In topology and related fields of mathematics, a sequential space is a topological space whose topology can be completely characterized by its convergent/divergent sequences. They can be thought of as spaces that satisfy a very weak axiom of countability, and all first-countable spaces (notably metric spaces) are sequential.

In any topological space ${\displaystyle (X,\tau ),}$ if a convergent sequence is contained in a closed set${\displaystyle C,}$ then the limit of that sequence must be contained in ${\displaystyle C}$ as well. Sets with this property are known as sequentially closed. Sequential spaces are precisely those topological spaces for which sequentially closed sets are in fact closed. (These definitions can also be rephrased in terms of sequentially open sets; see below.) Said differently, any topology can be described in terms of nets (also known as Moore–Smith sequences), but those sequences may be "too long" (indexed by too large an ordinal) to compress into a sequence. Sequential spaces are those topological spaces for which nets of countable length (i.e., sequences) suffice to describe the topology.

Any topology can be refined (that is, made finer) to a sequential topology, called the sequential coreflection of ${\displaystyle X.}$

The related concepts of Fréchet–Urysohn spaces, T-sequential spaces, and ${\displaystyle N}$-sequential spaces are also defined in terms of how a space's topology interacts with sequences, but have subtly different properties.

Sequential spaces and ${\displaystyle N}$-sequential spaces were introduced by S. P. Franklin.^[1]

Although spaces satisfying such properties had implicitly been studied for several years, the first formal definition is due to S. P. Franklin in 1965. Franklin wanted to determine "the classes of topological spaces that can be specified completely by the knowledge of their convergent sequences", and began by investigating the first-countable spaces, for which it was already known that sequences sufficed. Franklin then arrived at the modern definition by abstracting the necessary properties of first-countable spaces.

Let ${\displaystyle X}$ be a set and let ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ be a sequence in ${\displaystyle X}$; that is, a family of elements of ${\displaystyle X}$, indexed by the natural numbers. In this article, ${\displaystyle x_{\bullet }\subseteq S}$ means that each element in the sequence ${\displaystyle x_{\bullet }}$ is an element of ${\displaystyle S,}$ and, if ${\displaystyle f:X\to Y}$ is a map, then ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }.}$ For any index ${\displaystyle i,}$ the tail of ${\displaystyle x_{\bullet }}$ starting at ${\displaystyle i}$ is the sequence $${\displaystyle x_{\geq i}=(x_{i},x_{i+1},x_{i+2},\ldots ){\text{.}}}$$ A sequence ${\displaystyle x_{\bullet }}$ is eventually in ${\displaystyle S}$ if some tail of ${\displaystyle x_{\bullet }}$ satisfies ${\displaystyle x_{\geq i}\subseteq S.}$

Let ${\displaystyle \tau }$เป็นโทโพโลยีบน${\displaystyle X}$และ${\displaystyle x_{\bullet }}$ลำดับในนั้น ลำดับนั้น${\displaystyle x_{\bullet }}$บรรจบกันที่จุดหนึ่ง${\displaystyle x\in X,}$เขียนไว้${\displaystyle x_{\bullet }{\overset {\tau }{\to }}x}$(เมื่อบริบทเอื้ออำนวย)${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ถ้าหากสำหรับทุกย่าน${\displaystyle U\in \tau }$ของ${\displaystyle x,}$ในท้ายที่สุด${\displaystyle x_{\bullet }}$อยู่ใน${\displaystyle U.}$${\displaystyle x}$จากนั้นจึงเรียกว่าจุดลิมิตของ${\displaystyle x_{\bullet }.}$

ฟังก์ชัน${\displaystyle f:X\to Y}$ระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยีจะมีความต่อเนื่องตามลำดับก็ต่อเมื่อ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$หมายความว่า${\displaystyle f(x_{\bullet })\to f(x).}$

อนุญาต${\displaystyle (X,\tau )}$เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี และให้${\displaystyle S\subseteq X}$เป็นเซตย่อยการปิดเชิงทอพอโลยี (หรือส่วนภายในเชิงทอพอโลยี ) ของ${\displaystyle S}$ใน${\displaystyle (X,\tau )}$ถูกกำหนดโดย${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$(ตอบ)${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S}$)

การปิดตามลำดับของ${\displaystyle S}$ใน${\displaystyle (X,\tau )}$คือชุด$${\displaystyle \operatorname {scl} (S)=\left\{x\in X:{\text{there exists a sequence }}s_{\bullet }\subseteq S{\text{ such that }}s_{\bullet }\to x\right\}}$$ซึ่งกำหนดแผนที่ตัวดำเนินการปิดแบบลำดับบนเซตกำลังของ${\displaystyle X.}$หากจำเป็นเพื่อให้เกิดความชัดเจน ชุดข้อมูลนี้อาจเขียนได้อีกแบบหนึ่งว่า${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}(S)}$หรือ${\displaystyle \operatorname {scl} _{(X,\tau )}(S).}$เป็นเช่นนั้นเสมอว่า${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}S\subseteq \operatorname {cl} _{X}S,}$แต่ในทางกลับกันอาจล้มเหลว

