กลุ่มการปรับมาตรฐาน

ในฟิสิกส์เชิงทฤษฎีกลุ่มการปรับค่าใหม่ (Renormalization GroupหรือRG ) เป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ช่วยให้สามารถตรวจสอบการเปลี่ยนแปลงในระบบทางกายภาพ ได้อย่างเป็น ระบบเมื่อมองจากระดับ ต่างๆ ระดับของระบบโดยทั่วไปจะอธิบายปฏิสัมพันธ์ของวัตถุ ซึ่งอาจเป็นค่า สัมประสิทธิ์การเปลี่ยนแปลง ("running") ที่วัดความแรงของแรงต่างๆ พารามิเตอร์มวล หรือขนาดของระบบ กลุ่มการปรับค่าใหม่มีความเกี่ยวข้องกับความไม่แปรผันตามระดับ (scale invariance)และ ความไม่แปรผันตามการแปลงเชิงคอนฟอร์มัล (conformal invariance ) ซึ่งเป็นสมมาตรที่ระบบแสดงความคล้ายคลึงกันในตัวเอง [ ^{a ] ในบางกรณี พารามิเตอร์ของแบบจำลองสามารถกำหนดให้มีค่าพิเศษที่เรียกว่า "จุดคงที่" (fixed point) ซึ่งทฤษฎีสนามจะไม่แปรผันตามการแปลงเชิงคอนฟอร์มัล และ ค่า}สัมประสิทธิ์การเปลี่ยนแปลงใดๆ ก็หยุดเปลี่ยนแปลง

ในฟิสิกส์อนุภาคการดำเนินการนี้สะท้อนถึงการเปลี่ยนแปลงในกฎทางฟิสิกส์พื้นฐาน (ซึ่งถูกกำหนดไว้ในทฤษฎีสนามควอนตัมที่สามารถปรับค่าใหม่ได้ ) เมื่อระดับพลังงานหรือมวลที่กระบวนการทางฟิสิกส์เกิดขึ้นเปลี่ยนแปลงไป ตัวอย่างเช่น ในควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์ (QED) อิเล็กตรอนดูเหมือนจะประกอบด้วยคู่ ของอิเล็กตรอนและ โพซิตรอน รวมถึง โฟตอนที่ระยะทางสั้นมาก เมื่อรวมกันแล้ว อนุภาคเหล่านี้จะมีประจุไฟฟ้า ที่แตกต่าง จากอิเล็กตรอนที่มองเห็นได้ในระยะไกลเล็กน้อย และการเปลี่ยนแปลงในค่าของประจุนี้จะถูกกำหนดโดยสมการกลุ่มการปรับค่าใหม่

กลุ่มการปรับค่าใหม่ (Renormalization group) ได้รับการพัฒนาขึ้นครั้งแรกสำหรับการใช้งานในฟิสิกส์อนุภาค แต่ต่อมาได้ถูกนำไปประยุกต์ใช้ในฟิสิกส์ของแข็งกลศาสตร์ของไหล จักรวาลวิทยาเชิงฟิสิกส์และนาโนเทคโนโลยีบทความแรกๆ โดยErnst StueckelbergและAndré Petermannในปี 1953 ได้คาดการณ์แนวคิดนี้ไว้ในทฤษฎีสนามควอนตัมโดยพวกเขาตั้งข้อสังเกตว่าการปรับค่าใหม่แสดงให้เห็นกลุ่มของการแปลงที่ถ่ายโอนปริมาณจากเทอมเปล่าไปยังเทอมที่แก้ไข และได้แนะนำฟังก์ชันh ( e ) ในควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์ (QED)ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อฟังก์ชันเบตา^{[ 1 ]}

Murray Gell-MannและFrancis E. Lowจำกัดแนวคิดไว้ที่การแปลงสเกลใน QED ในปี 1954 และมุ่งเน้นไปที่รูปแบบเชิงอะซิมโทติกของตัวแพร่โฟตอนที่พลังงานสูง^{[ 2 ]} พวกเขากำหนดการเปลี่ยนแปลงของการเชื่อมต่อแม่เหล็กไฟฟ้าใน QED โดยพิจารณาโครงสร้างการปรับขนาด และค้นพบว่าพารามิเตอร์การเชื่อมต่อg ( μ ) ที่ระดับพลังงานμนั้นกำหนดโดยสมการกลุ่ม สำหรับฟังก์ชันการปรับขนาดของ Wegner G ที่กำหนด และค่าคงที่dในแง่ของการเชื่อมต่อg (M)ที่ระดับอ้างอิงM$${\displaystyle g(\mu )=G^{-1}\left(\left({\frac {\mu }{M}}\right)^{d}G(g(M))\right)}$$

Gell-Mann และ Low ตระหนักว่ามาตราส่วนที่มีประสิทธิภาพสามารถกำหนดให้เป็นμ ได้ตามอำเภอใจ และสามารถเปลี่ยนแปลงเพื่อกำหนดทฤษฎีที่มาตราส่วนอื่น ๆ ได้: แก่นของ RG คือคุณสมบัติของกลุ่มนี้: เมื่อมาตราส่วนμเปลี่ยนแปลง ทฤษฎีจะแสดงความคล้ายคลึงกันในตัวเอง และสามารถเข้าถึงมาตราส่วนใด ๆ จากมาตราส่วนอื่น ๆ ได้โดยการกระทำของกลุ่มนี้ ในทางที่เป็นทางการมากขึ้น การแปลงนี้อธิบายทางคณิตศาสตร์โดย สมการ ของSchröder ^{[ 3 ]}$${\displaystyle g(\kappa )=G^{-1}\left(\left({\frac {\kappa }{\mu }}\right)^{d}G(g(\mu ))\right)=G^{-1}\left(\left({\frac {\kappa }{M}}\right)^{d}G(g(M))\right)}$$

