ในวิชาโทโพโลยีและสาขาคณิตศาสตร์ ที่เกี่ยวข้อง ปริภูมิผลหารของปริภูมิโทโพโลยีภายใต้ความสัมพันธ์สมมูล ที่กำหนด คือปริภูมิโทโพโลยีใหม่ที่สร้างขึ้นโดยการมอบโทโพโลยีผลหารให้กับเซตผลหารของปริภูมิโทโพโลยีเดิมกล่าวคือโทโพโลยีที่ละเอียดที่สุดที่ทำให้แผนที่การฉายภาพแบบแคนอนิก (ฟังก์ชันที่แมปจุดไปยังชั้นสมมูล ของจุดเหล่านั้น) ต่อเนื่องกล่าวอีกนัยหนึ่ง เซตย่อยของปริภูมิผลหารจะเป็นเซตเปิดก็ต่อเมื่อภาพผกผัน ของมัน ภายใต้แผนที่การฉายภาพแบบแคนอนิกเป็นเซตเปิดในปริภูมิโทโพโลยีเดิม

โดยสัญชาตญาณแล้ว จุดต่างๆ ของแต่ละชั้นสมมูลจะถูกระบุหรือ "เชื่อมต่อเข้าด้วยกัน" เพื่อสร้างพื้นที่ทางทอพอโลยีใหม่ ตัวอย่างเช่น การระบุจุดบนทรงกลม ที่อยู่บน เส้นผ่านศูนย์กลางเดียวกันจะสร้างระนาบเชิงฉาย (projective plane ) ขึ้น มาเป็นพื้นที่ผลหาร (quotient space)

อนุญาต${\displaystyle X}$เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีและให้${\displaystyle \sim }$เป็นความสัมพันธ์สมมูลบน${\displaystyle X.}$ชุดผลหาร${\displaystyle Y=X/{\sim }}$คือเซตของชั้นสมมูลขององค์ประกอบของ${\displaystyle X.}$ชั้นสมมูลของ${\displaystyle x\in X}$ถูกกำหนดไว้${\displaystyle [x].}$

การก่อสร้าง${\displaystyle Y}$กำหนดการส่งแบบ ทั่วถึงตามหลักการ${\displaystyle q:X\to Y,x\mapsto [x].}$ ดังที่ได้กล่าวไว้ด้านล่างนี้${\displaystyle q}$เป็นการแมปแบบผลหาร ซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่าแผนที่ผลหารแบบแคนอนิก หรือแผนที่การฉายภาพแบบแคนอนิก ที่เกี่ยวข้องกับ${\displaystyle X/{\sim }.}$

พื้นที่หารภายใต้${\displaystyle \sim }$คือชุด${\displaystyle Y}$มีโทโพโลยีผลหารซึ่งเซตเปิดคือเซตย่อย เหล่านั้น${\textstyle U\subseteq Y}$ภาพก่อนหน้าของใคร${\displaystyle q^{-1}(U)}$เปิดอยู่กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ${\displaystyle U}$เปิดในโทโพโลยีผลหารบน${\displaystyle X/{\sim }}$ก็ต่อเมื่อ${\textstyle \{x\in X:[x]\in U\}}$เปิดทำการแล้ว${\displaystyle X.}$ ในทำนองเดียวกัน กลุ่มย่อย${\displaystyle S\subseteq Y}$ปิดก็ต่อเมื่อ...${\displaystyle \{x\in X:[x]\in S\}}$ปิดทำการแล้ว${\displaystyle X.}$

โทโพโลยีผลหารคือโทโพโลยีสุดท้ายบนเซตผลหาร โดยสัมพันธ์กับแผนที่${\displaystyle x\mapsto [x].}$

