แบบจำลองโซโลว์-สวอน

แบบจำลอง Solow –Swanหรือแบบจำลองการเติบโตภายนอกเป็นแบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์ ของ การเติบโตทางเศรษฐกิจในระยะยาว แบบ จำลองนี้พยายามอธิบายการเติบโตทางเศรษฐกิจในระยะยาวโดยพิจารณาจากการสะสมทุน การเติบโตของแรงงานหรือประชากรและการเพิ่มขึ้นของผลิตภาพซึ่งส่วนใหญ่ขับเคลื่อนโดยความก้าวหน้าทางเทคโนโลยี โดยแก่นแท้แล้ว แบบจำลองนี้เป็นฟังก์ชันการผลิต รวม ซึ่งมักกำหนดให้เป็น แบบ Cobb–Douglasซึ่งทำให้แบบจำลองนี้ “สามารถเชื่อมโยงกับเศรษฐศาสตร์จุลภาค ได้ ” ^{[ 1 ]}^{: 26}แบบจำลองนี้ได้รับการพัฒนาโดยอิสระโดยRobert SolowและTrevor Swanในปี 1956 ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[หมายเหตุ 1 ]}และแทนที่แบบจำลอง Harrod–DomarของKeynesian

ในทางคณิตศาสตร์ แบบจำลอง Solow–Swan เป็นระบบไม่เชิงเส้นที่ประกอบด้วยสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ เพียงสมการเดียว ที่จำลองวิวัฒนาการของ ทุน ต่อหัวประชากรเนื่องจากลักษณะทางคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจเป็นพิเศษ Solow–Swan จึงพิสูจน์แล้วว่าเป็นจุดเริ่มต้นที่สะดวกสำหรับการขยายต่างๆ ตัวอย่างเช่น ในปี 1965 David CassและTjalling Koopmansได้ บูร ณาการการวิเคราะห์การเพิ่มประสิทธิภาพผู้บริโภคของFrank Ramsey ^{[ 4 ]}โดยทำให้มีการกำหนดอัตราการออม^{[ 5 ]}เพื่อสร้างสิ่งที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อแบบจำลอง Ramsey–Cass– Koopmans

พื้นหลัง

แบบจำลอง Solow–Swan เป็นส่วนขยายของแบบจำลอง Harrod–Domar ปี 1946 ที่ตัดข้อสมมติฐานที่จำกัดว่าเฉพาะทุนเท่านั้นที่ก่อให้เกิดการเติบโต (ตราบใดที่มีแรงงานเพียงพอที่จะใช้ทุนทั้งหมด) ผลงานที่สำคัญของแบบจำลองนี้มาจากการทำงานของ Solow และ Swan ในปี 1956 ซึ่งทั้งสองได้พัฒนาแบบจำลองการเติบโตที่ค่อนข้างง่ายโดยอิสระ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}แบบจำลองของ Solow สอดคล้องกับข้อมูลที่มีอยู่เกี่ยวกับ การเติบโตทางเศรษฐกิจ ของสหรัฐฯได้ค่อนข้างดี^{[ 6 ]}ในปี 1987 Solow ได้รับรางวัลโนเบลสาขาเศรษฐศาสตร์จากผลงานของเขา ปัจจุบัน นักเศรษฐศาสตร์ใช้การบัญชีแหล่งที่มาของการเติบโตของ Solow เพื่อประเมินผลกระทบที่แยกต่างหากต่อการเติบโตทางเศรษฐกิจของการเปลี่ยนแปลงทางเทคโนโลยี ทุน และแรงงาน^{[ 7 ]}

แบบจำลองโซโลว์ยังเป็นหนึ่งในแบบจำลองที่ใช้กันอย่างแพร่หลายที่สุดในทางเศรษฐศาสตร์เพื่ออธิบายการเติบโตทางเศรษฐกิจ^{[ 8 ]}โดยพื้นฐานแล้ว แบบจำลองนี้ยืนยันว่าผลลัพธ์ของ " ผลผลิตปัจจัยรวม (TFP) สามารถนำไปสู่การเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัดของมาตรฐานการครองชีพในประเทศ" ^{[ 8 ]}

ส่วนขยายของแบบจำลอง Harrod–Domar

โซโลว์ได้ขยายแบบจำลอง Harrod–Domar โดยเพิ่มแรงงานเป็นปัจจัยการผลิตและอัตราส่วนทุนต่อผลผลิตที่ไม่คงที่เหมือนในแบบจำลอง Harrod–Domar การปรับปรุงเหล่านี้ทำให้ความเข้มข้นของทุน ที่เพิ่มขึ้น สามารถแยกแยะออกจากความก้าวหน้าทางเทคโนโลยีได้ โซโลว์มองว่าฟังก์ชันการผลิตสัดส่วนคงที่เป็น "สมมติฐานที่สำคัญ" ต่อผลลัพธ์ที่ไม่เสถียรในแบบจำลอง Harrod-Domar งานของเขาขยายความในเรื่องนี้โดยการสำรวจนัยยะของข้อกำหนดทางเลือก ได้แก่Cobb–Douglas และ ความยืดหยุ่นของการทดแทนคงที่ทั่วไป (CES ) ^{[ 2 ]}แม้ว่าเรื่องนี้จะกลายเป็นเรื่องราวที่เป็นแบบอย่างและได้รับการยกย่อง^{[ 9 ]}ในประวัติศาสตร์เศรษฐศาสตร์ ซึ่งปรากฏอยู่ในตำราเศรษฐศาสตร์หลายเล่ม^{[ 10 ]}แต่การประเมินผลงานของ Harrod ใหม่ล่าสุดได้โต้แย้งเรื่องนี้ ข้อวิจารณ์หลักประการหนึ่งคือ งานดั้งเดิมของ Harrod ^{[ 11 ]}ไม่ได้เกี่ยวข้องกับการเติบโตทางเศรษฐกิจเป็นหลัก และเขาก็ไม่ได้ใช้ฟังก์ชันการผลิตสัดส่วนคงที่อย่างชัดเจน^{[ 10 ]}^{[ 12 ]}

