ในทางเรขาคณิตเฮกเซลเล็ตของซอดดี้ (Soddy's hexlet)คือกลุ่มทรงกลมหกลูก เรียงต่อกัน (แสดงด้วยสีเทาในรูปที่ 1) โดยแต่ละลูกสัมผัสกับทรงกลมข้างเคียงทั้งสองลูก และยังสัมผัสกับทรงกลมที่กำหนดให้สามลูกซึ่งสัมผัสกันเองด้วย ในรูปที่ 1 ทรงกลมทั้งสามลูกนั้นได้แก่ ทรงกลมสีแดงด้านใน และทรงกลมอีกสองลูก (ไม่ได้แสดงในรูป) ที่อยู่เหนือและใต้ระนาบที่จุดศูนย์กลางของทรงกลมเฮกเซลเล็ตอยู่ นอกจากนี้ ทรงกลมเฮกเซลเล็ตยังสัมผัสกับทรงกลมลูกที่สี่ (ทรงกลมสีน้ำเงินด้านนอกในรูปที่ 1) ซึ่งไม่ได้สัมผัสกับทรงกลมอีกสามลูก

เฮกซ์เล็ตของซอดดีถูกค้นพบในญี่ปุ่น ดังที่ปรากฏใน แผ่นจารึก ซังกากุจากปี ค.ศ. 1822 ในจังหวัดคานากาวะ [ ^{1 ] เฟ}รเดอริก ซอดดีค้นพบมันอีกครั้งโดยอิสระในบทความปี ค.ศ. 1937 ^{[ 2 ]}ซอดดีพิสูจน์ว่าสามารถหาเฮกซ์เล็ตได้เสมอสำหรับการเลือกทรงกลมสัมผัสกันA , BและCใดๆ อันที่จริง มีตระกูลเฮกซ์เล็ตอนันต์ที่สัมพันธ์กันโดยการหมุนและการปรับขนาดของทรงกลมเฮกซ์เล็ต (รูปที่ 1) ในเรื่องนี้ เฮกซ์เล็ตของซอดดีเป็นอนาล็อกทรงกลมของโซ่สไตเนอร์ของวงกลมหกวง^{[ 3 ]} สอดคล้องกับโซ่สไตเนอร์ ศูนย์กลางของทรงกลมเฮกซ์เล็ตอยู่บนระนาบเดียวกันบนวงรี

เฮกเซลเล็ตของซอดดี้คือกลุ่มทรงกลมหกลูกที่เรียงต่อกันเป็นโซ่ โดยมีหมายเลขกำกับถึง S6 แต่ละลูกสัมผัสกับทรงกลมสามลูกที่กำหนดให้ คือA , BและCซึ่งทรงกลมทั้งสามนี้ก็สัมผัสกันเองที่จุดสามจุดที่แตกต่างกัน (เพื่อความสอดคล้องตลอดทั้งบทความ ทรงกลมเฮกเซลเล็ตจะแสดงเป็นสีเทาเสมอAและBเป็นสีเขียว และทรงกลมCเป็นสีน้ำเงิน) ทรงกลมเฮกเซลเล็ตยังสัมผัสกับทรงกลมคงที่ลูกที่สี่D (แสดงเป็นสีแดงเสมอ) ซึ่งไม่สัมผัสกับ ทรงกลมอีกสามลูก คือA , BและC

แต่ละทรงกลมในหกเหลี่ยมของ Soddy ยังสัมผัสกับทรงกลมข้างเคียงในสายโซ่ด้วย ตัวอย่างเช่น ทรงกลมS สัมผัสกับS และS สาย โซ่นี้เป็นสายโซ่ปิด หมายความว่าทรงกลมทุกดวงในสายโซ่มีทรงกลมข้างเคียงที่สัมผัสกันสองดวง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทรงกลมเริ่มต้นและทรงกลมสุดท้ายS และS สัมผัสกัน

