การแจกแจงอัตราส่วน (หรือที่เรียกว่าการแจกแจงผลหาร ) คือการแจกแจงความน่าจะเป็นที่สร้างขึ้นจากอัตราส่วนของการ แจกแจง ตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงอื่นที่ทราบแล้วสองแบบ โดยกำหนดให้ตัวแปรสุ่มสองตัว (โดยปกติจะเป็นอิสระต่อกัน ) XและYการแจกแจงของตัวแปรสุ่มZที่เกิดจากอัตราส่วนZ = X / Yคือการ แจกแจงอัตราส่วน

ตัวอย่างหนึ่งคือการแจกแจงโคชี (เรียกอีกอย่างว่าการแจกแจงอัตราส่วนปกติ ) ซึ่งเกิดขึ้นจากอัตราส่วนของ ตัวแปร ที่มีการแจกแจงแบบปกติ สองตัว ที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ การแจกแจงอีกสองแบบที่มักใช้ในสถิติการทดสอบก็เป็นการแจกแจงอัตราส่วนเช่นกัน ได้แก่การแจกแจงtของนักเรียนซึ่งเกิดจากตัวแปรสุ่มแบบเกาส์เซียนหารด้วยตัวแปร สุ่มอิสระ ที่มีการแจกแจงแบบไค ในขณะที่การแจกแจงFเกิดจากอัตราส่วนของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวที่มีการแจกแจงแบบไคกำลังสอง การแจกแจงอัตราส่วนทั่วไปอื่นๆ ได้รับการพิจารณาในเอกสาร^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

โดยทั่วไปแล้ว การกระจายอัตราส่วนมักมีหางยาวและอาจเป็นเรื่องยากที่จะทำงานกับการกระจายดังกล่าวและพัฒนาการทดสอบทางสถิติ ที่เกี่ยวข้อง วิธีการที่อิงตามค่ามัธยฐานได้รับการแนะนำว่าเป็น "วิธีแก้ปัญหา" ^{[ 8 ]}

อัตราส่วนเป็นพีชคณิตประเภทหนึ่งสำหรับตัวแปรสุ่ม: การแจกแจงอัตราส่วนเกี่ยวข้องกับการแจกแจงผลคูณการแจกแจงผลรวมและการแจกแจงผลต่างโดยทั่วไปแล้ว อาจกล่าวได้ว่าเป็นการรวมกันของผลรวม ผลต่าง ผลคูณ และอัตราส่วน การแจกแจงเหล่านี้จำนวนมากได้รับการอธิบายไว้ในหนังสือของMelvin D. Springer ในปี 1979 ^{เรื่อง} The Algebra of Random Variables [ ^{5 ]}

กฎพีชคณิตที่ทราบกันดีกับจำนวนทั่วไปไม่สามารถนำมาใช้กับพีชคณิตของตัวแปรสุ่มได้ ตัวอย่างเช่น หากผลคูณคือ⁠ ⁠${\displaystyle C=AB}$และอัตราส่วนคือ⁠ ⁠${\displaystyle D=C/A}$ก็ไม่ได้หมายความว่าการแจกแจงของ⁠ ⁠${\displaystyle D}$และ⁠ ⁠${\displaystyle B}$จะเหมือนกันเสมอไป อันที่จริง จะเห็นผลกระทบที่แปลกประหลาดสำหรับการแจกแจงโคชี : ผลคูณและอัตราส่วนของการแจกแจงโคชีอิสระสองแบบ (โดยมีพารามิเตอร์มาตราส่วนเดียวกันและพารามิเตอร์ตำแหน่งตั้งค่าเป็นศูนย์) จะให้การแจกแจงเดียวกัน^{[ 5 ]} สิ่งนี้จะชัดเจนเมื่อพิจารณาการแจกแจงโคชีว่าเป็นอัตราส่วนของการแจกแจงแบบเกาส์เซียนสองแบบที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์: พิจารณาตัวแปรสุ่มโคชีสองตัว ⁠ ⁠${\displaystyle C_{1}}$และ⁠ ⁠${\displaystyle C_{2}}$แต่ละตัวสร้างขึ้นจากการแจกแจงแบบเกาส์เซียนสองแบบ⁠ ⁠${\displaystyle C_{1}=G_{1}/G_{2}}$และ⁠ ⁠${\displaystyle C_{2}=G_{3}/G_{4}}$ จาก นั้นโดย ที่⁠ ⁠พจน์แรกคืออัตราส่วนของการกระจายแบบโคชีสองแบบ ในขณะที่พจน์สุดท้ายคือผลคูณของการกระจายแบบโคชีสองแบบดังกล่าว $${\displaystyle {\frac {C_{1}}{C_{2}}}={\frac {{G_{1}}/{G_{2}}}{{G_{3}}/{G_{4}}}}={\frac {G_{1}G_{4}}{G_{2}G_{3}}}={\frac {G_{1}}{G_{2}}}\times {\frac {G_{4}}{G_{3}}}=C_{1}\times C_{3},}$$${\displaystyle C_{3}=G_{4}/G_{3}}$

วิธีหนึ่งในการหาการแจกแจงอัตราส่วนของ⁠ ⁠${\displaystyle Z=X/Y}$จากการแจกแจงร่วมของตัวแปรสุ่มอีกสองตัว⁠ ⁠${\displaystyle X}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle Y}$ , ที่มีPDF ร่วม ⁠ ⁠${\displaystyle p_{X,Y}(x,y)}$ , คือการอินทิเกรตในรูปแบบต่อไปนี้^{[ 2 ]}$${\displaystyle p_{Z}(z)=\int _{-\infty }^{+\infty }|y|\,p_{X,Y}(zy,y)\,dy.}$$

ถ้าตัวแปรทั้งสองเป็นอิสระต่อกันแล้ว ผลลัพธ์จะเป็นดังนี้ ${\displaystyle p_{XY}(x,y)=p_{X}(x)p_{Y}(y)}$$${\displaystyle p_{Z}(z)=\int _{-\infty }^{+\infty }|y|\,p_{X}(zy)p_{Y}(y)\,dy.}$$

นี่อาจไม่ใช่เรื่องง่าย ตัวอย่างเช่น พิจารณาปัญหาคลาสสิกของอัตราส่วนระหว่างตัวอย่างเกาส์เซียนมาตรฐานสองตัวอย่างฟังก์ชัน ความหนาแน่นความน่าจะเป็นร่วม คือ $${\displaystyle p_{X,Y}(x,y)={\frac {1}{2\pi }}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2}}\right)\exp \left(-{\frac {y^{2}}{2}}\right).}$$

