การครอบงำความเสี่ยงและการครอบงำผลตอบแทนเป็นแนวคิดที่เกี่ยวข้องกันสองประการของการแก้ปัญหาสมดุลแนช (Nash equilibrium : NE) ในทฤษฎีเกมซึ่งกำหนดโดยJohn HarsanyiและReinhard Seltenสมดุลแนชถือว่ามีการครอบงำผลตอบแทนหากมันเหนือกว่าสมดุลแนชอื่นๆ ทั้งหมดในเกมในเชิงพาเรโต¹เมื่อเผชิญกับทางเลือกมากมายระหว่างสมดุลต่างๆ ผู้เล่นทุกคนจะเห็นด้วยกับสมดุลที่มีการครอบงำผลตอบแทน เนื่องจากมันให้ผลตอบแทนแก่ผู้เล่นแต่ละคนอย่างน้อยเท่ากับสมดุลแนชอื่นๆ ในทางกลับกัน สมดุลแนชถือว่ามีการครอบงำความเสี่ยงหากมีขอบเขตการดึงดูด ที่ใหญ่ที่สุด (กล่าวคือมีความเสี่ยงน้อยกว่า) ซึ่งหมายความว่ายิ่งผู้เล่นมีความไม่แน่นอนเกี่ยวกับการกระทำของผู้เล่นคนอื่นๆ มากเท่าใด พวกเขาก็ยิ่งมีแนวโน้มที่จะเลือกกลยุทธ์ที่สอดคล้องกับความไม่แน่นอนนั้นมากขึ้นเท่านั้น

เมทริกซ์ผลตอบแทนในรูปที่ 1 แสดงตัวอย่างง่ายๆ ของเกมที่มีผู้เล่นสองคนและกลยุทธ์สองแบบ โดยมีสมดุลแนชบริสุทธิ์สองแบบ กลยุทธ์คู่ (ล่าสัตว์,  ล่าสัตว์) มีผลตอบแทนที่เหนือกว่า เนื่องจากผลตอบแทนสูงกว่าสำหรับผู้เล่นทั้งสองเมื่อเทียบกับสมดุลแนชบริสุทธิ์อีกแบบหนึ่ง (เก็บเกี่ยว, เก็บเกี่ยว) ในทางกลับกัน ความเสี่ยงของ (เก็บเกี่ยว, เก็บเกี่ยว) เหนือกว่า (ล่าสัตว์,  ล่าสัตว์) เนื่องจากหากมีความไม่แน่นอนเกี่ยวกับการกระทำของผู้เล่นคนอื่น การเก็บเกี่ยวจะให้ผลตอบแทนที่คาดหวังสูงกว่า เกมในรูปที่ 1 เป็นภาวะกลืนไม่เข้าคายไม่ออกทางทฤษฎีเกมที่รู้จักกันดี เรียกว่าการล่ากวางเหตุผลเบื้องหลังคือ การกระทำร่วมกัน (การล่าสัตว์) ให้ผลตอบแทนสูงกว่าหากผู้เล่นทุกคนรวมทักษะของตนเข้าด้วยกัน แต่หากไม่ทราบว่าผู้เล่นคนอื่นจะช่วยล่าสัตว์หรือไม่ การเก็บเกี่ยวอาจกลายเป็นกลยุทธ์ส่วนบุคคลที่ดีกว่าสำหรับการจัดหาอาหาร เนื่องจากไม่ขึ้นอยู่กับการประสานงานกับผู้เล่นคนอื่น นอกจากนี้ การเก็บเกี่ยวเพียงลำพังยังเป็นที่ต้องการมากกว่าการเก็บเกี่ยวโดยแข่งขันกับผู้อื่น เช่นเดียวกับปัญหาของนักโทษ (Prisoner's dilemma ) มันเป็นเหตุผลว่าทำไมการกระทำร่วมกันอาจล้มเหลวหากขาด ความมุ่งมั่นที่ น่าเชื่อถือ

