สมมติฐานการทำให้เป็นเรขาคณิต

ในทางคณิตศาสตร์ข้อสันนิษฐานเรื่องการสร้างรูปทรงเรขาคณิตของเธอร์สตัน (ปัจจุบันเป็นทฤษฎีบท ) กล่าวว่า ปริภูมิเชิงทอพอโลยีสามมิติบางประเภท จะมีโครงสร้าง ทางเรขาคณิตเฉพาะตัวที่สามารถเชื่อมโยงกับปริภูมินั้นได้ นี่เป็นสิ่งที่คล้ายคลึงกับทฤษฎีบทการทำให้เป็น เอกรูปสำหรับ พื้นผิวสองมิติ ซึ่งกล่าวว่า พื้นผิวรีมันน์ที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย ทุก พื้นผิว สามารถกำหนดรูปทรงเรขาคณิตได้หนึ่งในสามแบบ ( แบบยุคลิดแบบทรงกลมหรือแบบไฮเปอร์โบลิก )

ในสามมิติ การกำหนดรูปทรงเรขาคณิตเพียงรูปเดียวให้กับปริภูมิเชิงทอพอโลยีทั้งหมดนั้นไม่ใช่เรื่องง่ายเสมอไป แต่ข้อสันนิษฐานเรื่องการสร้างรูปทรงเรขาคณิต (geometrization conjecture) ระบุว่าปริภูมิสามมิติแบบ ปิดทุกอัน สามารถแยกย่อยออกเป็นชิ้นส่วนต่างๆ ได้อย่างเป็นระบบ โดยแต่ละชิ้นส่วนจะมีโครงสร้างทางเรขาคณิต 8 ประเภท ข้อสันนิษฐานนี้เสนอโดยวิลเลียม เธอร์สตัน  ( 1982 ) ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของ คำถาม 24 ข้อของเขาและนำไปสู่ข้อสันนิษฐานอื่นๆ อีกหลายข้อ เช่น ข้อสันนิษฐานของปวงกาเร (Poincaré conjecture ) และข้อสันนิษฐานเรื่องการทำให้เป็นวงรีของเธอร์สตัน (Thurston's elliptization conjecture )

ทฤษฎีบทไฮเปอร์โบไลเซชันของเธอร์สตัน บ่งชี้ว่า แมนิโฟ ลด์ฮาเคนสอดคล้องกับข้อสันนิษฐานเรื่องเรขาคณิต เธอร์สตันประกาศการพิสูจน์ในทศวรรษ 1980 และตั้งแต่นั้นมาก็มีการตีพิมพ์บทพิสูจน์ที่สมบูรณ์หลายฉบับ

ในปี 2003 Grigori Perelmanได้ประกาศการพิสูจน์ข้อสันนิษฐานเรื่องการสร้างรูปทรงเรขาคณิตอย่างสมบูรณ์โดยใช้การไหลของ Ricciร่วมกับการผ่าตัดในบทความสองฉบับที่เผยแพร่บนเซิร์ฟเวอร์พรีพรินต์ arxiv.org บทความของ Perelman ได้รับการศึกษาโดยกลุ่มอิสระหลายกลุ่ม ซึ่งได้จัดทำหนังสือและเอกสารออนไลน์ที่เติมเต็มรายละเอียดทั้งหมดของข้อโต้แย้งของเขา การตรวจสอบเสร็จสมบูรณ์ทันเวลา ทำให้ Perelman ได้รับรางวัลFields Medal ประจำปี 2006 สำหรับผลงานของเขา และในปี 2010 สถาบันคณิตศาสตร์ Clayได้มอบรางวัลมูลค่า 1 ล้านดอลลาร์สหรัฐให้แก่เขาสำหรับการแก้ข้อสันนิษฐานของ Poincaré แม้ว่า Perelman จะปฏิเสธรางวัลทั้งสองก็ตาม

ข้อสันนิฐานของปวงกาเรและข้อสันนิฐานเกี่ยวกับรูปทรงทรงกลมในปริภูมิเป็นผลลัพธ์ที่ได้จากข้อสันนิฐานเกี่ยวกับการสร้างรูปทรงเรขาคณิต แม้ว่าจะมีบทพิสูจน์ที่สั้นกว่าของข้อสันนิฐานของปวงกาเรซึ่งไม่ได้นำไปสู่ข้อสันนิฐานเกี่ยวกับการสร้างรูปทรงเรขาคณิตก็ตาม

ระนาบ 3 มิติ เรียกว่าระนาบปิดถ้ามันกะทัดรัด – ไม่มี "จุดทะลุ" หรือ "จุดปลายที่หายไป" – และไม่มีขอบเขต ("ขอบ")

แมนิโฟลด์ 3 มิติแบบปิดทุกอันมีการแยกส่วนแบบไพรม์ : ซึ่งหมายความว่ามันคือผลรวมที่เชื่อมต่อกัน ("การติดกาวเข้าด้วยกัน") ของแมนิโฟลด์ 3 มิติแบบ ไพรม์ ^{[ a ]}สิ่งนี้ช่วยลดการศึกษาแมนิโฟลด์ 3 มิติส่วนใหญ่ให้เหลือเพียงกรณีของแมนิโฟลด์ 3 มิติแบบไพรม์: แมนิโฟลด์ที่ไม่สามารถเขียนเป็นผลรวมที่เชื่อมต่อกันที่ไม่ใช่แบบธรรมดาได้

