วิกิพีเดียภาษาไทย
กลับไปหน้าบทความ

อ่าน 4 นาที

ไม่มีชื่อบทความ

ใน เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ทฤษฎีบท มาร์กูลิส (ตั้งชื่อตาม กริกอรี มาร์กูลิส ) เป็นผลลัพธ์เกี่ยวกับ กลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่อง ของไอโซเมตรีของ แมนิโฟลด์รีมันน์ ที่ไม่โค้งเป็นบวก (เช่น...

บทพิสูจน์ของมาร์กูลิส

ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ทฤษฎีบทมาร์กูลิส (ตั้งชื่อตามกริกอรี มาร์กูลิส ) เป็นผลลัพธ์เกี่ยวกับกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องของไอโซเมตรีของแมนิโฟลด์รีมันน์ที่ไม่โค้งเป็นบวก (เช่น ปริภูมิไฮเปอร์โบลิก n มิติ ) โดยคร่าวๆ แล้ว ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่า ภายในรัศมีคงที่ ซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่าค่าคงที่มาร์กูลิส โครงสร้างของวงโคจรของกลุ่มดังกล่าวจะไม่ซับซ้อนเกินไป กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น ภายในรัศมีนี้รอบจุดหนึ่ง จุดทั้งหมดในวงโคจรของจุดนั้นจะอยู่ในวงโคจรของ กลุ่มย่อย นิลโพเทนต์ (อันที่จริงคือจำนวนจำกัดของกลุ่มย่อยดังกล่าว)

ทฤษฎีบทมาร์กูลิสสำหรับแมนิโฟลด์ที่มีความโค้งไม่เป็นบวก

คำแถลงอย่างเป็นทางการ

บทพิสูจน์ของมาร์กูลลิสสามารถกำหนดได้ดังนี้[ 1 ]

อนุญาตX{\displaystyle X}เป็น แมนิโฟลด์ ที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย ซึ่งมี ความโค้งภาคตัดขวางที่ไม่เป็นบวกและมีขอบเขตจำกัด มีค่าคงที่อยู่ซี,ε>0{\displaystyle C,\varepsilon >0}โดยมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ สำหรับกลุ่มย่อยที่แยกจากกันใดๆΓ{\displaystyle \Gamma }ของกลุ่มไอโซเมตรีของX{\displaystyle X}และใดๆx∈X{\displaystyle x\in X}, ถ้าเอฟx{\displaystyle F_{x}}คือชุด:

เอฟx={จี∈Γ:ง(x,จีx)<ε}{\displaystyle F_{x}=\{g\in \Gamma :d(x,gx)<\varepsilon \}}

จากนั้นกลุ่มย่อยที่สร้างขึ้นโดยเอฟx{\displaystyle F_{x}}ประกอบด้วยกลุ่มย่อยนิลโพเทนต์ที่มีดัชนีน้อยกว่าซี{\displaystyle C}. ที่นี่ง{\displaystyle d}คือระยะทางที่เกิดจากเมตริกแบบรีมันน์

สามารถให้ข้อความที่มีความหมายเทียบเท่ากันได้โดยตรงดังนี้: สำหรับเซตย่อยใดๆเอฟ{\displaystyle F}ของกลุ่มไอโซเมตรีหากเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

  • มีอยู่x∈X{\displaystyle x\in X}โดยที่∀จี∈เอฟ:ง(x,จีx)<ε{\displaystyle \forall g\in F:d(x,gx)<\varepsilon };
  • กลุ่ม⟨เอฟ⟩{\displaystyle \langle F\rangle }สร้างโดยเอฟ{\displaystyle F}เป็นแบบไม่ต่อเนื่อง

แล้ว⟨เอฟ⟩{\displaystyle \langle F\rangle }ประกอบด้วยกลุ่มย่อยนิลโพเทนต์ของดัชนี≤ซี{\displaystyle \leq C}.