เมื่อกำหนดเราจะได้ โดยใช้ปริพันธ์จำกัด ที่ทราบ เราจะได้ ซึ่งเป็นการแจกแจงโคชี หรือการแจกแจงtของนักเรียนโดยมี⁠ ⁠ . ${\displaystyle Z=X/Y}$$${\displaystyle {\begin{aligned}p_{Z}(z)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\,|y|\,\exp \left(-{\frac {\left(zy\right)^{2}}{2}}\right)\,\exp \left(-{\frac {y^{2}}{2}}\right)\,dy\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\,|y|\,\exp \left(-{\frac {y^{2}\left(z^{2}+1\right)}{2}}\right)\,dy.\end{aligned}}}$$${\textstyle \int _{0}^{\infty }x\exp \left(-cx^{2}\right)dx={\frac {1}{2c}}}$$${\displaystyle p_{Z}(z)={\frac {1}{\pi (z^{2}+1)}},}$$${\displaystyle n=1}$

การแปลง Mellinได้รับการแนะนำสำหรับการหาอนุพันธ์ของการกระจายอัตราส่วนด้วยเช่นกัน^{[ 5 ]}

ในกรณีที่ตัวแปรอิสระเป็นบวก ให้ดำเนินการดังต่อไปนี้ แผนภาพแสดงการแจกแจงทวิภาคที่แยกได้ซึ่งมีขอบเขตอยู่ในควadrant บวกและเราต้องการหาฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (pdf) ของอัตราส่วน ปริมาตรที่แรเงาเหนือเส้นแสดง ถึงการแจกแจงสะสม ของฟังก์ชันคูณด้วยฟังก์ชันตรรกะความหนาแน่นจะถูกรวมเข้าด้วยกันในแถบแนวนอนก่อน แถบแนวนอนที่ความสูงขยายจากถึงและมีความน่าจะเป็นเพิ่ม ขึ้น${\displaystyle f_{x,y}(x,y)=f_{x}(x)f_{y}(y)}$${\displaystyle x,y>0}$${\displaystyle R=X/Y}$${\displaystyle y=x/R}$${\displaystyle f_{x,y}(x,y)}$${\displaystyle X/Y\leq R}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=Ry}$${\textstyle f_{y}(y)dy\int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dx}$

ประการที่สอง การอินทิเกรตแถบแนวนอนขึ้นไปเหนือทั้งหมดจะได้${\displaystyle y}$ปริมาตรของความน่าจะเป็นเหนือเส้น สุดท้าย หาอนุพันธ์เทียบกับ เพื่อให้ได้PDF ย้าย การหาอนุพันธ์เข้าไปในอินทิกรัล: และเนื่องจาก ดังนั้น ตัวอย่าง เช่น จงหา PDF ของอัตราส่วนเมื่อ$${\displaystyle F_{R}(R)=\int _{0}^{\infty }f_{y}(y)\left(\int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dx\right)dy}$$${\displaystyle F_{R}(R)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle f_{R}(R)}$$${\displaystyle f_{R}(R)={\frac {d}{dR}}\left[\int _{0}^{\infty }f_{y}(y)\left(\int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dx\right)dy\right]}$$$${\displaystyle f_{R}(R)=\int _{0}^{\infty }f_{y}(y)\left({\frac {d}{dR}}\int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dx\right)dy}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dR}}\int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dx=yf_{x}(Ry)}$$$${\displaystyle f_{R}(R)=\int _{0}^{\infty }f_{y}(y)f_{x}(Ry)ydy.}$$${\displaystyle R}$$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}(x)&=\alpha e^{-\alpha x},\\f_{y}(y)&=\beta e^{-\beta y},\\x,y&\geq 0.\end{aligned}}}$$

ดังนั้น การ หา อนุพันธ์เทียบ กับจะได้PDFของ:$${\displaystyle \int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dx=-\left.e^{-\alpha x}\right\vert _{0}^{Ry}=1-e^{-\alpha Ry}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{R}(R)&=\int _{0}^{\infty }f_{y}(y)\left(1-e^{-\alpha Ry}\right)dy\\&=\int _{0}^{\infty }\beta e^{-\beta y}\left(1-e^{-\alpha Ry}\right)dy\\&=1-{\frac {\alpha R}{\beta +\alpha R}}\\&={\frac {R}{{\tfrac {\beta }{\alpha }}+R}}.\end{aligned}}}$$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$$${\displaystyle f_{R}(R)={\frac {d}{dR}}\left({\frac {R}{{\tfrac {\beta }{\alpha }}+R}}\right)={\frac {\tfrac {\beta }{\alpha }}{\left({\tfrac {\beta }{\alpha }}+R\right)^{2}}}.}$$

จาก ทฤษฎี การแปลงของเมลลิน สำหรับ การแจกแจงที่อยู่บนครึ่งเส้นบวกเท่านั้นเราจะ${\displaystyle x\geq 0}$ได้เอกลักษณ์ผลคูณ ก็ต่อเมื่อและเป็นอิสระต่อกัน สำหรับกรณีอัตราส่วนของตัวอย่างเช่นเพื่อที่จะใช้เอกลักษณ์นี้ จำเป็นต้องใช้โมเมนต์ของการแจกแจงผกผัน กำหนดให้โดยที่ดังนั้นหากสามารถกำหนดโมเมนต์ของและ แยกกัน ได้ โมเมนต์ของ ก็สามารถหาได้เช่นกัน โมเมนต์ของ ถูกกำหนดจาก PDFผกผันของซึ่ง มัก จะ เป็นการคำนวณที่ทำได้ง่าย ใน กรณี ที่ง่ายที่สุด$${\displaystyle \operatorname {E} [(UV)^{p}]=\operatorname {E} [U^{p}]\cdot \operatorname {E} [V^{p}]}$$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \operatorname {E} [(X/Y)^{p}]}$${\displaystyle 1/Y=Z}$${\displaystyle \operatorname {E} [(XZ)^{p}]=\operatorname {E} [X^{p}]\cdot \operatorname {E} [Y^{-p}]}$${\displaystyle X^{p}}$${\displaystyle Y^{-p}}$${\displaystyle X/Y}$${\displaystyle Y^{-p}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \textstyle \operatorname {E} [Y^{-p}]=\int _{0}^{\infty }y^{-p}f_{y}(y)dy}$

