ในวิชาฟิสิกส์ปริมาณที่สังเกตได้ (observable)คือคุณสมบัติทางกายภาพหรือปริมาณทางกายภาพที่สามารถวัดได้ในกลศาสตร์คลาสสิก ปริมาณที่สังเกตได้คือ "ฟังก์ชัน" ที่มีค่าเป็นจำนวน จริงบนเซตของสถานะที่เป็นไปได้ทั้งหมดของระบบ เช่นตำแหน่งและโมเมนตัมในกลศาสตร์ควอนตัมปริมาณที่สังเกตได้จะถูกอธิบายด้วยตัวดำเนินการ เชิงเส้น ตัวอย่างเช่น ตัวดำเนินการเหล่านี้อาจแสดงถึงการทำให้ระบบอยู่ภายใต้สนามแม่เหล็กไฟฟ้า ต่างๆ และในที่สุดก็อ่านค่าออกมาได้

ปริมาณที่สังเกตได้ซึ่งมีความหมายทางกายภาพจะต้องเป็นไปตาม กฎ การแปลงที่เชื่อมโยงการสังเกตที่ดำเนินการโดยผู้สังเกต ที่แตกต่างกัน ในกรอบอ้างอิง ที่แตกต่างกัน กฎการแปลงเหล่านี้คือออโตมอร์ฟิซึมของปริภูมิสถานะกล่าวคือการแปลงแบบหนึ่งต่อหนึ่ง ทั่วถึงที่รักษาคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์บางประการของปริภูมิที่เกี่ยวข้อง

ปริมาณที่สังเกตได้ทุกอย่างในระบบควอนตัมจะถูกแทนด้วยตัวดำเนินการเชิงเส้น จอ ห์น อาร์ชิบัลด์ วีลเลอร์ใช้การเปรียบเทียบเครื่องจักรเพื่ออธิบายตัวดำเนินการ: สถานะควอนตัมเข้าไปในเครื่องจักรและสถานะผลลัพธ์ออกมา สถานะผลลัพธ์จะเป็นหนึ่งในสถานะเฉพาะของตัวดำเนินการ หากอินพุตเป็นสถานะเฉพาะ ผลลัพธ์ก็จะเป็นสถานะเฉพาะนั้นด้วย ในกรณีอื่นๆ ผลลัพธ์จะไม่แน่นอน: หนึ่งในสถานะเฉพาะจะเกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็นที่ขึ้นอยู่กับตัวดำเนินการและอินพุต^{[ 1 ] : 70}

ในกลศาสตร์ควอนตัมตัวสังเกตได้จะสอดคล้องกับตัวดำเนินการเชิงเส้น แบบสมมาตร ในปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงซ้อนที่แยกได้ ซึ่งแสดงถึงปริภูมิสถานะควอนตัม [ ^{2 ] ตัว}สังเกตได้จะกำหนดค่าให้กับผลลัพธ์ของการวัดเฉพาะซึ่งสอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการ หากผลลัพธ์เหล่านี้แสดงถึงสถานะที่อนุญาตทางกายภาพ (เช่น สถานะที่อยู่ในปริภูมิฮิลเบิร์ต) ค่าลักษณะเฉพาะจะเป็นจำนวนจริงอย่างไรก็ตาม ในทางกลับกันนั้นไม่จำเป็นต้องเป็นจริงเสมอไป^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}ด้วยเหตุนี้ การวัดบางอย่างเท่านั้นที่สามารถกำหนดค่าของตัวสังเกตได้สำหรับสถานะใดสถานะหนึ่งของระบบควอนตัมได้ ในกลศาสตร์คลาสสิก การวัด ใดๆ ก็สามารถทำได้เพื่อกำหนดค่าของตัวสังเกตได้

ความสัมพันธ์ระหว่างสถานะของระบบควอนตัมและค่าของตัวแปรที่สังเกตได้นั้น จำเป็นต้องใช้พีชคณิตเชิงเส้นในการอธิบาย ในการกำหนดสูตรทางคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์ควอน ตัม สถานะบริสุทธิ์จะ กำหนดโดย เวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ในปริภูมิฮิลเบิร์ตVโดยที่ค่าคงที่เฟสมี ค่าอยู่ด้วย เวกเตอร์สองตัวvและwถือว่าระบุสถานะเดียวกันก็ต่อเมื่อมีค่าที่ไม่เป็นศูนย์บางค่า ตัวแปร ที่สังเกตได้จะกำหนดโดยตัวดำเนินการสมมาตรในVตัวดำเนินการสมมาตรทุกตัวไม่ได้สอดคล้องกับตัวแปรที่สังเกตได้ที่มีความหมายทางกายภาพเสมอไป^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}นอกจากนี้ ตัวแปรที่สังเกตได้ทางกายภาพทั้งหมดไม่ได้เกี่ยวข้องกับตัวดำเนินการสมมาตรที่ไม่ธรรมดาเสมอไป ตัวอย่างเช่น ในทฤษฎีควอนตัม มวลปรากฏเป็นพารามิเตอร์ในแฮมิลโทเนียน ไม่ใช่เป็นตัวดำเนินการที่ไม่ธรรมดา^{[ 10 ]}${\displaystyle \mathbf {w} =c\mathbf {v} }$${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$