นี่คือข้อความแสดงสมมติฐานของเธอร์สตัน:

แมนิโฟลด์ 3 มิติปิดที่ มี ทิศทางเฉพาะทุกอันสามารถถูกตัดตามทอรัส 2 มิติได้ โดยที่ภายในของแมนิโฟลด์แต่ละอันที่ได้จะมีโครงสร้างทางเรขาคณิตที่มีปริมาตรจำกัด

ใน 3 มิติ มีโครงสร้างทางเรขาคณิตที่เป็นไปได้ 8 แบบ มีวิธีการตัดแบบน้อยที่สุดที่ไม่ซ้ำกันของ 3-แมนิโฟลด์แบบมีทิศทางที่ไม่สามารถลดทอนได้ตามแนวทอรัสออกเป็นชิ้นส่วนที่เป็นแมนิโฟลด์แบบ Seifertหรืออะโทรอยดัล เรียกว่าการแยกส่วนแบบ JSJซึ่งไม่เหมือนกับการแยกส่วนในข้อสันนิษฐานเรื่องการสร้างรูปทรงเรขาคณิตเสียทีเดียว เพราะบางชิ้นส่วนในการแยกส่วนแบบ JSJ อาจไม่มีโครงสร้างทางเรขาคณิตที่มีปริมาตรจำกัด (ตัวอย่างเช่น ทอรัสการแมปของแผนที่ Anosovของทอรัสมีโครงสร้างปริมาตรจำกัด แต่การแยกส่วนแบบ JSJ จะตัดมันออกตามแนวทอรัสหนึ่งเพื่อสร้างผลคูณของทอรัสและช่วงหน่วย และภายในของสิ่งนี้ไม่มีโครงสร้างทางเรขาคณิตที่มีปริมาตรจำกัด)

สำหรับแมนิโฟลด์ที่ไม่กำหนดทิศทาง วิธีที่ง่ายที่สุดในการกล่าวถึงสมมติฐานการสร้างรูปทรงเรขาคณิตคือการใช้การปกคลุมคู่แบบกำหนดทิศทาง ก่อน นอกจากนี้ยังสามารถทำงานโดยตรงกับแมนิโฟลด์ที่ไม่สามารถกำหนดทิศทางได้ แต่จะทำให้เกิดความซับซ้อนเพิ่มเติมบางประการ เช่น อาจจำเป็นต้องตัดตามระนาบเชิงโปรเจกทีฟและขวดไคลน์รวมถึงทรงกลมและทอรัส และแมนิโฟลด์ที่มีส่วนประกอบขอบเขตเป็นระนาบเชิงโปรเจกทีฟมักไม่มีโครงสร้างทางเรขาคณิต

ใน 2 มิติ พื้นผิวปิดทุกพื้นผิวมีโครงสร้างทางเรขาคณิตที่ประกอบด้วยเมตริกที่มีความโค้งคงที่ ไม่จำเป็นต้องตัดแมนิโฟลด์ออกก่อน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พื้นผิวปิดทุกพื้นผิวจะมีลักษณะเป็นดิฟเฟโอเมอร์ฟิกกับผลหาร^ของ S ² , E ²หรือH ^{2 [ 1} ]

เรขาคณิตแบบจำลองคือแมนิโฟลด์เรียบที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายXพร้อมกับการกระทำแบบทรานซิทีฟของกลุ่มลีGบนXที่มีตัวรักษาเสถียรภาพแบบกะทัดรัด

รูปทรงเรขาคณิตแบบจำลองเรียกว่าสูงสุดถ้าGเป็นค่าสูงสุดในบรรดากลุ่มที่กระทำอย่างราบรื่นและต่อเนื่องบนXโดยมีตัวรักษาเสถียรภาพแบบกะทัดรัด บางครั้งเงื่อนไขนี้รวมอยู่ในคำจำกัดความของรูปทรงเรขาคณิตแบบจำลองด้วย

โครงสร้างทางเรขาคณิตบนแมนิโฟลด์ MคือการแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียลจากMไปยัง X /Γ สำหรับเรขาคณิตแบบจำลองX บางอย่าง โดยที่ Γ เป็น กลุ่มย่อย แบบไม่ต่อเนื่องของGที่กระทำอย่างอิสระบนX  นี่เป็นกรณีพิเศษของ โครงสร้าง ( G , X ) ที่สมบูรณ์ หากแมนิโฟลด์ที่กำหนดมีโครงสร้างทางเรขาคณิตแล้ว แมนิโฟลด์นั้นก็จะมีโครงสร้างทางเรขาคณิตที่มีแบบจำลองสูงสุดด้วย

