ในทางเรขาคณิตลูกบาศก์ของเจ้าชายรูเพิร์ต (Prince Rupert's cube)คือลูกบาศก์ ที่ใหญ่ที่สุด ที่สามารถลอดผ่านรูที่เจาะไว้ในลูกบาศก์ หน่วย ได้โดยไม่ทำให้ลูกบาศก์หน่วยแตกออกเป็นชิ้นๆ ความยาวด้านของลูกบาศก์นี้ประมาณ 1.06 ซึ่งใหญ่กว่าความยาวด้าน 1 ของลูกบาศก์หน่วยที่มันลอดผ่านอยู่ 6% ปัญหาการหาสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ใหญ่ที่สุดที่อยู่ภายในลูกบาศก์หน่วยทั้งหมดมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดและมีวิธีแก้ปัญหาเดียวกัน

ลูกบาศก์ของเจ้าชายรูเพิร์ตตั้งชื่อตามเจ้าชายรูเพิร์ตแห่งไรน์ผู้ตั้งคำถามว่าลูกบาศก์หนึ่งลูกสามารถลอดผ่านรูที่เจาะไว้ในลูกบาศก์อีกลูกที่มีขนาดเท่ากันได้ หรือไม่ โดยไม่ทำให้ลูกบาศก์นั้นแตกออกเป็นสองส่วน จอห์น วอลลิสให้คำตอบว่าทำได้ประมาณ 100 ปีต่อมาปีเตอร์ นิวแลนด์ ค้นพบลูกบาศก์ที่ใหญ่ที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ที่สามารถลอดผ่านรูในลูกบาศก์หน่วยได้

รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนอื่นๆ อีกมากมาย รวมถึง ทรงหลายเหลี่ยมเพลโตทั้งห้าได้แสดงให้เห็นว่ามีคุณสมบัติของรูเพิร์ต กล่าวคือ สำเนาของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีขนาดเท่ากันหรือใหญ่กว่า สามารถผ่านรูในรูปทรงหลายเหลี่ยมได้ ยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัดว่าสิ่งนี้เป็นจริงสำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนทั้งหมดหรือไม่ จนกระทั่งปลายปี 2025 เมื่อนักวิจัย Jakob Steininger และ Sergey Yurkevich ได้พิสูจน์ว่าไม่เป็นเช่นนั้น หลังจากพัฒนารูปทรง "โนเพิร์ธเฮดรอน" ^{[ 1 ]}

วางจุดสองจุดบนขอบที่อยู่ติดกันสองด้านของลูกบาศก์หน่วย โดยแต่ละจุดอยู่ห่างจากจุดที่ขอบทั้งสองมาบรรจบกันเป็นระยะ 3/4 และวางจุดอีกสองจุดแบบสมมาตรบนหน้าตรงข้ามของลูกบาศก์ จากนั้นจุดทั้งสี่นี้จะก่อให้เกิดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้าน วิธีหนึ่งที่จะเห็นสิ่งนี้คือการสังเกตก่อนว่าจุดทั้งสี่นี้ก่อให้เกิดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยอาศัยสมมาตรของการสร้าง ความยาวของด้านทั้งสี่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้เท่ากับโดยทฤษฎีบทพีทาโกรัสหรือ (เทียบเท่า) สูตรสำหรับระยะทางแบบยุคลิดในสามมิติ ตัวอย่างเช่น จุดสองจุดแรกพร้อมกับจุดที่สามที่ขอบทั้งสองมาบรรจบกันจะก่อให้เกิดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วที่มีด้านประกอบมุมฉากยาวและระยะห่างระหว่างจุดสองจุดแรกคือด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยม เนื่องจากเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านเท่ากันสี่ด้าน รูปร่างที่เกิดจากจุดทั้งสี่นี้จึงเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส การยื่นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกไปในทั้งสองทิศทางตั้งฉากกับตัวเองจะก่อให้เกิดรูซึ่งลูกบาศก์ที่ใหญ่กว่าลูกบาศก์เดิมได้ถึงความยาวด้านสามารถผ่านได้^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\frac {3{\sqrt {2}}}{4}}\approx 1.0606601.}$$${\textstyle (3{\sqrt {2}})/4}$${\displaystyle 3/4}$${\textstyle (3{\sqrt {2}})/4}$