ในกรณีของกฎการแปลงในกลศาสตร์ควอนตัม ออโตมอร์ฟิซึมที่จำเป็นคือการแปลงเชิงเส้นแบบเอกภาพ (หรือแบบปฏิเอกภาพ ) ของปริภูมิฮิลเบิร์ตVภายใต้ทฤษฎีสัมพัทธภาพแบบกาลิเลียนหรือทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษคณิตศาสตร์ของกรอบอ้างอิงนั้นเรียบง่ายเป็นพิเศษ ซึ่งจำกัดชุดของปริมาณที่สังเกตได้ซึ่งมีความหมายทางกายภาพอย่างมาก

ในกลศาสตร์ควอนตัม การวัดปริมาณที่สังเกตได้แสดงให้เห็นถึงคุณสมบัติบางอย่างที่ดูเหมือนจะไม่เป็นไปตามสัญชาตญาณ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากระบบอยู่ในสถานะที่อธิบายโดยเวกเตอร์ในปริภูมิฮิลเบิร์ตกระบวนการวัดจะส่งผลต่อสถานะในลักษณะที่ไม่แน่นอน แต่สามารถคาดการณ์ได้ทางสถิติ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หลังจากทำการวัดแล้ว คำอธิบายสถานะโดยเวกเตอร์เดี่ยวอาจถูกทำลายและถูกแทนที่ด้วยกลุ่มสถิติลักษณะที่ไม่สามารถย้อนกลับได้ของการดำเนินการวัดในฟิสิกส์ควอนตัมบางครั้งเรียกว่าปัญหาการวัดและอธิบายทางคณิตศาสตร์โดยการดำเนินการควอนตัมด้วยโครงสร้างของการดำเนินการควอนตัม คำอธิบายนี้จึงเทียบเท่าทางคณิตศาสตร์กับคำอธิบายที่นำเสนอโดยการตีความสถานะสัมพัทธ์ซึ่งระบบดั้งเดิมถือเป็นระบบย่อยของระบบที่ใหญ่กว่า และสถานะของระบบดั้งเดิมกำหนดโดยร่องรอยบางส่วนของสถานะของระบบที่ใหญ่กว่า

ในกลศาสตร์ควอนตัม ตัวแปรพลวัตเช่น ตำแหน่งโมเมนตัม เชิงเส้น โมเมนตัมเชิงมุมวงโคจรสปินและโมเมนตัมเชิงมุมรวมต่างก็มีตัวดำเนินการสมมาตรที่กระทำต่อสถานะของระบบควอนตัม ค่าลักษณะ เฉพาะ ของตัวดำเนินการนั้นสอดคล้องกับค่าที่เป็นไปได้ที่สามารถสังเกตตัวแปรพลวัตได้ ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ( eigenvector ) ของตัวแปรที่สังเกตได้โดยมีค่าลักษณะเฉพาะและ อยู่ในปริภูมิฮิลเบิร์ตแล้ว ${\displaystyle A}$${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle |\psi _{a}\rangle }$${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle a}$$${\displaystyle {\hat {A}}|\psi _{a}\rangle =a|\psi _{a}\rangle .}$$

สมการไอเกนเกตนี้กล่าวว่า หาก ทำการ วัดค่าที่สังเกตได้ในขณะที่ระบบที่สนใจอยู่ในสถานะค่าที่สังเกตได้จากการวัดนั้นจะต้องให้ค่าไอเกนอย่างแน่นอน อย่างไรก็ตาม หากระบบที่สนใจอยู่ในสถานะทั่วไป(และและเป็นเวกเตอร์หน่วยและปริภูมิไอเกนของเป็นมิติเดียว) ค่าไอเกนจะถูกส่งคืนด้วยความน่าจะเป็นตามกฎของบอร์น ${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle |\psi _{a}\rangle }$${\displaystyle a}$${\displaystyle |\phi \rangle \in {\mathcal {H}}}$${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle |\psi _{a}\rangle }$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle |\langle \psi _{a}|\phi \rangle |^{2}}$

