ทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตหรือทัศนศาสตร์เชิงรังสีเป็นแบบจำลองทางทัศนศาสตร์ที่อธิบายการแพร่กระจายของแสง ในแง่ของรังสี รังสีในทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตเป็นนามธรรมที่มีประโยชน์สำหรับการประมาณเส้นทางที่แสงแพร่กระจายภายใต้เงื่อนไขบางประการ

ข้อสมมติฐานพื้นฐานที่ใช้ในทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิต ได้แก่ รังสีของแสง:

• แพร่กระจายไปตามเส้นทางตรงขณะเคลื่อนที่ในตัวกลางที่เป็นเนื้อเดียวกัน
• โค้งงอ และในบางกรณีอาจแตกออกเป็นสองส่วน ณบริเวณรอยต่อระหว่างวัสดุ สองชนิดที่แตกต่างกัน
• เคลื่อนที่ตามเส้นทางโค้งในตัวกลางที่มีดัชนีหักเหเปลี่ยนแปลงไป
• อาจถูกดูดซับหรือสะท้อนกลับ

ทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตไม่ได้คำนึงถึงปรากฏการณ์ทางแสงบางอย่าง เช่นการเลี้ยวเบนและการแทรกสอดซึ่งเป็นสิ่งที่พิจารณาในทัศนศาสตร์เชิงฟิสิกส์การลดทอนความซับซ้อนนี้มีประโยชน์ในทางปฏิบัติ เป็นการประมาณที่ดีเยี่ยมเมื่อความยาวคลื่นมีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับขนาดของโครงสร้างที่แสงมีปฏิสัมพันธ์ด้วย เทคนิคเหล่านี้มีประโยชน์อย่างยิ่งในการอธิบายลักษณะทางเรขาคณิตของการสร้างภาพรวมถึงความคลาดเคลื่อนทางแสง

รังสีแสงคือเส้นตรงหรือเส้นโค้งที่ตั้งฉาก กับ หน้าคลื่นของแสง(และดังนั้นจึงอยู่ในแนวเดียวกับเวกเตอร์คลื่น ) คำจำกัดความที่เข้มงวดกว่าเล็กน้อยของรังสีแสงมาจากหลักการของแฟร์มาต์ซึ่งระบุว่าเส้นทางที่รังสีแสงเดินทางระหว่างสองจุดคือเส้นทางที่สามารถเดินทางได้ในเวลาที่น้อยที่สุด^{[ 1 ]}

ทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตมักจะถูกทำให้ง่ายขึ้นโดยการประมาณแบบพาราแอ็กเซียลหรือ "การประมาณมุมเล็ก" พฤติกรรมทางคณิตศาสตร์จะกลายเป็นเชิงเส้นทำให้สามารถอธิบายส่วนประกอบและระบบทางแสงได้ด้วยเมทริกซ์อย่างง่าย ซึ่งนำไปสู่เทคนิคของทัศนศาสตร์แบบเกาส์เซียนและการติดตามรังสีแบบพาราแอ็กเซียลซึ่งใช้ในการค้นหาคุณสมบัติพื้นฐานของระบบทางแสง เช่น ตำแหน่ง ภาพและวัตถุโดยประมาณ และกำลังขยาย^{[ 2 ]}

พื้นผิวที่มันวาว เช่นกระจกสะท้อนแสงในรูปแบบที่เรียบง่ายและคาดเดาได้ ทำให้สามารถสร้างภาพสะท้อนที่สามารถเชื่อมโยงกับตำแหน่งจริง ( สถานที่จริง ) หรือตำแหน่งที่คาดการณ์ ( สถานที่เสมือน ) ในอวกาศได้

สำหรับพื้นผิวดังกล่าว ทิศทางของรังสีสะท้อนจะถูกกำหนดโดยมุมที่รังสีตกกระทบทำกับ เส้น ตั้งฉากกับพื้นผิวซึ่งเป็นเส้นที่ตั้งฉากกับพื้นผิว ณ จุดที่รังสีตกกระทบ รังสีตกกระทบและรังสีสะท้อนอยู่ในระนาบเดียวกัน และมุมระหว่างรังสีสะท้อนกับเส้นตั้งฉากกับพื้นผิวจะเท่ากับมุมระหว่างรังสีตกกระทบกับเส้นตั้งฉาก^{[ 3 ]}นี่คือสิ่งที่เรียกว่ากฎการสะท้อน

สำหรับกระจกเงาเรียบกฎการสะท้อนบ่งชี้ว่า ภาพของวัตถุจะตั้งตรงและอยู่ห่างจากกระจกด้านหลังเป็นระยะทางเท่ากับระยะทางที่วัตถุอยู่ด้านหน้ากระจก ขนาดของภาพจะเท่ากับขนาดของวัตถุ ( กำลังขยายของกระจกเงาเรียบเท่ากับหนึ่ง) กฎนี้ยังบ่งชี้ว่าภาพสะท้อนในกระจกจะกลับด้านซึ่งเรามองเห็นเป็นการกลับซ้ายขวา