รูปทรงเรขาคณิตจำลองสามมิติXมีความเกี่ยวข้องกับข้อสันนิษฐานเรื่องการสร้างรูปทรงเรขาคณิต (geometrization conjecture) ก็ต่อเมื่อมันเป็นรูปทรงเรขาคณิตสูงสุด (maximal) และหากมีแมนิโฟลด์กระชับ (compact manifold) อย่างน้อยหนึ่งอันที่มีโครงสร้างทางเรขาคณิตจำลองบนXเธอร์สตันได้จำแนกรูปทรงเรขาคณิตจำลอง 8 แบบที่ตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้ ซึ่งแสดงไว้ด้านล่างและบางครั้งเรียกว่ารูปทรงเรขาคณิตของเธอร์สตัน (นอกจากนี้ยังมี รูปทรงเรขาคณิตจำลองอีกมากมายนับ ไม่ถ้วนที่ไม่มีผลหารกระชับ)

มีความเชื่อมโยงบางอย่างกับกลุ่มเบียนชี (Bianchi groups)ซึ่งเป็นกลุ่มลี (Lie groups) ใน 3 มิติ เรขาคณิตของเธอร์สตันส่วนใหญ่สามารถแสดงได้ในรูปเมตริกแบบคงที่ทางซ้ายบนกลุ่มเบียนชี อย่างไรก็ตาม S² × R ไม่สามารถเป็นเช่นนั้นได้ เนื่องจากปริภูมิยุค ^ลิด สอดคล้องกับกลุ่มเบียนชีสองกลุ่มที่แตกต่างกัน และมีกลุ่มเบียนชีแบบ ไม่เอกรูป (non-unimodular Bianchi groups) ที่แก้ได้ จำนวนนับไม่ถ้วนซึ่งส่วนใหญ่ให้เรขาคณิตแบบจำลองที่ไม่มีตัวแทนแบบกะทัดรัด (compact representatives)

ตัวรักษาจุดคือ O(3, R ) และกลุ่มGคือกลุ่ม Lie 6 มิติ O(4, R ) ที่มี 2 ส่วนประกอบ แมนิโฟลด์ที่สอดคล้องกันคือแมนิโฟลด์ 3 มิติแบบปิดที่มีกลุ่มพื้นฐาน จำกัด ตัวอย่างเช่นทรงกลม 3 มิติทรงกลมโฮโมโลยีของปวงกาเรและปริภูมิเลนส์เรขาคณิตนี้สามารถจำลองได้เป็นเมตริกไม่แปรเปลี่ยนทางซ้ายบนกลุ่มเบียนชีประเภท IXแมนิโฟลด์ที่มีเรขาคณิตนี้ทั้งหมดเป็นแบบกะทัดรัด สามารถกำหนดทิศทางได้ และมีโครงสร้างของปริภูมิไฟเบอร์ของไซเฟิร์ต (มักจะเป็นในหลายๆ รูปแบบ) รายชื่อแมนิโฟลด์ดังกล่าวทั้งหมดมีอยู่ในบทความเกี่ยวกับ แมนิ โฟลด์ 3 มิติทรงกลมภายใต้การไหลของริชชี แมนิโฟลด์ที่มีเรขาคณิตนี้จะยุบตัวลงเหลือจุดในเวลาจำกัด

ตัวรักษาจุดคือ O(3, R ) และกลุ่มGคือกลุ่ม Lie 6 มิติR ³ × O(3, R ) ที่มี 2 ส่วนประกอบ ตัวอย่างเช่นทอรัส 3 มิติและโดยทั่วไป คือ ทอรัสการแมป ของออ โตมอร์ ฟิซึม ลำดับจำกัดของทอรัส 2 มิติ ดูที่บันเดิลทอรัสมีแมนิโฟลด์ 3 มิติแบบปิดจำกัดจำนวน 10 แบบที่มีเรขาคณิตนี้ 6 แบบสามารถกำหนดทิศทางได้ และ 4 แบบไม่สามารถกำหนดทิศทางได้ เรขาคณิตนี้สามารถจำลองได้เป็นเมตริกไม่แปรเปลี่ยนทางซ้ายบนกลุ่ม Bianchi ประเภท I หรือ VII แมนิโฟลด์ปริมาตรจำกัดที่มีเรขาคณิตนี้ทั้งหมดเป็นแบบกะทัดรัด และมีโครงสร้างของปริภูมิไฟเบอร์ Seifert (บางครั้งในสองวิธี) รายการแมนิโฟลด์ดังกล่าวทั้งหมดมีอยู่ในบทความเกี่ยวกับปริภูมิไฟเบอร์ Seifertภายใต้การไหลของ Ricci แมนิโฟลด์ที่มีเรขาคณิตแบบยุคลิดยังคงไม่แปรเปลี่ยน

