เซตย่อย${\displaystyle S}$ของ${\displaystyle (X,\tau )}$กล่าวกันว่าเปิดตามลำดับใน${\displaystyle (X,\tau )}$ถ้าเมื่อใดก็ตามที่ลำดับใน${\displaystyle X}$ลู่เข้า (ใน${\displaystyle (X,\tau )}$) ไปยังจุดใดจุดหนึ่งที่เป็นของ${\displaystyle S,}$ดังนั้นลำดับนั้นจึงจำเป็นต้องเกิดขึ้นในที่สุด${\displaystyle S}$(กล่าวคือ มีจุดในลำดับที่ไม่เป็นสมาชิกอยู่ไม่เกินจำนวนจำกัด)${\displaystyle S}$). ชุด${\displaystyle \operatorname {SeqOpen} (X,\tau )}$ของเซตย่อยที่เปิดตามลำดับทั้งหมดของ${\displaystyle (X,\tau )}$สร้างโทโพโลยีบน${\displaystyle X}$ละเอียดกว่า${\displaystyle X}$โทโพโลยีที่กำหนด${\displaystyle \tau .}$ ตามนิยามแล้ว${\displaystyle (X,\tau )}$เรียกว่าปริภูมิแบบลำดับถ้า${\displaystyle \tau =\operatorname {SeqOpen} (X,\tau ).}$ กำหนดลำดับ${\displaystyle x_{\bullet }}$ใน${\displaystyle X}$และจุดหนึ่ง${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ใน${\displaystyle (X,\tau )}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ใน${\displaystyle (X,\operatorname {SeqOpen} (X,\tau )).}$นอกจากนี้,${\displaystyle \operatorname {SeqOpen} (X,\tau )}$เป็น โทโพโลยี ที่ดีที่สุดบน${\displaystyle X}$ซึ่งลักษณะเฉพาะของการบรรจบกันของลำดับใน${\displaystyle (X,\tau )}$ถือครอง

แผนที่${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$เรียกว่าเป็นแบบต่อเนื่องตามลำดับถ้า${\displaystyle f:(X,\operatorname {SeqOpen} (X,\tau ))\to (Y,\operatorname {SeqOpen} (Y,\sigma ))}$เป็นลำดับต่อเนื่องซึ่งเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกลำดับ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ใน${\displaystyle X}$และทุกๆ${\displaystyle x\in X,}$ถ้า${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ใน${\displaystyle (X,\tau )}$ดังนั้นจึงจำเป็น${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)}$ใน${\displaystyle (Y,\sigma ).}$ แผนที่ต่อเนื่องทุกแผนที่ล้วนต่อเนื่องตามลำดับ แม้ว่าโดยทั่วไปแล้ว ข้อความกลับกันอาจไม่เป็นจริงก็ตาม ในความเป็นจริง พื้นที่${\displaystyle (X,\tau )}$ปริภูมิลำดับ (sequential space) จะเรียกว่าปริภูมิลำดับได้ก็ต่อเมื่อมีคุณสมบัติสากล ต่อไปนี้ สำหรับปริภูมิลำดับ :

สำหรับปริภูมิเชิงทอพอโลยีทุกแห่ง${\displaystyle (Y,\sigma )}$และแผนที่ทุกแผ่น${\displaystyle f:X\to Y,}$แผนที่${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$จะมีความต่อเนื่องก็ต่อเมื่อมีความต่อเนื่องตามลำดับเท่านั้น

การปิดตามลำดับใน${\displaystyle (X,\tau )}$ของเซตย่อย${\displaystyle S\subseteq X}$คือชุด${\displaystyle \operatorname {scl} _{(X,\tau )}S}$ประกอบด้วยทั้งหมด${\displaystyle x\in X}$ซึ่งมีลำดับอยู่ใน${\displaystyle S}$ที่บรรจบกันที่${\displaystyle x}$ใน${\displaystyle (X,\tau ).}$ เซตย่อย${\displaystyle S\subseteq X}$เรียกว่าการปิดตามลำดับใน${\displaystyle (X,\tau )}$ถ้า${\displaystyle S=\operatorname {scl} _{(X,\tau )}S,}$ซึ่งจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อเมื่อใดก็ตามที่ลำดับใน${\displaystyle S}$บรรจบกันใน${\displaystyle (X,\tau )}$ในบางประเด็น${\displaystyle x\in X}$ดังนั้นจึงจำเป็น${\displaystyle x\in S.}$ พื้นที่${\displaystyle (X,\tau )}$เรียกว่าปริภูมิเฟรเชต์-อูรีโซห์นถ้า${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}S~=~\operatorname {cl} _{X}S}$สำหรับทุกชุดย่อย${\displaystyle S\subseteq X,}$ซึ่งจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อทุกปริภูมิย่อยของ${\displaystyle (X,\tau )}$เป็นปริภูมิเชิงลำดับ ปริภูมิที่นับได้อันดับแรกทุกปริภูมิเป็นปริภูมิ Fréchet–Urysohn และดังนั้นจึงเป็นปริภูมิเชิงลำดับด้วย ปริภูมิ ที่สามารถระบุ เมตริกเทียมปริภูมิที่สามารถระบุเมตริกและปริภูมิที่นับได้อันดับสอง ทั้งหมด เป็นปริภูมิที่นับได้อันดับแรก