ส่วนต่างๆ ของลูกบาศก์หน่วยที่เหลืออยู่หลังจากทำให้รูนี้ว่างเปล่า จะก่อตัวเป็นปริซึมสามเหลี่ยม สองอัน และทรงสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่า สองอัน ซึ่งเชื่อมต่อกันด้วยสะพานบางๆ ที่จุดยอดทั้งสี่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ปริซึมแต่ละอันมีจุดยอดหกจุด: สองจุดเป็นจุดยอดที่อยู่ติดกันของลูกบาศก์ และอีกสี่จุดที่เหลืออยู่บนขอบของลูกบาศก์ โดยแต่ละจุดอยู่ห่างจากจุดยอดของลูกบาศก์เป็นระยะ 1/4 ทรงสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่าแต่ละอันมีจุดยอดสี่จุด ได้แก่ จุดยอดของลูกบาศก์หนึ่งจุด จุดที่อยู่ห่างจากจุดยอดของลูกบาศก์เป็นระยะ 3/4 บนขอบที่อยู่ติดกันสองด้าน และจุดที่อยู่ห่างจากจุดยอดของลูกบาศก์เป็นระยะ 3/16 ตามขอบที่อยู่ติดกันด้านที่สาม^{[ 3 ]}

ลูกบาศก์ของเจ้าชายรูเพิร์ตตั้งชื่อตามเจ้าชายรูเพิร์ตแห่งไรน์ตามเรื่องราวที่นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษจอห์น วอลลิส เล่าไว้ในปี ค.ศ. 1693 เจ้าชายรูเพิร์ตทรงเดิมพันว่าสามารถเจาะรูขนาดใหญ่พอที่จะให้ลูกบาศก์ขนาดเดียวกันอีกอันผ่านเข้าไปได้ วอลลิสแสดงให้เห็นว่ารูดังกล่าวเป็นไปได้จริง (โดยมีข้อผิดพลาดบางประการที่ไม่ได้แก้ไขจนกระทั่งในภายหลัง) และเจ้าชายรูเพิร์ตก็ชนะการเดิมพัน^{[ 4 ] [ 5 ]}

วอลลิสสันนิษฐานว่ารูนั้นจะขนานกับเส้นทแยงมุมของลูกบาศก์การฉายภาพของลูกบาศก์ลงบนระนาบที่ตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมนี้จะได้รูปหกเหลี่ยมด้านเท่าและรูที่ดีที่สุดที่ขนานกับเส้นทแยงมุมนั้นสามารถหาได้โดยการวาดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ใหญ่ที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ซึ่งสามารถบรรจุลงในรูปหกเหลี่ยมนี้ได้ การคำนวณขนาดของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้แสดงให้เห็นว่าความยาวด้านของลูกบาศก์กำหนดปริมาตรของมันได้อย่างไร

${\displaystyle {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\approx 1.03527,}$

ใหญ่กว่าเล็กน้อย สามารถผ่านรูได้^{[ 4 ]}

ประมาณ 100 ปีต่อมา นักคณิตศาสตร์ชาวดัตช์Pieter Nieuwlandพบว่าวิธีแก้ปัญหาที่ดีกว่าอาจทำได้โดยใช้รูที่มีมุมต่างจากเส้นทแยงมุมของพื้นที่ อันที่จริง วิธีแก้ปัญหาของ Nieuwland นั้นดีที่สุด Nieuwland เสียชีวิตในปี 1794 หนึ่งปีหลังจากเข้ารับตำแหน่งศาสตราจารย์ที่มหาวิทยาลัย Leidenและวิธีแก้ปัญหาของเขาได้รับการตีพิมพ์หลังการเสียชีวิตในปี 1816 โดยJean Henri van Swindenอาจารย์ ของ Nieuwland ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