ตัวรักษาเสถียรภาพจุดคือ O(3, R ) และกลุ่มGคือกลุ่ม Lie 6 มิติ O ⁺ (1, 3, R ) ที่มี 2 ส่วนประกอบ มีตัวอย่างมากมายมหาศาล และการจำแนกประเภทของพวกมันยังไม่เป็นที่เข้าใจอย่างสมบูรณ์ ตัวอย่างที่มีปริมาตรน้อยที่สุดคือแมนิโฟลด์ Weeksตัวอย่างอื่นๆ ได้แก่ปริภูมิ Seifert–Weberหรือการผ่าตัด Dehn ที่ "ซับซ้อนเพียงพอ" บนลิงก์หรือแมนิโฟลด์ Haken ส่วนใหญ่ ข้อ สันนิษฐานของการสร้างรูปทรงเรขาคณิตบ่งชี้ว่าแมนิโฟลด์ 3 มิติแบบปิดเป็นไฮเปอร์โบลิกก็ต่อเมื่อมันไม่สามารถลดทอนได้ เป็นอะโทรอยดัลและมีกลุ่มพื้นฐานอนันต์ รูปทรงเรขาคณิตนี้สามารถจำลองได้เป็นเมตริกที่ไม่เปลี่ยนแปลงทางซ้ายบนกลุ่ม Bianchi ประเภท V หรือ VII ภายใต้การไหลของ Ricci แมนิโฟลด์ที่มีรูปทรงเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกจะขยายตัว

ตัวรักษาจุดคือ O(2, R ) × Z /2 Zและกลุ่มGคือ O(3, R ) × R × Z /2 Zโดยมี 4 ส่วนประกอบ แมนิโฟลด์ปริมาตรจำกัดสี่แบบที่มีเรขาคณิตนี้ ได้แก่S ² × S ¹ทอรัสการแมปของแผนที่แอนติโพดของS ²ผลรวมที่เชื่อมต่อกันของสำเนาสองชุดของปริภูมิเชิงฉาย 3 มิติ และผลคูณของS ¹กับปริภูมิเชิงฉาย 2 มิติ สองแบบแรกเป็นทอรัสการแมปของแผนที่เอกลักษณ์และแผนที่แอนติโพดของทรงกลม 2 มิติ และเป็นตัวอย่างเดียวของแมนิโฟลด์ 3 มิติที่เป็นจำนวนเฉพาะแต่ไม่สามารถลดทอนได้ แบบที่สามเป็นตัวอย่างเดียวของผลรวมที่เชื่อมต่อกันที่ไม่เป็นศูนย์ที่มีโครงสร้างทางเรขาคณิต นี่เป็นเรขาคณิตแบบจำลองเดียวที่ไม่สามารถรับรู้ได้ว่าเป็นเมตริกแบบคงที่ทางซ้ายบนกลุ่ม Lie 3 มิติ แมนิโฟลด์ปริมาตรจำกัดที่มีเรขาคณิตนี้ทั้งหมดเป็นแบบกะทัดรัดและมีโครงสร้างของปริภูมิไฟเบอร์ Seifert (มักจะในหลายๆ วิธี) ภายใต้ระนาบการไหลของริชชีแบบปกติที่มีรูปทรงเรขาคณิตนี้จะลู่เข้าสู่ระนาบ 1 มิติ

ตัวรักษาจุดคือ O(2, R ) × Z /2 Zและกลุ่มGคือ O ⁺ (1, 2, R ) × R × Z /2 Zโดยมี 4 ส่วนประกอบ ตัวอย่างเช่น ผลคูณของพื้นผิวไฮเปอร์โบลิกกับวงกลม หรือโดยทั่วไปคือทอรัสการแมปของไอโซเมตรีของพื้นผิวไฮเปอร์โบลิก แมนิโฟลด์ปริมาตรจำกัดที่มีเรขาคณิตนี้มีโครงสร้างของปริภูมิไฟเบอร์ Seifertหากสามารถกำหนดทิศทางได้ (หากไม่สามารถกำหนดทิศทางได้ การไฟเบอร์ตามธรรมชาติโดยวงกลมไม่จำเป็นต้องเป็นการไฟเบอร์ Seifert ปัญหาคือไฟเบอร์บางส่วนอาจ "กลับทิศทาง" กล่าวอีกนัยหนึ่งคือบริเวณใกล้เคียงของพวกมันดูเหมือนขวดไคลน์แข็งที่มีไฟเบอร์มากกว่าทอรัสแข็ง^{[ 2 ]} ) การจำแนกประเภทของแมนิโฟลด์ (ที่กำหนดทิศทาง) ดังกล่าวมีอยู่ในบทความเกี่ยวกับปริภูมิไฟเบอร์ Seifertเรขาคณิตนี้สามารถจำลองได้เป็นเมตริกไม่แปรผันซ้ายบนกลุ่ม Bianchi ประเภท III ภายใต้ระนาบการไหลของริชชีแบบปกติที่มีรูปทรงเรขาคณิตนี้จะลู่เข้าสู่ระนาบ 2 มิติ

ปกคลุมสากลของSL(2, R )ถูกกำหนดให้เป็นมันเป็นไฟเบอร์เหนือH ²และบางครั้งปริภูมินี้เรียกว่า "H ² × R ที่บิดเบี้ยว" กลุ่มGมี 2 องค์ประกอบ องค์ประกอบเอกลักษณ์ของมันมีโครงสร้างตัวรักษาเสถียรภาพจุดคือ O(2, R ) ${\displaystyle {\widetilde {\rm {SL}}}(2,\mathbf {R} )}$${\displaystyle (\mathbf {R} \times {\widetilde {\rm {SL}}__{2}(\mathbf {R} ))/\mathbf {Z} }$