ผลกระทบในระยะยาว

แบบจำลอง Solow มาตรฐานคาดการณ์ว่าในระยะยาว เศรษฐกิจจะบรรจบกันที่ สมดุล การเติบโตและการเติบโตของรายได้ต่อหัวอย่างถาวรจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อมีความก้าวหน้าทางเทคโนโลยีเท่านั้น การเปลี่ยนแปลงทั้งในด้านการออมและการเติบโตของประชากรจะส่งผลกระทบต่อระดับในระยะยาวเท่านั้น (เช่น ในมูลค่าสัมบูรณ์ของรายได้ที่แท้จริงต่อหัว) ข้อสรุปที่น่าสนใจอย่างหนึ่งของแบบจำลองของ Solow คือ ประเทศยากจนควรเติบโตเร็วกว่าและในที่สุดก็จะตามทันประเทศที่ร่ำรวยกว่าการบรรจบ กันนี้ สามารถอธิบายได้โดย: ^{[ 13 ]}

ความล่าช้าในการเผยแพร่ความรู้ ความแตกต่างของรายได้ที่แท้จริงอาจลดลงเมื่อประเทศยากจนได้รับเทคโนโลยีและข้อมูลที่ดีขึ้น
การจัดสรรกระแสเงินทุนระหว่างประเทศอย่างมีประสิทธิภาพ เนื่องจากอัตราผลตอบแทนจากเงินทุนควรจะสูงกว่าในประเทศที่ยากจนกว่า ในทางปฏิบัติ สิ่งนี้เกิดขึ้นได้ยากและเป็นที่รู้จักกันในชื่อปรากฏการณ์ขัดแย้งของลูคัส
ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์ของแบบจำลอง (โดยสมมติว่าประเทศยากจนยังไม่ถึงสภาวะสมดุล)

Baumolพยายามตรวจสอบสิ่งนี้ในเชิงประจักษ์และพบความสัมพันธ์ที่แข็งแกร่งมากระหว่างการเติบโตของผลผลิตของประเทศในช่วงระยะเวลานาน (ค.ศ. 1870 ถึง 1979) และความมั่งคั่งเริ่มต้นของประเทศนั้น^{[ 14 ]}ต่อมาDeLong ได้โต้แย้งผลการค้นพบของเขา โดยอ้างว่าทั้งการสุ่มตัวอย่างประเทศที่ไม่เป็นแบบสุ่ม และศักยภาพของข้อผิดพลาดในการวัดที่สำคัญสำหรับการประมาณรายได้ที่แท้จริงต่อหัวในปี ค.ศ. 1870 ทำให้ผลการค้นพบของ Baumol มีอคติ DeLong สรุปว่ามีหลักฐานเพียงเล็กน้อยที่จะสนับสนุนทฤษฎีการบรรจบกัน

ข้อสมมติฐาน

ข้อสมมติฐานหลักของแบบจำลองการเติบโตของโซโลว์-สวอน คือ ทุนจะได้รับผลตอบแทนลดลงในระบบเศรษฐกิจแบบปิด

เมื่อปริมาณแรงงานคงที่ ผลกระทบต่อผลผลิตจากการสะสมทุนหน่วยสุดท้ายจะน้อยกว่าหน่วยก่อนหน้าเสมอ
เพื่อความง่าย หากสมมติว่าไม่มีความก้าวหน้าทางเทคโนโลยีหรือการเติบโตของกำลังแรงงาน ผลตอบแทนที่ลดลงหมายความว่า ณ จุดหนึ่ง ปริมาณทุนใหม่ที่ผลิตได้จะเพียงพอที่จะชดเชยปริมาณทุนที่มีอยู่ซึ่งสูญเสียไปเนื่องจากการเสื่อมราคาเท่านั้นณ จุดนี้ เนื่องจากสมมติฐานที่ว่าไม่มีความก้าวหน้าทางเทคโนโลยีหรือการเติบโตของกำลังแรงงาน เราจึงเห็นว่าเศรษฐกิจหยุดการเติบโต
สมมติฐานที่ว่าอัตราการเติบโตของแรงงานไม่เป็นศูนย์นั้นทำให้เรื่องซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย แต่หลักการพื้นฐานยังคงใช้ได้อยู่– ในระยะสั้น อัตราการเติบโตจะชะลอตัวลงเนื่องจากผลตอบแทนที่ลดลงเริ่มมีผล และเศรษฐกิจจะเข้าสู่ระดับการเติบโตคงที่ในภาวะ "สมดุล" (กล่าวคือไม่มีการเติบโตทางเศรษฐกิจต่อหัว)
การรวมความก้าวหน้าทางเทคโนโลยีที่ไม่เป็นศูนย์นั้นคล้ายคลึงกับการสมมติว่าการเติบโตของกำลังแรงงานไม่เป็นศูนย์ในแง่ของ "แรงงานที่มีประสิทธิภาพ" กล่าวคือ จะถึงสภาวะสมดุลใหม่โดยมีผลผลิตคงที่ต่อชั่วโมงการทำงานของคนงานที่จำเป็นสำหรับผลผลิตหนึ่งหน่วยอย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ ผลผลิตต่อหัวจะเติบโตในอัตราเดียวกับความก้าวหน้าทางเทคโนโลยีใน "สภาวะสมดุล"(นั่นคือ อัตราการเติบโตของผลผลิต )