แผนที่${\displaystyle f:X\to Y}$เป็นแผนที่ผลหาร (บางครั้งเรียกว่าแผนที่การระบุ^{[ 1 ]} ) ถ้าเป็นแผนที่ทั่วถึงและ${\displaystyle Y}$มีโครงสร้างทางเรขาคณิตขั้นสุดท้ายที่เกิดจาก${\displaystyle f.}$ เงื่อนไขหลังนี้ยอมรับการกำหนดสูตรพื้นฐานเพิ่มเติมอีกสองแบบ ได้แก่ เซตย่อย${\displaystyle V\subseteq Y}$เปิด (ปิด) ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle f^{-1}(V)}$เป็นฟังก์ชันเปิด (หรือฟังก์ชันปิด) ฟังก์ชันผลหารทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แต่ฟังก์ชันต่อเนื่องทุกฟังก์ชันไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันผลหาร

ชุดอิ่มตัว

เซตย่อย${\displaystyle S}$ของ${\displaystyle X}$เรียกว่าอิ่มตัว (เมื่อเทียบกับ${\displaystyle f}$) หากอยู่ในรูปแบบดังกล่าว${\displaystyle S=f^{-1}(T)}$สำหรับชุดบางชุด${\displaystyle T,}$ซึ่งเป็นจริงก็ต่อเมื่อ${\displaystyle f^{-1}(f(S))=S.}$ การมอบหมายงาน${\displaystyle T\mapsto f^{-1}(T)}$สร้างความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่ง (ซึ่งผกผันคือ${\displaystyle S\mapsto f(S)}$) ระหว่างเซตย่อย${\displaystyle T}$ของ${\displaystyle Y=f(X)}$และเซตย่อยอิ่มตัวของ${\displaystyle X.}$ ด้วยคำศัพท์นี้ การอุทานทั่วถึง (surjection)${\displaystyle f:X\to Y}$เป็นแผนที่ผลหารก็ต่อเมื่อสำหรับทุกเซตย่อยอิ่มตัว${\displaystyle S}$ของ${\displaystyle X,}$${\displaystyle S}$เปิดทำการแล้ว${\displaystyle X}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle f(S)}$เปิดทำการแล้ว${\displaystyle Y.}$ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เซตย่อยแบบเปิดของ${\displaystyle X}$ส่วนที่ยังไม่ถึงจุดอิ่มตัวจะไม่มีผลกระทบต่อฟังก์ชันนั้น${\displaystyle f}$เป็นแผนที่ผลหาร (หรือที่จริงแล้วเป็นแบบต่อเนื่อง: ฟังก์ชัน)${\displaystyle f:X\to Y}$มีความต่อเนื่องก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกค่าอิ่มตัว${\textstyle S\subseteq X}$โดยที่${\displaystyle f(S)}$เปิดทำการแล้ว${\textstyle f(X)}$ชุด​${\displaystyle S}$เปิดทำการแล้ว${\textstyle X}$)

จริง ๆ แล้ว ถ้า${\displaystyle \tau }$เป็นโทโพโลยีบน${\displaystyle X}$และ${\displaystyle f:X\to Y}$หากเป็นแผนที่ใดๆ แล้วชุดนั้น${\displaystyle \tau _{f}}$ของทั้งหมด${\displaystyle U\in \tau }$ซึ่งเป็นเซตย่อยอิ่มตัวของ${\displaystyle X}$สร้างโทโพโลยีบน${\displaystyle X.}$ถ้า${\displaystyle Y}$ก็เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีด้วยเช่นกัน${\displaystyle f:(X,\tau )\to Y}$เป็นแผนที่ผลหาร (หรือต่อเนื่อง ) ก็ต่อเมื่อสิ่งเดียวกันนี้เป็นจริงสำหรับ${\displaystyle f:\left(X,\tau _{f}\right)\to Y.}$