กระจกที่มีพื้นผิวโค้งสามารถจำลองได้โดยใช้การติดตามรังสีและใช้กฎการสะท้อนที่แต่ละจุดบนพื้นผิว สำหรับกระจกที่มีพื้นผิวพาราโบลารังสีขนานที่ตกกระทบกระจกจะสร้างรังสีสะท้อนที่มาบรรจบกันที่จุดโฟกัส ร่วมกัน พื้นผิวโค้งอื่นๆ อาจโฟกัสแสงได้เช่นกัน แต่จะมีความคลาดเคลื่อนเนื่องจากรูปทรงที่กระจายออกทำให้จุดโฟกัสเบลอในอวกาศ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กระจกทรงกลมจะแสดงความคลาดเคลื่อนทรงกลมกระจกโค้งสามารถสร้างภาพที่มีกำลังขยายมากกว่าหรือน้อยกว่าหนึ่ง และภาพอาจเป็นภาพตั้งตรงหรือภาพกลับหัว ภาพตั้งตรงที่เกิดจากการสะท้อนในกระจกเป็นภาพเสมือนเสมอ ในขณะที่ภาพกลับหัวเป็นภาพจริงและสามารถฉายลงบนหน้าจอได้^{[ 3 ]}

การหักเหเกิดขึ้นเมื่อแสงเดินทางผ่านพื้นที่ที่มีดัชนีหักเหเปลี่ยนแปลง กรณีการหักเหที่ง่ายที่สุดเกิดขึ้นเมื่อมีรอยต่อระหว่างตัวกลางที่เป็นเนื้อเดียวกันที่มีดัชนีหักเหและตัวกลางอีกตัวหนึ่งที่มีดัชนีหักเหในสถานการณ์เช่นนี้กฎของสเนลล์อธิบายการเบี่ยงเบนของรังสีแสงที่เกิดขึ้นได้ดังนี้: โดยที่และคือมุมระหว่างเส้นตั้งฉาก (กับรอยต่อ) และคลื่นตกกระทบและคลื่นหักเหตามลำดับ ปรากฏการณ์นี้ยังเกี่ยวข้องกับความเร็วของแสงที่เปลี่ยนแปลงไป ดังที่เห็นได้จากนิยามของดัชนีหักเหที่ให้ไว้ข้างต้น ซึ่งหมายความว่า: โดยที่และคือความเร็วของคลื่นผ่านตัวกลางนั้นๆ^{[ 3 ]}${\displaystyle n_{1}}$${\displaystyle n_{2}}$$${\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}}$$${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle \theta _{2}}$$${\displaystyle v_{1}\sin \theta _{2}\ =v_{2}\sin \theta _{1}}$$${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle v_{2}}$

ผลที่ตามมาต่างๆ ของกฎของสเนลล์ ได้แก่ ข้อเท็จจริงที่ว่าสำหรับรังสีแสงที่เดินทางจากวัสดุที่มีดัชนีหักเหสูงไปยังวัสดุที่มีดัชนีหักเหต่ำ ปฏิสัมพันธ์กับส่วนต่อประสานอาจส่งผลให้การส่งผ่านเป็นศูนย์ ปรากฏการณ์นี้เรียกว่าการสะท้อนภายในทั้งหมดและทำให้เกิด เทคโนโลยี ใยแก้วนำแสงเมื่อสัญญาณแสงเดินทางลงไปตามสายเคเบิลใยแก้วนำแสง พวกมันจะเกิดการสะท้อนภายในทั้งหมด ทำให้แทบไม่มีแสงสูญเสียไปเลยตลอดความยาวของสายเคเบิล นอกจากนี้ยังสามารถสร้างรังสีแสงโพลาไรซ์ได้โดยใช้การรวมกันของการสะท้อนและการหักเห: เมื่อรังสีหักเหและรังสีสะท้อนทำมุมฉากกันรังสีสะท้อนจะมีคุณสมบัติ "โพลาไรซ์ระนาบ" มุมตกกระทบที่จำเป็นสำหรับสถานการณ์ดังกล่าวเรียกว่ามุมของบริวสเตอร์^{[ 3 ]}

กฎของสเนลล์สามารถใช้ทำนายการเบี่ยงเบนของรังสีแสงเมื่อผ่าน "ตัวกลางเชิงเส้น" ได้ตราบใดที่ทราบดัชนีการหักเหและรูปทรงเรขาคณิตของตัวกลาง ตัวอย่างเช่น การแพร่กระจายของแสงผ่านปริซึมส่งผลให้รังสีแสงเบี่ยงเบนไปตามรูปร่างและการวางแนวของปริซึม นอกจากนี้ เนื่องจากความถี่ของแสงที่แตกต่างกันจะมีดัชนีการหักเหที่แตกต่างกันเล็กน้อยในวัสดุส่วนใหญ่ การหักเหจึงสามารถใช้สร้างสเปกตรัมการกระจาย ที่ปรากฏเป็นรุ้ง ^ได้การค้นพบปรากฏการณ์นี้เมื่อแสงผ่านปริซึมเป็นที่รู้จักกันดีว่าเป็นผลงานของไอแซค นิวตัน [ ^{3 ]}

