โทโพโลยี Sallen –Keyเป็นโทโพโลยีตัวกรองอิเล็กทรอนิกส์ที่ใช้ในการสร้างตัวกรองแอคทีฟลำดับที่สอง ซึ่งได้รับการยกย่องเป็นพิเศษในด้านความเรียบง่าย^{[ 1 ]}เป็นรูปแบบเสื่อมสภาพ ของ โทโพโลยีตัวกรองแหล่งจ่ายแรงดันควบคุมแรงดัน ( VCVS ) ซึ่งได้รับการแนะนำโดยRP SallenและEL KeyจากMIT Lincoln Laboratoryในปี 1955 ^{[ 2 ]}

ตัวกรอง VCVS ใช้ตัวขยายแรงดันที่มีอิมพีแดนซ์อินพุต แทบเป็น อนันต์และอิมพีแดนซ์เอาต์พุตเป็น ศูนย์ เพื่อสร้างการตอบสนอง แบบโลว์ พาสไฮพาส แบนด์ พาสแบนด์สต็อปหรือออลพาสแบบ 2 ขั้ว ตัวกรอง VCVS ช่วยให้ได้ ค่า Q แฟคเตอร์สูงและ อัตราขยายในย่าน ความถี่ผ่านโดยไม่ต้องใช้ตัวเหนี่ยวนำตัวกรอง VCVS ยังมีข้อดีคือความเป็นอิสระ: ตัวกรอง VCVS สามารถต่ออนุกรมกันได้โดยที่แต่ละขั้นไม่ส่งผลกระทบต่อการปรับจูนของกันและกัน ตัวกรอง Sallen–Key เป็นรูปแบบหนึ่งของตัวกรอง VCVS ที่ใช้ ตัวขยาย อัตราขยายหนึ่งเท่า (เช่นตัวขยายบัฟเฟอร์ )

ในปี ค.ศ. 1955 ซัลเลนและคีย์ใช้ แอมพลิฟายเออร์ แบบแคโทดฟอลโลเวอร์ที่ ใช้ หลอดสุญญากาศ ซึ่งแคโทดฟอลโลเวอร์เป็นค่าประมาณที่เหมาะสมสำหรับแอมพลิฟายเออร์ที่มีอัตราขยายแรงดันเท่ากับหนึ่ง การใช้งานตัวกรองอนาล็อกสมัยใหม่อาจใช้แอมพลิฟายเออร์ปฏิบัติการ (เรียกอีกอย่างว่าop amp ) เนื่องจากมีอิมพีแดนซ์อินพุตสูงและอัตราขยายที่เลือกได้ง่าย แอมพลิฟายเออร์ปฏิบัติการในรูปแบบไม่กลับเฟส แบบดั้งเดิม จึงมักถูกใช้ในการใช้งาน VCVS การใช้งานตัวกรองของซัลเลน-คีย์มักใช้ op amp ที่กำหนดค่าเป็นโวลเทจฟอลโลเวอร์อย่างไรก็ตามอีมิเตอร์หรือซอร์สฟอลโลเวอร์ก็เป็นตัวเลือกทั่วไปอื่นๆ สำหรับแอมพลิฟายเออร์บัฟเฟอร์

ตัวกรอง VCVS มีความทนทานต่อความคลาดเคลื่อน ของส่วนประกอบค่อนข้าง สูง แต่การได้ค่า Q แฟคเตอร์สูงอาจต้องใช้ค่าส่วนประกอบที่หลากหลายมากหรืออัตราขยายของแอมพลิฟายเออร์สูง^{[ 1 ]}สามารถสร้างตัวกรองลำดับสูงกว่าได้โดยการต่ออนุกรมสองขั้นตอนขึ้นไป

วงจรกรอง Sallen–Key ที่มีอัตราขยายเท่ากับหนึ่ง ซึ่งสร้างขึ้นโดยใช้ตัวขยายสัญญาณปฏิบัติการที่มีอัตราขยายเท่ากับหนึ่ง แสดงอยู่ในรูปที่ 1 การวิเคราะห์ต่อไปนี้อยู่บนพื้นฐานของสมมติฐานว่าตัวขยายสัญญาณปฏิบัติการเป็นแบบในอุดมคติ