บนพื้นฐานของสมการกลุ่มจำกัดนี้และคุณสมบัติการปรับสเกล Gell-Mann และ Low มุ่งเน้นไปที่การแปลงอนันต์และคิดค้นวิธีการคำนวณโดยใช้ฟังก์ชันψ ( g ) = G d /(∂ G /∂ g )ซึ่งพวกเขาแนะนำ เช่นเดียวกับฟังก์ชันh ( e ก่อนหน้านี้ ) ฟังก์ชันของพวกเขากำหนดการเปลี่ยนแปลงของค่าสัมประสิทธิ์g ( μ ) เมื่อเทียบกับการเปลี่ยนแปลงในระดับพลังงานμผ่านสมการเชิงอนุพันธ์ สมการกลุ่มการปรับมาตรฐาน หรือฟังก์ชันเบต้า [ ^{4 ] [ 5 ]}เนื่องจากเป็นฟังก์ชันของgการอินทิเกรตในg ของการประมาณค่าแบบรบกวนของมันทำให้สามารถระบุการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันกับพลังงานได้ ซึ่งก็ ^คือฟังก์ชันGในการประมาณค่านี้ นั่นเอง การทำนายของกลุ่มการปรับมาตรฐานได้รับการยืนยันในอีก 40 ปีต่อมาใน การทดลอง Large Electron–Positron Collider : ค่า"คงที่" ของโครงสร้างละเอียดของ QED ถูกวัด^{[ 6 ]}ว่ามีค่าประมาณ1 ⁄ 127ที่พลังงานใกล้เคียง 200 GeV ซึ่งตรงข้ามกับค่ามาตรฐานของฟิสิกส์พลังงานต่ำที่1 ⁄ 137 ^{[ b ]}$${\displaystyle \displaystyle {\frac {\partial g}{\partial \ln \mu }}=\psi (g)=\beta (g)}$$

กลุ่มการปรับค่าใหม่เกิดขึ้นจากการปรับค่าใหม่ของตัวแปรสนามควอนตัม ซึ่งต้องจัดการกับปัญหาของเทอมอนันต์ในทฤษฎีสนามควอนตัม^{[ c ]}กระบวนการนี้อย่างเป็นระบบสำหรับ QED ถูกสร้างขึ้นโดยRichard Feynman , Julian SchwingerและShin'ichirō Tomonagaซึ่งได้รับรางวัลโนเบลในปี 1965 จากผลงานเหล่านี้ พวกเขาคิดค้นทฤษฎีการปรับค่าใหม่ของมวลและประจุ ซึ่งอนันต์ในระดับโมเมนตัมถูกตัดออก โดย ตัวควบคุมขนาดใหญ่พิเศษΛ ^{[ d ]}

การพึ่งพาของปริมาณทางกายภาพต่อมาตราส่วน Λ นั้นถูกซ่อนไว้ โดยถูกแทนที่ด้วยมาตราส่วนระยะทางที่ไกลกว่าซึ่งใช้ในการวัดปริมาณทางกายภาพ ส่งผลให้ปริมาณที่สังเกตได้ทั้งหมดมีค่าจำกัด แม้ว่า Λ จะเป็นอนันต์ก็ตาม Gell-Mann และ Low จึงตระหนักในผลลัพธ์เหล่านี้ว่า ในขณะที่การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในgเกิดขึ้นจากสมการ RG ข้างต้นที่กำหนดโดย ψ( g ) ความคล้ายคลึงในตัวเองนั้นแสดงออกโดยข้อเท็จจริงที่ว่า ψ( g ) ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ของทฤษฎีเท่านั้น และไม่ขึ้นอยู่กับมาตราส่วนμดังนั้น สมการกลุ่มการปรับมาตรฐานข้างต้นจึงสามารถแก้หา ( Gและดังนั้น) g ( μ ) ได้

ความเข้าใจที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นเกี่ยวกับความหมายทางกายภาพและการสรุปทั่วไปของกระบวนการปรับค่าใหม่ ซึ่งก้าวข้ามกลุ่มการขยายตัวของทฤษฎีที่ปรับค่าใหม่ได้แบบดั้งเดิม พิจารณาวิธีการที่มาตราส่วนที่แตกต่างกันอย่างกว้างขวางปรากฏขึ้นพร้อมกัน มาจากฟิสิกส์สสารควบแน่น : บทความของ Leo P. Kadanoffในปี 1966 เสนอกลุ่มการปรับค่าใหม่แบบ "บล็อก-สปิน" ^{[ 8 ]} "แนวคิดการบล็อก" เป็นวิธีในการกำหนดส่วนประกอบของทฤษฎีที่ระยะทางไกลๆ เป็นกลุ่มของส่วนประกอบที่ระยะทางสั้นกว่า

แนวทางนี้ครอบคลุมประเด็นเชิงแนวคิดและได้รับการพิสูจน์ด้วยการคำนวณอย่างเต็มรูปแบบในงานของKenneth Wilson Wilson ได้สาธิตวิธีการแก้ปัญหาการปรับมาตรฐานแบบวนซ้ำเชิงสร้างสรรค์สำหรับปัญหาที่ค้างคามานานอย่างปัญหา Kondoในปี 1975 ^{[ 9 ]}รวมถึงการพัฒนาที่สำคัญก่อนหน้านี้ของวิธีการใหม่ของเขาในทฤษฎีการเปลี่ยนเฟสลำดับที่สองและปรากฏการณ์วิกฤตในปี 1971 ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}เขาได้รับรางวัลโนเบลจากผลงานเหล่านี้ในปี 1982 ^{[ 13 ]}