เพื่อเป็นตัวอย่าง ให้เป็นค่าที่สุ่มมาจากการแจกแจงแกมมามาตรฐานซึ่ง โมเมนต์ลำดับที่-thคือ⁠ ⁠${\displaystyle X}$$${\displaystyle x^{\alpha -1}e^{-x}/\Gamma (\alpha )}$$${\displaystyle p}$${\displaystyle \Gamma (\alpha +p)/\Gamma (\alpha )}$

${\displaystyle Z=Y^{-1}}$สุ่มมาจากการแจกแจงแกมมาผกผันที่มีพารามิเตอร์และมี ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น ( PDF )โมเมนต์ของ PDF นี้คือ ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \Gamma ^{-1}(\beta )z^{-(1+\beta )}e^{-1/z}}$$${\displaystyle \operatorname {E} [Z^{p}]=\operatorname {E} [Y^{-p}]={\frac {\Gamma (\beta -p)}{\Gamma (\beta )}},\;p<\beta .}$$

การคูณโมเมนต์ที่สอดคล้องกันจะได้ $${\displaystyle \operatorname {E} [(X/Y)^{p}]=\operatorname {E} [X^{p}]\cdot \operatorname {E} [Y^{-p}]={\frac {\Gamma (\alpha +p)}{\Gamma (\alpha )}}{\frac {\Gamma (\beta -p)}{\Gamma (\beta )}},\;p<\beta .}$$

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า อัตราส่วนของตัวอย่างแกมมาทั้งสองตัวอย่างนั้นเป็นไปตามการแจกแจงแบบเบตาไพรม์ซึ่ง มีโมเมนต์ดังนี้ ${\displaystyle R=X/Y}$$${\displaystyle f_{\beta '}(r,\alpha ,\beta )=\mathrm {B} (\alpha ,\beta )^{-1}r^{\alpha -1}(1+r)^{-(\alpha +\beta )}}$$$${\displaystyle \operatorname {E} [R^{p}]={\frac {\mathrm {B} (\alpha +p,\beta -p)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}.}$$

เมื่อแทนค่าลงไป เราจะได้ ซึ่งสอดคล้องกับผลคูณของโมเมนต์ข้างต้น ${\textstyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [R^{p}]&=\left.{\frac {\Gamma (\alpha +p)\Gamma (\beta -p)}{\Gamma (\alpha +\beta )}}\right/{\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}\\[.5em]&={\frac {\Gamma (\alpha +p)\Gamma (\beta -p)}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}},\end{aligned}}}$$

ใน ส่วนของ การแจกแจงผลคูณและได้มาจาก ทฤษฎี การแปลงของเมลลิน (ดูส่วนด้านบน) พบว่าค่าเฉลี่ยของผลคูณของตัวแปรอิสระเท่ากับผลคูณของค่าเฉลี่ยของตัวแปรเหล่านั้น ในกรณีของอัตราส่วน เราจะได้ ซึ่งในแง่ของการแจกแจงความน่าจะเป็น จะเทียบเท่ากับ $${\displaystyle \operatorname {E} (X/Y)=\operatorname {E} (X)\cdot \operatorname {E} (1/Y)}$$$${\displaystyle \operatorname {E} (X/Y)=\int _{-\infty }^{\infty }xf_{x}(x)\,dx\times \int _{-\infty }^{\infty }y^{-1}f_{y}(y)\,dy.}$$

โปรดทราบว่า⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \operatorname {E} (1/Y)\neq {\frac {1}{\operatorname {E} (Y)}}}$ ; เช่น⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \int _{-\infty }^{\infty }y^{-1}f_{y}(y)\,dy\neq 1\left/\int _{-\infty }^{\infty }yf_{y}(y)\,dy\right.}$ .

ความแปรปรวนของอัตราส่วนของตัวแปรอิสระคือ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X/Y)&=\operatorname {E} ([X/Y]^{2})-\operatorname {E^{2}} (X/Y)\\&=\operatorname {E} (X^{2})\cdot \operatorname {E} (1/Y^{2})-\operatorname {E} ^{2}(X)\cdot \operatorname {E} ^{2}(1/Y).\end{aligned}}}$$

เมื่อ⁠ ⁠${\displaystyle X}$และ⁠ ⁠${\displaystyle Y}$เป็นอิสระต่อกันและมีการกระจายแบบเกาส์เซียนที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ รูปแบบของการกระจายอัตราส่วนของพวกมันจะเป็นการกระจายแบบโคชีซึ่งสามารถหาได้โดยการกำหนด⁠ ⁠${\displaystyle Z=X/Y=\tan \theta }$แล้วแสดงว่า⁠ ⁠${\displaystyle \theta }$มีสมมาตรแบบวงกลมสำหรับการกระจายแบบเกาส์เซียนแบบสองตัวแปรที่ไม่สัมพันธ์กัน เราจะได้ $${\displaystyle {\begin{aligned}p(x,y)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp {\left(-{\tfrac {x^{2}}{2}}\right)}\times {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp {\left(-{\tfrac {y^{2}}{2}}\right)}\\&={\frac {1}{2\pi }}\exp {\left(-{\tfrac {x^{2}+y^{2}}{2}}\right)}\\&={\frac {1}{2\pi }}\exp {\left(-{\frac {r^{2}}{2}}\right)},\ {\text{for}}\ r^{2}=x^{2}+y^{2}.\end{aligned}}}$$

ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle p(x,y)}$เป็นฟังก์ชันของ⁠ ⁠${\displaystyle r}$ เท่านั้น แล้ว⁠ ⁠${\displaystyle \theta }$จะมีการกระจายแบบเอกรูปบน⁠ ⁠${\displaystyle [0,2\pi ]}$ด้วยความหนาแน่น⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2\pi }}}$ดังนั้น ปัญหาจึงลดลงเหลือเพียงการหาการกระจายความน่าจะเป็นของ⁠ ⁠${\displaystyle Z}$ภายใต้การแมป $${\displaystyle Z=X/Y=\tan \theta .}$$

