หมวดหมู่ย่อยสะท้อนแสง

ในทางคณิตศาสตร์หมวดหมู่ย่อยที่สมบูรณ์Aของหมวดหมู่Bกล่าวได้ว่าสะท้อนในBเมื่อฟังก์ชันการรวมจากAไปยังBมี ตัว ผกผันซ้าย^{[ 1 ]}^{: 91}ตัวผกผันนี้บางครั้งเรียกว่าตัวสะท้อนหรือโลคัลไลเซชัน [ ^{2 ] ใน}ทางกลับกันAกล่าวได้ว่าสะท้อนร่วมในBเมื่อฟังก์ชันการรวมมี ตัว ผกผันขวา

โดยทั่วไปแล้ว ตัวสะท้อนแสงทำหน้าที่เสมือนการดำเนินการเติมเต็ม มันจะเพิ่มส่วนที่ "ขาดหายไป" ของโครงสร้างในลักษณะที่การสะท้อนแสงอีกครั้งจะไม่ส่งผลกระทบเพิ่มเติม

คำนิยาม

กล่าวได้ว่าหมวดหมู่ย่อยA ที่สมบูรณ์ ของหมวดหมู่B สะท้อนอยู่ใน B ก็ต่อ เมื่อสำหรับวัตถุ B แต่ละตัวจะมี วัตถุAอยู่ด้วย $A_{B}$ และB - morphism $r_{B}\colon B\to A_{B}$ โดยที่สำหรับแต่ละB-มอร์ฟิซึม $f\colon B\to A$ ไปยังวัตถุA $A$ มีA -morphism ที่ไม่ซ้ำกันอยู่ ${\overline {f}}\colon A_{B}\to A$ กับ ${\overline {f}}\circ r_{B}=f$ .

ทั้งคู่ $(A_{B},r_{B})$ เรียกว่าการสะท้อน AของBมอร์ฟิซึม $r_{B}$ เรียกว่าลูกศรสะท้อน A (แม้ว่าโดยทั่วไปแล้ว เพื่อความกระชับ เรามักจะพูดถึง...) $A_{B}$ (เฉพาะในฐานะที่เป็น ภาพสะท้อน AของB เท่านั้น )

นี่เทียบเท่ากับการกล่าวว่าฟังก์ชันการฝังตัว $E\colon \mathbf {A} \hookrightarrow \mathbf {B}$ เป็นตัวผกผันทางขวาฟังก์ชัน ผกผันทางซ้าย $R\colon \mathbf {B} \to \mathbf {A}$ เรียกว่าตัวสะท้อนแสงแผนที่ $r_{B}$ คือหน่วยของการเชื่อมโยงนี้

ตัวสะท้อนแสงกำหนดให้กับ $B$ วัตถุA $A_{B}$ และ $Rf$ สำหรับB-มอร์ฟิซึม $f$ กำหนดโดยแผนภาพการเดินทาง

ถ้า ลูกศรสะท้อน A ทั้งหมดเป็น เอพิโมฟิซึม (สุดขั้ว) แล้ว ซับแคทอรีAจะเรียกว่าเป็นเอพิรีเฟล็กชัน (สุดขั้ว)ในทำนองเดียวกัน จะเป็นไบรีเฟล็กชันถ้าลูกศรสะท้อนทั้งหมดเป็นไบโมฟิซึม

แนวคิดทั้งหมดเหล่านี้เป็นกรณีพิเศษของการสรุปทั่วไป $E$ -หมวดหมู่ย่อยที่สะท้อนกลับซึ่ง $E$ เป็นกลุ่มของมอร์ฟิซึม

เดอะ $E$ -ตัวถังสะท้อนแสงของวัตถุประเภทAถูกกำหนดให้เป็นตัวถังที่เล็กที่สุด $E$ -หมวดหมู่ย่อยสะท้อนแสงที่มีA อยู่ด้วย ดังนั้นเราจึงสามารถพูดถึงตัวเรือสะท้อนแสง ตัวเรือสะท้อนแสงแบบเอพิเซลิเคท ตัวเรือสะท้อนแสงแบบเอพิเซลิเคทขั้นสูงสุด เป็นต้น