ลำดับ​${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ในชุด${\displaystyle X}$ตามนิยามแล้วคือฟังก์ชัน${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}$ซึ่งมีค่าอยู่ที่${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ถูกกำหนดโดย${\displaystyle x_{i}}$(แม้ว่าสัญลักษณ์ที่ใช้กับฟังก์ชันโดยทั่วไป เช่น วงเล็บ)${\displaystyle x_{\bullet }(i)}$หรือองค์ประกอบ${\displaystyle f\circ x_{\bullet },}$อาจใช้ในบางสถานการณ์เพื่อปรับปรุงความอ่านง่าย) ประโยคเช่น "ลำดับ"${\displaystyle x_{\bullet }}$เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง หรือรูปภาพ (เช่น ช่วง)${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }}$ของลำดับ${\displaystyle x_{\bullet }}$คำว่า "ไม่มีที่สิ้นสุด" รวมถึงคำศัพท์และสัญลักษณ์อื่นๆ ที่ใช้กำหนดไว้สำหรับฟังก์ชัน จึงสามารถนำไปใช้กับลำดับได้เช่นกัน ลำดับ${\displaystyle s_{\bullet }}$กล่าวกันว่าเป็นลำดับย่อยของลำดับอื่น${\displaystyle x_{\bullet }}$หากมีแผนที่ที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดอยู่${\displaystyle l_{\bullet }:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$(อาจแสดงด้วย${\displaystyle l_{\bullet }=\left(l_{k}\right)_{k=1}^{\infty }}$แทนที่จะเป็นเช่นนั้น) เพื่อให้${\displaystyle s_{k}=x_{l_{k}}}$สำหรับทุกๆ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,}$โดยที่เงื่อนไขนี้สามารถแสดงได้ในแง่ของการประกอบฟังก์ชัน${\displaystyle \circ }$เช่น:${\displaystyle s_{\bullet }=x_{\bullet }\circ l_{\bullet }.}$ เช่นเคย ถ้า${\displaystyle x_{l_{\bullet }}=\left(x_{l_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }}$ถูกประกาศว่าเป็น (เช่น โดยนิยาม) ลำดับย่อยของ${\displaystyle x_{\bullet }}$ดังนั้นจึงควรสันนิษฐานได้ทันทีว่า${\displaystyle l_{\bullet }:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง สัญลักษณ์${\displaystyle x_{\bullet }\subseteq S}$และ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }\subseteq S}$หมายความว่าลำดับ${\displaystyle x_{\bullet }}$มีค่าอยู่ในเซต${\displaystyle S.}$

ฟังก์ชัน${\displaystyle f:X\to Y}$เรียกว่าลำดับครอบคลุมหากสำหรับลำดับลู่เข้าทุกลำดับ${\displaystyle y_{\bullet }}$ใน${\displaystyle Y,}$ มีลำดับอยู่${\displaystyle x_{\bullet }\subseteq X}$โดยที่${\displaystyle y_{\bullet }=f\circ x_{\bullet }.}$ เรียกว่า1-ลำดับครอบคลุมถ้าสำหรับทุกๆ${\displaystyle y\in Y}$มีอยู่บ้าง${\displaystyle x\in f^{-1}(y)}$โดยที่ลำดับทุกลำดับ${\displaystyle y_{\bullet }\subseteq Y}$ที่บรรจบกันที่${\displaystyle y}$ใน${\displaystyle (Y,\sigma ),}$มีลำดับอยู่${\displaystyle x_{\bullet }\subseteq X}$โดยที่${\displaystyle y_{\bullet }=f\circ x_{\bullet }}$และ${\displaystyle x_{\bullet }}$ลู่เข้าสู่${\displaystyle x}$ใน${\displaystyle (X,\tau ).}$ มันคือการครอบคลุมลำดับ 2ถ้า${\displaystyle f:X\to Y}$เป็นฟังก์ชันทั่วถึงและใช้ได้กับทุกๆ${\displaystyle y\in Y}$และทุกๆ${\displaystyle x\in f^{-1}(y),}$ทุกลำดับ${\displaystyle y_{\bullet }\subseteq Y}$และลู่เข้าสู่${\displaystyle y}$ใน${\displaystyle (Y,\sigma ),}$มีลำดับอยู่${\displaystyle x_{\bullet }\subseteq X}$โดยที่${\displaystyle y_{\bullet }=f\circ x_{\bullet }}$และ${\displaystyle x_{\bullet }}$ลู่เข้าสู่${\displaystyle x}$ใน${\displaystyle (X,\tau ).}$ แผนที่${\displaystyle f:X\to Y}$เป็นฝาครอบขนาดกะทัดรัดหากใช้ได้กับทุกขนาดกะทัดรัด${\displaystyle K\subseteq Y}$มีเซตย่อยขนาดกะทัดรัดอยู่บางส่วน${\displaystyle C\subseteq X}$โดยที่${\displaystyle f(C)=K.}$