โดยหลักการอนุรักษ์ความน่าจะเป็น และเนื่องจาก⁠ ⁠เมื่อ กำหนดค่า เราจะได้ มีตัวประกอบที่ไม่ถูกต้องคือ 2 อยู่ตรงนี้ จริงๆ แล้ว ค่าสองค่าของ ที่เว้นระยะ ห่างกันจะแมปไปยังค่าเดียวกันของ⁠ ⁠ความหนาแน่นจะเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า และผลลัพธ์สุดท้ายคือ $${\displaystyle p_{z}(z)\,|dz|=p_{\theta }(\theta )\,|d\theta |,}$$${\displaystyle \textstyle {\frac {dz}{d\theta }}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}}$$${\displaystyle p_{z}(z)={\frac {p_{\theta }(\theta )}{\left|{\frac {dz}{d\theta }}\right|}}={\frac {1}{2\pi }}{\cos ^{2}\theta }.}$$$${\displaystyle \cos ^{2}\theta ={\frac {1}{1+(\tan \theta )^{2}}}={\frac {1}{1+z^{2}}},}$$$${\displaystyle p_{z}(z)={\frac {1/(2\pi )}{1+z^{2}}}.}$$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle z}$$${\displaystyle p_{z}(z)={\frac {1/\pi }{1+z^{2}}},\quad -\infty <z<\infty .}$$

เมื่อการแจกแจงปกติอย่างใดอย่างหนึ่งในสองแบบนั้นไม่ใช่แบบศูนย์กลาง ผลลัพธ์ของการแจกแจงของอัตราส่วนจะซับซ้อนกว่ามาก และแสดงไว้ด้านล่างในรูปแบบที่กระชับซึ่งนำเสนอโดยDavid Hinkley [ ^{3 ] อย่างไรก็ตาม}วิธีตรีโกณมิติสำหรับอัตราส่วนนั้นขยายไปถึงการแจกแจงแบบรัศมี เช่น การแจกแจงปกติแบบสองตัวแปร หรือการแจกแจงtของ Student แบบสองตัวแปร ซึ่งความหนาแน่นขึ้นอยู่กับรัศมีเท่านั้น แต่จะไม่${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ขยายไปถึงอัตราส่วนของการแจกแจงt ของ Student สองตัวที่เป็นอิสระต่อกัน ซึ่งให้ค่าอัตราส่วน Cauchy ที่แสดงในส่วนด้านล่างสำหรับหนึ่งองศาอิสระ

ในกรณีที่ไม่มีความสัมพันธ์ ( ⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {cor} (X,Y)=0}$ ) ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของอัตราส่วน⁠ ⁠${\displaystyle Z=X/Y}$ของตัวแปรปกติสองตัวและจะกำหนดได้อย่างแม่นยำด้วยนิพจน์ต่อไปนี้ ซึ่งได้มาจากแหล่งข้อมูลหลายแหล่ง: ^{[ 3 ]} โดยที่ ${\displaystyle X={\mathcal {N}}(\mu _{X},\sigma _{X}^{2})}$${\displaystyle Y={\mathcal {N}}(\mu _{Y},\sigma _{Y}^{2})}$$${\displaystyle p_{Z}(z)={\frac {e^{-c/2}}{a^{2}(z)\cdot 2\pi \sigma _{x}\sigma _{y}}}\left({\sqrt {2\pi }}{\frac {b(z)}{a(z)}}\exp \left({\frac {b^{2}(z)}{2a^{2}(z)}}\right)\mathrm {erf} \left({\frac {b(z)}{{\sqrt {2}}a(z)}}\right)+2\right),}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}a(z)&={\sqrt {{\frac {1}{\sigma _{x}^{2}}}z^{2}+{\frac {1}{\sigma _{y}^{2}}}}},\\b(z)&={\frac {\mu _{x}}{\sigma _{x}^{2}}}z+{\frac {\mu _{y}}{\sigma _{y}^{2}}},\\c&={\frac {\mu _{x}^{2}}{\sigma _{x}^{2}}}+{\frac {\mu _{y}^{2}}{\sigma _{y}^{2}}}.\end{aligned}}}$$

ภายใต้สมมติฐานหลายประการ (ซึ่งมักจะเป็นไปตามการใช้งานจริง) เป็นไปได้ที่จะได้มาซึ่งการประมาณค่าแบบแข็งที่ แม่นยำสูง สำหรับPDF ประโยชน์หลัก ได้แก่ ความซับซ้อนของสูตรที่ลดลง CDFในรูปแบบปิดค่ามัธยฐานที่กำหนดง่าย และการจัดการข้อผิดพลาดที่กำหนดไว้อย่างดี เพื่อความง่าย ให้แนะนำพารามิเตอร์: ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle p={\frac {\mu _{x}}{{\sqrt {2}}\sigma _{x}}}}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle q={\frac {\mu _{y}}{{\sqrt {2}}\sigma _{y}}}}$ , และ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle r={\frac {\mu _{x}}{\mu _{y}}}}$จากนั้นการประมาณค่าแบบแข็งที่เรียกว่าPDF อัตราส่วนปกติที่ไม่สัมพันธ์กันแบบไม่ศูนย์กลางจะแสดงด้วยสมการ^{[ 9 ]}${\displaystyle p_{Z}^{\dagger }(z)}$$${\displaystyle p_{Z}^{\dagger }(z)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {p}{\mathrm {erf} [q]}}{\frac {1}{r}}{\frac {1+{\frac {p^{2}}{q^{2}}}{\frac {z}{r}}}{\left(1+{\frac {p^{2}}{q^{2}}}\left[{\frac {z}{r}}\right]^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\exp \left({-{\frac {p^{2}\left({\frac {z}{r}}-1\right)^{2}}{1+{\frac {p^{2}}{q^{2}}}\left[{\frac {z}{r}}\right]^{2}}}}\right).}$$

ภายใต้เงื่อนไขบางประการ การประมาณค่าปกติเป็นไปได้ โดยมีค่าความแปรปรวน: ^{[ 10 ]}$${\displaystyle \sigma _{z}^{2}={\frac {\mu _{x}^{2}}{\mu _{y}^{2}}}\left({\frac {\sigma _{x}^{2}}{\mu _{x}^{2}}}+{\frac {\sigma _{y}^{2}}{\mu _{y}^{2}}}\right).}$$

นิพจน์ข้างต้นจะซับซ้อนมากขึ้นเมื่อตัวแปร⁠ ⁠${\displaystyle X}$และ⁠ ⁠${\displaystyle Y}$มีความสัมพันธ์กัน ถ้า⁠ ⁠ ${\displaystyle \mu _{x}=}$⁠ ⁠${\displaystyle \mu _{y}=0}$แต่⁠ ⁠${\displaystyle \sigma _{X}\neq \sigma _{Y}}$และ⁠ ⁠${\displaystyle \rho \neq 0}$จะได้การแจกแจงโคชีทั่วไป ซึ่ง⁠ ⁠คือสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ระหว่าง⁠ ⁠และ⁠ ⁠และ $${\displaystyle p_{Z}(z)={\frac {1}{\pi }}{\frac {\beta }{(z-\alpha )^{2}+\beta ^{2}}},}$$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\rho {\frac {\sigma _{x}}{\sigma _{y}}},\\\beta &={\frac {\sigma _{x}}{\sigma _{y}}}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}.\end{aligned}}}$$