ตัวอย่างของแมนิโฟลด์เหล่านี้ ได้แก่ แมนิโฟลด์ของเวกเตอร์หน่วยของกลุ่มสัมผัสของพื้นผิวไฮเปอร์โบลิก และโดยทั่วไปแล้วทรงกลมโฮโมโลจีของบรีสคอร์น (ยกเว้นทรงกลม 3 มิติและปริภูมิสิบสองเหลี่ยมของปวงกาเร ) เรขาคณิตนี้สามารถจำลองได้เป็นเมตริกที่ไม่เปลี่ยนแปลงทางซ้ายบนกลุ่มเบียนชีประเภท VIII หรือ IIIแมนิโฟลด์ปริมาตรจำกัดที่มีเรขาคณิตนี้สามารถกำหนดทิศทางได้และมีโครงสร้างของปริภูมิไฟเบอร์ของไซเฟิร์ตการจำแนกประเภทของแมนิโฟลด์ดังกล่าวมีอยู่ในบทความเกี่ยวกับ ปริภูมิไฟเบอร์ ของไซเฟิร์ตภายใต้การไหลของริชชีแบบปกติ แมนิโฟลด์ที่มีเรขาคณิตนี้จะลู่เข้าสู่แมนิโฟลด์ 2 มิติ

ไฟเบอร์นี้ครอบคลุมE ²และบางครั้งจึงเรียกว่า "Twisted E ² × R" มันคือเรขาคณิตของกลุ่มไฮเซนเบิร์กจุดเสถียรคือ O(2, R ) กลุ่มGมี 2 องค์ประกอบ และเป็นผลคูณกึ่งตรงของกลุ่มไฮเซนเบิร์ก 3 มิติโดยกลุ่ม O(2, R ) ของไอโซเมตรีของวงกลม แมนิโฟลด์แบบกะทัดรัดที่มีเรขาคณิตนี้รวมถึงทอรัสการแมปของเดห์นทวิสต์ของทอรัส 2 มิติ หรือผลหารของกลุ่มไฮเซนเบิร์กโดย "กลุ่มไฮเซนเบิร์กเชิงปริพันธ์" เรขาคณิตนี้สามารถจำลองได้เป็นเมตริกไม่แปรผันซ้ายบนกลุ่มเบียนชีประเภท IIแมนิโฟลด์ปริมาตรจำกัดที่มีเรขาคณิตนี้เป็นแบบกะทัดรัดและสามารถกำหนดทิศทางได้ และมีโครงสร้างของปริภูมิไฟเบอร์ไซเฟิร์ตการจำแนกประเภทของแมนิโฟลด์ดังกล่าวมีอยู่ในบทความเกี่ยวกับปริภูมิไฟเบอร์ไซเฟิร์ต ภายใต้การไหลของริชชีแบบปกติ แมนิโฟลด์ขนาดกะทัดรัดที่มีรูปทรงเรขาคณิตนี้จะลู่เข้าสู่R ²ด้วยเมตริกแบบแบนราบ

เรขาคณิตนี้ (เรียกอีกอย่างว่าเรขาคณิต Solv ) เป็นไฟเบอร์บนเส้นตรงที่มีไฟเบอร์เป็นระนาบ และเป็นเรขาคณิตของส่วนประกอบเอกลักษณ์ของกลุ่มGตัวรักษาเสถียรภาพจุดคือกลุ่มไดเฮดรัลอันดับ 8 กลุ่ม Gมี 8 ส่วนประกอบ และเป็นกลุ่มของแผนที่จากปริภูมิ Minkowski 2 มิติไปยังตัวมันเอง ซึ่งเป็นไอโซเมตรีหรือคูณเมตริกด้วย −1 ส่วนประกอบเอกลักษณ์มีกลุ่มย่อยปกติR ^{2 ที่มีผลหาร} Rโดยที่RกระทำบนR ²ด้วยปริภูมิไอเกน 2 (จริง) ที่มีค่าไอเกนจริงที่แตกต่างกันซึ่งมีผลคูณเท่ากับ 1 นี่คือ กลุ่ม Bianchi ประเภท VI และเรขาคณิตสามารถจำลองได้เป็นเมตริกไม่แปรเปลี่ยนทางซ้ายบนกลุ่มนี้ แมนิโฟลด์ปริมาตรจำกัดทั้งหมดที่มีเรขาคณิต Solv นั้นเป็นแบบกะทัดรัด แมนิโฟลด์ขนาดกะทัดรัดที่มีเรขาคณิตโซลฟ์จะเป็นทอรัสการแมปของแผนที่อโนซอฟของทอรัส 2 มิติ (แผนที่ดังกล่าวเป็นออโตมอร์ฟิซึมของทอรัส 2 มิติที่กำหนดโดยเมทริกซ์ผกผันขนาด 2 x 2 ซึ่งค่าไอเกนเป็นจำนวนจริงและแตกต่างกัน เช่น) หรือผลหารของสิ่งเหล่านี้โดยกลุ่มที่มีอันดับไม่เกิน 8 ค่าไอเกนของออโตมอร์ฟิซึมของทอรัสสร้างอันดับของฟิลด์กำลังสองจริง และแมนิโฟลด์โซลฟ์สามารถจำแนกได้ตามหน่วยและคลาสอุดมคติของอันดับนี้^{[ 3 ]} ภายใต้การไหลของริชชีแบบปกติ แมนิโฟลด์ขนาดกะทัดรัดที่มีเรขาคณิตนี้จะลู่เข้า (ค่อนข้างช้า) ไปยัง R ¹${\displaystyle \left({\begin{array}{*{20}c}2&1\\1&1\\\end{array}}\right)}$

