ในทางคณิตศาสตร์เมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนทั่วไป (หรือเมทริกซ์เอกนาม ) คือเมทริกซ์ที่มีรูปแบบที่ไม่เป็นศูนย์เหมือนกับเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนกล่าวคือ มีค่าที่ไม่เป็นศูนย์เพียงค่าเดียวในแต่ละแถวและแต่ละคอลัมน์ แต่ต่างจากเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนที่ค่าที่ไม่เป็นศูนย์ต้องเป็น 1 ในเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนทั่วไป ค่าที่ไม่เป็นศูนย์สามารถเป็นค่าใดก็ได้ที่ไม่ใช่ศูนย์ ตัวอย่างของเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนทั่วไปคือ

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&3&0\\0&-7&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}.}$

เมทริกซ์ผกผันAจะเป็นเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนแบบทั่วไปก็ต่อเมื่อสามารถเขียนได้ในรูปผลคูณของเมทริกซ์ทแยงมุม ผกผัน Dและเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนP (ซึ่ง ผกผัน ได้โดยปริยาย ) กล่าวคือ

${\displaystyle A=DP.}$

เซตของเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนทั่วไปขนาด n × n ที่มีสมาชิกอยู่ในฟิลด์Fก่อให้เกิดกลุ่มย่อยของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป GL( n , F ) ซึ่งกลุ่มของ เมทริกซ์แนวทแยง ที่ไม่เอกฐาน Δ( n , F ) ก่อให้เกิดกลุ่มย่อยปกติ อันที่จริง เหนือฟิลด์ทั้งหมด ยกเว้นGF(2)เมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนทั่วไปเป็นตัวทำให้ เมทริกซ์แนวทแยง เป็นปกติซึ่งหมายความว่าเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนทั่วไปเป็น กลุ่มย่อย ที่ใหญ่ที่สุดของ GL( n , F ) ซึ่งเมทริกซ์แนวทแยงเป็นปกติ

กลุ่มนามธรรมของเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนทั่วไปคือผลคูณแบบเวิร์ทของF ^×และS _nโดยเฉพาะอย่างยิ่ง หมายความว่าเป็นผลคูณกึ่งตรงของ Δ( n , F ) โดยกลุ่มสมมาตรS _n :

S _n ⋉ Δ( n , F ),

โดยที่S _n ทำ หน้าที่ โดยการสลับพิกัด และเมทริกซ์แนวทแยง Δ( n , F ) มีลักษณะสมมาตรกับ ผลคูณ nเท่า ( F ^× ) ⁿ

กล่าวโดยละเอียด เมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนทั่วไปเป็นการแสดงเชิงเส้น (ที่ถูกต้อง) ของผลคูณพวงหรีดนามธรรมนี้: การทำให้เป็นจริงของกลุ่มนามธรรมในฐานะกลุ่มย่อยของเมทริกซ์

• กลุ่มย่อยที่สมาชิกทุกตัวเป็น 1 คือเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนซึ่งมีโครงสร้างเหมือนกับกลุ่มสมมาตร
• กลุ่มย่อยที่ค่าทั้งหมดเป็น ±1 คือเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนแบบมีเครื่องหมายซึ่งก็คือกลุ่มไฮเปอร์ออกตาเฮดรัล
• กลุ่มย่อยที่มีสมาชิกเป็น ราก ที่m ของเอกภาพ นั้น สมมาตรกับกลุ่มสมมาตรทั่วไป${\displaystyle \mu _{m}}$
• กลุ่มย่อยของเมทริกซ์แนวทแยงเป็นกลุ่มอาเบเลียนกลุ่มปกติ และเป็นกลุ่มอาเบเลียนสูงสุด กลุ่มผลหารเป็นกลุ่มสมมาตร และโครงสร้างนี้แท้จริงแล้วคือกลุ่มเวล์ของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป: เมทริกซ์แนวทแยงเป็นทอรัสสูงสุดในกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป (และเป็นตัวทำให้เป็นศูนย์กลาง ของตัวเอง ) เมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนแบบทั่วไปเป็นตัวทำให้เป็นปกติของทอรัสนี้ และผลหารคือกลุ่มเวล์${\displaystyle N(T)/Z(T)=N(T)/T\cong S_{n}}$