ความแปรผันของผลกระทบจากผลิตภาพ

ในแบบจำลองโซโลว์-สวอน การเปลี่ยนแปลงที่ไม่สามารถอธิบายได้ในอัตราการเติบโตของผลผลิตหลังจากพิจารณาผลกระทบของการสะสมทุนแล้ว เรียกว่าส่วนเหลือของโซโลว์ (Solow residual ) ส่วนเหลือนี้วัดการเพิ่มขึ้นภายนอกของผลิตภาพปัจจัยรวม (Total Factor Productivity : TFP) ในช่วงเวลาหนึ่ง การเพิ่มขึ้นของ TFP มักถูกระบุว่าเป็นผลมาจากความก้าวหน้าทางเทคโนโลยีทั้งหมด แต่ยังรวมถึงการปรับปรุงประสิทธิภาพในการรวมปัจจัยการผลิตอย่างถาวรตลอดเวลาด้วย โดยปริยาย การเติบโตของ TFP รวมถึงการปรับปรุงผลิตภาพอย่างถาวรที่เกิดจากการปรับปรุงแนวทางการจัดการในภาคเอกชนหรือภาครัฐของเศรษฐกิจ ในทางตรงกันข้าม แม้ว่าการเติบโตของ TFP จะเป็นปัจจัยภายนอกในแบบจำลอง แต่ก็ไม่สามารถสังเกตได้ ดังนั้นจึงสามารถประมาณได้เฉพาะเมื่อทำการประมาณผลกระทบของการสะสมทุนต่อการเติบโตในช่วงเวลาหนึ่งพร้อมกันเท่านั้น

สามารถปรับเปลี่ยนรูปแบบโมเดลได้เล็กน้อย โดยใช้สมมติฐานด้านผลิตภาพที่แตกต่างกัน หรือตัวชี้วัดการวัดที่แตกต่างกัน:

ประสิทธิภาพแรงงานเฉลี่ย ( ALP ) คือ ผลผลิตทางเศรษฐกิจต่อชั่วโมงการทำงาน
ผลผลิตหลายปัจจัย ( MFP ) คือ ผลผลิตหารด้วยค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของปัจจัยการผลิตด้านทุนและแรงงาน โดยปกติแล้ว น้ำหนักที่ใช้จะอิงตามส่วนแบ่งรวมของปัจจัยการผลิตแต่ละอย่าง อัตราส่วนนี้มักถูกอ้างถึง เช่น ผลตอบแทนต่อทุน 33% และผลตอบแทนต่อแรงงาน 67% (ในประเทศตะวันตก)

ในเศรษฐกิจที่กำลังเติบโต ทุนจะถูกสะสมเร็วกว่าอัตราการเกิดของประชากร ดังนั้น ตัวหารในฟังก์ชันการเติบโตภายใต้การคำนวณ MFP จึงเติบโตเร็วกว่าในการคำนวณ ALP ด้วยเหตุนี้ การเติบโตของ MFP จึงมักจะต่ำกว่าการเติบโตของ ALP เสมอ (ดังนั้น การวัดในแง่ของ ALP จึงเพิ่ม ผลกระทบ ของการสะสมทุน ที่เห็นได้ชัด ) MFP วัดโดย " ส่วนที่เหลือของโซโลว์ " ไม่ใช่ ALP

คณิตศาสตร์ของแบบจำลอง

แบบจำลองโซโลว์-สวอนในตำราเรียนนั้นตั้งอยู่ใน โลก เวลาต่อเนื่องที่ไม่มีรัฐบาลหรือการค้าระหว่างประเทศสินค้า เพียงชนิดเดียว (ผลผลิต) ถูกผลิตขึ้นโดยใช้ปัจจัยการผลิตสองอย่าง คือแรงงาน ( $L$ ) และทุน ( $K$ ) ในฟังก์ชันการผลิตรวมที่ตรงตามเงื่อนไขของ Inadaซึ่งหมายความว่าความยืดหยุ่นของการทดแทนจะต้องเท่ากับหนึ่งโดยประมาณ^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}

Y(t)=K(t)^{\alpha }(A(t)L(t))^{1-\alpha }\,

ที่ไหน $t$ หมายถึงเวลา $0<\alpha <1$ คือความยืดหยุ่นของผลผลิตเมื่อเทียบกับทุน และ $Y(t)$ แสดงถึงผลผลิตรวม $A$ หมายถึงเทคโนโลยีหรือ " ความรู้ " ที่ช่วยเสริมศักยภาพแรงงานดังนั้น $AL$ แสดงถึงแรงงานที่มีประสิทธิภาพ ปัจจัยการผลิตทั้งหมดถูกใช้ประโยชน์อย่างเต็มที่ และค่าเริ่มต้น $A(0)$ , $K(0)$ , และ $L(0)$ มีการกำหนดจำนวนคนงานหรือแรงงาน รวมทั้งระดับเทคโนโลยี ซึ่งเติบโตจากปัจจัยภายนอกในอัตราต่างๆ $n$ และ $g$ ตามลำดับ:

L(t)=L(0)e^{nt}

A(t)=A(0)e^{gt}

จำนวนหน่วยแรงงานที่มีประสิทธิภาพ $A(t)L(t)$ ดังนั้นจึงเติบโตในอัตรา $(n+g)$ ในขณะเดียวกันมูลค่าของทุน จะเสื่อมลงตามกาลเวลาในอัตราคงที่ $\delta$ อย่างไรก็ตาม มีเพียงส่วนน้อยของผลผลิตเท่านั้น ( $cY(t)$ กับ $0<c<1$ ) ถูกใช้ไปเหลือส่วนแบ่งที่เก็บไว้ $s=1-c$ เพื่อการลงทุนพลวัตนี้แสดงออกผ่านสมการเชิงอนุพันธ์ ต่อไปนี้ :

{\frac {dK(t)}{dt}}=s\cdot Y(t)-\delta \cdot K(t)\,

${\frac {dK(t)}{dt}}$ คืออนุพันธ์ของทุนคงเหลือเทียบกับเวลา จะมีค่าเป็นบวกเมื่อจำนวนเงินออมสัมบูรณ์ $s\cdot Y(t)$ เกินกว่าการเสื่อมสลายโดยรวมของทุน $\delta \cdot K(t)$ .

