$${\displaystyle k=0}$${\displaystyle k=\pi /P}$${\displaystyle kP/\pi }$

ในการประมวลผลสัญญาณคุณจะพบปัญหาที่ว่า อนุกรม ฟูริเยร์แสดงถึงฟังก์ชันคาบ และอนุกรมฟูริเยร์เป็นไปตามทฤษฎีบทการสังเคราะห์ (กล่าวคือการสังเคราะห์อนุกรมฟูริเยร์สอดคล้องกับการคูณฟังก์ชันคาบที่แสดง และในทางกลับกัน) แต่ฟังก์ชันคาบไม่สามารถสังเคราะห์ได้ด้วยนิยามปกติ เนื่องจากปริพันธ์ที่เกี่ยวข้องลู่เข้าสู่ค่าอนันต์ วิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้คือการกำหนดฟังก์ชันคาบในโดเมนที่มีขอบเขตแต่เป็นคาบ ในการนี้ คุณสามารถใช้แนวคิดของปริภูมิผลหารได้ :

${\displaystyle {\mathbb {R} /\mathbb {Z} }=\{x+\mathbb {Z} :x\in \mathbb {R} \}=\{\{y:y\in \mathbb {R} \land yx\in \mathbb {Z} \}:x\in \mathbb {R} \}}$.

กล่าวคือ แต่ละองค์ประกอบในเป็นกลุ่มสมมูลของจำนวนจริงที่มีส่วนเศษส่วน เหมือนกัน ดังนั้น ฟังก์ชันเช่นจึงเป็นการแทนฟังก์ชันคาบ 1 ${\displaystyle {\mathbb {R} /\mathbb {Z} }}$${\displaystyle f:{\mathbb {R} /\mathbb {Z} }\to \mathbb {R} }$

พิจารณาคลื่นความถี่จริงที่ประกอบด้วยความถี่ที่ซ้อนทับกัน ซึ่งแสดงในรูปของอัตราส่วนต่อความถี่พื้นฐาน f: F = 1 ⁄ f [f ₁ f ₂ f ₃ ... f _N ] โดยที่สมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด ≥1 และอย่างน้อยหนึ่งสมาชิกในชุดนั้นต้องเป็น 1 ในการหาคาบ T ก่อนอื่นให้หาตัวหารร่วมที่น้อยที่สุดของสมาชิกทั้งหมดในชุดนั้น คาบสามารถหาได้จาก T = LCD ⁄ fพิจารณาว่าสำหรับคลื่นไซน์อย่างง่าย T = 1 ⁄ fดังนั้น LCD จึงสามารถมองได้ว่าเป็นตัวคูณคาบ

• สำหรับเซตที่แสดงโน้ตทั้งหมดของบันไดเสียงเมเจอร์แบบ ตะวันตก : [1 9 ⁄ 8 5 ⁄ 4 4 ⁄ 3 3 ⁄ 2 5 ⁄ 3 15 ⁄ 8 ] ค่า LCD คือ 24 ดังนั้น T = 24 ⁄ f
• สำหรับเซตที่แสดงโน้ตทั้งหมดของไตรแอดเมเจอร์: [1 5 ⁄ 4 3 ⁄ 2 ] ตัวหารร่วมมากคือ 4 ดังนั้น T = 4 ⁄ f
• สำหรับเซตที่แสดงโน้ตทั้งหมดของไตรแอดไมเนอร์: [1 6 ⁄ 5 3 ⁄ 2 ] ตัวหารร่วมมากคือ 10 ดังนั้น T = 10 ⁄ f

หากไม่มีตัวหารร่วมที่น้อยที่สุด เช่น หากองค์ประกอบข้างต้นเป็นจำนวนอตรรกยะ คลื่นก็จะไม่เป็นคาบ^{[ 6 ]}

• "ฟังก์ชันคาบ" . สารานุกรมคณิตศาสตร์ . EMS Press . 2001 [1994].
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ฟังก์ชันคาบ" . แมธเวิลด์ .