• ถ้าเมทริกซ์ไม่เอกฐานและเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์นั้นเป็นเมทริกซ์ที่ไม่เป็นลบ ทั้งคู่ (กล่าวคือ เมทริกซ์ที่มีค่าสมาชิกไม่เป็นลบ) แล้วเมทริกซ์นั้นจะเป็นเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนแบบทั่วไป
• ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนทั่วไปกำหนดโดย โดยที่คือเครื่องหมายของการเรียงสับเปลี่ยนที่เกี่ยวข้องกับ และคือองค์ประกอบแนวทแยงของ$${\displaystyle \det(G)=\det(P)\cdot \det(D)=\operatorname {sgn} (\pi )\cdot d_{11}\cdot \ldots \cdot d_{nn},}$$${\displaystyle \operatorname {sgn} (\pi )}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle P}$${\displaystyle d_{11},\ldots ,d_{nn}}$${\displaystyle D}$

เราสามารถขยายความให้กว้างขึ้นไปอีกได้โดยอนุญาตให้สมาชิกอยู่ในวงแหวนแทนที่จะอยู่ในฟิลด์ ในกรณีนั้น หากสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์จะต้องเป็นหน่วยในวงแหวน เราก็จะได้กลุ่มอีกครั้ง ในทางกลับกัน หากสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์นั้นต้องการเพียงแค่ไม่เป็นศูนย์ แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นเมทริกซ์ผกผันได้ เซตของเมทริกซ์นี้จะก่อให้เกิดเซมิกรุปแทน

ในเชิงสัญลักษณ์ เราอาจอนุญาตให้ค่าที่ไม่เป็นศูนย์อยู่ในกลุ่มG ได้ โดยเข้าใจว่าการคูณเมทริกซ์จะเกี่ยวข้องกับการคูณสมาชิกในกลุ่มเพียงคู่เดียวเท่านั้น ไม่ใช่การ "บวก" สมาชิกในกลุ่ม นี่เป็นการใช้สัญลักษณ์ที่ไม่ถูกต้องเนื่องจากสมาชิกของเมทริกซ์ที่ถูกคูณจะต้องสามารถคูณและบวกได้ แต่เป็นแนวคิดที่น่าสนใจสำหรับกลุ่มนามธรรม (ที่ถูกต้องตามหลักการ) (ผลคูณแบบ wreath ของกลุ่มGกับกลุ่มสมมาตร) ${\displaystyle G\wr S_{n}}$

เมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนแบบมีเครื่องหมายคือ เมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนแบบทั่วไปที่มีค่าที่ไม่เป็นศูนย์เป็น ±1 และเป็น เมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนแบบทั่วไป จำนวนเต็มที่มีเมทริกซ์ผกผันเป็นจำนวนเต็ม

• นี่คือกลุ่มค็อกซ์เตอร์ และมีระเบียบแบบแผน${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle 2^{n}n!}$
• เป็นกลุ่มสมมาตรของไฮเปอร์คิวบ์และ (ในสองลักษณะ) ของครอสโพลีโทป
• กลุ่มย่อย ดัชนี 2 ของกลุ่ม นี้คือเมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับการเรียงสับเปลี่ยนพื้นฐาน (แบบไม่มีเครื่องหมาย) ซึ่งก็คือกลุ่มค็อกเซเตอร์และเป็นกลุ่มสมมาตรของเดมิไฮเปอร์คิวบ์${\displaystyle D_{n}}$
• เป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มเชิงตั้งฉาก

เมทริกซ์เอกนามปรากฏในทฤษฎีการแทนในบริบทของการแทนเอกนามการแทนเอกนามของกลุ่มGคือการแทนเชิงเส้นρ  : G → GL( n , F )ของG (ในที่นี้Fคือฟิลด์นิยามของการแทน) โดยที่ภาพρ ( G ) เป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มเมทริกซ์เอกนาม