เนื่องจากฟังก์ชันการผลิต $Y(K,AL)$ มีผลตอบแทนคงที่ต่อขนาดการผลิตสามารถเขียนได้เป็นผลผลิตต่อหน่วยแรงงานที่มีประสิทธิภาพ $y$ ซึ่งเป็นมาตรวัดการสร้างความมั่งคั่ง: ^{[หมายเหตุ 2 ]}

y(t)={\frac {Y(t)}{A(t)L(t)}}=k(t)^{\alpha }

จุดเด่นหลักของแบบจำลองนี้คือพลวัตของความเข้มข้นของทุน $k$ ปริมาณทุนต่อหน่วยแรงงานที่มีประสิทธิภาพ พฤติกรรมของมันเมื่อเวลาผ่านไปนั้นกำหนดโดยสมการหลักของแบบจำลอง Solow–Swan: ^{[หมายเหตุ 3 ]}

{\dot {k}}(t)=sk(t)^{\alpha }-(n+g+\delta )k(t)

เทอมแรก $sk(t)^{\alpha }=sy(t)$ คือการลงทุนจริงต่อหน่วยแรงงานที่มีประสิทธิภาพ: เศษส่วน $s$ ของผลผลิตต่อหน่วยแรงงานที่มีประสิทธิภาพ $y(t)$ นั่นคือเงินออมและเงินลงทุน ส่วนที่สอง $(n+g+\delta )k(t)$ คือ “การลงทุนที่คุ้มทุน”: จำนวนเงินลงทุนที่ต้องลงทุนเพื่อป้องกันความเสี่ยง $k$ จากการตก^{[ 17 ]}^{: 16}สมการบ่งชี้ว่า $k(t)$ ลู่เข้าสู่ค่าคงที่ของสถานะ $k^{*}$ กำหนดโดย $sk(t)^{\alpha }=(n+g+\delta )k(t)$ ซึ่งความเข้มข้นของทุนจะไม่เพิ่มขึ้นหรือลดลง:

k^{*}=\left({\frac {s}{n+g+\delta }}\right)^{1/(1-\alpha )}\,

ซึ่ง ณ ทุนสำรอง $K$ และแรงงานที่มีประสิทธิภาพ $AL$ กำลังเติบโตในอัตรา $(n+g)$ ในทำนองเดียวกัน ก็สามารถคำนวณสภาวะสมดุลของความมั่งคั่งที่สร้างขึ้นได้เช่นกัน $y^{*}$ ที่สอดคล้องกับ $k^{*}$ :

y^{*}=\left({\frac {s}{n+g+\delta }}\right)^{\alpha /(1-\alpha )}\,

โดยสมมติว่าผลตอบแทนคงที่ ผลผลิต $Y$ ก็เติบโตในอัตรานั้นเช่นกัน โดยพื้นฐานแล้ว แบบจำลอง Solow–Swan ทำนายว่าเศรษฐกิจจะบรรจบกันที่สมดุลการเติบโตไม่ว่าจุดเริ่มต้นจะเป็นอย่างไร ในสถานการณ์นี้ การเติบโตของผลผลิตต่อคนงานจะถูกกำหนดโดยอัตราความก้าวหน้าทางเทคโนโลยีเท่านั้น^{[ 17 ]}^{: 18}

เนื่องจากตามนิยามแล้ว ${\frac {K(t)}{Y(t)}}=k(t)^{1-\alpha }$ ณ จุดสมดุล $k^{*}$ เรามี

{\frac {K(t)}{Y(t)}}={\frac {s}{n+g+\delta }}

ดังนั้น ณ จุดสมดุล อัตราส่วนทุนต่อผลผลิตจึงขึ้นอยู่กับอัตราการออม การเติบโต และการเสื่อมราคาเท่านั้น นี่คืออัตราการออมตามกฎทองคำใน แบบจำลองโซโลว์-สวอน

เนื่องจาก ${\alpha }<1$ ในเวลาใดก็ได้ $t$ ผลผลิตส่วนเพิ่มของทุน $K(t)$ ในแบบจำลอง Solow–Swan นั้น ความสัมพันธ์จะผกผันกับอัตราส่วนทุนต่อแรงงาน

MPK={\frac {\partial Y}{\partial K}}={\frac {\alpha A^{1-\alpha }}{(K/L)^{1-\alpha }}}

หากผลผลิตเพิ่มขึ้น $A$ เหมือนกันในทุกประเทศ จากนั้นจึงเป็นประเทศที่มีทุนต่อแรงงานน้อยกว่า $K/L$ มีผลผลิตส่วนเพิ่มที่สูงกว่า ซึ่งจะให้ผลตอบแทนจากการลงทุนที่สูงกว่า ดังนั้น แบบจำลองจึงคาดการณ์ว่าในโลกของเศรษฐกิจแบบตลาดเสรีและทุนทางการเงินระดับโลก การลงทุนจะไหลจากประเทศร่ำรวยไปยังประเทศยากจน จนกระทั่งทุน/แรงงานสมดุลกัน $K/L$ และรายได้/คนงาน $Y/L$ สร้างความเท่าเทียมกันในทุกประเทศ