เนื่องจากออปแอมป์อยู่ใน วงจร ป้อนกลับเชิงลบอินพุตของมันจึงต้องตรงกัน (เช่น) อย่างไรก็ตาม อินพุตแบบกลับเฟสเชื่อมต่อโดยตรงกับเอาต์พุตดังนั้น ${\displaystyle v_{+}}$${\displaystyle v_{-}}$${\displaystyle v_{+}=v_{-}}$${\displaystyle v_{-}}$${\displaystyle v_{\text{out}}}$

${\displaystyle v_{+}=v_{-}=v_{\text{out}}.}$

1

โดย ใช้ กฎกระแสของเคิร์ชฮอฟฟ์ (KCL) ที่จุดต่อ ${\displaystyle v_{x}}$

${\displaystyle {\frac {v_{\text{in}}-v_{x}}{Z_{1}}}={\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{3}}}+{\frac {v_{x}-v_{-}}{Z_{2}}}.}$

2

โดยการรวมสมการ (1) และ (2) เข้าด้วยกัน

${\displaystyle {\frac {v_{\text{in}}-v_{x}}{Z_{1}}}={\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{3}}}+{\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{2}}}.}$

การใช้สมการ (1) และ KCL ที่อินพุตแบบไม่กลับเฟสของออปแอมป์จะให้ผลลัพธ์ดังนี้ ${\displaystyle v_{+}}$

${\displaystyle {\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{2}}}={\frac {v_{\text{out}}}{Z_{4}}},}$

ซึ่งหมายความว่า

${\displaystyle v_{x}=v_{\text{out}}\left({\frac {Z_{2}}{Z_{4}}}+1\right).}$

3

เมื่อรวมสมการ (2) และ (3) เข้าด้วยกันจะได้

${\displaystyle {\frac {v_{\text{in}}-v_{\text{out}}\left({\frac {Z_{2}}{Z_{4}}}+1\right)}{Z_{1}}}={\frac {v_{\text{out}}\left({\frac {Z_{2}}{Z_{4}}}+1\right)-v_{\text{out}}}{Z_{3}}}+{\frac {v_{\text{out}}\left({\frac {Z_{2}}{Z_{4}}}+1\right)-v_{\text{out}}}{Z_{2}}}.}$

4

การจัดเรียงสมการ (4) ใหม่จะให้ฟังก์ชันถ่ายโอน

${\displaystyle {\frac {v_{\text{out}}}{v_{\text{in}}}}={\frac {Z_{3}Z_{4}}{Z_{1}Z_{2}+Z_{3}(Z_{1}+Z_{2})+Z_{3}Z_{4}}},}$

5

ซึ่งโดยทั่วไปจะอธิบายถึงระบบ เชิง เส้นคงที่ตามเวลา (LTI)อันดับสอง

ถ้าหากส่วนประกอบนั้นต่อลงกราวด์แทนที่จะต่อกับอินพุตตัวกรองจะเป็นตัวแบ่งแรงดันที่ประกอบด้วย ส่วนประกอบ และต่ออนุกรมกับตัวแบ่งแรงดันอีกตัวที่ประกอบด้วย ส่วนประกอบ และแอมพลิฟายเออร์บัฟเฟอร์จะต่อสัญญาณ "ล่าง" ของส่วนประกอบไปยังเอาต์พุตของตัวกรอง ซึ่งจะช่วยปรับปรุงประสิทธิภาพให้ดีขึ้นกว่ากรณีตัวแบ่งแรงดันสองตัวแบบง่ายๆ การตีความนี้เป็นเหตุผลว่าทำไมตัวกรอง Sallen–Key จึงมักถูกวาดโดยให้สัญญาณอินพุตแบบไม่กลับเฟสของออปแอมป์อยู่ด้านล่างสัญญาณอินพุตแบบกลับเฟส เพื่อเน้นความคล้ายคลึงกันระหว่างเอาต์พุตและกราวด์ ${\displaystyle Z_{3}}$${\displaystyle v_{\text{out}}}$${\displaystyle Z_{1}}$${\displaystyle Z_{3}}$${\displaystyle Z_{2}}$${\displaystyle Z_{4}}$${\displaystyle Z_{3}}$