แมนิโฟลด์ 3 มิติแบบปิดจะมีโครงสร้างทางเรขาคณิตอย่างมากที่สุด 1 ใน 8 ประเภทข้างต้น แต่แมนิโฟลด์ 3 มิติแบบไม่กะทัดรัดที่มีปริมาตรจำกัดอาจมีโครงสร้างทางเรขาคณิตมากกว่าหนึ่งประเภทได้ในบางครั้ง (อย่างไรก็ตาม แมนิโฟลด์สามารถมีโครงสร้างทางเรขาคณิตที่แตกต่างกันหลายแบบในประเภทเดียวกันได้ ตัวอย่างเช่น พื้นผิวที่มีจีนัสอย่างน้อย 2 จะมีเมตริกไฮเปอร์โบลิกที่แตกต่างกันอย่างต่อเนื่อง) กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น หากMเป็นแมนิโฟลด์ที่มีโครงสร้างทางเรขาคณิตที่มีปริมาตรจำกัด ประเภทของโครงสร้างทางเรขาคณิตจะถูกกำหนดเกือบทั้งหมดดังต่อไปนี้ ในแง่ของกลุ่มพื้นฐาน π ( M ):

• ถ้า π ( M ) มีค่าจำกัด โครงสร้างทางเรขาคณิตบนMจะเป็นทรงกลม และMจะเป็นเมทริกซ์กระชับ
• ถ้า π ( M ) เป็นแบบวัฏจักรเสมือนแต่ไม่จำกัดจำนวน โครงสร้างทางเรขาคณิตบนMจะเป็นS ² × RและMเป็นแบบกระชับ (compact)
• ถ้า π ( M ) เป็นกลุ่มอาเบเลียนเสมือนแต่ไม่ใช่กลุ่มวัฏจักรเสมือน โครงสร้างทางเรขาคณิตบนMจะเป็นแบบยุคลิด และMเป็นกลุ่มกระชับ
• ถ้า π ( M ) เป็นแบบนิลโพเทนต์เสมือนแต่ไม่ใช่แบบอาเบเลียนเสมือน โครงสร้างทางเรขาคณิตบนMจะเป็นเรขาคณิตนิล และMจะเป็นคอมแพ็กต์
• ถ้า π ( M ) สามารถแก้ได้เสมือนจริงแต่ไม่ใช่แบบนิลโพเทนต์เสมือนจริง โครงสร้างทางเรขาคณิตบนMจะเป็นเรขาคณิตแบบโซลฟ์ และMจะเป็นคอมแพ็กต์
• ถ้า π ( M ) มีกลุ่มย่อยวัฏจักรปกติอนันต์แต่ไม่สามารถแก้ได้แบบเสมือนจริง โครงสร้างทางเรขาคณิตบนMจะเป็นH ² × Rหรือการปกคลุมสากลของ SL(2, R ) แมนิโฟลด์Mอาจเป็นแบบกะทัดรัดหรือไม่กะทัดรัดก็ได้ ถ้าเป็นแบบกะทัดรัด รูปทรงเรขาคณิตทั้งสองแบบสามารถแยกแยะได้โดยว่า π ( M ) มีกลุ่มย่อย ดัชนีจำกัดที่แยกออกเป็นผลคูณกึ่งตรงของกลุ่มย่อยวัฏจักรปกติและอย่างอื่นหรือไม่ ถ้าแมนิโฟลด์ไม่กะทัดรัด กลุ่มพื้นฐานจะไม่สามารถแยกแยะรูปทรงเรขาคณิตทั้งสองแบบได้ และมีตัวอย่าง (เช่น ส่วนเติมเต็มของปมสามแฉก) ที่แมนิโฟลด์อาจมีโครงสร้างทางเรขาคณิตปริมาตรจำกัดของทั้งสองประเภท
• ถ้า π ( M ) ไม่มีกลุ่มย่อยวัฏจักรปกติอนันต์และไม่สามารถแก้ได้จริง โครงสร้างทางเรขาคณิตบนMจะเป็นแบบไฮเปอร์โบลิก และMอาจเป็นแบบกระชับหรือไม่กระชับก็ได้