หมวดหมู่ย่อยที่ไม่สะท้อนแสงคือหมวดหมู่ย่อยA ที่สมบูรณ์ โดยที่วัตถุในB เพียงอย่างเดียว ที่มี ลูกศรสะท้อนแสง Aคือวัตถุที่อยู่ในA อยู่ แล้ว

แนวคิด คู่ขนานกับแนวคิดที่กล่าวมาข้างต้น ได้แก่ การสะท้อนร่วม ลูกศรสะท้อนร่วม หมวดหมู่ย่อยสะท้อนร่วม (โมโน) เปลือกสะท้อนร่วม และหมวดหมู่ย่อยต่อต้านสะท้อนร่วม

ตัวอย่าง

พีชคณิต

หมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียนAbเป็นหมวดหมู่ย่อยสะท้อนของ หมวดหมู่ ของกลุ่มGrpตัวสะท้อนคือฟังก์ชันที่ส่งแต่ละกลุ่มไปยังการทำให้เป็นอาเบเลียนในทางกลับกัน หมวดหมู่ของกลุ่มเป็นหมวดหมู่ย่อยสะท้อนของหมวดหมู่ของเซมิกรุปผกผัน^{[ 3 ]}
ในทำนองเดียวกัน หมวดหมู่ของพีชคณิตแบบสลับที่สัมพันธ์กันเป็นหมวดหมู่ย่อยแบบสะท้อนของพีชคณิตแบบสัมพันธ์กันทั้งหมด โดยที่ตัวสะท้อนจะถูกหารออกด้วยอุดมคติแบบ สลับที่ สิ่งนี้ถูกนำมาใช้ในการสร้างพีชคณิตสมมาตรจากพีชคณิตเทนเซอร์
ในทำนองเดียวกัน หมวดหมู่ของ พีชคณิตสมาคม แบบผกผันการสลับที่ เป็นหมวดหมู่ย่อยแบบสะท้อนของพีชคณิตสมาคมทั้งหมด โดยที่ตัวสะท้อนจะถูกหารออกด้วยอุดมคติแบบผกผันการสลับที่ สิ่งนี้ถูกนำมาใช้ในการสร้างพีชคณิตภายนอกจากพีชคณิตเทนเซอร์
หมวดหมู่ของฟิลด์เป็นหมวดหมู่ย่อยแบบสะท้อนของหมวดหมู่ของโดเมนจำนวนเต็ม (โดยมีโฮโมมอร์ฟิซึมแบบวงแหวน แบบฉีด เป็นมอร์ฟิซึม) ตัวสะท้อนคือฟังก์ชันที่ส่งโดเมนจำนวนเต็มแต่ละโดเมนไปยังฟิลด์เศษส่วนของมัน
หมวดหมู่ของกลุ่มทอร์ชั่น แบบอาเบเลียน เป็นหมวดหมู่ย่อยแบบสะท้อนร่วมของหมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียน ตัวสะท้อนร่วมคือฟังก์ชันที่ส่งแต่ละกลุ่มไปยังกลุ่มย่อยทอร์ชั่น ของ มัน
หมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียนพื้นฐาน กลุ่มอาเบเลียนpและกลุ่มpล้วนเป็นหมวดหมู่ย่อยสะท้อนของหมวดหมู่ของกลุ่ม และแกนหลักของแผนที่สะท้อนเป็นวัตถุสำคัญในการศึกษา ดูทฤษฎีบทกลุ่มย่อยโฟกัส
หมวดหมู่ของกลุ่มเป็นหมวดหมู่ย่อยที่สะท้อนกลับได้ของหมวดหมู่ของโมโนอิด : ตัวผกผันด้านขวาจะแมปโมโนอิดไปยังกลุ่มของหน่วย^{[ 4 ]}

