ในทฤษฎีจำนวนจำนวนเต็มกำลังสองเป็นการขยายความของจำนวนเต็ม ปกติ ไปสู่ฟิลด์กำลังสองจำนวนเชิงซ้อนเรียกว่าจำนวนเต็มกำลังสอง ถ้ามันเป็นรากของพหุนามเอกลักษณ์ ( พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์นำหน้าเป็น 1) ดีกรีสอง ซึ่งสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม กล่าวคือ จำนวนเต็มกำลังสองเป็นจำนวนเต็มพีชคณิตดีกรีสอง ดังนั้น จำนวนเต็มกำลังสองคือจำนวนเชิงซ้อนที่เป็นคำตอบของสมการในรูปแบบ √( ...

x² + bx + ^c = 0

โดยที่bและcเป็นจำนวนเต็ม (ปกติ) เมื่อพิจารณาจำนวนเต็มพีชคณิต จำนวนเต็มปกติมักเรียกว่าจำนวนเต็มตรรกยะ

ตัวอย่างทั่วไปของจำนวนเต็มกำลังสอง ได้แก่รากที่สองของจำนวนเต็มตรรกยะ เช่น${\textstyle {\sqrt {2}}}$และจำนวนเชิงซ้อน${\textstyle i={\sqrt {-1}}}$ซึ่งสร้างจำนวนเต็มเกาส์เซียนตัวอย่างทั่วไปอีกอย่างหนึ่งคือ ราก ที่สามที่ ไม่ใช่ จำนวนจริงของเอกภาพ${\textstyle {\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}}$ซึ่งสร้างจำนวนเต็มไอเซนสไตน์ ขึ้น มา

จำนวนเต็มกำลังสองปรากฏในคำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์ หลายสมการ เช่นสมการของเพลล์และคำถามอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องกับรูปแบบกำลังสอง เชิงปริพันธ์ การศึกษาเกี่ยวกับวงแหวนของจำนวนเต็มกำลังสองเป็นพื้นฐานสำหรับคำถามมากมายในทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต

นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียในยุคกลาง ได้ค้นพบการคูณจำนวนเต็มกำลังสองที่มีค่า ดิสครีมิแนนต์Dเดียวกันซึ่งทำให้พวกเขาสามารถแก้สมการของเพลล์ได้ ในบางกรณี

ลักษณะเฉพาะที่ระบุไว้ใน§  การแสดง จำนวนเต็มกำลังสองอย่างชัดเจน นั้น ได้รับการนำเสนอครั้งแรกโดย Richard Dedekindในปี พ.ศ. 2414 ^{[ 1 ] [ 2 ]}

จำนวนเต็ม กำลัง สองคือจำนวนเต็มพีชคณิตดีกรีสอง หรือกล่าวให้ชัดเจนยิ่งขึ้นก็คือจำนวนเชิงซ้อน${\displaystyle x=(-b\pm {\sqrt {b^{2}-4c}})/2}$ซึ่งเป็นคำตอบของสมการในรูปแบบx² + bx + c = 0โดยที่bและc ^เป็นจำนวนเต็มจำนวนเต็มกำลังสองแต่ละจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเต็มจะไม่ใช่จำนวนตรรกยะกล่าวคือ เป็นจำนวนอตรรกยะ จริง ถ้าb² ⁻ 4c > 0 และ เป็น จำนวน ที่ไม่ใช่จำนวนจริงถ้าb² ⁻ 4c < 0 และอยู่ในฟิลด์กำลังสอง ที่กำหนด อย่าง เฉพาะเจาะจง${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$การขยายของ${\displaystyle \mathbb {Q} }$สร้างขึ้นจากรากที่สองของจำนวนเต็ม D ที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียว^ซึ่งสอดคล้องกับ b² ⁻ 4c = De²สำหรับจำนวนเต็ม e บางตัวถ้า D เป็นบวก จำนวนเต็มกำลังสองจะเป็นจำนวนจริง ถ้าD < 0 จำนวนเต็มกำลังสอง จะเป็นจำนวนจินตนาการ (นั่นคือ จำนวนเชิงซ้อนและไม่ใช่จำนวนจริง)

จำนวนเต็มกำลังสอง (รวมถึงจำนวนเต็มธรรมดา) ที่อยู่ในฟิลด์กำลังสอง${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$ก่อให้เกิดโดเมนเชิงจำนวนเต็มที่เรียกว่าวงแหวนของจำนวนเต็มของ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,).}$