โดยการเลือกใช้ส่วนประกอบแบบพาสซีฟ ที่แตกต่างกัน (เช่นตัวต้านทานและตัวเก็บประจุ ) สำหรับ, , , และตัวกรองสามารถมี คุณสมบัติ แบบโลว์พาส แบนด์พาสและไฮพาสได้ ในตัวอย่างด้านล่าง โปรดจำไว้ว่าตัวต้านทานที่มีความต้านทานจะมีอิมพีแดนซ์เท่ากับ ${\displaystyle Z_{1}}$${\displaystyle Z_{2}}$${\displaystyle Z_{4}}$${\displaystyle Z_{3}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle Z_{R}}$

${\displaystyle Z_{R}=R,}$

และตัวเก็บประจุที่มีค่าความจุ จะมีค่าความต้านทาน ${\displaystyle C}$${\displaystyle Z_{C}}$

${\displaystyle Z_{C}={\frac {1}{sC}},}$

โดยที่(ในที่นี้หมายถึงหน่วยจินตภาพ ) คือความถี่เชิงมุมเชิงซ้อนและคือความถี่ของ สัญญาณ ไซน์บริสุทธิ์ที่ป้อนเข้ามา กล่าวคือ อิมพีแดนซ์ของตัวเก็บประจุขึ้นอยู่กับความถี่ ในขณะที่อิมพีแดนซ์ของตัวต้านทานไม่ขึ้นอยู่กับความถี่ ${\displaystyle s=j\โอเมก้า =2\pi เจเอฟ}$${\displaystyle j}$${\displaystyle f}$

ตัวอย่างวงจรกรองความถี่ต่ำแบบอัตราขยายหนึ่งเท่าแสดงในรูปที่ 2 ในวงจรนี้ใช้ตัวขยายสัญญาณปฏิบัติการ (operational amplifier) ​​เป็นบัฟเฟอร์ แม้ว่าตัวตามตัวส่งสัญญาณ (emitter follower ) ก็มีประสิทธิภาพเช่นกัน วงจรนี้เทียบเท่ากับกรณีทั่วไปข้างต้นที่มี

${\displaystyle Z_{1}=R_{1},\quad Z_{2}=R_{2},\quad Z_{3}={\frac {1}{sC_{1}}},\quad Z_{4}={\frac {1}{sC_{2}}}.}$

ฟังก์ชันถ่ายโอนสำหรับตัวกรองความถี่ต่ำแบบเกนหนึ่งเท่าลำดับที่สองนี้คือ

${\displaystyle H(s)={\frac {\omega _{0}^{2}}{s^{2}+2\alpha s+\omega _{0}^{2}}},}$

โดยที่ความถี่ธรรมชาติ ที่ ไม่ลด ทอน การลดทอนค่า Q และอัตราส่วนการหน่วงจะกำหนดโดย ${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}={\frac {1}{\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}}}$

และ

${\displaystyle 2\alpha =2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}={\frac {1}{C_{1}}}\left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)={\frac {1}{C_{1}}}\left({\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}}}\right).}$

ดังนั้น,

${\displaystyle Q={\frac {\omega _{0}}{2\alpha }}={\frac {\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}{C_{2}\left(R_{1}+R_{2}\right)}}.}$

ปัจจัย นี้เป็นตัวกำหนดความสูงและความกว้างของจุดสูงสุดของกราฟการตอบสนองความถี่ของตัวกรอง เมื่อค่าพารามิเตอร์นี้เพิ่มขึ้น ตัวกรองจะ cenderung "สั่น" ที่ความถี่เรโซแนนซ์ เดียว ใกล้เคียง(ดู " ตัวกรอง LC " สำหรับการอธิบายที่เกี่ยวข้อง) ${\displaystyle Q}$${\displaystyle f_{0}}$

ฟังก์ชันถ่ายโอนนี้ไม่มีศูนย์ (จำกัด) และมีขั้วสองขั้ว ที่อยู่ใน ระนาบเชิงซ้อนs :

${\displaystyle s=-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}}}.}$

มีค่าเป็นศูนย์สองค่าที่อนันต์ (ฟังก์ชันถ่ายโอนมีค่าเป็นศูนย์สำหรับแต่ละพจน์ในตัวส่วน) ${\displaystyle s}$

นักออกแบบต้องเลือกค่า α และ β ให้เหมาะสมกับการใช้งานค่า α มีความสำคัญอย่างยิ่งในการกำหนดรูปร่างสุดท้าย ตัวอย่างเช่นตัวกรอง Butterworth อันดับสอง ซึ่งมีการตอบสนองความถี่ผ่านแบนราบที่สุด จะมีค่า α เท่ากับ 1 ในทางกลับกัน ค่า α เท่ากับ 1 จะสอดคล้องกับการต่ออนุกรมของตัวกรองความถี่ต่ำแบบง่ายสองตัวที่เหมือนกัน ${\displaystyle Q}$${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle Q=1/2}$