เกมที่แสดงในรูปที่ 2 เป็นเกมการประสานงานหากความไม่เท่าเทียมกันของผลตอบแทนต่อไปนี้เป็นจริงสำหรับผู้เล่นที่ 1 (แถว): A > B, D > C และสำหรับผู้เล่นที่ 2 (คอลัมน์): a > b, d > c คู่กลยุทธ์ (H,  H) และ (G,  G) จึงเป็น สมดุลแนช บริสุทธิ์ เพียงคู่เดียว นอกจากนี้ยังมี สมดุลแนช แบบผสมที่ผู้เล่นที่ 1 เล่น H ด้วยความน่าจะเป็น p = (dc)/(ab-c+d) และ G ด้วยความน่าจะเป็น 1–p; ผู้เล่นที่ 2 เล่น H ด้วยความน่าจะเป็น q = (DC)/(AB-C+D) และ G ด้วยความน่าจะเป็น 1–q

ผลตอบแทน ของคู่กลยุทธ์ (H,  H) เหนือกว่า (G,  G) ถ้า A  ≥  D, a  ≥  d และอย่างน้อยหนึ่งในสองเงื่อนไขนี้เป็นอสมการที่เข้มงวด: A  >  D หรือ a  >  d

คู่กลยุทธ์ (G,  G) มีความเสี่ยงเหนือกว่า (H,  H) หากผลคูณของการสูญเสียจากการเบี่ยงเบนสูงกว่าสำหรับ (G,  G) (Harsanyi และ Selten, 1988, Lemma 5.4.4) กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ หากอสมการต่อไปนี้เป็นจริง: (C – D)(c – d)≥(B – A)(b – a)หากอสมการเป็นแบบเข้มงวด (strict) แล้ว (G, G) จะมีความเสี่ยงเหนือกว่า (H, H)  อย่างเคร่งครัด² (นั่นคือ ผู้เล่นมีแรงจูงใจที่จะเบี่ยงเบนมากกว่า) 

ถ้าเกมมีความสมมาตร กล่าวคือ A  =  a, B  =  b เป็นต้น อสมการนี้จะตีความได้ง่าย: เราสมมติว่าผู้เล่นไม่แน่ใจว่าฝ่ายตรงข้ามจะเลือกกลยุทธ์ใด และกำหนดความน่าจะเป็นสำหรับแต่ละกลยุทธ์ ถ้าผู้เล่นแต่ละคนกำหนดความน่าจะเป็น ½ ให้กับ H และ G เท่ากันแล้ว ความเสี่ยงของ (G, G) จะมากกว่า (H,  H) ถ้าผลตอบแทนที่คาดหวังจากการเล่น G มากกว่าผลตอบแทนที่คาดหวังจากการเล่น H: ½ B + ½ D ≥ ½ A + ½ Cหรือเพียงแค่B + D ≥ A + C

อีกวิธีหนึ่งในการคำนวณสมดุลที่มีความเสี่ยงเหนือกว่าคือการคำนวณปัจจัยเสี่ยงสำหรับสมดุลทั้งหมด แล้วหาสมดุลที่มีปัจจัยเสี่ยงน้อยที่สุด ในการคำนวณปัจจัยเสี่ยงในเกม 2x2 ของเรา ให้พิจารณาผลตอบแทนที่คาดหวังของผู้เล่นหากพวกเขาเลือกเล่น H:${\displaystyle E[\pi _{H}]=pA+(1-p)C}$(โดยที่pคือความน่าจะเป็นที่ผู้เล่นอีกคนจะเล่น H) และเปรียบเทียบกับผลตอบแทนที่คาดหวังหากพวกเขาเล่น G:${\displaystyle E[\pi _{G}]=pB+(1-p)D}$ค่าของpที่ทำให้ค่าที่คาดหวังทั้งสองเท่ากันคือปัจจัยเสี่ยงสำหรับสมดุล (H,  H) โดยที่${\displaystyle 1-p}$ปัจจัยเสี่ยงสำหรับการเล่น (G,  G) คุณยังสามารถคำนวณปัจจัยเสี่ยงสำหรับการเล่น (G,  G) ได้โดยใช้การคำนวณแบบเดียวกัน แต่กำหนดให้pเป็นความน่าจะเป็นที่ผู้เล่นอีกฝ่ายจะเล่น G การตีความpคือ เป็นความน่าจะเป็นน้อยที่สุดที่ฝ่ายตรงข้ามจะต้องเล่นกลยุทธ์นั้น เพื่อให้ผลตอบแทนของบุคคลนั้นจากการคัดลอกกลยุทธ์ของฝ่ายตรงข้ามมากกว่าหากเล่นกลยุทธ์อื่น