เนื่องจากผลผลิตส่วนเพิ่มของทุนทางกายภาพไม่ได้สูงกว่าในประเทศยากจนเมื่อเทียบกับประเทศร่ำรวย^{[ 18 ]}นั่นหมายความว่าผลิตภาพจะต่ำกว่าในประเทศยากจน แบบจำลอง Solow พื้นฐานไม่สามารถอธิบายได้ว่าทำไมผลิตภาพจึงต่ำกว่าในประเทศเหล่านี้ Lucas แนะนำว่าระดับทุนมนุษย์ที่ต่ำกว่าในประเทศยากจนอาจอธิบายถึงผลิตภาพที่ต่ำกว่าได้^{[ 19 ]}

หากอัตราผลตอบแทน $r$ เท่ากับผลผลิตส่วนเพิ่มของทุน ${\frac {\partial Y}{\partial K}}$ แล้ว

{\frac {rK}{Y}}={\frac {K{\frac {\partial Y}{\partial K}}}{Y}}=\alpha \,

ดังนั้น $\alpha$ คือสัดส่วนของรายได้ที่ถูกจัดสรรโดยทุน ดังนั้น แบบจำลองโซโลว์-สวอนจึงตั้งสมมติฐานตั้งแต่แรกว่าการแบ่งรายได้ระหว่างแรงงานและทุนนั้นคงที่

แบบจำลองเวอร์ชัน Mankiw–Romer–Weil

การเพิ่มทุนมนุษย์

ในปี พ.ศ. 2535 N. Gregory Mankiw , David RomerและDavid N. Weilได้เสนอทฤษฎีเกี่ยวกับแบบจำลอง Solow-Swan เวอร์ชันที่ปรับปรุงให้รวมบทบาทของทุนมนุษย์ซึ่งสามารถอธิบายความล้มเหลวของการลงทุนระหว่างประเทศที่ไหลไปยังประเทศยากจนได้^{[ 20 ]}ในแบบจำลองนี้ ผลผลิตและผลผลิตส่วนเพิ่มของทุน (K) จะต่ำกว่าในประเทศยากจนเนื่องจากมีทุนมนุษย์น้อยกว่าประเทศร่ำรวย

เช่นเดียวกับแบบจำลอง Solow–Swan ในตำราเรียน ฟังก์ชันการผลิตเป็นแบบ Cobb–Douglas:

Y(t)=K(t)^{\alpha }H(t)^{\beta }(A(t)L(t))^{1-\alpha -\beta },

ที่ไหน $H(t)$ คือทุนมนุษย์ซึ่งเสื่อมค่าลงในอัตราเดียวกัน $\delta$ ในฐานะทุนทางกายภาพ เพื่อความง่าย พวกเขาจึงสมมติว่าฟังก์ชันการสะสมเหมือนกันสำหรับทุนทั้งสองประเภท เช่นเดียวกับในทฤษฎีของโซโลว์-สวอน เศษส่วนของผลลัพธ์ $sY(t)$ เงินจำนวนนี้จะถูกเก็บออมไว้ในแต่ละช่วงเวลา แต่ในกรณีนี้จะถูกแบ่งและนำไปลงทุนในทุนทางกายภาพและทุนมนุษย์บางส่วน ดังนี้ $s=s_{K}+s_{H}$ ดังนั้น ในแบบจำลองนี้จึงมีสมการพลวัตพื้นฐานสองสมการ:

{\dot {k}}=s_{K}k^{\alpha }h^{\beta }-(n+g+\delta )k

{\dot {h}}=s_{H}k^{\alpha }h^{\beta }-(n+g+\delta )h

เส้นทางการเติบโตที่สมดุล (หรือสภาวะคงที่) นั้นถูกกำหนดโดย ${\dot {k}}={\dot {h}}=0$ ซึ่งหมายความว่า $s_{K}k^{\alpha }h^{\beta }-(n+g+\delta )k=0$ และ $s_{H}k^{\alpha }h^{\beta }-(n+g+\delta )h=0$ การหาค่าระดับสภาวะคงที่ของ $k$ และ $h$ ผลลัพธ์:

k^{*}=\left({\frac {s_{K}^{1-\beta }s_{H}^{\beta }}{n+g+\delta }}\right)^{\frac {1}{1-\alpha -\beta }}

h^{*}=\left({\frac {s_{K}^{\alpha }s_{H}^{1-\alpha }}{n+g+\delta }}\right)^{\frac {1}{1-\alpha -\beta }}

ในสภาวะคงที่ $y^{*}=(k^{*})^{\alpha }(h^{*})^{\beta }$ .