พื้นที่หารของลักษณะเฉพาะของเส้นใย

กำหนดความสัมพันธ์สมมูล${\displaystyle \,\sim \,}$บน${\displaystyle X,}$แสดงถึงชั้นสมมูลของจุด${\displaystyle x\in X}$โดย${\displaystyle [x]:=\{z\in X:z\sim x\}}$และปล่อยให้${\displaystyle X/{\sim }:=\{[x]:x\in X\}}$แทนเซตของชั้นสมมูล แผนที่${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$ที่ส่งคะแนนไปยังกลุ่มสมมูล (นั่นคือ ถูกกำหนดโดย${\displaystyle q(x):=[x]}$สำหรับทุกๆ${\displaystyle x\in X}$) เรียกว่าแผนที่มาตรฐาน (canonical map ) เป็นแผนที่แบบทั่วถึง (surjective map)และสำหรับทุก ๆ${\displaystyle a,b\in X,}$${\displaystyle a\,\sim \,b}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle q(a)=q(b);}$เพราะเหตุนี้,${\displaystyle q(x)=q^{-1}(q(x))}$สำหรับทุกคน${\displaystyle x\in X.}$โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าเซตของชั้นสมมูล${\displaystyle X/{\sim }}$คือเซตของเส้นใยของแผนที่มาตรฐานอย่างแท้จริง${\displaystyle q.}$ ถ้า${\displaystyle X}$เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีแล้วให้${\displaystyle X/{\sim }}$โทโพโลยีผลหารที่เหนี่ยวนำโดย${\displaystyle q}$จะทำให้เป็นพื้นที่หารและสร้าง${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$แปลงเป็นแผนที่ผลหาร โครงสร้างนี้เป็นตัวแทนของปริภูมิผลหารทั้งหมด โดยไม่คำนึงถึงโฮมีโอเมอร์ฟิซึม ความหมายที่แท้จริงของสิ่งนี้จะได้รับการอธิบายต่อไป

อนุญาต${\displaystyle f:X\to Y}$เป็นการส่งแบบทั่วถึงระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยี (ซึ่งยังไม่ได้ถือว่าต่อเนื่องหรือเป็นแผนที่ผลหาร) และประกาศสำหรับทั้งหมด${\displaystyle a,b\in X}$ที่${\displaystyle a\,\sim \,b}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle f(a)=f(b).}$แล้ว${\displaystyle \,\sim \,}$เป็นความสัมพันธ์สมมูลบน${\displaystyle X}$โดยที่สำหรับทุกๆ${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle [x]=f^{-1}(f(x)),}$ซึ่งหมายความว่า${\displaystyle f([x])}$(กำหนดโดย${\displaystyle f([x])=\{\,f(z)\,:z\in [x]\}}$) คือเซตที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียว ; หมายถึงสมาชิกที่ไม่ซ้ำกันในเซตนั้น${\displaystyle f([x])}$โดย${\displaystyle {\hat {f}}([x])}$(ดังนั้นตามนิยามแล้ว)${\displaystyle f([x])=\{\,{\hat {f}}([x])\,\}}$). การมอบหมายงาน${\displaystyle [x]\mapsto {\hat {f}}([x])}$กำหนดการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง${\displaystyle {\hat {f}}:X/{\sim }\;\to \;Y}$ระหว่างเส้นใยของ${\displaystyle f}$และคะแนนใน${\displaystyle Y.}$ กำหนดแผนที่${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$ดังที่กล่าวมาข้างต้น (โดย${\displaystyle q(x):=[x]}$) และให้${\displaystyle X/{\sim }}$โทโพโลยีผลหารที่เหนี่ยวนำโดย${\displaystyle q}$(ซึ่งทำให้${\displaystyle q}$แผนที่ผลหาร) แผนที่เหล่านี้มีความสัมพันธ์กันโดย:$${\displaystyle f={\hat {f}}\circ q\quad {\text{ and }}\quad q={\hat {f}}^{-1}\circ f.}$$ จากสิ่งนี้และข้อเท็จจริงที่ว่า${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$เนื่องจากเป็นแผนที่ผลหาร จึงสรุปได้ว่า${\displaystyle f:X\to Y}$จะเป็นแบบต่อเนื่องก็ต่อเมื่อข้อความนี้เป็นจริงสำหรับ${\displaystyle {\hat {f}}:X/{\sim }\;\to \;Y.}$นอกจากนี้,${\displaystyle f:X\to Y}$เป็นการแมปผลหารก็ต่อเมื่อ${\displaystyle {\hat {f}}:X/{\sim }\;\to \;Y}$เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึม (หรือเทียบเท่ากับ ถ้าและเฉพาะเมื่อทั้งสอง)${\displaystyle {\hat {f}}}$และฟังก์ชันผกผันของมันเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง)