สื่อบางชนิดมีดัชนีหักเหซึ่งเปลี่ยนแปลงอย่างค่อยเป็นค่อยไปตามตำแหน่ง ดังนั้นรังสีแสงจึงโค้งผ่านสื่อแทนที่จะเดินทางเป็นเส้นตรง ปรากฏการณ์นี้เป็นสาเหตุของภาพลวงตาที่เห็นในวันที่อากาศร้อน ซึ่งดัชนีหักเหของอากาศที่เปลี่ยนแปลงไปทำให้รังสีแสงโค้งงอ ทำให้เกิดการสะท้อนแบบกระจกเงาในระยะไกล (ราวกับบนผิวน้ำ) วัสดุที่มีดัชนีหักเหแปรผันเรียกว่าวัสดุดัชนีไล่ระดับ (GRIN) และมีคุณสมบัติที่มีประโยชน์มากมายที่ใช้ในเทคโนโลยีการสแกนด้วยแสงสมัยใหม่ รวมถึง เครื่อง ^ถ่ายเอกสารและเครื่องสแกนปรากฏการณ์นี้ได้รับการศึกษาในสาขาทัศนศาสตร์ดัชนีไล่ระดับ [ ^{4 ]}

อุปกรณ์ที่สร้างรังสีแสงที่ลู่เข้าหรือลู่ออกเนื่องจากการหักเหเรียกว่าเลนส์เลนส์บางสร้างจุดโฟกัสที่ด้านใดด้านหนึ่งซึ่งสามารถจำลองได้โดยใช้สมการของเลนส์ [ ^{5 ] โดย}ทั่วไป เลนส์มีสองประเภท ได้แก่เลนส์นูนซึ่งทำให้รังสีแสงขนานลู่เข้า และเลนส์เว้าซึ่งทำให้รังสีแสงขนานลู่ออก การทำนายโดยละเอียดว่าภาพถูกสร้างขึ้นโดยเลนส์เหล่านี้อย่างไร สามารถทำได้โดยใช้การติดตามรังสีคล้ายกับกระจกโค้ง เช่นเดียวกับกระจกโค้ง เลนส์บางเป็นไปตามสมการง่ายๆ ที่กำหนดตำแหน่งของภาพโดยกำหนดความยาวโฟกัส ( ) และระยะห่างของวัตถุ( ): โดยที่คือระยะห่างที่เกี่ยวข้องกับภาพ และตามธรรมเนียมถือว่าเป็นค่าลบหากอยู่ด้านเดียวกับเลนส์กับวัตถุ และเป็นค่าบวกหากอยู่ด้านตรงข้ามของเลนส์^{[ 5 ]}ความยาวโฟกัส f ถือว่าเป็นค่าลบสำหรับเลนส์เว้า ${\displaystyle f}$${\displaystyle S_{1}}$$${\displaystyle {\frac {1}{S_{1}}}+{\frac {1}{S_{2}}}={\frac {1}{f}}}$$${\displaystyle S_{2}}$

รังสีขนานที่เข้ามาจะถูกเลนส์นูนโฟกัสให้เกิดเป็นภาพจริงกลับหัว ซึ่งอยู่ห่างจากเลนส์เป็นระยะเท่ากับความยาวโฟกัส บนด้านไกลของเลนส์

รังสีจากวัตถุที่อยู่ห่างออกไปในระยะจำกัดจะถูกโฟกัสที่ระยะห่างจากเลนส์มากกว่าระยะโฟกัส ยิ่งวัตถุอยู่ใกล้เลนส์มากเท่าใด ภาพก็จะยิ่งอยู่ห่างจากเลนส์มากขึ้นเท่านั้น สำหรับเลนส์เว้า รังสีขนานที่เข้ามาจะกระจายออกหลังจากผ่านเลนส์ ในลักษณะที่ดูเหมือนว่ารังสีเหล่านั้นเริ่มต้นจากภาพเสมือนตั้งตรงที่อยู่ห่างจากเลนส์หนึ่งเท่าของระยะโฟกัส บนด้านเดียวกับที่รังสีขนานเข้ามา

รังสีจากวัตถุที่อยู่ห่างออกไปในระยะจำกัด จะสร้างภาพเสมือนที่อยู่ใกล้เลนส์มากกว่าระยะโฟกัส และอยู่ด้านเดียวกับวัตถุ ยิ่งวัตถุอยู่ใกล้เลนส์มากเท่าใด ภาพเสมือนก็จะยิ่งอยู่ใกล้เลนส์มากขึ้นเท่านั้น