ภายในแบบเรียงลำดับของ${\displaystyle S}$ใน${\displaystyle (X,\tau )}$คือชุด$${\displaystyle \operatorname {sint} (S)=\{s\in S:{\text{whenever }}x_{\bullet }\subseteq X{\text{ and }}x_{\bullet }\to s,{\text{ then }}x_{\bullet }{\text{ is eventually in }}S\}}$$(โดยระบุพื้นที่เชิงทอพอโลยีด้วยตัวห้อยหากจำเป็น)

การปิดแบบลำดับและภายในเป็นไปตามคุณสมบัติที่ดีหลายประการของการปิดและภายในเชิงโทโพโลยี : สำหรับเซตย่อยทั้งหมด${\displaystyle R,S\subseteq X,}$

• ${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}(X\setminus S)=X\setminus \operatorname {sint} _{X}(S)}$และ${\displaystyle \operatorname {sint} _{X}(X\setminus S)=X\setminus \operatorname {scl} _{X}(S)}$;

  การพิสูจน์

  แก้ไข${\displaystyle x\in \operatorname {sint} (X\setminus S).}$ถ้า${\displaystyle x\in \operatorname {scl} (S),}$แล้วก็มีอยู่จริง${\displaystyle s_{\bullet }\subseteq S}$กับ${\displaystyle s_{\bullet }\to x.}$แต่ตามนิยามของโครงสร้างภายในแบบลำดับ ในที่สุดแล้ว${\displaystyle s_{\bullet }}$อยู่ใน${\displaystyle X\setminus S,}$ขัดแย้งกัน${\displaystyle s_{\bullet }\subseteq S.}$ ในทางกลับกัน สมมติว่า${\displaystyle x\notin \operatorname {sint} (X\setminus S)}$ดังนั้นจึงมีลำดับอยู่${\displaystyle s_{\bullet }\subseteq X}$กับ${\displaystyle s_{\bullet }\to x}$ซึ่งไม่ใช่สิ่งที่ในที่สุดแล้วจะเกิดขึ้น${\displaystyle X\setminus S.}$โดยการเปลี่ยนไปสู่ลำดับย่อยขององค์ประกอบที่ไม่อยู่ใน${\displaystyle X\setminus S,}$เราอาจสันนิษฐานได้ว่า${\displaystyle s_{\bullet }\subseteq S.}$แต่แล้ว${\displaystyle x\in \operatorname {scl} (S).}$ ▮

• ${\displaystyle \operatorname {scl} (\emptyset )=\emptyset }$และ${\displaystyle \operatorname {sint} (\emptyset )=\emptyset }$;
• ${\textstyle \operatorname {sint} (S)\subseteq S\subseteq \operatorname {scl} (S)}$;
• ${\displaystyle \operatorname {scl} (R\cup S)=\operatorname {scl} (R)\cup \operatorname {scl} (S)}$; และ
• ${\textstyle \operatorname {scl} (S)\subseteq \operatorname {scl} (\operatorname {scl} (S)).}$

กล่าวคือ การปิดแบบลำดับ (sequential closure) เป็นตัวดำเนินการปิดล่วงหน้า (preclosure operator ) ต่างจากการปิดเชิงโทโพโลยี (topological closure) การปิดแบบลำดับไม่ใช่ ตัวดำเนินการเอกลักษณ์ ( idempotent ) กล่าวคือ การบรรจุครั้งสุดท้ายอาจเป็นการบรรจุแบบเข้มงวด (strict containment) ดังนั้น การปิดแบบลำดับจึงไม่ใช่ตัวดำเนินการปิด ( Kuratowski closure operator )

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น การปิดแบบลำดับโดยทั่วไปไม่ใช่ตัวดำเนินการเอกลักษณ์ และดังนั้นจึงไม่ใช่ตัวดำเนินการปิดของโทโพโลยี เราสามารถได้การปิดแบบลำดับที่เอกลักษณ์ผ่านการวนซ้ำแบบอนันต์ : สำหรับลำดับผู้สืบทอด${\displaystyle \alpha +1,}$กำหนด (ตามปกติ)$${\displaystyle (\operatorname {scl} )^{\alpha +1}(S)=\operatorname {scl} ((\operatorname {scl} )^{\alpha }(S))}$$และสำหรับลำดับจำกัด${\displaystyle \alpha ,}$กำหนด$${\displaystyle (\operatorname {scl} )^{\alpha }(S)=\bigcup _{\beta <\alpha }{(\operatorname {scl} )^{\beta }(S)}{\text{.}}}$$กระบวนการนี้จะสร้างลำดับของเซตที่มีดัชนีเรียงลำดับเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ และปรากฏว่าลำดับนั้นจะคงที่ตามดัชนีเสมอ${\displaystyle \omega _{1}}$( ลำดับที่นับไม่ได้ตัวแรก ) ในทางกลับกันลำดับต่อเนื่องของ${\displaystyle X}$คือลำดับขั้นต่ำสุดที่สำหรับตัวเลือกใดๆ ของ${\displaystyle S,}$ลำดับข้างต้นจะเสถียร^{[ 2 ]}