แนวทางการวิวัฒนาการหลายวิธีได้แสดงให้เห็นว่า เมื่อเล่นในประชากรขนาดใหญ่ ผู้เล่นอาจไม่สามารถใช้กลยุทธ์สมดุลที่ให้ผลตอบแทนสูงสุดได้ และอาจลงเอยด้วยกลยุทธ์สมดุลที่ผลตอบแทนต่ำกว่าแต่มีความเสี่ยงสูงกว่าแทน แบบจำลองวิวัฒนาการสองแบบต่างสนับสนุนแนวคิดที่ว่า สมดุลที่มีความเสี่ยงสูงกว่ามีโอกาสเกิดขึ้นมากกว่า แบบจำลองแรกซึ่งอิงตามพลวัต การจำลองแบบ (replicator dynamics ) ทำนายว่าประชากรมีแนวโน้มที่จะใช้สมดุลที่มีความเสี่ยงสูงกว่าสมดุลที่ให้ผลตอบแทนสูงสุดมากกว่า แบบจำลองที่สองซึ่งอิงตามการปรับปรุงและการกลายพันธุ์ของกลยุทธ์การตอบสนองที่ดีที่สุด (best response strategy revision and mutation ) ทำนายว่าสถานะที่มีความเสี่ยงสูงกว่าเป็นสมดุลเดียวที่มีเสถียรภาพเชิงสุ่มแบบจำลองทั้งสองสมมติว่ามีการเล่นเกมสองผู้เล่นหลายเกมในประชากรที่มีผู้เล่น N คน ผู้เล่นจะถูกจับคู่กับคู่ต่อสู้แบบสุ่ม โดยผู้เล่นแต่ละคนมีโอกาสเท่ากันที่จะได้ผู้เล่นคนอื่น ๆ อีก N − 1 คน ผู้เล่นเริ่มต้นด้วยกลยุทธ์บริสุทธิ์ G หรือ H และใช้กลยุทธ์นี้กับคู่ต่อสู้ของตน ในพลวัตการจำลองแบบ เกมประชากรจะถูกทำซ้ำในรุ่นต่อๆ ไป โดยที่ประชากรย่อยจะเปลี่ยนแปลงไปตามความสำเร็จของกลยุทธ์ที่เลือกไว้ ในการตอบสนองที่ดีที่สุด ผู้เล่นจะปรับปรุงกลยุทธ์ของตนเพื่อปรับปรุงผลตอบแทนที่คาดหวังในรุ่นต่อๆ ไป การรับรู้ของ Kandori, Mailath & Rob (1993) และ Young (1993) คือ หากกฎในการปรับปรุงกลยุทธ์อนุญาตให้มีการกลายพันธุ์⁴และความน่าจะเป็นของการกลายพันธุ์หายไป กล่าวคือเข้าใกล้ศูนย์เมื่อเวลาผ่านไป ความน่าจะเป็นที่สมดุลที่มีความเสี่ยงเหนือกว่าจะเข้าใกล้หนึ่ง แม้ว่าจะเป็นสมดุลที่ผลตอบแทนเหนือกว่าก็ตาม³อย่างไรก็ตาม หากผู้เล่นใช้กฎที่อิงกับการเลียนแบบเพื่อปรับปรุงกลยุทธ์ของตน โปรไฟล์ที่ผลตอบแทนเหนือกว่าอาจเกิดขึ้นได้เมื่ออัตราความผิดพลาดเข้าใกล้ศูนย์ (ดูเช่น Robson และ Vega-Redondo 1996 หรือ Alós-Ferrer และ Weidenholzer 2008)

• ^1สมดุลแนชเพียงจุดเดียวจะให้ผลตอบแทนและความเสี่ยงที่เหนือกว่าอย่างเห็นได้ชัด หากเป็นจุดสมดุลแนชเพียงจุดเดียวในเกม
• ^2ความแตกต่างที่คล้ายกันระหว่างแบบเข้มงวดและแบบอ่อนมีอยู่สำหรับคำจำกัดความส่วนใหญ่ในที่นี้ แต่จะไม่ระบุไว้อย่างชัดเจนเว้นแต่จำเป็น
• ^3 Harsanyi และ Selten (1988) เสนอว่าสมดุลที่ให้ผลตอบแทนสูงสุดคือทางเลือกที่สมเหตุสมผลในเกมล่ากวาง อย่างไรก็ตาม Harsanyi (1995) ได้ถอนข้อสรุปนี้และใช้การครอบงำความเสี่ยงเป็นเกณฑ์การเลือกที่เกี่ยวข้อง