RG ในฟิสิกส์อนุภาคได้รับการปรับปรุงใหม่ในแง่ปฏิบัติมากขึ้นโดย Callan และ Symanzik ในปี 1970 ^{[ 4 ] [ 14 ]}ฟังก์ชันเบต้าข้างต้น ซึ่งอธิบาย "การเปลี่ยนแปลงของพารามิเตอร์การเชื่อมต่อ" กับมาตราส่วน พบว่าแสดงถึงการทำลายสมมาตรมาตราส่วนในกลศาสตร์ควอนตัมในทฤษฎีสนาม การประยุกต์ใช้ RG ในฟิสิกส์อนุภาคเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วในช่วงทศวรรษ 1970 พร้อมกับการก่อตั้งแบบ จำลองมาตรฐาน

ในปี พ.ศ. 2516 มีการค้นพบว่าทฤษฎีของควาร์กที่มีปฏิสัมพันธ์กันนั้นมีฟังก์ชันเบตาเป็นลบ^{[ 15 ] [ 16 ]}ซึ่งหมายความว่าค่าพลังงานเริ่มต้นสูงของการเชื่อมต่อจะนำไปสู่ค่าμ พิเศษ ที่การเชื่อมต่อจะล diverge ค่าพิเศษนี้คือขนาดของปฏิสัมพันธ์ที่แข็งแกร่ง μ = Λ QCD ₍ ~200 เมกะอิเล็กตรอนโวลต์ ) ในทางกลับกัน การเชื่อมต่อจะอ่อนลงที่พลังงานสูงมาก ( อิสรภาพเชิงอะซิม โทติก ) และควาร์กจะสามารถสังเกตได้ว่าเป็นอนุภาคจุด ในการกระเจิงแบบไม่ยืดหยุ่นอย่างลึกซึ้งตามที่คาดการณ์ไว้โดยการปรับขนาดของ Feynman–Bjorken QCD จึงได้รับการสถาปนาขึ้นเป็นทฤษฎีสนามควอนตัมที่ควบคุมปฏิสัมพันธ์ที่แข็งแกร่งของอนุภาค

RG ในปริภูมิโมเมนตัมยังกลายเป็นเครื่องมือที่มีการพัฒนาอย่างมากในฟิสิกส์ของของแข็ง แต่ถูกขัดขวางโดยการใช้ทฤษฎีการรบกวนอย่างกว้างขวาง ซึ่งทำให้ทฤษฎีไม่ประสบความสำเร็จในระบบที่มีความสัมพันธ์กันอย่างมาก^{[ e ]}

ทฤษฎีทั่วไปนั้นอธิบายได้ด้วยฟังก์ชันเฉพาะของตัวแปรสถานะและชุดค่าคงที่การเชื่อมโยงฟังก์ชันนี้อาจเป็นฟังก์ชันแบ่งส่วน ฟังก์ชันการกระทำหรือแฮมิลโทเนียนตราบใดที่มันครอบคลุมคำอธิบายทางฟิสิกส์ทั้งหมดของระบบ ${\displaystyle Z}$${\displaystyle \{s_{i}\}}$${\displaystyle \{J_{k}\}}$

สำหรับการแปลงตัวแปรสถานะบางอย่างจำนวนของจะน้อยกว่าจำนวนของถ้าฟังก์ชัน สามารถเขียนใหม่ได้เฉพาะในรูปของโดยการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์บางอย่างแล้วทฤษฎีนั้นจะเรียกว่าสามารถปรับค่าปกติได้ การเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์นี้เกิดขึ้นจากการใช้ฟังก์ชันเบต้าบางอย่าง: ซึ่งกล่าวกันว่าเหนี่ยวนำให้เกิดการไหลของกลุ่มการปรับค่าปกติ (หรือ RG flow) บนปริภูมิ ค่าของภายใต้การไหลนี้เรียกว่าค่าเชื่อมโยงแบบเคลื่อนที่ (running couplings) ${\displaystyle \{s_{i}\}\to \{{\tilde {s}}_{i}\}}$${\displaystyle {\tilde {s}}_{i}}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle {\tilde {s}}_{i}}$${\displaystyle \{J_{k}\}\to \{{\tilde {J}__{k}\}}$${\displaystyle \{{\tilde {J}__{k}\}=\beta (\{J_{k}\})}$${\displaystyle J}$${\displaystyle J}$

ทฤษฎีพื้นฐานส่วนใหญ่ในฟิสิกส์ ยกเว้นแรงโน้มถ่วง สามารถปรับค่าให้เป็นมาตรฐานได้อย่างแม่นยำ ในทำนองเดียวกัน ทฤษฎีส่วนใหญ่ในฟิสิกส์สสารควบแน่นก็สามารถปรับค่าให้เป็นมาตรฐานได้โดยประมาณ

สมมาตรคอนฟอร์มอลเกี่ยวข้องกับการหายไปของฟังก์ชันเบตา สิ่งนี้สามารถเกิดขึ้นได้ตามธรรมชาติหากค่าคงที่การเชื่อมต่อถูกดึงดูดโดยการวิ่งไปยังจุดคงที่ซึ่งβ ( g ) = 0 ใน QCD จุดคงที่เกิดขึ้นที่ระยะทางสั้นๆ ที่g → 0 และเรียกว่าจุดคงที่อัลตราไวโอเลต (ไม่ สำคัญ ) สำหรับควาร์กหนัก เช่นควาร์กท็อป การเชื่อมต่อกับโบซอนฮิกส์ จะวิ่งไปยัง จุดคงที่อินฟราเรดที่ไม่เป็นศูนย์ (ไม่สำคัญ) ^{[ 17 ] [ 18 ]}การเชื่อมต่อยูคาวาของควาร์กท็อปอยู่ต่ำกว่าจุดคงที่อินฟราเรดของแบบจำลองมาตรฐานเล็กน้อย ซึ่งชี้ให้เห็นถึงความเป็นไปได้ของฟิสิกส์ใหม่เพิ่มเติม เช่น โบซอนฮิกส์หนักแบบลำดับ