ถึงแม้ว่าจำนวนเต็มกำลังสองที่อยู่ในฟิลด์กำลังสองที่กำหนดจะประกอบกันเป็นริงแต่เซตของ จำนวนเต็มกำลังสอง ทั้งหมดไม่ใช่ริง เพราะเซตของจำนวนเต็มกำลังสองทั้งหมดไม่ปิดภายใต้การบวกหรือการคูณ ตัวอย่างเช่น${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$และ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$เป็นจำนวนเต็มกำลังสอง แต่${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$และ${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})\cdot {\sqrt {3}}}$ไม่ใช่ เพราะพหุนามขั้นต่ำ ของพวกมัน มีดีกรีสี่

ในที่นี้และในส่วนต่อไป จำนวนเต็มกำลังสองที่นำมาพิจารณาเป็นจำนวนที่อยู่ในฟิลด์กำลังสอง${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,),}$โดยที่Dเป็นจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวประกอบกำลังสอง นี่ไม่ได้จำกัดความทั่วไปแต่อย่างใด เนื่องจากความเท่าเทียมกัน${\textstyle {\sqrt {a^{2}D}}=a{\sqrt {D}}}$(สำหรับจำนวนเต็มบวกใดๆa ) หมายความว่า${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)=\mathbb {Q} ({\sqrt {a^{2}D}}\,).}$

องค์ประกอบxของ${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$เป็นจำนวนเต็มกำลังสองก็ต่อเมื่อมีจำนวนเต็มสองจำนวนaและbที่ทำให้เงื่อนไขใดเงื่อนไขหนึ่งต่อไปนี้เป็นจริง

${\displaystyle x=a+b{\sqrt {D}},}$

หรือถ้าD  − 1เป็นพหุคูณของ4

${\displaystyle x={\frac {a}{2}}+{\frac {b}{2}}{\sqrt {D}},}$โดยที่aและb เป็นเลขคี่ทั้งคู่

กล่าวอีกนัยหนึ่ง จำนวนเต็มกำลังสองทุกจำนวนสามารถเขียนได้เป็นa + ωbโดยที่aและ bเป็นจำนวนเต็ม และωถูกกำหนดโดย

${\displaystyle \omega ={\begin{cases}{\sqrt {D}}&{\mbox{if }}D\equiv 2,3{\pmod {4}}\\{{1+{\sqrt {D}}} \over 2}&{\mbox{if }}D\equiv 1{\pmod {4}}\end{cases}}}$

(เนื่องจากDถูกสันนิษฐานว่าเป็นกรณีที่ไม่มีกำลังสอง)${\textstyle D\equiv 0{\pmod {4}}}$เป็นไปไม่ได้ เพราะนั่นหมายความว่าDหารลงตัวด้วยกำลังสอง 4) ^{[ 3 ]}

จำนวนเต็มกำลังสองใน${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$อาจจะเขียนได้

${\textstyle a+b{\sqrt {D}}}$,

โดยที่aและ bเป็นจำนวนเต็มทั้งคู่ หรือ เฉพาะในกรณีที่D ≡ 1 (mod 4) เท่านั้น ที่ ทั้งสองเป็นครึ่งของจำนวนเต็มคี่ค่าบรรทัดฐานของจำนวนเต็มกำลังสองดังกล่าวคือ

${\textstyle N(a+b{\sqrt {D}})=a^{2}-Db^{2}.}$

ค่าบรรทัดฐานของจำนวนเต็มกำลังสองจะเป็นจำนวนเต็มเสมอ ถ้า D < 0ค่าบรรทัดฐานของจำนวนเต็มกำลังสองจะเป็นกำลังสองของค่าสัมบูรณ์ของจำนวน นั้นในรูป ของจำนวนเชิงซ้อน (ซึ่งเป็นเท็จถ้าD < 0)${\textstyle D>0}$ค่าบรรทัดฐานเป็นฟังก์ชันการคูณโดยสมบูรณ์ซึ่งหมายความว่าค่าบรรทัดฐานของผลคูณของจำนวนเต็มกำลังสองจะเป็นผลคูณของค่าบรรทัดฐานของจำนวนเหล่านั้นเสมอ