ในทำนองเดียวกัน กำลังขยายของเลนส์จะกำหนดโดย โดย ที่เครื่องหมายลบจะใช้ตามธรรมเนียมเพื่อระบุวัตถุตั้งตรงสำหรับค่าบวก และวัตถุกลับหัวสำหรับค่าลบ คล้ายกับกระจกเงา ภาพตั้งตรงที่เกิดจากเลนส์เดี่ยวเป็นภาพเสมือน ในขณะที่ภาพกลับหัวเป็นภาพจริง^{[ 3 ]}$${\displaystyle M=-{\frac {S_{2}}{S_{1}}}={\frac {f}{f-S_{1}}}}$$

เลนส์มีความคลาดเคลื่อนที่ทำให้ภาพและจุดโฟกัสบิดเบี้ยว ซึ่งเกิดจากทั้งความไม่สมบูรณ์ทางเรขาคณิตและดัชนีการหักเหที่เปลี่ยนแปลงไปสำหรับความยาวคลื่นแสงที่แตกต่างกัน ( ความคลาดเคลื่อนสี ) ^{[ 3 ]}

ในฐานะที่เป็นการศึกษาทางคณิตศาสตร์ ทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตปรากฏขึ้นในฐานะ ขีดจำกัด ความยาวคลื่น สั้น สำหรับคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบไฮเปอร์โบลิก (วิธีของซอมเมอร์เฟลด์-รันเก) หรือในฐานะคุณสมบัติของการแพร่กระจายของความไม่ต่อเนื่องของสนามตามสมการของแม็กซ์เวลล์ (วิธีของลูเนเบิร์ก) ในขีดจำกัดความยาวคลื่นสั้นนี้ สามารถประมาณคำตอบในระดับท้องถิ่นได้โดย ที่สอดคล้องกับความสัมพันธ์การกระจายและแอมพลิจูดเปลี่ยนแปลงอย่างช้าๆ กล่าวคือ คำตอบ ลำดับนำมีรูป แบบ เฟสสามารถทำให้เป็นเชิงเส้นเพื่อกู้คืนเลขคลื่นขนาดใหญ่และความถี่แอมพลิจู ด สอดคล้อง กับ สมการการขนส่งพารามิเตอร์ขนาดเล็กเข้ามามีบทบาทเนื่องจากเงื่อนไขเริ่มต้นที่มีการแกว่งสูง ดังนั้น เมื่อเงื่อนไขเริ่มต้นแกว่งเร็วกว่าสัมประสิทธิ์ของสมการเชิงอนุพันธ์มาก คำตอบจะมีการแกว่งสูงและถูกขนส่งไปตามรังสี สมมติว่าสัมประสิทธิ์ในสมการเชิงอนุพันธ์เรียบ รังสีก็จะเรียบเช่นกัน กล่าวอีกนัยหนึ่งการหักเห จะ ไม่เกิดขึ้น แรงบันดาลใจสำหรับเทคนิคนี้มาจากการศึกษาสถานการณ์ทั่วไปของการแพร่กระจายของแสง ซึ่งแสงที่มีความยาวคลื่นสั้นจะเดินทางไปตามลำแสงที่ลดเวลาในการเดินทางให้น้อยที่สุด (ไม่มากก็น้อย) การใช้งานอย่างเต็มรูปแบบจำเป็นต้องใช้เครื่องมือจากการวิเคราะห์ระดับจุลภาค $${\displaystyle u(t,x)\approx a(t,x)e^{i(k\cdot x-\omega t)}}$$${\displaystyle k,\omega }$${\displaystyle a(t,x)}$$${\displaystyle a_{0}(t,x)e^{i\varphi (t,x)/\varepsilon }.}$$${\displaystyle \varphi (t,x)/\varepsilon }$${\displaystyle k:=\nabla _{x}\varphi }$${\displaystyle \omega :=-\partial _{t}\varphi }$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle \varepsilon \,}$

วิธีการหาสมการของทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตโดยการหาลิมิตของความยาวคลื่นเป็นศูนย์นั้น ได้รับการอธิบายครั้งแรกโดยArnold Sommerfeldและ J. Runge ในปี พ.ศ. 2454 ^{[ 6 ]}การพิสูจน์ของพวกเขานั้นอิงตามข้อสังเกตด้วยวาจาของPeter Debye [ ^{7 ] [ 8 ] พิจารณา}ฟิลด์สเกลาร์เอกรงค์โดยที่อาจเป็นส่วนประกอบใดๆ ของ สนาม ไฟฟ้าหรือสนามแม่เหล็กและด้วยเหตุนี้ฟังก์ชันจึงสอดคล้องกับสมการคลื่นโดย ที่คือความเร็วแสงในสุญญากาศ ในที่นี้คือดัชนีหักเหของตัวกลาง โดยไม่เสียความเป็นทั่วไป ให้เราแนะนำเพื่อแปลงสมการเป็น ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=\phi (\mathbf {r} )e^{i\omega t}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \phi }$$${\displaystyle \nabla ^{2}\phi +k_{o}^{2}n(\mathbf {r} )^{2}\phi =0}$$${\displaystyle k_{o}=\โอเมก้า /c=2\pi /\lambda _{o}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle n(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \phi =A(k_{o},\mathbf {r} )e^{ik_{o}S(\mathbf {r} )}}$$${\displaystyle -k_{o}^{2}A[(\nabla S)^{2}-n^{2}]+2ik_{o}(\nabla S\cdot \nabla A)+ik_{o}A\nabla ^{2}S+\nabla ^{2}A=0.}$$