ในทฤษฎีสตริงสมมาตรพื้นฐานคือความไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การแปลงคอนฟอร์มัลของระนาบโลกของสตริง โดยที่β = 0 เป็นเงื่อนไขที่จำเป็น โดยที่βเป็นฟังก์ชันของเรขาคณิตของปริภูมิเวลาที่สตริงเคลื่อนที่อยู่ ซึ่งเป็นตัวกำหนดมิติของปริภูมิเวลาในทฤษฎีสตริง และบังคับใช้สมการสัมพัทธภาพทั่วไป ของไอน์สไตน์ กับเรขาคณิตนั้น เรขาคณิตสัมพัทธภาพ (RG) มีความสำคัญอย่างยิ่งต่อทฤษฎีสตริงและทฤษฎีการรวมแรงขั้นพื้นฐาน

หากจุดคงที่ของระบบสอดคล้องกับทฤษฎีสนามอิสระทฤษฎีดังกล่าวจะกล่าวได้ว่าแสดงให้เห็นถึงความไม่สำคัญเชิงควอนตัมและมีขั้วแลนเดาสำหรับปฏิสัมพันธ์φ ⁴ ไมเคิล ไอเซนแมนพิสูจน์แล้วว่าทฤษฎีนี้ไม่สำคัญจริง ๆ สำหรับมิติเวลา-อวกาศD ≥ 5 ^{[ 19 ]}สำหรับD = 4 ความไม่สำคัญยังไม่ได้รับการพิสูจน์อย่างเข้มงวด แต่การคำนวณแลตติสได้ให้หลักฐานที่แข็งแกร่งสำหรับเรื่องนี้ ข้อเท็จจริงนี้มีความสำคัญเนื่องจากความไม่สำคัญเชิงควอนตัมสามารถใช้เพื่อจำกัดหรือแม้แต่ทำนายพารามิเตอร์เช่นมวลของฮิกส์โบซอนใน สถานการณ์ ความปลอดภัยเชิงอะซิมโทติกจุดคงที่จำนวนมากปรากฏในการศึกษาทฤษฎีฮิกส์แลตติสแต่ธรรมชาติของทฤษฎีสนามควอนตัมที่เกี่ยวข้องกับสิ่งเหล่านี้ยังคงเป็นคำถามที่เปิดอยู่ เนื่องจากการแปลง RG ในระบบดังกล่าวมีการสูญเสีย (กล่าวคือจำนวนตัวแปรลดลง) จึงไม่จำเป็นต้องมีตัวผกผันสำหรับการแปลง RG ที่กำหนด

สำหรับค่าสังเกตได้Aของระบบทางกายภาพที่กำลังเกิดการแปลง RG นั้น ขนาดของค่าสังเกตได้เมื่อขนาดของระบบเปลี่ยนจากเล็กไปใหญ่จะเป็นตัวกำหนดความสำคัญของค่าสังเกตได้ต่อกฎการปรับขนาด:

จำเป็นต้องมีตัวแปรที่เกี่ยวข้องเพื่ออธิบายพฤติกรรมระดับมหภาคของระบบ ตัวแปรที่ไม่เกี่ยวข้องนั้นไม่จำเป็น ตัวแปรที่ไม่สำคัญอาจจำเป็นหรือไม่จำเป็นต้องนำมาพิจารณา ตัวแปรส่วนใหญ่ไม่เกี่ยวข้อง กล่าวคือ ฟิสิกส์ระดับมหภาคส่วนใหญ่ถูกครอบงำด้วยตัวแปรเพียงไม่กี่ตัวในระบบต่างๆ ตัวอย่างเช่น ในฟิสิกส์ระดับจุลภาค การอธิบายระบบที่ประกอบด้วยอะตอมคาร์บอน-12 หนึ่งโมลจำเป็นต้องใช้ตัวแปรประมาณ 10²³ ^ตัว ( เลขอะโวกาโด ) ในขณะที่การอธิบายระบบระดับมหภาค (คาร์บอน-12 12 กรัม) เราต้องการเพียงไม่กี่ตัวเท่านั้น

ก่อนที่วิลสันจะนำแนวทาง RG มาใช้ ยังไม่ชัดเจนว่าเหตุใดเลขชี้กำลังวิกฤตจึงอธิบายการเปลี่ยนแปลงในปรากฏการณ์ที่แตกต่างกันอย่างมาก โดยทั่วไป คุณสมบัติทางเทอร์โมไดนามิกของระบบใกล้การเปลี่ยนเฟสจะขึ้นอยู่กับตัวแปรเพียงไม่กี่ตัว เช่น มิติและความสมมาตร แต่ไม่ไวต่อรายละเอียดของคุณสมบัติระดับจุลภาคพื้นฐานของระบบ คุณสมบัตินี้เรียกว่าความเป็น สากล

ความเป็นสากลสามารถอธิบายได้โดยใช้กลุ่มการปรับมาตรฐาน โดยแสดงให้เห็นว่าความแตกต่างในปรากฏการณ์ระหว่างส่วนประกอบย่อยแต่ละส่วนนั้นถูกกำหนดโดยตัวแปรสังเกตที่ไม่เกี่ยวข้อง ในขณะที่ตัวแปรสังเกตที่เกี่ยวข้องนั้นมีร่วมกัน ดังนั้น ปรากฏการณ์ระดับมหภาคจำนวนมากอาจถูกจัดกลุ่มเป็นชุดเล็กๆ ของชั้นความเป็นสากลซึ่งระบุโดยชุดของตัวแปรสังเกตที่เกี่ยวข้องที่มีร่วมกัน^{[ f ]}