การปิดลำดับอนันต์ของ${\displaystyle S}$คือชุดเทอร์มินัลที่เรียงลำดับตามข้างต้น:${\displaystyle (\operatorname {scl} )^{\omega _{1}}(S).}$ผู้ดำเนินการ${\displaystyle (\operatorname {scl} )^{\omega _{1}}}$เป็นตัวดำเนินการเอกลักษณ์และเป็นตัวดำเนินการปิด โดยเฉพาะ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันกำหนดโทโพโลยี การสะท้อนร่วมตามลำดับ ในการสะท้อนร่วมตามลำดับ เซตปิดตามลำดับทุกเซตจะเป็นเซตปิด (และเซตเปิดตามลำดับทุกเซตจะเป็นเซตเปิด) ^{[ 3 ]}

พื้นที่ลำดับTคือพื้นที่โทโพโลยีที่มีลำดับ 1 ซึ่งเทียบเท่ากับเงื่อนไขใดเงื่อนไขหนึ่งต่อไปนี้: ^{[ 1 ]}

• การปิดตามลำดับ (หรือส่วนภายใน) ของเซตย่อยทุกเซตของ${\displaystyle X}$ปิด (หรือเปิด) ตามลำดับ
• ${\displaystyle \operatorname {scl} }$หรือ${\displaystyle \operatorname {sint} }$เป็นไอเดมโพเทนต์
• ${\textstyle \operatorname {scl} (S)=\bigcap _{{\text{sequentially closed }}C\supseteq S}{C}}$หรือ${\textstyle \operatorname {sint} (S)=\bigcup _{{\text{sequentially open }}U\subseteq S}{U}}$
• บริเวณใกล้เคียงลำดับใด ๆ ของ${\displaystyle x\in X}$สามารถลดขนาดลงเหลือเซตเปิดตามลำดับที่ประกอบด้วย${\displaystyle x}$ในทางทฤษฎีแล้ว ย่านที่เปิดตามลำดับถือเป็นพื้นฐานของย่านแบบลำดับ
• สำหรับใดๆ${\displaystyle x\in X}$และย่านใกล้เคียงตามลำดับใดๆ${\displaystyle N}$ของ${\displaystyle x,}$มีละแวกบ้านที่เป็นลำดับอยู่${\displaystyle M}$ของ${\displaystyle x}$โดยที่สำหรับทุกๆ${\displaystyle m\in M,}$ชุด${\displaystyle N}$เป็นย่านใกล้เคียงแบบลำดับของ${\displaystyle m.}$

การเป็นปริภูมิแบบT -sequential นั้นไม่สามารถเปรียบเทียบกับการเป็นปริภูมิแบบ sequential ได้ เพราะมีปริภูมิแบบ sequential บางแบบที่ไม่ใช่แบบT -sequential และในทางกลับกัน อย่างไรก็ตาม ปริภูมิเชิงทอพอโลยี${\displaystyle (X,\tau )}$เรียกว่า${\displaystyle N}$-ลำดับ (หรือลำดับย่านใกล้เคียง ) ถ้าเป็นทั้งลำดับและ ลำดับ Tเงื่อนไขที่เทียบเท่ากันคือย่านใกล้เคียงลำดับทุกย่านจะมีย่านใกล้เคียงแบบเปิด (คลาสสิก) ^{[ 1 ]}

ทุกปริภูมิที่นับได้เป็นอันดับแรก (และด้วยเหตุนี้ ทุกปริภูมิที่สามารถวัดได้ ) คือ${\displaystyle N}$-ลำดับ. มีปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีที่เป็นลำดับแต่ไม่ใช่${\displaystyle N}$-ลำดับ (และดังนั้นจึงไม่ใช่ ลำดับ T ) ^{[ 1 ]}

CW-complexทุกตัวเป็นแบบลำดับ เนื่องจากสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นผลหารของปริภูมิเมตริก

สเปกตรัมหลักของวงแหวน Noetherian สลับตำแหน่ง ที่มีโทโพโลยี Zariskiเป็นแบบลำดับ^{[ 7 ]}