แมนิโฟลด์ปริมาตรอนันต์สามารถมีโครงสร้างทางเรขาคณิตได้หลายประเภท ตัวอย่างเช่นR³ สามารถมีโครงสร้างทางเรขาคณิต ^ได้ 6 แบบจากที่กล่าวมาข้างต้น เนื่องจากรูปทรงเรขาคณิตแบบจำลอง 6 ใน 8 แบบเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับมัน ยิ่งไปกว่านั้น หากปริมาตรไม่จำเป็นต้องจำกัด ก็จะมีโครงสร้างทางเรขาคณิตใหม่ๆ จำนวนอนันต์ที่ไม่มีแบบจำลองแบบกระชับ ตัวอย่างเช่น รูปทรงเรขาคณิตของกลุ่มลี 3 มิติ ที่ไม่ใช่ แบบ ยูนิโมดูลาร์เกือบทุกกลุ่ม

อาจมีมากกว่าหนึ่งวิธีในการแบ่ง 3-manifold ปิดออกเป็นชิ้นส่วนที่มีโครงสร้างทางเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น:

• การหาผลรวมที่เชื่อมโยงกันโดยใช้ S ³หลายชุดจะไม่ทำให้แมนิโฟลด์เปลี่ยนแปลงไป
• ผลรวมที่เชื่อมต่อกันของปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ 3 มิติสองปริภูมิ มี เรขาคณิตแบบ S ² × Rและยังเป็นผลรวมที่เชื่อมต่อกันของชิ้นส่วนสองชิ้นที่มีเรขาคณิตแบบS ^{3 อีกด้วย}
• ผลคูณของพื้นผิวที่มีความโค้งเป็นลบกับวงกลมมีโครงสร้างทางเรขาคณิต แต่ก็สามารถตัดตามรูปทรงทอรัสเพื่อสร้างชิ้นส่วนขนาดเล็กที่มีโครงสร้างทางเรขาคณิตเช่นกัน มีตัวอย่างที่คล้ายกันมากมายสำหรับปริภูมิไฟเบอร์ของ Seifert

เป็นไปได้ที่จะเลือกการแบ่งส่วนแบบ "มาตรฐาน" ออกเป็นชิ้นส่วนที่มีโครงสร้างทางเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น โดยการตัดแมนิโฟลด์ออกเป็นชิ้นส่วนหลักในวิธีที่น้อยที่สุดก่อน จากนั้นจึงตัดชิ้นส่วนเหล่านั้นออกโดยใช้จำนวนทอรัสที่น้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ อย่างไรก็ตาม การแบ่งส่วนขั้นต่ำนี้ไม่จำเป็นต้องเป็นการแบ่งส่วนที่เกิดจากการไหลของริชชี ในความเป็นจริง การไหลของริชชีสามารถตัดแมนิโฟลด์ออกเป็นชิ้นส่วนทางเรขาคณิตได้หลายวิธีที่ไม่เท่ากัน ขึ้นอยู่กับการเลือกเมตริกเริ่มต้น

เหรียญฟิลด์ส (Fields Medal)มอบให้แก่เธอร์สตันในปี 1982 ส่วนหนึ่งเป็นเพราะเขาได้พิสูจน์ข้อสันนิษฐานเรื่องการสร้างรูปทรงเรขาคณิตสำหรับแมนิโฟลด์ฮาเคน (Haken manifolds )

ในปี 1982 ริชาร์ด เอส. แฮมิลตันได้แสดงให้เห็นว่า หากมีแมนิโฟลด์ 3 มิติแบบปิดที่มีเมตริก ซึ่ง มีค่าความโค้งริชชี เป็นบวก การไหลของริชชี จะทำให้ แม นิโฟ ลด์ยุบตัวลงเหลือเพียงจุดเดียวในเวลาจำกัด ซึ่งเป็นการพิสูจน์สมมติฐานการทำให้เป็นเรขาคณิตสำหรับกรณีนี้ เนื่องจากเมตริกจะกลายเป็น "เกือบกลม" ก่อนการยุบตัว ต่อมาเขาได้พัฒนาโปรแกรมเพื่อพิสูจน์สมมติฐานการทำให้เป็นเรขาคณิตโดยใช้การไหลของริชชีด้วยการผ่าตัดแนวคิดก็คือ การไหลของริชชีโดยทั่วไปจะสร้างจุดเอกฐาน แต่เราอาจสามารถทำให้การไหลของริชชีดำเนินต่อไปได้หลังจากจุดเอกฐานโดยใช้การผ่าตัดเพื่อเปลี่ยนโทโพโลยีของแมนิโฟลด์ โดยคร่าวๆ แล้ว การไหลของริชชีจะหดตัวบริเวณที่มีความโค้งเป็นบวกและขยายบริเวณที่มีความโค้งเป็นลบ ดังนั้นจึงควรกำจัดส่วนของแมนิโฟลด์ที่มีรูปทรงเรขาคณิต "ความโค้งเป็น บวก" S ³และS ² × Rออกไป ในขณะที่สิ่งที่เหลืออยู่เมื่อเวลาผ่านไปนาน ๆ ควรมีการแบ่งส่วนแบบหนา-บางออก เป็นส่วน "หนา" ที่มีรูปทรงเรขาคณิตแบบไฮเปอร์โบลิกและ แม นิโฟลด์กราฟ "บาง"