ในทำนองเดียวกันกับนิยามของความต่อเนื่องตามลำดับ แผนที่${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$เรียกว่าแผนที่ผลหารตามลำดับถ้า

${\displaystyle f:(X,\operatorname {SeqOpen} (X,\tau ))\to (Y,\operatorname {SeqOpen} (Y,\sigma ))}$

เป็นแผนที่ผลหาร [ ^{5 ] ซึ่งเกิด ขึ้น}ก็ต่อเมื่อสำหรับเซตย่อยใดๆ${\displaystyle S\subseteq Y,}$${\displaystyle S}$เปิดตามลำดับ${\displaystyle (Y,\sigma )}$ก็ต่อเมื่อสิ่งนี้เป็นจริงเท่านั้น${\displaystyle f^{-1}(S)}$ใน${\displaystyle (X,\tau ).}$ แผนที่ผลหารตามลำดับได้รับการแนะนำในBoone & Siwiec 1976ซึ่งได้กำหนดไว้ดังข้างต้น^{[ 5 ]}

แผนที่ผลหารตามลำดับทุกแผนที่นั้นจำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันทั่วถึงและต่อเนื่องตามลำดับ แม้ว่าอาจจะไม่ต่อเนื่องก็ตาม ถ้า${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$เป็นการส่งแบบต่อเนื่องตามลำดับที่มีโดเมน${\displaystyle (X,\tau )}$ถ้า เป็นปริภูมิแบบลำดับแสดงว่า${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$เป็นการแมปผลหารก็ต่อเมื่อ${\displaystyle (Y,\sigma )}$เป็นพื้นที่เรียงลำดับและ${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$เป็นแผนที่ผลหารตามลำดับ

โทรเรียกพื้นที่${\displaystyle (Y,\sigma )}$ตามลำดับ Hausdorffถ้า${\displaystyle (Y,\operatorname {SeqOpen} (Y,\sigma ))}$เป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ [ ^{6 ] ใน} ทำนองเดียวกัน "เวอร์ชันลำดับ" ของสัจพจน์การแยก อื่นๆ ทั้งหมด สามารถกำหนดได้ในแง่ของปริภูมิหรือไม่${\displaystyle (Y,\operatorname {SeqOpen} (Y,\sigma ))}$ครอบครองมัน พื้นที่เฮาส์ดอร์ฟทุกแห่งจำเป็นต้องเป็นเฮาส์ดอร์ฟเชิงลำดับ พื้นที่เชิงลำดับจะเป็นเฮาส์ดอร์ฟก็ต่อเมื่อมันเป็นเฮาส์ดอร์ฟเชิงลำดับเท่านั้น

ถ้า${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$เป็นการส่งแบบต่อเนื่องตามลำดับโดยสมมติว่า${\displaystyle (Y,\sigma )}$หากเป็นไปตามลำดับของเฮาส์ดอร์ฟ สิ่งต่อไปนี้จะเทียบเท่ากัน:

1. ${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$เป็นผลหารตามลำดับ
2. เมื่อใดก็ตาม${\displaystyle y_{\bullet }\to y}$เป็นลำดับลู่เข้าใน${\displaystyle Y}$ดังนั้นจึงมีลำดับลู่เข้าอยู่${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ใน${\displaystyle X}$โดยที่${\displaystyle f(x)=y}$และ${\displaystyle f\circ x_{\bullet }}$เป็นลำดับย่อยของ${\displaystyle y_{\bullet }.}$
3. เมื่อใดก็ตาม${\displaystyle y_{\bullet }}$เป็นลำดับลู่เข้าใน${\displaystyle Y}$ดังนั้นจึงมีลำดับลู่เข้าอยู่${\displaystyle x_{\bullet }}$ใน${\displaystyle X}$โดยที่${\displaystyle f\circ x_{\bullet }}$เป็นลำดับย่อยของ${\displaystyle y_{\bullet }.}$
   • ข้อความนี้แตกต่างจาก (2) ข้างต้นเพียงตรงที่ไม่มีข้อกำหนดใด ๆ เกี่ยวกับขีดจำกัดของลำดับ (ซึ่งจะกลายเป็นความแตกต่างที่สำคัญก็ต่อเมื่อ${\displaystyle Y}$(ไม่ใช่ลำดับแบบเฮาส์ดอร์ฟ)
   • ถ้า${\displaystyle f:X\to Y}$เป็นการส่งแบบต่อเนื่องไปยังปริภูมิกระชับตามลำดับ${\displaystyle Y}$ดังนั้นเงื่อนไขนี้จึงยังคงเป็นจริงแม้ว่า${\displaystyle Y}$ไม่ใช่ลำดับแบบเฮาส์ดอร์ฟ

หากสมมติฐานที่ว่า${\displaystyle Y}$หาก Hausdorff ตามลำดับถูกลบออกไป ข้อความ (2) จะยังคงบ่งชี้ถึงข้อความอีกสองข้อความ แต่ลักษณะเฉพาะข้างต้นจะไม่รับประกันว่าจะเป็นจริงอีกต่อไป (อย่างไรก็ตาม หากจุดในโคโดเมนจำเป็นต้องปิดตามลำดับ แผนที่ผลหารตามลำดับใด ๆ จะต้องตรงตามเงื่อนไข (3) อย่างแน่นอน) สิ่งนี้ยังคงเป็นจริงแม้ว่าข้อกำหนดความต่อเนื่องตามลำดับบน${\displaystyle f:X\to Y}$ได้รับการเสริมความแข็งแกร่งให้ต้องมีความต่อเนื่อง (ธรรมดา) แทนที่จะใช้คำจำกัดความเดิม ผู้เขียนบางคนกำหนด "แผนที่ผลหารตามลำดับ" ให้หมายถึง การส่งแบบ ต่อเนื่องที่ตรงตามเงื่อนไข (2) หรืออีกทางหนึ่งคือเงื่อนไข (3) หากโคโดเมนเป็นเฮาส์ดอร์ฟตามลำดับ คำจำกัดความเหล่านี้จะแตกต่างจากเดิมเพียงแค่ข้อกำหนดเพิ่มเติมเรื่องความต่อเนื่อง (แทนที่จะต้องการเพียงแค่ความต่อเนื่องตามลำดับ)

แผนที่${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$เรียกว่าก่อนลำดับถ้าสำหรับลำดับลู่เข้าทุกลำดับ${\displaystyle y_{\bullet }\to y}$ใน${\displaystyle (Y,\sigma )}$โดยที่${\displaystyle y_{\bullet }}$ในที่สุดแล้วจะไม่เท่ากับ${\displaystyle y,}$ชุด${\displaystyle \bigcup _{\stackrel {i\in \mathbb {N} ,}{y_{i}\neq y}}f^{-1}\left(y_{i}\right)}$ไม่ได้ปิดตามลำดับใน${\displaystyle (X,\tau ),}$^{[ 5 ]}ซึ่งชุดนี้อาจอธิบายได้ดังนี้:

${\displaystyle \bigcup _{\stackrel {i\in \mathbb {N} ,}{y_{i}\neq y}}f^{-1}\left(y_{i}\right)~=~f^{-1}\left(\left(\operatorname {Im} y_{\bullet }\right)\setminus \{y\}\right)~=~f^{-1}\left(\operatorname {Im} y_{\bullet }\right)\setminus f^{-1}(y)}$

ในทำนองเดียวกัน${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$จะเป็นลำดับก่อนหน้าก็ต่อเมื่อสำหรับลำดับลู่เข้าทุกลำดับ${\displaystyle y_{\bullet }\to y}$ใน${\displaystyle (Y,\sigma )}$โดยที่${\displaystyle y_{\bullet }\subseteq Y\setminus \{y\},}$ชุด${\displaystyle f^{-1}\left(\operatorname {Im} y_{\bullet }\right)}$ไม่ได้ปิดตามลำดับใน${\displaystyle (X,\tau ).}$

แผนที่แบบทั่วถึง${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$ระหว่างปริภูมิ Hausdorff เป็นผลหารตามลำดับก็ต่อเมื่อมีความต่อเนื่องตามลำดับและเป็นแผนที่ก่อนลำดับ^{[ 5 ]}