เฮกเซลเล็ตแบบวงแหวนของซอดดีเป็นกรณีพิเศษ (รูปที่ 2) ซึ่งทรงกลมสามลูกที่สัมผัสกันนั้นประกอบด้วยทรงกลมเดี่ยวที่มีรัศมีr (สีน้ำเงิน) คั่นอยู่ระหว่างระนาบขนานสองระนาบ (สี เขียว ) ที่แยกจากกันด้วยระยะตั้งฉาก2rในกรณีนี้ เฮกเซลเล็ตของซอดดีประกอบด้วยทรงกลมหกลูกที่มีรัศมีrเรียงตัวกันเหมือนลูกปืนรอบทรงกลมตรงกลางและคั่นอยู่เช่นเดียวกัน ทรงกลมในเฮกเซลเล็ตยังสัมผัสกับทรงกลมลูกที่สี่ (สีแดง) ซึ่งไม่ได้สัมผัสกับทรงกลมอีกสามลูก

ทรงกลมทั้งหกที่เรียงต่อกันสามารถหมุนรอบทรงกลมตรงกลางได้โดยไม่ส่งผลกระทบต่อการสัมผัส แสดงให้เห็นว่ามีชุดคำตอบอนันต์สำหรับกรณีนี้ เมื่อหมุนแล้ว ทรงกลมของกลุ่มหกทรงกลมจะก่อให้เกิดรูปทรงทอรัส (พื้นผิวรูปโดนัท) กล่าวอีกนัยหนึ่ง ทอรัสคือส่วนห่อหุ้มของกลุ่มหกทรงกลมนี้

ปัญหาทั่วไปของการหาเฮกเซลเล็ตสำหรับทรงกลมสามลูกที่สัมผัสกันA , BและCสามารถลดทอนลงเหลือกรณีวงแหวนได้โดยใช้การผกผันการดำเนินการทางเรขาคณิตนี้จะแปลงทรงกลมให้เป็นทรงกลมหรือระนาบเสมอ ซึ่งอาจถือได้ว่าเป็นทรงกลมที่มีรัศมีอนันต์ ทรงกลมจะถูกแปลงเป็นระนาบก็ต่อเมื่อทรงกลมนั้นผ่านจุดศูนย์กลางของการผกผัน ข้อดีของการผกผันคือมันรักษาความสัมผัสไว้ หากทรงกลมสองลูกสัมผัสกันก่อนการแปลง พวกมันก็จะยังคงสัมผัสกันหลังจากนั้น ดังนั้น หากเลือกการแปลงผกผันอย่างรอบคอบ ปัญหาอาจลดลงเหลือกรณีที่ง่ายกว่า เช่น เฮกเซลเล็ตของซอดดี้แบบวงแหวน การผกผันสามารถย้อนกลับได้ การทำซ้ำการผกผันที่จุดเดิมจะทำให้วัตถุที่แปลงแล้วกลับคืนสู่ขนาดและตำแหน่งเดิม

การผกผัน ณ จุดสัมผัสระหว่างทรงกลมAและBจะเปลี่ยนทรงกลมทั้งสองให้กลายเป็นระนาบขนาน ซึ่งอาจกำหนดให้เป็นระนาบaและbได้ เนื่องจากทรงกลมCสัมผัสกับทั้งAและBและไม่ผ่านจุดศูนย์กลางของการผกผัน ดังนั้นCจึงถูกแปลงเป็นทรงกลมอีกอันหนึ่ง คือ cซึ่งสัมผัสกับระนาบทั้งสอง ดังนั้นcจึงถูกประกบอยู่ระหว่างระนาบaและbนี่คือเฮกเซลเล็ตแบบวงแหวนของ Soddy (รูปที่ 2) ทรงกลมหกลูกs – s อาจวางเรียงรอบcและประกบอยู่ระหว่างระนาบaและb เช่นเดียวกัน การผกผันกลับจะคืนค่าทรงกลมดั้งเดิมทั้งสามลูก และแปลงs – s ให้เป็นเฮกเซลเล็ตสำหรับปัญหาเดิม โดยทั่วไปแล้ว ทรงกลมเฮกเซลเล็ตS – S เหล่านี้ จะมีรัศมีต่างกัน