• การติดกาวนักทอพอโลยีพูดถึงการติดกาวจุดต่างๆ เข้าด้วยกัน ถ้า${\displaystyle X}$เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่เชื่อมจุดต่างๆ เข้าด้วยกัน${\displaystyle x}$และ${\displaystyle y}$ใน${\displaystyle X}$หมายถึงการพิจารณาปริภูมิผลหารที่ได้จากความสัมพันธ์สมมูล${\displaystyle a\sim b}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle a=b}$หรือ${\displaystyle a=x,b=y}$(หรือ${\displaystyle a=y,b=x}$)
• พิจารณาสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วย${\displaystyle I^{2}=[0,1]\times [0,1]}$และความสัมพันธ์สมมูล${\displaystyle \sim }$เกิดจากข้อกำหนดที่ว่าจุดขอบเขตทั้งหมดต้องเท่ากัน ดังนั้นจึงระบุจุดขอบเขตทั้งหมดให้อยู่ในชั้นความเท่ากันเพียงชั้นเดียว จากนั้น${\displaystyle I^{2}/\sim }$มีรูปร่างเหมือนกับทรงกลม${\displaystyle S^{2}.}$

• พื้นที่การเชื่อมโยงโดยทั่วไปแล้ว สมมติว่า${\displaystyle X}$เป็นพื้นที่และ${\displaystyle A}$เป็นปริภูมิย่อยของ${\displaystyle X.}$เราสามารถระบุจุดทั้งหมดได้ใน${\displaystyle A}$จัดอยู่ในชั้นเทียบเท่าเดียวและเว้นคะแนนไว้นอกเหนือจากนั้น${\displaystyle A}$เทียบเท่าเฉพาะกับตัวมันเองเท่านั้น ปริภูมิผลหารที่ได้จะถูกกำหนดโดย${\displaystyle X/A.}$ทรงกลม 2 มิติจะมีโครงสร้างสมมาตรกับแผ่นดิสก์ปิดที่มีขอบเขตระบุอยู่ที่จุดเดียว:${\displaystyle D^{2}/\partial {D^{2}}.}$
• พิจารณาเซตนี้${\displaystyle \mathbb {R} }$ของจำนวนจริงที่มีโทโพโลยีแบบปกติ และเขียน${\displaystyle x\sim y}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle x-y}$เป็นจำนวนเต็มจากนั้นปริภูมิผลหาร${\displaystyle X/{\sim }}$มีสมมาตรกับวงกลมหน่วย${\displaystyle S^{1}}$ผ่านทางโฮมีโอเมอร์ฟิซึมซึ่งส่งคลาสสมมูลของ${\displaystyle x}$ถึง${\displaystyle \exp(2\pi ix).}$
• ตัวอย่างทั่วไปของตัวอย่างก่อนหน้านี้คือ: สมมติว่ามีกลุ่มทางทอพอโลยี${\displaystyle G}$กระทำการอย่างต่อเนื่องบนพื้นที่${\displaystyle X.}$สามารถสร้างความสัมพันธ์สมมูลบน${\displaystyle X}$โดยกล่าวว่าจุดต่างๆ จะเทียบเท่ากันก็ต่อเมื่อจุดเหล่านั้นอยู่ในวงโคจร เดียวกันเท่านั้น ปริภูมิผลหารภายใต้ความสัมพันธ์นี้เรียกว่าปริภูมิวงโคจรซึ่งใช้สัญลักษณ์ แทนด้วย${\displaystyle X/G.}$ในตัวอย่างก่อนหน้านี้${\displaystyle G=\mathbb {Z} }$ดำเนินการกับ${\displaystyle \mathbb {R} }$โดยการแปล วงโคจรอวกาศ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$เป็นโฮโมมอร์ฟิกกับ${\displaystyle S^{1}.}$
  • หมายเหตุ : สัญลักษณ์${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ค่อนข้างคลุมเครือ ถ้าหาก${\displaystyle \mathbb {Z} }$เข้าใจได้ว่าเป็นกลุ่มที่กระทำการตาม${\displaystyle \mathbb {R} }$โดยการบวกผลลัพธ์ที่ได้คือวงกลม อย่างไรก็ตาม ถ้า${\displaystyle \mathbb {Z} }$ถือว่าเป็นปริภูมิย่อยเชิงทอพอโลยีของ${\displaystyle \mathbb {R} }$(ซึ่งระบุว่าเป็นจุดเดียว) จากนั้นผลหาร${\displaystyle \{\mathbb {Z} \}\cup \{\,\{r\}:r\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \}}$(ซึ่งสามารถระบุได้ว่าเป็นชุด)${\displaystyle \{\mathbb {Z} \}\cup (\mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} )}$) คือช่อดอกไม้ที่ ประกอบด้วยวงกลมจำนวนนับไม่ถ้วน ที่เชื่อมต่อกัน ณ จุดเดียว${\displaystyle \mathbb {Z} .}$
• ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงให้เห็นว่าโดยทั่วไปแล้วไม่เป็นความจริงที่ว่าถ้า${\displaystyle q:X\to Y}$ถ้าเป็นแผนที่ผลหารแล้วลำดับลู่เข้า ทุกลำดับ (หรือ เครือข่าย ลู่ เข้าทุก เครือข่าย ) ใน${\displaystyle Y}$มีลิฟต์ (โดย${\displaystyle q}$) ไปสู่ลำดับลู่เข้า (หรือเครือข่ายลู่เข้า ) ใน${\displaystyle X.}$อนุญาต${\displaystyle X=[0,1]}$และ${\displaystyle \,\sim ~=~\{\,\{0,1\}\,\}~\cup ~\left\{\{x\}:x\in (0,1)\,\right\}.}$อนุญาต${\displaystyle Y:=X/{\sim }}$และปล่อยให้${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$เป็นแผนที่ผลหาร${\displaystyle q(x):=[x],}$ดังนั้น${\displaystyle q(0)=q(1)=\{0,1\}}$และ${\displaystyle q(x)=\{x\}}$สำหรับทุกๆ${\displaystyle x\in (0,1).}$แผนที่${\displaystyle h:X/{\sim }\to S^{1}\subseteq \mathbb {C} }$กำหนดโดย${\displaystyle h([x]):=e^{2\pi ix}}$มีการกำหนดไว้อย่างชัดเจน (เพราะ${\displaystyle e^{2\pi i(0)}=1=e^{2\pi i(1)}}$) และโฮมีโอเมอร์ฟิซึมให้${\displaystyle I=\mathbb {N} }$และปล่อยให้${\displaystyle a_{\bullet }:=\left(a_{i}\right)_{i\in I}{\text{ and }}b_{\bullet }:=\left(b_{i}\right)_{i\in I}}$เป็นลำดับใดๆ (หรือโดยทั่วไปแล้ว เป็นเน็ตใดๆ) ที่มีค่าเป็น${\displaystyle (0,1)}$โดยที่${\displaystyle a_{\bullet }\to 0{\text{ and }}b_{\bullet }\to 1}$ใน${\displaystyle X=[0,1].}$จากนั้นลำดับ$${\displaystyle y_{1}:=q\left(a_{1}\right),y_{2}:=q\left(b_{1}\right),y_{3}:=q\left(a_{2}\right),y_{4}:=q\left(b_{2}\right),\ldots }$$ลู่เข้าสู่${\displaystyle [0]=[1]}$ใน${\displaystyle X/{\sim }}$แต่ไม่มีการยกแบบลู่เข้าของลำดับนี้โดยแผนที่ผลหาร${\displaystyle q}$(นั่นคือ ไม่มีลำดับ)${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i\in I}}$ใน${\displaystyle X}$ที่ทั้งสองบรรจบกันที่บางสิ่ง${\displaystyle x\in X}$และพึงพอใจ${\displaystyle y_{i}=q\left(s_{i}\right)}$สำหรับทุกๆ${\displaystyle i\in I}$). ตัวอย่างค้านนี้สามารถขยายไปสู่เน็ต ได้ โดยการปล่อยให้${\displaystyle (A,\leq )}$เป็นชุดที่กำหนดทิศทาง ใดๆ ก็ได้ และการสร้าง${\displaystyle I:=A\times \{1,2\}}$เข้าไปในตาข่ายโดยประกาศว่าสำหรับใดๆ${\displaystyle (a,m),(b,n)\in I,}$${\displaystyle (m,a)\;\leq \;(n,b)}$เกิดขึ้นก็ต่อเมื่อทั้งสอง (1)${\displaystyle a\leq b,}$และ (2) ถ้า${\displaystyle a=b{\text{ then }}m\leq n;}$จากนั้น${\displaystyle A}$-เครือข่ายที่มีดัชนีที่กำหนดโดยการปล่อยให้${\displaystyle y_{(a,m)}}$เท่ากัน${\displaystyle a_{i}{\text{ if }}m=1}$และเท่ากับ${\displaystyle b_{i}{\text{ if }}m=2}$ไม่มีลิฟต์ (โดย${\displaystyle q}$) ไปสู่จุดบรรจบ${\displaystyle A}$-เครือข่ายที่จัดทำดัชนีใน${\displaystyle X=[0,1].}$