ค่าคงที่ของมาร์กูลลิส

ค่าคงที่ที่เหมาะสมที่สุดε{\displaystyle \varepsilon }ในข้อความดังกล่าว ค่านี้จะขึ้นอยู่กับมิติและขอบล่างของความโค้งเท่านั้น โดยปกติแล้วจะมีการปรับค่าให้เป็นมาตรฐานเพื่อให้ความโค้งอยู่ระหว่าง -1 และ 0 โดยทั่วไปเรียกว่าค่าคงที่มาร์กูลลิสของมิตินั้น

นอกจากนี้ยังสามารถพิจารณาค่าคงที่ของมาร์กูลลิสสำหรับปริภูมิเฉพาะได้อีกด้วย ตัวอย่างเช่น มีความพยายามอย่างมากในการกำหนดค่าคงที่ของมาร์กูลลิสสำหรับปริภูมิไฮเปอร์โบลิก (ที่มีความโค้งคงที่ -1) ตัวอย่างเช่น:

  • ค่าคงที่ที่เหมาะสมที่สุดสำหรับระนาบไฮเปอร์โบลิกเท่ากับ2อาร์ซินห์⁡(2คอส⁡(2π/7)−18คอส⁡(π/7)+7)≃0.2629{\displaystyle 2\operatorname {arsinh} \left({\sqrt {\frac {2\cos(2\pi /7)-1}{8\cos(\pi /7)+7}}}\right)\simeq 0.2629}; [ 2 ]
  • โดยทั่วไป ค่าคงที่มาร์กูลลิสεn{\displaystyle \varepsilon _{n}}สำหรับไฮเปอร์โบลิกn{\displaystyle n}-พื้นที่ดังกล่าวเป็นที่ทราบกันว่าตรงตามขอบเขตดังต่อไปนี้:ค−n2<εn<เค/n{\displaystyle c^{-n^{2}}<\varepsilon _{n}<K/{\sqrt {n}}}สำหรับบางคน0<ค<1,เค>0{\displaystyle 0<c<1,K>0}[ 3 ]​

ย่านต่างๆ ของ Zassenhaus

ตัวอย่างตระกูลของแมนิโฟลด์โค้งเชิงลบที่ได้รับการศึกษาเป็นพิเศษนั้นได้แก่พื้นที่สมมาตรที่เกี่ยวข้องกับกลุ่ม Lie กึ่งง่ายในกรณีนี้ บทพิสูจน์ของ Margulis สามารถกำหนดเป็นสูตรพีชคณิตเพิ่มเติมได้ดังต่อไปนี้ ซึ่งย้อนกลับไปถึงHans Zassenhaus [ 4 ]

ถ้าจี{\displaystyle G}เป็นกลุ่ม Lie กึ่งง่าย มีบริเวณใกล้เคียงอยู่Ω{\displaystyle \Omega }ของอัตลักษณ์ในจี{\displaystyle G}และซี>0{\displaystyle C>0}โดยที่กลุ่มย่อยที่แยกจากกันใดๆΓ{\displaystyle \Gamma }ซึ่งสร้างขึ้นโดยΓ∩Ω{\displaystyle \Gamma \cap \Omega }ประกอบด้วยกลุ่มย่อยนิลโพเทนต์ของดัชนี≤ซี{\displaystyle \leq C}.

ย่านแบบนั้นΩ{\displaystyle \Omega }เรียกว่าย่านซาสเซนเฮาส์ในจี{\displaystyle G}. ถ้าจี{\displaystyle G}ทฤษฎีบทนี้กระชับและเทียบเท่ากับทฤษฎีบทของจอร์แดนบนกลุ่มเชิงเส้นจำกัด