ในปี 2003 Grigori Perelmanได้ประกาศการพิสูจน์ข้อสันนิษฐานเรื่องการทำให้เป็นเรขาคณิต โดยแสดงให้เห็นว่าการไหลของ Ricci สามารถดำเนินต่อไปได้ผ่านจุดเอกฐาน และมีพฤติกรรมตามที่อธิบายไว้ข้างต้น

ส่วนประกอบหนึ่งของการพิสูจน์ของ Perelman คือทฤษฎีบทการยุบตัวแบบใหม่ในเรขาคณิตแบบ Riemannian Perelman ไม่ได้เปิดเผยรายละเอียดใดๆ เกี่ยวกับการพิสูจน์ผลลัพธ์นี้ (ทฤษฎีบท 7.4 ในเอกสารก่อนตีพิมพ์ 'Ricci flow with surgery on three-manifolds') เริ่มจาก Shioya และ Yamaguchi ปัจจุบันมีการพิสูจน์ทฤษฎีบทการยุบตัวของ Perelman หรือรูปแบบต่างๆ ของทฤษฎีบทนี้หลายแบบ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}การกำหนดสูตรของ Shioya และ Yamaguchi ถูกนำมาใช้ในการกำหนดสูตรโดยละเอียดครั้งแรกของงานของ Perelman ^{[ 8 ]}

เส้นทางที่สองในการพิสูจน์ส่วนสุดท้ายของ Perelman ของการสร้างรูปทรงเรขาคณิตคือวิธีของLaurent Bessièresและผู้เขียนร่วม^{[ 9 ] [ 10 ]}ซึ่งใช้ทฤษฎีบทไฮเปอร์โบไลเซชันของ Thurston สำหรับแมนิโฟลด์ Haken และบรรทัดฐานของGromovสำหรับแมนิโฟลด์ 3 มิติ^{[ 11 ] [ 12 ]}หนังสือโดยผู้เขียนเดียวกันที่มีรายละเอียดครบถ้วนของเวอร์ชันการพิสูจน์ของพวกเขาได้รับการตีพิมพ์โดยEuropean Mathematical Society ^{[ 13 ]}

ในสี่มิติ มีเพียงกลุ่มของ4-manifold ปิดที่ค่อนข้างจำกัดเท่านั้น ที่ยอมรับการแยกส่วนทางเรขาคณิต^{[ 14 ]}อย่างไรก็ตาม ยังสามารถให้รายการของรูปทรงเรขาคณิตแบบจำลองสูงสุดได้^{[ 15 ]}

รูปทรงเรขาคณิตแบบจำลองสูงสุดสี่มิติได้รับการจำแนกโดย Richard Filipkiewicz ในปี 1983 มีจำนวนสิบแปดแบบ บวกกับตระกูลอนันต์ที่นับได้อีกหนึ่งตระกูล: ^{[ 15 ]}ชื่อที่ใช้กันทั่วไปคือE ⁴ , Nil ⁴ , Nil ³ × E ¹ , Sol⁴ (ครอบครัวที่นับได้ไม่จำกัด) โซล⁴ , โซล⁴ H 3 ^× E ¹ , × E ¹ , H ² × E ² , H ² × H ² , H ⁴ , H ² ( C ) (ปริภูมิไฮเปอร์โบลิกเชิงซ้อน ), F ⁴ ( มัดสัมผัสของระนาบไฮเปอร์โบลิก), S ² × E ² , S ² × H ² , S ³ × E ¹ , S ⁴ , CP ² (ระนาบเชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อน ) และS ² × S ^{2 [ 14 ]} ไม่มีแมนิโฟล ด์ปิดใดที่ยอมรับเรขาคณิตF ⁴แต่มีแมนิโฟลด์ที่มีการแยกส่วนที่เหมาะสมซึ่งรวมถึงชิ้น ส่วน F ^{4 [ 14 ]}${\displaystyle {\widetilde {\rm {SL}}}}$

รูปทรงเรขาคณิตโมเดลสูงสุดห้ามิติได้รับการจำแนกโดย Andrew Geng ในปี 2016 มีรูปทรงเรขาคณิตแต่ละแบบ 53 แบบ และตระกูลอนันต์ 6 ตระกูล ปรากฏการณ์ใหม่บางอย่างที่ไม่พบในมิติที่ต่ำกว่าเกิดขึ้น รวมถึงตระกูลรูปทรงเรขาคณิตที่นับไม่ได้สองตระกูล และรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่มีผลหารแบบกระชับ^{[ 1 ]}

• "เรขาคณิตของ 3-แมนิโฟลด์ (วิดีโอ)"เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 27 มกราคม 2553 เรียกดูเมื่อวันที่ 20 มกราคม 2553การบรรยายสาธารณะเกี่ยวกับสมมติฐานของปวงกาเรและการหาเรขาคณิต โดยซี. แมคมัลเลนที่มหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ดในปี 2006