สามารถสร้างเฮกซ์เล็ตได้หลากหลายนับไม่ถ้วนโดยการหมุนลูกบอลทั้งหกลูกs – s ในระนาบของพวกมันด้วยมุมใดๆ ก่อนที่จะพลิกกลับอีกครั้ง ซองที่เกิดจากการหมุนดังกล่าวคือทอรัสที่ล้อมรอบทรงกลมcและอยู่ระหว่างระนาบสองระนาบaและbดังนั้นทอรัสจึงมีรัศมีด้านในrและรัศมีด้านนอก3rหลังจากพลิกกลับแล้ว ทอรัสนี้จะกลายเป็นไซคไลด์ของดูพิน (รูปที่ 3 )

ซองของเฮกซ์เล็ตของซอดดีคือไซคไลด์ของดูพินซึ่งเป็นการผกผันของทอรัสดังนั้นการสร้างของซอดดีแสดงให้เห็นว่าไซคไลด์ของดูพินเป็นซองของตระกูลทรงกลม 1 พารามิเตอร์ในสองวิธีที่แตกต่างกัน และทรงกลมแต่ละลูกในแต่ละตระกูลจะสัมผัสกับทรงกลมสองลูกในตระกูลเดียวกันและทรงกลมสามลูกในอีกตระกูลหนึ่ง^{[ 4 ]}ผลลัพธ์นี้อาจเป็นที่รู้จักของชาร์ลส์ ดูพินผู้ค้นพบไซคไลด์ที่ตั้งชื่อตามเขาในวิทยานิพนธ์ปี 1803 ภายใต้การดูแลของกัสปาร์ มงเก^{[ 5 ]}

จุดตัดของรูปหกเหลี่ยมกับระนาบของจุดศูนย์กลางทรงกลมจะทำให้เกิดโซ่สไตเนอร์ของวงกลมหกวง

ถือว่าทรงกลมAและBมีขนาดเท่ากัน

ใน เฮกเซลรูป วงรี ใดๆ เช่นที่แสดงไว้ด้านบนของบทความ จะมีระนาบสัมผัสกับเฮกเซลสองระนาบ เพื่อให้เฮกเซลรูปวงรีเกิดขึ้นได้ รัศมีของCต้องน้อยกว่าหนึ่งในสี่ของรัศมีของAถ้าหากรัศมีของC เท่ากับหนึ่งในสี่ของรัศมีของ Aทรงกลมแต่ละลูกจะกลายเป็นระนาบในระหว่างทาง ภาพกลับหัวแสดงให้เห็นเฮกเซลรูปวงรีปกติ และใน เฮกเซลรูป พาราโบลาจุดที่ทรงกลมเปลี่ยนเป็นระนาบคือจุดที่ภาพกลับหัวของมันผ่านจุดศูนย์กลางของการกลับหัวพอดี ในเฮกเซลแบบนี้จะมีระนาบสัมผัสกับเฮกเซลเพียงระนาบเดียว เส้นที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางของเฮกเซลรูปพาราโบลาคือพาราโบลา

ถ้าCมีขนาดใหญ่กว่านั้นอีก จะเกิดเป็นรูปทรงหกเหลี่ยมไฮเปอร์ โบลิกและในกรณีนี้จะไม่มีระนาบสัมผัสเลย กำหนดให้ทรงกลมเป็นS ถึงS ดังนั้นS จึงไม่สามารถเคลื่อนที่ไปได้ไกลนักจนกระทั่งกลายเป็นระนาบ (โดยภาพกลับหัวของมันจะผ่านจุดศูนย์กลางการกลับหัว) แล้วจึงเปลี่ยนความโค้งกลับ (โดยภาพกลับหัวของมันจะล้อมรอบจุดศูนย์กลางการกลับหัว) ในกรณีนี้ เส้นที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางจะเป็นไฮเปอร์โบลา