เนื่องจากมีพารามิเตอร์ 2 ตัวและตัวแปรที่ไม่ทราบค่า 4 ตัว ขั้นตอนการออกแบบจึงมักกำหนดอัตราส่วนระหว่างตัวต้านทานทั้งสองตัว รวมถึงอัตราส่วนระหว่างตัวเก็บประจุด้วย วิธีหนึ่งที่เป็นไปได้คือการกำหนดอัตราส่วนระหว่างและเป็นเทียบกับและอัตราส่วนระหว่างและเป็นเทียบกับดังนั้น ${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1/n}$${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle R_{2}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle 1/m}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}&=mR,\\R_{2}&=R/m,\\C_{1}&=nC,\\C_{2}&=C/n.\end{aligned}}}$

ดังนั้น นิพจน์ และจึงลดลงเหลือ ${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}={\frac {1}{RC}}}$

และ

${\displaystyle Q={\frac {mn}{m^{2}+1}}.}$

เริ่มต้นด้วยการเลือกค่า eg และที่ค่อนข้างเป็นไปตามอำเภอใจค่าที่เหมาะสมสำหรับและสามารถคำนวณได้เพื่อให้ได้ค่าและ ที่ต้องการ ในทางปฏิบัติ การเลือกค่าส่วนประกอบบางอย่างจะให้ผลลัพธ์ที่ดีกว่าการเลือกค่าอื่นๆ เนื่องจากความไม่สมบูรณ์แบบของตัวขยายสัญญาณปฏิบัติการจริง^{[ 3 ]}ตัวอย่างเช่น ค่าตัวต้านทานสูงจะเพิ่มการสร้างสัญญาณรบกวนของวงจร ในขณะเดียวกันก็มีส่วนทำให้เกิด แรงดัน ออฟเซ็ต DCที่เอาต์พุตของตัวขยายสัญญาณปฏิบัติการที่ติดตั้งทรานซิสเตอร์อินพุตแบบไบโพลาร์ ${\displaystyle C}$${\displaystyle n}$${\displaystyle R}$${\displaystyle m}$${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle Q}$

ตัวอย่างเช่น วงจรในรูปที่ 3 มีและฟังก์ชันถ่ายโอนกำหนดโดย ${\displaystyle f_{0}=15.9~{\text{kHz}}}$${\displaystyle Q=0.5}$

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{1+\underbrace {C_{2}(R_{1}+R_{2})} _{{\frac {2\zeta }{\omega _{0}}}={\frac {1}{\omega _{0}Q}}}s+\underbrace {C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}} _{\frac {1}{\omega _{0}^{2}}}s^{2}}},}$

และหลังจากแทนค่าแล้ว นิพจน์นี้จะเท่ากับ

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{1+\underbrace {\frac {RC(m+1/m)}{n}} _{{\frac {2\zeta }{\omega _{0}}}={\frac {1}{\omega _{0}Q}}}s+\underbrace {R^{2}C^{2}} _{\frac {1}{{\omega _{0}}^{2}}}s^{2}}},}$

ซึ่งแสดงให้เห็นว่าการผสมผสาน แต่ละแบบ จะส่งผลให้เกิดการผสมผสานแบบเดียวกันและสำหรับตัวกรองความถี่ต่ำนั้นก็ใช้วิธีการออกแบบที่คล้ายกันสำหรับตัวกรองอื่นๆ ด้านล่าง ${\displaystyle (R,C)}$${\displaystyle (m,n)}$${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle Q}$

อิมพีแดนซ์อินพุตของตัวกรองความถี่ต่ำ Sallen–Key อันดับสองที่มีอัตราขยายหนึ่งเท่าก็เป็นสิ่งที่นักออกแบบสนใจเช่นกัน โดยกำหนดโดยสมการ (3) ใน Cartwright และ Kaminsky ^{[ 4 ]}ดังนี้

${\displaystyle Z(s)=R_{1}{\frac {s'^{2}+s'/Q+1}{s'^{2}+s'k/Q}},}$

ที่ไหนและ. ${\displaystyle s'={\frac {s}{\omega _{0}}}}$${\displaystyle k={\frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}}={\frac {m}{m+1/m}}}$