เนื่องจากหลักการพื้นฐานของทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตอยู่ที่ลิมิต จึงถือว่าอนุกรมเชิงอะซิมโทติกต่อไปนี้เป็นจริง ${\displaystyle \lambda _{o}\sim k_{o}^{-1}\rightarrow 0}$$${\displaystyle A(k_{o},\mathbf {r} )=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {A_{m}(\mathbf {r} )}{(ik_{o})^{m}}}}$$

สำหรับค่าขนาดใหญ่แต่จำกัดของอนุกรมจะล diverges และต้องระมัดระวังในการเก็บเฉพาะพจน์แรกๆ ที่เหมาะสมเท่านั้น สำหรับแต่ละค่าของเราสามารถหาจำนวนพจน์ที่เหมาะสมที่สุดที่จะเก็บไว้ได้ และการเพิ่มพจน์มากกว่าจำนวนที่เหมาะสมที่สุดอาจส่งผลให้การประมาณค่าแย่ลง^{[ 9 ]}เมื่อแทนอนุกรมลงในสมการและรวบรวมพจน์ที่มีลำดับต่างกัน โดยทั่วไปจะพบว่า ${\displaystyle k_{o}}$${\displaystyle k_{o}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}O(k_{o}^{2}):&\quad (\nabla S)^{2}=n^{2},\\[1ex]O(k_{o}):&\quad 2\nabla S\cdot \nabla A_{0}+A_{0}\nabla ^{2}S=0,\\[1ex]O(1):&\quad 2\nabla S\cdot \nabla A_{1}+A_{1}\nabla ^{2}S=-\nabla ^{2}A_{0},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle O(k_{o}^{1-m}):\quad 2\nabla S\cdot \nabla A_{m}+A_{m}\nabla ^{2}S=-\nabla ^{2}A_{m-1}.}$$

สมการแรกเรียกว่าสมการไอโคนาลซึ่งกำหนดว่าไอโคนาล เป็น สม การแฮมิลตัน-จาโคบีเขียนในพิกัดคาร์ทีเซียนได้ดังนี้ ${\displaystyle S(\mathbf {r} )}$$${\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial z}}\right)^{2}=n^{2}.}$$

สมการที่เหลือจะกำหนดฟังก์ชันต่างๆ ${\displaystyle A_{m}(\mathbf {r} )}$

วิธีการหาสมการของทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตโดยการวิเคราะห์พื้นผิวของความไม่ต่อเนื่องของคำตอบของสมการของแม็กซ์เวลล์ได้รับการอธิบายครั้งแรกโดยรูดอล์ฟ คาร์ล ลูเนเบิร์กในปี พ.ศ. 2487 ^{[ 10 ]} วิธีนี้ ไม่ได้จำกัดสนามแม่เหล็กไฟฟ้าให้มีรูปแบบพิเศษตามที่กำหนดโดยวิธีของซอมเมอร์เฟลด์-รันเก ซึ่งถือว่าแอมพลิจูดและเฟสเป็นไปตามสมการเงื่อนไขนี้เป็นไปตามคลื่นระนาบเช่น แต่ไม่สามารถบวกกันได้ ${\displaystyle A(k_{o},\mathbf {r} )}$${\displaystyle S(\mathbf {r} )}$${\textstyle \lim _{k_{0}\to \infty }{\frac {1}{k_{0}}}\left({\frac {1}{A}}\,\nabla S\cdot \nabla A+{\frac {1}{2}}\nabla ^{2}S\right)=0}$

ข้อสรุปหลักจากแนวทางของลูเนเบิร์กมีดังนี้:

ทฤษฎีบทสมมติว่าสนามและ(ในตัวกลางไอโซโทรปิกเชิงเส้นที่อธิบายด้วยค่าคงที่ไดอิเล็กตริกและ) มีความไม่ต่อเนื่องจำกัดตามพื้นผิว (ที่เคลื่อนที่) ในที่อธิบายด้วยสมการ แล้วสม การของแม็กซ์เวลล์ในรูปแบบปริพันธ์บ่งชี้ว่าสอดคล้องกับสมการไอโคนาล : โดยที่คือดัชนีหักเหของตัวกลาง (หน่วยเกาส์เซียน) ${\displaystyle \mathbf {E} (x,y,z,t)}$${\displaystyle \mathbf {H} (x,y,z,t)}$${\displaystyle \varepsilon (x,y,z)}$${\displaystyle \mu (x,y,z)}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$${\displaystyle \psi (x,y,z)-ct=0}$${\displaystyle \psi }$$${\displaystyle \psi _{x}^{2}+\psi _{y}^{2}+\psi _{z}^{2}=\varepsilon \mu =n^{2},}$$${\displaystyle n(x,y,z)}$