การกระจายที่ซับซ้อนยังแสดงออกมาด้วยฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกแบบต่อเนื่อง ของ Kummer หรือฟังก์ชันHermite ^{[ 6 ]}

สิ่งนี้แสดง ให้ เห็นใน Springer ^{[ 11 ]}

^{Katz [ 12 ]} เสนอการแปลงเป็นโดเมนลอการิทึมให้สัดส่วนเป็น $${\displaystyle T\sim {\frac {\mu _{x}+{\mathcal {N}}(0,\sigma _{x}^{2})}{\mu _{y}+{\mathcal {N}}(0,\sigma _{y}^{2})}}={\frac {\mu _{x}+X}{\mu _{y}+Y}}={\frac {\mu _{x}}{\mu _{y}}}{\frac {1+{\frac {X}{\mu _{x}}}}{1+{\frac {Y}{\mu _{y}}}}}.}$$

นำลอการิทึมของทั้งสองข้างมาจะได้ เมื่อ สังเกตว่า⁠ ⁠แล้วในทางอนุกรมวิธาน $${\displaystyle \ln(T)=\ln \left({\frac {\mu _{x}}{\mu _{y}}}\right)+\ln \left(1+{\frac {X}{\mu _{x}}}\right)-\ln \left(1+{\frac {Y}{\mu _{y}}}\right).}$$${\displaystyle \ln(1+\delta )=\delta -{\frac {\delta ^{2}}{2}}+{\frac {\delta ^{3}}{3}}+\cdots }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(T)&\approx \ln \left({\frac {\mu _{x}}{\mu _{y}}}\right)+{\frac {X}{\mu _{x}}}-{\frac {Y}{\mu _{y}}}\\&\sim \ln \left({\frac {\mu _{x}}{\mu _{y}}}\right)+{\mathcal {N}}\left(0,{\frac {\sigma _{x}^{2}}{\mu _{x}^{2}}}+{\frac {\sigma _{y}^{2}}{\mu _{y}^{2}}}\right).\end{aligned}}}$$

อีกทางเลือกหนึ่ง Geary แนะนำในปี พ.ศ. 2473 ว่า มีลักษณะการกระจายแบบเกาส์เซียนมาตรฐานโดยประมาณ[ 1 ] ^{การแปลงนี้}เรียกว่า การ แปลงGeary–Hinkley ^{[ 4 ]}การประมาณค่าจะดีหากไม่ น่าจะมี ค่า เป็นลบ กล่าวคือ$${\displaystyle t\approx {\frac {\mu _{y}T-\mu _{x}}{\sqrt {\sigma _{y}^{2}T^{2}-2\rho \sigma _{x}\sigma _{y}T+\sigma _{x}^{2}}}}}$$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \textstyle \mu _{y}>3\sigma _{y}}$

สิ่งนี้ได้รับการพัฒนาโดย Springer ^{[ 11 ]}และ Hinkley ^{[ 3 ]} Geary แสดงให้เห็นว่าอัตราส่วนที่สัมพันธ์กันสามารถแปลงเป็นรูปแบบใกล้เคียงกับเกาส์เซียนได้อย่างไรและ${\displaystyle z}$พัฒนาการ${\displaystyle t}$ประมาณค่าที่ขึ้นอยู่กับความน่าจะเป็นของค่าตัวหารที่เป็นลบ ที่น้อย มาก${\displaystyle x+\mu _{x}<0}$การวิเคราะห์อัตราส่วนที่สัมพันธ์กันในภายหลังของ Fieller นั้นแม่นยำ แต่ต้องระมัดระวังเมื่อรวมแพ็คเกจทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่เข้ากับเงื่อนไขทางวาจาในเอกสารเก่า Pham-Ghia ได้อภิปรายวิธีการเหล่านี้อย่างละเอียดถี่ถ้วน ผลลัพธ์ที่สัมพันธ์กันของ Hinkley นั้นแม่นยำ แต่แสดงให้เห็นด้านล่างว่าเงื่อนไขอัตราส่วนที่สัมพันธ์กันสามารถแปลงเป็นเงื่อนไขที่ไม่สัมพันธ์กันได้ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องใช้สมการ Hinkley ที่ง่ายขึ้นข้างต้นเท่านั้น ไม่จำเป็นต้องใช้เวอร์ชันอัตราส่วนที่สัมพันธ์กันแบบเต็ม

ให้สัดส่วนเป็น: โดยที่⁠ ⁠เป็นตัวแปรสุ่มปกติที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และมีความสัมพันธ์กัน โดยมีค่าความแปรปรวน⁠ ⁠และ⁠ ⁠มีค่าเฉลี่ย⁠ ⁠เขียนให้⁠ ⁠ กลาย เป็นตัวแปรสุ่มปกติที่ ไม่มีความสัมพันธ์กัน และ⁠ ⁠มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน⁠ ⁠จากนั้นสัดส่วน จะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงนี้และยังคงมีฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (PDF)เหมือน เดิม$${\displaystyle z={\frac {x+\mu _{x}}{y+\mu _{y}}}}$$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle \sigma _{x}^{2},\sigma _{y}^{2}}$${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle \mu _{x},\mu _{y}}$${\textstyle x'=x-\rho y{\tfrac {\sigma _{x}}{\sigma _{y}}}}$${\displaystyle x',y}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle \textstyle \sigma _{x}'=\sigma _{x}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}$$${\displaystyle z={\frac {x'+\rho y{\tfrac {\sigma _{x}}{\sigma _{y}}}+\mu _{x}}{y+\mu _{y}}}}$$

เทอม ใน ตัวเศษ${\displaystyle y}$ดูเหมือนจะแยกได้โดยการขยาย เพื่อให้ได้ ซึ่งและตอนนี้ได้กลายเป็นอัตราส่วนของตัวอย่างปกติที่ไม่สัมพันธ์กันแบบไม่เป็นศูนย์กลางที่มีค่าชดเชยคงที่ ^{[ a ]}$${\displaystyle {x'+\rho y{\tfrac {\sigma _{x}}{\sigma _{y}}}+\mu _{x}}=x'+\mu _{x}-\rho \mu _{y}{\tfrac {\sigma _{x}}{\sigma _{y}}}+\rho (y+\mu _{y}){\tfrac {\sigma _{x}}{\sigma _{y}}}}$$$${\displaystyle z={\frac {x'+\mu _{x}'}{y+\mu _{y}}}+\rho {\frac {\sigma _{x}}{\sigma _{y}}}}$$${\textstyle \mu '_{x}=\mu _{x}-\rho \mu _{y}{\frac {\sigma _{x}}{\sigma _{y}}}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$