แผนที่ผลหาร${\displaystyle q:X\to Y}$มีลักษณะเฉพาะในบรรดาแผนที่แบบทั่วถึง (surjective maps) ดังนี้: ถ้า${\displaystyle Z}$คือปริภูมิเชิงทอพอโลยีใดๆ และ${\displaystyle f:Y\to Z}$ถ้าเป็นฟังก์ชันใดๆ แล้ว${\displaystyle f}$ต่อเนื่องก็ต่อเมื่อ${\displaystyle f\circ q}$เป็นค่าต่อเนื่อง

พื้นที่ผลหาร${\displaystyle X/{\sim }}$พร้อมกับแผนที่ผลหาร${\displaystyle q:X\to X/{\sim }}$มีลักษณะเฉพาะด้วยคุณสมบัติสากล ดังต่อไปนี้ : ถ้า${\displaystyle g:X\to Z}$เป็นแผนที่ต่อเนื่องซึ่งมีคุณสมบัติว่า${\displaystyle a\sim b}$หมายความว่า${\displaystyle g(a)=g(b)}$สำหรับทุกคน${\displaystyle a,b\in X,}$ดังนั้นจึงมีแผนที่ต่อเนื่องที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียว${\displaystyle f:X/{\sim }\to Z}$โดยที่${\displaystyle g=f\circ q.}$กล่าวอีกนัยหนึ่ง แผนภาพต่อไปนี้สามารถสลับลำดับได้:

คนหนึ่งกล่าวว่า${\displaystyle g}$ลดระดับลงสู่ผลหารสำหรับการแสดงสิ่งนี้ นั่นคือการแยกตัวประกอบผ่านปริภูมิผลหาร แผนที่ต่อเนื่องที่กำหนดบน${\displaystyle X/{\sim }}$ดังนั้น แผนที่เหล่านั้นจึงเป็นแผนที่ที่เกิดขึ้นจากแผนที่ต่อเนื่องซึ่งกำหนดไว้บน${\displaystyle X}$ซึ่งเคารพความสัมพันธ์สมมูล (ในแง่ที่ว่าพวกมันส่งองค์ประกอบที่เทียบเท่ากันไปยังภาพเดียวกัน) เกณฑ์นี้ถูกนำมาใช้อย่างแพร่หลายในการศึกษาปริภูมิผลหาร

กำหนดให้เป็นการส่งแบบทั่วถึงต่อเนื่อง${\displaystyle q:X\to Y}$การมีเกณฑ์ที่ใช้ในการพิจารณาว่านั้นเป็นสิ่งที่มีประโยชน์${\displaystyle q}$เป็นแผนที่ผลหาร เกณฑ์ที่เพียงพอสองประการคือ${\displaystyle q}$อาจเป็นแบบเปิดหรือแบบปิดโปรดทราบว่าเงื่อนไขเหล่านี้เป็นเพียงเงื่อนไขที่เพียงพอไม่ใช่ เงื่อนไขที่ จำเป็นการสร้างตัวอย่างของแผนที่ผลหารที่ไม่ใช่ทั้งแบบเปิดและแบบปิดนั้นทำได้ง่าย สำหรับกลุ่มเชิงทอพอโลยี แผนที่ผลหารจะเป็นแบบเปิด

การแยกจากกัน

โดยทั่วไปแล้ว ปริภูมิผลหารมีพฤติกรรมที่ไม่ดีนักเมื่อพิจารณาจากสัจพจน์การแยก คุณสมบัติการแยกของ${\displaystyle X}$ไม่จำเป็นต้องสืบทอดโดย${\displaystyle X/{\sim }}$และ${\displaystyle X/{\sim }}$อาจมีคุณสมบัติการแยกส่วนที่ไม่เหมือนกัน${\displaystyle X.}$

${\displaystyle X/{\sim }}$เป็นปริภูมิT ก็ต่อเมื่อชั้นสมมูลทุกชั้นของ${\displaystyle \sim }$ปิดทำการแล้ว${\displaystyle X.}$ ยกตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาพื้นที่${\displaystyle X=[0,1]}$และกลุ่มย่อยของมัน${\displaystyle A=[0,1),}$ซึ่งไม่ปิดสนิท พื้นที่ผลหาร${\displaystyle X/A}$ได้มาจากการระบุจุดทั้งหมดของ${\displaystyle A}$จุดเดียวจะมีลักษณะสมมาตรกับปริภูมิSierpińskiซึ่งไม่ใช่ T

สำหรับ${\displaystyle X/{\sim }}$เพื่อให้เป็นพื้นที่แบบเฮาส์ดอร์ฟจำเป็นต้องมีเงื่อนไขที่เข้มงวดกว่านี้:${\displaystyle \sim }$ต้องเป็นความสัมพันธ์สมมูลแบบปิด ในความหมายที่ว่าเซต${\displaystyle R=\{(x,y)\in X\times X:x\sim y\}}$ต้องปิดใน${\displaystyle X\times X.}$ อย่างไรก็ตาม เงื่อนไขนี้ยังไม่เพียงพอ ตัวอย่างเช่น ถ้า${\displaystyle X}$เป็นเซตปิดในปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ${\displaystyle X,}$ความสัมพันธ์สมมูลที่ระบุจุดทั้งหมดของ${\displaystyle A}$เซตที่จุดเดียว${\displaystyle R=(A\times A)\cup \Delta }$(กับ${\displaystyle \Delta }$เป็นแนวทแยงใน${\displaystyle X\times X}$) และ${\displaystyle R}$ปิดทำการแล้ว${\displaystyle X\times X.}$ แต่พื้นที่หาร${\displaystyle X/R}$จะไม่เปิดหาก${\displaystyle X}$เป็นเฮาส์ดอร์ฟ แต่ไม่ใช่แบบปกติและ${\displaystyle A}$เป็นเซตปิดที่ไม่สามารถแยกออกจากจุดหนึ่งได้ด้วยเซตเปิด${\displaystyle x\notin A.}$