การสลายตัวแบบหนา-บาง

อนุญาตเอ็ม{\displaystyle M}เป็นแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ และε>0{\displaystyle \varepsilon >0}ส่วน ที่บางของเอ็ม{\displaystyle M}คือเซตย่อยของจุดx∈เอ็ม{\displaystyle x\in M}โดยที่รัศมีของการฉีดของเอ็ม{\displaystyle M}ที่x{\displaystyle x}น้อยกว่าε{\displaystyle \varepsilon }โดยปกติจะใช้สัญลักษณ์เอ็ม<ε{\displaystyle M_{<\varepsilon }}และส่วนที่หนาจะแทนด้วยส่วนเติมเต็ม ซึ่งโดยปกติจะใช้สัญลักษณ์แทนด้วยเอ็ม≥ε{\displaystyle M_{\geq \varepsilon }}มีการแยกส่วนเชิงตรรกะออกเป็นสหภาพที่ไม่เกี่ยวข้องกันเอ็ม=เอ็ม<ε∪เอ็ม≥ε{\displaystyle M=M_{<\varepsilon }\cup M_{\geq \varepsilon }}.

เมื่อไรเอ็ม{\displaystyle M}มีความโค้งเป็นลบและε{\displaystyle \varepsilon }มีค่าน้อยกว่าค่าคงที่ของมาร์กูลิสสำหรับฝาครอบสากลเอ็ม~{\displaystyle {\widetilde {M}}}โครงสร้างของส่วนประกอบของส่วนที่บางนั้นเรียบง่ายมาก ให้เราจำกัดเฉพาะกรณีของแมนิโฟลด์ไฮเปอร์โบลิกที่มีปริมาตรจำกัด สมมติว่าε{\displaystyle \varepsilon }มีค่าน้อยกว่าค่าคงที่ของมาร์กูลิสสำหรับชมn{\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}และปล่อยให้เอ็ม{\displaystyle M}เป็นการพูดเกินจริงn{\displaystyle n}-แมนิโฟลด์ที่มีปริมาตรจำกัด จากนั้นส่วนที่บางจะมีส่วนประกอบสองประเภท: [ 5 ]

  • จุดยอดแหลม : จุดยอดแหลมเหล่านี้เป็นส่วนประกอบที่ไม่มีขอบเขต และมีสมบัติทางเรขาคณิตเหมือนกับระนาบ(n−1){\displaystyle (n-1)}-หลายเท่าคูณกับเส้นตรง;
  • ท่อมาร์กูลิส: นี่คือบริเวณใกล้เคียงของเส้นโค้งจีโอเดสิกปิดที่มีความยาว<ε{\displaystyle <\varepsilon }บนเอ็ม{\displaystyle M}พวกมันมีขอบเขตและ (ถ้าเอ็ม{\displaystyle M}(สามารถกำหนดทิศทางได้) มีลักษณะทางเรขาคณิตแบบดิฟฟีโอเมอร์ฟิกกับวงกลมคูณด้วย(n−1){\displaystyle (n-1)}-แผ่นดิสก์

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง แมนิโฟลด์ไฮเปอร์โบลิกปริมาตรจำกัดที่สมบูรณ์จะสมมาตรเชิงดิฟเฟอเรนเชียลกับส่วนภายในของแมนิโฟลด์กระชับเสมอ (อาจมีขอบเขตว่างเปล่า)

แอปพลิเคชันอื่นๆ

ทฤษฎีบทมาร์กูลิสเป็นเครื่องมือสำคัญในการศึกษาแมนิโฟลด์ที่มีความโค้งเป็นลบ นอกจากการแบ่งส่วนแบบหนา-บางแล้ว ยังมีการประยุกต์ใช้ในด้านอื่นๆ อีก เช่น:

  • ทฤษฎีบทปลอกคอ : นี่คือคำอธิบายที่แม่นยำยิ่งขึ้นเกี่ยวกับส่วนประกอบขนาดกะทัดรัดของชิ้นส่วนบางๆ โดยระบุว่าเส้นโค้งจีโอเดสิกปิดใดๆ ที่มีความยาวℓ<ε{\displaystyle \ell <\varepsilon }บนพื้นผิวไฮเปอร์โบลิกนั้นบรรจุอยู่ในทรงกระบอกฝังตัวที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางขนาดประมาณℓ−1{\displaystyle \ell ^{-1}}.
  • บทตั้งของมาร์กูลิสให้วิธีแก้ปัญหาเชิงคุณภาพทันทีสำหรับปัญหาปริมาตรร่วมขั้นต่ำในหมู่แมนิโฟลด์ไฮเปอร์โบลิก: เนื่องจากปริมาตรของท่อมาร์กูลิสสามารถมองเห็นได้ว่ามีขอบเขตล่างโดยค่าคงที่ที่ขึ้นอยู่กับมิติเท่านั้น จึงสรุปได้ว่ามีค่าต่ำสุดบวกสำหรับปริมาตรของแมนิโฟลด์ไฮเปอร์โบลิกn สำหรับ n ใดๆ[ 6 ]
  • การมีอยู่ของย่านใกล้เคียงแบบ Zassenhaus เป็นองค์ประกอบสำคัญในการพิสูจน์ทฤษฎีบท Kazhdan– Margulis
  • เราสามารถกู้คืนทฤษฎีบทจอร์แดน-ชูร์ได้ในฐานะผลลัพธ์สืบเนื่องมาจากการมีอยู่ของย่านใกล้เคียงแบบซัสเซนเฮาส์

ดูเพิ่มเติม

  • อสมการของ Jorgensenให้ข้อความเชิงปริมาณสำหรับกลุ่มย่อยที่ไม่ต่อเนื่องของกลุ่มไอโซเมตรีพีจีแอล2(ซี){\displaystyle \mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {C} )}ของปริภูมิไฮเปอร์โบลิก 3 มิติ

หมายเหตุ

  1. ↑ Ballmann, Gromov & Schroeder 1985 , ทฤษฎีบท 9.5.
  2. ↑ Yamada, A. (1981). "เกี่ยวกับค่าคงที่สากลของกลุ่มฟุคเซียนของมาร์เดน" . Kodai Math. J . 4 (2): 266– 277. doi : 10.2996/kmj/1138036373 .
  3. ↑ Belolipetsky, Mikhail (2014). "Hyperbolic orbifolds of small volume". Proceedings of ICM 2014. Kyung Moon SA. arXiv : 1402.5394 .
  4. ↑ Raghunathan 1972 , นิยาม 8.22.
  5. ↑ Thurston 1997 , บทที่ 4.5.
  6. ↑แรตคลิฟฟ์ 2006หน้า 666

สรุปเนื้อหา

ข้อมูลสำคัญจากบทความ

ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ ไม่มีชื่อบทความ

ใน เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ทฤษฎีบท มาร์กูลิส (ตั้งชื่อตาม กริกอรี มาร์กูลิส ) เป็นผลลัพธ์เกี่ยวกับ กลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่อง ของไอโซเมตรีของ แมนิโฟลด์รีมันน์ ที่ไม่โค้งเป็นบวก (เช่น...

คำแถลงอย่างเป็นทางการ

บทพิสูจน์ของมาร์กูลลิสสามารถกำหนดได้ดังนี้ [ 1 ]

ค่าคงที่ของมาร์กูลลิส

ค่าคงที่ที่เหมาะสมที่สุด ε {\displaystyle \varepsilon } ในข้อความดังกล่าว ค่านี้จะขึ้นอยู่กับมิติและขอบล่างของความโค้งเท่านั้น โดยปกติแล้วจะมีการปรับค่าให้เป็นมาตรฐานเพื่อให้ความโค้งอยู่ระหว่าง -1 และ 0 โดยทั่วไปเรียกว่าค่าคงที่มาร์กูลลิสของมิตินั้น

ย่านต่างๆ ของ Zassenhaus

ตัวอย่างตระกูลของแมนิโฟลด์โค้งเชิงลบที่ได้รับการศึกษาเป็นพิเศษนั้นได้แก่ พื้นที่สมมาตร ที่เกี่ยวข้องกับ กลุ่ม Lie กึ่งง่าย ในกรณีนี้ บทพิสูจน์ของ Margulis สามารถกำหนดเป็นสูตรพีชคณิตเพิ่มเติมได้ดังต่อไปนี้ ซึ่งย้อนกลับไปถึง Hans Zassenhaus [ 4 ]