กรณีจำกัดคือเมื่อA , BและCมีขนาดเท่ากันทั้งหมด เฮกเซลเล็ตจะกลายเป็นเส้นตรงS มีขนาดเล็กเมื่อผ่านรูระหว่างA , BและCและเติบโตจนกลายเป็นระนาบสัมผัสกับพวกมัน จุดศูนย์กลางของการผกผันในขณะนี้ยังอยู่ที่จุดสัมผัสกับภาพของS ดังนั้นมันจึงเป็นระนาบสัมผัสกับA , BและC ด้วย เมื่อS เคลื่อนที่ต่อไป ความโค้งของมันจะกลับด้าน และตอนนี้มันล้อมรอบทรงกลมอื่นๆ ทั้งหมด สัมผัสกับA , B , C , S และS S ดันขึ้นและเติบโตจนกลายเป็นระนาบสัมผัส และS หดตัวลง จากนั้น S จะได้รับตำแหน่ง เดิมของ S ในฐานะระนาบสัมผัส จากนั้นความโค้งจะกลับด้านอีกครั้งและผ่านรูอีกครั้ง เริ่มต้นการเดินทางรอบใหม่ ตอนนี้เส้นศูนย์กลางเป็น ไฮเปอร์โบลา ที่เสื่อมสภาพซึ่งยุบตัวลงเป็นเส้นตรงสองเส้น^{[ 3 ]}

นักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่นค้นพบรูปหกเหลี่ยมเดียวกันนี้เมื่อกว่าร้อยปีก่อนที่ซอดดี้จะค้นพบ พวกเขาได้วิเคราะห์ปัญหาการบรรจุที่วงกลมและรูปหลายเหลี่ยม ลูกบอลและรูปทรงหลายเหลี่ยมมาสัมผัสกัน และมักจะค้นพบทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องโดยอิสระก่อนที่นักคณิตศาสตร์ชาวตะวันตกจะค้นพบ พวกเขามักจะตีพิมพ์สิ่งเหล่านี้ในชื่อซังกากุซังกากุเกี่ยวกับรูปหกเหลี่ยมนี้จัดทำโดยอิริซาวะ ชินทาโร ฮิโรอัตสึ ในโรงเรียนของอุจิดะ อิตสึมิ และอุทิศให้กับศาลเจ้าซามุคาวะ ในเดือนพฤษภาคม ค.ศ. 1822 ซังกากุต้นฉบับได้สูญหายไปแล้ว แต่ได้รับการบันทึกไว้ในหนังสือ โคคอนซันกันของอุจิดะในปี ค.ศ. 1832 มีการทำสำเนาซังกากุจากบันทึกและอุทิศให้กับพิพิธภัณฑ์โฮโตคุในศาลเจ้าซามุคาวะในเดือนสิงหาคม ค.ศ. 2009 ^{[ 6 ]}

ซังกากุของอิริซาวะประกอบด้วยปัญหา 3 ข้อ ปัญหาข้อที่สามเกี่ยวข้องกับเฮกเซลเล็ตของซอดดี้: "เส้นผ่านศูนย์กลางของทรงกลมที่ล้อมรอบด้านนอกคือ 30 ซุนเส้นผ่านศูนย์กลางของลูกบอลแกนกลางคือ 10 ซุนและ 6 ซุนตามลำดับ เส้นผ่านศูนย์กลางของลูกบอลลูกหนึ่งในห่วงโซ่ของลูกบอลคือ 5 ซุน จากนั้นฉันถามถึงเส้นผ่านศูนย์กลางของลูกบอลที่เหลือ คำตอบคือ 15 ซุน, 10 ซุน, 3.75 ซุน, 2.5 ซุน และ 2  +  8/11 ซุน" ^{[ 7 ]}