รูปแบบหนึ่งของ RG ที่เรียบง่ายกว่าคือ RG แบบบล็อกสปิน ซึ่งคิดค้นโดยLeo P. Kadanoffในปี 1966 ^{[ 8 ]}สำหรับชุดอะตอม 2 มิติในอาร์เรย์สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์แบบ (รูปที่ 1) อะตอมจะโต้ตอบกันเองเฉพาะกับเพื่อนบ้านที่อยู่ใกล้ที่สุดที่อุณหภูมิTและค่าการเชื่อมต่อJ ที่แน่นอน ฟิสิกส์ของระบบจะถูกอธิบายโดยฟังก์ชันของพารามิเตอร์เหล่านี้ เช่น แฮ มิ ลโทเนียนH ( T , J )

จากนั้นของแข็งจะถูกแบ่งออกเป็นบล็อกขนาด 2×2 บล็อกโดยอธิบายในแง่ของตัวแปรบล็อกที่แสดงถึงพฤติกรรมเฉลี่ยภายในแต่ละบล็อก ฟิสิกส์ของตัวแปรบล็อกนั้นอธิบายได้โดยประมาณด้วยสูตรประเภทเดียวกัน แต่มีค่าTและJ ที่แตกต่างกัน : H ( T ′ , J ′ )ปัญหาดั้งเดิมอาจคำนวณได้ยากเนื่องจากมีตัวแปรอะตอมจำนวนมาก ในปัญหาที่ปรับค่าใหม่แล้วจะมีตัวแปรน้อยลงถึงหนึ่งในสี่ การทำซ้ำอีกครั้งในลักษณะเดียวกันนำไปสู่​​H ( T" , J" )และมีอะตอมเพียงหนึ่งในสิบหกเท่านั้น กระบวนการนี้จะเพิ่มขนาดการสังเกตในแต่ละขั้นตอน RG

การวนซ้ำไปเรื่อยๆ จนกระทั่งเหลือเพียงบล็อกขนาดใหญ่เพียงบล็อกเดียว เทียบเท่ากับการค้นหาพฤติกรรมระยะยาวของการแปลง RG ซึ่งได้ผลลัพธ์เป็น( T , J ) → ( T ′ , J ′ )และ( T ′ , J ′ ) → ( T" , J" )บ่อยครั้ง เมื่อวนซ้ำหลายๆ ครั้ง การแปลง RG นี้จะนำไปสู่จุดคงที่จำนวนหนึ่ง

สำหรับกรณีทดสอบของแบบจำลอง Isingของโครงข่ายสปินที่มีปฏิสัมพันธ์ทางแม่เหล็กค่าสัมประสิทธิ์การเชื่อมต่อJ ที่เป็นบวกบางค่า แสดงถึงแนวโน้มที่สปินข้างเคียงจะเรียงตัวกัน พฤติกรรมของระบบถูกกำหนดโดยการแข่งขันระหว่าง ค่า J (ซึ่งมีแนวโน้มที่จะ "จัดระเบียบ" ระบบโดยการเรียงตัวของสปิน) และผลกระทบจากการเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิที่ทำให้การเรียงตัวของสปินเปลี่ยนแปลงไปอย่างสุ่ม

สำหรับแบบจำลองประเภทนี้ มีจุดคงที่อยู่สามจุด:

1. T = 0และ J → ∞ที่ระดับขนาดใหญ่ที่สุด อุณหภูมิจะไม่มีความสำคัญ กล่าวคือ ปัจจัยความไม่เป็นระเบียบจะหายไป และระบบจะดูเหมือนเป็นระเบียบ นี่คือ เฟสเฟอร์ โรแมกเนติกซึ่งการขาดความไม่เป็นระเบียบทำให้ทุกสปินชี้ไปในทิศทางเดียวกัน
2. เมื่อ T → ∞และ J → 0อุณหภูมิจะมีอิทธิพลเหนือกว่า และระบบจะเกิดความไม่เป็นระเบียบในระดับขนาดใหญ่
3. จุดสำคัญระหว่างทั้งสองคือT = T _cและJ = J _cณ จุดนี้ การเปลี่ยนขนาดจะไม่เปลี่ยนแปลงฟิสิกส์ เพราะระบบจะมีลักษณะเหมือนเดิมไม่ว่าจะเลือกขนาดใดก็ตาม จุดนี้สอดคล้องกับจุดวิกฤตของการเปลี่ยนเฟสแบบคูรี ซึ่งผลกระทบทั้งสองข้างต้นมีความสมดุลกันอย่างสมบูรณ์

เมื่อกำหนดวัสดุที่มีค่าTและJ ที่กำหนดไว้ แล้ว พฤติกรรมในระดับใหญ่ของระบบจะถูกกำหนดโดยจุดคงที่เหล่านี้

สมการกลุ่มการปรับขนาดที่แม่นยำ (Exact Renormalization Group Equation หรือ ERGE) คือสมการที่คำนึง ถึงค่าคู่ควบ ที่ไม่เกี่ยวข้องเนื่องจากมีตัวเลือกการปรับขนาดสนามได้มากมายนับไม่ถ้วน จึงมีสมการ ERGE ที่ใช้ในการประมาณค่าแบบต่างๆ มากมายนับไม่ถ้วนเช่นกัน แต่แนวทางที่ใช้กันทั่วไปส่วนใหญ่จะนำเสนอไว้ด้านล่าง