จำนวนเต็มกำลังสองทุกจำนวน${\textstyle a+b{\sqrt {D}}}$มีคอนจูเกต

${\textstyle {\overline {a+b{\sqrt {D}}}}=a-b{\sqrt {D}}.}$

จำนวนเต็มกำลังสองมีค่าบรรทัดฐานเท่ากับจำนวนเต็มสังยุคของมัน และค่าบรรทัดฐานนี้คือผลคูณของจำนวนเต็มกำลังสองกับจำนวนเต็มสังยุคของมัน จำนวนเต็มสังยุคของผลรวมหรือผลคูณของจำนวนเต็มกำลังสองคือผลรวมหรือผลคูณ (ตามลำดับ) ของจำนวนเต็มสังยุคเหล่านั้น ซึ่งหมายความว่าการสังยุคเป็นออโตมอร์ฟิซึมของวงแหวนของจำนวนเต็มกำลังสอง${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$– ดูหัวข้อ§  วงแหวนจำนวนเต็มกำลังสองด้านล่าง

จำนวนเต็ม ทุกจำนวนที่ไม่มีตัวประกอบกำลังสอง (ที่ต่างจาก 0 และ 1) Dกำหนดวงแหวนจำนวนเต็มกำลังสองซึ่งเป็นโดเมนเชิงอินทิกรัลที่ประกอบด้วยจำนวนเต็มพีชคณิตที่อยู่ใน${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,).}$มันคือชุดนั้น${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]=\{a+\omega b:a,b\in \mathbb {Z} \}}$ที่ไหน${\displaystyle \omega ={\tfrac {1+{\sqrt {D}}}{2}}}$ถ้าD = 4k + 1และω = √Dในกรณีอื่น ๆ มักจะใช้สัญลักษณ์แทนด้วย${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}}$เนื่องจากเป็นวงแหวนของจำนวนเต็มของ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$ซึ่งเป็นการปิดแบบอินทิกรัลของ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ใน${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,).}$แหวน${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$ประกอบด้วยราก ทั้งหมด ของสมการx² ⁺ Bx + C = 0ซึ่งดิ สค รีมิแนนต์B² − 4C เป็นผลคูณของDกับกำลังสองของจำนวนเต็ม โดยเฉพาะอย่างยิ่ง√D เป็น ^{สมาชิก}ของ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$^{โดย เป็น}รากของสมการx² − D = 0ซึ่งมี4D เป็น ตัวแยกแยะ

^รากที่สองของจำนวนเต็มใดๆ ก็เป็นจำนวนเต็มกำลังสองเช่นกัน เพราะจำนวนเต็มทุกจำนวนสามารถเขียนได้ในรูปn ^{= m²D} โดยที่ D เป็นจำนวนเต็มที่ ไม่มี ตัวประกอบกำลังสอง และรากที่สองของมันคือรากของx² ⁻ m²D = 0

ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิตไม่เป็นจริงในวงแหวนจำนวนเต็มกำลังสองจำนวนมาก อย่างไรก็ตาม มีการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันสำหรับอุดมคติซึ่งแสดงโดยข้อเท็จจริงที่ว่าวงแหวนจำนวนเต็มพีชคณิตทุกวงเป็นโดเมนเดเดคินด์เนื่องจากจำนวนเต็มกำลังสองเป็นตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของจำนวนเต็มพีชคณิต จึงมักเป็นตัวอย่างเริ่มต้นของการศึกษาทฤษฎีจำนวนพีชคณิต ส่วนใหญ่ ^{[ 4 ]}

วงแหวนจำนวนเต็มกำลังสองแบ่งออกเป็นสองกลุ่มขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของDถ้าD > 0องค์ประกอบทั้งหมดของ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}}$เป็นจำนวนจริง และวงแหวนนั้นเป็นวงแหวนจำนวนเต็มกำลังสองจริงถ้าD < 0องค์ประกอบจริงเพียงอย่างเดียวของ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}}$เป็นจำนวนเต็มธรรมดา และวงแหวนนี้เป็นวงแหวนจำนวนเต็มกำลังสองเชิงซ้อน

สำหรับวงแหวนจำนวนเต็มกำลังสองจริงค่าจำนวนชั้นซึ่งใช้วัดความล้มเหลวของการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกัน จะระบุไว้ในOEIS A003649ส่วนกรณีจินตนาการ จะระบุไว้ในOEIS A000924

ตัวอย่างของวงแหวนจำนวนเต็มกำลังสองเชิงซ้อน

สำหรับD  <  0 นั้นωเป็นจำนวนเชิงซ้อน ( จำนวน จินตนาการหรือจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนจริง) ดังนั้นจึงเป็นเรื่องปกติที่จะพิจารณาวงแหวนจำนวนเต็มกำลังสองว่าเป็นเซตของจำนวนเชิงซ้อนพีชคณิต