ความแตกต่างที่สำคัญระหว่างปริมาณคลาสสิกและปริมาณที่สังเกตได้ในกลศาสตร์ควอนตัมคือ ปริมาณที่สังเกตได้ในกลศาสตร์ควอนตัมบางคู่ อาจไม่สามารถวัดได้พร้อมกัน ซึ่งเป็นคุณสมบัติที่เรียกว่าความสมบูรณ์ (complementarity ) คุณสมบัตินี้แสดงออกทางคณิตศาสตร์โดยการไม่สลับที่กันของตัวดำเนินการที่เกี่ยวข้อง กล่าวคือตัวสลับที่ (commutator ) ไม่สามารถสลับที่กันได้ (non-commutativity)$${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]:={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}\neq {\hat {0}}.}$$

อสมการนี้แสดงให้เห็นถึงความสัมพันธ์ของผลการวัดกับลำดับการวัดค่าที่สังเกตได้การวัดค่าหนึ่งจะเปลี่ยนแปลงสถานะควอนตัมในลักษณะที่ไม่สอดคล้องกับการวัดค่าถัดไปและในทางกลับกัน ${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {B}}}$${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {B}}}$

ตัวแปรที่สังเกตได้ซึ่งสอดคล้องกับตัวดำเนินการที่สลับกันได้เรียกว่าตัวแปรที่สังเกตได้ ที่เข้ากันได้ ตัวอย่างเช่น โมเมนตัมตามแกน x และ y เข้ากันได้ ตัวแปร ที่สังเกตได้ซึ่งสอดคล้องกับตัวดำเนินการที่ไม่สลับกันได้เรียกว่าตัวแปรที่สังเกตไม่ได้หรือตัวแปรเสริมตัวอย่างเช่น ตำแหน่งและโมเมนตัมตามแกนเดียวกันไม่เข้ากัน^{[ 11 ] : 155} ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

ตัวแปรสังเกตที่ไม่เข้ากันไม่สามารถมีชุดฟังก์ชันลักษณะ เฉพาะร่วมกันได้อย่างสมบูรณ์ โปรดทราบว่าอาจมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะพร้อมกันของและแต่มีจำนวนไม่เพียงพอที่จะประกอบเป็นฐานที่ สมบูรณ์ ^{[ 12 ] [ 13 ]}${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {B}}}$

• อู๋หยาง, ซันนี่ วาย. (1995). ทฤษฎีสนามควอนตัมเป็นไปได้อย่างไร?นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด. ISBN 978-0195093452.
• โคเฮน-ทันนูดจิ, คลอดด์; ดีอู, เบอร์นาร์ด; ลาโล, ฟรองค์ (2019) กลศาสตร์ควอนตัม เล่มที่ 1 ไวน์ไฮม์: จอห์น ไวลีย์ แอนด์ ซันส์ไอเอสบีเอ็น 978-3-527-34553-3.
• de la Madrid Modino, R. (2001). กลศาสตร์ควอนตัมในภาษาปริภูมิฮิลเบิร์ตแบบมีโครงสร้าง (วิทยานิพนธ์ปริญญาเอก). มหาวิทยาลัยบายาโดลิด.
• Teschl, G. (2014). วิธีการทางคณิตศาสตร์ในกลศาสตร์ควอนตัม พรอวิเดนซ์ (โรดไอส์แลนด์): สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกันISBN 978-1-4704-1704-8.
• ฟอน นอยมันน์, จอห์น (1996). พื้นฐานทางคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์ควอนตัมแปลโดย โรเบิร์ต ที. เบเยอร์ (พิมพ์ครั้งที่ 12, พิมพ์ปกอ่อนครั้งที่ 1). พรินซ์ตัน, นิวเจอร์ซีย์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตันISBN 978-0691028934.
• Varadarajan, VS (2007). เรขาคณิตของทฤษฎีควอนตัม (ฉบับที่ 2). นิวยอร์ก: Springer. ISBN 9780387493862.
• เวย์ล, เฮอร์มันน์ (2009). "ภาคผนวก C: ฟิสิกส์ควอนตัมและความเป็นเหตุเป็นผล" ปรัชญาคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ ฉบับภาษาอังกฤษที่ปรับปรุงและเพิ่มเติมโดยอิงจากการแปลของโอลาฟ เฮลเมอร์ พริน ซ์ตัน รัฐนิวเจอร์ซีย์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน หน้า  253–265 ISBN 9780691141206.
• Moretti, Valter (2017). ทฤษฎีสเปกตรัมและกลศาสตร์ควอนตัม: รากฐานทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีควอนตัม สมมาตร และบทนำสู่การกำหนดสูตรเชิงพีชคณิต (ฉบับที่ 2). Springer. ISBN 978-3319707068.
• Moretti, Valter (2019). โครงสร้างทางคณิตศาสตร์พื้นฐานของทฤษฎีควอนตัม: ทฤษฎีสเปกตรัม ประเด็นพื้นฐาน สมมาตร การกำหนดสูตรเชิงพีชคณิตสปริงเกอร์ISBN 978-3030183462.