ตั้งแต่นั้นมา ปัญหาดังกล่าวก็ถูกกล่าวถึงซ้ำในหนังสือคณิตศาสตร์เพื่อความบันเทิง หลายเล่ม โดยบางกรณีใช้วิธีแก้ปัญหาที่ไม่เหมาะสมของ Wallis แทนวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสม^{[ 2 ] [ 3 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}

การสร้างแบบจำลองทางกายภาพของลูกบาศก์ของเจ้าชายรูเพิร์ตเป็นเรื่องท้าทายเนื่องจากความแม่นยำในการวัดแบบจำลองดังกล่าว และความบางของการเชื่อมต่อระหว่างส่วนที่เหลือของลูกบาศก์หน่วยหลังจากเจาะรูผ่าน สำหรับลูกบาศก์ภายในที่มีขนาดใหญ่ที่สุดที่มีความยาว ≈1.06 เมื่อเทียบกับลูกบาศก์ภายนอกที่มีความยาว 1 การสร้างแบบจำลองนั้น "เป็นไปได้ทางคณิตศาสตร์ แต่เป็นไปไม่ได้ในทางปฏิบัติ" ^{[ 14 ]}ในทางกลับกัน การใช้การวางแนวของลูกบาศก์ที่ใหญ่ที่สุด แต่เจาะรูให้เล็กลง ใหญ่พอสำหรับลูกบาศก์หน่วยเท่านั้น จะทำให้มีความหนาเพิ่มขึ้นซึ่งช่วยให้โครงสร้างมีความสมบูรณ์^{[ 15 ]}

สำหรับตัวอย่างการใช้ลูกบาศก์สองลูกที่มีขนาดเท่ากัน ตามที่ Prince Rupert เสนอไว้แต่เดิม การสร้างแบบจำลองนั้นเป็นไปได้ ในการสำรวจปัญหาในปี 1950 DJE Schrek ได้เผยแพร่ภาพถ่ายของแบบจำลองลูกบาศก์ที่ผ่านรูในลูกบาศก์อีกลูกหนึ่ง^{[ 16 ]} Martin Raynsford ได้ออกแบบแม่แบบสำหรับการสร้างแบบจำลองกระดาษของลูกบาศก์ที่มีลูกบาศก์อีกลูกหนึ่งผ่านเข้าไป อย่างไรก็ตาม เพื่อให้สอดคล้องกับความคลาดเคลื่อนของการสร้างกระดาษและไม่ให้กระดาษฉีกขาดตรงรอยต่อแคบๆ ระหว่างส่วนต่างๆ ของลูกบาศก์ที่เจาะรู รูในแบบจำลองของ Raynsford จึงยอมให้เฉพาะลูกบาศก์ที่มีขนาดเล็กกว่าลูกบาศก์ด้านนอกเล็กน้อยผ่านเข้าไปได้เท่านั้น^{[ 17 ]}

นับตั้งแต่มีการคิดค้นการพิมพ์ 3 มิติการสร้างลูกบาศก์ Prince Rupert ที่มีอัตราส่วน 1:1 อย่างสมบูรณ์ก็กลายเป็นเรื่องง่าย^{[ 18 ]}

ทรงหลายเหลี่ยมจะมีคุณสมบัติของรูเพิร์ต ได้ก็ ^ต่อเมื่อทรงหลายเหลี่ยมที่มีขนาดเท่ากันหรือใหญ่กว่าและมีรูปร่างเหมือนกันสามารถผ่านรูในได้^{[ 19 ]}ทรงหลายเหลี่ยมเพลโตทั้งห้า แบบ ได้แก่ ลูกบาศก์ ทรงสี่เหลี่ยม ด้านเท่าปกติทรงแปดเหลี่ยมปกติ[ ^{20 ]}ทรงสิบ สองเหลี่ยม ปกติและทรงยี่สิบเหลี่ยม ปกติ ล้วน มีคุณสมบัติของรูเพิร์ต จากทรงตันอาร์คิมีเดียนทั้ง 13 ทรงเป็นที่ทราบกันว่าอย่างน้อย 10 ทรงนี้มีคุณสมบัติของรูเพิร์ต ได้แก่ทรงลูกบาศก์แปดเหลี่ยมทรงแปดเหลี่ยมตัด ยอด ทรง ลูกบาศก์ ตัดยอด ทรง ลูกบาศก์แปดเหลี่ยม รูป สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ทรงสิบ สองเหลี่ยมสิบ สอง ด้าน ทรง ลูกบาศก์แปดเหลี่ยมตัด ยอด ทรง ^{สิบสองเหลี่ยมตัดยอด ทรงสิบสองเหลี่ยมตัดยอด ทรงสิบสองเหลี่ยมตัดยอด [ 21 ] และทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าตัดยอด [} 22 ] ^{[ 23 ]}รวมทั้งทรง^{สิบสองเหลี่ยมสิบสอง}ด้านตัดยอด^{[ 24 ] [ 25 ]}${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$