นอกจากนี้ สำหรับมีค่าต่ำสุดของขนาดของอิมพีแดนซ์ที่กำหนดโดยสมการ (16) ของ Cartwright และ Kaminsky ^{[ 4 ]}ซึ่งระบุว่า ${\displaystyle Q>{\sqrt {\frac {1-k^{2}}{2}}}}$

${\displaystyle |Z(s)|_{\text{min}}=R_{1}{\sqrt {1-{\frac {(2Q^{2}+k^{2}-1)^{2}}{2Q^{4}+k^{2}(2Q^{2}+k^{2}-1)^{2}+2Q^{2}{\sqrt {Q^{4}+k^{2}(2Q^{2}+k^{2}-1)}}}}}}.}$

โชคดีที่สมการนี้ได้รับการประมาณค่าอย่างดีโดย^{[ 4 ​​]}

${\displaystyle |Z(s)|_{\text{min}}\approx R_{1}{\sqrt {\frac {1}{Q^{2}+k^{2}+0.34}}}}$

สำหรับค่าที่อยู่นอกช่วงนี้ ค่าคงที่ 0.34 จะต้องถูกปรับเปลี่ยนเพื่อให้เกิดข้อผิดพลาดน้อย ที่สุด${\displaystyle 0.25\leq k\leq 0.75}$${\displaystyle k}$

นอกจากนี้ ความถี่ที่ขนาดอิมพีแดนซ์ต่ำสุดเกิดขึ้นจะได้รับจากสมการ (15) ของ Cartwright และ Kaminsky ^{[ 4 ]}กล่าวคือ

${\displaystyle \omega _{\text{min}}=\omega _{0}{\sqrt {\frac {Q^{2}+{\sqrt {Q^{4}+k^{2}(2Q^{2}+k^{2}-1)}}}{2Q^{2}+k^{2}-1}}}.}$

สมการนี้ยังสามารถประมาณค่าได้ดีโดยใช้สมการ (20) ของ Cartwright และ Kaminsky ^{[ 4 ]}ซึ่งระบุว่า

${\displaystyle \omega _{\text{min}}\approx \omega _{0}{\sqrt {\frac {2Q^{2}}{2Q^{2}+k^{2}-1}}}.}$

ตัวกรองความถี่สูงแบบเกนหนึ่งเท่าลำดับที่สองที่มีและแสดงอยู่ในรูปที่ 4 ${\displaystyle f_{0}=72~{\text{Hz}}}$${\displaystyle Q=0.5}$

ตัวกรองความถี่สูงแบบอันดับสองที่มีอัตราขยายเท่ากับหนึ่ง มีฟังก์ชันถ่ายโอนดังนี้

${\displaystyle H(s)={\frac {s^{2}}{s^{2}+\underbrace {2\pi \left({\frac {f_{0}}{Q}}\right)} _{2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}}s+\underbrace {(2\pi f_{0})^{2}} _{\omega _{0}^{2}}}},}$

โดยที่ความถี่ธรรมชาติที่ไม่ลดทอนและตัวประกอบได้กล่าวถึงไปแล้วข้างต้นใน ส่วนการอธิบาย ตัวกรองความถี่ต่ำวงจรข้างต้นใช้ฟังก์ชันถ่ายโอนนี้โดยใช้สมการ ${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}={\frac {1}{\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}}}$

(เช่นเดิม) และ

${\displaystyle {\frac {1}{2\zeta }}=Q={\frac {\omega _{0}}{2\alpha }}={\frac {\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}{R_{1}(C_{1}+C_{2})}}.}$

ดังนั้น

${\displaystyle 2\alpha =2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}={\frac {C_{1}+C_{2}}{R_{2}C_{1}C_{2}}}.}$

ใช้วิธีการที่คล้ายคลึงกับวิธีการออกแบบตัวกรองความถี่ต่ำข้างต้น

ตัวอย่างของตัวกรองผ่านย่านความถี่ที่ มีอัตราขยายไม่เท่ากับหนึ่ง ซึ่งสร้างขึ้นโดยใช้ตัวกรอง VCVS แสดงในรูปที่ 5 แม้ว่าจะใช้โครงสร้างที่แตกต่างกันและตัวขยายสัญญาณปฏิบัติการที่กำหนดค่าให้มีอัตราขยายไม่เท่ากับหนึ่ง แต่ก็สามารถวิเคราะห์ได้โดยใช้วิธีการที่คล้ายคลึงกันกับโครงสร้าง Sallen–Key ทั่วไปฟังก์ชันถ่ายโอนของมันกำหนดโดย