ในคำตอบของเขา วิธีการคำนวณเส้นผ่านศูนย์กลางของลูกบอลถูกเขียนไว้ และเมื่อแปลงเป็นสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์จะได้คำตอบดังต่อไปนี้ ถ้าอัตราส่วนของเส้นผ่านศูนย์กลางของลูกบอลด้านนอกต่อลูกบอลแกนกลางแต่ละลูกคือa , a และถ้าอัตราส่วนของเส้นผ่านศูนย์กลางต่อลูกบอลโซ่คือc , ..., c เราต้องการแสดงc , ..., c ในรูปของ a , a และc ถ้า $${\displaystyle K={\sqrt {3\left[a_{1}a_{2}+a_{2}c_{1}+c_{1}a_{1}-\left({\frac {a_{1}+a_{2}+c_{1}+1}{2}}\right)^{2}\right]}}}$$ แล้ว $${\displaystyle {\begin{aligned}c_{2}&=(a_{1}+a_{2}+c_{1}-1)/2-K\\c_{3}&=(3a_{1}+3a_{2}-c_{1}-3)/2-K\\c_{4}&=2a_{1}+2a_{2}-c_{1}-2\\c_{5}&=(3a_{1}+3a_{2}-c_{1}-3)/2+K\\c_{6}&=(a_{1}+a_{2}+c_{1}-1)/2+K\end{aligned}}}$$ ดังนั้น $${\displaystyle c_{1}+c_{4}=c_{2}+c_{5}=c_{3}+c_{6}.}$$

ถ้าr , ..., r คือเส้นผ่านศูนย์กลางของลูกบอลหกลูก เราจะได้สูตรดังนี้:

$${\displaystyle {\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{4}}}={\frac {1}{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{5}}}={\frac {1}{r_{3}}}+{\frac {1}{r_{6}}}.}$$

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับเฮกเซลเล็ตของซอดดี้

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "เฮกเล็ต" . แมธเวิลด์ .
• บี. อัลลันสัน. "การสร้างภาพเคลื่อนไหวของเฮกเซลเล็ตของซอดดี้ "
• เรขาคณิตของวัดญี่ปุ่นในWayback Machine (เก็บถาวรเมื่อวันที่ 19 มีนาคม 2019) – ภาพเคลื่อนไหวที่ 0 ของปัญหาซังกากุที่ 0 แสดงกรณีที่รัศมีของทรงกลม A และ B เท่ากัน และจุดศูนย์กลางของทรงกลม A, B และ C อยู่บนเส้นเดียวกัน ภาพเคลื่อนไหวที่ 1 แสดงกรณีที่รัศมีของทรงกลม A และ B เท่ากัน และจุดศูนย์กลางของทรงกลม A, B และ C ไม่ อยู่ บนเส้นเดียวกัน ภาพเคลื่อนไหวที่ 2 แสดงกรณีที่รัศมีของทรงกลม A และ B ไม่เท่ากัน ภาพเคลื่อนไหวที่ 3 แสดงกรณีที่จุดศูนย์กลางของทรงกลม A, B และ C อยู่บนเส้นเดียวกัน และรัศมีของทรงกลม A และ B เปลี่ยนแปลงได้
• แบบจำลองของซังกากุที่พิพิธภัณฑ์โฮโตคุในศาลเจ้าซามุคาวะในWayback Machine (เก็บถาวรเมื่อวันที่ 26 สิงหาคม 2016) – ปัญหาที่สามเกี่ยวข้องกับเฮกเซลเล็ตของซอดดี้
• หน้าเว็บของKokonsankan (1832) - ภาควิชาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยเกียวโต
• หน้าของKokonsankan (1832) – หน้าซ้ายเกี่ยวข้องกับ hexlet ของ Soddy