สุดท้ายนี้ เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น PDF ของอัตราส่วนสำหรับ ตัวแปรที่มีความสัมพันธ์ กัน นั้นหาได้ ${\displaystyle z}$จากการป้อนพารามิเตอร์ที่แก้ไขแล้ว, และ${\displaystyle \sigma _{x}',\mu _{x}'}$ลงในสม${\displaystyle \sigma _{y},\mu _{y}}$ การ Hinkley ข้างต้น ซึ่ง จะส่ง คืน PDF สำหรับอัตราส่วนที่มีความสัมพันธ์กันโดยมีค่าชดเชยคงที่บน${\displaystyle \rho '=0}$${\displaystyle \textstyle -\rho {\tfrac {\sigma _{x}}{\sigma _{y}}}}$${\displaystyle z}$

เส้นโค้งแสดงค่าการแจกแจงแบบเกาส์เซียนสองตัวแปรที่มีความสัมพันธ์กัน (ไม่ได้วาดตามสเกลจริง) ซึ่งให้ค่าอัตราส่วนx / y

PDFของอัตราส่วนเกาส์เซียนzและการจำลอง (จุด) สำหรับσ = σ = 1 , μ = 0 , μ = 0.5 , ρ = 0.975

ภาพด้านบนแสดงตัวอย่างอัตราส่วนที่มีความสัมพันธ์เชิงบวกกับ⁠ ⁠ ⁠ ${\displaystyle \sigma _{x}=}$⁠ ,${\displaystyle \sigma _{y}=1}$ ⁠ ⁠ ,${\displaystyle \mu _{x}=0}$ ⁠ ⁠ และ${\displaystyle \mu _{y}=0.5}$ ⁠ ⁠ โดย${\displaystyle \rho =0.975}$ที่ส่วนที่แรเงาแสดงถึงพื้นที่ที่เพิ่มขึ้นซึ่งเลือกโดยอัตราส่วนที่กำหนด ซึ่งจะสะสมความน่าจะเป็นในบริเวณ ที่${\displaystyle x/y\in [r,r+\delta ]}$ทับซ้อนกับการกระจายตัว การกระจายตัวทางทฤษฎีที่ได้มาจากสมการที่กำลังกล่าวถึงรวมกับสมการของ Hinkley นั้นมีความสอดคล้องอย่างมากกับผลการจำลองโดยใช้ตัวอย่าง 5,000 ตัวอย่าง ในภาพด้านบนจะเห็นได้ชัดว่าสำหรับอัตราส่วน⁠ ⁠${\displaystyle z=x/y\approx 1}$ส่วนที่แรเงาเกือบจะผ่านมวลการกระจายตัวหลักไปโดยสิ้นเชิง และนี่อธิบายถึงค่าต่ำสุดเฉพาะที่ใน PDF ทางทฤษฎี⁠ ⁠${\displaystyle p_{Z}(x/y)}$ในทางกลับกัน เมื่อ⁠ ⁠${\displaystyle x/y}$เคลื่อนที่เข้าหาหรือออกจากค่าใดค่าหนึ่ง ส่วนที่แรเงาจะครอบคลุมมวลส่วนกลางมากขึ้น สะสมความน่าจะเป็นที่สูงขึ้น

อัตราส่วนของตัวแปรที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และสมมาตรแบบวงกลมที่มีการแจกแจงแบบปกติเชิงซ้อนที่มี ความสัมพันธ์กัน นั้นถูกกำหนดโดย Baxley et al. ^{[ 13 ]}และต่อมาได้ขยายไปยังกรณีที่มีค่าเฉลี่ยไม่เป็นศูนย์และไม่สมมาตร^{[ 14 ]}ในกรณีที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ที่มีความสัมพันธ์กัน การแจกแจงร่วมของ⁠ ⁠${\displaystyle x,y}$คือ โดยที่ เป็นทรานสโพสแบบเฮอร์มิเชียนและ $${\displaystyle f_{x,y}(x,y)={\frac {1}{\pi ^{2}|\Sigma |}}\exp \left(-{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}^{H}\Sigma ^{-1}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Sigma &={\begin{bmatrix}\sigma _{x}^{2}&\rho \sigma _{x}\sigma _{y}\\\rho ^{*}\sigma _{x}\sigma _{y}&\sigma _{y}^{2}\end{bmatrix}};\\x&=x_{r}+ix_{i};\\y&=y_{r}+iy_{i};\end{aligned}}}$$${\textstyle (\cdot )^{H}}$$${\displaystyle \rho =\rho _{r}+i\rho _{i}=\operatorname {E} {\bigg (}{\frac {xy^{*}}{\sigma _{x}\sigma _{y}}}{\bigg )}\;\in \left|\mathbb {C} \right|\leq 1.}$$

พบว่า ไฟล์PDFของ⁠ ⁠ คือ${\displaystyle Z=X/Y}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{z}(z_{r},z_{i})&={\frac {1-|\rho |^{2}}{\pi \sigma _{x}^{2}\sigma _{y}^{2}}}\left({\frac {|z|^{2}}{\sigma _{x}^{2}}}+{\frac {1}{\sigma _{y}^{2}}}-2{\frac {\rho _{r}z_{r}-\rho _{i}z_{i}}{\sigma _{x}\sigma _{y}}}\right)^{-2}\\[1ex]&={\frac {1-|\rho |^{2}}{\pi \sigma _{x}^{2}\sigma _{y}^{2}}}\left(\left|{\frac {z}{\sigma _{x}}}-{\frac {\rho ^{*}}{\sigma _{y}}}\right|^{2}+{\frac {1-|\rho |^{2}}{\sigma _{y}^{2}}}\right)^{-2}.\end{aligned}}}$$ ในกรณีปกติที่เราได้รับ ${\displaystyle \sigma _{x}=\sigma _{y}}$$${\displaystyle f_{z}(z_{r},z_{i})={\frac {1-\left|\rho \right|^{2}}{\pi \left(\left|z-\rho ^{*}\right|^{2}+1-\left|\rho \right|^{2}\right)^{2}}}.}$$