ลูกบาศก์และทรงสี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งหมดมีทางผ่านของรูเพิร์ตในทุกทิศทางที่ไม่ขนานกับหน้าใด ๆ ของมัน^{[ 26 ]}

อีกวิธีหนึ่งในการแสดงปัญหาเดียวกันคือ การถามหาสี่เหลี่ยมจัตุรัส ที่ใหญ่ที่สุด ที่อยู่ภายในลูกบาศก์หน่วย โดยทั่วไปแล้วJerrard & Wetzel (2004)แสดงวิธีการหาสี่เหลี่ยมผืนผ้า ที่ใหญ่ที่สุดที่ มีอัตราส่วนด้านที่กำหนดซึ่งอยู่ภายในลูกบาศก์หน่วย ดังที่พวกเขาได้สังเกต สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เหมาะสมที่สุดจะต้องอยู่ตรงกลางของลูกบาศก์เสมอ โดยมีจุดยอดอยู่บนขอบของลูกบาศก์ ขึ้นอยู่กับอัตราส่วนด้านซึ่งเป็นอัตราส่วนระหว่างด้านยาวและด้านสั้น จะมีสองกรณีสำหรับวิธีการวางสี่เหลี่ยมผืนผ้าภายในลูกบาศก์ สำหรับอัตราส่วนด้านที่ 1 หรือมากกว่า สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เหมาะสมที่สุดจะอยู่ภายในสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เชื่อมต่อขอบตรงข้ามสองด้านของลูกบาศก์ ซึ่งมีอัตราส่วนด้านเท่ากับ 1 พอดีสำหรับอัตราส่วนด้านที่ใกล้เคียงกับ 1 (รวมถึงอัตราส่วนด้าน 1 สำหรับสี่เหลี่ยมจัตุรัสของลูกบาศก์ Prince Rupert) จุดยอดสองในสี่จุดของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เหมาะสมที่สุดจะอยู่ห่างจากจุดยอดของลูกบาศก์เท่ากัน โดยอยู่ตามขอบสองในสามขอบที่สัมผัสกับจุดยอดนั้น จุดยอดอีกสองจุดของสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะเป็นภาพสะท้อนของสองจุดแรกที่ข้ามจุดศูนย์กลางของลูกบาศก์^{[ 5 ]}หากอัตราส่วนด้านไม่ถูกจำกัด สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีพื้นที่มากที่สุดที่พอดีกับลูกบาศก์คือสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีอัตราส่วนด้านโดยมีขอบตรงข้ามสองด้านของลูกบาศก์เป็นด้านสองด้าน และเส้นทแยงมุมของหน้าสองหน้าเป็นด้านอีกสองด้าน^{[ 27 ]}${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