การประมาณค่าทางเศรษฐศาสตร์

Klenow และ Rodriguez-Clare ตั้งข้อสงสัยเกี่ยวกับความถูกต้องของแบบจำลองที่ปรับปรุงแล้ว เนื่องจากประมาณการของ Mankiw, Romer และ Weil ของ ${\beta }$ ดูเหมือนจะไม่สอดคล้องกับการประมาณการที่ยอมรับกันโดยทั่วไปเกี่ยวกับผลกระทบของการเพิ่มระดับการศึกษาต่อเงินเดือนของคนงาน แม้ว่าแบบจำลองที่ประมาณการไว้จะอธิบายความแปรปรวนของรายได้ระหว่างประเทศได้ถึง 78% แต่การประมาณการของ ${\beta }$ แสดงให้เห็นว่าผลกระทบภายนอกของทุนมนุษย์ต่อรายได้ประชาชาติมีมากกว่าผลกระทบโดยตรงต่อเงินเดือนของคนงาน^{[ 21 ]}

การคำนึงถึงผลกระทบภายนอก

ธีโอดอร์ เบรตัน ได้ให้ข้อมูลเชิงลึกที่เชื่อมโยงผลกระทบขนาดใหญ่ของทุนมนุษย์จากการศึกษาในแบบจำลองของแมนคิว โรเมอร์ และไวล์ กับผลกระทบที่น้อยกว่าของการศึกษาต่อเงินเดือนของคนงาน เขาแสดงให้เห็นว่าคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ของแบบจำลองนั้นรวมถึงผลกระทบภายนอกที่สำคัญระหว่างปัจจัยการผลิต เนื่องจากทุนมนุษย์และทุนทางกายภาพเป็นปัจจัยการผลิตแบบทวีคูณ^{[ 22 ]}ผลกระทบภายนอกของทุนมนุษย์ต่อผลิตภาพของทุนทางกายภาพนั้นเห็นได้ชัดในผลผลิตส่วนเพิ่มของทุนทางกายภาพ:

MPK={\frac {\partial Y}{\partial K}}={\frac {\alpha A^{1-\alpha }(H/L)^{\beta }}{(K/L)^{1-\alpha }}}

เขาแสดงให้เห็นว่าการประมาณค่าขนาดใหญ่ของผลกระทบของทุนมนุษย์ในการประมาณค่าข้ามประเทศของแบบจำลองนั้นสอดคล้องกับผลกระทบที่เล็กกว่าที่มักพบในเงินเดือนของคนงานเมื่อพิจารณาผลกระทบภายนอกของทุนมนุษย์ที่มีต่อทุนทางกายภาพและแรงงาน ข้อมูลเชิงลึกนี้ช่วยเสริมความแข็งแกร่งให้กับกรณีของแบบจำลอง Solow–Swan เวอร์ชัน Mankiw, Romer และ Weil อย่างมีนัยสำคัญ การวิเคราะห์ส่วนใหญ่ที่วิพากษ์วิจารณ์แบบจำลองนี้ล้มเหลวในการพิจารณาผลกระทบภายนอกทางการเงินของทุนทั้งสองประเภทที่มีอยู่ในแบบจำลอง^{[ 22 ]}

ผลผลิตปัจจัยรวม

อัตราการเติบโตของ TFP ( ผลิตภาพปัจจัยรวม ) ที่เป็นปัจจัยภายนอกในแบบจำลอง Solow–Swan คือส่วนที่เหลือหลังจากคำนึงถึงการสะสมทุนแล้ว แบบจำลอง Mankiw, Romer และ Weil ให้ค่าประมาณของ TFP (ส่วนที่เหลือ) ที่ต่ำกว่าแบบจำลอง Solow–Swan พื้นฐาน เนื่องจากการเพิ่มทุนมนุษย์เข้าไปในแบบจำลองทำให้การสะสมทุนสามารถอธิบายความแปรปรวนของรายได้ระหว่างประเทศได้มากขึ้น ในแบบจำลองพื้นฐาน ส่วนที่เหลือของ TFP จะรวมผลกระทบของทุนมนุษย์ไว้ด้วย เนื่องจากทุนมนุษย์ไม่ได้ถูกรวมไว้เป็นปัจจัยการผลิต

การบรรจบกันแบบมีเงื่อนไข

แบบจำลอง Solow–Swan ที่เสริมด้วยทุนมนุษย์ทำนายว่าระดับรายได้ของประเทศยากจนจะมีแนวโน้มที่จะตามทันหรือบรรจบกับระดับรายได้ของประเทศร่ำรวย หากประเทศยากจนมีอัตราการออมที่คล้ายคลึงกันทั้งในส่วนของทุนทางกายภาพและทุนมนุษย์เมื่อเทียบกับสัดส่วนของผลผลิต ซึ่งเป็นกระบวนการที่เรียกว่าการบรรจบกันแบบมีเงื่อนไข อย่างไรก็ตาม อัตราการออมมีความแตกต่างกันอย่างมากในแต่ละประเทศ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เนื่องจากมีข้อจำกัดทางการเงินจำนวนมากสำหรับการลงทุนด้านการศึกษา อัตราการออมสำหรับทุนมนุษย์จึงมีแนวโน้มที่จะแตกต่างกันไปตามลักษณะทางวัฒนธรรมและอุดมการณ์ในแต่ละประเทศ^{[ 23 ]}

นับตั้งแต่ทศวรรษ 1950 เป็นต้นมา ผลผลิตต่อแรงงานในประเทศร่ำรวยและประเทศยากจนโดยทั่วไปไม่ได้บรรจบกัน แต่ประเทศยากจนเหล่านั้นที่เพิ่มอัตราการออมขึ้นอย่างมากได้ประสบกับการบรรจบกันของรายได้ตามที่แบบจำลองโซโลว์-สวอนคาดการณ์ไว้ ตัวอย่างเช่น ผลผลิตต่อแรงงานในญี่ปุ่นซึ่งเป็นประเทศที่เคยยากจน ได้บรรจบกันสู่ระดับของประเทศร่ำรวย ญี่ปุ่นมีอัตราการเติบโตสูงหลังจากเพิ่มอัตราการออมในช่วงทศวรรษ 1950 และ 1960 และมีอัตราการเติบโตของผลผลิตต่อแรงงานชะลอตัวลงนับตั้งแต่ที่อัตราการออมมีเสถียรภาพประมาณปี 1970 ตามที่แบบจำลองคาดการณ์ไว้