วิธี Wilson ERGE นั้นง่ายที่สุดในเชิงแนวคิด แต่ยากต่อการนำไปใช้ วิธีเริ่มต้นด้วยการแปลงฟูริเยร์ไปยังปริภูมิโมเมนตัมหลังจากการหมุนแบบวิกไปยังปริภูมิยูคลิดโดยการกำหนดค่าตัด โมเมนตัม ที่ เข้มงวด p ² ≤ Λ ²ระดับความเป็นอิสระเพียงอย่างเดียวคือระดับที่มีโมเมนตัมน้อยกว่าΛ ฟังก์ชันพาร์ติชันคือสำหรับ Λ′ บวกใดๆ ที่น้อยกว่า Λ ฟังก์ชันS _Λ′ถูกกำหนดเป็นถ้าS _Λขึ้นอยู่กับϕ เท่านั้น และไม่ขึ้นอยู่กับอนุพันธ์ของมัน อาจเขียนใหม่ได้เป็น เนื่องจากมีการอินทิเกรตเฉพาะฟังก์ชันφที่กำหนดไว้อย่างดีระหว่าง Λ' และ Λ เท่านั้น ด้านซ้ายมืออาจยังคงขึ้นอยู่กับϕนอกช่วงนั้น ดังนั้น ในความเป็นจริง การแปลงนี้เป็นแบบทรานซิ ที ฟ ถ้าคุณคำนวณ S _{Λ ′}จาก S _Λแล้วคำนวณS _{Λ ′ ′}จากS _{Λ ′ ′}จะทำให้คุณได้แอคชั่นแบบวิลสันเหมือนกับการคำนวณS _Λ″โดยตรงจาก S _Λ$${\displaystyle Z=\int _{p^{2}\leq \Lambda ^{2}}{\mathcal {D}}\varphi \exp \left[-S_{\Lambda }[\varphi ]\right].}$$$${\displaystyle \exp \left(-S_{\Lambda '}[\varphi ]\right)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{\Lambda '\leq p\leq \Lambda }{\mathcal {D}}\varphi \exp \left[-S_{\Lambda }[\varphi ]\right].}$$$${\displaystyle \exp \left(-S_{\Lambda '}[\varphi ]\right)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \prod _{\Lambda '\leq p\leq \Lambda }\int d\varphi (p)\exp \left[-S_{\Lambda }[\varphi (p)]\right],}$$$${\displaystyle Z=\int _{p^{2}\leq {\Lambda '}^{2}}{\mathcal {D}}\varphi \exp \left[-S_{\Lambda '}[\varphi ]\right].}$$

ERGE ของ Polchinski เกี่ยวข้องกับการตัดตัวควบคุม UV ที่เรียบ^{[ 20 ]}ซึ่งเป็นการปรับปรุงเหนือ ERGE ของ Wilson วิธีนี้ช่วยลดการมีส่วนร่วมจากโมเมนตัมที่มากกว่าΛอย่างมาก อย่างไรก็ตาม ความเรียบของการตัดทำให้เกิดสมการเชิงอนุพันธ์เชิงฟังก์ชันในระดับการตัดΛเช่นเดียวกับในแนวทางของ Wilson จะมีฟังก์ชันการกระทำที่แตกต่างกันสำหรับแต่ละΛการกระทำเหล่านี้แต่ละอย่างควรจะอธิบายแบบจำลองเดียวกันอย่างแม่นยำ ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันการแบ่งส่วนของ พวกมัน จะต้องตรงกันอย่างแม่นยำ

ยกตัวอย่างเช่น (ในสัญกรณ์ deWitt แบบย่อ ) สำหรับสนามสเกลาร์จริง และZ _Λไม่ขึ้นอยู่กับΛแอคชั่นจะถูกแบ่งออกเป็นส่วนจลน์กำลังสองและส่วนปฏิสัมพันธ์S _{int Λ}การแบ่งนี้ไม่ชัดเจนเสมอไป ส่วน "ปฏิสัมพันธ์" อาจมีพจน์จลน์ กำลังสองอยู่ด้วย และหากมีการปรับค่าฟังก์ชันคลื่นก็จะต้องมีพจน์นี้ สามารถลดปัญหานี้ได้โดยการแนะนำการปรับขนาดสนาม R _Λเป็นฟังก์ชันของโมเมนตัม p และพจน์ที่สองในเลขชี้กำลังคือ เมื่อขยายแล้ว $${\displaystyle Z_{\Lambda }[J]=\int {\mathcal {D}}\varphi \exp \left(-S_{\Lambda }[\varphi ]+J\cdot \varphi \right)=\int {\mathcal {D}}\varphi \exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\varphi \cdot R_{\Lambda }\cdot \varphi -S_{\operatorname {int} \Lambda }[\varphi ]+J\cdot \varphi \right)}$$$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\tilde {\varphi }}^{*}(p)R_{\Lambda }(p){\tilde {\varphi }}(p)}$$

เมื่อR Λ ( p )/ p ²มีค่าเท่ากับ 1 โดยพื้นฐาน เมื่อR Λ ₍ p ) / p ²เข้าใกล้ค่าอนันต์R _Λ ( p )/ p ²จะมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ 1 เสมอและมีความเรียบ ซึ่งทำให้ความผันผวนที่มีโมเมนตัมน้อยกว่าค่าตัดΛ ไม่ได้ _รับผลกระทบ แต่จะยับยั้งการมีส่วนร่วมจากความผันผวนที่มีโมเมนตัมมากกว่าค่าตัดอย่างมาก เงื่อนไขที่ว่าฟังก์ชันการแบ่งส่วนจะต้องเป็นอิสระจากค่าตัด (กล่าวคืออนุพันธ์เทียบกับค่าตัดเป็นศูนย์) สามารถเป็นไปตามเงื่อนไขได้ ตัวอย่างเช่น Jacques Distlerอ้างโดยไม่มีการพิสูจน์ว่า ERGE นี้ไม่ถูกต้องในเชิงไม่รบกวน^{[ 21 ]}${\displaystyle p\ll \Lambda }$${\displaystyle p\gg \Lambda }$$${\displaystyle {\frac {d}{d\Lambda }}S_{\operatorname {int} \Lambda }={\frac {1}{2}}{\frac {\delta S_{\operatorname {int} \Lambda }}{\delta \varphi }}\cdot \left({\frac {d}{d\Lambda }}R_{\Lambda }^{-1}\right)\cdot {\frac {\delta S_{\operatorname {int} \Lambda }}{\delta \varphi }}-{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[{\frac {\delta ^{2}S_{\operatorname {int} \Lambda }}{\delta \varphi \,\delta \varphi }}\cdot R_{\Lambda }^{-1}\right].}$$