ของแข็งคาตาลัน 11 จาก 13 ชนิด และ ของแข็งจอห์นสัน 87 จาก 92 ชนิดเป็นที่ทราบกันว่ามีคุณสมบัติของรูเพิร์ต ของแข็งคาตาลันที่ไม่ทราบคุณสมบัติรูเพิร์ต ได้แก่เดลทอยดัลเฮกเซคอนทาเฮดรอนและเพนทาโกนัลเฮกเซคอนทาเฮดรอน [ ^{28 ] ของแข็ง} จอห์นสันที่ ไม่ทราบคุณสมบัติรูเพิร์ต ได้แก่ไจเรตรอมบิโคซิโด เดคาเฮดรอน พาราบิไจเรตรอมบิโคซิโดเดคาเฮดร อน เมตาบิไจเรตรอมบิโคซิโดเดคาเฮดร อน ไตรไจเรตรอม บิโคซิโดเดคา เฮดรอน และ พาราไจเรตรอมบิโคซิโดเดคาเฮดร อน ที่ลดลง${\displaystyle J_{72}}$${\displaystyle J_{73}}$${\displaystyle J_{74}}$${\displaystyle J_{75}}$${\displaystyle J_{77}}$

ในปี 2017 มีการคาดเดาว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมนูนสามมิติทั้งหมดมีคุณสมบัตินี้^{[ 19 ]}แต่ในทางกลับกัน รูปทรงรอมบิโคซิโดเดคาเฮดรอนก็ไม่มีคุณสมบัติของรูเพิร์ต เช่นกัน ^{[ 24 ] [ 25 ]}

เมื่อไม่นานมานี้ เอกสารก่อนตีพิมพ์โดยSteininger & Yurkevich (2025)ได้อธิบายตัวอย่างค้าน ซึ่งพวกเขาเรียกว่าNoperthedron : รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนที่ชัดเจนซึ่งไม่ใช่ Rupert Noperthedron มีสมมาตรแบบจุดและมีจุดยอด 90 จุด ขอบ 240 เส้น และหน้า 152 หน้า: สามเหลี่ยม 150 รูปและรูปสิบห้าเหลี่ยม ปกติสองรูป ซึ่งแสดงเป็นฐานสองฐานของรูปทรงหลายเหลี่ยม^{[ 29 ] [ 30 ]}

สำหรับ ไฮ เปอร์คิวบ์ มิติ nทั้งหมดยังมีคุณสมบัติของรูเพิร์ตด้วย^{[ 31 ]}ยิ่งไปกว่านั้น อาจมีคนถามถึงไฮเปอร์คิวบ์มิติ n ที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถวาดได้ภายในไฮเปอร์คิวบ์หน่วยมิติ n คำตอบจะเป็น จำนวนพีชคณิตเสมอตัวอย่างเช่น ปัญหาสำหรับถามถึงลูกบาศก์ (สามมิติ) ที่ใหญ่ที่สุดภายในไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติ หลังจากที่มาร์ติน การ์ดเนอร์ตั้งคำถามนี้ในScientific Americanเคย์ อาร์. เพเชนิก เดอวิคซี และผู้อ่านคนอื่นๆ อีกหลายคนแสดงให้เห็นว่าคำตอบสำหรับกรณี (3,4) คือรากที่สองของรากจริง ที่เล็กกว่า ของพหุนามซึ่งคำนวณได้ประมาณ 1.007435 ^{[ 2 ] [ 32 ]}สำหรับn ความยาวด้านที่เหมาะสมที่สุดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ใหญ่ที่สุดในไฮเปอร์คิวบ์มิติ n คือ n หรือn ขึ้นอยู่กับว่า n เป็นเลขคู่หรือเลขคี่ตามลำดับ^{[ 33 ]}${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (m,n)=(3,4)}$${\displaystyle 4x^{4}-28x^{3}-7x^{2}+16x+16}$${\displaystyle m=2}$${\displaystyle n}$${\textstyle {\sqrt {n/2}}}$${\textstyle {\sqrt {n/2-3/8}}}$${\displaystyle n}$

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับลูกบาศก์ของเจ้าชายรูเพิร์ต

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. , "ลูกบาศก์ของเจ้าชายรูเพิร์ต" , MathWorld
• Murphy, Tom VII (2025), "Rupert's Snub Cube and other Math Holes" (video), Suckerpinch ; ภาคต่อของ Murphy, Tom VII (2025) "Some upsetting things about shapes (that we already knew)" , SIGBOVIK 2025 , Association for Computational Heresy, หน้า 342–368