• ตัวอย่างคลาสสิกคือ${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-1}}\,]}$จำนวนเต็มเกาส์เซียนซึ่งคาร์ล เกาส์นำเสนอราวปี ค.ศ. 1800 เพื่อระบุถึงกฎการแลกเปลี่ยนแบบกำลังสองของเขา^{[ 5 ]}
• องค์ประกอบใน${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-3}}\,)}=\mathbf {Z} \left[{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {-3}}~\!{\bigr )}\right]}$จำนวน เหล่านี้เรียกว่าจำนวนเต็มไอเซนสไตน์
• องค์ประกอบใน${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-7}}\,)}=\mathbf {Z} \left[{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {-7}}~\!{\bigr )}\right]}$เรียกว่าจำนวนเต็มไคลน์เนียน

วงแหวนสองวงแรกที่กล่าวถึงข้างต้นเป็นวงแหวนของจำนวนเต็มของฟิลด์ไซโคลโทมิกQ ( ζ ) และQ ( ζ ) ตามลำดับ ในทางตรงกันข้าม${\displaystyle \mathbf {Z} {\bigl [}{\sqrt {-3}}~\!{\bigr ]}}$นี่ไม่ใช่โดเมนของ Dedekind ด้วย ซ้ำ

ตัวอย่างทั้งหมดข้างต้นเป็นวงแหวนอุดมคติหลักและโดเมนยุคลิดสำหรับนอร์มด้วย แต่กรณีนี้ไม่เป็นเช่นนั้นสำหรับ

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}}\,)}=\mathbf {Z} \left[{\sqrt {-5}}\,\right],}$

ซึ่งไม่ใช่แม้แต่โดเมนการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันสามารถแสดงได้ดังต่อไปนี้

ใน${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}}\,)},}$เรามี

${\displaystyle 9=3\cdot 3=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}).}$

ปัจจัย 3 ประการ${\displaystyle 2+{\sqrt {-5}}}$และ${\displaystyle 2-{\sqrt {-5}}}$ตัวประกอบ เหล่านี้ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้เนื่องจากมีค่าบรรทัดฐานเท่ากับ 9 ทั้งหมด และหากตัวประกอบเหล่านี้ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ ก็จะต้องมีค่าบรรทัดฐานเท่ากับ 3 ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เพราะค่าบรรทัดฐานขององค์ประกอบที่ต่างจาก±1จะต้องมีอย่างน้อย 4 ดังนั้น การแยกตัวประกอบของ 9 ออกเป็นตัวประกอบที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้จึงไม่เป็นเอกลักษณ์

อุดมคติ​${\displaystyle \langle 3,1+{\sqrt {-5}}\,\rangle }$และ${\displaystyle \langle 3,1-{\sqrt {-5}}\,\rangle }$ไม่ใช่ตัวหลักเพราะการคำนวณอย่างง่ายแสดงให้เห็นว่าผลคูณของพวกมันคืออุดมคติที่สร้างขึ้นโดย 3 และหากพวกมันเป็นตัวหลัก นั่นหมายความว่า 3 จะไม่สามารถลดทอนไม่ได้

ตัวอย่างของวงแหวนจำนวนเต็มกำลังสองจริง

สำหรับD > 0นั้นωเป็นจำนวนจริง อตรรกยะบวก และวงแหวนจำนวนเต็มกำลังสองที่สอดคล้องกันคือเซตของจำนวนจริงพีชคณิต คำตอบของสมการของเพลล์X² − DY² = 1 ^ซึ่งเป็น^สมการไดโอแฟนไทน์ที่ได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวาง คือหน่วยของวงแหวนเหล่านี้ สำหรับD ≡ 2, 3 (mod 4 )

• สำหรับD = 5 , ω = ⁠ 1 / 2 ⁠ (1+ √ 5 )คืออัตราส่วนทองคำวงแหวนจำนวนเต็มทองคำนี้ ได้รับการศึกษาโดย Peter Gustav Lejeune Dirichletหน่วยของมันมีรูปแบบ± ω ⁿโดยที่n เป็นจำนวนเต็มใดๆ วงแหวนนี้ยังเกิดขึ้นจากการ ^{ศึกษา}สมมาตรการหมุน 5 เท่าบนระนาบยุคลิดเช่นการปูพื้นแบบเพนโรส [ ^{6 ]}
• นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียพราหมณคุปตะได้ทำการวิเคราะห์สมการของเพลล์X ² − 61 Y ² = 1ซึ่งสอดคล้องกับวงแหวนZ [ √ 61 ]ผลลัพธ์บางส่วนถูกนำเสนอต่อประชาคมยุโรปโดยปิแอร์ แฟร์มาต์ในปี ค.ศ. 1657