ระดับรายได้ต่อหัวของรัฐทางตอนใต้ของสหรัฐอเมริกา มีแนวโน้มที่จะเข้าใกล้ระดับรายได้ต่อหัวของรัฐทางตอนเหนือ การเข้าใกล้กันที่สังเกตได้ในรัฐเหล่านี้ สอดคล้องกับ แนวคิด การเข้าใกล้กันแบบมีเงื่อนไข ด้วย เช่นกัน การเข้าใกล้กันอย่างสมบูรณ์ระหว่างประเทศหรือภูมิภาคจะเกิดขึ้นหรือไม่นั้น ขึ้นอยู่กับว่าประเทศหรือภูมิภาคเหล่านั้นมีลักษณะที่คล้ายคลึงกันหรือไม่ เช่น:

นโยบายการศึกษา
การจัดระเบียบเชิงสถาบัน
ตลาดเสรีภายในประเทศ และนโยบายการค้ากับประเทศอื่น ๆ^{[ 24 ]}

หลักฐานเพิ่มเติมสำหรับการบรรจบกันแบบมีเงื่อนไขมาจากการถดถอยข้ามประเทศแบบหลายตัวแปร^{[ 25 ]}

การวิเคราะห์ ทางเศรษฐศาสตร์ เกี่ยวกับสิงคโปร์และ " เสือเอเชียตะวันออก " อื่นๆได้ผลลัพธ์ที่น่าประหลาดใจว่า แม้ว่าผลผลิตต่อคนงานจะเพิ่มขึ้น แต่การเติบโตอย่างรวดเร็วของพวกเขาส่วนใหญ่ไม่ได้เกิดจากการเพิ่มขึ้นของผลิตภาพต่อหัว (พวกเขามี " ส่วนเหลือของโซโลว์ " ต่ำ) ^{[ 7 ]}

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

↑แนวคิดในการใช้ฟังก์ชันการผลิตของคอบบ์–ดักลาสที่เป็นแกนกลางของแบบจำลองการเติบโตมีมาตั้งแต่ Tinbergen, J. (1942) "ซูร์ ทฤษฎี เดอ แลงฟริสติเกน เวิร์ตชาฟเซนต์วิคลุง" เอกสารWeltwirtschaftliches 55 : 511– 549. จสตอร์40430851 ดูBrems, Hans ( 1986). "การเติบโตแบบนีโอคลาสสิก: ทินเบอร์เกนและโซโลว์"ทฤษฎีเศรษฐศาสตร์บุกเบิก 1630–1980บัลติมอร์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยจอห์นส์ฮอปกินส์ หน้า362–368 ISBN 978-0-8018-2667-2.
↑ขั้นตอนการคำนวณทีละขั้นตอน: $y(t)={\frac {Y(t)}{A(t)L(t)}}={\frac {K(t)^{\alpha }(A(t)L(t))^{1-\alpha }}{A(t)L(t)}}={\frac {K(t)^{\alpha }}{(A(t)L(t))^{\alpha }}}=k(t)^{\alpha }$
↑ขั้นตอนการคำนวณทีละขั้นตอน: ${\dot {k}}(t)={\frac {{\dot {K}}(t)}{A(t)L(t)}}-{\frac {K(t)}{[A(t)L(t)]^{2}}}[A(t){\dot {L}}(t)+L(t){\dot {A}}(t)]={\frac {{\dot {K}}(t)}{A(t)L(t)}}-{\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}{\frac {{\dot {L}}(t)}{L(t)}}-{\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}{\frac {{\dot {A}}(t)}{A(t)}}$ . เนื่องจาก ${\dot {K}}(t)=sY(t)-\delta K(t)\,$ , และ ${\frac {{\dot {L}}(t)}{L(t)}}$ , ${\frac {{\dot {A}}(t)}{A(t)}}$ เป็น $n$ และ $g$ ตามลำดับ สมการจะลดรูปเหลือดังนี้ ${\dot {k}}(t)=s{\frac {Y(t)}{A(t)L(t)}}-\delta {\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}-n{\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}-g{\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}=sy(t)-\delta k(t)-nk(t)-gk(t)$ ดังที่กล่าวมาข้างต้น $y(t)=k(t)^{\alpha }$ .