• ถ้าแผนที่ผลหารเปิดแล้ว${\displaystyle X/{\sim }}$จะเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟก็ต่อเมื่อ ~ เป็นเซตย่อยปิดของปริภูมิผลคูณ${\displaystyle X\times X.}$

การเชื่อมต่อ

• ถ้าปริภูมิหนึ่งเชื่อมต่อกันหรือเชื่อมต่อด้วยเส้นทางปริภูมิผลหารของปริภูมินั้นก็จะเชื่อมต่อกันด้วยเช่นกัน
• พื้นที่ผลหารของ พื้นที่ ที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายหรือ พื้นที่ ที่หดตัวได้นั้นไม่จำเป็นต้องมีคุณสมบัติเหล่านั้นร่วมกัน

ความกะทัดรัด

• ถ้าปริภูมิหนึ่งเป็นปริภูมิกระชับ ปริภูมิผลหารของปริภูมินั้นก็จะเป็นปริภูมิกระชับเช่นกัน
• ปริภูมิผลหารของ ปริภูมิ กระชับเฉพาะที่ไม่จำเป็นต้องเป็นปริภูมิกระชับเฉพาะที่เสมอไป

มิติ

• มิติเชิงทอพอโลยีของปริภูมิผลหารอาจมากกว่า (หรือน้อยกว่า) มิติของปริภูมิเดิมได้เส้นโค้งที่เติมเต็มปริภูมิเป็นตัวอย่างหนึ่งของเรื่องนี้

โทโพโลยี

• พื้นที่ครอบคลุม– แผนที่ต่อเนื่องประเภทหนึ่งในโทโพโลยี 
• การรวมกันแบบไม่ทับซ้อน (โทโพโลยี) – ศัพท์ทางคณิตศาสตร์ 
• โครงสร้างโทโพโลยีขั้นสุดท้าย– โครงสร้างโทโพโลยีที่ดีที่สุดที่ทำให้ฟังก์ชันบางอย่างต่อเนื่องกัน 
• การสร้างกรวยแผนที่ (โทโพโลยี) – การสร้างเชิงโทโพโลยีบนแผนที่ระหว่างพื้นที่ต่างๆ 
• พื้นที่ผลิตภัณฑ์– โทโพโลยีบนผลคูณคาร์ทีเซียนของพื้นที่โทโพโลยีหน้าเว็บที่แสดงคำอธิบายสั้น ๆ ของเป้าหมายการเปลี่ยนเส้นทาง 
• พื้นที่ย่อย (โทโพโลยี) – โทโพโลยีที่สืบทอดมาหน้าเว็บที่แสดงคำอธิบายสั้น ๆ ของเป้าหมายการเปลี่ยนเส้นทาง 
• ปริภูมิเชิงทอพอโลยี– ปริภูมิทางคณิตศาสตร์ที่มีแนวคิดเรื่องความใกล้ชิด 

พีชคณิต

• ประเภทของผลหาร– ประเภทของวัตถุผลหารในวิชาคณิตศาสตร์ 
• กลุ่มผลหาร– กลุ่มที่ได้จากการรวมองค์ประกอบที่คล้ายคลึงกันของกลุ่มที่ใหญ่กว่า 
• ปริภูมิผลหาร (พีชคณิตเชิงเส้น) – ปริภูมิเวกเตอร์ที่ประกอบด้วยเซตย่อยเชิงเส้น 
• กรวยการแมป (พีชคณิตเชิงโฮโมโลยี) – เครื่องมือในพีชคณิตเชิงโฮโมโลยี