โทโพโลยี

หมวดหมู่ของปริภูมิโคลโมโกรอฟ (ปริภูมิ T ) เป็นหมวดหมู่ย่อยสะท้อนของTopซึ่งเป็นหมวดหมู่ของปริภูมิเชิงทอพอโลยีและผลหารโคลโมโกรอฟเป็นตัวสะท้อน
หมวดหมู่ของปริภูมิปกติสมบูรณ์CRegเป็นหมวดหมู่ย่อยสะท้อนของTopโดยการใช้ผลหารของ Kolmogorov จะเห็นได้ว่าหมวดหมู่ย่อยของปริภูมิ Tychonoffก็เป็นหมวดหมู่ย่อยสะท้อนเช่นกัน
หมวดหมู่ของปริภูมิ Hausdorff ขนาดกะทัดรัด ทั้งหมด เป็นหมวดหมู่ย่อยสะท้อนของหมวดหมู่ของปริภูมิ Tychonoff ทั้งหมด (และของหมวดหมู่ของปริภูมิเชิงโทโพโลยีทั้งหมด^[²^]^:¹⁴⁰ ) ตัวสะท้อนได้รับจาก การทำให้กระชับของ Stone – Čech
หมวดหมู่ของปริภูมิเมตริกที่สมบูรณ์ ทั้งหมด ที่มีการแมปแบบต่อเนื่องสม่ำเสมอเป็นหมวดหมู่ย่อยสะท้อนของหมวดหมู่ของปริภูมิเมตริกตัวสะท้อนคือการเติมเต็มของปริภูมิเมตริกบนวัตถุ และการขยายโดยความหนาแน่นบนลูกศร^{[ 1 ]}^{: 90}
หมวดหมู่ของชีฟ (sheaves)เป็นหมวดหมู่ย่อยแบบสะท้อน (reflective subcategory) ของพรีชีฟ (presheaves)บนปริภูมิเชิงทอพอโลยี ตัวสะท้อนคือการสร้างชีฟ (sheafification) ซึ่งกำหนดชีฟของส่วนต่างๆ ของกลุ่มเจิร์ม (bundle of its germs) ให้กับพรีชีฟ
หมวดหมู่Seqของปริภูมิเชิงลำดับเป็นหมวดหมู่ย่อยแบบสะท้อนร่วมของTopการสะท้อนร่วมเชิงลำดับของปริภูมิเชิงทอพอโลยี $(X,\tau )$ คือพื้นที่ $(X,\tau _{\mathrm {seq} })$ โดยที่โทโพโลยี $\tau _{\text{seq}}$ เป็นโทโพโลยีที่ละเอียดกว่า $\tau$ ประกอบด้วย เซต เปิดทั้งหมดตามลำดับใน $X$ (นั่นคือ ส่วนเติมเต็มของ เซต ปิดตามลำดับ ) ^{[ 5 ]}

การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน

หมวดหมู่ของปริภูมิบานาคเป็นหมวดหมู่ย่อยแบบสะท้อนของหมวดหมู่ของปริภูมิบรรทัดฐานและตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบมีขอบเขตตัวสะท้อนคือฟังก์ชันเติมเต็มบรรทัดฐาน

ทฤษฎีหมวดหมู่

สำหรับไซต์ Grothendieck ใดๆ ( C , J ) โทโพสของชีฟบน ( C , J ) เป็นซับแคตตาล็อกสะท้อนของโทโพสของพรีชีฟบนCโดยมีคุณสมบัติพิเศษเพิ่มเติมคือฟังก์ชันสะท้อนเป็นแบบแม่นยำทางซ้าย ฟังก์ชัน สะท้อนคือฟังก์ชันชีฟฟิเคชันa : Presh( C ) → Sh( C , J ) และคู่แอดจอยต์ ( a , i ) เป็นตัวอย่างสำคัญของมอร์ฟิซึมเชิงเรขาคณิตในทฤษฎีโทโพส