${\displaystyle H(s)={\frac {\overbrace {\left(1+{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}}}\right)} ^{G}{\frac {s}{R_{1}C_{1}}}}{s^{2}+\underbrace {\left({\frac {1}{R_{1}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{2}}}-{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}R_{\text{f}}C_{1}}}\right)} _{2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}}s+\underbrace {\frac {R_{1}+R_{\text{f}}}{R_{1}R_{\text{f}}R_{2}C_{1}C_{2}}} _{{\omega _{0}}^{2}=(2\pi f_{0})^{2}}}}.}$

ความถี่ศูนย์กลาง (กล่าวคือ ความถี่ที่การตอบสนองขนาดมีค่าสูงสุด ) กำหนดโดย ${\displaystyle f_{0}}$

${\displaystyle f_{0}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {R_{\text{f}}+R_{1}}{C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}R_{\text{f}}}}}.}$

ค่า Q ถูกกำหนดโดย ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Q&={\frac {\omega _{0}}{2\zeta \omega _{0}}}={\frac {\omega _{0}}{\omega _{0}/Q}}\\[10pt]&={\frac {\sqrt {\frac {R_{1}+R_{\text{f}}}{R_{1}R_{\text{f}}R_{2}C_{1}C_{2}}}}{{\frac {1}{R_{1}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{2}}}-{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}R_{\text{f}}C_{1}}}}}\\[10pt]&={\frac {\sqrt {(R_{1}+R_{\text{f}})R_{1}R_{\text{f}}R_{2}C_{1}C_{2}}}{R_{1}R_{\text{f}}(C_{1}+C_{2})+R_{2}C_{2}\left(R_{\text{f}}-{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}}}R_{1}\right)}}.\end{aligned}}}$

วงจรแบ่งแรงดันในวงจรป้อนกลับเชิงลบจะควบคุม "อัตราขยายภายใน" ของตัวขยายสัญญาณปฏิบัติการ (op amp): ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G=1+{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}}}.}$

ถ้าอัตราขยายภายในสูงเกินไป ตัวกรองจะเกิดการสั่น ${\displaystyle G}$

• การออกแบบตัวกรอง
• โทโพโลยีตัวกรองอิเล็กทรอนิกส์
• ออสซิเลเตอร์ฮาร์มอนิก
• เสียงก้อง

• รายงานการประยุกต์ใช้งานของ Texas Instruments: การวิเคราะห์สถาปัตยกรรม Sallen–Key
• เครื่องมือออกแบบฟิลเตอร์ของ Analog Devices  – เครื่องมือออนไลน์ที่ใช้งานง่ายสำหรับการออกแบบฟิลเตอร์แบบแอคทีฟโดยใช้ออปแอมป์แบบป้อนกลับแรงดันไฟฟ้า
• คำถามที่พบบ่อยเกี่ยวกับการออกแบบตัวกรองแอคทีฟของ TI
• วงจรขยายสัญญาณแบบออปแอมป์สำหรับทุกคน – บทที่ 16
• การปรับเปลี่ยนความถี่สูงของตัวกรอง Sallen-Key - การปรับปรุงระดับการลดทอนในแถบหยุด
• เครื่องมือคำนวณออนไลน์สำหรับตัวกรองความถี่ต่ำ/ความถี่สูงแบบ Sallen–Key
• เครื่องมือคำนวณออนไลน์สำหรับการออกแบบและวิเคราะห์ตัวกรอง
• ECE 327: ขั้นตอนการกรองสัญญาณเอาต์พุต (เอกสารปฏิบัติการที่เก็บถาวรเมื่อวันที่ 24 กันยายน 2015 ในWayback Machine)  – ส่วนที่ 3 ("ตัวกรองความถี่ต่ำแบบเรียบ") กล่าวถึงการกรองแบบแอคทีฟด้วยตัวกรองความถี่ต่ำแบบ Sallen–Key Butterworth
• หลักการกรองสัญญาณเบื้องต้น: ตัวกรองหลายขั้วด้วยวงจร Sallen-Key Matt Duff จาก Analog Devices อธิบายวิธีการทำงานของวงจร Sallen Key