ใช้เส้นจริง${\displaystyle \mathbb {R} }$และระบุชุด${\displaystyle \mathbb {Z} }$ของจำนวนเต็มถึงจุดหนึ่ง เมื่อเป็นผลหารของปริภูมิเมตริก ผลลัพธ์จะเป็นลำดับ แต่ไม่ใช่ปริภูมิที่นับได้เป็นอันดับแรก

ปริภูมิที่นับได้อันดับแรกทุก ปริภูมิ เป็นปริภูมิ Fréchet–Urysohn และปริภูมิ Fréchet-Urysohn ทุกปริภูมิเป็นปริภูมิแบบลำดับ ดังนั้นปริภูมิ ที่สามารถระบุเมตริกได้หรือปริภูมิ เสมือนเมตริกได้—โดยเฉพาะอย่างยิ่งปริภูมิที่นับได้อันดับสอง ปริภูมิเมตริกหรือปริภูมิแบบไม่ต่อเนื่อง— ทุก ปริภูมิเป็นปริภูมิแบบลำดับ  

อนุญาต${\displaystyle {\mathcal {F}}}$เป็นชุดแผนที่จากปริภูมิFréchet–Urysohn ไปยัง${\displaystyle X.}$จากนั้นจึงเป็นโครงสร้างทางเรขาคณิตขั้นสุดท้ายที่${\displaystyle {\mathcal {F}}}$กระตุ้นให้เกิด${\displaystyle X}$เป็นลำดับ

ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีของ Hausdorff เป็นแบบลำดับก็ต่อเมื่อไม่มีทอพอโลยีที่ละเอียดกว่าอย่างเคร่งครัดที่มีลำดับลู่เข้าเดียวกัน^{[ 8 ] [ 9 ]}

ปริภูมิเชิงลำดับทุกปริภูมิมีความแน่นที่นับได้และถูกสร้างขึ้นอย่างกะทัดรัด

ถ้า${\displaystyle f:X\to Y}$ถ้าเป็นการส่งแบบ ทั่วถึง เปิด ต่อเนื่อง ระหว่างปริภูมิลำดับเฮาส์ดอร์ฟสองปริภูมิแล้ว เซตจะเป็นดังนี้${\displaystyle \{y:{|f^{-1}(y)|=1}\}\subseteq Y}$เซตของจุดที่มีรูปประจำตัวที่ไม่ซ้ำกันเป็นเซตปิด (โดยความต่อเนื่อง รูปประจำตัวของมันในเซตปิดเช่นกัน)${\displaystyle X,}$เซตของจุดทั้งหมดที่${\displaystyle f}$(เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง)

ถ้า${\displaystyle f:X\to Y}$เป็นการส่งแบบทั่วถึง (ไม่จำเป็นต้องต่อเนื่อง) ไปยังปริภูมิลำดับเฮาส์ดอร์ฟ${\displaystyle Y}$และ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ฐานสำหรับโทโพโลยีบน${\displaystyle X,}$แล้ว${\displaystyle f:X\to Y}$จะเป็นแผนที่เปิดก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกๆ${\displaystyle x\in X,}$ละแวกบ้านพื้นฐาน${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ของ${\displaystyle x,}$และลำดับ${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to f(x)}$ใน${\displaystyle Y,}$มีลำดับย่อยของ${\displaystyle y_{\bullet }}$ซึ่งในที่สุดก็อยู่ใน ${\displaystyle f(B).}$

หมวดหมู่ย่อยSeqทั้งหมดของปริภูมิเชิงลำดับนั้นปิดภายใต้การดำเนินการต่อไปนี้ในหมวดหมู่Topของปริภูมิเชิงทอพอโลยี:

The category Seq is not closed under the following operations in Top:

Since they are closed under topological sums and quotients, the sequential spaces form a coreflective subcategory of the category of topological spaces. In fact, they are the coreflective hull of metrizable spaces (that is, the smallest class of topological spaces closed under sums and quotients and containing the metrizable spaces).

The subcategory Seq is a Cartesian closed category with respect to its own product (not that of Top). The exponential objects are equipped with the (convergent sequence)-open topology.

P.I. Booth and A. Tillotson have shown that Seq is the smallest Cartesian closed subcategory of Top containing the underlying topological spaces of all metric spaces, CW-complexes, and differentiable manifolds and that is closed under colimits, quotients, and other "certain reasonable identities" that Norman Steenrod described as "convenient".^[18]

Every sequential space is compactly generated, and finite products in Seq coincide with those for compactly generated spaces, since products in the category of compactly generated spaces preserve quotients of metric spaces.

• Axiom of countability
• Closed graph property – Property of functions in topology
• First-countable space – Topological space where each point has a countable neighbourhood basis
• Fréchet–Urysohn space – Type of topological space
• Sequence covering map