ในทฤษฎีการวัดการวัดแบบส่งต่อ (หรือที่รู้จักกันในชื่อ การวัด แบบส่งต่อการวัดแบบภาพ ) ได้มาจากการถ่ายโอน ("ส่งต่อ") การวัดจากปริภูมิที่วัดได้ หนึ่ง ไปยังอีกปริภูมิหนึ่งโดยใช้ฟังก์ชันที่วัดได้

เมื่อพิจารณาพื้นที่ที่สามารถวัดได้${\displaystyle (X_{1},\Sigma _{1})}$และ${\displaystyle (X_{2},\Sigma _{2})}$ฟังก์ชันที่วัดได้${\displaystyle f\colon X_{1}\to X_{2}}$และการวัด${\displaystyle \mu \colon \Sigma _{1}\to [0,+\infty ]}$การผลักดันไปข้างหน้าของ${\displaystyle \mu }$โดย${\displaystyle f}$ถูกกำหนดให้เป็นการวัด${\displaystyle f_{*}(\mu )\colon \Sigma _{2}\to [0,+\infty ]}$มอบให้โดย

${\displaystyle f_{*}(\mu )(B)=\mu \left(f^{-1}(B)\right)}$สำหรับ${\displaystyle B\in \Sigma _{2}.}$

คำจำกัดความนี้ใช้ได้กับมาตรวัดแบบมีเครื่องหมายหรือแบบซับซ้อน โดยอนุโลม มาตรวัดแบบพุชฟอร์เวิร์ดยังแสดงด้วยสัญลักษณ์ อีกด้วย${\displaystyle \mu \circ f^{-1}}$,${\displaystyle f_{\sharp }\mu }$,${\displaystyle f\sharp \mu }$, หรือ${\displaystyle f\#\mu }$.

• ถ้า${\displaystyle (\โอเมก้า ,{\คณิตศาสตร์ {F}},P)}$เป็นปริภูมิความน่าจะเป็น${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$เป็นพื้นที่ที่สามารถวัดได้และ${\displaystyle X:\Omega \to E}$เป็น${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$ตัวแปรสุ่มที่มีค่าเป็น - จากนั้นการแจกแจงความน่าจะเป็นของ${\displaystyle X}$คือมาตรการผลักดันไปข้างหน้าของ${\displaystyle P}$โดย${\displaystyle X}$บน${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$.
• มาตรวัดเลเบสแบบธรรมชาติบนวงกลมหน่วยS ¹ (ในที่นี้ถือว่าเป็นเซตย่อยของระนาบเชิงซ้อนC ) สามารถกำหนดได้โดยใช้การสร้างแบบผลักไปข้างหน้าและมาตรวัดเลเบสλบนเส้นจำนวนจริงRให้λแทนการจำกัดมาตรวัดเลเบสในช่วง [0,  2π ) และให้f : [0, 2π ) → S ¹เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงแบบธรรมชาติที่กำหนดโดยf ( t ) = exp ( it ) มาตรวัดเลเบสแบบธรรมชาติบนS ¹ ก็คือมาตรวัดแบบผลักไปข้างหน้าf ( λ ) มาตรวัดf ( λ ) อาจเรียกว่า " มาตรวัด ความยาวส่วนโค้ง " หรือ "มาตรวัดมุม" ก็ได้ เนื่องจาก มาตรวัด f ( λ ) ของส่วนโค้งในS ¹คือความยาวส่วนโค้ง (หรือเทียบเท่ากับมุมที่ส่วนโค้งนั้นรองรับที่จุดศูนย์กลางของวงกลม)        
• ตัวอย่างก่อนหน้านี้สามารถขยายได้อย่างดีเพื่อให้ได้ "มาตรวัดเลเบส" ที่เป็นธรรมชาติบนทอรัสnมิติT ⁿตัวอย่างก่อนหน้านี้เป็นกรณีพิเศษ เนื่องจากS ¹ = T ¹มาตรวัดเลเบสบนT ⁿ นี้ เมื่อพิจารณาถึงการทำให้เป็นมาตรฐานแล้ว ก็คือมาตรวัดฮาร์สำหรับกลุ่มลีที่กระชับและเชื่อมต่อกันT ⁿ  
• การวัดแบบเกาส์เซียนบนปริภูมิเวกเตอร์มิติอนันต์ถูกกำหนดโดยใช้การผลักดันไปข้างหน้าและการวัดแบบเกาส์เซียนมาตรฐานบนเส้นจำนวนจริง: การวัดแบบบอเรลγบนปริภูมิบานาคที่แยกได้Xเรียกว่า การวัด แบบเกาส์เซียนถ้าการผลักดันไปข้างหน้าของγ โดย ฟังก์ชันเชิงเส้นที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆในปริภูมิคู่ต่อเนื่องไปยังXเป็นการวัดแบบเกาส์เซียนบนR
• พิจารณาฟังก์ชันที่วัดได้f  : X → Xและการประกอบฟังก์ชันของfกับตัวมันเองnครั้ง:

${\displaystyle f^{(n)}=\underbrace {f\circ f\circ \dots \circ f} _{n\mathrm {\,times} }:X\to X.}$

ฟังก์ชันที่ทำซ้ำนี้ก่อให้เกิดระบบพลวัตในการศึกษาระบบดังกล่าว มักมีความสนใจที่จะหาค่าμบนXที่ฟังก์ชันfไม่เปลี่ยนแปลง ซึ่งเรียกว่าค่าคงที่ (invariant measure ) กล่าวคือ ค่าที่f ( μ )  = μ 

• นอกจากนี้ยังสามารถพิจารณามาตรวัดกึ่งไม่เปลี่ยนแปลงสำหรับระบบพลวัตดังกล่าวได้: มาตรวัด${\displaystyle \mu }$บน${\displaystyle (X,\Sigma )}$เรียกว่ากึ่งไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้${\displaystyle f}$หากการผลักดันไปข้างหน้าของ${\displaystyle \mu }$โดย${\displaystyle f}$เป็นเพียงค่าที่เทียบเท่ากับค่าμ เดิม ไม่จำเป็นต้องเท่ากับค่า μ เดิมเสมอไป คู่ของค่าต่างๆ${\displaystyle \mu ,\nu }$บนพื้นที่เดียวกันจะเทียบเท่ากันก็ต่อเมื่อ${\displaystyle \forall A\in \Sigma$ :\ \mu (A)=0\iff \nu (A)=0} ดังนั้น${\displaystyle \mu }$มีลักษณะกึ่งไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้${\displaystyle f}$ถ้า${\displaystyle \forall A\in \Sigma$ :\ \mu (A)=0\iff f_{*}\mu (A)=\mu {\big (}f^{-1}(A){\big )}=0}

• การแจกแจงความน่าจะเป็นตามธรรมชาติหลายอย่าง เช่นการแจกแจงไคสามารถได้มาจากการสร้างแบบนี้

• ตัวแปรสุ่มก่อให้เกิดมาตรวัดแบบส่งต่อ (pushforward measures) โดยจะแมปพื้นที่ความน่าจะเป็นไปยังพื้นที่โคโดเมน (codomain space) และมอบมาตรวัดความน่าจะเป็นที่กำหนดโดยมาตรวัดแบบส่งต่อให้กับพื้นที่นั้น ยิ่งไปกว่านั้น เนื่องจากตัวแปรสุ่มเป็นฟังก์ชัน (และดังนั้นจึงเป็นฟังก์ชันสมบูรณ์) ภาพผกผันของโคโดเมนทั้งหมดจึงเป็นโดเมนทั้งหมด และมาตรวัดของโดเมนทั้งหมดคือ 1 ดังนั้นมาตรวัดของโคโดเมนทั้งหมดจึงเป็น 1 นี่หมายความว่าตัวแปรสุ่มสามารถประกอบกันได้เรื่อยๆอย่างไม่มีที่สิ้นสุดและพวกมันจะยังคงเป็นตัวแปรสุ่มและมอบมาตรวัดความน่าจะเป็นให้กับพื้นที่โคโดเมนเสมอ

โดยทั่วไปฟังก์ชันที่วัดได้ ใดๆ ก็ สามารถส่งต่อได้ การส่งต่อนี้จะกลายเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นซึ่งเรียกว่าตัวดำเนินการถ่ายโอนหรือตัวดำเนินการฟรอเบนิอุส-เพอร์รอนในปริภูมิจำกัด ตัวดำเนินการนี้มักจะตรงตามข้อกำหนดของทฤษฎีบทฟรอเบนิอุส-เพอร์รอนและค่าลักษณะเฉพาะสูงสุดของตัวดำเนินการจะสอดคล้องกับการวัดที่ไม่เปลี่ยนแปลง

ตัวผกผันของตัวผลักดันไปข้างหน้าคือตัวดึงกลับในฐานะตัวดำเนินการบนปริภูมิของฟังก์ชันบนปริภูมิที่วัดได้ มันคือตัวดำเนินการประกอบหรือตัวดำเนินการคูปแมน

• ระบบไดนามิกที่รักษาการวัด
• การปรับการไหลให้เป็นปกติ
• การขนส่งที่เหมาะสมที่สุด