ตัวอย่างหนึ่งของพื้นผิวที่ไม่ต่อเนื่องดังกล่าวคือหน้าคลื่นเริ่มต้นที่แผ่ออกมาจากแหล่งกำเนิดที่เริ่มแผ่รังสี ณ ช่วงเวลาหนึ่ง

พื้นผิวของความไม่ต่อเนื่องของสนามจึงกลายเป็นหน้าคลื่นเชิงเรขาคณิตของแสง โดยมีสนามเชิงเรขาคณิตของแสงที่สอดคล้องกันกำหนดไว้ดังนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} ^{*}(x,y,z)&=\mathbf {E} (x,y,z,\psi (x,y,z)/c)\\[1ex]\mathbf {H} ^{*}(x,y,z)&=\mathbf {H} (x,y,z,\psi (x,y,z)/c)\end{aligned}}}$$

สนามเหล่านั้นเป็นไปตามสมการการขนส่งที่สอดคล้องกับสมการการขนส่งของแนวทาง Sommerfeld-Runge รังสีแสงในทฤษฎีของ Luneburg ถูกกำหนดให้เป็นวิถีโคจรที่ตั้งฉากกับพื้นผิวที่ไม่ต่อเนื่อง และสามารถแสดงให้เห็นได้ว่าเป็นไปตามหลักการของ Fermatเรื่องเวลาที่น้อยที่สุด ซึ่งเป็นการพิสูจน์ว่ารังสีเหล่านั้นเหมือนกับรังสีแสงในทัศนศาสตร์มาตรฐาน

การพัฒนาข้างต้นสามารถนำไปใช้กับสื่อแอนไอโซโทรปิกได้^{[ 11 ]}

การพิสูจน์ทฤษฎีบทของลูเนเบิร์กนั้นอาศัยการศึกษาว่าสมการของแม็กซ์เวลล์ควบคุมการแพร่กระจายของความไม่ต่อเนื่องของคำตอบอย่างไร บทพิสูจน์ทางเทคนิคพื้นฐานมีดังนี้:

บทพิสูจน์ทางเทคนิคให้เป็นไฮเปอร์เซอร์เฟซ (แมนิโฟลด์ 3 มิติ) ในปริภูมิเวลาซึ่งมีจุดไม่ต่อเนื่อง อย่างน้อยหนึ่งจุด ได้แก่ , , , , แล้ว ณ แต่ละจุดบนไฮเปอร์เซอร์เฟซ สูตรต่อไปนี้จะเป็นจริง: โดยที่ตัวดำเนินการ ทำงานในปริภูมิ (สำหรับทุกค่าคงที่) และวงเล็บเหลี่ยมแสดงถึงความแตกต่างของค่าทั้งสองด้านของพื้นผิวที่ไม่ต่อเนื่อง (กำหนดขึ้นตามข้อตกลงที่กำหนดขึ้นเอง เช่น เกรเดียนต์ชี้ไปในทิศทางของปริมาณที่ถูกลบออกจาก ) ${\displaystyle \varphi (x,y,z,t)=0}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbf {E} (x,y,z,t)}$${\displaystyle \mathbf {H} (x,y,z,t)}$${\displaystyle \varepsilon (x,y,z)}$${\displaystyle \mu (x,y,z)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \varphi \cdot [\varepsilon \mathbf {E} ]&=0\\[1ex]\nabla \varphi \cdot [\mu \mathbf {H} ]&=0\\[1ex]\nabla \varphi \times [\mathbf {E} ]+{\frac {1}{c}}\,\varphi _{t}\,[\mu \mathbf {H} ]&=0\\[1ex]\nabla \varphi \times [\mathbf {H} ]-{\frac {1}{c}}\,\varphi _{t}\,[\varepsilon \mathbf {E} ]&=0\end{aligned}}}$$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle xyz}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \nabla \varphi }$

โครงร่างการพิสูจน์เริ่มต้นด้วยสมการของแม็กซ์เวลล์ที่อยู่ห่างจากแหล่งกำเนิด (หน่วยเกาส์เซียน): $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \varepsilon \mathbf {E} =0\\[1ex]\nabla \cdot \mu \mathbf {H} =0\\[1ex]\nabla \times \mathbf {E} +{\tfrac {\mu }{c}}\,\mathbf {H} _{t}=0\\[1ex]\nabla \times \mathbf {H} -{\tfrac {\varepsilon }{c}}\,\mathbf {E} _{t}=0\end{aligned}}}$$