การกระทำเฉลี่ยที่มีประสิทธิภาพ ERGE เกี่ยวข้องกับการตัดตัวควบคุม IR ที่ราบเรียบ ซึ่งคำนึงถึงความผันผวนทั้งหมดจนถึงระดับ IR kการกระทำเฉลี่ยที่มีประสิทธิภาพ (EAA) จะมีความแม่นยำสำหรับความผันผวนที่มีโมเมนตัมมากกว่าkเมื่อkลดลง การกระทำเฉลี่ยที่มีประสิทธิภาพจะเข้าใกล้การกระทำที่มีประสิทธิภาพซึ่งรวมถึงความผันผวนควอนตัมและคลาสสิกทั้งหมด ในทางตรงกันข้าม สำหรับk ขนาดใหญ่ การกระทำเฉลี่ยที่มีประสิทธิภาพจะใกล้เคียงกับ "การกระทำแบบดิบ" ดังนั้น การกระทำเฉลี่ยที่มีประสิทธิภาพจึงเป็นการประมาณค่าระหว่าง "การกระทำแบบดิบ" และ การ กระทำ ที่มีประสิทธิภาพ

สำหรับสนามสเกลาร์ จริง เราจะเพิ่มการตัดขอบ IR เข้าไปในแอคชั่นSโดยที่R _kเป็นฟังก์ชันของทั้งkและpโดยที่สำหรับR _k (p) จะมีค่าน้อยมากและเข้าใกล้ 0 และสำหรับR k _มี ค่าเรียบและไม่เป็นลบ ค่ามากของมันสำหรับโมเมนตัมขนาดเล็กจะนำไปสู่การลดทอน การมีส่วนร่วมของโมเมนตัมเหล่านั้นต่อฟังก์ชันพาร์ติชัน ซึ่งมีผลเหมือนกับการละเลยความผันผวนขนาดใหญ่ $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\tilde {\varphi }}^{*}(p)R_{k}(p){\tilde {\varphi }}(p)}$$${\displaystyle p\gg k}$${\displaystyle p\ll k}$${\displaystyle R_{k}(p)\gtrsim k^{2}}$

กำหนดตัวควบคุมเป็น So โดยที่Jคือสนามแหล่งกำเนิดการแปลงเลอจองเดอร์ของW k _โดยทั่วไปจะให้การกระทำที่มีประสิทธิภาพอย่างไรก็ตาม การกระทำเริ่มต้นคือS [ φ ] + 1/2 φ⋅R _k ⋅ φดังนั้นต้องลบเทอมที่สองออกเพื่อให้ได้การกระทำเฉลี่ยที่มีประสิทธิภาพ กล่าวอีกนัยหนึ่ง สามารถผกผันเพื่อให้ได้J _k [ φ ] สุดท้าย กำหนดการกระทำเฉลี่ยที่มีประสิทธิภาพ Γ _kเป็น โปรดทราบว่าการกระทำที่มีประสิทธิภาพ Γ _kเกี่ยวข้องกับการกระทำที่มีประสิทธิภาพของ Polchinski S _intผ่านความสัมพันธ์การแปลงเลอจอง เดอร์ ^{[ 22 ]}การหาอนุพันธ์เทียบกับจุดตัดจะทำให้กระบวนการเสร็จสมบูรณ์ โดยสร้างนิพจน์ที่เรียกว่าสมการ Wetterich ^{[ 23 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\varphi \cdot R_{k}\cdot \varphi }$$$${\displaystyle \exp \left(W_{k}[J]\right)=Z_{k}[J]=\int {\mathcal {D}}\varphi \exp \left(-S[\varphi ]-{\frac {1}{2}}\varphi \cdot R_{k}\cdot \varphi +J\cdot \varphi \right)}$$$${\displaystyle \varphi [J;k]={\frac {\delta W_{k}}{\delta J}}[J]}$$$${\displaystyle \Gamma _{k}[\varphi ]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left(-W\left[J_{k}[\varphi ]\right]+J_{k}[\varphi ]\cdot \varphi \right)-{\tfrac {1}{2}}\varphi \cdot R_{k}\cdot \varphi .}$$

