ตาข่าย (ทรงหลายเหลี่ยม)

ในทางเรขาคณิตตาข่ายของทรงหลายเหลี่ยม คือการจัดเรียง รูปหลายเหลี่ยมที่เชื่อมต่อกันด้วยขอบซึ่งไม่ทับซ้อนกันในระนาบซึ่งสามารถพับ (ตามขอบ) เพื่อสร้างเป็นหน้าของทรงหลายเหลี่ยมได้ ตาข่ายทรงหลายเหลี่ยมเป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์ในการศึกษาทรงหลายเหลี่ยมและเรขาคณิตทรงสามมิติโดยทั่วไป เนื่องจากช่วยให้สามารถสร้างแบบจำลองทางกายภาพของทรงหลายเหลี่ยมจากวัสดุ เช่น กระดาษแข็งบางๆ ได้^[¹^]

ตัวอย่างแรกๆ ของแบบจำลองทรงหลายเหลี่ยมปรากฏในผลงานของAlbrecht Dürerซึ่งหนังสือA Course in the Art of Measurement with Compass and Ruler ( Unterweysung der Messung mit dem Zyrkel und Rychtscheyd ) ในปี 1525 ของเขารวมถึงแบบจำลอง ทรงหลาย เหลี่ยมเพลโตและทรงหลายเหลี่ยมอาร์คิมีเดียน หลาย แบบ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}โครงสร้างเหล่านี้ถูกเรียกว่าแบบจำลองทรงหลายเหลี่ยมเป็นครั้งแรกในปี 1543 โดยAugustin Hirschvogel ^{[ 4 ]}

การดำรงอยู่และความเป็นเอกลักษณ์

ตาข่ายที่แตกต่างกันหลายแบบสามารถมีอยู่สำหรับทรงหลายเหลี่ยมที่กำหนด ขึ้นอยู่กับการเลือกขอบที่จะเชื่อมต่อและขอบที่จะแยกออกจากกัน ขอบที่ถูกตัดออกจากทรงหลายเหลี่ยมนูนเพื่อสร้างตาข่ายจะต้องสร้างต้นไม้แผ่ขยายของทรงหลายเหลี่ยม แต่การตัดต้นไม้แผ่ขยายบางส่วนอาจทำให้ทรงหลายเหลี่ยมซ้อนทับกันเองเมื่อคลี่ออก แทนที่จะสร้างตาข่าย^{[ 5 ]}ในทางกลับกัน ตาข่ายที่กำหนดอาจพับเป็นทรงหลายเหลี่ยมนูนที่แตกต่างกันมากกว่าหนึ่งแบบ ขึ้นอยู่กับมุมที่ขอบถูกพับและการเลือกที่จะติดขอบเข้าด้วยกัน^{[ 6 ]}หากตาข่ายถูกกำหนดพร้อมกับรูปแบบสำหรับการติดขอบเข้าด้วยกัน โดยที่แต่ละจุดยอดของรูปร่างที่ได้มีข้อบกพร่องเชิงมุม ที่เป็นบวก และผลรวมของข้อบกพร่องเหล่านี้เท่ากับ 4π $พอดี$ จะต้องมีทรงหลายเหลี่ยมเพียงทรงเดียวที่สามารถพับจากตาข่ายนั้นได้ นี่คือทฤษฎีบทเอกลักษณ์ของ Alexandrovอย่างไรก็ตาม รูปทรงหลายเหลี่ยมที่เกิดขึ้นในลักษณะนี้อาจมีหน้าต่างจากที่ระบุไว้ในโครงตาข่าย: รูปหลายเหลี่ยมในโครงตาข่ายบางรูปอาจมีรอยพับขวางอยู่ และขอบบางส่วนระหว่างรูปหลายเหลี่ยมในโครงตาข่ายอาจยังคงไม่พับ นอกจากนี้ โครงตาข่ายเดียวกันอาจมีรูปแบบการติดกาวที่ถูกต้องหลายแบบ ซึ่งนำไปสู่รูปทรงหลายเหลี่ยมที่พับแล้วที่แตกต่างกัน^{[ 7 ]}

ปัญหาที่ยังแก้ไม่ได้ในวิชาคณิตศาสตร์

รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนทุกรูปมีการคลี่ขอบที่เรียบง่ายหรือไม่?

ยังมีปัญหาที่ยังแก้ไม่ตกในวิชาคณิตศาสตร์อีกมากมาย

ในปี พ.ศ. 2518 GC Shephardได้ตั้งคำถามว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมนูนทุกรูปมีโครงข่ายระนาบอย่างน้อยหนึ่งโครงข่าย หรือการคลี่ขอบแบบง่ายหรือไม่^{[ 8 ]}คำถามนี้ซึ่งรู้จักกันในชื่อสมมติฐานของ Dürer หรือปัญหาการคลี่ของ Dürer ยังคงไม่มีคำตอบ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}มีรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ไม่นูนซึ่งไม่มีโครงข่าย และเป็นไปได้ที่จะแบ่งหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนทุกรูป (เช่น ตามตำแหน่งตัด ) เพื่อให้เซตของหน้าที่ถูกแบ่งมีโครงข่าย^{[ 5 ]}ในปี พ.ศ. 2557 Mohammad Ghomi ได้แสดงให้เห็นว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมนูนทุกรูปยอมรับโครงข่ายหลังจากการแปลงเชิงเส้น^{[ 12 ] ยิ่งไปกว่านั้น ในปี 2019 Barvinok และ Ghomi ได้แสดงให้เห็นว่าการ}^วางนัยทั่วไปของสมมติฐานของ Dürer ล้มเหลวสำหรับขอบเสมือน [ ¹³^]กล่าวคือ เครือข่ายของเส้นจีโอเดสิกที่เชื่อมต่อจุดยอดของทรงหลายเหลี่ยมและสร้างกราฟที่มีหน้านูน