โดยใช้ทฤษฎีบทของสโตกส์เราสามารถสรุปได้จากสมการแรกข้างต้นว่า สำหรับโดเมนใดๆในที่มีขอบเขตเรียบเป็นช่วงๆ (3 มิติ) ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง: โดยที่คือการฉายภาพของเวกเตอร์หน่วยปกติภายนอกของบนระนาบ 3 มิติและคือฟอร์มปริมาตร 3 มิติ บน ในทำนองเดียวกัน เราสามารถสร้างข้อความต่อไปนี้ได้จากสมการของแม็กซ์เวลล์ที่เหลือ: ${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$${\displaystyle \Gamma }$$${\displaystyle \oint _{\Gamma }(\mathbf {M} \cdot \varepsilon \mathbf {E} )\,dS=0}$$${\displaystyle \mathbf {M} =(x_{N},y_{N},z_{N})}$${\displaystyle (x_{N},y_{N},z_{N},t_{N})}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle t={\rm {const}}}$${\displaystyle dS}$${\displaystyle \Gamma }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{\Gamma }\left(\mathbf {M} \cdot \mu \mathbf {H} \right)dS&=0\\[1.55ex]\oint _{\Gamma }\left(\mathbf {M} \times \mathbf {E} +{\frac {\mu }{c}}\,t_{N}\,\mathbf {H} \right)dS&=0\\[1.55ex]\oint _{\Gamma }\left(\mathbf {M} \times \mathbf {H} -{\frac {\varepsilon }{c}}\,t_{N}\,\mathbf {E} \right)dS&=0\end{aligned}}}$$

โดยการพิจารณาพื้นผิวย่อยขนาดเล็กใดๆของและสร้างบริเวณใกล้เคียงขนาดเล็กที่ล้อมรอบในและลบอินทิกรัลข้างต้นตามลำดับ จะได้ว่า: โดยที่แทนเกรเดียนต์ในปริภูมิ 4 มิติ และเนื่องจากเป็นค่าใดๆ ก็ได้ ดังนั้นตัวถูกอินทิเกรตจะต้องเท่ากับ 0 ซึ่งพิสูจน์บทตั้งได้ ${\displaystyle \Gamma _{0}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma _{0}}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\Gamma _{0}}(\nabla \varphi \cdot [\varepsilon \mathbf {E} ])\,{dS \over \|\nabla ^{4D}\varphi \|}&=0\\[1ex]\int _{\Gamma _{0}}(\nabla \varphi \cdot [\mu \mathbf {H} ])\,{dS \over \|\nabla ^{4D}\varphi \|}&=0\\[1ex]\int _{\Gamma _{0}}\left(\nabla \varphi \times [\mathbf {E} ]+{1 \over c}\,\varphi _{t}\,[\mu \mathbf {H} ]\right)\,{\frac {dS}{\|\nabla ^{4D}\varphi \|}}&=0\\[1ex]\int _{\Gamma _{0}}\left(\nabla \varphi \times [\mathbf {H} ]-{1 \over c}\,\varphi _{t}\,[\varepsilon \mathbf {E} ]\right)\,{\frac {dS}{\|\nabla ^{4D}\varphi \|}}&=0\end{aligned}}}$$${\displaystyle \nabla ^{4D}}$${\displaystyle xyzt}$${\displaystyle \Gamma _{0}}$

ตอนนี้สามารถแสดงได้ง่ายๆ ว่าเมื่อพวกมันแพร่กระจายผ่านตัวกลางต่อเนื่อง พื้นผิวที่ไม่ต่อเนื่องจะเป็นไปตามสมการไอโคนาล โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าและเป็นพื้นผิวต่อเนื่องแล้ว ความไม่ต่อเนื่องของและจะเป็นไปตามเงื่อนไข: และในกรณีนี้ สมการสองสมการสุดท้ายของบทพิสูจน์สามารถเขียนได้ดังนี้: ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathbf {H} }$${\displaystyle [\varepsilon \mathbf {E} ]=\varepsilon [\mathbf {E} ]}$${\displaystyle [\mu \mathbf {H} ]=\mu [\mathbf {H} ]}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \varphi \times [\mathbf {E} ]+{\mu \over c}\,\varphi _{t}\,[\mathbf {H} ]&=0\\[1ex]\nabla \varphi \times [\mathbf {H} ]-{\varepsilon \over c}\,\varphi _{t}\,[\mathbf {E} ]&=0\end{aligned}}}$$

เมื่อนำสมการที่สองมาคูณกับและแทนค่าลงในสมการแรก จะได้: ${\displaystyle \nabla \varphi }$$${\displaystyle \nabla \varphi \times (\nabla \varphi \times [\mathbf {H} ])-{\varepsilon \over c}\,\varphi _{t}\,(\nabla \varphi \times [\mathbf {E} ])=(\nabla \varphi \cdot [\mathbf {H} ])\,\nabla \varphi -\|\nabla \varphi \|^{2}\,[\mathbf {H} ]+{\varepsilon \mu \over c^{2}}\varphi _{t}^{2}\,[\mathbf {H} ]=0}$$

ความต่อเนื่องของและสมการที่สองของบทพิสูจน์บ่งชี้ว่า: ดังนั้น สำหรับจุดที่อยู่บนพื้นผิวเท่านั้น : ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nabla \varphi \cdot [\mathbf {H} ]=0}$${\displaystyle \varphi =0}$$${\displaystyle \|\nabla \varphi \|^{2}={\varepsilon \mu \over c^{2}}\varphi _{t}^{2}}$$