กลุ่มการปรับมาตรฐานยังสามารถใช้ในการคำนวณศักยภาพที่มีประสิทธิภาพในลำดับที่สูงกว่า 1-ลูป เช่น เมื่อคำนวณการแก้ไขกลไก Coleman–Weinberg ^{[ 24 ]}ในการทำเช่นนั้น ให้เขียนสมการกลุ่มการปรับมาตรฐานในรูปของศักยภาพที่มีประสิทธิภาพ ในกรณีของแบบจำลอง: เพื่อกำหนดศักยภาพที่มีประสิทธิภาพ จะเป็นประโยชน์ที่จะเขียนเป็น โดย ที่เป็นอนุกรมกำลังใน: การใช้ สมมติฐานข้างต้นทำให้สามารถแก้สมการกลุ่มการปรับมาตรฐานแบบรบกวนและค้นหาศักยภาพที่มีประสิทธิภาพจนถึงลำดับที่ต้องการได้^{[ 25 ]}${\displaystyle \varphi ^{4}}$$${\displaystyle \left(\mu {\frac {\partial }{\partial \mu }}+\beta _{\lambda }{\frac {\partial }{\partial \lambda }}+\varphi \gamma _{\varphi }{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\right)V_{\text{eff}}=0.}$$${\displaystyle V_{\text{eff}}}$$${\displaystyle V_{\text{eff}}={\frac {1}{4}}\varphi ^{4}S_{\text{eff}}{\big (}\lambda ,L(\varphi ){\big )},}$$${\displaystyle S_{\text{eff}}}$${\displaystyle L(\varphi )=\log {\frac {\varphi ^{2}}{\mu ^{2}}}}$$${\displaystyle S_{\text{eff}}=A+BL+CL^{2}+DL^{3}+\cdots .}$$

• Fisher, Michael (1974). "กลุ่มการปรับมาตรฐานในทฤษฎีพฤติกรรมวิกฤต" Rev. Mod. Phys . 46 (4): 597. Bibcode : 1974RvMP...46..597F . doi : 10.1103/RevModPhys.46.597 .

• White, SR (1992). "การกำหนดสูตรเมทริกซ์ความหนาแน่นสำหรับกลุ่มการปรับมาตรฐานควอนตัม" Physical Review Letters . 69 (19): 2863– 2866. Bibcode : 1992PhRvL..69.2863W . doi : 10.1103/PhysRevLett.69.2863 . PMID  10046608 .
• Goldenfeld, N. (1993). บรรยายเรื่องการเปลี่ยนเฟสและกลุ่มการปรับมาตรฐาน Addison-Wesley.
• Shirkov, Dmitry V. (1999). "วิวัฒนาการของกลุ่มการปรับมาตรฐาน Bogoliubov". arXiv : hep-th/9909024 .
• Delamotte, B. (กุมภาพันธ์ 2547). "A hint of renormalization" . American Journal of Physics . 72 (2): 170– 184. arXiv : hep-th/0212049 . Bibcode : 2004AmJPh..72..170D . doi : 10.1119/1.1624112 . S2CID  2506712 .
• Maris, HJ; Kadanoff, LP (มิถุนายน 1978). "การสอนกลุ่มการปรับมาตรฐาน". American Journal of Physics . 46 (6): 652– 657. Bibcode : 1978AmJPh..46..652M . doi : 10.1119/1.11224 . S2CID  123119591 .
• Huang, K. (2013). "ประวัติศาสตร์เชิงวิพากษ์ของการปรับค่ามาตรฐาน". International Journal of Modern Physics A . 28 (29): 1330050. arXiv : 1310.5533 . Bibcode : 2013IJMPA..2830050H . doi : 10.1142/S0217751X13300500 .
• Shirkov, DV (31 สิงหาคม 2544). "ห้าสิบปีของกลุ่มการปรับมาตรฐาน" . CERN Courier . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 3 ธันวาคม 2551 . สืบค้นเมื่อ12 พฤศจิกายน 2551 .
• Bagnuls, C.; Bervillier, C. (2001). "สมการกลุ่มการปรับมาตรฐานที่แม่นยำ: บททบทวนเบื้องต้น". Physics Reports . 348 ( 1– 2): 91– 157. arXiv : hep-th/0002034 . Bibcode : 2001PhR...348...91B . doi : 10.1016/S0370-1573(00)00137-X . S2CID  18274894 .

• ทีดี ลี ; ฟิสิกส์อนุภาคและบทนำสู่ทฤษฎีสนาม , สำนักพิมพ์ฮาร์วูด, 1981, ISBN 3-7186-0033-1.
• L. Ts. Adzhemyan, NV Antonov และ AN Vasiliev; กลุ่มการปรับมาตรฐานเชิงทฤษฎีสนามในความปั่นป่วนที่พัฒนาเต็มที่ ; Gordon and Breach, 1999. ISBN 90-5699-145-0.
• Vasil'ev, AN; กลุ่มการปรับมาตรฐานเชิงทฤษฎีสนามในทฤษฎีพฤติกรรมวิกฤตและพลวัตเชิงสุ่ม ; Chapman & Hall/CRC, 2004. ISBN 9780415310024.
• Zinn-Justin, Jean (2002). ทฤษฎีสนามควอนตัมและปรากฏการณ์วิกฤต , อ็อกซ์ฟอร์ด, สำนักพิมพ์ Clarendon (2002), ISBN 0-19-850923-5.
• Zinn-Justin, Jean : การปรับค่าใหม่และการจัดกลุ่มการปรับค่าใหม่: จากการค้นพบความแตกต่างของ UV ไปจนถึงแนวคิดของทฤษฎีสนามที่มีประสิทธิภาพใน: de Witt-Morette C., Zuber J.-B. (บรรณาธิการ), รายงานการประชุม NATO ASI ว่าด้วยทฤษฎีสนามควอนตัม: มุมมองและแนวโน้มในอนาคต , 15-26 มิถุนายน 1998, Les Houches, ฝรั่งเศส, Kluwer Academic Publishers, NATO ASI Series C 530, 375-388 (1999) [ISBN ]. มีข้อความฉบับเต็มในรูปแบบPostScript
• Kleinert, H.และ Schulte Frohlinde, V.; คุณสมบัติวิกฤตของทฤษฎีφ ⁴ , World Scientific (สิงคโปร์, 2001) ; ISBN ปกอ่อน 981-02-4658-7สามารถดูข้อความฉบับเต็มได้ในรูปแบบ PDF ซึ่งถูกเก็บถาวรไว้เมื่อวันที่ 29 มิถุนายน 2008 ที่Wayback Machine