อ่านเพิ่มเติม

Agénor, Pierre-Richard (2004). "การเติบโตและความก้าวหน้าทางเทคโนโลยี: แบบจำลองโซโลว์-สวอน" เศรษฐศาสตร์ของการปรับตัวและการเติบโต ( ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). เคมบริดจ์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ด. หน้า439–462 . ISBN 978-0-674-01578-4.
Barro, Robert J. ; Sala-i-Martin, Xavier (2004). "แบบจำลองการเติบโตที่มีอัตราการออมภายนอก" . การเติบโตทางเศรษฐกิจ ( ฉบับที่สอง). นิวยอร์ก: McGraw-Hill. หน้า23–84 . ISBN 978-0-262-02553-9.
Burmeister, Edwin; Dobell, A. Rodney (1970). "แบบจำลองการเติบโตแบบภาคเดียว" ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของการเติบโตทางเศรษฐกิจนิวยอร์ก: Macmillan. หน้า20–64 .
Dornbusch, Rüdiger ; Fischer, Stanley ; Startz, Richard (2004). "ทฤษฎีการเติบโต: แบบจำลองนีโอคลาสสิก" เศรษฐศาสตร์ มหภาค ( ฉบับที่เก้า). นิวยอร์ก: McGraw-Hill Irwin. หน้า61–75 . ISBN 978-0-07-282340-0.
Farmer, Roger EA (1999). "ทฤษฎีการเติบโตแบบนีโอคลาสสิก" เศรษฐศาสตร์มหภาค ( ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). ซินซินเนติ: เซาท์-เวสเทิร์น. หน้า333–355 . ISBN 978-0-324-12058-5.
เฟอร์กูสัน, ไบรอัน เอส.; ลิม, จีซี (1998). บทนำสู่แบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์เชิงพลวัต . แมนเชสเตอร์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยแมนเชสเตอร์. หน้า42–48 . ISBN 978-0-7190-4996-5.
Gandolfo, Giancarlo (1996). "แบบจำลองการเติบโตแบบนีโอคลาสสิก" . พลวัตทางเศรษฐกิจ ( ฉบับที่สาม). เบอร์ลิน: Springer. หน้า175–189 . ISBN 978-3-540-60988-9.
Halsmayer, Verena (2024). การจัดการการเติบโตในขนาดเล็ก: แบบจำลองของ Solow ในฐานะสิ่งประดิษฐ์ . เคมบริดจ์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. doi : 10.1017/9781009092340 . ISBN 9781009092340.
Halsmayer, Verena (2014). "จากการสร้างแบบจำลองเชิงสำรวจสู่ความเชี่ยวชาญทางเทคนิค: แบบจำลองการเติบโตของ Solow ในฐานะการออกแบบอเนกประสงค์" . ประวัติศาสตร์เศรษฐศาสตร์การเมือง . 46 (ภาคผนวก 1, MIT และการเปลี่ยนแปลงของเศรษฐศาสตร์อเมริกัน ): 229– 251. doi : 10.1215/00182702-2716181 . สืบค้นเมื่อ2017-11-29 .
Intriligator, Michael D. (1971). การหาค่าเหมาะสมที่สุดทางคณิตศาสตร์และทฤษฎีเศรษฐศาสตร์ . Englewood Cliffs: Prentice-Hall. หน้า398–416 . ISBN 978-0-13-561753-3.
van Rijckeghem Willy (1963) : โครงสร้างของแบบจำลองการเติบโตทางเศรษฐกิจมหภาคบางแบบ : การเปรียบเทียบวารสาร Weltwirtschaftliches Archivเล่มที่ 91 หน้า 84–100

ลิงก์ภายนอก

วิดีโอเกี่ยวกับแบบจำลองโซโลว์ - วิดีโอมากกว่า 20 คลิปที่อธิบายขั้นตอนการหาข้อสรุปของแบบจำลองการเติบโตของโซโลว์
คำอธิบายวิดีโอโดยมหาวิทยาลัย Marginal Revolution
แอปเพล็ต Java ที่คุณสามารถทดลองกับพารามิเตอร์และเรียนรู้เกี่ยวกับแบบจำลอง Solow ได้
แบบจำลองการเติบโตของโซโลว์โดยฟิโอน่า แมคลาคลานโครงการสาธิตของวูลฟราม
คำอธิบายทีละขั้นตอนเกี่ยวกับวิธีการทำความเข้าใจแบบจำลองโซโลว์
หลักสูตรของศาสตราจารย์ José-Víctor Ríos-Rull ที่มหาวิทยาลัยมินนิโซตา

[4] แนวคิดในการใช้ฟังก์ชันการผลิตของคอบบ์–ดักลาสที่เป็นแกนกลางของแบบจำลองการเติบโตมีมาตั้งแต่ Tinbergen, J. (1942) "ซูร์ ทฤษฎี เดอ แลงฟริสติเกน เวิร์ตชาฟเซนต์วิคลุง" เอกสารWeltwirtschaftliches 55 : 511– 549. จสตอร์40430851 ดูBrems, Hans ( 1986). "การเติบโตแบบนีโอคลาสสิก: ทินเบอร์เกนและโซโลว์"ทฤษฎีเศรษฐศาสตร์บุกเบิก 1630–1980บัลติมอร์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยจอห์นส์ฮอปกินส์ หน้า362–368 ISBN 978-0-8018-2667-2.

[18] ขั้นตอนการคำนวณทีละขั้นตอน: $y(t)={\frac {Y(t)}{A(t)L(t)}}={\frac {K(t)^{\alpha }(A(t)L(t))^{1-\alpha }}{A(t)L(t)}}={\frac {K(t)^{\alpha }}{(A(t)L(t))^{\alpha }}}=k(t)^{\alpha }$

[19] ขั้นตอนการคำนวณทีละขั้นตอน: ${\dot {k}}(t)={\frac {{\dot {K}}(t)}{A(t)L(t)}}-{\frac {K(t)}{[A(t)L(t)]^{2}}}[A(t){\dot {L}}(t)+L(t){\dot {A}}(t)]={\frac {{\dot {K}}(t)}{A(t)L(t)}}-{\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}{\frac {{\dot {L}}(t)}{L(t)}}-{\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}{\frac {{\dot {A}}(t)}{A(t)}}$ . เนื่องจาก ${\dot {K}}(t)=sY(t)-\delta K(t)\,$ , และ ${\frac {{\dot {L}}(t)}{L(t)}}$ , ${\frac {{\dot {A}}(t)}{A(t)}}$ เป็น $n$ และ $g$ ตามลำดับ สมการจะลดรูปเหลือดังนี้ ${\dot {k}}(t)=s{\frac {Y(t)}{A(t)L(t)}}-\delta {\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}-n{\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}-g{\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}=sy(t)-\delta k(t)-nk(t)-gk(t)$ ดังที่กล่าวมาข้างต้น $y(t)=k(t)^{\alpha }$ .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[หมายเหตุ 1 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[หมายเหตุ 2 ]

[หมายเหตุ 3 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]