(โปรดสังเกตว่าการมีอยู่ของจุดไม่ต่อเนื่องนั้นมีความสำคัญอย่างยิ่งในขั้นตอนนี้ มิเช่นนั้นเราจะหารด้วยศูนย์)

เนื่องจากข้อจำกัดทางกายภาพ เราจึงสามารถสมมติได้โดยไม่เสียความเป็นทั่วไปว่ามีรูปแบบดังต่อไปนี้: นั่นคือ พื้นผิว 2 มิติที่เคลื่อนที่ผ่านอวกาศ ซึ่งจำลองเป็นพื้นผิวระดับของ(ในทางคณิตศาสตร์จะมีอยู่จริงหาก เป็นไป ตามทฤษฎีบทฟังก์ชัน โดยปริยาย ) สมการข้างต้นที่เขียนในรูปของจะกลายเป็น: นั่นคือ ซึ่งเป็นสมการไอโคนาล และใช้ได้กับทุก, , , เนื่องจากไม่มีตัวแปร กฎทางทัศนศาสตร์อื่นๆ เช่นกฎของสเนลล์และสูตรของเฟรสเนลสามารถ หาได้ในทำนองเดียวกันโดยพิจารณาความไม่ต่อเนื่องในและ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi (x,y,z,t)=\psi (x,y,z)-ct}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \varphi _{t}\neq 0}$${\displaystyle \psi }$$${\displaystyle \|\nabla \psi \|^{2}={\varepsilon \mu \over c^{2}}\,(-c)^{2}=\varepsilon \mu =n^{2}}$$$${\displaystyle \psi _{x}^{2}+\psi _{y}^{2}+\psi _{z}^{2}=n^{2}}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \mu }$

ในการ เขียนสมการคลื่นโดยใช้สัญลักษณ์ เวกเตอร์สี่ตัวตามทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษสามารถเขียนได้ดังนี้ $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x_{i}\partial x^{i}}}=0}$$

และการแทนที่นำไปสู่^{​​[ 12 ]}${\displaystyle \psi =Ae^{iS/\varepsilon }}$$${\displaystyle -{\frac {A}{\varepsilon ^{2}}}{\frac {\partial S}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}+{\frac {2i}{\varepsilon }}{\frac {\partial A}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}+{\frac {iA}{\varepsilon }}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x_{i}\partial x^{i}}}+{\frac {\partial ^{2}A}{\partial x_{i}\partial x^{i}}}=0.}$$

ดังนั้น สมการไอโคนาลจึงกำหนดโดย $${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}=0.}$$

เมื่อหาค่า eikonal ได้จากการแก้สมการข้างต้นแล้ว ก็สามารถหาเวกเตอร์สี่มิติของคลื่นได้จากสมการนั้น $${\displaystyle k_{i}=-{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}.}$$

• ทัศนศาสตร์แฮมิลโทเนียน
• อะคูสติกเชิงเรขาคณิต

• Robert Alfred Herman (1900) ตำราว่าด้วยทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตจากArchive.org
• "แสงแห่งดวงตาและภูมิทัศน์แห่งการมองเห็นอันเจิดจรัส"เป็นเอกสารเขียนด้วยภาษาอาหรับ เกี่ยวกับทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิต ซึ่งมีอายุย้อนไปถึงศตวรรษที่ 16
• ทฤษฎีระบบรังสี – WR Hamilton ในวารสาร Transactions of the Royal Irish Academyเล่มที่ XV ปี 1828

• เอช. บรุนส์, "ดาส ไอโคนาล"
• เอ็ม. มาลัส, "ออปติก"
• เจ. พลัคเกอร์, "การอภิปรายเกี่ยวกับรูปแบบทั่วไปของคลื่นแสง"
• อี. คัมเมอร์, "ทฤษฎีทั่วไปของระบบรังสีเชิงเส้นตรง"
• อี. คัมเมอร์ นำเสนอเรื่องระบบลำแสงเชิงเส้นตรงที่สามารถสร้างได้ด้วยวิธีทางแสง
• R. Meibauer, "ทฤษฎีระบบเส้นตรงของรังสีแสง"
• เอ็ม. พาสช์, "เกี่ยวกับพื้นผิวโฟกัสของระบบรังสีและพื้นผิวเอกลักษณ์ของคอมเพล็กซ์"
• เอ. เลวิสตัล, "งานวิจัยด้านทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิต"
• F. Klein, "On the Bruns eikonal"
• R. Dontot, "เกี่ยวกับค่าคงที่เชิงปริพันธ์และประเด็นบางประการของทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิต"
• ที. เดอ ดอนเดอร์, "เกี่ยวกับค่าคงที่เชิงปริพันธ์ของทัศนศาสตร์"

• การบรรยายเรื่องทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตของเฟย์นแมน