นอกจากนี้ ยังมี ผลลัพธ์ในรูปแบบปิดเพิ่มเติมสำหรับฟังก์ชันการกระจายสะสม (CDF) อีกด้วย

กราฟแสดงฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (PDF) ของอัตราส่วนของตัวแปรปกติเชิงซ้อนสองตัวที่มีสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์เท่ากับ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \rho =0.7e^{i\pi /4}}$จุดสูงสุดของ PDF เกิดขึ้นที่ค่าสังยุคเชิงซ้อน โดยประมาณ ของ⁠ ⁠${\displaystyle \rho }$ ที่ปรับขนาด ลง

อัตราส่วนของลอการิทึมปกติที่เป็นอิสระหรือสัมพันธ์กันจะเป็นลอการิทึมปกติ เนื่องจากถ้าและมีการแจกแจงแบบลอการิทึมปกติแล้วและ ก็จะมีการแจกแจงแบบปกติเช่นกัน ถ้าตัวแปรสุ่มทั้งสองเป็นอิสระต่อกัน หรือลอการิทึม ของตัวแปร สุ่มทั้งสองมีการแจกแจงแบบปกติ สอง ตัวแปรลอการิทึมของอัตราส่วนของตัวแปรสุ่มทั้งสองจะเป็นผลต่างของตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปกติที่เป็นอิสระต่อกันหรือสัมพันธ์กัน ซึ่งก็คือตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปกตินั่นเอง^{[ b ]}${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle \ln(X_{1})}$${\displaystyle \ln(X_{2})}$

สิ่งนี้มีความสำคัญสำหรับแอปพลิเคชันจำนวนมากที่ต้องการอัตราส่วนของตัวแปรสุ่มซึ่งต้องเป็นค่าบวก โดยที่การแจกแจงร่วมของและนั้นประมาณได้อย่างเหมาะสมโดยการแจกแจงแบบลอการิทมิกปกติ นี่เป็นผลลัพธ์ทั่วไปของทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางแบบคูณหรือที่รู้จักกันในชื่อกฎของ Gibratเมื่อเป็นผลมาจากการสะสมของการเปลี่ยนแปลงเปอร์เซ็นต์เล็กๆ จำนวนมาก และต้องเป็นค่าบวกและมีการแจกแจงแบบลอการิทมิกปกติโดยประมาณ^{[ c ]}${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle X_{i}}$

เมื่อตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวมีการแจกแจงแบบเอกรูปเช่น การแจกแจงแบบอัตราส่วน จะกลายเป็น $${\displaystyle p_{X}(x)={\begin{cases}1,&0<x<1\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$$${\displaystyle p_{Z}(z)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}},&0<z<1\\{\tfrac {1}{2z^{2}}},&z\geq 1\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

ถ้าตัวแปรสุ่มอิสระสองตัว⁠ ⁠${\displaystyle X}$และ⁠ ⁠${\displaystyle Y}$แต่ละตัวมีการแจกแจงแบบโคชีโดยมีค่ามัธยฐานเท่ากับศูนย์และปัจจัยรูปร่าง⁠ ⁠${\displaystyle a}$แล้ว การแจกแจงอัตราส่วนสำหรับตัวแปรสุ่ม⁠ ⁠คือ^{[ 15 ]} การแจกแจงนี้ไม่ขึ้นอยู่กับ⁠ ⁠และผลลัพธ์ที่ระบุโดย Springer ^{[ 16 ]}ไม่ถูกต้อง $${\displaystyle p_{X}(x|a)={\frac {a}{\pi (a^{2}+x^{2})}},}$$${\displaystyle Z=X/Y}$$${\displaystyle p_{Z}(z|a)={\frac {1}{\pi ^{2}(z^{2}-1)}}\ln(z^{2}).}$$${\displaystyle a}$

การแจกแจงอัตราส่วนนั้นคล้ายคลึงกันแต่ไม่เหมือนกับการแจกแจงผลคูณของตัวแปรสุ่ม⁠ ⁠${\displaystyle W=XY}$ : ^{[ 5 ]}$${\displaystyle p_{W}(w|a)={\frac {a^{2}}{\pi ^{2}(w^{2}-a^{4})}}\ln \left({\frac {w^{2}}{a^{4}}}\right).}$$

โดยทั่วไปแล้ว หากตัวแปรสุ่มอิสระสองตัว⁠ ⁠${\displaystyle X}$และ⁠ ⁠${\displaystyle Y}$แต่ละตัวมีการแจกแจงแบบโคชีโดยมีค่ามัธยฐานเท่ากับศูนย์ และมีปัจจัยรูปร่าง⁠ ⁠${\displaystyle a}$และ⁠ ⁠${\displaystyle b}$ตามลำดับ แล้ว:

1. การแจกแจงอัตราส่วน สำหรับตัวแปรสุ่มคือ${\displaystyle Z=X/Y}$^{[ 15 ]}$${\displaystyle p_{Z}(z|a,b)={\frac {ab}{\pi ^{2}(b^{2}z^{2}-a^{2})}}\ln \left({\frac {b^{2}z^{2}}{a^{2}}}\right).}$$
2. การแจกแจงผลคูณสำหรับ^{ตัวแปร}สุ่มคือ${\displaystyle W=XY}$^[ 15 ^]$${\displaystyle p_{W}(w|a,b)={\frac {ab}{\pi ^{2}(w^{2}-a^{2}b^{2})}}\ln \left({\frac {w^{2}}{a^{2}b^{2}}}\right).}$$

ผลลัพธ์ของการแจกแจงอัตราส่วนสามารถหาได้จากการแจกแจงผลคูณโดยการแทนที่ ⁠ ⁠${\displaystyle b}$ด้วย⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle {\tfrac {1}{b}}}$

ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle X}$มีการแจกแจงปกติมาตรฐานและ⁠ ⁠${\displaystyle Y}$มีการแจกแจงเอกรูปมาตรฐานแล้ว⁠ ⁠${\displaystyle Z=X/Y}$จะมีการแจกแจงที่เรียกว่าการแจกแจงสแลชโดยมีฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น โดยที่⁠ ⁠คือฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของการแจกแจงปกติมาตรฐาน^{[ 17 ]}$${\displaystyle p_{Z}(z)={\begin{cases}{\frac {\left[\varphi (0)-\varphi (z)\right]}{z^{2}}},&z\neq 0\\{\frac {\varphi (0)}{2}},&z=0,\\\end{cases}}}$$${\displaystyle \varphi (z)}$