คำถามเปิดที่เกี่ยวข้องถามว่าตาข่ายทุกอันของทรงหลายเหลี่ยมนูนมีการบาน หรือ ไม่ ซึ่งเป็นการเคลื่อนที่ต่อเนื่องที่ไม่ตัดกันเองจากสถานะแบนราบไปสู่สถานะพับที่ทำให้แต่ละหน้าแบนราบตลอดการเคลื่อนที่^{[ 14 ]}

เส้นทางที่สั้นที่สุด

เส้นทางที่สั้นที่สุดบนพื้นผิวระหว่างจุดสองจุดบนพื้นผิวของทรงหลายเหลี่ยมจะสอดคล้องกับเส้นตรงบนเน็ตที่เหมาะสมสำหรับเซตย่อยของหน้าที่เส้นทางสัมผัส เน็ตจะต้องเป็นเช่นนั้นที่เส้นตรงอยู่ภายในเน็ตอย่างสมบูรณ์ และอาจต้องพิจารณาเน็ตหลายแบบเพื่อดูว่าเน็ตใดให้เส้นทางที่สั้นที่สุด ตัวอย่างเช่น ในกรณีของลูกบาศก์หากจุดอยู่บนหน้าที่อยู่ติดกัน เส้นทางที่สั้นที่สุดที่เป็นไปได้เส้นหนึ่งคือเส้นทางที่ตัดผ่านขอบร่วมกัน เส้นทางที่สั้นที่สุดประเภทนี้จะพบได้โดยใช้เน็ตที่หน้าทั้งสองอยู่ติดกันด้วย เส้นทางที่สั้นที่สุดที่เป็นไปได้อื่นๆ คือผ่านพื้นผิวของหน้าที่สามที่อยู่ติดกับทั้งสองหน้า (ซึ่งมีสองหน้า) และสามารถใช้เน็ตที่สอดคล้องกันเพื่อค้นหาเส้นทางที่สั้นที่สุดในแต่ละประเภทได้^{[ 15 ]}

ปัญหาแมงมุมกับแมลงวันเป็น ปริศนา คณิตศาสตร์เพื่อความบันเทิงที่เกี่ยวข้องกับการหาเส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างสองจุดบนทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก

โครงข่ายโพลีโทปมิติสูง

กากบาท ของดาลีหนึ่งใน 261 โครงร่างของเทสเซอแร็กต์

โครงข่ายของโพลีโทป 4 มิติ ซึ่งเป็น โพลีโทปสี่มิติประกอบด้วยเซลล์ ทรงหลายเหลี่ยม ที่เชื่อมต่อกันด้วยหน้าของมัน และทั้งหมดครอบครองพื้นที่สามมิติเดียวกัน เช่นเดียวกับหน้ารูปหลายเหลี่ยมของโครงข่ายของทรงหลายเหลี่ยมที่เชื่อมต่อกันด้วยขอบของมัน และทั้งหมดครอบครองระนาบเดียวกัน โครงข่ายของเทสเซอแร็กต์ ซึ่งเป็นไฮเปอร์คิวบ์ สี่มิติ ถูกนำมาใช้อย่างโดดเด่นในภาพวาดของซัลวาดอร์ ดาลีเรื่องการตรึงกางเขน (Corpus Hypercubus) (1954) ^{[ 16 ]}โครงข่ายเทสเซอแร็กต์เดียวกันนี้เป็นศูนย์กลางของพล็อตเรื่องสั้น"—And He Built a Crooked House—"โดยโรเบิร์ต เอ. ไฮน์ไลน์^{[ 17 ]}

จำนวนของเน็ตที่แตกต่างกันในเชิงการจัดเรียงของ $n$ ไฮเปอร์คิวบ์มิติ - สามารถพบได้โดยการแสดงโครงข่ายเหล่านี้เป็นต้นไม้บน $2n$ โหนดที่อธิบายรูปแบบการเชื่อมต่อหน้าคู่ของไฮเปอร์คิวบ์เข้าด้วยกันเพื่อสร้างโครงข่าย พร้อมกับการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบบนกราฟส่วนเติมเต็มของต้นไม้ที่อธิบายหน้าคู่ที่อยู่ตรงข้ามกันบนไฮเปอร์คิวบ์ที่พับแล้ว โดยใช้การแสดงแบบนี้ จำนวนการคลี่ออกที่แตกต่างกันสำหรับไฮเปอร์คิวบ์ที่มีมิติ 2, 3, 4, ... ได้ถูกนับไว้ดังนี้

1, 11, 261, 9694, 502110, 33064966, 2642657228, ... (ลำดับA091159ในOEIS )

ดูเพิ่มเติม

ลิงก์ภายนอก

ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. , "Net" , MathWorld
ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. , "การคลี่คลาย" , MathWorld
แบบพับโพลีโทป 4 มิติปกติ
แบบจำลองทรงหลายเหลี่ยมที่แก้ไขและพิมพ์ได้ พร้อมมุมมอง 3 มิติแบบโต้ตอบ
แบบจำลองกระดาษของทรงหลายเหลี่ยม
โปรแกรมคลี่ภาพสำหรับBlender
แพ็กเกจ การคลี่คลายสำหรับMathematica

[

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ] ยิ่งไปกว่านั้น ในปี 2019 Barvinok และ Ghomi ได้แสดงให้เห็นว่าการ

วาง

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]