คุณสมบัติ

ส่วนประกอบของหน่วยย่อยเป็นไอโซมอร์ฟิซึม^{[ 2 ]}^{: 140}^{[ 1 ]}
ถ้าDเป็นหมวดหมู่ย่อยสะท้อนของCแล้วฟังก์ชันการรวมD → C จะสร้าง ขีดจำกัดทั้งหมดที่มีอยู่ในC ^{[ 2 ]}^{: 141}
หมวดหมู่ย่อยสะท้อนมีโคลิมิต ทั้งหมด ที่มีอยู่ในหมวดหมู่แวดล้อม^{[ 2 ]}^{: 141}
โมนาดที่เหนี่ยวนำโดยการเชื่อมต่อตัวสะท้อน/การกำหนดตำแหน่งนั้นเป็นแบบเอกลักษณ์^{[ 2 ]}^{: 158}

หมายเหตุ

1 2 3 Mac Lane, Saunders, 1909-2005. (1998). หมวดหมู่สำหรับนักคณิตศาสตร์ที่ทำงาน ( ฉบับที่ 2). นิวยอร์ก: Springer. หน้า 89. ISBN 0387984038. OCLC 37928530 . {{cite book}}CS1 maint: multiple names: authors list ( link ) CS1 maint: numeric names: authors list ( link )
1 2 3 4 5 6 Riehl, Emily (2017-03-09). ทฤษฎีหมวดหมู่ในบริบท . Mineola, นิวยอร์ก. หน้า140. ISBN 9780486820804. OCLC 976394474 . {{cite book}}: CS1 maint: ไม่พบตำแหน่งผู้เผยแพร่ ( ลิงก์ )
↑ลอว์สัน (1998),https://books.google.com/books?id=2805q4tFiCkC&pg=PA63&dq=%22The+category+of+groups+is+a+reflective+subcategory%22"}]]}">หน้า 63, ทฤษฎีบทที่ 2.
↑ "หมวดหมู่ย่อยแบบสะท้อนร่วมใน nLab" . ncatlab.org . สืบค้นเมื่อ2019-04-02 .
↑ Adámek, Herrlich & Strecker 2004 , ตัวอย่าง 4.26 A(2)

[Mac_Lane-1] 1 2 3 Mac Lane, Saunders, 1909-2005. (1998). หมวดหมู่สำหรับนักคณิตศาสตร์ที่ทำงาน ( ฉบับที่ 2). นิวยอร์ก: Springer. หน้า 89. ISBN 0387984038. OCLC 37928530 . {{cite book}}CS1 maint: multiple names: authors list ( link ) CS1 maint: numeric names: authors list ( link )

[Rhiel-2] 1 2 3 4 5 6 Riehl, Emily (2017-03-09). ทฤษฎีหมวดหมู่ในบริบท . Mineola, นิวยอร์ก. หน้า140. ISBN 9780486820804. OCLC 976394474 . {{cite book}}: CS1 maint: ไม่พบตำแหน่งผู้เผยแพร่ ( ลิงก์ )

[3] ลอว์สัน (1998),https://books.google.com/books?id=2805q4tFiCkC&pg=PA63&dq=%22The+category+of+groups+is+a+reflective+subcategory%22"}]]}">หน้า 63, ทฤษฎีบทที่ 2.

[4] "หมวดหมู่ย่อยแบบสะท้อนร่วมใน nLab" . ncatlab.org . สืบค้นเมื่อ2019-04-02 .

[FOOTNOTEAdámekHerrlichStrecker2004Example_4.26_A(2)-5] Adámek, Herrlich & Strecker 2004 , ตัวอย่าง 4.26 A(2)

[ 1 ]

2 ] ใน

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]