ให้⁠ ⁠${\displaystyle G}$เป็นการแจกแจงปกติ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {(}}0,1)}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle Y}$และ⁠ ⁠${\displaystyle Z}$เป็นการแจกแจงไคกำลังสองที่มี⁠ ⁠${\displaystyle m}$และ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$องศาอิสระตามลำดับ โดยทั้งหมดเป็นอิสระต่อกัน และ แล้ว $${\displaystyle f_{\chi }(x,k)={\frac {x^{\left({\tfrac {k}{2}}-1\right)}e^{-{\tfrac {x}{2}}}}{2^{k/2}\Gamma \left({\tfrac {k}{2}}\right)}}.}$$

• ${\textstyle {\frac {G}{\sqrt {Y/m}}}\sim t_{m}}$คือการแจกแจงแบบ tของนักเรียน ;
• ${\textstyle {\frac {Y/m}{Z/n}}=F_{m,n},}$เช่น การแจกแจง การทดสอบFของ Fisher ;
• ${\textstyle {\frac {Y}{Y+Z}}\sim \beta ({\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}})}$คือการแจกแจงเบต้าและ
• ${\textstyle {\frac {Y}{Z}}\sim \beta '({\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}})}$คือ การ แจกแจงจำนวนเฉพาะเบต้ามาตรฐาน

ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle V_{1}\sim {\chi '}_{k_{1}}^{2}(\lambda )}$เป็นการแจกแจงไคกำลังสองแบบไม่ศูนย์กลาง ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle V_{2}\sim {\chi '}_{k_{2}}^{2}(0)}$และ⁠ ${\displaystyle V_{1}}$⁠เป็น อิสระจาก⁠ ⁠${\displaystyle V_{2}}$แล้ว การแจกแจงF F แบบไม่ศูนย์กลาง$${\displaystyle {\frac {V_{1}/k_{1}}{V_{2}/k_{2}}}\sim F'_{k_{1},k_{2}}(\lambda ),}$$

${\textstyle {\tfrac {m}{n}}F'_{m,n}=\beta '({\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}})}$หรือ กำหนด⁠ ⁠ การกระจายความหนาแน่น Fของ Fisher ซึ่งเป็นPDFของอัตราส่วนของการกระจายไคกำลัง สองสองแบบ ที่มี⁠ ⁠องศาอิสระ^{[ d ]}${\displaystyle F'_{m,n}=\beta '({\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}},1,{\tfrac {n}{m}})}$${\displaystyle F'_{m,n}}$${\displaystyle m,n}$

ถ้าเราใส่ค่าในตารางทดสอบF โดย มีค่า,${\displaystyle m=3}$และความ น่าจะเป็น 5 %${\displaystyle n=4}$ในส่วนหางด้านขวา ค่าวิกฤตที่ได้คือ 6.59 ซึ่งตรงกับค่าอินทิกรัล $${\displaystyle F_{3,4}(6.59)=\int _{6.59}^{\infty }\beta '(x;{\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}},1,{\tfrac {n}{m}})\,dx=0.05.}$$

สำหรับการแจกแจงแกมมา⁠ ⁠${\displaystyle U}$และ⁠ ⁠${\displaystyle V}$ที่มีพารามิเตอร์รูปร่าง⁠ ⁠${\displaystyle \alpha _{1}}$และ⁠ ⁠ ใดๆ${\displaystyle \alpha _{2}}$และพารามิเตอร์มาตราส่วนทั้งสองถูกกำหนดให้เป็นหนึ่ง (นั่นคือ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle U\sim \Gamma (\alpha _{1},1)}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle V\sim \Gamma (\alpha _{2},1)}$โดยที่⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \Gamma (x;\alpha ,1)=(x^{\alpha -1}e^{-x})/{\Gamma (\alpha )}}$ ) แล้ว

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {U}{U+V}}&\sim \beta (\alpha _{1},\alpha _{2}),&{\text{ expectation }}&={\tfrac {\alpha _{1}}{\alpha _{1}+\alpha _{2}}};\\[1ex]{\tfrac {U}{V}}&\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2}),&{\text{ expectation }}&={\tfrac {\alpha _{1}}{\alpha _{2}-1}},\;\alpha _{2}>1;\\[1ex]{\tfrac {V}{U}}&\sim \beta '(\alpha _{2},\alpha _{1}),&{\text{ expectation }}&={\tfrac {\alpha _{2}}{\alpha _{1}-1}},\;\alpha _{1}>1.\end{aligned}}}$$

ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle U\sim \Gamma (x;\alpha ,1)}$แล้ว โปรดสังเกตว่าในที่นี้⁠ ⁠เป็นพารามิเตอร์มาตราส่วนไม่ใช่พารามิเตอร์อัตรา $${\displaystyle \theta U\sim \Gamma (x;\alpha ,\theta )={\frac {x^{\alpha -1}e^{-x/\theta }}{\theta ^{k}\Gamma (\alpha )}}.}$$${\displaystyle \theta }$

ถ้า ,${\displaystyle U\sim \Gamma (\alpha _{1},\theta _{1})}$ , แล้ว${\displaystyle V\sim \Gamma (\alpha _{2},\theta _{2})}$โดยการปรับขนาดพารามิเตอร์${\displaystyle \theta }$ให้เป็นหนึ่ง เราจะได้ ดังนั้น ซึ่ง แสดงถึงการแจกแจงเบต้าไพรม์แบบ ทั่วไป$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\frac {U}{\theta _{1}}}{{\frac {U}{\theta _{1}}}+{\frac {V}{\theta _{2}}}}}&={\frac {\theta _{2}U}{\theta _{2}U+\theta _{1}V}}\sim \beta (\alpha _{1},\alpha _{2})\\{\frac {\frac {U}{\theta _{1}}}{\frac {V}{\theta _{2}}}}&={\frac {\theta _{2}}{\theta _{1}}}{\frac {U}{V}}\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2}).\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {U}{V}}&\sim \beta '\left(\alpha _{1},\alpha _{2},1,{\frac {\theta _{1}}{\theta _{2}}}\right)\\\operatorname {E} \left[{\frac {U}{V}}\right]&={\frac {\theta _{1}}{\theta _{2}}}{\frac {\alpha _{1}}{\alpha _{2}-1}},\end{aligned}}}$$${\displaystyle \beta '(\alpha ,\beta ,p,q)}$